26.2.1　二次函数y=ax2的图象和性质 分层作业 2026-2027学年数学人教版九年级上册

**基本信息** 本同步练习通过A、B、C三层设计，覆盖二次函数y=ax²的图象性质与解析式，从基础概念辨析到综合应用再到创新探究，梯度清晰，适配新授课分层教学，培养数学眼光、思维与语言。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A层|二次函数y=ax²的图象性质、解析式求法|以选择、填空为主，如判断开口方向、求解析式，夯实基础概念，培养几何直观| |B层|图象比较、性质综合应用、实际问题|含易错警示题、跨知识结合题（如与一次函数图象辨析），提升推理能力与模型意识| |C层|综合探究（解析式、对称、面积存在性）|选做开放题，通过存在性问题考查运算与推理能力，发展创新意识|

十一　二次函数y=ax2的图象和性质　 【A层基础夯实】 知识点1　二次函数y=ax2的图象和性质 1.关于二次函数y=-2x2的说法错误的是( ) A.图象经过(-1,-2) B.当x>0时,y随x的增大而减小 C.抛物线开口向下 D.当x=0时,y有最小值,最小值为0 2.在同一平面直角坐标系中,作出函数y=x2,y=x2和y=-x2的图象,则它们的共同特征是( ) A.关于y轴对称的抛物线,且开口向上 B.关于y轴对称的抛物线,且开口向下 C.关于y轴对称的抛物线,且在x轴上方 D.关于y轴对称的抛物线,且顶点都在原点 3.已知二次函数y=2 025x2的图象上有两个不同点P（t1,）,Q（t2,）,则t1+t2=　 　.  4.分别指出抛物线y=x2与y=-x2的开口方向、对称轴、顶点坐标和y随x的增大而变化的情况,并在同一平面直角坐标系中画出它们的图象. 知识点2　求二次函数y=ax2的解析式 5.函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(a,8),则a的值为( ) A.±2 B.-2 C.2 D.3 6.如图是一个不倒翁的部分剖面图,可看作一个抛物线,若肚子最大的宽度AB= 10 cm,OD=15 cm,则由按图示位置建立的平面直角坐标系可知,抛物线的解析式为( ) A.y=x2 B.y=-x2 C.y=x2 D.y=-x2 7.一个二次函数,它的图象顶点在原点处,且经过点（2,-）,则该二次函数解析式为　 .  8.已知抛物线y=(m+2)x2与抛物线y=3x2的形状相同,并且x>0时y随x的增大而减小,求二次函数的解析式. 【B层能力进阶】 9.如图,四个二次函数的图象中,分别对应的是:①y=ax2;②y=bx2;③y=cx2;④y=dx2,则a,b,c,d的大小关系是( ) A.a>b>c>d 　 　 B.a>b>d>c C.b>a>c>d 　　 D.b>a>d>c 10.(2025·洛阳期中)抛物线y=(-a2-1)x2经过(-2,y1),(-1,y2),（,y3）三点,则y1,y2,y3的大小关系是( ) A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y3>y1>y2 D.y1>y3>y2 11.二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a在同一坐标系中的大致图象为( ) 12.已知二次函数y=x2,若x≥m时,y最小值=0,则实数m的取值范围为　 　.  13.(易错警示题·隐含条件未挖掘)若二次函数y=(a-1)x2+a2-2a-3的图象如图所示,则a的值为　 　.  14.正方形的周长为C cm,面积为S cm2. (1)求S与C之间的解析式. (2)画出此函数的图象. (3)根据图象,求当S=1时,正方形的周长. (4)根据图象,求S≥4时,C的取值范围. 【C层创新挑战(选做)】 15.(运算能力、推理能力)已知函数的图象是一条以y轴为对称轴、原点O为顶点的抛物线,且经过点A(-2,2). (1)求这个函数的解析式. (2)写出抛物线上与点A关于y轴对称的点B的坐标,并计算出△AOB的面积. (3)在抛物线上是否存在点C,使△ABC的面积等于△AOB的面积的一半?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 十一　二次函数y=ax2的图象和性质　 【A层基础夯实】 知识点1　二次函数y=ax2的图象和性质 1.关于二次函数y=-2x2的说法错误的是(D) A.图象经过(-1,-2) B.当x>0时,y随x的增大而减小 C.抛物线开口向下 D.当x=0时,y有最小值,最小值为0 2.在同一平面直角坐标系中,作出函数y=x2,y=x2和y=-x2的图象,则它们的共同特征是(D) A.关于y轴对称的抛物线,且开口向上 B.关于y轴对称的抛物线,且开口向下 C.关于y轴对称的抛物线,且在x轴上方 D.关于y轴对称的抛物线,且顶点都在原点 3.