25.3 实际问题与一元二次方程 分层训练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学25.3实际问题与一元二次方程同步练，通过三级分层设计，实现从基础模型到综合应用的知识巩固，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |必做一|增长率、传播、利润等单一模型|选择填空聚焦方程建立，解答题强化基础应用（如矩形折叠问题）| |必做二|含变化率、几何综合的复杂模型|增设模型辨析题（如降价率方程判断），动态几何问题（如运动点面积计算）| |选做附加|跨情境综合与拓展探究|阅读探究题深化变化率模型，存在性问题（如面积最值）培养推理能力|

九年级数学 · 25.3 实际问题与一元二次方程 · 分层训练 25.3 实际问题与一元二次方程 分层训练 第一部分（必做） 一、选择题（共 6 题） 1．某校图书馆两年间借阅量如下表。若年平均增长率为x，则符合题意的方程是（ ） 年份 2024年 2026年 年借阅量/册 5000 7200 A．5000(1＋2x)＝7200 B．5000(1＋x)²＝7200 C．5000(1－x)²＝7200 D．5000＋x²＝7200 2．某科普消息由3名同学同时开始传播，每一轮中每名已知消息的同学都向x名此前不知道消息的同学传播。两轮后共有147人知道消息，则可列方程（ ） A．3(1＋x)²＝147 B．3＋2x＝147 C．3＋3x＋x²＝147 D．3x²＝147 3．某商品进价30元/件，原售价60元/件，每天可售50件。若每降价1元，每天可多售5件。设每件降价x元，若日利润为1875元，则可列方程（ ） A．(30－x)(50＋5x)＝1875 B．(60－x)(50＋5x)＝1875 C．(30＋x)(50－5x)＝1875 D．(60－x－30)(50－5x)＝1875 4．如图，一张长24 cm、宽18 cm的矩形硬纸板，在四个角各剪去一个边长为x cm的小正方形，折成无盖纸盒。若纸盒底面积为216 cm²，则可列方程（ ） （第4题图） A． (24－x)(18－x)＝216 B．(24－2x)(18－2x)＝216 C．24×18－4x²＝216 D．x(24－2x)(18－2x)＝216 5．某校举行单循环乒乓球赛，每两名选手之间比赛1场，共赛36场。若有n名选手参赛，则n的值为（ ） A．8 B．9 C．10 D．12 6．解某实际问题得到方程x²－9x＋8＝0，解得x＝1或x＝8。若x表示在宽10 m的矩形场地四周内侧修建的等宽道路宽度，则实际应取（ ） A．x＝1 B．x＝8 C．x＝1或8 D．两个根都舍去 二、填空题（共 4 题） 7．某产品年产量由1250件经过连续两年按相同增长率增长到1800件，则年平均增长率为________。 8．某商品连续两次按相同百分率降价，价格由250元降到160元，则每次降价的百分率为________。 9．一个正n边形共有35条对角线，则n＝________。 10． 一个两位数等于其个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为________。 三、解答题（共 4 题） 11．某社团由2名同学同时开始转发活动通知。每一轮中，每名已知通知的同学都向x名此前不知道通知的同学转发，且不重复。若不采取限制措施，两轮后共有98名同学知道通知。 （1）求x的值； （2）第一轮结束后共有14人知道通知。若第二轮开始前有4人不再转发，其余同学仍按原速度转发，求两轮后共有多少人知道通知。 12．某车间4月份生产某零件400件，5、6月份的月平均增长率相同，第二季度三个月共生产1456件。求5、6月份的月平均增长率。 13．某文创店销售一种纪念品，进价24元/件，售价40元/件，每天可售120件。调查发现，售价每提高2元，每天少售10件。商店计划使日利润达到1980元，且每天销量不少于100件。求每件纪念品的售价。 14．如图，在长30 m、宽20 m的矩形场地上修建三条同样宽的道路，其中两条与宽边平行，另一条与长边平行，道路均贯通场地。若余下草坪的总面积为468 m²，求道路的宽。 （第14题图） 第二部分（必做） 四、选择题（共 4 题） 15．某工厂某月产量为600件，下月增长率为x，再下一个月的增长率比x高10个百分点，两个月后产量为792件，则可列方程（ ） A．600(1＋x)(1＋x＋0.1)＝792 B．600(1＋2x＋0.1)＝792 C．600(1＋x)²＝792 D．600x(x＋0.1)＝792 16．某商品连续两次按相同降价率x降价，原价300元，现价192元。小明列出方程300(1－2x)＝192。下列判断正确的是（ ） A．小明正确 B．应列300(1－x)²＝192 C．应列300(1－x²)＝192 D．应列300－2x＝192 17．一张长10 cm、宽6 cm的照片四周粘贴同样宽的相框，成品外轮廓为矩形且面积为140 cm²。设相框宽为x cm，则可列方程（ ） A．(10＋x)(6＋x)＝140 B．(10＋2x)(6＋2x)＝140 C．60＋4x＝140 D．(10－2x)(6－2x)＝140 18．如图，利用一面墙围成三个并排且大小相同的矩形仓库，其余边共用80 m围栏。若垂直于墙的一边长为x m，三个仓库总面积为336 m²，则可列方程（ ） （第18题图） A． x(80－2x)＝336 B．x(80－3x)＝336 C．x(80－4x)＝336 D．4x(80－x)＝336 五、填空题（共 4 题） 19．两个连续正整数的平方和为313，则这两个正整数的和为________。 20．某植物有x根主枝，每根主枝上长有(x＋1)根小枝，主枝和小枝总数为35，则x＝________。 21．一个两位数的个位数字比十位数字大2，且两位数字的积为24，则这个两位数为________。 22． 学生排成一个长方形方阵，若有x行，每行比行数多3人，共154人，则x＝________。 六、解答题（共 4 题） 23． 某车间要完成720个零件。技术改进前每天生产x个，改进后每天比原来多生产20个，结果提前3天完成任务。 （1）求技术改进前每天生产多少个零件； （2）技术改进后完成这批零件需要多少天？ 24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12 cm，BC＝9 cm。点P从A沿AC向C运动，点Q从B沿BC向C运动，两点同时出发，速度均为1 cm/s。设运动时间为t s（0≤t≤9）。 （1）用含t的式子表示CP、CQ； （2）当△PCQ的面积为20 cm²时，求t。 （第24题图） 25．如图，一块矩形菜地一边靠墙，其余三边用50 m长的围栏围成。与墙平行的一边留有两扇各1 m宽的门，门处不使用围栏。菜地面积为288 m²。设垂直于墙的一边长为x m。 （1）求菜地可能的长和宽； （2）若可利用的墙长只有20 m，应选取哪一组尺寸？ （第25题图） 26． 某班组织单循环棋类比赛，原有n名同学报名。比赛开始后，一名同学因故只完成3场比赛便退出，其余同学之间的比赛全部完成。最终共进行了39场比赛。 （1）列方程求原有多少名同学报名； （2）若该同学没有退出，原计划共应进行多少场比赛？ 27． 第三部分（选做·附加） 27【阅读探究】若某数量的初始值为a，第一期变化率为p，第二期变化率为q，则两期后的数量为a(1＋p)(1＋q)。利用这一模型解决下列问题： （1）某商品销量第一期增长25%，第二期下降20%，初始销量为10000件，求两期后的销量； （2）某项目投入资金由2500万元经过两年按相同增长率增长到3025万元，求年平均增长率； （3）某产品月产量为2000件，第一个月增长率为x，第二个月增长率比第一个月高10个百分点，两个月后月产量为2640件，求x。 28．如图，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝9 cm。点P从A沿AB向B以1 cm/s的速度运动，点Q从B沿BC向C以1 cm/s的速度运动，两点同时出发；当Q到达C时，两点同时停止。设运动时间为t s。 （1）用含t的式子表示PB、BQ； （2）当△PBQ的面积为16 cm²时，求t； （3）是否存在t，使△PBQ的面积为20 cm²？若存在，求t；若不存在，说明理由。 （第28题图） 详细答案与解析 第一部分（必做） 1．答案：B 解析：从2024年到2026年经历两个增长周期。设年平均增长率为x，则2026年的借阅量应表示为5000(1＋x)²，所以列方程5000(1＋x)²＝7200。 2．答案：A 解析：初始有3人。第一轮后共有3(1＋x)人，第二轮后共有3(1＋x)²人。由题意3(1＋x)²＝147。 3．答案：A 解析：每件降价x元后，每件利润为60－x－30＝30－x（元），每天销量为50＋5x（件），所以日利润为(30－x)(50＋5x)，由题意等于1875。 4．答案：B 解析：四角各剪去边长为x cm的小正方形后，纸盒底面的长、宽分别为(24－2x)cm、(18－2x)cm，因此(24－2x)(18－2x)＝216。选项D表示的是体积，不符合题意。 5．答案：B 解析：n名选手进行单循环赛，每两人赛1场，因此有n(n－1)＝72。整理得n²－n－72＝0，即(n－9)(n＋8)＝0。人数为正，故n＝9。 6．答案：A 解析：道路修在宽10 m的矩形场地四周内侧，若道路宽为x m，则必须满足0＜x＜5。x＝8虽是方程的根，但不符合实际取值范围，因此只取x＝1。 7．答案：20% 解析：设年平均增长率为x，则1250(1＋x)²＝1800，即(1＋x)²＝1.44。因题意为增长，1＋x＝1.2，所以x＝0.2＝20%。 8．答案：20% 解析：设每次降价率为x，则250(1－x)²＝160，即(1－x)²＝0.64。由0＜x＜1，得1－x＝0.8，所以x＝20%。 9．答案：10 解析：正n边形共有35条对角线，可得n(n－3)＝70。整理为n²－3n－70＝0，即(n－10)(n＋7)＝0。边数为正整数，所以n＝10。 10．答案：25或36 解析：设十位数字为x，则个位数字为x＋3，原数为11x＋3。由题意11x＋3＝(x＋3)²，整理得x²－5x＋6＝0，即(x－2)(x－3)＝0。故x＝2或3，对应两位数为25或36。 11．解： （1）根据传播规律，两轮后知道通知的人数为2(1＋x)²。 由题意，2(1＋x)²＝98， 所以(1＋x)²＝49。 因为x表示每人转发的人数，x≥0，所以1＋x＝7，解得x＝6。 答：每名同学每轮向6名新同学转发。 （2）第一轮结束后有14人知道通知，其中4人不再转发，第二轮实际有14－4＝10（人）转发。 第二轮新增人数为10×6＝60（人）， 所以两轮后共有14＋60＝74（人）。 答：两轮后共有74人知道通知。 12．解： 设5、6月份的月平均增长率为x。 则5月份产量为400(1＋x)件，6月份产量为400(1＋x)²件。 根据题意， 400＋400(1＋x)＋400(1＋x)²＝1456。 两边同时除以400，得 1＋(1＋x)＋(1＋x)²＝3.64。 整理得x²＋3x－0.64＝0， 即(5x－1)(5x＋16)＝0。 解得x＝0.2或x＝－3.2。 增长率不可能小于－100%，且题意为增长，因此舍去x＝－3.2。 答：5、6月份的月平均增长率为20%。 13．解： 设售价提高2x元，则每件售价为(40＋2x)元，每件利润为(16＋2x)元，每天销量为(120－10x)件。 由题意， (16＋2x)(120－10x)＝1980。 整理得x²－4x＋3＝0， 即(x－1)(x－3)＝0， 解得x＝1或x＝3。 当x＝1时，售价为42元，销量为110件； 当x＝3时，售价为46元，销量为90件。 因为每天销量不少于100件，所以舍去x＝3。 答：每件纪念品的售价应为42元。 14．解： 设道路宽为x m。两条与宽边平行的道路总共占去2x m的长度，另一条道路占去x m的宽度。把被道路分开的草坪进行平移拼接，余下草坪总面积可表示为(30－2x)(20－x)。 由题意， (30－2x)(20－x)＝468。 展开并整理，得 2x²－70x＋132＝0， 即x²－35x＋66＝0， (x－2)(x－33)＝0。 解得x＝2或x＝33。 道路宽必须小于场地宽20 m，故x＝33不合题意，舍去。 答：道路宽为2 m。 第二部分（必做） 15．答案：A 解析：第一个月后的产量为600(1＋x)件；第二个月的增长率为x＋0.1，因此两个月后的产量为600(1＋x)(1＋x＋0.1)件，所以选A。 16．答案：B 解析：百分率变化的基数随每一次降价而变化。第一次降价后价格为300(1－x)，第二次再在这个价格的基础上降价x，因此现价应为300(1－x)²。小明把两次降价率直接相加，模型错误。 17．答案：B 解析：相框在照片四周同宽，成品的长、宽分别为(10＋2x)cm、(6＋2x)cm，所以外轮廓面积满足(10＋2x)(6＋2x)＝140。 18．答案：C 解析：三个仓库并排，除靠墙的一边外，需要1条总长方向的围栏和4条长为x的竖直围栏（两侧各1条、内部2条），所以与墙平行的总边长为80－4x。总面积为x(80－4x)，故选C。 19．答案：25 解析：设较小的正整数为x，则x²＋(x＋1)²＝313。整理得x²＋x－156＝0，即(x－12)(x＋13)＝0。取正整数x＝12，所以两个数为12、13，和为25。 20．答案：5 解析：主枝有x根，每根主枝有(x＋1)根小枝，小枝共有x(x＋1)根。由总数35得x＋x(x＋1)＝35，整理得x²＋2x－35＝0，即(x－5)(x＋7)＝0。取x＝5。 21．答案：46 解析：设十位数字为x，则个位数字为x＋2。由两位数字的积为24，得x(x＋2)＝24，整理得x²＋2x－24＝0，即(x－4)(x＋6)＝0。数字为非负整数，所以x＝4，原数为46。 22．答案：11 解析：有x行，每行(x＋3)人，总人数为x(x＋3)。由题意x(x＋3)＝154，整理得x²＋3x－154＝0，即(x－11)(x＋14)＝0。行数为正，故x＝11。 23．解： （1）设技术改进前每天生产x个零件，则原来需要720÷x天，改进后每天生产(x＋20)个，需要720÷(x＋20)天。 根据题意， 720÷x－720÷(x＋20)＝3。 方程两边同乘x(x＋20)，得 720(x＋20)－720x＝3x(x＋20)。 整理得x²＋20x－4800＝0， 即(x－60)(x＋80)＝0。 解得x＝60或x＝－80。日产量应为正，故x＝60。 答：技术改进前每天生产60个零件。 （2）改进后每天生产60＋20＝80（个）， 完成720个零件需要720÷80＝9（天）。 答：技术改进后需要9天。 24．解： （1）运动t s后，AP＝t cm，BQ＝t cm。 所以CP＝12－t（cm），CQ＝9－t（cm）。 （2）由∠C＝90°，△PCQ的面积为20 cm²，得 (12－t)(9－t)÷2＝20， 即(12－t)(9－t)＝40。 整理得t²－21t＋68＝0， (t－4)(t－17)＝0。 解得t＝4或t＝17。 由0≤t≤9，t＝17不合题意，舍去。 答：运动4 s时，△PCQ的面积为20 cm²。 25．解： （1）设垂直于墙的一边长为x m，与墙平行的一边长为y m。两扇门共宽2 m，门处不用围栏，所以 2x＋y－2＝50， 即y＝52－2x。 由菜地面积为288 m²，得 x(52－2x)＝288。 整理得x²－26x＋144＝0， (x－8)(x－18)＝0。 解得x＝8或x＝18。 当x＝8时，y＝36；当x＝18时，y＝16。 答：菜地可能为8 m×36 m或18 m×16 m。 （2）可利用的墙长只有20 m，36 m超过墙长，不能采用；16 m不超过20 m。 答：应选18 m×16 m这一组尺寸，其中靠墙的一边长16 m。 26．解： （1）一名同学退出后，其余(n－1)名同学之间的比赛全部完成，这部分比赛数满足(n－1)(n－2)÷2场；退出的同学已完成3场。 根据题意， (n－1)(n－2)÷2＋3＝39。 两边同乘2，得 (n－1)(n－2)＝72。 展开整理得n²－3n－70＝0， (n－10)(n＋7)＝0。 人数为正，故n＝10。 答：原有10名同学报名。 （2）若无人退出，单循环比赛总场数为10×9÷2＝45（场）。 答：原计划共应进行45场比赛。 第三部分（选做·附加） 27．解： （1）原式＝10000×(1＋25%)×(1－20%) ＝10000×1.25×0.8 ＝10000（件）。 答：两期后的销量为10000件。 （2）设年平均增长率为x，则 2500(1＋x)²＝3025， (1＋x)²＝1.21。 因题意为增长，1＋x＝1.1，所以x＝0.1＝10%。 答：年平均增长率为10%。 （3）由题意， 2000(1＋x)(1＋x＋0.1)＝2640。 两边同时除以2000，得 (1＋x)(1.1＋x)＝1.32。 整理得x²＋2.1x－0.22＝0。 化为整数系数方程：50x²＋105x－11＝0， (10x－1)(5x＋11)＝0。 解得x＝0.1或x＝－2.2。 增长率不能小于－100%，且题意为增长，故舍去x＝－2.2。 答：x＝10%。 28．解： （1）运动t s后，AP＝t cm，BQ＝t cm， 所以PB＝12－t（cm），BQ＝t（cm）。 （2）△PBQ在B点处为直角三角形。由面积为16 cm²，得 (12－t)t÷2＝16， 即t(12－t)＝32。 整理得t²－12t＋32＝0， (t－4)(t－8)＝0。 解得t＝4或t＝8，且二者均满足0≤t≤9。 答：运动4 s或8 s时，△PBQ的面积为16 cm²。 （3）若△PBQ的面积为20 cm²，则 (12－t)t÷2＝20， 整理得t²－12t＋40＝0。 判别式Δ＝(－12)²－4×1×40＝－16＜0， 所以该方程没有实数根。 答：不存在这样的t。 学科网（北京）股份有限公司 $