第01讲 任意角和弧度制、三角函数的概念（复习讲义）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦任意角、弧度制及三角函数概念等核心考点，按命题趋势、知识框架、题型技巧的逻辑架构梳理，通过考点分析、方法归纳、真题演练等环节，帮助学生构建系统知识网络，突破终边相同角判定、扇形最值等难点。 资料以分层训练和题型建模为特色，如扇形最值问题通过函数转化培养数学思维，结合天津高考真题强化应用意识，基础与创新演练分层设计，助力教师精准把控复习节奏，提升学生解题效率与应考能力。

第01讲 任意角和弧度制、三角函数的概念 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 三角函数基本概念 知识点2 同角三角函数基本关系 题型破译 题型1 终边相同的角 【方法技巧】终边相同的角 题型2 象限角及其判定 【方法技巧】象限角及其判定 题型3 弧度制 【方法技巧】弧度制 题型4 扇形的弧长与面积的计算 【方法技巧】扇形的弧长与面积的计算 题型5 扇形中的最值问题 【方法技巧】扇形中的最值问题 题型6 任意角的三角函数的定义及应用 【方法技巧】任意角的三角函数的定义及应用 题型7 三角函数值符号的判定 【方法技巧】三角函数值符号的判定 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 任意角的概念与弧度制换算 天津卷 T2（5 分） 天津卷 T12（5 分） 三角函数的定义（单位圆/终边定义法） 天津卷 T7（5 分） 天津卷 T5（5 分） 三角函数值的符号判断与同角三角函数基本关系 天津卷 T7（5 分） 天津卷 T6（5 分） 考情分析 任意角和弧度制、三角函数的概念是天津高考数学必考基础考点，是三角函数模块的入门核心，以选择、填空题为主，单题分值5分，整体难度低，属于基础送分题。高频考查方向为：①任意角的概念、弧度制与角度制的换算、终边相同的角的表示；②三角函数的两种定义（终边定义、单位圆定义），能根据终边上的点求三角函数值；③三角函数值的符号规律、同角三角函数基本关系（平方关系、商数关系）的求值与化简。本模块是后续三角恒等变换、三角函数图像与性质、解三角形等内容的必备基础，极少单独考查大题，多作为基础考点融入三角函数综合题中。 复习目标 1. 理解任意角的概念，掌握弧度制与角度制的换算规则，能正确判断象限角、表示终边相同的角； 2. 掌握三角函数的终边定义与单位圆定义，能根据终边上的点求解三角函数值，理解三角函数线的几何意义； 3. 掌握三角函数值的符号规律，熟练运用同角三角函数基本关系进行三角函数的求值、化简与恒等式证明，筑牢三角函数模块的学习基础。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 三角函数基本概念 1．角的概念 (1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形； ②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角． (2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是． (3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的_________重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． (4)象限角的集合表示方法： 象限角 角的集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 2．弧度制 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个_________，零角的弧度数是0． (2)角度制和弧度制的互化：,,． (3)扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：． 3．任意角的三角函数 (1)定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，． (2)推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，， 三角函数的性质如下表： 三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 ＋ ＋ － － ＋ － － ＋ ＋ － ＋ － 记忆口诀:三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦． 4．三角函数线 如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T． 三角函数线 有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线 必记结论 三角函数以任意角、弧度制为基础，先区分象限角、终边相同角，巧用终边坐标定义正弦、余弦、正切。熟记各象限符号、特殊角函数值是解题根基。同角平方、商数、诱导公式是化简核心，诱导口诀 “奇变偶不变，符号看象限” 快速转换角度。单位圆是数形结合关键，可直观判断函数正负、比较大小、求解不等式。解题技巧：遇角度先统一弧度，出现多角先找终边关系，化简优先用同角公式消元，求范围借助单位圆画终边限定区间，灵活转化角的形式简化运算。 自主检测已知一个圆锥的底面半径为，且它的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的表面积是________． 知识点2 同角三角函数基本关系 (1)平方关系：． (2)商数关系：； 必记结论 核心为平方关系与商数关系，化简求值优先运用。易错点：开方忽略角所在象限符号，直接舍去负解；忽视 tan 定义域限制。解题技巧：知一求二先定象限判正负，遇齐次式化切消元；看到平方项配凑 1 代换，快速降幂化简，做题先标注角的范围再开方，避免符号出错。 自主检测已知的内角，，所对的边分别为，，，且，，，则________，的外接圆半径________． 题●型●破●译 题型1 终边相同的角 例1-1（2026·天津西青·二模）“角与终边相同”是“角是第三象限角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例1-2（2026·天津南开·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．若角与角不相等，则与的终边不可能重合 B．角的大小是一个与半径大小无关的值 C．终边落在直线上的角的集合是 D．若角是锐角，则一定是钝角 方法技巧 终边相同的角 （1）终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决． （2）注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角． 【变式训练1-1】（2026·天津和平·开学考试）终边在轴的非负半轴上的角的集合是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-2】下列说法正确的是_______． ①三角形的内角是第一象限角； ②与终边相同的角的集合为； ③终边在直线上的角的集合为； ④若是第三象限角，则是第二象限角． 【变式训练1-3】（2026·天津河东·阶段检测）下列说法正确的是（ ） A．两个角的终边相同，则它们的大小相等 B．若角为第二象限角，则是第四象限角 C．第一象限角都是锐角 D．终边在直线上的角的集合是 题型2 象限角及其判定 例2-1“为第一象限角”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分又不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 例2-2（2026·天津和平·阶段检测）下列命题中正确的个数是（    ） ①是第三象限角 ②若，则为第一象限角 ③命题p：的否定是 ④若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 方法技巧 象限角及其判定 先从的范围出发，利用不等式性质，具体有：（1）双向等差数列法；（2）的象限分布图示 【变式训练2-1】（2026·广东中山·阶段检测）快到2026年元旦假期了，是（    ）角 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式训练2-2】点在平面直角坐标系中位于 （    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式训练2-3·变考法】（2026·天津南开·阶段检测）下列命题： ①第四象限的角可表示为； ②第二象限角大于第一象限角； ③将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角为； ④若是第二象限角，则的终边在第一象限． 其中真命题的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型3 弧度制 例3-1是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 例3-2（2025·天津河西·阶段检测）给出下列命题： (1)第二象限角大于第一象限角： (2)不论是用角度制还是用弧度制度量一个角的大小，它们与扇形半径的大小无关 (3)将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数为 (4)若，则θ是第二或第三象限角. 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例3-3（2026·天津北辰·阶段检测）下列结论中错误的是（   ） A．终边经过点的角的集合是； B．扇形的圆心角为弧度，周长为，则它的面积为； C．将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度数是； D．若是第三象限角，则是第二象限角． 方法技巧 弧度制 1牢记核心换算 π=180°，统一单位，不可角度、弧度混用。熟练运用弧、扇形面积，计算前确保圆心角为弧度。判断象限角时，对负角、大于 2π 的角加减 2π 化简。天津考题常结合扇形最值、三角函数定义域考查，导数、图像类题型自变量默认弧度。易错点：忽略角的正负、公式漏绝对值、单位混用失分，做题先统一弧度再列式，化简角后再分析函数取值与范围。 【变式训练3-1】《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间（如图）．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为，肩宽约为，“弓”所在圆的半径约为，则掷铁饼者双手之间的距离约为（参考数据：，）（    ） A．1.012m B．1.768m C．2.043m D．2.945m 【变式训练3-2】下题中，正确的命题个数为（    ） ①函数的定义域为； ② 已知命题，则命题的否定为:； ③已知是定义在[0，1]的函数，那么“函数在[0，1]上单调递减”是“函数在[0，1]上的最小值为f(1)”的必要不充分条件； ④被称为“天津之眼”的天津永乐桥摩天轮，是一座跨河建造、 桥轮合一的摩天轮,假设“天津之眼”逆时针旋转一周需30分钟，且是匀速转动的，则经过5分钟，转过的角的弧度 A．1 B．2 C．3 D．4 题型4 扇形的弧长与面积的计算 例4-1如图，已知圆M和圆N的半径均为1，且两圆相切．Q为圆M上一点，满足，则两阴影扇形弧长之和为（   ） A． B． C． D． 例4-2已知圆锥的母线长为，侧面展开所成扇形的圆心角为，则此圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 方法技巧 扇形的弧长与面积的计算 （1）熟记弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S扇形＝lr＝|α|r2（弧度制） （2）掌握简单三角形，特别是直角三角形的解法 【变式训练4-1】如图，平面图形是扇形截去扇形所得到的，设圆弧的长度是，圆弧的长度是，平面图形的面积是，扇形的面积是，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】小李同学在学习了《任意角和弧度制》后，临摹了一件扇形瓷器盘（图1）的大致形状，如图2所示，已知在扇形中，，，则下列结论中错误的是（    ） A． B．弧长 C．扇形的周长为 D．扇形的面积为 【变式训练4-3】（2026·天津河东·二模）折扇与书画结合，使其成为书画艺术的特殊载体，具有文化和历史价值．如图是一幅书法折扇的一部分，则该扇面对应扇形圆心角的弧度数为（   ） A． B． C． D．3 题型5 扇形中的最值问题 例5-1已知扇形的周长为10，当扇形面积取得最大值时，圆心角的大小是__________. 例5-2（2026·天津南开·开学考试）已知某扇形的周长为8，则当此扇形的面积最大时，半径为（   ） A．2 B．4 C．0.5 D．0.25 方法技巧 扇形中的最值问题 扇形最值核心依靠弧长、面积公式转化单变量函数求解。已知周长定值时，设半径为 r，用周长表示圆心角，代入面积公式得到二次函数，求出半径取何值面积最大；已知面积定值则反向求周长最小值。解题统一用弧度计算，避免角度换算失误。借助二次函数最值或均值不等式快速求值，注意半径、圆心角取值范围，检验边界，防止出现无意义解，答题先写出变量约束条件再求最值。 【变式训练5-1】周长为20的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是________． 【变式训练5-2】已知一个扇形的周长为16，当扇形的面积取得最大值时，它的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】已知一扇形的周长为8，当该扇形的面积最大时，其圆心角为（    ） A． B． C． D． 题型6 任意角的三角函数的定义及应用 例6-1已知角的终边经过点，则（     ） A． B． C． D． 例6-2一直角三角形三边长成等比数列，则（   ） A．三边边长之比为 B．三边边长之比为 C．较小锐角的正弦值为 D．较大锐角的正弦值为 方法技巧 任意角的三角函数的定义及应用 任意角三角函数依托终边上点坐标定义，判断符号看象限：一全正、二正弦、三正切、四余弦。已知角终边点可直接代入求值；给函数值求角范围结合符号划分象限。化简、求值统一用坐标定义推导，规避记忆混淆，留意(x=0)时正切无意义，解题优先确定角所在象限再运算。 【变式训练6-1】已知角α的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，若角α的终边绕着原点按顺时针方向旋转后经过点，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】已知角的始边为x轴的非负半轴，终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-3】将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若是偶函数，则（   ） A． B． C．-1 D．1 题型7 三角函数值符号的判定 例7-1若为第二象限角，则下列各式的值为负数的是（    ） A． B． C． D． 例7-2已知是定义在上的偶函数，且，有.设 ，则（    ） A． B． C． D． 方法技巧 三角函数值符号的判定 判定三角函数符号核心记口诀 “一全正，二正弦，三正切，四余弦”。先判断角终边所处象限，终边 x、y 坐标正负直接决定函数正负：sin 看纵坐标 y，cos 看横坐标 x，tan 看 x、y 比值。遇大于 360° 或负角，先加减周期化简为 0 到 2π 内的角再判断。坐标轴上角函数值为 0 或不存在，做题先化简角，区分正切定义域限制，避免象限判断失误导致符号写错。 