1.3.2.3空间向量运算的坐标表示 同步练 -2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量夹角余弦坐标表示，通过“例题精练+基础夯实”分层设计，实现从概念理解到综合应用的巩固路径，培养运算能力与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |例题精练|夹角计算、参数范围、几何应用|例1直接应用公式求夹角余弦，例2结合平行六面体深化空间几何应用，培养推理能力| |基础夯实|概念辨析、运算技能、简单应用|单选/多选/填空覆盖公式直接应用（如向量夹角计算），解答题综合坐标运算，适配新授课基础巩固需求|

1.3.2　空间向量运算的坐标表示 （第3课时：空间向量夹角余弦的坐标表示） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】已知空间中三点,设,. (1)求向量与夹角的余弦值； (2)若与夹角为锐角，求实数的取值范围. 【例2】已知空间直角坐标系中，平行六面体满足：，，且平行六面体的体对角线的交点为. (1)求侧棱的长； (2)求. 【基础夯实】 一、单选题 1．已知向量，向量，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．设向量，，若，则正实数的值为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，M为PC上一动点，，若为钝角，则实数t的值不可能为（    ） A． B． C． D． 4．向量，则下列向量中与的夹角为的是（    ） A． B． C． D． 5．已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知，，，与的夹角为，则（　　） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知空间向量，，则下列选项中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 8．已知空间向量则下列说法不正确的是（   ） A． B． C．与夹角余弦值为 D． 9．已知空间两个不同的单位向量与的夹角都等于，则下列说法正确的有（　　） A． B． C． D．在上的投影向量为 三、填空题 10．若，则__________. 11．在空间直角坐标系中，O为坐标原点，，，若，则________． 12．设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，则等于______（，不重合）. 四、解答题 13．已知，，，，. (1)求，，； (2)求与所成角的余弦值. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 （第3课时：空间向量夹角余弦的坐标表示） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】已知空间中三点,设,. (1)求向量与夹角的余弦值； (2)若与夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）写出后，运用向量夹角公式计算即可； （2）若两个向量夹角为锐角，则两者的数量积大于0，并且要注意排除共线的情况. 【详解】（1）解：(1)因为, 所以. . 所以, 所以与的夹角余弦值为. （2）, 因为与的夹角为锐角，故两者不共线，且数量积大于0. 当与共线时，有,得, 故当时，与不共线. ,得,解得 综上，. 【例2】已知空间直角坐标系中，平行六面体满足：，，且平行六面体的体对角线的交点为. (1)求侧棱的长； (2)求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据中点坐标公式得到，再利用空间向量模的坐标公式即可得到答案； （2）根据空间向量的夹角余弦值的坐标表示即可得到答案. 【详解】（1）由题意知，平行六面体的一条体对角线为， 且中点为，已知，所以， 所以． （2）由题意知，为体对角线的中点， 由空间直角坐标系中的中点坐标公式可得， 所以， 所以． 【基础夯实】 一、单选题 1．已知向量，向量，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，得， 又均不为，所以与的夹角为． 2．设向量，，若，则正实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的夹角公式结合向量的数量积与模长公式进行计算即可. 【详解】因为，则有， ， 解得，由题得，故. 故选：B 3．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，M为PC上一动点，，若为钝角，则实数t的值不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】分别以、、为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设， ，故，,，, 由可知，，即， 又因为为钝角，所以， 由,,可知，， ，整理得， 解得， 故选：A. 【点睛】关键点睛：利用空间向量数量积的坐标表示公式是解题的关键. 4．向量，则下列向量中与的夹角为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量夹角公式逐项验证即可求解. 【详解】对于A，向量，； 对于B，向量，，则； 对于C，向量，，则； 对于D，向量，. 故选：B. 5．已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用夹角是锐角的向量关系计算即可. 【详解】因为空间向量，， 若与的夹角是锐角，则且不成立， 所以或. 故选：C. 6．已知，，，与的夹角为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出向量，的坐标，及向量与的模，再利用空间向量的夹角余弦公式列方程求解即可． 【详解】因为，，， 所以，， 故， 所以，， ， 所以， 因为与的夹角为， 所以， 解得， 经检验，不合题意，舍去，所以． 故选：B． 二、多选题 7．已知空间向量，，则下列选项中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】BC 【分析】根据空间向量垂直和平行的性质，结合空间向量模长公式和夹角坐标公式逐一判断即可. 【详解】A：当时，，解得，A错误； B：当时，，即，解得，B正确； C：当时，则有，，C正确； D：当时，，D错误， 故选：BC. 8．已知空间向量则下列说法不正确的是（   ） A． B． C．与夹角余弦值为 D． 【答案】BC 【分析】根据向量的数量积为零判断AD，根据模长公式求解判断B，根据向量夹角的余弦公式求解判断C. 【详解】对于A，因为，故， 故，故A正确. 对于D，， 故即，故D正确. 对于B，，故B错误. 对于C，，,， 故，故C错误. 9．已知空间两个不同的单位向量与的夹角都等于，则下列说法正确的有（　　） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】ABD 【分析】应用向量夹角的坐标表示有，再由向量模长的坐标表示有，联立判断A、B，进而求出的坐标，结合投影向量及夹角的求法判断C、D. 【详解】由题意，得，所以，故A正确． 由题意，所以，故B正确， 由，(同理有)， 解得或， 设， 则在上的投影向量为，故C错误，D正确. 故选：ABD 三、填空题 10．若，则__________. 【答案】 【分析】根据夹角公式算出，进而求出正弦值. 【详解】根据夹角公式，， 注意到，则， 于是. 故答案为： 11．在空间直角坐标系中，O为坐标原点，，，若，则________． 【答案】1 【分析】利用空间向量的夹角公式求解即可. 【详解】因为，，所以， 因为，所以 ， 因为，所以，解得 . 12．设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，则等于______（，不重合）. 【答案】0 【分析】根据给定条件，可得，，由此可以求出，再由求得答案. 【详解】两个单位向量，与向量的夹角都等于， 则，又，， ，而，， 由，得，若，则，此时，点重合，不符合题意， 因此，，，所以. 故答案为：0 四、解答题 13．已知，，，，. (1)求，，； (2)求与所成角的余弦值. 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据题意结合向量平行、垂直的坐标运算求，即可得，，； （2）先求与，结合向量的坐标运算求夹角余弦值. 【详解】（1）因为，，， 若，则存在实数，使得， 可得，解得， 即，， 若，则，解得，即. （2）因为，，， 则，， 可得，，， 所以与所成角的余弦值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $