1.3.2.2 空间向量运算的坐标表示同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 该同步练习通过“例题精练”与“基础夯实”分层设计，围绕空间向量平行、垂直的坐标表示及距离公式，构建从单一运算到几何应用的巩固路径，适配新授课知识内化与能力初步发展需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |例题精练|坐标计算、几何证明、存在性探究|以三棱锥、正方体为情境，示范综合应用，培养空间观念与推理能力| |基础夯实|公式直接应用、坐标建立、综合计算|通过选择、填空、解答题梯度设置，巩固基础运算，发展模型观念|

1.3.2　空间向量运算的坐标表示 （第2课时：空间向量平行、垂直的坐标表示，空间中两点间的距离公式） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】已知. (1)求向量的坐标； (2)设向量，求； (3)若，求的值. 【例2】如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别是棱，，，的中点，．求证：； 【例3】如图，正方体棱长为4，，，分别为，，边的中点，是正方形的中心. (1)求，的长； (2)直线上是否存在一点Q，使得.若存在求出Q点坐标，不存在请说明理由. 【基础夯实】 一、单选题 1．设，，向量，，，则（   ） A． B． C． D．1 2．已知，，且，则（    ） A． B． C． D．3 3．已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 4．已知，若与平行，则（   ）． A．2 B．1 C．6 D．3 5．设，向量，，且，，则（ ） A． B． C． D． 6．如图，在直三棱柱中，，且为的中点，，则的长为（   ） A． B． C． D．5 二、多选题 7．在棱长为4的正方体中，以空间中某个点作为坐标原点建立空间直角坐标系，则的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 8．在空间直角坐标系中，点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．四点共面 9．已知空间向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．已知点，，M在y轴上，且，则点M的坐标为____________． 11．若三点共线，则______． 12．已知在直三棱柱中，，，，是的中点，若，则_____． 四、解答题 13．在棱长为1的正方体中，是棱的中点，、分别为线段，上的点，且. (1)求的长度； (2)若，，求的值. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 （第2课时：空间向量平行、垂直的坐标表示，空间中两点间的距离公式） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】已知. (1)求向量的坐标； (2)设向量，求； (3)若，求的值. 【答案】(1)； (2)3； (3). 【分析】（1）利用向量的坐标运算求出. （2）求出的坐标，再结合向量共线及模的坐标表示求解. （3）利用数量积的坐标表示及垂直关系的向量表示列式求出. 【详解】（1）由，得 （2）由（1）得，而量，因此， 所以. （3）由（1）知，， 由，得 ， 所以 【例2】如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别是棱，，，的中点，．求证：； 【答案】证明:依题意，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系． 又，，，分别是棱，，，的中点，． 所以，，，． 所以，， 则，而点直线，所以． 【详解】略. 【例3】如图，正方体棱长为4，，，分别为，，边的中点，是正方形的中心. (1)求，的长； (2)直线上是否存在一点Q，使得.若存在求出Q点坐标，不存在请说明理由. 【答案】(1)；(2) 存在，. 【分析】（1）利用如图坐标系，可得各点的坐标，利用空间两点间的距离公式求解即可. （2）先设出Q的坐标，算出向量、的坐标，利用向量垂直的坐标运算得出t的值. 【详解】(1)如图所示，可知：， 所以；. (2)，设，则 由EQ，得t=5 故Q点坐标为. 【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算，考查了空间两点间距离公式，属于中档题． 【基础夯实】 一、单选题 1．设，，向量，，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】利用空间向量共线的坐标表示列式求出即可. 【详解】向量，，由，得，解得， 所以. 故选：C 2．已知，，且，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】由，可得：， 因，则，即：，解得： 3．已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】C 【分析】利用向量垂直的性质得到其数量积为0，从而得解. 【详解】由 可得：， 展开得： ①， 已知 ， 则，，， 代入①可得： ，解得：. 4．已知，若与平行，则（   ）． A．2 B．1 C．6 D．3 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算及共线向量的坐标表示求解. 【详解】由，得，， 而与平行，则，所以. 故选：C 5．设，向量，，且，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，求出，再求出，再用坐标求模即可. 【详解】因为，且， 所以，解得，即， 又因为，且， 所以，则，即， 故， 所以. 故选：A. 6．如图，在直三棱柱中，，且为的中点，，则的长为（   ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出点、的坐标即可由两点间距离公式计算求解. 【详解】以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则由题意可知， 又因为是的中点，所以的坐标为， 点满足，所以的坐标为， 从而． 二、多选题 7．在棱长为4的正方体中，以空间中某个点作为坐标原点建立空间直角坐标系，则的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用两点间的距离公式进行判断即可. 【详解】在棱长为4的正方体中，， 对于A，， 对于B，， 对于C，， 对于D，， 故选:BD． 8．在空间直角坐标系中，点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．四点共面 【答案】ABD 【分析】利用空间向量平行、垂直的坐标表示，模长公式一一判定选项. 【详解】由题可得. 所以，即，故A正确； 由，得，故B正确； 由， 得，故C错误； 对于选项D，因为，且，所以三点共线， 又，所以点不在所在直线上，所以可以确定一个平面， 即四点共面，故选项D正确. 故选：ABD. 9．已知空间向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示可判断A选项；利用空间向量共线的坐标表示可判断B选项；利用空间向量的模长公式可判断CD选项. 【详解】对于A选项，， 则，所以，，A对； 对于B选项，，， 因为，所以，与不共线，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D对. 故选：ACD. 三、填空题 10．已知点，，M在y轴上，且，则点M的坐标为____________． 【答案】 【详解】设，由知，点M到A、B两点距离相等. 由两点之间距离公式可得：， 解之得，所以点M的坐标为. 11．若三点共线，则______． 【答案】 【分析】由三点共线转换为向量共线来做，根据向量共线定理列出方程即可得解. 【详解】，且三点共线， 存在实数，使得． 即， 解得 故答案为：. 12．已知在直三棱柱中，，，，是的中点，若，则_____． 【答案】 【分析】以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，设，得到，，根据列等式即可求出，从而得到． 【详解】解：以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，设， 则由题意：，，， 则，，， 解得，即． 故答案为： 四、解答题 13．在棱长为1的正方体中，是棱的中点，、分别为线段，上的点，且. (1)求的长度； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出的坐标，设点P的坐标为，根据求出点坐标，即可利用向量的模求出的长度； （2）设Q的坐标为，根据向量垂直即可求出Q的坐标，进而利用可求出. 【详解】（1）以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向， 建立空间直角坐标系，如图， 则， 由题意，可设点P的坐标为，因为3＝， 所以，所以，解得， 所以点P的坐标为，所以， 所以，即的长度为. （2）由题意可设点Q的坐标为， 因为，所以＝0， 所以·＝0，即，解得 ， 所以点Q的坐标为， 因为，所以＝λ， 所以，故. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $