第十三章三角形测试卷2026-2027学年八年级上册人教版数学

**基本信息** 聚焦三角形核心知识，通过“互优角”新定义、悬挂法重心探究等创新题，融合非遗扎染、数学活动课情境，考查几何直观与推理能力，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形三边关系、内角外角计算|结合平行线性质（题2）考查转化思想| |填空题|8/24|重心性质、外角性质|融入直角三角板操作（题15），体现空间观念| |解答题|8/66|角平分线、中线应用、面积计算|新定义“互优角”（题23）考查推理能力，悬挂法探究（题26）发展创新意识|

八年级上册人教版数学第十三章测试卷 时间：120分钟 满分:120分 考查内容：三角形的概念、与三角形有关的线段、三角形的内角与外角 题序 一 二 三 总分 得分 一、选择题(每小题3分，共30分) 1.已知三角形的三边长分别是3，7，3x-2，则x的取值范围是 ( ) A.2<x<4 B.1<x<4 C.1<x<2 D.2<x<6 2.如图,AB∥ED,∠A=35°,∠C=15°,则∠D 的度数是 ( ) A. 120° B. 130° C. 110° D. 135° 3.如图,在△ABC中,∠C=90°,D,E是AC上两点,且AE=DE,BD平分∠EBC,下列说法不正确的是( ) A.∠1=∠2=∠3 B. BD 是△BCE 的角平分线 C. BE是△ABD 的中线 D. BC是△BDE的高 4.如图,三角形ABC的面积为27,AB=AC=6,点D为BC边上一点,过点D 分别作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,若DF=2DE,则DE的长为 ( ) A.6 B.4 C.3 D.2 5.如图,在△ABC中,∠A=90°,点D在AC边上,DE∥BC.若∠1=153°,则∠B的度数为 ( ) A.53° B.57° C.63° D.67° 6.如图,AD,DE,EF分别是△ABC,△ADB,△ADE的中线,若 则 ( ) A.23 B.24 C.25 D.26 7.如图,在△ABC 中,AD 为△ABC的角平分线,BE 为△ABC 的高,∠C=70°,∠ABC=48°,那么∠3的度数是 ( ) A 59° B.60° C.56° D.22° 8. 如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点 D,BE平分∠ABC,交AC 于点 E.若∠BAD=40°,则∠AEB 的度数为 ( ) A.50° B.55° C.60° D.65° 9. 如图,在四边形ABCD 中,∠D+∠C=230°,∠DAB 的平分线与外角∠CBE的平分线相交于点 F，则∠F的度数为 ( ) A. 10° B.15° C.25° D.30° 10.如图,已知△ABC,P为△ABC外一点(点P 不在直线AB,BC,AC上),且在BC的上方,连接PB,PC.若∠PBA=α,∠PCA=β,∠BAC=γ,则∠BPC 的度数不可能是 ( ) A.β+γ-α B.α+γ-β C.γ-α-β D.β-α-γ 二、填空题(每小题3分，共24分) 11.在△ABC中,D是△ABC的重心,连接AD并延长交BC 于点E,若BC=12,则BE= . 12.如图,在△ABC中,点D在BC的延长线上,点 E 在CA 的延长线上,点 F在AB上,则∠1 ∠2. (填“>”“<”或“=”) 13.如图,数学活动课上,小李同学分别延长△ABC 和△DEF的边,边AC,DF 的延长线交于点 H,边 BC,EF 的延长线交于点 G,测得∠G=126°,∠H=84°,则∠A+∠B+∠D+∠E的值为 . 