苏科版2026-2027学年九年级数学上学期第一次月考仿真卷（江苏省南京市专用）

**基本信息** 聚焦一元二次方程与反比例函数，通过基础运算（如解方程）、实际应用（如销售利润）及规律探究（如“邻根方程”），考查运算能力、模型意识与创新意识，适配九年级月考需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/12|方程一般形式、根与系数关系，反比例函数图像性质|第4题以矩形镶彩纸为情境，考查方程应用（模型意识）| |填空题|10/20|方程根的意义、反比例函数k值、综合计算|第16题结合正比例函数与反比例函数交点，考查几何直观（空间观念）| |解答题|11/88|方程解法、实际应用、函数综合、规律探究|第25题销售利润问题（应用意识），第27题“邻根方程”规律探究（创新意识）|

苏科版2026-2027学年九年级数学上学期第一次月考仿真卷（江苏省南京市专用） 测试范围：第1章一元二次方程、第2章反比例函数 说明: 1. 答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡定的位置上，并将条形码粘贴好. 2. 全卷满分120分，考试时间120分钟。 3.选择题不分，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.非选择题部分，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案(含作辅助线)写在答题卡指定区域内.写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效。 4.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题(本大题共6小题，每小题2分，共12分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，多选、错选、不选均不给分。) 1．将一元二次方程化为一般形式后，常数项为，则一次项系数是（   ） A． B．5 C．4 D． 2．若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积为（ ） A． B． C． D． 3．已知，是方程的两个实数根，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为、宽为的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设彩纸的宽度为，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 5．已知点，都在反比例函数的图象上，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 6．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D，交的图象于点B，点A的横坐标为1．则下列说法错误的是（     ） A．点C的坐标为 B．当时，一次函数的值小于反比例函数的值 C．将直线向上平移k个单位长度后与反比例函数的图象一定有交点 D．连接，，则的面积为12 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 7．已知关于的方程的一个根为3，则__． 8．点是反比例函数上的一点，当时，______． 9．已知反比例函数图像经过、，如果，，那么_______0．（填“”或“”） 10．已知α，β是方程的两个实数根，则的值为_______． 11．关于x的一元二次方程的解是_______． 12．已知关于的方程，若方程的根都是整数，则满足条件的正整数的值为_______． 13．如图，点是反比例函数的第二象限上的一点，且矩形的面积为，则反比例函数的表达式为_______． 14．函数与图象的一个交点坐标为，则的值为_________． 15．若关于的一元二次方程的两个根为，，则关于的一元二次方程的解为______． 16．如图，正比例函数图象与反比例函数图象交于A，B两点，轴于点H，连接交y轴于点G，若，则k的值为______． 三、解答题（本大题共11小题，共计88分，解答题要有必要的文字说明） 17．（7分）解下列方程： (1)； (2)． 18．（7分）如图，在一块长，宽的矩形绿地内，建一个矩形花圃．要使矩形花圃的面积是矩形绿地面积的一半，且矩形花圃四周的绿地等宽，求花圃四周绿地的宽度． 19．（8分）已知点是反比例函数图象上一点． (1)求该反比例函数的解析式； (2)点是否在这个函数的图象上? 20．（7分）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)若为等腰三角形，，另外两条边是方程的根，求的周长． 21．（8分）已知关于x的方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根大于2，求a的取值范围． 22．（7分）如图，在平面直角坐标系中，直线，与y轴交于点A，与x轴交于点B，反比例函数与直线l交于点C，且． (1)求反比例函数的解析式； (2)根据函数图象，直接写出的x的取值范围． 23．（8分）关于x的一元二次方程有两个实数根分别是，，若，为整数，则称为“”点． (1) （填是或否）存在“”点； (2)若关于x的一元二次方程：的“”点为，求b，c的值； (3)关于x的一元二次方程是否存在一“”点，且该点在直线上，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 24．（8分）某研究团队测得成人注射一针某种药物后体内抗体浓度y（微克/）与注射时间x天之间的函数关系如图所示（当时，y与x是正比例函数关系；当时，y与x是反比例函数关系）． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，体内抗体浓度不高于140微克/时是从注射药物第多少天开始？ 25．（8分）年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套元的价格出售．