第3节 三角恒等变换 第一课时 两角和与差的正弦、余弦和正切（ 讲义）-2027年高考数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦三角恒等变换核心考点，涵盖两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导及应用，辅助角公式，公式逆用与角的变换，按“基础公式—变形应用—题型突破”逻辑架构知识。通过考点梳理（公式填空、常用变形）、方法指导（公式结构分析、逆用技巧）、真题训练（全国卷及模拟例题），帮助学生系统突破难点。 资料以“数学思维”和“数学语言”为导向，设计分层练习（判断、选择、解答题）与真题情境（如2024全国Ⅰ题），在角的变换题型中引导学生分析已知角与所求角关系，培养推理能力。辅助角公式教学通过函数化简实例，提升数学表达能力，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供精准指导。

第3节 三角恒等变换 第一课时 　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 考试要求　1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用. 1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (1)公式C(α-β)：cos(α-β)=____________________.  (2)公式C(α+β)：cos(α+β)=____________________.  (3)公式S(α-β)：sin(α-β)=____________________.  (4)公式S(α+β)：sin(α+β)=____________________.  (5)公式T(α-β)：tan(α-β)=. (6)公式T(α+β)：tan(α+β)=. 2.辅助角公式 asin α+bcos α=_________，其中sin φ=，cos φ=. 两角和与差的公式的常用变形： (1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β； (2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β； (3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)， tan αtan β＝1－＝－1. 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.(　　) (2)存在实数α，β，使等式sin(α+β)=sin α+sin β成立.(　　) (3)公式tan(α+β)=对任意角α，β都成立.(　　) (4)公式asin x+bcos x=sin(x+φ)中φ的取值与a，b的值无关.(　　) 2.sin 40°cos 20°+cos 40°cos 70°等于(　　) A. B. C. D.1 3.若2cos α-sin α=0，则tan等于(　　) A.- B. C.-3 D.3 4.若tan α=，tan(α+β)=，则tan β=　　　　.  题型一　两角和与差的三角函数公式 例1　(1)(2026·深圳模拟)已知2cos=cos，则tan的值为(　　) A. B. C.2 D. 课堂笔记： (2)(2024·全国Ⅰ)已知cos(α+β)=m，tan αtan β=2，则cos(α-β)等于(　　) A.-3m B.- C. D.3m 课堂笔记： 感悟提升　(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征. (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值. 跟踪训练1　(2026·梅州模拟)已知α∈(0，π)，β∈(0，π)，sin(α+β)=2cos(α-β)，tan α+tan β=，则α+β等于(　　) A. B.或 C. D.或 题型二　两角和与差的三角函数公式的逆用与辅助角公式 例2　(1)(2026·安康模拟)计算：tan 20°+tan 40°+tan 20°tan 40°等于(　　) A. B.1 C. D. 课堂笔记： (2)已知函数f(x)=3sin x+4cos x.若当x=θ时，f(x)取得最大值，则cos等于(　　) A. B.- C. D.- 课堂笔记： 感悟提升　(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式. (2)tan αtan β，tan α+tan β(或tan α-tan β)，tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用. (3)对asin x+bcos x化简时，要清楚如何求辅助角φ的值. 跟踪训练2　(1)已知cos α+sin α=，则sin等于(　　) A. B. C.- D.- (2)函数f(x)=sin x-acos x的最大值为，则a=　　　.  题型三　角的变换问题 例3　(1)已知α，β为第二象限角，cos=-，sin=，则sin(α+β)的值为(　　) A. B.- C. D.- 课堂笔记： (2)(2026·徐州模拟)已知角α，β满足cos β=，cos αcos(α+β)=，则cos(2α+β)等于(　　) A. B. C. D. 课堂笔记： 感悟提升　(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式. (2)当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或者应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. (3)常见的角的变换：2α=(α+β)+(α-β)，α=+，+α=-，α=(α+β)-β=(α-β)+β，+=等. 跟踪训练3　(1)(2026·沧州模拟)已知0<α<π，-<β<，且tan α=2，cos(α+β)=-，则tan β等于(　　) A. B.- C. D.- (2)(2026·兰州模拟)若α∈，sin=，则cos α=　　　　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 第3节 三角恒等变换 第一课时 　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 考试要求　1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用. 1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (1)公式C(α-β)：cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.  (2)公式C(α+β)：cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.  (3)公式S(α-β)：sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.  (4)公式S(α+β)：sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.  (5)公式T(α-β)：tan(α-β)=. (6)公式T(α+β)：tan(α+β)=. 2.辅助角公式 asin α+bcos α=sin(α+φ)，其中sin φ=，cos φ=. 两角和与差的公式的常用变形： (1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β； (2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β； (3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)， tan αtan β＝1－＝－1. 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.(　√　) (2)存在实数α，β，使等式sin(α+β)=sin α+sin β成立.(　√　) (3)公式tan(α+β)=对任意角α，β都成立.(　×　) (4)公式asin x+bcos x=sin(x+φ)中φ的取值与a，b的值无关.(　×　) 2.sin 40°cos 20°+cos 40°cos 70°等于(　　) A. B. C. D.1 答案　C 解析　sin 40°cos 20°+cos 40°cos 70°=sin 40°cos 20°+cos 40°sin 20°=sin(40°+20°)=. 3.若2cos α-sin α=0，则tan等于(　　) A.- B. C.-3 D.3 答案　B 解析　因为2cos α-sin α=0， 则sin α=2cos α，故tan α=2， 因此，tan===. 4.若tan α=，tan(α+β)=，则tan β=　　　　.  答案　 解析　tan β=tan[(α+β)-α] ===. 题型一　两角和与差的三角函数公式 例1　(1)(2026·深圳模拟)已知2cos=cos，则tan的值为(　　) A. B. C.2 D. 答案　C 解析　由2cos=cos，可得2coscos θ-2sinsin θ=coscos θ+sinsin θ， 所以coscos θ=3sinsin θ，所以cos θ=3sin θ，所以tan θ=， 所以tan===2. (2)(2024·全国Ⅰ)已知cos(α+β)=m，tan αtan β=2，则cos(α-β)等于(　　) A.-3m B.- C. D.3m 答案　A 解析　由cos(α+β)=m 得cos αcos β-sin αsin β=m. ① 由tan αtan β=2得=2， ② 由①②得 所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-3m. 感悟提升　(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征. (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值. 跟踪训练1　(2026·梅州模拟)已知α∈(0，π)，β∈(0，π)，sin(α+β)=2cos(α-β)，tan α+tan β=，则α+β等于(　　) A. B.或 C. D.或 答案　C 解析　由sin(α+β)=2cos(α-β)，得sin αcos β+cos αsin β=2(cos αcos β+sin αsin β)， 则tan α+tan β=2+2tan αtan β，而tan α+tan β=，解得tan αtan β=-， 因此tan(α+β)==1，由α∈(0，π)，β∈(0，π)，tan αtan β<0， 得α∈，β∈或α∈，β∈，则α+β∈， 所以α+β=. 题型二　两角和与差的三角函数公式的逆用与辅助角公式 例2　(1)(2026·安康模拟)计算：tan 20°+tan 40°+tan 20°tan 40°等于(　　) A. B.1 C. D. 答案　D 解析　因为tan 60°=tan(20°+40°)==， 所以tan 20°+tan 40°=(1-tan 20°tan 40°)， 所以tan 20°+tan 40°+tan 20°tan 40°=. (2)已知函数f(x)=3sin x+4cos x.若当x=θ时，f(x)取得最大值，则cos等于(　　) A. B.- C. D.- 答案　C 解析　f(x)=3sin x+4cos x=5sin(x+φ)， 其中sin φ=，cos φ=， ∵当x=θ时，f(x)取得最大值， ∴θ+φ=+2kπ，k∈Z，即θ=+2kπ-φ，k∈Z， ∴cos=cos =cos=coscos φ+sinsin φ =-×+×=. 感悟提升　(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式. (2)tan αtan β，tan α+tan β(或tan α-tan β)，tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用. (3)对asin x+bcos x化简时，要清楚如何求辅助角φ的值. 跟踪训练2　(1)已知cos α+sin α=，则sin等于(　　) A. B. C.- D.- 答案　B 解析　因为cos α+sin α=2=2sin=，所以sin=. (2)函数f(x)=sin x-acos x的最大值为，则a=　　　.  答案　±3 解析　f(x)=sin x-acos x=sin(x-φ)，其中sin φ=，cos φ=， 所以f(x)max=， 所以=，解得a=±3. 题型三　角的变换问题 例3　(1)已知α，β为第二象限角，cos=-，sin=，则sin(α+β)的值为(　　) A. B.- C. D.- 答案　B 解析　∵α，β为第二象限角，cos=-，sin=，∴α-是第二象限角，β+是第二象限角， ∴sin==，cos=-=-， 则sin(α+β)=sin =sincos+cossin=×+×=-. (2)(2026·徐州模拟)已知角α，β满足cos β=，cos αcos(α+β)=，则cos(2α+β)等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由cos β=cos[(α+β)-α] =cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=， 结合cos αcos(α+β)=， 可得sin(α+β)sin α=-=， 所以cos(2α+β)=cos[α+(α+β)]=cos αcos(α+β)-sin αsin(α+β)=-=. 感悟提升　(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式. (2)当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或者应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. (3)常见的角的变换：2α=(α+β)+(α-β)，α=+，+α=-，α=(α+β)-β=(α-β)+β，+=等. 跟踪训练3　(1)(2026·沧州模拟)已知0<α<π，-<β<，且tan α=2，cos(α+β)=-，则tan β等于(　　) A. B.- C. D.- 答案　A 解析　因为0<α<π，tan α=2>0，所以0<α<. 因为-<β<，所以-<α+β<π. 因为cos(α+β)=-<0，所以<α+β<π.所以sin(α+β)===， 所以tan(α+β)=-，则tan β=tan==. (2)(2026·兰州模拟)若α∈，sin=，则cos α=　　　　　　　.  答案　 解析　因为α∈，则<α+<， 所以cos===， 因此，cos α=cos=coscos+sinsin =×+×=. 学科网（北京）股份有限公司 $