已知二次函数y=2 025x2的图象上有两个不同点P（t1,）,Q（t2,）,则t1+t2=　0　.  4.分别指出抛物线y=x2与y=-x2的开口方向、对称轴、顶点坐标和y随x的增大而变化的情况,并在同一平面直角坐标系中画出它们的图象. 【解析】两个函数的对称轴都是y轴,顶点坐标都是(0,0),y=x2,a=>0,故函数图象开口向上,x>0时,y随x的增大而增大,x<0时,y随x的增大而减小; y=-x2,a=-<0,故函数图象开口向下,x<0时,y随x的增大而增大,x>0时,y随x的增大而减小. 二次函数的y与x的部分对应值如表: x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 3 0 3 … y=-x2 … -3 - - 0 - - -3 … 根据表格描点绘图: 知识点2　求二次函数y=ax2的解析式 5.函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(a,8),则a的值为(C) A.±2 B.-2 C.2 D.3 6.如图是一个不倒翁的部分剖面图,可看作一个抛物线,若肚子最大的宽度AB= 10 cm,OD=15 cm,则由按图示位置建立的平面直角坐标系可知,抛物线的解析式为(A) A.y=x2 B.y=-x2 C.y=x2 D.y=-x2 7.一个二次函数,它的图象顶点在原点处,且经过点（2,-）,则该二次函数解析式为　y=-x2　.  8.已知抛物线y=(m+2)x2与抛物线y=3x2的形状相同,并且x>0时y随x的增大而减小,求二次函数的解析式. 【解析】∵抛物线y=(m+2)x2与抛物线y=3x2的形状相同,∴m+2=±3, ∴m=1或-5. 又x>0时y随x的增大而减小, ∴m+2<0, 即m<-2,∴m=-5, ∴二次函数的解析式为y=-3x2. 【B层能力进阶】 9.如图,四个二次函数的图象中,分别对应的是:①y=ax2;②y=bx2;③y=cx2;④y=dx2,则a,b,c,d的大小关系是(A) A.a>b>c>d 　 　 B.a>b>d>c C.b>a>c>d 　　 D.b>a>d>c 10.(2025·洛阳期中)抛物线y=(-a2-1)x2经过(-2,y1),(-1,y2),（,y3）三点,则y1,y2,y3的大小关系是(B) A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y3>y1>y2 D.y1>y3>y2 11.二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a在同一坐标系中的大致图象为(C) 12.已知二次函数y=x2,若x≥m时,y最小值=0,则实数m的取值范围为　m≤0　.  13.(易错警示题·隐含条件未挖掘)若二次函数y=(a-1)x2+a2-2a-3的图象如图所示,则a的值为　-1　.  14.正方形的周长为C cm,面积为S cm2. (1)求S与C之间的解析式. (2)画出此函数的图象. (3)根据图象,求当S=1时,正方形的周长. (4)根据图象,求S≥4时,C的取值范围. 【解析】(1)S=,即S=C 2. (2) (3)当S=1时,即C2=1,∴C2=16. 又C >0,∴C=4. (4)当S=4时,即C2=4,∴C2=64. 又C>0,∴C=8. 由图象知,C>0时,S随C的增大而增大, ∴当C≥8时,S≥4. 【C层创新挑战(选做)】 15.(运算能力、推理能力)已知函数的图象是一条以y轴为对称轴、原点O为顶点的抛物线,且经过点A(-2,2). (1)求这个函数的解析式. (2)写出抛物线上与点A关于y轴对称的点B的坐标,并计算出△AOB的面积. (3)在抛物线上是否存在点C,使△ABC的面积等于△AOB的面积的一半?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由. 【解析】思路剖析: 解题过程:(1)设抛物线的解析式为y=ax2, ∵经过点A(-2,2),∴4a=2,解得a=, ∴这个函数的解析式为y=x2. (2)∵点A(-2,2), ∴点A关于y轴的对称点B的坐标为(2,2), ∴AB=2-(-2)=2+2=4, S△OAB=×4×2=4. (3)假设存在点C,且点C到AB的距离为h, 则S△ABC=AB·h=×4h. ∵△ABC的面积等于△OAB面积的一半, ∴×4h=×4, 解得h=1. ①当点C在AB下方时,点C的纵坐标为2-1=1, 此时x2=1, 解得x1=,x2=-, 点C的坐标为(,1)或(-,1); ②当点C在AB上方时,点C的纵坐标为2+1=3, 此时x2=3, 解得x1=,x2=-, 点C的坐标为(,3)或(-,3). 综上所述,存在点C(,1)或(-,1)或(,3)或(-,3),使△ABC的面积等于△OAB面积的一半. 学科网（北京）股份有限公司 $