经统计，年月份的销售量为套，年月份的销售量为套． (1)求该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率． (2)从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为元？ 26．（9分）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点，一次函数的图象与轴交于点，且． (1)求反比例函数的解析式（不需要写自变量取值范围）； (2)___________，___________； (3)满足不等式的的取值范围是___________； (4)为轴上一点，若的面积不小于的面积，请求出的取值范围． 27．（11分）观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：，方程的两个根分别是，； 第2个方程：，方程的两个根分别是，； 第3个方程：；方程的两个根分别是，； 第4个方程：；方程的两个根分别是，； …… (1)请按照此规律写出两个根分别是，的一元二次方程 ． (2)如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”．上述各方程都是“邻根方程”．请通过计算，判断方程是否是“邻根方程”． (3)已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，且这两个根是某个直角三角形的两条边，求此三角形第三边的长是多少． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 2．D 3．C 4．D 5．B 6．B 7． 8．2 9． 10．0 11．， 12．11或9 13． 14． 15．， 16． 17．【详解】（1） 解得，； （2） ， 解得，． 18．【详解】解：设花圃四周绿地的宽度为， 由题意得，， 解得，，（舍）， 答：花圃四周绿地的宽度为． 19．【详解】（1）解：设时，与之间的函数关系式是， 图象过，则，解得， 所以， 当时，与之间的函数关系式是， 图象过，则，解得， 综上，y与之间的函数关系式是； （2）当时，，解得：， 体内抗体浓度不高于140微克/是从注射药物第40天开始． 20．【详解】（1）解：设该反比例函数的解析式为， ∵点是该反比例函数图象上一点， ∴， ∴， ∴该反比例函数的解析式为； （2）解：在中，当时，， 当时，， ∴点在这个函数的图象上，点不在这个函数的图象上． 21．(1)证明：由题意得，， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：， ， 解得，， 当时，解得，， 此时等腰三角形三边分别为1，3，3， ， ∴此时能构成三角形， ， ∴的周长为； 当时，解得，， 此时等腰三角形三边分别为3，3，5， ， ∴此时能构成三角形， ， ∴的周长为； 综上可知，的周长为或． 22．【详解】（1）解：令，解得，则， 将代入，则， ∴， ∴， 取中点D，则，，即， 分别过点C，点D作y轴的垂线，垂足分别为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵直线与反比例函数交于点C， ∴，即， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵，， 当时，反比例函数的图象在直线的图象上方，且反比例函数的图象与直线的图象都在轴上方， ∴的x的取值范围为． 23．【详解】（1）解：由，得， ∴或， 解得，， ∵，为整数， ∴是“”点， 故答案为：是； （2）解：∵关于x的一元二次方程：的“”点为， ∴，， 故，； （3）解：假设关于x的一元二次方程存在一“”点，且该点在直线上， 由， 得， 故， 由一元二次方程的根与系数的关系得，， ∴， ∵“”点在直线上， ∴， ∴， 解得，， 所以， 整理得 ， 解得或， 当时，方程为，，，“”点坐标为，符合； 当时，和不是整数解，舍去． 综上，关于x的一元二次方程存在一“”点，且该点在直线上，此时． 24．(1)证明：在方程中， ， ∵ 无论取何实数，，即， ∴ 方程总有两个实数根； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得或， ∵原方程有一个根大于2， ∴， ∴． 25．【详解】（1）解：设该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． 根据题意，得， 解得不合题意，舍去 答：该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． （2）设该组合套装的售价为元，则月销售量为套． 根据题意，得， 解得不合题意，舍去 答：当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元． 26．【详解】（1）解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点， ∴把代入， ， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵， ， ∵， ∴， ∴， 把及代入， 则， 解得：； （3）解：把代入，则， 解得：， ∴直线与x轴交于点， ∴根据图象可知，当时，x的取值范围为：； （4）解：∵，， ， ∵， ∴， ∴， ∵的面积不小于的面积， ∴， ∴或． 27．【详解】（1）解：由题意可知：方程的一次项系数为：，常数项为：， ∴，， 所以，对应的一元二次方程为：． （2）解：∵ ∴， ∵ ∴是“邻根方程”． （3）解：∵， ∴， ∴，， ∵关于x 的方程（m是常数）是“邻根方程”， ∴或， ∴解得：或， ①当时，方程的两个根为和， ∵方程两根为直角三角形的两条边， 若4和3为两条直角边长时，则此三角形的第三边长为：； 若3为直角边长，4为斜边长时，则此三角形的第三边长为：； ②当时，方程的两个根为和， ∵方程两根为直角三角形的两条边， 若4和5为两条直角边长时，则此三角形的第三边长为：； 若4为直角边长，5为斜边长时，则此三角形的第三边长为：； 综上所述：此三角形的第三边长为3或5或或． $