四川成都市树德中学2027届高三上学期开学考试数学试题

树德中学高2024级高三上开学考试数学试题参考答案 一、单选题 【答案】CABB BCBA 二、多选题 【答案】ABD ABC AD 三、填空题 13 12.0 13.1 14. 3 四、解答题 15.【答案】【详解】(1)补全2*2列联表如下： 施肥 不施肥 合计 发育正常 70 30 100 发育不正常 40 60 100 合计 110 90 200 2- 200×(70×60-30×40)2 200 ≈18.182>10.828 所以 110×90×100×100 11 所以有99.9%的把握认为“是否施肥”与“该品种农作物是否发育正常”有关. (2)已知， 2w-105 6= 1135-15×80- -103 29-10x1.5=-10 所以， i=1 ,则i=立-6a=80-(-10)×1.5=95 所以y关于x的线性回归方程是)=95-10x 16.【详解】(1)因为acosB=2a-bcosA,由正弦定理得sinAcosB=2sinA--sinBcosA,即 sin4cosB+sinBeos4=2sinA,得sin(M+B)=2sin1,所以sinC=2sin4,即c=2a. (2)因为c=2a,∠ABC=2n }a-csin∠4Bc=V5a 1 3,所以△ABC的面积为 2”,又因为 BD平分∠ABC且交AC于点D,所以 ∠ABD=∠CBD=T 3,又BD=2V2,所以 5e=-5aum+5am- cBD-sn∠4BD+a-BD-sm∠CBD=36。 -a 2“，,所以2“ 即a=3W2,c=2a=6W2,因为 ∠ABC=2π 3,根据余弦定理得b2=a2+c2-2 accos∠ABC=126, 故b=3V14,所以周长a+b+c=9V2+314. 17.答案：由题意设直线AB方程为：y=p(x-),设A(:,),B(,) (y2=2px 联立y=D(x-)消去x可得y2-2y-2p=0,韦达定理片+片=2，%=-2p (1)由题意得 8-+4+p-3+ ,化简得9p2-32p-16=0 .p= 解得卫=4或9（舍），故抛物线方程为y=8x 1 p2 y+y」 y-y2 ++p 1V1+p2 2V1+p2 (2) p24+8p 1+2p "4+(-1) =2 =2 V1+p2 2p V1+p,令u=2p+1(u>1),故 u-2+ u 5+1 故当u=V5,4犯B0取得最大值V 2 18.【详解】(1)：点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O, ∴.PO⊥平面ABCD,:ACC平面ABCD,∴PO⊥AC,四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC, PO∩BD=O,PO,BDC平面PBD,∴AC⊥平面PBD,ACC平面ABCD,.平面 PBD⊥平面ABCD (2)由题意可得△ABD、△BCD与△PBD都是边长为2的等边三角形，∴.PO=AO=CO=V3, ac=方2x5=5 .PC=PO+CO6BP=BD-BC=2. 6 V15 2 2,设点D到平面PBC的离为，由，微='C得 amh=xoph=5×5A=2 3 3 ,即2 ,解得5，故点D到平面PBC的距离为 215 5. (3)设直线PE与平面PBC所成的角为日，：AD/BC,BCC平面PBC,AD丈平面PBC, ∴.AD∥平面PBC,∴.E到平面PBC的距离即为D到平面PBC的距离h. ine=EF_2V15 过E作垂线EF⊥平面PBC交于点F,则O=∠EPF,此时 PE5PE,由(2)易知 V15 PA=PC=6.PD=AD=2, 2 2 ,则△PAD的边AD上的 5:5sPE≤6n0=2÷os 104 sin0 高为2,2 ,而5PE,5 5,sin8的取值范围为 55 B 19.【i详解】(1)当a=-2时，f(x)=e-2sinx,则f'()=e-2cosr ①当x∈(0，π)时，由指数函数y=e在∈(0，m)上单调递暗，余弦函数y=cosx在x∈(0，m上单调递 减，可知'(y=e-200x在(0，)单调递增， o1-2-1-e0 所以存在 使得f'(:)=0 当x∈(0，)时，∫()<0，即()在0，)上单调递减， 当x∈(，)时，f()>0,即()在(G,)上单调递增： 8当司x.g>0,2mr>0.两fa)=-2aer>0 所以f()在 -兀，一2的调递增 0 ③当 时，设8()=f()=e-2cosx,则8'()=e+2sinx ∈ 0 由指数函数y=e在 21 上单调递减，所以 g'(x)=e+2sinx在 2心单调递增，又 g引=e-2<0.go)=1>0,所以有在 50t-0.专(.问0，u回专*.与 x∈(m,0)时，8()>0，则8()在(m,0)上单调递增， z=e>00=1-2=-1<08-e-2引-c-10 所以必存在 (引.德州)=)-0， 专(.0，E. 当x(,0)时，∫()<0，则f()在(：，0)上单调递减， 综上所述，当x∈（元，），f(田单调递增，当x∈(：，x),f()单调递减。 当x∈(：，)，f（()单调递增，所以()在区间仁元，π)内存在一个极小值点和一个极大值点. （2)当a=-1时，()=e-six,由f()≥br+1在[0，+）上恒成立， 可得e-bx-six-1≥0在[0，+o)上恒成立， 令h()=e-br-sinr-l,则h(x)=e-b-cosr, 若b≤0时，则（≥0在[0，+o)上恒成立，则h(:)在[0，+o)上单调递增， 所以h()>hO)=0,符合题意： 若b>0时，令m(=e-b-cosr,则m(=e+sir≥0在[D,+o）上恒成立， 所以m()在[0，+o)上单调递增，m(0)=-b<0,当x→+切时，m(x)→+切， 则∈(0，+o）,使得m()=0, 当r∈(0，)时，h(<0,则h()在(0，)上单调递减， 当r∈(，+o)时，h(x)>0,则h()在(，+o)上单调递增。 