4.6函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用讲义——2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用，涵盖参数意义、五点法作图、图象变换、解析式求解等核心考点，按概念-作图-变换-应用逻辑架构知识。通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生系统突破难点，提升复习针对性。 讲义以数学眼光构建几何直观，通过五点法作图列表训练空间观念；以数学思维发展推理意识，对比图象变换两种途径强化逻辑分析；以数学语言培养模型观念，规范解析式求解步骤。设置分层练习与真题演练，助力学生高效突破考点，为教师把控复习节奏提供实用指导。

第6节　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用 1.结合具体实例，了解函数y＝Asin（ωx＋φ）（A≠0，ω≠0）的实际意义. 2.能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响. 　　 函数y＝Asin（ωx＋φ）的有关概念及五点法作图 1.函数y＝Asin（ωx＋φ）的有关概念 y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0） 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ 2.用“五点法”画y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）一个周期内的简图 用“五点法”画y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： ωx＋φ 0 π 2π x － y＝ Asin（ωx＋φ） 0 0 0 （1）利用“五点法”作函数y＝Asin（ωx＋φ）＋b的图象时，其五点的坐标分别为（－，1），（，），（，1），（，），（，1）.若该函数描述的是一简谐运动的变化规律，则该运动的振幅是　　　　，相位是　　　　； （2）（2026·福建泉州月考）用五点法作下列函数的大致图象. ①y＝2－sin x，x∈[0，2π]； ②y＝cos（x＋），x∈［－，π］. 1.利用“五点法”作函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）或f（x）＝Acos（ωx＋φ）的图象，实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象.（作f（x）＝Atan（ωx＋φ）的图象一般用“三点两线法”） 2.当在同一坐标系中作两个函数的图象时，要注意其相对位置，常借助于函数值的大小来确定. 练1 （1）（2024·新高考Ⅰ卷7题）当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin（3x－）的交点个数为（　　） A.3 B.4 C.6 D.8 （2）已知函数y＝3sin（x－）. ①用五点法做出函数的图象； ②求此函数的振幅、周期和初相. 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象变换 函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的图象的两种途径 提醒：（1）函数y＝Asin（ωx＋φ）＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”；（2）先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是｜φ｜个单位长度；（3）先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位长度. （1）已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin（2x＋），为了得到曲线C2，则对曲线C1的变换正确的是（　　） A.先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移个单位长度 B.先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度 C.先把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移个单位长度 D.先把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度 （2）〔多选〕为了得到函数f（x）＝sin（ 2x－）的图象，只需把正弦曲线上所有的点（　　） A.先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B.先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C.先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 D.先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 三角函数图象变换解题策略 （1）解题时首先分清原函数与变换后的函数； （2）异名三角函数图象变换要利用诱导公式sin α＝cos（ α－），cos α＝sin（ α＋）将不同名函数转换成同名函数； （3）无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移｜φ｜个单位长度，都是自变量x变为x±｜φ｜，而不是ωx变为ωx±｜φ｜. 练2 （1）将函数f（x）＝2sin（ 2x－）图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所有点的横坐标变为原来的后，得到函数g（x）的图象，则g（ ）＝（　　） A.　　　B. C.　　　D.1 （2）已知函数f（x）＝sin ωx（ω＞0）的图象的一部分如图1，则图2中的函数图象对应的函数是（　　） A.y＝f（2x－） B.y＝f（－） C.y＝f（－1） D.y＝f（2x－1） 由图象求函数的解析式 （1）（2026·河南名校调研）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图，则f（ ）＝（　　） A.－1　　B.－ C.－　　D.－2 （2）设函数f（x）＝cos（ωx＋）在[－π，π]上的图象大致如图，则f（x）的解析式为（　　） A.f（x）＝cos（－x＋） B.f（x）＝cos（x＋） C.f（x）＝cos（x－） D.f（x）＝cos（x＋） 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 确定y＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0）的步骤和方法 （1）求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝； （2）求ω：确定函数的最小正周期T，则ω＝； （3）求φ：把图象上的一个已知点代入（此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上）或把图象的最高点或最低点代入. 练3 （1）已知函数f（x）＝Atan（ωx＋φ）（ ω＞0，｜φ｜＜），y＝f（x）的部分图象如图所示，则f（x）＝　　　　； （2）（2023·新高考Ⅱ卷16题）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ），如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f（x）的两个交点，若｜AB｜＝，则f（π）＝　　　　. 第6节　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用 （时间：60分钟，满分：92分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.用“五点法”作函数y＝2cos x－1在[0，2π]上的图象时，应取的五点为（　　） A.（0，1），（ ，0），（π，－1），（ ，0），（2π，1） B.（0，1），（ ，－1），（π，－3），（ ，－1），（2π，1） C.（0，1），（π，－3），（2π，1），（3π，－3），（4π，1） D.（0，1），（ ，－1），（ ，0），（ ，－1），（ ，－2） 2.函数y＝sin（2x－）在区间［－，π］上的简图是（　　） 3.〔一题多解〕为了得到y＝sin 2x＋cos 2x的图象，只要把y＝cos 2x图象上所有的点（　　） A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度 C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 4.已知函数f（x）＝2cos（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则f（ ）＝（　　） A. B.－ C. D.－ 5.如图，函数y＝tan的部分图象与坐标轴分别交于点D，E，F，则△DEF的面积为（　　） A. B. C.π D.2π 6.〔多选〕（2026·湖北荆州模拟）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A.ω＝2 B.函数f（x）的图象关于直线x＝－对称 C.函数f（x－）是偶函数 D.将函数f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数y＝2sin（x＋）的图象 7.已知将函数f（x）＝cos 2x的图象向右平移t（t＞0）个单位长度后得到函数g（x）＝sin（2x＋）的图象，写出符合题意的一个t值为　　　　. 8.若将函数y＝tan（ωx＋）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝tan（ωx＋）的图象重合，则ω的最小值为　　　　. 9.（2026·陕西西安模拟）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（其中A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的部分图象如图所示，则f（x）在上的值域为　　　　. 10.（15分）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（ A＞0，ω＞0，－＜φ＜）的最小正周期是π，且当x＝时，f（x）取得最大值2. （1）求f（x）的解析式； （2）作出f（x）在[0，π]上的图象（要列表）； （3）函数f（x）的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？ 11.（2025·河南郑州二模）函数f（x）＝2sin（ 2x＋）与函数g（x）＝log2x的图象交点个数为（　　） A.3 B.5 C.6 D.7 12.〔多选〕已知函数f（x）＝cos（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象在y轴上的截距为，是该函数的最小正零点，则（　　） A.φ＝ B.f（x）＋f'（x）≤2恒成立 C.f（x）在（0，）上单调递减 D.将y＝f（x）的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于y轴对称 13.〔创新交汇〕（2026·江苏南通模拟）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图中实线所示，圆C与f（x）图象交于M，N两点，且M在y轴上，则圆C的半径为　　　　. 14.（15分）已知函数f（x）＝2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx（ω＞0），且f（x）的最小正周期为π. （1）求ω的值及函数f（x）的单调递减区间； （2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，求当x∈［0，］时，函数g（x）的最大值 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6节　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用 课标要求 1.结合具体实例，了解函数y＝Asin（ωx＋φ）（A≠0，ω≠0）的实际意义. 2.能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响. 函数y＝Asin（ωx＋φ）的有关概念及五点法作图 1.函数y＝Asin（ωx＋φ）的有关概念 y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0） 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ 　ωx＋φ　 　φ　 2.用“五点法”画y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）一个周期内的简图 用“五点法”画y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： ωx＋φ 0 π 2π x － － － y＝ Asin（ωx＋φ） 0 　A　 0 　－A　 0 （1）利用“五点法”作函数y＝Asin（ωx＋φ）＋b的图象时，其五点的坐标分别为（－，1），（，），（，1），（，），（，1）.若该函数描述的是一简谐运动的变化规律，则该运动的振幅是　　，相位是　2x－　； 解析：由题意知y＝Asin（ωx＋φ）＋b的最大值M＝，最小值m＝，所以A＝＝，故该运动的振幅A＝；由（－，1），（，1）是函数相邻的两个平衡点，所以T＝2［－（－）］＝π，即ω＝2，当x＝0时，初相φ＝－，故该运动的相位是2x－. （2）（2026·福建泉州月考）用五点法作下列函数的大致图象. ①y＝2－sin x，x∈[0，2π]； ②y＝cos（x＋），x∈［－，π］. 解：①y＝2－sin x，x∈[0，2π]， 列表如下： x 0 π 2π y 2 1 2 3 2 根据表格画出图象如图所示. ②y＝cos（ x＋），x∈， 列表如下： x － x＋ 0 π 2π y 1 0 －1 0 1 根据表格画出图象如图所示. 规律方法 1.利用“五点法”作函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）或f（x）＝Acos（ωx＋φ）的图象，实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象.（作f（x）＝Atan（ωx＋φ）的图象一般用“三点两线法”） 2.当在同一坐标系中作两个函数的图象时，要注意其相对位置，常借助于函数值的大小来确定. 练1 （1）（2024·新高考Ⅰ卷7题）当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin（3x－）的交点个数为（　　） A.3 B.4 C.6 D.8 解析：C　因为函数y＝sin x的最小正周期为T＝2π，函数y＝2sin（3x－）的最小正周期为T＝，所以在x∈[0，2π]上函数y＝2sin（3x－）的图象恰有三个周期，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，由图可知，两函数图象有6个交点.故选C. （2）已知函数y＝3sin（x－）. ①用五点法做出函数的图象； ②求此函数的振幅、周期和初相. 解：①列表： x π π π π x－ 0 π π 2π 3sin（x－） 0 3 0 －3 0 描点、连线，如图所示. ②振幅A＝3，周期T＝＝＝4π，初相是－. 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象变换 函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的图象的两种途径 提醒：（1）函数y＝Asin（ωx＋φ）＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”；（2）先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是｜φ｜个单位长度；（3）先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位长度. （1）已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin（2x＋），为了得到曲线C2，则对曲线C1的变换正确的是（　C　） A.先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移个单位长度 B.先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度 C.先把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移个单位长度 D.先把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度 解析： C2：y＝sin（2x＋）＝cos［－（2x＋）］＝cos（－2x）＝cos（2x－）＝cos 2（x－）.故把y＝cos x的图象横坐标缩短到原来的，得到y＝cos 2x的图象，再把y＝cos 2x的图象向右平移个单位长度即得到C2的图象.故选C. （2）〔多选〕为了得到函数f（x）＝sin（ 2x－）的图象，只需把正弦曲线上所有的点（　AC　） A.先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B.先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C.先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 D.先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 解析：正弦曲线y＝sin x先向右平移个单位长度，得到函数y＝sin（ x－）的图象，再将所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数f（x）＝sin（ 2x－）的图象，故A正确，B错误；先将正弦曲线y＝sin x上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝sin 2x的图象，再向右平移个单位长度，得到函数f（x）＝sin（ 2x－）的图象，故C正确，D错误. 规律方法 三角函数图象变换解题策略 （1）解题时首先分清原函数与变换后的函数； （2）异名三角函数图象变换要利用诱导公式sin α＝cos（ α－），cos α＝sin（ α＋）将不同名函数转换成同名函数； （3）无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移｜φ｜个单位长度，都是自变量x变为x±｜φ｜，而不是ωx变为ωx±｜φ｜. 练2 （1）将函数f（x）＝2sin（ 2x－）图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所有点的横坐标变为原来的后，得到函数g（x）的图象，则g（ ）＝（　A　） A. B. C. D.1 （2）已知函数f（x）＝sin ωx（ω＞0）的图象的一部分如图1，则图2中的函数图象对应的函数是（　D　） A.y＝f（2x－） B.y＝f（－） C.y＝f（－1） D.y＝f（2x－1） 解析：（1）将函数f（x）＝2sin（ 2x－）图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝2sin［2（ x＋）－］＝2sin 2x的图象，再把所有点的横坐标变为原来的，得到函数g（x）＝2sin 2（2x）＝2sin 4x的图象，所以g（ ）＝2sin＝. （2）由题图1、2知，函数的周期先变为原来的倍，得到的图象再向右平移个单位长度，所以得到y＝f（2x－1）的图象.故选D. 由图象求函数的解析式 （1）（2026·河南名校调研）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图，则f（ ）＝（　B　） A.－1　　　B.－ C.－　　　D.－2 解析： 由题图可知，A＝2，设函数f（x）的最小正周期为T，则＝－（ －）＝，所以T＝＝，解得ω＝3，则f（x）＝2sin（3x＋φ）.由f（ －）＝2sin（ －＋φ）＝2，可取φ＝，则f（x）＝2sin（ 3x＋），f（ ）＝2sin（ 3×＋）＝2sin＝－. （2）设函数f（x）＝cos（ωx＋）在[－π，π]上的图象大致如图，则f（x）的解析式为（　B　） A.f（x）＝cos（－x＋） B.f（x）＝cos（x＋） C.f（x）＝cos（x－） D.f（x）＝cos（x＋） 解析：由图象知π＜T＜2π，即π＜＜2π，所以1＜｜ω｜＜2.因为图象过点（－，0），所以cos（－ω＋）＝0，所以－ω＋＝kπ＋，k∈Z，解得ω＝－k－，k∈Z.因为1＜｜ω｜＜2，故k＝－1，得ω＝，所以f（x）＝cos（x＋）. 规律方法 确定y＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0）的步骤和方法 （1）求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝； （2）求ω：确定函数的最小正周期T，则ω＝； （3）求φ：把图象上的一个已知点代入（此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上）或把图象的最高点或最低点代入. 练3 （1）已知函数f（x）＝Atan（ωx＋φ）（ ω＞0，｜φ｜＜），y＝f（x）的部分图象如图所示，则f（x）＝　tan（ 2x＋）　； （2）（2023·新高考Ⅱ卷16题）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ），如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f（x）的两个交点，若｜AB｜＝，则f（π）＝　－　. 解析：（1）由图象可知，＝－，即＝，所以ω＝2，再结合图象，可得2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，即｜φ｜＝｜kπ＋｜＜，所以－＜k＜，又k∈Z，所以k＝0，所以φ＝，又图象过点（0，1），代入得Atan＝1，所以A＝1，函数的解析式为f（x）＝tan（ 2x＋）. （2）由题图设点A（ x1，），B（ x2，），则｜AB｜＝x2－x1＝.由题图可知其中k∈Z，则ω（x2－x1）＝，解得ω＝4.因为函数f（x）的图象过点（ ，0），所以4×＋φ＝2kπ，k∈Z，则φ＝2kπ－，k∈Z，所以f（x）＝sin（ 4x＋2kπ－）＝sin（ 4x－＋2kπ）＝sin（ 4x－），k∈Z.故f（π）＝sin（ 4π－）＝sin＝－. （时间：60分钟，满分：92分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.用“五点法”作函数y＝2cos x－1在[0，2π]上的图象时，应取的五点为（　　） A.（0，1），（ ，0），（π，－1），（ ，0），（2π，1） B.（0，1），（ ，－1），（π，－3），（ ，－1），（2π，1） C.（0，1），（π，－3），（2π，1），（3π，－3），（4π，1） D.（0，1），（ ，－1），（ ，0），（ ，－1），（ ，－2） 解析：B　由“五点法”作图可知B正确. 2.函数y＝sin（2x－）在区间［－，π］上的简图是（　　） 解析：A　当x＝0时，y＝sin（－）＝－＜0，故排除B、D；当x＝时，y＝sin（2×－）＝sin 0＝0，排除C，故选A. 3.〔一题多解〕为了得到y＝sin 2x＋cos 2x的图象，只要把y＝cos 2x图象上所有的点（　　） A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度 C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 解析：A　法一　y＝sin 2x＋cos 2x＝sin（ 2x＋），由诱导公式可知y＝cos 2x＝sin（ 2x＋）＝sin［2（ x＋）］.又y＝sin（ 2x＋）＝sin［2（ x＋）］，则－＝，所以只需把图象向右平移个单位长度. 法二　y＝sin 2x＋cos 2x＝cos（2x－）＝cos［2（x－）］，所以只需把y＝cos 2x图象上各点向右平移个单位长度. 4.已知函数f（x）＝2cos（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则f（ ）＝（　　） A. B.－ C. D.－ 解析：B　由题图可知T＝－＝（T为f（x）的最小正周期），即T＝π，所以＝π，即ω＝2，故f（x）＝2cos（2x＋φ）.点（ ，0）可看作“五点作图法”中的第二个点，故2×＋φ＝，得φ＝－，即f（x）＝2cos（ 2x－），所以f（ ）＝2cos（ 2×－）＝－.故选B. 5.如图，函数y＝tan的部分图象与坐标轴分别交于点D，E，F，则△DEF的面积为（　　） A. B. C.π D.2π 解析：A　在y＝tan中，令x＝0，可得y＝1，所以D（0，1）；令y＝0，解得x＝－（k∈Z），故E，F.所以△DEF的面积为××1＝. 6.〔多选〕（2026·湖北荆州模拟）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A.ω＝2 B.函数f（x）的图象关于直线x＝－对称 C.函数f（x－）是偶函数 D.将函数f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数y＝2sin（x＋）的图象 解析：ABD　由图可得，A＝2，－＝×，解得ω＝2，故A正确；又函数图象经过点（，2），则2sin（2×＋φ）＝2，即sin（＋φ）＝1，因｜φ｜＜，故＋φ＝，解得φ＝，故f（x）＝2sin（2x＋）.对于B，当x＝－时，2x＋＝－，此时函数取得最小值，故B正确；对于C，f（x－）＝2sin（2x－＋）＝－2sin 2x，是奇函数，故C错误；对于D，将函数f（x）＝2sin（2x＋）图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数y＝2sin（x＋）的图象，故D正确.故选A、B、D. 7.已知将函数f（x）＝cos 2x的图象向右平移t（t＞0）个单位长度后得到函数g（x）＝sin（2x＋）的图象，写出符合题意的一个t值为　（答案不唯一）　. 解析：因为f（x）＝cos 2x＝sin（2x＋）＝sin 2（x＋），g（x）＝sin 2（x＋），所以将f（x）的图象向右平移t＝kπ＋，k∈N个单位长度即可得到g（x）的图象.当k＝0时，t＝. 8.若将函数y＝tan（ωx＋）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝tan（ωx＋）的图象重合，则ω的最小值为　　. 解析：y＝tan（ωx＋）y＝tan（ωx－＋）＝tan（ωx＋），∴－＝＋kπ（k∈Z），又∵ω＞0，∴ωmin＝. 9.（2026·陕西西安模拟）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（其中A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的部分图象如图所示，则f（x）在上的值域为　[－2，－]　. 解析：设f（x）的最小正周期为T，由题图可知，A＝2，T＝－（ －）＝，则T＝π＝，得ω＝2，故f（x）＝2sin（2x＋φ）.又f（ －）＝2sin（ －＋φ）＝0，则－＋φ＝kπ，k∈Z，解得φ＝＋kπ，k∈Z，因为｜φ｜＜，所以φ＝，从而f（x）＝2sin（ 2x＋），当x∈时，2x＋∈，则－2≤f（x）≤－，即f（x）在上的值域为[－2，－]. 10.（15分）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（ A＞0，ω＞0，－＜φ＜）的最小正周期是π，且当x＝时，f（x）取得最大值2. （1）求f（x）的解析式； （2）作出f（x）在[0，π]上的图象（要列表）； （3）函数f（x）的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？ 解：（1）因为函数f（x）的最小正周期是π，所以ω＝2. 又因为当x＝时，f（x）取得最大值2，所以A＝2，同时2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z， 即φ＝2kπ＋，k∈Z，因为－＜φ＜，所以φ＝，所以f（x）＝2sin（ 2x＋）. （2）因为x∈[0，π]，所以2x＋∈. 列表如下： 2x＋ π 2π x 0 π f（x） 1 2 0 －2 0 1 描点、连线得图象如图所示， （3）将y＝sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin（ x＋）的图象，再将y＝sin（ x＋）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y＝sin（ 2x＋）的图象，再将y＝sin（ 2x＋）上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到f（x）＝2sin（ 2x＋）的图象. 11.（2025·河南郑州二模）函数f（x）＝2sin（ 2x＋）与函数g（x）＝log2x的图象交点个数为（　　） A.3 B.5 C.6 D.7 解析：A　通过五点法（ ，2），（ ，0），（ ，－2），（ ，0），（ ，2）作出周期函数f（x）的图象，再通过两点法（1，0），（4，2）作出单调函数g（x）＝log2x的图象，因为4∈（ ，），所以通过图象可判断它们有3个交点，故选A. 12.〔多选〕已知函数f（x）＝cos（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象在y轴上的截距为，是该函数的最小正零点，则（　　） A.φ＝ B.f（x）＋f'（x）≤2恒成立 C.f（x）在（0，）上单调递减 D.将y＝f（x）的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于y轴对称 解析：AC　由f（x）＝cos（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象在y轴上的截距为，得f（0）＝cos φ＝，又0＜φ＜，解得φ＝，A正确；又是该函数的最小正零点，所以ω＋＝，解得ω＝2，所以f（x）＝cos（2x＋），所以f（x）＋f'（x）＝cos（2x＋）－2sin（2x＋）＝sin（2x＋＋θ），其中tan θ＝－，故f（x）＋f'（x）的最大值为＞2，B错误；当x∈（0，）时，f'（x）＝－2sin（2x＋）＜0恒成立，所以f（x）在（0，）上单调递减，C正确；原图象向右平移个单位长度，得到g（x）＝cos（2x－）的图象，由余弦函数性质知，该函数不是偶函数，其图象不关于y轴对称，D错误.故选A、C. 13.〔创新交汇〕（2026·江苏南通模拟）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图中实线所示，圆C与f（x）图象交于M，N两点，且M在y轴上，则圆C的半径为　　. 解析：因为点M，N关于点C对称，所以xC＝×＝，函数f（x）的最小正周期T满足＝－（ －），解得T＝π，即＝π，所以ω＝2.由图象可得f（x）的最大值点为（ －＋）＝，所以2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，结合0＜φ＜π，取k＝0得φ＝，则f（x）＝sin（ 2x＋）.因此可得OM＝f（0）＝sin＝，所以圆C的半径r＝＝＝. 14.（15分）已知函数f（x）＝2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx（ω＞0），且f（x）的最小正周期为π. （1）求ω的值及函数f（x）的单调递减区间； （2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，求当x∈［0，］时，函数g（x）的最大值. 解：（1）f（x）＝2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋ ＝2sin（2ωx＋）＋，T＝＝π，所以ω＝1，f（x）＝2sin（2x＋）＋. 令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函数f（x）的单调递减区间为［＋kπ，＋kπ］，k∈Z. （2）由f（x）＝2sin（2x＋）＋向右平移个单位长度后得g（x）＝2sin（2x－）＋， 因为x∈［0，］，则2x－∈［－，］，则0≤2sin（2x－）＋≤2＋， 则函数g（x）的最大值为2＋ 学科网（北京）股份有限公司 $