专题三 三角形全等的判定与解题模型典型题系列【（挑战压轴题）导图知识卡片+十七大考点讲练+优选题训练 共48题】2026-2027学年人教版数学八年级上册

本讲义聚焦三角形全等的判定与解题模型核心知识点，系统梳理SAS、ASA、AAS、SSS、HL等判定方法，整合倍长中线、旋转、垂线等辅助线模型及尺规作图内容，通过思维导图构建知识体系，十七大考点从基础应用到综合拓展递进，形成完整学习支架。 资料亮点在于以思维导图直观呈现知识脉络，十七大考点结合典例与对应练习，如倍长中线模型培养推理能力与模型意识，尺规作图强化几何直观。优选真题助力实战，课中辅助教师系统授课，课后帮助学生查漏补缺，提升空间观念与创新意识。

2026-2027学年人教版数学八年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题三三角形全等的判定与解题模型 【思维导图+十七大考点讲练+优选真题练共48题〔原卷版〕】 月 录 【思维导图知识梳理】 .2 【压轴考向考点讲练】 .2 二【压轴考点O1】全等的性质和SAS综合(SAS)★★★ 怎【压轴考点02】全等的性质和ASA(AAS)综合SA或者AMS★★★女 4 2。【压销考点03】金等的性质和S8S综合(SsS)★★★ 4 二【医药考点4】全等的性质和L综合L)★★女女 品 【压轴考点05】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）★★★★ .7 怎【压销考点6】灵活选月判定方法证金等（全等三角形的判定综合）★★★★ 二【压销考点0】钻合尺规作国的金等问题（全等三角形的荆定综合）女女★…9 二【压轴考点08】连接两，点构造金等三角形（全等三角形的辅助钱问题）★女 ....10 【压轴考点09】倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题）★★★★...11 ”【压轴考点10】旋转模型（全等三角形的辅助线问题★★★★ 13 二【压轴考点1】鱼线模型（全等三角形的辅助线问题）★★★女 13 二【压甜考点12】其他模型（全等三角形的辅助钱问题★★★★ ................15 二【压轴考点13】全等三角形综合问题★★女 16 ”【压轴考点14】过直线外一点作已知直线的平行线★★★ 18 。 【压轴考点15】尺规作一个角等于已知角★★★ 19 二【压轴考点16】尺规作图一作三角形★★女 … 20 第1页共28页 二【压销考点17】利用全等图形求正方形同格中角度之和（全等图粉★★女 21 【优选真题实战演练】 .21 模块 思维导图知识梳理 一、基本事实与定义 八年级上册挑战压轴题专题三 三、思路方法（两类直角三角形全等 1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个 三角形全等的判定思维导图 1.韩边和一直角边分别相等（代 三角形叫做全等三角形 条件：直角三角形中，斜边相等且一条直角边相等。 2,金等三角形的性质：全等三角形的对应边相等 斜边+直角边→全等 对应角相等。 定义与 性质 思路方法 2.两直角边分别相等(L 记作：△ABC2△A'B'C 条件：直角三角形中，两条直角边分别相等 二、三角形全等的判定方法（五种基本判定） 直角边+直角边→全等 边边边(SSs 三边对应相 =→△ABCe△A'B'C ◇ CA-C'A 三角形全等的判定 四、压轴解题技巧 2.边角边(SAS) 两边及其角对应相 ★1，明确目标：确定要证明的结论（全等/相等/平行/角度等） →△ABC△A'BC 音2分析条件：找出已知中的相等关系，平行关系、垂直关系等 判定方法 .角边角(ASA) 两角及其夹边对应相等 解题技巧 ★3构造三角形：围绕目标构造三角形。寻找全等判定所需条件 (五种) 。4灵活添加辅助线：根据需要连接线段、作垂线，延长线段等。 →△ABC2△A'BC ∠B=∠B ◆5转化思想： 角角边(AAS) √将线段相等、角相等转化为三角形全等 两角及一边对 相 √将平行、垂直问题转化为角相等 →△ABC△ABG √将复杂问题转化为基本图形， 6，注意分类讨论：当条件不唯一时，要考虑所有可能的情况 ,料边、直角边(L) 直角三角愁中，斜边和一条直角边对应相等 堂贝铺助转 (应用类型 的作法 s△ABCe△A'B'C 注意：SSA不能判定三角形全等（可能不啡一或不存在）， 六、常见辅助线的作法 五、应用类型与典型梗型 1作垂饯 2作平行线 3.作角平分线 4.延长线段 5,取中点 利用全等测量 2与平行传望 4,与角平分相 过一点作已知直线 过一点作已知直线 作一个角的平分线 把线段延长到 在一条线段上取 利用平行线的性 利用角平分线的性质 的垂线 的平行线 合适位置. 中点。 可到达点的距离等 构造全等」 B D 七，易错点与注数事项 八总结 结合数形合与转，儿能有的苏定方法灵活用精线 模块三 压轴考向考点讲练 【压轴考点01】全等的性质和SAS综合(SAS)★★★ 【典例精讲】(2026八年级上·全国·专题练习)如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E分别在边AB 和AC上，连接BE,CD,交点为F,且AD=AB,AE=AC.求证：DF=EF. 第2页共28页 D B 【对应练习】按要求解答问题： D B E 图① 图② 备用图 备用图 (1)如图①，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠D=90°，E,F分别是边BC,CD上的点，且∠EAF= ∠BAD.请直接写出线段EF,BE,FD之间的数量关系：一： (2)如图②，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是边BC,CD上的点，且 ∠EAF=∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是边BC,CD所在直线上的点，且 ∠EAF=∠BAD.请直接写出线段EP,BE,FD之间的数量关系：- 第3页共28页 【压轴考点02】全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS)★★★★ 【典例精讲】(26-27八年级上·四川达州·开学考试)如图，AD为△ABC的中线，DE平分∠ADB, DF平分∠ADC,BE⊥DE,CF⊥DF,若∠DBE=40°，则∠DEF的度数为( ) D A.30° B.40° C.50° D.60° 【对应练习】(26-27八年级上·吉林长春·开学考试)如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠ACB= 90°，AD平分∠BAC,BE1AD于点E,交AC的延长线于点F.给出下面四个结论：①AD=BF;②BE= CF;③BF=2BE;④AC+CD=AB.上述结论中，正确结论的序号是 B 【压轴考点03】全等的性质和SSS综合(SsS)★★★ 【典例精讲】(25-26七年级下·重庆·期末)如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，F为射线 AC上一点，连接FB并延长至点E,连接DE且DE=DC.若AC=AB+BE,∠ADB=x,则∠AFB等于 A号 B.a-60° C.2a-180° D.90°-月 第4页共28页 【对应练习】(25-26七年级下·陕西西安·期末)如图，在△ABC中，点AE分别在AC、BC边上， AB=BE,连接DE、BD,AD=DE,若∠CED=110°，则∠A=. B 二【压轴考点04】全等的性质和HL综合(HL)★女★★ 【典例精讲】(25-26七年级下·辽宁沈阳·期末)已知△ABC,∠B=90°，CD平分∠ACB交AB于点D D B B (1)如图1，过点D作DE1AC于点E,说明：△BCD兰△ECD: (2)如图2，在(1)的条件下，延长ED交CB的延长线于点F,说明：CF=AC: (3)如图3，点H为AC上一点，连接DH,AC+CH=10,AD=DH,求BC的长 第5页共28页 【对应练习】(25-26七年级下·山东烟台·期末)综合与探究 问题情境： 小明在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构 成.在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形.它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模 型”，小明进行了如下操作： 如图1，在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,连接BD、CE. F E E 图1 图2 图3 【问题发现】 (1)小明发现图1就是手拉手模型，拉手线BD、CE存在某种数量关系.其探究过程如下，请你写出①和② 处的理由； 解：∠BAC= DAE ·∠BAD+∠DAC =∠CAE+∠DAC .