所以h(,)<hO)=0,不合题意 综上所述，实数b的取值范围是(-，0] 1 sinx (3)由f()=e+asinx,x∈[0，o）,令f()=0,得ae, 设()=Si e,x≥0，则 (x)=cost-sinx e o)-0R路-子+，eN 所以()在4 π+2k +2k,4 )上单调递减， 时， 4 2k 5+2km,4 )上单调递增， -5交+2.keN时，取得强小， 当4 5π13π21π 即当=444时，()取得极小值， X= sin sin2 5π13π21π 4 4 2,0<e4<e4<e4<…, .o兽 Rks.天 π9π17π 即当444时，()取得极大值， X= 9=sim 4 4 a). 即 即当x≥0时， 2 即a≥V2e时，f()在[0，+o)上存在零点， 树德中学高2024级高三上开学考试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设，，则下列语句是“”的充分条件的是（ ） A．， B．， C．， D．， 2．已知复数，则其共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知圆，若直线上存在唯一点，使得过点作圆的两条切线相互垂直，则（ ） A． B． C． D． 4．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．已知数列（非常数列）前项和为，为等差数列，，，且，，成等比数列，则的值为（ ） A． B． C． D． 6．已知，则（ ） A． B． C． D． 7．如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为，，，若，，成等差数列，则不同的分珠计数法共有（ ） A．20种 B．32种 C．54种 D．72种 8．在三角形中，点在边上，满足平分，并且，，则的长为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数满足，则（ ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在区间上单调递减 D．在区间上有两个零点 10．已知，分别是双曲线的左、右焦点，是左支上一点，且在轴上方，过作角平分线的垂线，垂足为，是坐标原点，则（ ） A．若，则直线的斜率为 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．已知函数，为的导数，则（ ） A．任意实数，一定存在极大值和极小值 B．存在实数，使得在区间上单调递增 C．任意实数，曲线一定存在与直线平行的切线 D．存在实数，使得函数有唯一零点 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，，，若，则________． 13．在棱长均为2的正三棱锥中，点是的中点，点是侧面上的一个动点，当平面时，动点的轨迹的长度是________． 14．甲、乙、丙三人玩“剪刀、石头、布”的游戏．游戏规则为：剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀．每一局游戏甲、乙、丙同时出“剪刀、石头、布”中的一种手势，且相互独立．在一局游戏中某人赢1个人得2分，赢2个人得5分，其他情况得0分．设一局游戏后3人总得分为，则随机变量的数学期望的值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．为科学评估施肥对某品种农作物发育情况和产量的影响，某研学小组对劳动实践基地中随机抽取的200株该品种农作物进行了观察，并进行数据分析． （1）将所抽取的农作物按是否施肥分为两类，并将其分为“发育正常”和“发育不正常”两类，整理得到下表： 施肥 不施肥 合计 发育正常 70 30 发育不正常 40 合计 200 请补全以上表格，根据小概率值的独立性检验，能否认为“是否施肥”与“该品种农作物发育正常”有关，并说明理由． （2）对施肥的农作物进行观察，发现施肥超过某标准量后，产量反而会迅速下降．从施肥的该品种农作物中随机抽取10株，记录它们的过量施肥量与产量，数据如下表： 农作物编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 过量施肥量 0 0.5 1 1 1.5 2 2 2 2.5 2.5 产量 100 85 85 85 80 75 75 70 70 75 经计算，，，，，求关于的线性回归方程． 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 对于一组数据，，……，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ，． 16．在中，角，，所对的边分别为，，，且满足． （1）求证：； （2）若，平分且交于点，且，求的周长． 17．已知抛物线，过点作斜率为的直线与抛物线相交于，两点． （1）若，求抛物线的方程； （2）求的最大值． 18．已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形． （1）求证：平面平面； （2）求点到平面的距离； （3）若点是线段上的动点（包括端点），设直线与平面所成的角为，求的取值范围． 19．设函数． （1）当时，讨论在上的极值点情况． （2）当时，在上恒成立，求的取值范围． （3）若，在上存在零点，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $