25.2.3 因式分解法-【新课程能力培养】2026-2027学年九年级上册数学同步练习（人教版·新教材）

数学 九年级上册（人教版） 25.2.3 因式分解法 知识梳理@形成联系 【知识点】用因式分解法解方程 ©解一元二次方程，不是用开平方降次，而是先分解因式，使方程化为两个一次式的乘 积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方 法叫作因式分解法. 1.方程(x-1)(x-2)=0的根是 2.下列一元二次方程中最适合用因式分解法来解的是() A.(x-2)(x+5)=2B.2x2-x=0 C.x2+5x-2=0 D.12(2-x)2=3 例题点拨Q素养导向 一卡多多 【例】用因式分解法解方程：x(2x-5)=4x-10. 【点拨】如果一个一元二次方程通过因式分解转化成A·B=0的形式，那么就有A=0或 B=O,从而实现降次。 夯实四基飞达标闯关 一卡多 1.方程x2=3x的解是() A.x=3 B.x=0 C.x1=V3,x2=0D.x1=3,x2=0 2.已知一元二次方程的两根分别为x1=3,x2=-4,则这个方程可能是（) A.(x-3)(x+4)=0 B.(x+3)(x-4)=0 C.(x+3)(x+4)=0 D.(x-3)(x-4)=0 3.嘉嘉在解方程x(x-3)=x-3时，只得到一个解是x=1,则他漏掉的解是() A.x=3 B.x=-3 C.x=0 D.x=-1 4.方程(x+1)(x-2)=x+1的根是 5.一个三角形的两边长为4和6，第三边的边长是方程(x-2)(x-5)=0的根，则这个三 角形的周长为 6.用因式分解法解下列方程： (1）3x2=4x: (2)x2+3x=0: 一元二次方程 第二十五章 (3)4x2-4x+1=0; (4)3x(x-2)=x-2; (5)3x2+x=3x+1: (6)(2x-1)2=(3-x)2 能力提升肿综合拓展 7.在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，它们分别是配方法、公式法和 因式分解法，请选择合适的方法解下列一元二次方程. (1)x2+2x-1=0: (2）x2-3x=0 (3)5x2-6x+1=0; (4)x(2x-4)=-8x-2. 中考链接©真题演练 - 8.(2024·贵州)一元二次方程x2-2x=0的解是（) A.x1=3,x2=1 B.x1=2,x2=0 C.x1=3,x2=-2 D.x1=-2,x2=-1 9.(2024·赤峰)等腰三角形的两边长分别是方程x2-10x+21=0的两个根，则这个三角形 的周长为() A.17或13 B.13或21 C.17 D.13 10.(2026·绥化）已知x1,x2是一元二次方程x2+2x-9=0的两个根，则x1+x2-2x心2的值为 () A.16 B.-16 C.20 D.-20数学 九年级上册（人教版） 25.2.2公式法 【例】解：因式分解，得x(2x-5)=2(2x-5) 【知识点1】两个不相等两个相等1.B 移项，得x(2x-5)-2(2x-5)=0.因式分解，得(x 2.B 2)(2x-5)=0,x-2=0或2x-5=0,解得1=2， 【知识点2】x==b土V4@ -1.B2.A -2a x 2 【例1】解：方程化为3x2-x-2=0,a=3,b= 1.D2.A3.A4.x=-1,x2=35.15 -1,c=-2.4=b2-4ac=(-1)2-4x3×(-2)=25>0,方 6.解：(1)32-4x=0,x(3x-4)=0,x=0或(3x-4) 程有两个不相等的实数根，即x=b±V4c 0,0,5号 2a (2)x243-0,x(+3)=0,x0或+3-0，x-0,x-3. 爱岩即l.=号 (3)(2x-1)2-0,2x-1=0,x=xF2 1 【例2】解：方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两 (4)3x(x-2)-(x-2)=0,(x-2)(3x-1)=0,x-2=0 个不相等的实数根，.△=b2-4ac=(2h+1)2-4×1× 或3x-1=0,1=2,x2=3 (k2+1)=4h2+4h+1-4h2-4=4-3>0,.4h-3>0,解 (5)x(3x+1)-(3x+1)=0,(3x+1)(x-1)=0,3x+ 得>3 4 10或l0,=写l 1C2A3214A52空6②①③ (6)(2-1)2=(3-x)2,(2-12-(3-x)2=0,(2x1+3- x)(2x-1-3+x)=0,2x-1+3-x=0或2x-1-3+x=0,1=-2, 7.解：(1)a=1,b=-1,c=-4,△=b2-4ac=(-1)2- 4×1×(-4)=1+16=17>0,方程有两个不相等的实数根， y亚.y亚，1yD 7.解：(1)x2+2x=1,x2+2x+1=1+1,(x+1)2=2, 2a 2 2 x+1=±V2,x+1=V2或x+1=-V2,x=-1+V2, (2)原方程化为2x2-7x+3=0,a=2,b=-7,c=3 △=b2-4c=(-7)2-4x2×3=25>0,方程有两个不相等的实 x=-1-V2. (2)x2-3=0,x(-3)=0,x=0或x-3=0,x=0,x=3. 数根，即7X7要，3，分 (3)a=5,b=-6,c=1,△=b2-4ac=(-6)2-4×5×1= (3)原方程化为x2-5x+7=0,a=1,b=-5,c=7, 160,方程有两个不相等的实数根，即=±V6-64 2x510 △=b2-4ac=25-28=-3<0,方程无实数根. 1 (4)a=4,b=2,c=-1,4=b2-4ae=22-4×4×(-1)= x=1,g5 4+16=20>0,方程有两个不相等的实数根，即x= (4)2x2-4x=-8x-2,2x2+4x+2=0,x2+2x+1=0 t4ac-22V5,x=+y5,Y5 (x+1)2=0,x=2=-1. 2a 4 4 8.B9.C10.A (5)整理，得2+3x-3=0,4=32-4×1×(-3)=9+ 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 12=210,.方程有两个不相等的实数根，x= 4.3y2,=3y2,=3-) 〔知识点】合台1号42 2a 2 2 2 【例】解：(1).关于x的一元二次方程 (6)原方程化为2x2-2V6x+3-0,a=2,b=-2V6, x2-2x+m-2=0有两个不相等的实数根，4=b2 c=3,△=b2-4ac=24-24=0,方程有两个相等的实数根， 4ae=(-2)2-4×1×(m-2)>0,12-4m>0,解得m< 即x=2Y6V0,==6 3,m的取值范围为m<3. 4 2 (2).关于x的一元二次方程x2-2.x+m-2=0有 8.D 9.(1)证明：关于x的一元二次方程x2-m+3x+ 两个不相等的实数根1,2，x1+2=2.又= 2+m=0,a=1,b=-(m+3),c=2+m,△=b2-4ac=[-(m+ -1,-1+2=2,2=3,.另一个根2的值为3. 3)]2-4×1×(2+m)=(m+1)2≥0，对于任意实数m,该方 1.-32.63.D4.C5.D6.C7.4 程总有实数根 8.-29.7 (2)解：设方程的两个实数根为x1,2,x= 10.解：(1)3；-2；-6. 2)3:2 1 -b±V-4ae=m+3±(m+l,=m+2,x=l.这个 2a (3)设方程x2+(2m+1)x+m2-2-0有两个实数根为 一元二次方程的一个根大于2，.∴m+2>2,解得m>0, m的取值范围为m>0. x,2,x+x2=-(2m+1),x2=m2-2.这两个实数根的 平方和是21，x+x=21=(x+x2)2-2xw,∴[-(2m+1)]P 10B11A12.m心g1B2 2(m2-2)=21,解得m=-4,m2=2.4=b2-4ac=(2m+1)2 25.2.3因式分解法 4m-2)=4m9≥0，m≥-？，m=-4不符合题意】 【知识点】1.=1，=22.B 则m=2. 46