∠BAD=∠CAE (理由：①) 在△ABD和△ACE中 AB=AC ∠BAD=∠CAE AD-AE △ABD ≌△ACE(SAS) BD=CE(理由： ②) 第6页共28页 (2)如图2，在图1的基础上，△ABC不动，将△ADE绕着点A逆时针旋转至点B,点B、D、E在一条直线 上，BE交AC于点O.小明发现△ABD与△ACE依然全等.当∠BAC=∠DAE=时，求∠BEC: 【拓展探究】 (3)在图2的基础上，延长CE至点F,如图3.判断∠AED与∠AEF的数量关系，并说明理由. 二【压轴考点05】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）★女★★ 【典例精讲】(26-27八年级上·全国·课后作业)根据题图及相应的条件，能否判定下面分别给出的 两个三角形全等？ ① ② ③ ④ (1)如图①，线段AD与BC相交于点O,A0=D0,B0=C0.△AB0和△DC0: (2)如图②，AC=AD,BC=BD.△ABC和△ABD. (3)如图③，线段AC与BD相交于点O,∠A=∠C,∠B=∠D.△ABO和△CDO. (4)如图④，∠CAB=∠DBA,∠1=∠2.△ABC和△BAD. 第7页共28页 【对应练习】(25-26八年级上·安徽蚌埠·阶段检测)下列说法：①周长相等的两个三角形全等；② 面积相等的两个三角形全等：③两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）分别对应相等的两个三角 形全等；④两角和其中一角的平分线（或第三角的平分线)分别对应相等的两个三角形全等：⑤两边和其 中一边上的高（或第三边上的高）分别对应相等的两个三角形全等.其中正确的说法有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 。二【压轴考点6】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）★女★女 【典例精讲】(25-26七年级下·广东深圳·期末)如图1，已知∠、∠B和线段c,试作△ABC,使 ∠A=∠，∠B=∠B,AB=c.我们用尺规作图得到如图2所示的△ABC,又发现我们所作的三角形和 其他同学所作的三角形能够完全重合，于是得到判定三角形全等的方法是( ) a 图1 图2 A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 【对应练习】(25-26八年级上·上海·阶段检测)在课堂上，李老师发给每人一张印有Rt△ABC(如 图)的卡片，要求学生们画一个Rt△A'B'C',使得Rt△A'B'C兰Rt△ABC,小海和小华先画出了 ∠MB'N=90°之后，后续画图的主要过程分别如图所示.对这两种画法的描述中，错误的是 N 0 (o o口 B B' B M B 第一步 第二步 第一步 第二步 小海 小华 A.小海作图判定Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的依据是直角三角形全等的判定定理 B.小海第二步作图时，用圆规截取的长度是线段AC的长 C.小华作图判定Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的依据是SAS 第8页共28页 D.小华第一步作图时，用圆规截取的长度是线段AC的长 二【压轴考点07】结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合）★女★ 【典例精讲】(24-25八年级上·广东广州·期中)数学兴趣小组在探讨全等三角形相关问题的解决方 法时发现：当条件中出现“中线”或“中点”时，可考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题. (1)【问题初探】如图1：在△ABC中，AB=2,AC=6,AD为BC边上的中线，则AD的取值范围为 D 图1 (2)【类比分析】如图2：在△ABC中，∠B=90°，AB=7,AD是△ABC的中线，CE1BC于点C,CE= 11且∠ADE=90°.