第四章 第5节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角函数模型的应用&热点强化课4-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

高考总复习数学(BS) (k∈Z).即f(x)的单调递减区间为 kπ，k∈Z,因为π一m<n,所以n> [-子+2x,要+2云]k∈Z 又函数f(x)在[-a,aj上是减函数， 故 则[-aa][2kx-子2x+竖] (k∈Z),显然当k=0时，上述关系才 得受<<所以最大值为] 能成立，则易得a的最大值是不。 题型3命题点1 法二：导数法—一转化为不等式恒成 1.B[由w=2n(竖+子)+1u 立模型 ∈N"),得f(n+4) 由已知得，f(x)=-sinx-cosx =-(smx十os）=一Esm(+于）片 -2sm(2x+受+子)+1 由题意知，在[-a,a]上f(x)≤0， -2sn(+平）十1，所以网期T 即-Ei如(+圣)下0在区间 4.所以f(1)+f(2)+f(3)+f4) [-a,a]上恒成立. -2m(受+)+2m(竖+受)十 也就是n(+至)≥0在区间 [-a,a]上恒成立. 2sim(受+)+2sm(停+)+4 =4,所以f(1)十f(2)+f(3)+…十 由m(+于)≥0，得2x≤x+牙≤ f(2025)=4×2024+ 4 2kx+∈D,解得2-开<r≤ 2n(2025+子）+1=-205+E] k(ED. 2.B[依题知a- 所以[-aa]=[2kx-子，2kx+F] (k∈Z),显然当k=0时，上述关系才 音，其中∈么又a>0,所以当=0 能成，中[-aa[子]部 时a取得最小值受] 跟踪训练 得0<a≤开 1.B [f(x)=2cos2x-(1-cos2r)+2 [答案]A 互动探究 =3csr+1=是cos2z+号最小 解析f代r-反os(+于）由一x+ 正周期为π，最大值为4，] 命题点2 2k≤x+只≤2，∈Z,即fx)的增 3.C[:当x=不时，函数f(x)取得最 区同为[-要+2子+]小k 小值sin(答+9）--1 D,依题意[a,2a] [++小由子。>0 9-2kx-k∈D. 且求最小值，故当k=1时上述关系才能 ÷)-sim(e+2kx-要)） 成主1[受] =sin(e-平) 41 a< 即≤a<故正a f(-）m(-) 4 =-sin x. 的最小值为严 y一f(晋-列是寺画数，且图象关 答案： 于直线=受对称.] 跟踪训练 1,解析：f)在区同[子，受]上具有单 1B[由受+-吾<受+， 调性，区同[子，受]的长度为受 CZ.得2x吾<<+皆eZ 3 -平， 所以函数f(x)= m(受一音)的单钢 区问[受，]的长度为行-受 递增区同是(2x一子，2x+皆)： =晋< k∈Z.] 2.B[f(x)=sin2x+cos2x=√2· 由于f(经)-f()-f() sm(2x+于）令登+kx≤2x+于≤ 所以f(x)的一条对称轴为x 受+2，解得后+x≤r≤亭x十 2 12 ·414· 其相邻一个对称中心为 +登（小 2 所以子---T- 答案： 跟踪训练 2.B[,函数f(x)=5sin(2x十p)+ cos(2x+p)=2sim(2x十g+晋）的图象 关于直线x=0对称， ,函数f(x)为偶函数， ∴g+天-牙十kx(k∈Z. 62 lpl<受g=晋f) 2c0s2x,T=2=元.0<2x<x 2 “0<x<受，函数f(x)在 (0,受)上为减函数.] 命题点3 5.B[,函数f(x)=√sin(2x+0)+ cos(2x+0)=2sim(2x+0+石）是 每画数0叶吾-kx十受，即0-k红 十子k∈Z,因此可取0=受，此时 fx)-2sin(2x+）cos2x,且在 [0,]小上.脚2xe[,]时f 是减函数.] 6.BC[A错，代x=0便知；B显然对， 两者值战相同；C显然对，两者最小正 周期都为x:D错，前者对称轴为x一1 十合，后者是x-餐+台xe] 跟踪训练 3.B[对于①0)=8如（子）=3y9 0,函数f(x)不是奇函数，故①错误：对 手®，由f(餐)-3sm(受) 一3，所以函条因象关于直线一一晋 对称，故②正确；对于③，f(x) 3sin(2x+于）- 3sin(2x+平-受+受) 3c0s(2x-平）故⑧正确：对于④，由 函数f(-吾)=3sim0=0,所以函数 的图象关于点（苓，0）对称，故① 正确，共有3个正确.门 第5节 自主诊断查验 思考辨析 (1)× (2)× (3)√(4)/(5)√ 小题查验 1.A[令0得广n(吾)-。 排除BD.