【变式训练7-1】已知为第二象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】设是第三象限角，且，则是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【变式训练7-3】在平面直角坐标系中角的顶点在原点，始边与轴正半轴重合，则“角终边在第二象限”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·天津·高考真题）在中，，，，则__________． 3．（2005·天津·高考真题）设函数． (1)证明，其中k为整数； (2)设为的一个极值点，证明； (3)设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，证明． (为奇数) 0 + (为偶数) + 0 4．（2008·天津·高考真题）已知． (1)求的值； (2)求的值． 5．（2006·天津·高考真题）已知，求和的值． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．已知，且是第三象限角，你能求出，的三角函数值吗？你能求出与有关的其他角的三角函数值吗？ 2．已知一扇形的圆心角为α，所在圆的半径为R，该扇形的周长为4R，则该扇形中所含弓形的面积是多少？（注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形．） 3．在半径为R的圆中，的圆心角所对的弧长为______，面积为的扇形的圆心角等于______弧度． 4．在单位圆中，． (1)画出角α； (2)求角α的终边与单位圆的交点坐标． 5．求值：（－）·（－）. 6．化简 7．已知等腰三角形一个底角的正弦值为，求这个三角形的顶角的正弦、余弦及正切的值． 8．已知，，求，的值． 9．求证： (1)； (2)； (3)． 10．解下列各题： (1)已知，且为第一象限角，求和的值． (2)已知，且为第三象限角，求和的值． (3)已知，且为第二象限角，求和的值． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：天津高考任意角和弧度制以基础铺垫为主，很少单独大题，多融入三角函数小题考查。重点考查角度与弧度互化、终边相同角的表示、象限角判定，以及弧长、扇形面积公式与周长、面积最值计算。同时结合任意角三角函数定义、符号判断出题，注重单位圆数形结合。命题侧重单位统一、角的化简，常与函数定义域、诱导公式综合，易错点集中在单位混用、圆心角不带绝对值、忽略变量取值范围，复习需夯实公式，熟练化简角再分析性质。 1．母线长相等的两个圆锥，侧面展开图的圆心角之和为，若它们的侧面积之比为，则体积比为（    ） A． B． C． D． 2．已知圆锥的表面积为，其侧面展开图为半圆，则该圆锥的底面半径为（   ） A． B． C． D． 3．在下图中，优弧与劣弧有相同的圆心．并且点位于与之间，点位于与之间．优弧，劣弧以及线段和的长度均为．问到的距离是多少？（    ） A．1 B． C． D． E．2 4．现有一把纸折扇，其结构如图所示.已知折扇两端的扇骨长（即大扇形半径）均为，完全展开时扇骨间的夹角为.若扇面的上弧长与下弧长之比为，将该扇面围成一个圆台，则该圆台的高为（   ） A． B． C． D． 5．圆锥的侧面展开图为一个扇形，其圆心角为，半径为3，则此圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 6．等于（     ） A． B． C． D． 7．指针式时钟从午夜开始运行，在经过分钟后停止，问当时钟停止时，时针与分针所成锐角的正切值是多少？（    ） A．0 B． C． D． E． 8．在中，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．已知等差数列的前项和为，且，若，则可能的值为（   ） A． B．1 C． D． 10．设，角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 重难·创新演练 设题创新:高考该板块创新点体现在三方面：一是以充分必要条件、多结论判断替代直白计算，深挖定义本质；二是融合扇形最值、直线坐标与单位圆数形结合，打破单一考点局限；三是融入简单实际情境，规避机械套公式，侧重角的化简、符号判定等底层逻辑，考查概念迁移与严谨推理能力。 1．阅读下列命题： ①若点为角终边上一点，则； ②同时满足的角有且只有一个； ③设且，则； ④设（为象限角），则在第一象限． 其中正确命题为______．（将正确命题的序号填在横线上） 2．已知是第二象限的角，化简_________ 3．已知角的终边经过点，且，为第二象限角，则的值为_________． 4．设点是平面直角坐标系内的一个动点，它从初始位置出发，绕原点按逆时针方向转动角后到达点，然后继续绕原点按逆时针方向转动角到达点；若的横坐标是，则的坐标是______． 5．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，点是角终边上一点，则___________． 6．在平面直角坐标系中，已知点，若点绕原点逆时针旋转到点，则点的横坐标为______． 7．在平面直角坐标系xOy中，将向量绕点逆时针旋转得到，若，则点A的横坐标为______． 8．函数（其中）的部分图象如图所示，则__________. 9．给出如下命题： ①若点为角终边上一点，则； ②若，则一定是第一象限角或第四象限角 ③，的值都大于 ④终边不同的角的同名三角函数的值不相等． 其中正确命题的序号是__________． 10．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征．现有一把折扇，其结构如图.完全展开后扇环的圆心角为，上板长为12cm，若把该扇环围成一个圆台，则圆台的高为（   ） A．6cm B． C．8cm D． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 任意角和弧度制、三角函数的概念 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 三角函数基本概念 知识点2 同角三角函数基本关系 题型破译 题型1 终边相同的角 【方法技巧】终边相同的角 题型2 象限角及其判定 【方法技巧】象限角及其判定 题型3 弧度制 【方法技巧】弧度制 题型4 扇形的弧长与面积的计算 【方法技巧】扇形的弧长与面积的计算 题型5 扇形中的最值问题 【方法技巧】扇形中的最值问题 题型6 任意角的三角函数的定义及应用 【方法技巧】任意角的三角函数的定义及应用 题型7 三角函数值符号的判定 【方法技巧】三角函数值符号的判定 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 任意角的概念与弧度制换算 天津卷 T2（5 分） 天津卷 T12（5 分） 三角函数的定义（单位圆/终边定义法） 天津卷 T7（5 分） 天津卷 T5（5 分） 三角函数值的符号判断与同角三角函数基本关系 天津卷 T7（5 分） 天津卷 T6（5 分） 考情分析 任意角和弧度制、三角函数的概念是天津高考数学必考基础考点，是三角函数模块的入门核心，以选择、填空题为主，单题分值5分，整体难度低，属于基础送分题。高频考查方向为：①任意角的概念、弧度制与角度制的换算、终边相同的角的表示；②三角函数的两种定义（终边定义、单位圆定义），能根据终边上的点求三角函数值；③三角函数值的符号规律、同角三角函数基本关系（平方关系、商数关系）的求值与化简。本模块是后续三角恒等变换、三角函数图像与性质、解三角形等内容的必备基础，极少单独考查大题，多作为基础考点融入三角函数综合题中。 复习目标 1. 理解任意角的概念，掌握弧度制与角度制的换算规则，能正确判断象限角、表示终边相同的角； 2. 掌握三角函数的终边定义与单位圆定义，能根据终边上的点求解三角函数值，理解三角函数线的几何意义； 3. 掌握三角函数值的符号规律，熟练运用同角三角函数基本关系进行三角函数的求值、化简与恒等式证明，筑牢三角函数模块的学习基础。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 三角函数基本概念 1．