第5节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦函数y=A sin(ωx+φ)的图象及应用，涵盖物理意义、五点法作图、参数影响、图象变换及实际应用等高考核心考点，按“概念梳理-变换规律-综合应用”逻辑架构知识，通过考点解析、方法归纳（如五点法、变换途径）、真题演练（例题及跟踪训练）等环节，帮助学生系统突破图象绘制与参数求解难点。 资料以数学眼光观察参数对图象的影响，用数学思维辨析变换规律（如平移单位长度的区别），设计“五点法列表作图”“由图象求解析式”等教学活动，配合分层练习（基础题、易错题、综合题），培养学生的几何直观与推理能力，助力高效复习，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

第5节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用 考试要求　1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象.2.了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.3.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 1.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)一个周期内的简图时，要找五个关键点 x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 2.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 3.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 1.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”. 2.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度. 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin.(　　) (2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.(　　) (3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　) (4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 解析　(1)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3cos 2x. (2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为.故当ω≠1时平移的长度不相等. 2.(易错题)y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　) A.2，4π， B.2，， C.2，，－ D.2，4π，－ 答案　C 解析　由题意知A＝2，f＝＝＝，初相为－. 3.若将函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝cos，将函数f(x)的图象向右平移φ个单位长度后所得图象对应的函数为 y＝cos，且该函数为偶函数，故2φ＋＝kπ(k∈Z)，所以φ的最小正值为. 4.设函数f(x)＝cos在[－π，π]上的图象大致如下图，则f(x)的最小正周期为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题图知，f＝0且f(－π)<0，f(0)>0， 所以－ω＋＝－(ω>0)，解得ω＝， 所以f(x)的最小正周期为T＝＝. 5.(易错题)y＝cos(x＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________. 答案　 解析　相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为. 6.(2026·辽宁百校联盟质检)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再把所得的图象保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的4倍得到y＝sin的图象，则f(x)的解析式是________；函数f(x)在区间上的值域是________. 答案　f(x)＝sin　 解析　由题意，把y＝sin的图象的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得 y＝sin的图象； 再把所得图象向右平移个单位，可得f(x)＝sin＝sin的图象. 当x∈时，2x－∈，则sin∈. 考点一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 例1 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－<φ<)的最小正周期是π，且当x＝时，f(x)取得最大值2. (1)求f(x)的解析式； (2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)； (3)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？ 解　(1)因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2. 又因为当x＝时，f(x)取得最大值2，所以A＝2， 同时2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z， φ＝2kπ＋，k∈Z， 因为－<φ<，所以φ＝， 所以f(x)＝2sin. (2)因为x∈[0，π]，所以2x＋∈. 列表如下： 2x＋ π 2π x 0 π f(x) 1 2 0 －2 0 1 描点、连线得图象： (3)将y＝sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，再将y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图象，再将y＝sin上所有点的纵坐标伸长2倍(横坐标不变)，得到f(x)＝2sin的图象. 迁移应用 本例已知条件不变，第(3)问改为：函数y＝f(x)的图象可由函数y＝cos x的图象经过怎样的变换得到？ 解　因为f(x)＝2sin＝2cos＝2cos， 将y＝cos x的图象上的所有点向右平移个单位长度， 得到函数y＝cos的图象， 再将y＝cos的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)， 得到函数y＝cos的图象， 再将y＝cos上所有点的纵坐标伸长2倍(横坐标不变)， 得到y＝2cos图象， 即为f(x)＝2sin的图象. 感悟提升　作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法： (1)五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象； (2)图象的变换法，由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. 跟踪训练1 (1)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)＝(　　) A.sin B.sin C.sin D.sin 答案　B 解析　依题意，将y＝sin的图象向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f(x)的图象， 所以y＝sin的图象 f（x）＝sin的图象． （2）（多选）（2026·长沙调研）将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，对于所得图象对应的函数，下列说法正确的是（　　） A.在区间上单调递减 B.在区间上单调递增 C.在区间上单调递减 D.在区间上单调递增 答案　BC 解析　将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度得到 y＝3sin＝3sin.令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，化简可得单调递增区间为，k∈Z，令k＝0，可知B正确；令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，化简可得单调递减区间为，k∈Z，令k＝－1，可知C正确，故选BC. 考点二　由图象确定函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式 例2 已知函数f（x）＝2cos （ωx＋φ）的部分图象如图所示，则f＝　　　　Ｗ. 答案　－ 解析　由题图可知T＝－＝（T为f（x）的最小正周期），即T＝π，所以＝π，即ω＝2，故f（x）＝2cos （2x＋φ）.点可看作“五点作图法”中的第二个点，故2×＋φ＝，得φ＝－. 故f（x）＝2cos ， 所以f＝2cos ＝－2cos ＝－. 感悟提升　由f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的一段图象求其解析式时，A比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： （1）如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标，那么由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的零点的横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0（ωx0＋φ＝π）即可求出φ. （2）代入点的坐标.利用一些已知点（最高点、最低点或零点）坐标代入解析式.再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或φ的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求. 跟踪训练2 （多选）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋4φ）的部分图象如图所示，若将函数f（x）的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列命题正确的是（　　） A.函数f（x）的解析式为f（x）＝2sin B.函数g（x）的解析式为g（x）＝2sin C.函数f（x）图象的一条对称轴是直线x＝－ D.函数g（x）在区间上单调递增 答案　ABD 解析　由题图可知，A＝2，＝π， 所以T＝4π＝， 解得ω＝，故f（x）＝2sin. 因为图象过点C（0，1）， 所以1＝2sin 4φ，即sin 4φ＝. 因为0＜φ＜，所以0＜4φ＜， 所以4φ＝， 故f（x）＝2sin.故A正确； 若其纵坐标不变，横坐标缩短到原来的， 所得到的函数解析式为y＝2sin， 再向右平移个单位长度，所得到的函数解析式为 g（x）＝2sin＝2sin，故B正确； 当x＝－时，f＝2sin 0＝0， 即x＝－时， f（x）不是最值，故x＝－不是函数f（x）的一条对称轴，故C错误； 令2kπ－≤2x－≤2kπ＋（k∈Z）， 得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z）， 故函数g（x）的单调递增区间是 （k∈Z）， 当k＝1时，g（x）在区间上单调递增. 故D正确. 考点三　三角函数图象、性质的综合应用 角度1　图象与性质的综合应用 例3 已知函数f（x）＝sin（ωx＋θ）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后得到偶函数g（x）的图象，则函数f（x）的一个单调递减区间为（　　） A. B. C. D. 答案　B 解析　因为函数f（x）＝sin（ωx＋θ）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，所以＝，即T＝π，即＝π，ω＝2，得f（x）＝sin（2x＋θ），将f（x）的图象向左平移个单位长度后，得到g（x）＝sin的图象，因为g（x）为偶函数，所以＋θ＝kπ＋（k∈Z），解得θ＝kπ＋（k∈Z）. 又因为－≤θ≤，所以θ＝， 所以f（x）＝sin. 令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ（k∈Z）， 解得＋kπ≤x≤＋kπ（k∈Z）. 当k＝0时，得到一个单调递减区间为. 又⊆. 角度2　函数的零点（方程的根）的问题 例4 已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是　　　　Ｗ. 答案　（－2，－1） 解析　方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x＝2sin，x∈.设2x＋＝t，则t∈，所以题目条件可转化为＝sin t，t∈有两个不同的实数根.所以y1＝和y2＝sin t，t∈的图象有两个不同交点，如图： 由图象观察知，的取值范围是，故m的取值范围是（－2，－1）. 角度3　三角函数模型 例5 如图，点A，B分别是圆心在坐标原点，半径为1和2的圆上的动点.动点A从初始位置A0开始，按逆时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动，同时点B从初始位置B0（2，0）开始，按顺时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动.记t时刻，点A，B的纵坐标分别为y1，y2. （1）求t＝时，A，B两点间的距离； （2）若y＝y1＋y2，求y关于时间t（t＞0）的函数关系式，并求当t∈时，y的取值范围. 解　（1）连接AB，OA，OB（图略）， 当t＝时，∠xOA＝＋＝，∠xOB＝， 所以∠AOB＝. 又OA＝1，OB＝2， 所以AB2＝12＋22－2×1×2cos ＝7， 即A，B两点间的距离为. （2）依题意，y1＝sin，y2＝－2sin 2t， 所以y＝sin－2sin 2t＝cos 2t－sin 2t＝cos， 即函数关系式为y＝cos（t＞0）， 当t∈时，2t＋∈， 所以cos∈， 故当t∈时，y∈. 感悟提升　（1）研究y＝Asin（ωx＋φ）的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题. （2）方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数. （3）三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题. 跟踪训练3若函数f（x）＝sin（ω>0）满足f（0）＝f，且函数在上有且只有一个零点，则f（x）的最小正周期为　　　　Ｗ. 答案　π 解析　因为f（0）＝f，所以x＝是f（x）图象的一条对称轴，所以f＝±1，所以ω＋＝＋kπ，k∈Z，所以ω＝6k＋2，k∈Z，所以T＝（k∈Z）.又f（x）在上有且只有一个零点，所以≤≤－，所以≤T≤，所以≤≤（k∈Z），所以－≤k≤，又因为k∈Z，所以k＝0，所以T＝π. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用 考试要求　1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象.2.了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.3.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 1.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)一个周期内的简图时，要找五个关键点 x －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 2.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 3.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ φ 1.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”. 2.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度. 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin.(　　) (2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.(　　) (3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　) (4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.(　　) 2.(易错题)y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　) A.2，4π， B.2，， C.2，，－ D.2，4π，－ 3.若将函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是(　　) A. B. C. D. 4.设函数f(x)＝cos在[－π，π]上的图象大致如下图，则f(x)的最小正周期为(　　) A. B. C. D. 5.(易错题)y＝cos(x＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________. 6.(2026·辽宁百校联盟)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再把所得的图象保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的4倍得到y＝sin的图象，则f(x)的解析式是________；函数f(x)在区间上的值域是________. 考点一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 例1 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－<φ<)的最小正周期是π，且当x＝时，f(x)取得最大值2. (1)求f(x)的解析式； (2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)； (3)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？ 迁移应用 本例已知条件不变，第(3)问改为：函数y＝f(x)的图象可由函数y＝cos x的图象经过怎样的变换得到？ 感悟提升　作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法： (1)五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象； (2)图象的变换法，由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. 跟踪训练1 (1)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)＝(　　) A.sin B.sin C.sin D.sin （2）（多选）（2026·长沙调研）将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，对于所得图象对应的函数，下列说法正确的是（　　） A.在区间上单调递减 B.在区间上单调递增 C.在区间上单调递减 D.在区间上单调递增 考点二　由图象确定函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式 例2 已知函数f（x）＝2cos （ωx＋φ）的部分图象如图所示，则f＝　　　　Ｗ. 感悟提升　由f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的一段图象求其解析式时，A比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： （1）如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标，那么由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的零点的横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0（ωx0＋φ＝π）即可求出φ. （2）代入点的坐标.利用一些已知点（最高点、最低点或零点）坐标代入解析式.再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或φ的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求. 跟踪训练2 （多选）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋4φ）的部分图象如图所示，若将函数f（x）的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列命题正确的是（　　） A.函数f（x）的解析式为f（x）＝2sin B.函数g（x）的解析式为g（x）＝2sin C.函数f（x）图象的一条对称轴是直线x＝－ D.函数g（x）在区间上单调递增 考点三　三角函数图象、性质的综合应用 角度1　图象与性质的综合应用 例3 已知函数f（x）＝sin（ωx＋θ）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后得到偶函数g（x）的图象，则函数f（x）的一个单调递减区间为（　　） A. B. C. D. 角度2　函数的零点（方程的根）的问题 例4 已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是　　　　Ｗ. 角度3　三角函数模型 例5 如图，点A，B分别是圆心在坐标原点，半径为1和2的圆上的动点.动点A从初始位置A0开始，按逆时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动，同时点B从初始位置B0（2，0）开始，按顺时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动.记t时刻，点A，B的纵坐标分别为y1，y2. （1）求t＝时，A，B两点间的距离； （2）若y＝y1＋y2，求y关于时间t（t＞0）的函数关系式，并求当t∈时，y的取值范围. 感悟提升　（1）研究y＝Asin（ωx＋φ）的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题. （2）方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数. （3）三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题. 跟踪训练3若函数f（x）＝sin（ω>0）满足f（0）＝f，且函数在上有且只有一个零点，则f（x）的最小正周期为　　　　Ｗ. 学科网（北京）股份有限公司 $