由f(答）)-0f(吞) 0,排除C.] 2.B[由于变换前后，两个函数的初相 相同，所以y=3in(x-吾)在纵坐 则f(受)-2in(+) --2sin3x--2. 标不变，横坐标缩短到原来的号倍得 到函数y=3sim(2x-牙）的图象.] y-m 3.BC[由f(0)>0,排除D:由T=π， 排除A.] 4,解析：由题意知当x一时，函数取得 3 =fx) 最大值，所以有sin-1,所以 3 3 吾+2kx∈z,所以m-是+6kk 3.解折：由平=罗-吾-平，得T 412 π，w=2,将 ∈Z,又0<w<2,所以w= 3 (）代入 答案：号 y2os2x+g释cos(5+） 5.解析：设y=Asin(wx十9)十B(A>0, 0+g-受g-吾所以f) w>0),由题意得A=1,B=6,T=4, 因为T-证，所以受， 2cs(2x-吾） ()-f()()-f() 所以y=n(受+)十6 >0等价于(f(x)-1)f(x)>0,等价 因为当x=1时，y=6, 于f(x)0或f(x)>1,由f(x)<0 所以6-sn(受+9）+6 得x（+，+x）k∈,此 时x的最小正整数为2， 结合表中数据得受十9=2x,k∈Z, 由f(x)>1,得x∈ 可取=一受 (登+x,至+x）k∈Z,此时： 的最小正整数为2. 所以y=sin(受x-受)十6. 答案：y=sm(受r-受)+6 跃升·关键能力题型1 1.A[由图象可得年2， 解 答案：2 得A=2,k=1,由正弦型图象性质可 题型2 [典例](1)[解析]y=sin2x十cos2.x 所以T= 匹=，解得@=2，又2X =sm(2z+子）》 由诱导公式可知：y=√2cos2x (吾）十g-受+2xk∈z.且0< -Esim(2x+)】 <元，所以9=6， 5π -sim[(+)门 所以y-2sm(2x+晋)十1.] 又因为y=sm(2x+)】 2.A[由f(0)=2sing=V2,可得sing -号用为0<g<且点A在不) =Esim[2(x+)]则- 尽，即只需把图象向右平移苓个 图象的下降部分，所以g要，故 单位 [答案]A f)-2sin(r+竖)周为A0, (2)[解析]法一：函数y=f(x)图象 √2)，所以A,B,C是直线y=√2与 上所有点的横坐标缩短到原来的习 f(x)的图象的三个连续的交点； 倍，纵坐标不变，得到y=f(2x)的图 由A点横坐标xA=0,即rA十3还 4 象，再把所得曲线向右平移子个单位 解得a十=要a十经 长度，应当得到y一[（一吾）门的 -2红，所以一 还，解得工1-一0 3π 图象，根据已知得到了函数 4一流同为西=斧，所以元 y=sim（-至)的图象，所以 牙，所以四=2， [(-晋)门-m(-） 所以fx)=2sm(2z+平) ◆=2(-晋)则x-+吾 ·415· 参考答案 所以f)=in(乞+是) 所以)-si加（货+）： 法二：由已知的函数 y=m(一于)逆向变换. 第一多：向左华移受个单位长度， 得到广m(+受-开) =sin(+)的图象， 第二步：图象上所有点的横坐标伸长 到原来的2倍，纵坐标不变，得到y sin(受+品)的图象，即为y=f(x 的因象，所以f)=i血（台+登） [答案]B 互动探究 解：把y=sinx的图象上所有的点向右 平移看个单位，得到)一m(一音) 的因象，再起y=in(k一吾)的图象 上的点的横坐标够短到原来的分倍 (纵坐标不变)，得到y= s加(2x-晋)的图象，最后北y sm(2x一晋)上所有点的纵坐标伸长 到原来的2倍（横坐标不变），即可得 到y=2sin(2x-否）的图象. 跟踪训练 1.C[A.先把曲线C1上点的横坐标伸 长到原来的2倍（纵坐标不变），得y= c08号x的因象，再把得到的曲线向右 平移晋个单位长度得) (-吾)o() /1 7π1 =sin（立x-12) 的图象，A错误：B.先把曲线C1上点 的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标 不变)，得y=c0s之：的国象，再起得 到的曲线向左平移答个单位长度得y =w合(+晋)=o(合+) 1 -m(合+登)的图象B错误：C 先把曲线C,上点的横坐标缩短到原 来的号倍（飘坐标不变），得)-c0s2z 的图象，再把得到的曲线向右平移2 个单位长度得y-o2(-)- os(2x-音)-sim(2x+子)的图 象，C正确；D.先把曲线C上点的横 坐标编短到原来的号倍（纵坐标不 变)，得y=cos2x的图象，再把得到的 高考总复习数学(BS) 曲线向左平移至个单位长度得y os2(e+是)-cos(2x+吾) -n(2z+号)的因象.D错买.] 2.C[因为函数y=o(2x+石)向左 平移吾个单位可得函数为y o[(+吾)+] =os(2x+）=-in2x,所以fx) =-sin 2x, 而y=合x-号显然过(0，合)与 (1,0)两点， 作出)与y=一号的年分国象 1 大致如图， y=2x- 3π f(x)4 考虑2x=- 2x=受2x=，即 2 =-x=平x=处f)与y 一的大小关系， 当=时（） -m(警）-1. y- ×() 1 3π+4∠-1： 8 3元1： y×--3<1: 8 所以由图可知，f(x)与y=立1-之 1 的交点个数为3.] 题型3 1.D[由题图可得函数的周期T (侣-晋)X4=x-Ξ所以。=2 因为画数的图象过点（侣，一1）所 以（语+）=-1，所以晋+9 受+xeZ.所以年-号+2快 ∈2.因为9<受，所以9=登， 所以)=m(2x+受)） 先将函数f(x)的图象上所有点的横坐 标变为原来的6倍，纵坐标不变，得到y 一m(行十吾)的图象，再将所得画数 的因象向左平移受个单位长度，得到 )=m[号(+受)+吾] 点P正好处于最低点，故B正确；以O 为原点，以与水平面平行的直线为。 n(+)】 轴建立平面直角坐标系，设点P距离 水面的高度H=Asin(wt+p)十B(A --cos3. >0,w>0), 对于A选项，因为函数g(x)为偶函 由Hnx=A+B=3, Hmin --A+B--1, 量，故A错误：对于B选项，令宁r 所以A=2, B=1, [2kπ，x+2kπ](k∈Z),则x∈[6kπ，3π +6kπ](k∈Z),而[-2π，0][6kπ，3元 又角滤度。一船-系（孤度/书)、 十6kπ](k∈Z),故B错误：对于C选 项，令3x=十x(k∈Z),则x-3西 1=0时，∠0P=晋， 十3kπ(k∈Z),所以函数的对称中心为 所以。一9=一吾 (竖+3m,0）(k∈，故C错误：对 所以点P距离水面的高度H 于D选项，令子x=kπ(k∈Z,则x 2s加（需1一-音）十1，当水轮转动150 秒时，将t=150代入，得H=2,点P 3kπ(k∈Z),所以函数的对称轴为x 3kπ(k∈Z),当k=一1时，有x= 距离水面2米，故C正确：将H=1+ 一3π，即D正确.] 5代入H-2m(01-晋)+1中， 2.解析：当x∈[0，a]时， [a] 当r[0a+]时， 2kx+2匹，即1=60k+15或1=60k+ 3 25(k∈N).所以点P第二次到达距水 面(1十√3)米时用时25秒，故D正确. 因为函数y=sim（-）在区间 [答案]BCD 跟踪训练 [0a,[0,a+子]上的值城均为 解析：令船底与海底距离为f(t), 则f0)=3in51+10-[7-0.375(1 [-16Es（子）-1 2)],t∈[2,10]， sim5=-1，所以6=巨 所以f@-3si血音1+晋+具， 又为E加（至）=-1Em 所以了)=受青+骨 u-≥ 解得3≤a 又周为了(3)-合>0f(6)-冬 8 =一1，所以 5π a≤1， 吾<0，f(9)-是>0，所以3∈(2. ≤平，即实量。的取值范国 6),t2∈(6,10)，f(t1)=f(t2)=0, 所以当2≤1<1或2<t≤10时， 是[] f(t)>0,当1<t<t2时，f(t)<0, 所以ft)在[2，t1),(t2,10]上单调递 案[贤] 增；f(t)在(1,12)上单调递减.又因为 题型4 f02=3y5+3>4.5,f(6)=4.5. 2 [典例][解析]由题意，角速度w= 2π （孤度/秒）· f10)=6-3y5<4,5,所以当2≤1≤ 6030 2 y 6时，f(t)≥4.5； 当6<t≤10时，f(t)<4.5, 所以该船第一次停止卸货的时刻为 6时 答案：6时 热点强化课4 题型1 Po [例1][解析]记函数f(x)的最小正 周期为T, 又由水轮的半径为2米，且圆心)距 离水面1米，可知半径OP。与水面所 则号>-0-，可得T≥ 成角为吾，点P再次进入水中用时为 又因为f(5)-f(受)-0. +2× =40(秒)，故A错误；当水 π 30 轮转动50秒时，半径OP。转动了50 又因为2 =吾，所以画数f()的 一个对称中心为（答，0）函数f() ·416· 的一条对称轴为x= 2 [答案]B [例2][解析] 由已知， cs(·)-0,则w…-+ k,kEeZ.脚w=合+受keZ 又画教在区同[营]小上是单调画 数，可知≥音-0，·≥ 吾，解得0<w≤8，所以当-0时， 。=青，当=1时a=4,当=2时， 。-9满足题意。 即。合或4或9 [答案]D 题型2 [例3】[解析]当w+ 三-2十受 (k∈Z)时，即x= 2k元十4(k∈Z)时 函数有最小值，令k=一1,0,1,2时，有 x=-3江x=5,x=13rx21x,因为 Aw Aw 品数fx)=m(r+子)a>0)在 (牙，)内治有两个最小值 点，w0, π5π 44w1 所以有3r<不→三<w≤3， 4w 7 < 4 [答案]B [例4][解析]至少存在两个不相等 的实数x1,x2∈[π，2π]，使得f(x1) +f(x2)=2A当x>2T=4红，即m >4时，必存在两个不相等的实数x1, x2∈[π，2π]满足题意：当π<2T, 即0<w<4时，wx∈[πw,2πw], (a≤受+2kr (k∈Z), 2w>竖+2kr + (k∈Z): {≥号+6 当k≤0时，解集为财，不合题意；令k -1.则号<w≤号：令6-2.则只< <4； 综上所述：实数仙的取值范国为 [][+) [答案] [][+) 参考答案 题型3 [例5][解析] 因为f(若)-0， 又周为（后贤）=(00 且在（后贸）上格有1个零点， +吾>≥x 所以 11 y个 (24w+61 倒 解得<<4，所以号<w<， 2 NV 即。的取值范国为[受号] 所以<-吾≤T,所以≤T< [答案]A [例10][解析] 由题意，令r十子 吾，所以24<u≤48，又因为 =kc,k∈Z,得工=3k二开，k∈Z, 3w f(看)-m(肾+吾）0，所以管 ∴.f(x)的第2个、第3个正零点分别 +吾=kx,k∈Z,即四=6k-1,所以 为器 24<6k-1≤48，k∈Z,解得k=5,6, 5π≤2x 7,8,当k=5时，w有最小值29. {解将<<1， [答案]B )8π>2π T3w31 [例6][解析]因为0≤x≤2π，所以 0w.x2wπ，令f(x）=cos wr-1= 令-吾十2kx≤r十子≤受+2kx: 0,则cosw.x=1有3个根，令t=wx, k∈Z, 则cost=1有3个根，其中t∈[0， 2wπ]，结合余弦函数y=c0st的图象 +<≤系+告 性质可得4π≤2wx<6π，故2≤w<3. 24 令=0，(x)在【一二]上单 递增， y=08t [答案][2,3) [][恶系] 题型4 [例7][解析]将函数f(x)=sinw.x 的国象向右平移受个单位长度， 解得0<u≤ 3, 得y-sna(一) w>0, =si(o） 综上m的取值范国是号<w≤号。 [答案] [5,101 “y=in(ox-紧)的图象关于直线 L2’3」 第6节 复盘·必备知识必备知识掌握 1.sin B sin C2bccos A c b :。>0,@的最小值为子。 +a2-2cacos B a2+62-2abeos C (1)2Rsin B 2Rsin C (2)2R 「答案]D [例8][解析]f(x) (3)sin A:sin B:sin C +c2-a2 2bc =os(ar-至）w>0 c2+a2-2 a2+b2-c2 2ac 2ab 令r-=kx,k∈Z 自主诊断查验思考辨析 1十4k)π，k∈Z,函数f(x)在 (1)/(2)/ (3)×(4)/ 则x= 4 小题查验 区间[0，π]上有且仅有3条对称轴，即 1.C[在△ABC中，设AB=c=5,AC 0≤1十桃)还≤元有3个整数k符合， =b=3,BC=Q=7,所以由余弦定理 4w 得cos∠BAC=+c2-a2 0≤1+6)x≤元，得0≤十4≤1今0 2bc 4w 4w 1十4k4w,则k=0,1,2,即1+4× 9+2549--合，周为∠BAC为 30 24o<1+4X3是<<号 △ABC的内角，所以∠BAC-号.] [答案]C 2.A [eos A-ABAC-BC2 题型5 2AB·AC [例9][解析][因为f(x)在(0，π)有 6+4+2B-4-2B1+-E, 且仅有2个极值点，所以2x<wπ十日 2√6(1+√3)2√6(1+√3) 2 又0°<A<180°，故A=45°.] ≤3x,解得号<m≤吕，周为f)在 3.AB[由正孩定理in A sin B,得 (晋贤)上单捐运增， nA-怎，因为>b,所以A-60或 A=120°.] ·417·主题二第四章三角函数、解三角形 日跟踪训练 A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值 2.