角的概念 (1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形； ②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角． (2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是． (3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． (4)象限角的集合表示方法： 象限角 角的集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 2．弧度制 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． (2)角度制和弧度制的互化：,,． (3)扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：． 3．任意角的三角函数 (1)定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，． (2)推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，， 三角函数的性质如下表： 三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 ＋ ＋ － － ＋ － － ＋ ＋ － ＋ － 记忆口诀:三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦． 4．三角函数线 如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T． 三角函数线 有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线 必记结论 三角函数以任意角、弧度制为基础，先区分象限角、终边相同角，巧用终边坐标定义正弦、余弦、正切。熟记各象限符号、特殊角函数值是解题根基。同角平方、商数、诱导公式是化简核心，诱导口诀 “奇变偶不变，符号看象限” 快速转换角度。单位圆是数形结合关键，可直观判断函数正负、比较大小、求解不等式。解题技巧：遇角度先统一弧度，出现多角先找终边关系，化简优先用同角公式消元，求范围借助单位圆画终边限定区间，灵活转化角的形式简化运算。 自主检测已知一个圆锥的底面半径为，且它的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的表面积是________． 【答案】 【分析】先根据弧长公式求出圆锥的母线为，再根据圆锥的表面积的公式求解即可． 【详解】设圆锥的母线为， 又该圆锥的底面半径为，且它的侧面展开图是一个圆心角为的扇形， 则，即，解得， 所以这个圆锥的表面积． 知识点2 同角三角函数基本关系 (1)平方关系：． (2)商数关系：； 必记结论 核心为平方关系与商数关系，化简求值优先运用。易错点：开方忽略角所在象限符号，直接舍去负解；忽视 tan 定义域限制。解题技巧：知一求二先定象限判正负，遇齐次式化切消元；看到平方项配凑 1 代换，快速降幂化简，做题先标注角的范围再开方，避免符号出错。 自主检测已知的内角，，所对的边分别为，，，且，，，则________，的外接圆半径________． 【答案】 【详解】因为，，， 由余弦定理得，解得， 且，则， 由正弦定理得，解得. 题●型●破●译 题型1 终边相同的角 例1-1（2026·天津西青·二模）“角与终边相同”是“角是第三象限角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】若角与终边相同，则，. 当为偶数（设）时，，此时是第一象限角； 当为奇数（设）时，，此时是第三象限角. 充分性不成立. 若角是第三象限角，则， ， 此时角的终边落在第一、第二象限或与终边相同，不一定与终边相同； 必要性不成立. 综上，“角与终边相同”是“角是第三象限角”的既不充分也不必要条件. 例1-2（2026·天津南开·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．若角与角不相等，则与的终边不可能重合 B．角的大小是一个与半径大小无关的值 C．终边落在直线上的角的集合是 D．若角是锐角，则一定是钝角 【答案】B 【分析】由任意角的定义，终边相同角，象限角的定义， 【详解】A，若角与角不相等，例如，，二者不相等但终边重合，故错误， B，角的大小是一个与半径大小无关的值，角的大小与角两边的张开程度有关，故正确， C，终边落在直线上的角，在第一象限的角为，在第三象限的角为，合并后，故错误. D，，则是锐角，不一定是钝角，故错误. 故选：B. 方法技巧 终边相同的角 （1）终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决． （2）注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角． 【变式训练1-1】（2026·天津和平·开学考试）终边在轴的非负半轴上的角的集合是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据终边相同的角的集合，即可解题. 【详解】终边在轴的非负半轴上的角的集合为. 故选：D 【变式训练1-2】下列说法正确的是_______． ①三角形的内角是第一象限角； ②与终边相同的角的集合为； ③终边在直线上的角的集合为； ④若是第三象限角，则是第二象限角． 【答案】②③ 【分析】①根据三角形内角的取值范围为可知其错误；②因为，所以②正确；③直线与轴的夹角是，根据终边相同的角的定义可知③正确；④由是第三象限角可得其范围，再由此推出的范围，从而判断④错误. 【详解】因为三角形的内角的取值范围是， 所以三角形的内角是第一象限角或第二象限角或终边在轴正半轴上的角，①错误； 因为，所以与终边相同的角的集合为 ，②正确； 直线与轴的夹角是，所以终边在直线上的角的集合为 ，③正确； 因为是第三象限角，所以， 所以，故是第二象限角或第四象限角，④错误． 故答案为：②③. 【变式训练1-3】（2026·天津河东·阶段检测）下列说法正确的是（ ） A．两个角的终边相同，则它们的大小相等 B．若角为第二象限角，则是第四象限角 C．第一象限角都是锐角 D．终边在直线上的角的集合是 【答案】D 【分析】通过举反例即可判断选项A，C；根据角与角终边的对称性即可判断选项B；写出终边在直线上的角的集合即可判断选项D. 【详解】角与角的终边相同，但它们的大小不相等，故选项A不正确； 因为角与角的终边关于轴对称，所以当角为第二象限角时，角是第三象限角，故选项B不正确； 第一象限角不都是锐角，比如角为第一象限角，但它不是锐角，故选项C不正确； 若终边在直线上的角在第二象限，则集合是； 若终边在直线上的角在第四象限，则集合是， 综上，终边在直线上的角的集合是 ，故选项D正确. 故选：D. 题型2 象限角及其判定 例2-1“为第一象限角”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分又不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】C 【分析】由可得，再由充分条件和必要条件的定义求解即可 【详解】因为为第一象限角，所以， ，所以， 而，则， 则， 为第一、三象限角， 所以推不出为第一象限角， 所以“为第一象限角”是“”的充分不必要条件. 故选：C. 例2-2（2026·天津和平·阶段检测）下列命题中正确的个数是（    ） ①是第三象限角 ②若，则为第一象限角 ③命题p：的否定是 ④若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】对①，利用终边相同角的定义判断；对②，根据象限角的三角函数值符号判断；对③，根据全称命题的否定是特称命题判断；对④，利用扇形的弧长和面积公式计算判断. 【详解】对于①，因为，所以与终边相同，终边在第三象限， 所以是第三象限角，故①正确； 对于②，若，则是第一或第三象限角，故②错误； 对于③，命题的否定为，故③正确； 对于④，设扇形的半径为，则，所以，则扇形的面积为，故④正确. 综上，命题正确的有①③④. 故选：D. 方法技巧 象限角及其判定 先从的范围出发，利用不等式性质，具体有：（1）双向等差数列法；（2）的象限分布图示 【变式训练2-1】（2026·广东中山·阶段检测）快到2026年元旦假期了，是（    ）角 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】利用终边相同角的集合来分析即可判断. 【详解】因为，而是第三象限角， 所以是第三象限角， 故选：C. 【变式训练2-2】点在平面直角坐标系中位于 （    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据5弧度和4弧度与π之间的大小关系确定角的终边所在的象限，再通过角的三角函数值的符号判断点的坐标的符号，得出点对应的象限. 【详解】 (第四象限)，(第三象限). 第四象限中： 第三象限中： 点在平面直角坐标系中位于第三象限 故选：C. 【变式训练2-3·变考法】（2026·天津南开·阶段检测）下列命题： ①第四象限的角可表示为； ②第二象限角大于第一象限角； ③将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角为； ④若是第二象限角，则的终边在第一象限． 其中真命题的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据象限角的定义可判断①，举反例可判断②④，根据任意角的定义可判断③. 【详解】对于①，第四象限的角可表示为，故①错误， 对于②，大小为的角在第二象限，大小为的角在第一象限，但，故②错误， 对于③，将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角为，故③正确， 对于④，大小为的角在第二象限，但的终边在第三象限；故④错误， 所以真命题的个数为1， 故选：B. 题型3 弧度制 例3-1是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【分析】根据象限角结合弧度制分析判断. 【详解】因为， 且， 所以是第三象限角，即是第三象限角． 故选：C. 例3-2（2025·天津河西·阶段检测）给出下列命题： (1)第二象限角大于第一象限角： (2)不论是用角度制还是用弧度制度量一个角的大小，它们与扇形半径的大小无关 (3)将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数为 (4)若，则θ是第二或第三象限角. 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据题意，对题目中的命题进行分析，判断正误即可. 【详解】对于(1)，由是第二象限角，是第一象限角，故第二象限角大于第一象限角不正确，(1)错误； 对于(2)，根据角的定义知，不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关，(2)正确； 对于(3)，将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数为，(3)错误； 对于(4)，若，则是第二或第三象限的角，或终边在负半轴上，(4)错误； 综上，其中正确命题只有个，即(2)，. 故选：A. 例3-3（2026·天津北辰·阶段检测）下列结论中错误的是（   ） A．终边经过点的角的集合是； B．扇形的圆心角为弧度，周长为，则它的面积为； C．将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度数是； D．若是第三象限角，则是第二象限角． 【答案】D 【分析】根据弧度制的定义、任意角的概念及扇形弧长与面积的公式可判断各选项. 【详解】A选项：终边经过点的角的集合是，A选项正确； B选项：设扇形的半径为，弧长为，由圆心角为弧度，则， 所以周长为，解得，， 所以面积，B选项正确； C选项：将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度数是，C选项正确； D选项：当是第三象限角时，，， 则，，即是第二或第四象限角，D选项错误； 故选：D. 方法技巧 弧度制 1牢记核心换算 π=180°，统一单位，不可角度、弧度混用。熟练运用弧、扇形面积，计算前确保圆心角为弧度。判断象限角时，对负角、大于 2π 的角加减 2π 化简。天津考题常结合扇形最值、三角函数定义域考查，导数、图像类题型自变量默认弧度。易错点：忽略角的正负、公式漏绝对值、单位混用失分，做题先统一弧度再列式，化简角后再分析函数取值与范围。 【变式训练3-1】《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间（如图）．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为，肩宽约为，“弓”所在圆的半径约为，则掷铁饼者双手之间的距离约为（参考数据：，）（    ） A．1.012m B．1.768m C．2.043m D．2.945m 【答案】B 【分析】由题意分析得到这段弓形所在的弧长，结合弧长公式求出其所对的圆心角，双手之间的距离，求得其弦长，即可求解. 【详解】如图所示，由题意知“弓”所在的弧 的长，其所对圆心角， 则两手之间的距离． 故选：B． 【变式训练3-2】下题中，正确的命题个数为（    ） ①函数的定义域为； ② 已知命题，则命题的否定为:； ③已知是定义在[0，1]的函数，那么“函数在[0，1]上单调递减”是“函数在[0，1]上的最小值为f(1)”的必要不充分条件； ④被称为“天津之眼”的天津永乐桥摩天轮，是一座跨河建造、 桥轮合一的摩天轮,假设“天津之眼”逆时针旋转一周需30分钟，且是匀速转动的，则经过5分钟，转过的角的弧度 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】对于①，求出函数的定义域即可判断； 对于②，根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可判断； 对于③，根据充分条件和必要条件的定义，举出反例即可判断； 对于④，计算出经过5分钟，转过的角的弧度即可判断. 【详解】解：对于①，由， 得，解得且， 所以函数的定义域为，故①正确； 对于②，命题，的否定为:，故②错误； 对于③，若函数在[0，1]上单调递减，则函数在[0，1]上的最小值为f(1)， 若函数在[0，1]上的最小值为f(1)，无法得出函数在[0，1]上单调递减， 例如， 函数在[0，1]上不单调，且函数在[0，1]上的最小值为f(1)， 所以“函数在[0，1]上单调递减”是“函数在[0，1]上的最小值为f(1)”的充分不必要条件，故③错误； 对于④，根据题意经过5分钟，转过的角的弧度为，故④正确， 所以正确的个数为2个. 故选：B. 题型4 扇形的弧长与面积的计算 例4-1如图，已知圆M和圆N的半径均为1，且两圆相切．Q为圆M上一点，满足，则两阴影扇形弧长之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定两圆圆心距，结合垂直条件推导两个扇形的圆心角的大小，再代入公式计算弧长. 【详解】∵ 圆和圆的半径均为，且两圆相切， ∴ 圆心距. ∵ 为圆上一点， ∴ . ∵ ， ∴ ，即为直角三角形. 在中，，， ∴ ， ∴ ， ∴ . ∵ 扇形弧长公式为（为圆心角弧度数，为扇形半径），两阴影扇形半径均为1， ∴ 两阴影扇形弧长之和为. 例4-2已知圆锥的母线长为，侧面展开所成扇形的圆心角为，则此圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长列方程求出，进而求出高，利用圆锥体积公式即可求解. 【详解】设圆锥底面圆的半径为， 因为圆锥的母线长为，侧面展开所成扇形的圆心角为， 所以，解得， 所以圆锥的高为， 所以此圆锥的体积为. 方法技巧 扇形的弧长与面积的计算 （1）熟记弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S扇形＝lr＝|α|r2（弧度制） （2）掌握简单三角形，特别是直角三角形的解法 【变式训练4-1】如图，平面图形是扇形截去扇形所得到的，设圆弧的长度是，圆弧的长度是，平面图形的面积是，扇形的面积是，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设扇形的面积为，则，设，，，可得出，可求出的值，再利用扇形的弧长公式可求得的值. 【详解】设扇形的面积为，则， 设，，， 因为，故，所以， 故， 故选：D. 【变式训练4-2】小李同学在学习了《任意角和弧度制》后，临摹了一件扇形瓷器盘（图1）的大致形状，如图2所示，已知在扇形中，，，则下列结论中错误的是（    ） A． B．弧长 C．扇形的周长为 D．扇形的面积为 【答案】D 【分析】根据弧度制与角度制的互化判断A；根据弧长公式判断B：根据扇形的周长和面积公式判断C和D. 【详解】对于A：，A正确； 对于B：，B正确； 对于C：扇形的周长为，C正确； 对于D：扇形的面积为，D错误； 故选：D 【变式训练4-3】（2026·天津河东·二模）折扇与书画结合，使其成为书画艺术的特殊载体，具有文化和历史价值．如图是一幅书法折扇的一部分，则该扇面对应扇形圆心角的弧度数为（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】设与的延长线交于圆心，根据弧长公式结合题意列方程组求出. 【详解】 如图，与的延长线交于圆心，设圆心角，扇形半径， 则，解得， 故选：A. 题型5 扇形中的最值问题 例5-1已知扇形的周长为10，当扇形面积取得最大值时，圆心角的大小是__________. 【答案】弧度 【分析】设扇形的半径为，则弧长为，结合面积公式计算面积取得最大值时的取值，再用圆心角公式即可得弧度数. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，圆心角的弧度数为，则，即， 所以扇形面积， 所以当时，取得最大值为，此时， 所以圆心角为（弧度）. 故答案为：弧度 例5-2（2026·天津南开·开学考试）已知某扇形的周长为8，则当此扇形的面积最大时，半径为（   ） A．2 B．4 C．0.5 D．0.25 【答案】A 【分析】设扇形所在圆的半径为，弧长为，得到，结合扇形的面积公式和二次函数的性质，即可求解. 【详解】设扇形所在圆的半径为，弧长为，可得， 所以扇形的面积为， 于是，当时，扇形的面积最大. 故选：A 方法技巧 扇形中的最值问题 扇形最值核心依靠弧长、面积公式转化单变量函数求解。已知周长定值时，设半径为 r，用周长表示圆心角，代入面积公式得到二次函数，求出半径取何值面积最大；已知面积定值则反向求周长最小值。解题统一用弧度计算，避免角度换算失误。借助二次函数最值或均值不等式快速求值，注意半径、圆心角取值范围，检验边界，防止出现无意义解，答题先写出变量约束条件再求最值。 【变式训练5-1】周长为20的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是________． 【答案】 【分析】设扇形的半径为，圆心角为，依题意可得，再由扇形的面积公式及基本不等式计算可得. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为， 依题意可得，则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 即扇形圆心角为时扇形的面积取得最大值. 故答案为：. 【变式训练5-2】已知一个扇形的周长为16，当扇形的面积取得最大值时，它的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设扇形的圆心角为，所在圆的半径为，弧长为，根据题意，得到，利用扇形的面积公式和基本不等式，即可求解. 【详解】设扇形的圆心角为，所在圆的半径为，弧长为， 因为扇形的周长为，可得，即， 则扇形的面积为， 当且仅当时，即时，等号成立，此时， 所以. 【变式训练5-3】已知一扇形的周长为8，当该扇形的面积最大时，其圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设扇形的圆心角为，半径为，则扇形的周长为， 所以，所以扇形的面积为， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以， 所以当时，扇形的面积取得最大值. 题型6 任意角的三角函数的定义及应用 例6-1已知角的终边经过点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据任意角三角函数的定义以及诱导公式计算即可. 【详解】. 例6-2一直角三角形三边长成等比数列，则（   ） A．三边边长之比为 B．三边边长之比为 C．较小锐角的正弦值为 D．较大锐角的正弦值为 【答案】C 【分析】设直角三角形三边并设斜边为最长边，结合等比中项与勾股定理构造方程，换元得到关于较小锐角正弦的一元二次方程，取正根求出正弦值，再依次验证排除其余错误选项． 【详解】设直角三角形三边长为（为斜边，）， 由三边成等比数列，则，由勾股定理，得， 把代入，得， 两边除以，令（即较小锐角的正弦值）： ， 解得 由于边长比值为正，故， 即较小锐角的正弦值为， 对于A，不是等比数列，A错误； 对于B，不满足勾股定理，B错误； 对于C，较小锐角的正弦值为，C正确； 对于D，较大锐角的正弦值为，D错误． 方法技巧 任意角的三角函数的定义及应用 任意角三角函数依托终边上点坐标定义，判断符号看象限：一全正、二正弦、三正切、四余弦。已知角终边点可直接代入求值；给函数值求角范围结合符号划分象限。化简、求值统一用坐标定义推导，规避记忆混淆，留意(x=0)时正切无意义，解题优先确定角所在象限再运算。 【变式训练6-1】已知角α的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，若角α的终边绕着原点按顺时针方向旋转后经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设角的终边顺时针旋转后得到的角为，则，即， 由点在的终边上，可得， 根据三角函数的定义： ，， 所以 . 【变式训练6-2】已知角的始边为x轴的非负半轴，终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】终边过，故，． ． 【变式训练6-3】将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若是偶函数，则（   ） A． B． C．-1 D．1 【答案】B 【分析】三角函数图像平移遵循“左加右减”，偶函数的核心条件是相位为，由此锁定，再代入计算即可. 【详解】由题，， 因为为偶函数，所以，即， 则 题型7 三角函数值符号的判定 例7-1若为第二象限角，则下列各式的值为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用诱导公式及象限角三角函数值正负判断各个选项. 【详解】若为第二象限角， ，A选项不符合题意； ，B选项不符合题意； ，C选项不符合题意； ，D选项符合题意； 例7-2已知是定义在上的偶函数，且，有.设 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用给定单调性和奇偶性确定在上单调递增，再得到，最后比较函数值即可. 【详解】由，可知在上单调递减， 又是偶函数，图像关于轴对称，因此在上单调递增， 由题意得，，， 而，而，可得， 由偶函数性质得，可得， 而在单调递增，得到，即. 方法技巧 三角函数值符号的判定 判定三角函数符号核心记口诀 “一全正，二正弦，三正切，四余弦”。先判断角终边所处象限，终边 x、y 坐标正负直接决定函数正负：sin 看纵坐标 y，cos 看横坐标 x，tan 看 x、y 比值。遇大于 360° 或负角，先加减周期化简为 0 到 2π 内的角再判断。坐标轴上角函数值为 0 或不存在，做题先化简角，区分正切定义域限制，避免象限判断失误导致符号写错。 【变式训练7-1】已知为第二象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 为第二象限角，， 可知，将等式两边同时除以： ， ，. 