26.2.1　二次函数y＝ax2的图象和性质 分层练习 2026-2027学年数学人教版九年级上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦二次函数y＝ax²图象和性质，采用A/B/C三层设计（题量7:5:4），梯度从基础概念到综合应用，适配课堂分层教学与核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A层|开口方向、大小、对称轴等基础概念|选择、填空、作图题，夯实抽象能力与几何直观| |B层|定义与性质综合、函数图象综合、几何图形结合|解答题结合正方形、圆等情境，培养推理意识| |C层|抛物线与直线综合、参数范围探究|综合题含面积计算、最值问题，提升模型观念与创新意识|

26.2.1　二次函数 y＝ax² 的图象和性质 分层练习 考查范围：二次函数 y＝ax² 的图象特征、开口方向与开口大小、对称轴和顶点、增减性、图象与几何综合应用。 一、A层·基础夯实 1. ★ [选择题]（抛物线的开口方向） 与抛物线的开口方向相同的抛物线是（　　） A. B. C. D. 2. ★ [选择题]（抛物线开口大小） 有下列二次函数将它们图象的开口按从大到小的顺序排列，正确的是（　　） A. ①②③ B. ①③② C. ②③① D. ②①③ 3. ★ [填空题]（图象开口大小与方向） 已知二次函数与的图象的开口大小相同，方向相反，则 4. ★ [作图与简答题]（y＝ax² 的图象特征） 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数和的图象，并从函数图象的形状、开口方向、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点. 5. ★ [选择题]（增减性与参数范围） 已知二次函数当时，y 随的增大而减小，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 6. ★ [选择题]（函数值大小比较） 已知抛物线过两点，则下列关系式正确的是（　　） A. B. C. D. 7. ★ [填空题]（二次函数取值范围） （易错题）已知抛物线当时，y 的取值范围是________. 二、B层·理解运用 8. ★ [解答题]（二次函数定义与开口方向） 已知函数是关于的二次函数. 当为何值时，该函数图象的开口向下？这时当为何值时，y 随的增大而减小？ 9. ★ [选择题]（二次函数与一次函数图象综合） 二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） 10. ★ [填空题]（抛物线与圆的面积问题） 如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心画一个半径为 2 的圆是函数的图象是函数的图象，则涂色部分的面积是________. 11. ★ [填空题]（抛物线与正方形公共点） 如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3）. 若抛物线与正方形有公共点，则实数的取值范围是________. 12. ★ [解答题]（待定系数与图象性质） 已知点与点都在二次函数的图象上. （1）求和的值，并写出该函数图象的对称轴、顶点坐标及开口方向；（2）求该函数图象上纵坐标为 4 的点的坐标；（3）判断该函数的图象是否经过点 三、C层·拓展挑战 13. ★ [综合题]（抛物线与直线综合） 已知抛物线与直线交于点求抛物线对应的函数解析式，并写出顶点坐标和对称轴；（2）若抛物线与直线交于 A，B 两点（点在点的右侧），连接 OA，OB，求的面积；（3）在（2）的条件下，若点在轴上，则当取得最大值时，求点的坐标. 14. [填空题]（抛物线开口与增减性） 已知二次函数它的图象开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________；当时，y 随的增大而________. 15. [解答题]（由点求解析式与比较大小） 已知抛物线经过点（－2，12）. （1）求的值；（2）判断点（3，27）是否在该抛物线上；（3）比较函数值与的大小，并说明理由. 16. [综合题]（参数范围与函数性质） 已知二次函数当取何值时，图象开口向上？（2）当时，写出该函数的增减性；（3）若点在该函数图象上，且求的值. 参考答案与解析 A层·基础夯实 1. B。解析：与开口方向相同，应为二次项系数小于0的抛物线。 2. C。解析越小，抛物线开口越大，故开口从大到小为②③①。 3. 3。解析：开口大小相同得方向相反于故 4. 图象略。相同点：形状都是抛物线，对称轴都是轴，顶点坐标都是（0，0）；不同点开口向上开口向下。 5. D。解析：当时，抛物线开口向下，在上随的增大而减小，所以 6. C。解析时，离轴越远函数值越大，且函数值均大于0，故 7. 解析在区间 [－1，3] 上最小值为0，最大值为 B层·理解运用 8. 解：由题意得且解得或若图象开口向下，则所以此时函数为当时，y 随的增大而减小。 9. D。解析：当时，抛物线开口向上，一次函数斜率为正且与轴交于正半轴；当时，抛物线开口向下，一次函数斜率为负且与轴交于负半轴。符合条件的是 D。 10. 解析：两条抛物线关于轴对称，结合圆关于坐标轴对称，涂色部分合起来相当于半径为2的圆面积的一半，即 11. 解析：抛物线与正方形有公共点，需存在使由边界可得 12. 解解得所以当时对称轴为轴，顶点坐标为（0，0），开口向上。（2）令则解得所以点的坐标为当时所以经过该点。 C层·拓展挑战 13. 解：（1）将代入得将（1，－1）代入得所以抛物线解析式为顶点坐标为（0，0），对称轴为轴。（2）令解得或所以作点关于轴的对称点直线与轴交于点时最大。设直线为将代入，得所以 14. 下；y轴；（0，0）；增大。解析：二次项系数开口向下，对称轴为轴，顶点为原点；开口向下时，在上随的增大而增大。 15. 解：（1）把（－2，12）代入得所以当时所以点（3，27）在该抛物线上所以 16. 解：（1）图象开口向上需解得当时图象开口向下；当时，y 随的增大而增大；当时，y 随的增大而减小由得 学科网（北京）股份有限公司 $