14.在如图所示的△ABC中,已知点D,E,F分别为BC,AD,BE的中点,若△ABC的面积为16，则图中阴影部分的面积为 . 15.一副直角三角板按如图所示放置,其中∠C=∠DFE=90°,∠A=45°,∠E=60°.点 F 在 CB的延长线上.若DE∥CF,则∠BDF 等于 ______. 16. 在如图所示的“箭头”图形中,AB∥CD,∠B=∠D=80°,∠E=∠F=47°,则图中∠G的度数是 . 17. 如图①，非遗代表性传承人在制作三角形扎染布料时，用一根细绳从质地均匀的三角形布料上的点O处穿过，并将其悬挂起来，观察发现布料正好保持水平.如图②，取下布料后测得△AOE 的面积为5，则△BOC 的面积为 . 18. 如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点 D,CE 平分∠BCD 交AB 于点 E,AF平分∠BAC交 BC 于点 F,交 CD 于点 G,交 CE 于点 H. 有以下4个结论:①∠B=∠ACD;②∠CFG=∠CGF;③AF⊥CE;④∠BEC+∠CAF=180°. 其中正确的有 .(填序号) 三、解答题(本大题共8 小题，共66分) 19.(4分)如图,B,C,E三点共线,A,F,E 三点共线,AB∥CD,∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AD∥BE. E 20.(6分)(2026·阜阳期末)如图,在△ABC中,CD是∠ACB的平分线,交边AB 于点E,在AE上取点 F,连接DF,使∠ACD=∠D. (1)求证:DF∥BC; (2)当∠A=38°,∠DFE=36°时,求∠ACE 的度数. 学科网（北京）股份有限公司 21. (6分)如图①,在△ABC中,CD 是高,若∠A=∠DCB. (1)试判断△ABC 的形状，并说明理由； (2)如图②,若AE 是△ABC的角平分线,AE,CD 相交于点 F.求证:∠CFE=∠CEF. 22.(8分)在△ABC中,AD平分∠BAC,E为CB延长线上一点,EF⊥AD于点 F. (1)如图①,若∠ABC=78°,∠E=20°,求∠C的度数; (2)如图②,若∠ABC=90°,求证:∠BAC=2∠E. 23.(8分) 新定义:若两个角α与β满足α-β=60°,则称α与β为“互优角”. 如图,若在 Rt△ABC中,∠C=90°,∠A>∠B,∠A与∠B为“互优角”. (1)求∠B 的度数; (2)点 D 是线段AB上一点(不与A，B重合)，连接CD，当△ACD中存在两个内角为“互优角”时,求∠ACD的度数. A 学科网（北京）股份有限公司 24.(10分)【问题情景】如图①，将一块直角三角尺PMN放置在△ABC上(点P在 内)，使得该三角尺的两条直角边 PM，PN恰好分别经过点 B，C. 【特殊探究】(1)若∠A=40°,则. ∠ACP= ; 【类比探究】(2)请探究∠ABP+∠ACP与∠A之间存在的数量关系，并证明你的结论； 【类比延伸】(3)如图②，改变直角三角尺 PMN的位置，使点 P 在△ABC外，且在AB 边的左侧，直接写出∠ABP，∠ACP 与∠A 之间存在的数量关系. 25. (12分)【初步认识】 (1)如图①,在△ABC 中,BP 平分∠ABC,CP 平分∠ACB.若∠A=80°,则∠P= ;如图②,BM平分∠ABC,CM平分外角∠ACD,则∠A 与∠M 的数量关系是 ; 【继续探索】 (2)如图③,BN平分外角∠EBC,CN平分外角∠FCB.请探索∠A与∠N之间的数量关系; 【拓展应用】 (3)如图④，点P是△ABC两内角平分线的交点，点N是△ABC 两外角平分线的交点，延长BP，NC 交于点M.在△BMN中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A 的度数. 学科网（北京）股份有限公司 26.(12分)用悬挂法可以确定三角形匀质薄板的重心. 实践探究：在质地均匀的薄板上任意画一个△ABC，把△ABC 剪下来，并在△ABC 的每个顶点处钉一个小钉作为悬挂点，用下端系有小重物的细线缠绕在小钉A上，然后把三角形薄板悬挂起来，播出细线的“痕迹”AD；对于小钉B(或C)重复操作过程，描出细线的“痕迹”BE(或CF)，若记AD与BE的交点为 G，则发现 CF也经过点 G，如图①.点G 既是三角形薄板的重心，也是△ABC的重心. 数学思考:点 P 是△ABC 的重心. (1)如图②,连接PA,PB,PC,求 的值； (2)如图③,AP,BP,CP 的延长线分别交BC,AC,AB 于点 F,E,D,求 的值. 拓展运用： (3)如图④,在Rt△BPC 中,∠BPC=90°,D,E分别是CP,BP延长线上的点,BD,CE 的延长线交于点A,若D,E刚好分别为AB,AC的中点,CD=12,BE=18,求四边形ADPE的面积. 学科网（北京）股份有限公司 1-10：A B A C C B A D C D 11.6 12.＜ 13.210° 14.4 15.15° 16.66° 17.10 18.①②③ 19.∵∠4与∠AFD是对顶角，∴∠4=∠AFD. ∵∠3=∠4，∴∠3=∠AFD. 又∵∠3+∠1+∠B=180°，∠AFD+∠2+∠D=180°，∠1=∠2，∴∠B=∠D. ∵AB∥CD，∴∠B=∠DCE，∴∠D=∠DCE，∴AD∥BE 20.(1)∵CD是∠ACB的平分线，∴∠DCB=∠ACD. 又∵∠ACD=∠D，∴∠DCB=∠D，∴DF∥BC. (2)∵DF∥BC，∠DFE=36°，∴∠B=∠DFE=36°，∴∠ACB=180°−∠B−∠A=180°−36°−38°=106°. 又∵CD平分∠ACB，∴∠ACE=21​∠ACB=53°. 21.(1)△ABC是直角三角形.理由如下:∵在△ABC中，CD是高，∴∠CDA=90°,∴∠A+∠ACD=90°. ∵∠A=∠DCB,∴∠DCB+∠ACD=90°,∴∠ACB=90°,∴△ABC是直角三角形. (2)∵AE是△ABC的角平分线，∴∠CAE=∠DAF. 由 (1) 得∠FDA=∠CDA=90°,∠ACE=∠ACB=90°,∴∠DAF+∠AFD=90°,∠CAE+∠CEA=90°,∴∠AFD=∠CEA.∵∠AFD=∠CFE,∴∠CFE=∠CEF. 22.(1)∵EF⊥AD,∴∠EFD=90°.∵∠E=20°,∴∠BDF=90°−∠E=70°. ∵∠ABC=78°, ∴∠BAD=180°−∠ABD−∠ADB=32°. ∵AD平分∠BAC, ∴∠DAC=∠BAD=32°,∴∠C=∠ADB−∠DAC=70°−32°=38°. (2)∵∠ABC=90°,∴∠BAD+∠ADB=90°. ∵EF⊥AD,∴∠EFD=90°,∴∠E+∠EDA=90°,∴∠BAD=∠E. ∵AD平分∠BAC,∴∠BAC=2∠BAD,∴∠BAC=2∠E. 23.(1)∵∠C=90°,∴∠A+∠B=180°−90°=90°, 即∠A=90°−∠B.∵∠A>∠B,∠A与∠B为 “互优角”,∴∠A−∠B=60°,∴90°−∠B−∠B=60°, 解得∠B=15°. (2) 由 (1) 得∠A=75°,∴∠ACD+∠ADC=180°−75°=105°, 即∠ADC=105°−∠ACD. 当∠ACD与∠ADC为 “互优角” 时，如图①, 若∠ACD−∠ADC=60°,∴∠ACD−(105°−∠ACD)=60°,解得∠ACD=82.5°. 当∠ACD与∠ADC为 “互优角” 时，如图②, 若∠ADC−∠ACD=60°,∴105°−∠ACD−∠ACD=60°,解得∠ACD=22.5°. 如图③, 当∠A与∠ACD为 “互优角” 时，此时∠A−∠ACD=60°,∴∠ACD=75°−60°=15°. 当∠A与∠ADC为 “互优角” 时，此时∠A−∠ADC=60°,∴∠ADC=15°,∠ACD=180°−∠A−∠ADC=90°, 此时点D与点B重合，不符合题意. 综上所述，∠ACD的度数为82.5°或22.5°或15°. 24.(1)140°90°50° 解析：在△ABC中，∠A=40°,根据三角形内角和为180°, 得∠ABC+∠ACB=180°−40°=140°. 在△PBC中，∠P=90°, 同理，∠PBC+∠PCB=180°−90°=90°. ∠ABP+∠ACP=(∠ABC−∠PBC)+(∠ACB−∠PCB)=(∠ABC+∠ACB)−(∠PBC+∠PCB)=140°−90°=50°. (2)∠ABP+∠ACP=90°−∠A. 证明如下:∵∠P=90°,∴∠PBC+∠PCB=180°−∠P=90°,∴∠ABP+∠ACP=180°−∠A−(∠PBC+∠PCB)=90°−∠A. (3)∠ACP−∠ABP=90°−∠A. 解析: ∠ACP−∠ABP=(∠ACB−∠PCB)−(∠PBC−∠ABC)=(∠ABC+∠ACB)−(∠PBC+∠PCB)=(180°−∠A)−90°=90°−∠A. 25.(1)130°  ∠A=2∠M 解析:∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACB, ∴∠ABP=∠CBP=21​∠ABC,∠ACP=∠BCP=21​∠ACB. ∵∠ABC+∠ACB=180°−∠A=100°, ∴∠P=180°−(∠CBP+∠BCP)=180°−21​(∠ABC+∠ACB)=130°. ∵BM平分∠ABC,CM平分外角∠ACD, ∴∠CBM=∠ABM=21​∠ABC,∠DCM=∠ACM=21​∠ACD. ∵∠ACD=∠A+∠ABC,∠DCM=∠M+∠CBM, ∴2∠DCM=∠A+2∠CBM=2(∠M+∠CBM), 整理，得∠A=2∠M. (2)∵BN平分外角∠EBC,CN平分外角∠FCB, ∴∠CBN=∠EBN=21∠CBE,∠BCN=∠FCN=21∠BCF. ∵∠ABC+∠ACB=180°−∠A, ∴∠CBE+∠BCF=180°−∠ABC+180°−∠ACB=360°−(∠ABC+∠ACB)=180°+∠A, ∴∠N=180°−(∠CBN+∠BCN)=180°−21​(∠CBE+∠BCF)=90°−21∠A. ∴∠N=90°−21∠A. (3) 由题意知，∠NBM=∠CBN+∠CBP=21∠CBE+21​∠ABC=90°,∠N=90°−21∠A,∠A=2∠M,∴当在△BMN中，存在一个内角等于另一个内角的2倍时，分①∠NBM=2∠M,②∠NBM=2∠N,③∠M=2∠N,④∠N=2∠M这四种情况讨论.①当∠NBM=2∠M时，∠A=2∠M=∠NBM=90°;②当∠NBM=2∠N时，2∠N=90°, 则∠A=2(90°−∠N)=90°;③当∠M=2∠N时，21∠A=2(90°−21∠A), 解得∠A=120°;④当∠N=2∠M时，90°−21∠A=∠A, 解得∠A=60°. 综上所述，∠A的度数为60°或90°或120°. 26.(1)如图,延长AP,BP,CP分别交BC,AC,AB于点 F,E,D, ∵点 P 是△ABC 的重心,∴D,E,F 分 别为 AB,AC,BC 的中点, 设 ∴2x+y=2z+y,∴x=z, (6分) (2)由(1)可得 且y=z, (8分) (3)依题意,P 是 的重心，由(2)可得，BP:PE=CP: $