由同角三角函数基本关系可得， ，. 将代入得： ， C正确. 【变式训练7-2】设是第三象限角，且，则是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【分析】由是第三象限角推断是第二或第四象限角，结合即可判断所在象限. 【详解】因是第三象限角，则， 所以， 当时，，即是第二象限角； 当时，，即是第四象限角. 又由可知， 所以是第二象限角. 【变式训练7-3】在平面直角坐标系中角的顶点在原点，始边与轴正半轴重合，则“角终边在第二象限”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若角终边在第二象限，不妨令，此时，，， 取特殊值，则，，，此时， 所以“角终边在第二象限”不能推出“”； 若， 若终边在轴上，； 若终边在轴上，无意义； 所以为象限角，不妨设， 若，则，因，故，得，与条件矛盾，排除； 若，则， 取，则，所以. 所以可能成立； 若，则，，所以不可能成立，排除； 若，则，，所以不可能成立，排除； 因此，由三角函数的周期性得，仅第二象限角中存在，满足. 所以“”“角终边在第二象限”. 所以“角终边在第二象限”是“”的必要不充分条件. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】通过判断是否能相互推出，由充分条件与必要条件的定义可得. 【详解】由，则“”是“”的充分条件； 又当时，，可知， 故“”不是“”的必要条件， 综上可知，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（2026·天津·高考真题）在中，，，，则__________． 【答案】/ 【详解】在中，，所以， 由正弦定理可得. 3．（2005·天津·高考真题）设函数． (1)证明，其中k为整数； (2)设为的一个极值点，证明； (3)设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，证明． 【答案】(1)证明如下： 因为函数， 所以 . (2)证明如下： 因为函数， 所以， 令，则，对满足方程的有， 所以， 由函数与函数的图象可知此方程一定有解，    故的一个极值点满足， 所以. (3)证明如下： 设是的任意正实根，则， 则存在一个非负整数，使，即为第二或第四象限角， 因为， 所以在第二或第四象限变化时，变化如下， (为奇数) 0 + (为偶数) + 0 所以满足的正根都为函数的极值点， 由题可知为方程的全部正实根且满足， 所以， 因为，， 则， 由，可得， 所以. 4．（2008·天津·高考真题）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用同角公式及和角的正弦公式计算得解. （2）由（1）的结论，利用二倍角公式及和角的正弦公式求解. 【详解】（1）由，得，则， ． （2）由及（1），得， 因此，， 所以. 5．（2006·天津·高考真题）已知，求和的值． 【答案】； 【分析】由商数关系、二倍角的正弦公式可化简得，可得，结合角的范围和平方关系可得，再由正弦和差公式可求 【详解】，则， 又，∴. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．已知，且是第三象限角，你能求出，的三角函数值吗？你能求出与有关的其他角的三角函数值吗？ 【答案】答案见解析 【分析】由同角三角函数的关系、二倍角公式结合角所在的象限即可得解. 【详解】因为，且是第三象限角， 所以， 所以， ， 又， 因为是第三象限角，即， 所以， 当为偶数时，为第二象限角， 此时； 当为奇数时，为第四象限角， 此时. 2．已知一扇形的圆心角为α，所在圆的半径为R，该扇形的周长为4R，则该扇形中所含弓形的面积是多少？（注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形．） 【答案】 【分析】根据扇形周长可得扇形的弧长，进而可得扇形的圆心角弧度，从而求得弓形面积. 【详解】由题意，扇形的弧长，故， 则扇形的面积，所以扇形中除弓形外所含的三角形的高为，底为，该三角形面积为， 故扇形中所含弓形面积为 3．在半径为R的圆中，的圆心角所对的弧长为______，面积为的扇形的圆心角等于______弧度． 【答案】 【分析】根据弧长和扇形的面积公式进行求解即可. 【详解】， 所以在半径为R的圆中，的圆心角所对的弧长为， 设在半径为R的圆中，面积为的扇形的圆心角为， 所以有， 故答案为：； 4．在单位圆中，． (1)画出角α； (2)求角α的终边与单位圆的交点坐标． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）在单位圆中作出即可； （2）根据三角函数的定义，即可得出答案. 【详解】（1）        如图，即为所求. （2）设，则， 根据三角函数的定义可知，，. 所以，. 5．求值：（－）·（－）. 【答案】当为一三象限角时，原式；当为二四象限角时，原式. 【详解】解：原式＝· ， 当为一三象限角时，原式； 当为二四象限角时，原式. 6．化简 【答案】 【分析】应用诱导公式化简后，根据同角三角函数的关系得解. 【详解】原式． 7．已知等腰三角形一个底角的正弦值为，求这个三角形的顶角的正弦、余弦及正切的值． 【答案】三角形的顶角的正弦、余弦及正切的分别是 【分析】根据等腰三角形的性质，结合正弦、余弦、正切的二倍角公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】设等腰三角形一个底角为，顶角为，显然， 所以有， 由题意可知：，于是有， 因此， ， ， 所以这个三角形的顶角的正弦、余弦及正切的值分别是. 8．已知，，求，的值． 【答案】, 【分析】由同角三角函数关系求，再由二倍角公式求， 【详解】由，，, ; 9．求证： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用平方差公式及证明. （2）利用提取公因式及证明. （3）利用通分，因式分解等式的运算结合证明. 【详解】（1）. 故成立. （2） 故成立. （3） . 故成立. 10．解下列各题： (1)已知，且为第一象限角，求和的值． (2)已知，且为第三象限角，求和的值． (3)已知，且为第二象限角，求和的值． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）（2）利用同角三角函数的平方关系与商数关系可求得所求值； （3）利用同角三角函数的平方关系与商数关系可得出关于、的方程组，结合角的终边位置可求得结果. 【详解】（1）解：因为，且为第一象限角，则， 且，. （2）解：因为，且为第三象限角，则， 且，. （3）解：因为，且为第二象限角，则，， 由同角三角函数的基本关系可得，解得，. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：天津高考任意角和弧度制以基础铺垫为主，很少单独大题，多融入三角函数小题考查。重点考查角度与弧度互化、终边相同角的表示、象限角判定，以及弧长、扇形面积公式与周长、面积最值计算。同时结合任意角三角函数定义、符号判断出题，注重单位圆数形结合。命题侧重单位统一、角的化简，常与函数定义域、诱导公式综合，易错点集中在单位混用、圆心角不带绝对值、忽略变量取值范围，复习需夯实公式，熟练化简角再分析性质。 1．母线长相等的两个圆锥，侧面展开图的圆心角之和为，若它们的侧面积之比为，则体积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由侧面积比得半径比，由侧面展开图圆心角之和及弧长公式得母线长等于两半径之和，联立解得半径，结合勾股定理求高，代入体积公式求比. 【详解】设两个圆锥的母线长都为，底面半径分别为，侧面展开圆心角分别为，高分别为. 圆锥侧面积公式为，已知，母线相等，因此，即. 侧面展开弧长等于底面周长，得，即. 已知，代入得， 结合，解得. 圆锥的高满足，因此， 圆锥体积公式，体积比为. 因此体积比为. 2．已知圆锥的表面积为，其侧面展开图为半圆，则该圆锥的底面半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，其中， 因为圆锥侧面展开图为半圆，所以半圆的弧长等于圆锥底面周长， 即，化简可得， 圆锥的表面积， 解得，因为，所以，即该圆锥的底面半径为. 3．在下图中，优弧与劣弧有相同的圆心．并且点位于与之间，点位于与之间．优弧，劣弧以及线段和的长度均为．问到的距离是多少？（    ） A．1 B． C． D． E．2 【答案】B 【分析】设，圆心角，利用弧长公式建立关于和的方程组，消元后即可求得结果. 【详解】设，圆心角， 因为点位于与之间，点位于与之间，且， 所以，且， 由题意，劣弧的长度为，根据弧长公式可得：①， 因为为劣弧，所以， 又因为优弧的长度为，其对应的圆心角为，可得：②， 由①得：，代入②得：， 整理得：，解得， 因为，且，所以，舍去， 故，即到的距离为. 4．现有一把纸折扇，其结构如图所示.已知折扇两端的扇骨长（即大扇形半径）均为，完全展开时扇骨间的夹角为.若扇面的上弧长与下弧长之比为，将该扇面围成一个圆台，则该圆台的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用几何扇形弧长计算，结合圆台的几何特征计算即可. 【详解】设圆台的上下底面半径分别为，，由题知扇面的外径为，内径为， 所以圆台的母线长，上弧长，则， 下弧长，则， 则圆台的高. 5．圆锥的侧面展开图为一个扇形，其圆心角为，半径为3，则此圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆锥体积公式计算即可. 【详解】由题意得，扇形半径，圆心角，弧长公式， 所以. 底面周长，所以. 圆锥母线长等于扇形半径，则圆锥的高. 所以圆锥体积为. 6．等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用三角函数的诱导公式和特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】由三角函数的诱导公式，可得. 7．指针式时钟从午夜开始运行，在经过分钟后停止，问当时钟停止时，时针与分针所成锐角的正切值是多少？（    ） A．0 B． C． D． E． 【答案】B 【详解】时钟一圈为，圈零分钟， ，也就是经过2圈后，剩余时分，故钟表停止在， 规定以点钟方向为基准，顺时针为角度正方向， 分针转速每分钟：， 时针转速：每小时走，每分钟额外走， ， 角度差值为：， 该角本身就是锐角，所求角， ． 8．在中，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】在中，，，所以或， 所以或， 在中，等价于， 所以在中，“”是“”的必要不充分条件. 9．已知等差数列的前项和为，且，若，则可能的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先利用等差数列前n项和公式结合推导公差与首项的关系，再由余弦函数值得到的表达式，结合选项确定的值. 【详解】设等差数列的公差为，. 因为，，所以，整理得. 所以. 已知，因此，即. 则. 结合选项，取，得. 10．设，角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵ 角的终边经过点，且，根据任意角的正切函数定义 由二倍角公式，代入得 又，因此有 化简得，结合同角三角函数平方关系，代入得： ，整理为， 解一元二次方程得. ∵ ，故，且， 舍去负根（小于，不符合余弦值域），因此. 重难·创新演练 设题创新:高考该板块创新点体现在三方面：一是以充分必要条件、多结论判断替代直白计算，深挖定义本质；二是融合扇形最值、直线坐标与单位圆数形结合，打破单一考点局限；三是融入简单实际情境，规避机械套公式，侧重角的化简、符号判定等底层逻辑，考查概念迁移与严谨推理能力。 1．阅读下列命题： ①若点为角终边上一点，则； ②同时满足的角有且只有一个； ③设且，则； ④设（为象限角），则在第一象限． 其中正确命题为______．（将正确命题的序号填在横线上） 【答案】③ 【详解】命题①，点，，半径，则 ，当时，； 当时，，结果不唯一，故①错误； 命题②，满足的角为， 有无穷多个角，故②错误； 命题③，已知，且，即落在第三象限，， 由，可得，代入得， 位于第三象限取负值，则，故③正确； 命题④，，而，故，恒成立； 原式，等价于， 需满足，即， 则在一、四象限，故④错误． 2．已知是第二象限的角，化简_________ 【答案】 【详解】因为是第二象限的角，则，，可得，， 可得， ， 所以原式. 3．已知角的终边经过点，且，为第二象限角，则的值为_________． 【答案】 【分析】先根据θ的象限和的值求，得到点P的坐标，再利用任意角三角函数的定义计算. 【详解】已知θ为第二象限角，，得： 故，，故 则原点到点P的距离， 故. 4．设点是平面直角坐标系内的一个动点，它从初始位置出发，绕原点按逆时针方向转动角后到达点，然后继续绕原点按逆时针方向转动角到达点；若的横坐标是，则的坐标是______． 【答案】 【分析】设是角终边上一点，且，则.根据旋转的特点，可用表示出的横坐标，结合同角三角函数关系式及两角差的正、余弦公式求得，进而求得的坐标． 【详解】设是角终边上一点，且， 因为点到原点的距离：，所以. 由题意知点，的横坐标为， 所以 ，即. 由，得， 所以. 所以 ， ， 所以点的坐标为，即. 5．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，点是角终边上一点，则___________． 【答案】 【详解】 由题意知，． 6．在平面直角坐标系中，已知点，若点绕原点逆时针旋转到点，则点的横坐标为______． 【答案】 【分析】先由点坐标得到对应角的正余弦值，再结合旋转后角的余弦即为点横坐标，利用三角恒等变换公式计算即可. 【详解】设以轴正半轴为始边，射线为终边的角为. ∵ 点，∴ 由三角函数的定义得，. ∵ 点绕原点逆时针旋转得到点，∴ 点对应的终边角为， ∴ 点的横坐标为.又， ∵ ，， ∴ 代入得：. 7．在平面直角坐标系xOy中，将向量绕点逆时针旋转得到，若，则点A的横坐标为______． 【答案】 【详解】∵ 向量绕点逆时针旋转得到，∴ . ∵ ，∴ ，即. 设以轴非负半轴为始边，为终边的角为，则，. 由旋转关系可知，以轴非负半轴为始边，为终边的角为. ∴ 点的横坐标. 代入数值计算： ∴ . 8．函数（其中）的部分图象如图所示，则__________. 【答案】 【详解】由图易得，该函数的最小正周期满足，则， 由，则， 将代入，可得， 即，因，则，解得， 所以，故. 9．给出如下命题： ①若点为角终边上一点，则； ②若，则一定是第一象限角或第四象限角 ③，的值都大于 ④终边不同的角的同名三角函数的值不相等． 其中正确命题的序号是__________． 【答案】③ 【分析】根据三角函数的定义，可判定①不正确；根据，可判定②错误；根据诱导公式和三角函数的符号，可判定③正确；根据特殊角的三角函数的值，可判定④错误. 【详解】对于①，若点为角终边上一点， 可得， 当时，可得，则 当时，可得，则，所以①错误； 对于②，当时，，此时角终边在轴的非负半轴上，不属于第一象限角或第四象限角，所以②错误； 对于③，由， 因为，所以，所以，所以③正确； 对于④，例如，，其中与的终边不同，但正弦值相等，所以④错误． 10．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征．现有一把折扇，其结构如图.完全展开后扇环的圆心角为，上板长为12cm，若把该扇环围成一个圆台，则圆台的高为（   ） A．6cm B． C．8cm D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得圆台的母线长，设出圆台底面半径，结合勾股定理，即可求得结果. 【详解】设扇环围成的圆台，上底面圆半径，下底面圆半径，分别为，扇环内弧半径为，外弧半径为， 由题可知：，也即圆台的母线长为； 则，解得，，解得，则； 设圆台的高为cm，则. 故选：D. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $