第4章 第23讲 第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

该高中数学讲义聚焦三角恒等变换核心考点，涵盖两角和差的正弦、余弦、正切公式，辅助角公式及积化和差、和差化积公式，按公式推导、内在联系到综合应用的逻辑架构知识。通过教材梳理、考点探究、规律总结、真题演练的教学流程，帮助学生突破公式逆用、角的变换等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料突出溯源教材与高考真题的关联，如将课本习题与高考题对比分析，培养学生用数学眼光发现问题本质。设计角的变换专项训练（如2α=(α+β)+(α-β)），提升数学思维中的推理与运算能力。分层设置自测诊断、对点练及模拟题，保障复习效果，助力学生高效提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第23讲　三角恒等变换 第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 【课程标准】　1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义．　2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．　3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用． 1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 2.三角函数的叠加(辅助角公式) asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(a，b不同时为0)，其中sin φ＝，cos φ＝． 3.积化和差公式 cos αcos β＝［cos(α＋β)＋cos(α－β)］； sin αsin β＝－［cos(α＋β)－cos(α－β)］； sin αcos β＝［sin(α＋β)＋sin(α－β)］； cos αsin β＝［sin(α＋β)－sin(α－β)］． 4.和差化积公式 sin α＋sin β＝2sincos； sin α－sin β＝2cossin； cos α＋cos β＝2coscos； cos α－cos β＝－2sinsin． ［常用结论］ 　两角和与差的公式的常用变形 (1)sin αsin β＋cos (α＋β)＝cos αcos β． (2)cos αsin β＋sin (α－β)＝sin αcos β． (3)tan α±tan β＝tan (α±β)(1∓tan αtan β)； tan αtan β＝1－－1. 【自测诊断】 1.(多选)下列说法中正确的是(　　) A．存在α，β，使等式sin (α＋β)＝sin α＋sin β成立 B．cos x＋化为积的形式为2cos(＋)cos C．公式asin x＋bcos x＝sin (x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关 D．公式tan (α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立 答案：AB 2.(链接北师必修二P156T2)sin 10°cos 50°＋cos 10°sin 50°的值为(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 答案：D 解析：sin 10°cos 50°＋cos 10°sin 50°＝sin(10°＋50°)＝sin 60°＝．故选D． 3.(链接北师必修二P154T2)已知α∈，β∈，sin α＝，cos＝－，则cos β的值为(　　) A．或－　　 B． C．　　 D． 答案：B 解析：因为α∈，sin α＝，所以cos α＝－．因为α∈，β∈，所以α－β∈，所以cos β＝cos＝cos αcos＋sin αsin(α－β)＝－，所以cos β的值为．故选B． 4.(链接北师必修二P156例4)已知α，β∈(0，)，tan α＋tan β＋＝tan αtan β，则α＋β＝　　． 答案： 解析：由已知可得，tan α＋tan β＝－(1－tan αtan β)，所以tan＝－．又α，β∈(0，)，则α＋β∈，故α＋β＝． 学生用书⬇第93页 考点一　两角和与差的三角函数公式 高考超重点，自主练透 1.(2024·全国甲卷)已知＝，则tan(α＋)＝(　　) A．2＋1　　 B．2－1 C．　　 D．1－ 答案：B 解析：依题意，有，即1－tan α＝，所以tan α＝1－，所以tan(α＋－1.故选B． 2.(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos(α－β)＝(　　) A．－3m　　 B．－　　 C．　　 D．3m 答案：A 解析：由cos(α＋β)＝m得cos αcos β－sin αsin β＝m　①．由tan αtan β＝2得所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－3m．故选A． 【溯源教材10】 溯源 (北师必修二P163B组T3)已知sin (α＋β)＝，sin (α－β)＝，求． 透视 这两道题在核心知识点与结构方法上高度相似，主要体现为：知识背景相同、解题思路相似、代数变形能力要求一致；这种相似性体现了高考题对课本习题的深化与迁移——课本题提供基础模型，高考题通过参数或形式的变换，考查学生对公式本质的理解与灵活运用能力，这就意味着在复习中，应注重对教材的关注、延伸、挖掘与应用．“2025·湖北武汉二调”又对这三者关系进行了这样考查：已知tan αtan β＝2，cos (α－β)＝，则cos (α＋β)＝　　　　． 答案：－ 解析：依题意，tan αtan β＝＝2，则sin αsin β＝2cos αcos β，由cos (α－β)＝，得cos αcos β＋sin αsin β＝，解得cos αcos β＝， 所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－cos αcos β＝－． 续表 预测 (1)已知cos＝3cos，则tan xtan y＝　　　　． (2)已知sin (α－β)＝，tan α＝2tan β，则sin (α＋β)＝　　　　． 答案：(1)－　(2)1 解析：(1)因为cos＝3cos，则cos xcos y－sin xsin y＝3(cos xcos y＋sin xsin y)， 2cos xcos y＝－4sin xsin y，则tan xtan y＝＝－. (2)由sin (α－β)＝得sin αcos β－cos αsin β＝①.由tan α＝2tan β得＝2，即sin αcos β＝2cos αsin β　②，由①②得所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝1. 3.(2026·江苏盐城模拟)若2sin＝cos αcos β≠0，2cos＝cos，则tan＝(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 答案：A 解析：因为2sin＝2sin αcos β－2cos αsin β＝cos αcos β，所以＝2tan α－2tan β＝1，即tan α－tan β＝.因为2cos＝2cos αcos β＋2sin αsin β＝cos＝cos αcos β－sin αsin β，所以sin αsin β＝－cos αcos β⇒＝tan αtan β＝－，所以tan＝＝＝.故选A． 利用三角函数公式解题的基本策略 1.要熟记公式的结构特征和符号变化规律，例如两角差的余弦公式可简记为“同名相乘，符号相反”． 2.注意同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合应用． 3.注意配方法、因式分解和整体换元思想的运用．　　 考点二　两角和与差的三角函数公式的逆用与辅助角公式 多维探究 角度1　公式的逆用 (多选)下列式子运算正确的有(　　) A．cos 43.5°cos 16.5°－sin 43.5°sin 163.5°＝ B．sin 105°cos 15°＋cos 75°sin 195°＝ C．＝ D．tan 22°＋tan 23°＋tan 22°tan 23°＝1 答案：ACD 解析：对于A，cos 43.5°cos 16.5°－sin 43.5°sin 163.5°＝cos 43.5°cos 16.5°－sin 43.5°sin 16.5°＝cos(43.5°＋16.5°)＝cos 60°＝，故A正确；对于B，sin 105°cos 15°＋cos 75°sin 195°＝sin 75°cos 15°－cos 75°sin 15°＝sin＝sin 60°＝，故B错误；对于C，＝＝tan(45°＋15°)＝，故C正确；对于D，因为tan 45°＝tan(22°＋23°)＝＝1，所以tan 22°＋tan 23°＋tan 22°tan 23°＝1，故D正确.故选ACD． 角度2　角的变换 (1)(2026·江苏南京模拟)若sin＝，cos 2α＝－，且α，β都为锐角，则sin＝(　　) A．－　　 B．　　 C．　　 D．1 (2)已知＜α＜，－＜β＜，cos＝，cos＝－，则sin＝(　　) A．－　　 B．　　 C．－　　 D． 答案：(1)D　(2)B 解析：(1)因为α，β都为锐角，所以0＜α，β＜，所以0＜2α＜π，－＜－β＜0，所以－＜α－β＜.因为cos 2α＝－，0＜2α＜π，所以sin 2α＝＝＝.因为sin＝，－＜α－β＜，所以cos＝＝＝.所以sin＝sin＝sin 2αcos－cos 2αsin＝×－×＝1.故选D． (2)依题意，得－＜－α＜0，0＜＋β＜π，则sin(－α)＝－＝－，sin(＋β)＝＝，所以sin(α＋β)＝－cos＝－cos＝－［coscos(－α)＋sin(＋β)sin(－α)］＝－［×＋×］＝.故选B． 学生用书⬇第94页 角度3　辅助角公式的应用 (1)已知sin＋cos α＝，则sin的值为(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． (2)(2026·陕西咸阳模拟)已知角α，β的终边不重合，且sin α＋3cos β＝3cos α＋sin β，则sin＝　　　　　． 答案：(1)A　(2)－ 解析：(1)由sin＋cos α＝，得sin α＋cos α＝，即sin α＋cos α＝，所以sin＝.故选A． (2)依题意，知sin α－3cos α＝sin β－3cos β，则sin＝sin，即sin＝sin(β－φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.因为角α，β的终边不重合，所以α－φ＋β－φ＝π，k∈Z，则α＋β＝π＋2φ，k∈Z，所以sin＝sin＝sin＝－sin 2φ＝－2sin φcos φ＝－2××＝－. 三角函数公式灵活应用的技巧 1.逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式． 2.常用的拆角、配角技巧 2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；＋α＝－α)等． 3.利用辅助角公式将所求关系式转化为一角一函数的形式，然后再解决问题．　　 对点练1.(2026·福建泉州模拟)sin·cos(x－20°)＋coscos的值为(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 答案：C 解析：根据诱导公式cos (90°＋α)＝－sin α，原式sin (65°－x)cos (x－20°)＋cos (65°－x)cos (110°－x)，可化为sin (65°－x)cos (x－20°)－cos (65°－x)sin (20°－x)，进一步得sincos(20°－x)－cossin＝sin[(65°－x)－(20°－x)]，则sin [(65°－x)－(20°－x)]＝sin (65°－x－20°＋x)＝sin 45°＝.故选C． 对点练2.(2026·江苏徐州模拟)已知sin α＝，sin (α＋2β)＝，则sin (α＋β)cos β＝(　　) A．　　 B．－　　 C．　　 D．－ 答案：A 解析：sin α＝sin＝sin (α＋β)cos β－cos (α＋β)sin β＝，sin (α＋2β)＝sin (α＋β＋β)＝sin (α＋β)cos β＋cos (α＋β)sin β＝，两式联立可得sin (α＋β)cos β＝．故选A． 对点练3.(一题多解)(2020·全国Ⅲ卷)已知sin θ＋sin(θ＋)＝1，则sin(θ＋)＝(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 答案：B 解析：法一(辅助角公式)：因为sin θ＋sin(θ＋sin θ＋cos θ＝sin(θ＋)＝1，所以sin(θ＋．故选B． 法二(角的配凑)：因为sin θ＋sin＋sin (θ＋)＝sin (θ＋－cos (θ＋＋sin (θ＋＋cos (θ＋＝2sin (θ＋sin (θ＋)＝1，所以sin (θ＋．故选B． 【教师备选】　(2026·河北保定模拟)已知3cos α－3sin α＝4，则cos 2α－sin 2α＝(　　) A．－　　 B．－　　 C．－　　 D． 答案：B 解析：由3cos α－3sin α＝4，得cos α－sin α＝，所以cos，所以cos 2α－sin 2α＝2cos＝2×(2×－1)＝－．故选B． 考点三　积化和差、和差化积公式的应用 师生共研 (1)(2025·浙江嘉兴模拟)已知α，β∈且满足sin α＋sin β＝，则(　　) A．tan (α＋β)＝　　 B．tan (α＋β)＝－ C．cos (α＋β)＝　　 D．cos (α＋β)＝－ (2)已知cos θ＝，那么4cos θcoscos(－θ)＝　　　． 答案：(1)B　(2)－ 解析：(1)因为sin α＋sin β＝sin＋sin＝2sincos，cos α＋cos β＝cos＋cos＝2coscos，所以2sincos＝×2coscos.又因为α，β∈(0，π)，所以－＜＜，0＜＜π，所以cos＞0，所以sin＝cos，所以tan＝.又因为0＜＜π，所以＝，所以α＋β＝，所以tan (α＋β)＝tan＝－，cos (α＋β)＝cos＝－.故选B． (2)4cos θcoscos＝4cos θ×＝2cos θ＝2cos θ＝2××＝×＝－. 　　利用积化和差与和差化积公式求值时，尽量变形出现特殊角，同时注意互余角、互补角的三角函数间的关系．　　 对点练4.若cos xcos y＋sin xsin y＝，sin 2x＋sin 2y＝，则sin＝(　　) A．－　　 B．　　 C．　　 D． 答案：C 解析：依题意，知cos＝cos xcos y＋sin xsin y＝.因为sin 2x＋sin 2y＝，所以sin 2x＋sin 2y＝sin[(x＋y)＋(x－y)]＋sin[(x＋y)－(x－y)]＝2sin(x＋y)cos(x－y)＝，即sincos(x－y)＝，所以sin＝＝.故选C． 对点练5.已知sinsin＝2m(m≠0)，则cos 2α－cos 2β＝　　　　． 答案：－2m 解析：由sin］＝cos 2β－cos 2α＝4m，则cos 2α－cos 2β＝＝－2m． 学科网（北京）股份有限公司 $