设函数f(x)=√3sin(2x+o)+cos(2x+o) C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 1p<),且其图象关于直线x=0对称，则 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 方法点拨 函数f(x)=Asin(ur十p)的奇偶性、对称性的应用 Ay=x)的最小正周期为，且在(0，受)上为 (1)若f(x)=Asin(wx十o)为偶函数，则当x=0时， 增函数 f(x)取得最大或最小值；若f(x) Asin(x十o)为奇函数，则当x=0时，f(x)=0. By=f代x)的最小正周期为x,且在(0，)上为 (2)对于函数y=Asin(wx十o),其对称轴一定经 减函数 过图象的最高点或最低点，对称中心一定是 函数的零点，因此在判断直线x=xo或点 C.y=f()的最小正周期为受，且在0，)上为 (xo,0)是否是函数的对称轴或对称中心时， 增函数 可通过检验f(xo)的值进行判断. D.y=f(x)的最小正周期为受，且在0，军)上为 跟踪训练 减函数 3.关于函数f)=3sin(2x+),有下列命题： [命题点3]三角函数奇偶性、对称性的应用 ①函数f(x)是奇函数： 5.使函数f(x)=√3sin(2x+0)+cos(2x+0)是偶 ②函数f(x)的图象关于直线x=一 对称： 函数，且在[0，]上是减函数的0的一个值是 ③函数fr)可以表示为y=3c0s(2x-): A晋 R号 c D. ④函数f(x)的图象关于点一骨0对称。 其中正确的命题的个数为 6.（多选)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x) A.4 B.3 C.2 D.1 sn2x和g(x）=sim(2红一)下列说法中正确 C温馨提 的有 学习至此，请完成配套训练课时冲关26 第5节函数y=Asin(wx十p)的图象与性质及三角函数模型的应用 ★[课程标准] 1.结合具体实例，了解函数y=Asin(x十p)的实际意义. 2.能画出y=Asin(wx十9)的图象，借助图象理解参数A,w,p的意义，了解参数的变化对函数图象的影响. 3.会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型. 复盘>必备知识 打通教材强基固本 必备知识掌握 2 3π 1.函数y=Asin(wx十o)的几个相关的概念 π一9 2π一9 振幅周期 频率相位 初相 y=Asin(wx+o) (A>0,w>0), A T=2x f 1 wx十g wx十9 π 3π 0 2 2 2π x∈R 2.用“五点法”作函数y=Asin(wx十9)(A>0, y 0 w>0)在一个周期内的简图时，要找五个特征点， Asin(ax+o) 如图： ·81 高考总复习数学(BS) 3.函数y=sinx的图象经变换得到y=Asin(wx十o) ◆[小题查验] (A>0,w>0)的图象的两种途径 1.函数y=sin2x-)在区间[-受x小上的简 画出y=sinx的图象 画出y=sinx的图象 图是 向左（佑平移1p个单位 横坐标变为原来的。倍 步 得到y=sinr+p)的图象 得到y=sin x的图象 横坐标变为原来的。倍 2 向左（佑）平移器个单位 步 得到y=sin(ox+p)的图象、 得到y=8in(ox+p)的图象 纵坐标变为原来的A倍 纵坐标变为原来的A倍 步 得到y=Asin(@x+p)的图象 得到y=Asin(wx+p)的图象 …重要结论· 1.函数的周期与图象的对称性之间的关系， (1)正弦曲线或余弦曲线相邻两对称中心、相邻 2.(BSD必修第二册P46练习T31)改编)为了得到 两对称轴之同的距离是号周期，相邻的对称 函数y=3sim2x-)的图象，只需把函数y 中心与对称轴之问的距离是子周期。 3sm2-罗)的图象上所有的点 (2)正切曲线相邻两对称中心之同的距离是号 A.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 周期。 B,横坐标缩短到原来的)，纵坐标不变 2.对称轴（对称中心）与函数值的关系， C.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快 速解题：设y=f(x)=Asin(wx十p),g(x) D.纵坐标缩短到原来的弓，横坐标不变 Acos(w.x十p),x=x0是对称轴方程台f(xo) 3.(多选)如图是函数y=sin(wx十p)的部分图象，则 =士A,g(x0)=士A;(x0,0)是对称中心台 sin(wx十p) () f(xo)=0,g(xo)=0. 自主诊断查验 ◆[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 里打“√”，错误的打“X”. A.sin B.sim（3-2x (1)将函数y=sin wx的图象向右平移p(o>0) 个单位长度，得到函数y=sin(wx一o)的图象. C.cos 2x+副 D.cos2 4.(忽视整体化思想致误)若函数f(x)=sin wx (2)要得到函数y=sin wx(w>0)的图象，只需将 函数y=sinx上所有点的横坐标变为原来的 (0<<2)在区间[0，]上单调递增，在区间 w倍. ( ) (3)将函数y=sinx图象上各点的纵坐标变为原 [昏，受]上单调递诚，则w 来的A(A>0)倍，便得到函数y=Asin x的 5.某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生 图象 () 猪收购价格每四个月会重复出现.下表是今年前 (4)函数f(x)=sin2x的最小正周期和最小值分 四个月的统计情况： 别为元，0. () 月份x 1234 (5)函数y=Acos(wx十p)的最小正周期为T,那 收购价格y(元/斤)6765 么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离 选用一个正弦型函数来近似描述收购价格（元/ 斤)与相应月份之间的函数关系为 ·82· 主题二第四章三角函数、解三角形 跃升>关键能力 题型突破素养提升 题型1〔由图象确定y=Asin(ar十p)的解析式 ②五点法：确定9值时，往往以寻找“五点法” L.已知函数g(.x)=Asin(w.x+p) 中的某一个点为突破口.具体如下： “第一点”（即图象上升时与x轴的交点）时ω +k(A>0,w>0,0<p<π)的 十o=0;“第二点”（即图象的“峰点”）时wx十9 部分图象如图所示，则g(x)的 解析式是 ：“第三点”（即图象下降时与x轴的交点） = ( A.y=2sin 〔2x+)+1 时ωx十p=元；“第四点”（即图象的“谷点”）时 wx十p= 受，“第五点”时x十g=2元 y=2n2++1 题型2〔函数y=Asin(ar十p)的图象及变换 C.-2sin2++ [典例](1)为了得到y=sin2x+cos2x的图象， 只要把y=√2cos2x的图象上所有的点( ) D.y-2sin(2e+2 A,向右平行移动个单位长度 2.A,B,C是直线y=m与函数f(x)=2sin(ux十9) B.向左平行移动个单位长度 (w>0,0<p<π)的图象的三个交点，如图所示. 8 其中，点A(0,√2)，B,C两点的横坐标分别为 C.向右平行移动罕个单位长度 D.向左平行移动于个单位长度 (2)把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短 到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右 .2 平移答个单位长度，得到函数y=s（。一)的 图象，则f(x) A.-√2 B.-1 C.√2 D.2 3.已知函数f(x)=2cos(u十p) An(台阅 sim(+) 的部分图象如图所示，则满 π C.sin2x-12 D.sin 足条件()-f(-)》 。[互动探究] 由函数y=sinx的图象作怎样的变换可得到y 〔)-f(经)》小0的最小正整数x为 2sin2x- 6 的图象？ 题后反思 确定y=Asin(r十o)+b(A>0,w>0)的步骤和方法 (1)求A,b:确定函数的最大值M和最小值m, 则A=M与m,b=M牛m 2 2 (2)求ω：确定函数的周期T,则可得w= T (3)求0的常用方法 ①代入法：把图象上的一个已知点代入（此时 A,w,b已知)或代入图象与直线y=b的交点 求解（此时要注意交点在上升区间上还是在 下降区间上)： ·83· 高考总复习数学(BS) 规律总结 2.已知函数y=sinx-牙) 在区间[0，a], 函数y=Asin(ur十o)(A>0,w>O)的图象的两种作法 (1)五点法：用“五点法”作y=Asin(wx十o)的简 [0,a+]上的值域均为[-1，b],则实数a的取 图，主要是通过变量代换，设之=wx十p,由之 值范围是 取0，受，受2x未求出相应的，道过列 解题技法 表，计算得出五点坐标，描点后得出图象. 解决三角函数图象与性质的综合问题的关键是 (2)图象变换法：由函数y=sinx的图象通过变 首先正确的将已知条件转化为三角函数解析式和 换得到y=Asin(wx+o)的图象，有两种主要 图象，然后再根据数形结合思想研究函数的性质 途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移” (单调性、奇偶性、对称性、周期性)，进而加深理解 易错警示 函数的极值点、最值点、零点及有界函数等概念 平移变换（或伸缩变换）是针对x而言，即x本身 题型4〔 三角函数模型及其应用 加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值. [典例]（多选）筒车是我国古代发明的一种水利 跟踪训练 灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产 中得到使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政 1.已知曲线G:y=osx,C2:y=sm2z+号)，为了得 全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2） 到曲线C,则对曲线C1的变换正确的是( 半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心 A.先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不 O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速 变)，再把得到的曲线向右平移个单位长度 转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图 中点P。)开始计时，则 ) B.先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 再把得到的曲线向左平移答个单位长度 C.先把横坐标缩短到原来的2倍（纵坐标不变）· 图1 图2 图3 再把得到的曲线向右平移是个单位长度 A.点P再次进入水中时用时30秒 B.当水轮转动50秒时，点P处于最低点 D.先把横坐标缩短到原来的2倍（纵坐标不 C.当水轮转动150秒时，点P距离水面2米 D.点P第二次到达距水面(1+3)米时用时 变)，再把得到的曲线向左平移登个单位长度 25秒 方法指导 2.(2023·全国甲卷)已知函数y=f(x)的图象由 三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函 函数y=cos 2x+君)的图象向左平移答个单位长 数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化 成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的 度得到，则y=f(x)的图象与直线y= 1 2x 有关知识解决问题。 交点个数为 (跟踪训练 A.1 B.2 C.3 D.4 潮汐现象是地球上的海水在太阳和月球双重引 题型3〔三角函数图象与性质的综合问题 力作用下产生的全球性的海水的周期性变化，人 们可以利用潮汐进行港口货运.某港口具体时刻 1.函数f(x)=sin(wx+p) (单位：小时)与对应水深y(单位：米)的函数关 （。>0,<)的图象 系式为y=3sim石1十10(0≤1≤24).某艘大型货 如图所示，先将函数f(x) 船要进港，其相应的吃水深度（船底与水面的距 图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标 离)为7米，船底与海底距离不小于4.5米时就 不变，再将所得函数的图象向左平移受个单位长 是安全的，该船于2点开始卸货（一次卸货最长 时间不超过8小时)，同时吃水深度以0.375米/ 度，得到函数g(x)的图象，下列结论正确的是 小时的速度减少，该船8小时内没有卸完货，要 ( 及时驶入深水区域，则该船第一次停止卸货的时 A.函数g(x)是奇函数 刻为 B.函数g(x)在区间[一2π，0]上是增函数 C.函数g(x)图象关于(3π，0)对称 ©温馨提污 学习至此，请完成配套训练 课时冲关27 D.函数g(x)图象关于直线x=一3π对称 ·84 主题二第四章 三角函数、解三角形 [热点强化课4]三角函数中有关⊙的取值范围问题 已知含参数w的函数y二Asin(ar十o)的解析式，三角函数的部分性质，求w的取值范围，是近年来 常考的一种类型题.由于其有时涉及到三角函数的零点、单调性、奇偶性、对称性、最值等性质的综合应 用，难度较大，学生对这一类问题不得其解，从而心生畏惧心理.现就这一类问题进行归纳总结 题型1{ 利用单调性求ω最值范围问题 题型3 利用零点求ω的取值范围 [例1]设函数f(x)=Asin(wx+o)(A、w、o都是 [例5] 已知函数fr)=-sinor+答)(w>0),若 常数，A>0,w>0),若f(x)在区间[0，]上具 f()=0,且x)在后上拾有1个零点 有单调性，且f（)f)-0,则f)的 则w的最小值为 最小正周期为 A.11 B.29 C.35 D.47 A誓 B.π C. D牙 [例6]（2023·新课标I卷)已知函数f(x) [例2]已知函数f(x)=cos wx(w>0)的图象关 cos wx一1(w>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零 于点(，0对称，且在区间[0，]上是单调 点，则w的取值范围是 方法指导 函数，则w的值不可能是 三角函数相关的零点问题，需要利用整体思想， A吉 B.4 C. 0 3 n号 数形结合等进行解决，通常要考虑最小正周期， 方法指导 根据零点个数，确定w的范围.三角函数两个零 与三角函数单调性相关的ω取值范围问题，需要 利用整体思想，结合集合之间的包含关系，列不 点之间的“水平间隔”为了，根摇三角面数的罗 等式组求解.通常要考虑三角函数的单调区间， 点个数，可以研究“w”的取值 包含关系确定ω的范围 题型4( 对称性有关的ω最值范围问题 题型2 利用最值求ω的取值范围 [例7]将函数f(x)=sin wx(其中w>0)的图象 [例3] 函数f(x)=+-)(w>0)在 向右平移牙个单位长度，所得图象关于直线x (管·至)内恰有两个最小值点，则如的范固是 π对称，则w的最小值是 ) A分 B.2 c.号 A侣 B9] [例8]已知函数f(x)=cos x(w>0)在 c(台] n(台 区间[0，π]上有且仅有3条对称轴，则w的取值 [例4]已知函数f(x)=Asin wx(A>0,w>0), 范围是 ) 若至少存在两个不相等的实数x1,x2∈[π，2π]， 4华] B(] 使得f(x1)+f(x2)=2A,则实数w的取值范围 是 c层劉 悍 方法指导 方法指导 利用最值求ω的取值范围，一种思路是利用值域 控制相位的范围，解不等式组求解；另一思路根 根据三角函数图象的对称性或对称轴（对称中 据三角函数最值点的个数求解参数范围的问题， 心)的个数求解参数范围的问题，解题关键是能 解题关键是能够采用整体对应的方式，根据 够采用整体对应的方式，根据ωx十9的范围所 ωx十p的范围所需满足的条件来构造不等式组， 需满足的条件来构造不等式组，解不等式组求得 解不等式组求得结果 结果， 85· 高考总复习数学(BS) 题型5综合性质有关的ω最值范围问题 [例10] 已知函数fr)=sin x+-牙}w>0),若 [例9]已知函数f(x)=2cos (w>0)在 x)[,]上恰有两个零点，且在[-牙]上 单调递增，则ω的取值范围是 (0,π)有且仅有2个极值点，且在 ,)上单 方法指导 利用三角函数的综合性质求ω的范围.问题，应结合 调递增，则ω的取值范围为 三角函数的图象，利用题中所给的自变量的范围求得 A[层] B.[4] 整体角的范围，根据三角函数的性质以及题中条件， 找到临界位置，再根据条件建立不等式求解即可. c2] D.[2,] C温馨提污 学习至此，请完成配套训练 课时冲关28 第6节 正弦定理和余弦定理及应用举例 ★[课程标准] 1.掌握余弦定理、正弦定理及其变形 2.能用余弦定理、正弦定理解决简单的三角形度量问题. 复盘>必备知识 打通教材强基固本 必备知识掌握 3.测量中的几个有关术语 1.正、余弦定理 术语 名称 术语意义 图形表示 在△ABC中，若角A,B,C所对的边分别是a,b, c,R为△ABC外接圆半径，则 在目标视线与水平视线（两者 在同一铅垂平面内)所成的角 酸 定理 正弦定理 余弦定理 仰角与 中，目标视线在水平视线上方 俯角 ” a2= 的叫做仰角，目标视线在水平 a 公式 sin A b2= 视线下方的叫做俯角 题 =2R C4= 从某点的指北方向线起按顺 (1)a=2Rsin A,b= 时针方向到目标方向线之间 方位角 135°东 ,C= 的夹角叫做方位角.方位角0 的范围是0°≤0<360 (2)sin A=4 2R,sin B= 梦 cos A= 例：(1)北偏 见 ,sin C= 2R cos B= 东a: 变 (3)a:b:c cos C= 北 形 正北或正南方向线与目标 /东 ； (4)asin B=bsin A, 方向角方向线所成的锐角，通常表 达为北（南）偏东（西）a (2)南偏西a: bsin C=csin B,asin C 北 =csin A 东 2.三角形常用面积公式 1)S=1 a·ha(ha表示边a上的高). 坡面与水平面所成的锐二面 坡角 角叫坡角(0为坡角)；坡面的 (2)S=1 2 absin C=1。 acsin Blesin A. 与坡比 垂直高度与水平长度之比叫 坡比（坡度），即= =tan 0 (3)S=1, r(a十b+c)(r为三角形内切圆半径). ·86·