第十三章《三角形》单元测试卷 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 第13章《三角形》单元卷，对标2026年山东中考结构（7:2:1难度），覆盖三角形概念、三边关系等全章知识，适合单元复习，通过中考真题与实际情境融合，强化几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三边关系（题1）、高（题3）、内角和（题4）|融入2025江苏、台湾中考真题，基础概念辨析| |填空题|5/15|外角性质（题13）、中线周长（题14）、实际应用（题15椅子角度）|设置分类讨论（题12双解），联系生活场景| |解答题|8/75|实际方案设计（题16）、五角星内角和证明（题20）、角平分线综合（题23）|分层设计，从计算到证明，培养推理与应用意识|

第13章《三角形》单元测试卷 （满分：120分　考试时间：120分钟） 试题对标2026年山东省统一中考数学试卷（选择题10题×3分，填空题5题×3分，解答题8题共75分，难度比约7:2:1），内容限于本章（三角形的概念与分类、三边关系、中线/角平分线/高、三角形的稳定性、内角和与外角性质），不超纲。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题目要求） 1．（2025·江苏连云港·中考真题）下列长度（单位：cm）的3根小木棒能搭成三角形的是（　　） A．1，2，3　　B．2，3，4　　C．3，5，8　　D．4，5，10 2．四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3．如图，在△ABC中，BC边上高为（ ） A. AD B. BE C. BF D. CG 4．(2025梧州)在△ABC中，∠A=20°，∠B=4∠C，则∠C等于( ) A.32° B.36° C.40° D.128° 5．如图，是的中线，是的中点，连接。若的面积为16，则的面积为（　　） A．2　　B．4　　C．6　　D．8 6．如图，△ABC中，AB=AC，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7．如图，在中，∠B=90O，，则△CDE为（　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上均有可能 8．（2025·台湾·中考真题）如图，中，点在边上。根据图中标示的度数，求的值是（　　） A．140　　B．150　　C．160　　D．180 9．如图，在△ABC中，平分平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10．如图，在中，是的中点，是的中点，是的中点。若的面积为24，则图中阴影部分（）的面积为（　　） A．2　　B．3　　C．4　　D．6 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（2026·四川广安·中考真题）已知三角形的两边长分别为2和3，第三边长为整数，则这个三角形周长的最大值为________。 12．△ABC中，边上的高与边所构成的，则________ 13．如图，是的外角，若，，则________度。 14．如图，是△ABC的中线，△ACD的周长比的周长大，，则_____． 15．如图为某椅子的侧面图，．与地面平行，，则______． 三、解答题（本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、演算步骤） 16．某工厂要制作两边长分别为 2 米和 4 米，第三边长为奇数的三角形框架． （1）设计小组可以设计几种不同规格的三角形框架，为什么？ （2）设计小组成员到建材市场收集数据如下： 铁条规格/米 2 3 4 5 6 单价/（元/根） 6 8 10 15 20 根据市场能购买到的铁条制作满足上述条件的三角形框架各一个（铁条长度可以切割，但不能拼接），求最少费用． 17．如图，在△ABC中，是边上一点，，求和的度数． 18．如图所示，在△ABC中，AD是高，AE,BF是角平分线，它们相交于点O，，求的度数． 19．如图，在△ABC中，平分交边于点E，在边上取点F，连结，使． （1）求证：； （2）当时，求的度数． 20．（8分）如图，在五角星中，与相交于点，与相交于点。求证：。 21．通过学习第5章《几何证明初步》知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性，实验的方法能给我们证明提供思路． 例如：在证明“三角形的内角和是180°”的结论时，如图，有两种实验方法．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知、求证，并进行了证明，如下： 已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角． 求证：． 证明：延长BC，过点C作． ∴，． ∵， ∴． （1）小明的证明过程依据有哪些？（写两条即可） （2）请你参考小明同学解决问题的方法1的思路，写出实验方法2的证明过程． 22．已知:如图1，在△ABC中，CD是高，若∠A=∠DCB. (1)试判断△ABC的形状，并说明理由; (2)如图2，若AE 是△ABC 的角平分线，AE、CD相交于点F.求证:∠CFE=∠CEF. 23．如图，已知：点是△ABC内一点，，分别平分，． （1）如图①若，求的度数； （2）如图①求证：大于； （3）如图②，作△ABC外角，的平分线，相交于点．试探索与之间的数量关系，并说明理由． 参考答案与评分标准 第13章《三角形》 一、选择题 1．B　2．B　3．A　4．A　5．B　6．B　7．B　8．C　9．A　10．B （每小题3分） 二、填空题 11．9 12．60°或120° 13．110 14．5 15．70° （每小题3分） 三、解答题 16．解： （1）设第三边长为 x 米。由三角形三边关系得 　　　4－2 < x < 4＋2，即 2 < x < 6。 　　又 x 为奇数，∴ x＝3 或 x＝5。 　　故可设计两种不同规格：三边长分别为 2 m、3 m、4 m 与 2 m、4 m、5 m。 （2）制作“2，3，4”的框架：买一根 2 m、一根 3 m、一根 4 m 的铁条最省，费用为 　　　6＋8＋10＝24（元）； 　　制作“2，4，5”的框架：买一根 2 m、一根 4 m、一根 5 m 的铁条最省，费用为 　　　6＋10＋15＝31（元）。 　　所以最少费用为 24＋31＝55（元）。 　　答：最少费用为 55 元。 17．解： 　　∵ ∠3 与 ∠4 互为邻补角，且 ∠3＝∠4， 　　∴ ∠3＝∠4＝90°，即 AD⊥BC。 　　在 Rt△ABD 中，∠1＝∠2， 　　∴ ∠1＝(180°－90°)/2＝45°。 　　∴ ∠DAC＝∠BAC－∠1＝69°－45°＝24°。 　　答：∠1＝45°，∠DAC＝24°。 18．解： 　　在△ABC 中，∠B＝180°－∠BAC－∠C＝180°－50°－70°＝60°。 　　∵ AD 是高，∴ 在 Rt△ADC 中，∠DAC＝90°－∠C＝90°－70°＝20°。 　　∵ AE、BF 分别平分∠BAC、∠ABC， 　　∴ ∠BAO＝½∠BAC＝25°，∠ABO＝½∠ABC＝30°。 　　∴ ∠BOA＝180°－25°－30°＝125°。 　　答：∠DAC＝20°，∠BOA＝125°。 19．解： （1）证明：∵ CD 平分∠ACB， 　　∴ ∠DCB＝∠1。 　　又∵ ∠1＝∠D， 　　∴ ∠DCB＝∠D。 　　∴ DF∥BC（内错角相等，两直线平行）。 （2）∵ DF∥BC，∠DFE＝34°， 　　∴ ∠B＝∠DFE＝34°。 　　在△ABC 中，∠A＝36°，∠B＝34°， 　　∴ ∠ACB＝180°－36°－34°＝110°。 　　∵ CD 平分∠ACB， 　　∴ ∠ACE＝½∠ACB＝55°。 　　在△AEC 中， 　　∠2＝∠AEC＝180°－∠A－∠ACE 　　　　＝180°－36°－55° 　　　　＝89°。 20．证明： 　　设五角星的五个尖角为∠A、∠B、∠C、∠D、∠E，相邻两边相交形成内部一个小五边形。 　　小五边形的每个内角分别与相邻两个尖角构成一个平角关系，例如： 　　　　内部某内角＝180°－(相邻两个尖角之和)。 　　小五边形内角和为 (5－2)×180°＝540°。 　　因此 5×180°－2(∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E)＝540°， 　　解得 ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°。 　　（其它等价证法亦可。） 21．解： （1）依据（任写两条即可）： 　　① 两直线平行，内错角相等； 　　② 平角等于 180°； 　　③ 等量代换。 （2）证明：过点 A 作直线 MN∥BC， 　　则 ∠2＝∠B，∠3＝∠C（两直线平行，内错角相等）。 　　∵ ∠1＋∠2＋∠3＝180°（平角定义）， 　　∴ ∠A＋∠B＋∠C＝180°。 22．解： （1）△ABC 是直角三角形。理由： 　　∵ CD 是高，∴ ∠CDB＝90°。 　　在 Rt△CDB 中，∠DCB＋∠B＝90°。 　　又∵ ∠A＝∠DCB，∴ ∠A＋∠B＝90°。 　　∴ ∠ACB＝180°－(∠A＋∠B)＝90°。 　　故△ABC 是直角三角形。 （2）证明：∵ AE 平分∠CAB，∴ ∠CAE＝∠BAE。 　　∠CEF 是△ABE 的外角，∴ ∠CEF＝∠BAE＋∠B。 　　∠CFE 是△AFC 的外角，∴ ∠CFE＝∠CAE＋∠ACD。 　　由（1）知∠A＋∠B＝90°，且∠A＋∠ACD＝90°（Rt△ADC）， 　　∴ ∠B＝∠ACD。 　　∴ ∠CEF＝∠CFE。 23．解： （1）∵ BP、CP 分别平分∠ABC、∠ACB， 　　∴ ∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB。 　　∴ ∠BPC＝180°－ (∠ABC＋∠ACB) 　　　　　　＝180°－ (180°－∠A) 　　　　　　＝90°＋∠A。 　　当∠A＝70° 时，∠BPC＝90°＋35°＝125°。 （2）由（1）知∠BPC＝90°＋∠A。 　　∵ 0°＜∠A＜180°，∴∠A＜90°， 　　∴ 90°＋∠A＞∠A，即∠BPC＞∠A。 （3）∠BQC＝90°－∠A。理由如下： 　　∵ BQ、CQ 分别平分外角∠MBC、∠NCB， 　　∴ ∠QBC＝ (180°－∠ABC)＝90°－∠ABC， 　　∠QCB＝½(180°－∠ACB)＝90°－∠ACB。 　　∴ ∠BQC＝180°－(∠QBC＋∠QCB) 　　　　　　＝180°－[180°－ (∠ABC＋∠ACB)] 　　　　　　＝ (180°－∠A) 　　　　　　＝90°－∠A。 学科网（北京）股份有限公司 $