求AE的长度. E Q D 图2 第9页共28页 【对应练习】(23-24八年级上·安徽蚌埠·期末)如图，在4×4的正方形网格中，点A,B,C均在格 点上，则∠a+∠B=一一度. B 【压轴考点08】连接两点构造全等三角形（全等三角形的辅助线问题）★★★ 【典例精讲】(25-26七年级下·辽宁辽阳·期末)课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如 图，在△ABC中，AB=8,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了 如下的解决方法：延长AD至点E,使DE=AD,连接CE.依据小明的方法，可求得AD的取值范围是 【对应练习】(25-26七年级下·贵州毕节·期末)【探究】 图1 图2 图3 (1)如图1，AD是△ABC的中线，且AB>AC,延长AD至点E,使ED=AD,连接BE,可证得△ADC兰 △EDB,其中判定两个三角形全等的依据为_ A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA 【应用】 (2)提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形.把分散的已知条件和 所求证的结论转化到同一个三角形中，如图2，EP是△DEF的中线，若EF=8,DE=6,求出2EP的取 第10页共28页 值范围。 【拓展】 (3)根据以上经验，如图3，OA=OB,OC=OD,∠A0B+∠COD=180°，连接AC、BD,E是AC的中 点，证明：OE=BD. 【压轴考点09】倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题）★★★★ 【典例精讲】(24-25八年级上·甘肃临夏·期末)综合与实践 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径.通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知 识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地 B B E D 图1 图2 【发现问题】 (1)如图1，在△ABC和△AEF中，AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF,连接BE,CF,延长BE交CF 于点D.则BE与CF的数量关系为： 【类比探究】 (2)如图2，在△ABC和△AEF中，AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF=120°，连接BE,CF,延长 BE,FC交于点D.请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由. 第11页共28页 【对应练习】(24-25七年级下·山东济南·期末)△ABC和△DBE是两个角都是45的等腰直角三角 形(BA=BC,BE=BD,∠DBE=∠ABC=90)的三角板， 【问题初探】 (1)当两个三角板如图(1)所示的位置摆放时，DB、C在同一直线上，连接AD、CE,请证明：AD= CE; 【类比探究】 (2)当三角板ABC保持不动时，将三角板DBE绕点B顺时针旋转到如图(2)所示的位置，判断AD与CE的 数量关系和位置关系，并说明理由， A 图(1) 图(2) 第12页共28页 【压轴考点10】旋转模型（全等三角形的辅助线问题★★★★ 【典例精讲】(25-26八年级上·广东揭阳·期中)如图，小敏将等腰直角三角板ABC放置于直角坐标 系中，直角顶点C与x轴上表示-1的点重合，点B坐标为(2,1)，则点A的坐标为() A.(-2,3) B.(2,3) C.(3,3) D.(-2,-3) 【对应练习】(24-25八年级上·福建宁德·期中)如图，△ABC顶点在同一平面直角坐标系下，A点的 坐标为(3,4，B点的坐标为(5,9)，AB=BC,AB1BC,则点C的坐标为 B 二【压轴考点11】垂线模型（全等三角形的辅助线问题）★女女★ 【典例精讲】(24-25八年级上·甘肃武威·期中)如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(3,3)， 点B,A分别在x轴，y轴的正半轴上.若∠APB=90°，则OA+0B= y B 衣 第13页共28页 【对应练习】阅读下面的题目及分析过程. 已知：如图1，点E是BC的中点，点A在DE上，且AB=DC.说明：∠BAE=∠D 分析：说明两个角相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的性质.观察本题中说明的两个 角，它们既不在同一个三角形中，而且它们所在两个三角形也不全等.因此，要说明∠BAE=∠D,必须 添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形，现在提供两种添加辅助线的方法如下：如图2，过点 C作CFI‖IAB,交DE的延长线于点F;如图3，延长DE至点M,使ME=DE,连接BM. D D D D A A E B B E 图1 图2 图3 图4 (1)请从以上两种添加辅助线方法中选择一种完成上面的说理过程 (2)反思应用：如图4，点B是AE的中点，BC1BD于点B.请类比(1)中解决问题的思想方法，添加适 当的辅助线，判断线段AC十DE与CD之间的大小关系，并说明理由. 第14页共28页 二【压轴考点12】其他模型（全等三角形的辅助线问题★★女★ 【典例精讲】(24-25七年级下·贵州毕节·期末)(1)如图，在直线m上依次取互不重合的三个点 D,A,E,在直线m上方有AB=AC,且满足∠BDA=∠AEC=∠BAC=a. 【积累经验】①如图1，当a=90时，直接写出线段DE,BD,CE之间的数量关系是 【类比迁移】②如图2，当0°<<180时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由。 【拓展应用】 (2)如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,连接BC,DE,且BC⊥AF于点R,DE与直线 AF交于点G,G是DE的中点吗？请说明理由. B m A E m 图1 图2 图3 第15页共28页 【对应练习】(25-26七年级下·江西抚州·期末)己知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两 边CB,CD分别与射线AM,AN相交于B,D两点，过点C作CE1AB,垂足为E,∠ABC+∠ADC=180°. -M -M E B B E 图1 图2 (1)若CE=4,则点C到AN的距离是 (②)如图1，当点E在线段AB上时，则BC和CD满足什么数量关系？请说明理由： (3)如图2，当点E在线段AB的延长线上时，若AE=5,AD=6,CE=3,求S△BCB 【压轴考点13】全等三角形综合问题★★★ 【典例精讲】(25-26七年级下·山西运城·期末)阅读与思考 再探判定三角形全等的条件 几何主要研究图形形状、大小、位置，若两个三角形形状相同，大小也相同.即这两个 三角形全等.它们通过平移、旋转或轴对称变化可完全重合 回顾探究判定方法过程：根据条件作三角形，若只可作出唯一的三角形，即可知这些条 件可作为三角形全等的判定方法.小红在已知两边及其一边对角作三角形时，也可作出 唯一三角形，小丽也同样作出唯一三角形， 小红：已知∠A=120°，AC=4cm,BC=7cm. 如图 C 六B小丽：己知∠A=90°，AB=3cm,BC=4cm. 任务： 第16页共28页 (1)按照小丽的条件，作出△ABC(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法). (2)按照小丽，小红所给条件，作出唯一三角形，但“SSA”未作为判定三角形全等方法，一定有“SSA” 不成立的情况，类比小红、小丽的思路画图举出反例并进行适当的标注说明（作图工具不限）· (3)木工师傅拿一些木条制作四边形模型.已有模型框架如图，木条BD,AB,BC钉在同一点B处.此时BD平 分∠ABC,P是BD上固定一点，选取两根长度相等的木条，将两根木条的一端都钉在P处，另一端分别钉 在木条BA,BC上，师傅钉完后发现有两种不同形状模型.如图1，如图2. E D M D B B F 图1 图2 通过测量发现模型2中四边形BMPN面积比模型1中四边形BEPF面积大10cm2, 且BN=2BF,BM=BE.此时四边形BEPF的面积为cm,请说明钉出两种不同模型的原因， 第17页共28页 二【压轴考点14】过直线外一点作已知直线的平行线★女★ 【典例精讲】(25-26六年级下·山东烟台·期末)如图，在△ABC中，∠A=46°，∠ABC=62°，以 点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AB,AC于点D,E:以点B为圆心，AD长为半径画弧，分别交 边BA,BC于点F,G;再以点F为圆心，DE长为半径画弧，与弧FG交于点H;作射线BH交边AC于点I.则 ∠CBI的度数为 度 D F 【对应练习】(25-26七年级下·山东烟台·期末)用无刻度直尺和圆规作图.如图，已知AB∥DC,点 E在DC上. B E D (1)在AB上作一点F,使∠CDF=∠A;(要求：保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)条件下，判断DF与AE是否平行，并说明理由. 第18页共28页 二【压轴考点15】尺规作一个角等于已知角★★女 【典例精讲】(25-26七年级下·重庆忠县·期末)已知直线AB,线段CD如图所示，延长线段CD与直 线AB交于点E,过点D作AB的平行线FG,点F、G分别在点D的左、右两侧，设∠CDG=∠1，∠FDE= ∠2，∠DEA=∠3， D A B (1)利用直尺和圆规完成以上作图，保留作图痕迹，不写作法，并标上相应的字母和数字， (2)若∠1=68°，求∠3的大小. 【对应练习】(25-26七年级下·贵州毕节·期末)数学课上，老师给出这样一道题：如图①，已知直 线l及外一点P,作直线m,使得m/儿，且m经过点P(不写作法，保留作图痕迹)· M∥ m D 图① 图② 某学习小组根据“内错角相等，两直线平行”作图.如图②，过点P作直线0P交直线于点O,作 ∠MPN=∠COD.作法步骤如下： ①以点0为圆心，以任意长为半径作弧，交直线于点C,交直线OP于点D: 第19页共28页 ②以点P为圆心，以OC长为半径作弧，交OP于点W: ③以点N为圆心，以a长为半径作弧，交前面的弧于点M: ④过点M,P作直线m,则直线m即为所求. 则a的长度是( A.线段OC的长度B.线段OD的长度 C.线段CD的长度 D.线段PN的长度 二【压轴考点16】尺规作图作三角形★★★ 【典例精讲】(25-26七年级下·甘肃白银·期中)项目化学习 项目主题：确定三角形菜园的小门位置 项目背景：某中学积极响应劳动教育的号召，在校园内开辟了一处“青禾”劳动实践基地.七年级三班负 责管理一块形状为三角形的菜园.为了便于同学们日常进出浇水、施肥、采摘，同时最大程度避免踩踏菜 畦，班级劳动委员会决定在菜园靠路的一边修建一扇小门.现需要精确的施工图纸 方案设计：第一步：绘制三角形菜园示意图△ABC: 第二步：确定菜园小门的位置。 为确保通行便利和安全，希望小门的位置（点D)在靠路的一边AB上，且到菜园另外两边(AC和BC)的 距离相等.即：CD是∠ACB的角平分线 方案实施： (1)测量获得菜园的两个内角∠a,∠B及其夹边长度（按比例缩至图纸尺寸为线段a),如图所示. 请你利用尺规作出△ABC（其中∠A=∠a,∠B=∠B,AB=Q)（要求：保留作图痕迹，标注字母，不 写作法)； (2)小颖根据方案设计中的第二步，在(1)中所作的△ABC中作出了CD,确定小门的位置（点D),测得 ∠a=30°，∠B=60°，求出∠CDA的度数. 第20页共28页 【对应练习】(25-26八年级上·全国·期末)如图，已知线段a和∠a a a (1)求作△ABC,使AB=a,∠A=∠a,∠B=2∠a:(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)的条件下，若a=5cm,∠a=45°，求BC的长. 【压轴考点7】利用全等图形求正方形网格中角度之和（全等图形）★★★ 【典例精讲】(25-26八年级上·浙江绍兴·期中)如图，正方形网格中，利用图形的轴对称设计了一 个“蝴蝶”的平面图案，直线l是它的对称轴，下列结论中：①∠AOD+∠B0C=180°；②∠B0F= ∠COE;③∠BOC=∠AOB;④∠BOD=90°，正确结论的个数是( E B A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【对应练习】(24-25八年级上·陕西安康·期中)如图，网格中的所有小正方形的边长相同，则∠α+ ∠B= 模块三 优选真题实战演练 1.(26-27八年级上·广西南宁·开学考试)如图，OP平分∠A0B,PA10A,PB10B,垂足分别为 A,B.下列结论中不一定成立的是( ) 第21页共28页 B A.PA=PB B.PO平分∠APB C.0A=OB D.AB过线段OP的中点 2.(26-27八年级上·四川成都·开学考试)如图，点E,F在AC上，AD=BC,AD∥BC,下列条件中 不能使△ADF≌△CBE成立是( ) D B A.DF-BE B.AE=CF C.BE DF D.∠D=∠B 3.(25-26七年级下·内蒙古包头·期末)如图，综合实践小组的甲、乙两名同学分别站在地面上的点C 和点F处，甲看向地面上点B处的视线与他自己身体的夹角为∠BAC,乙看向地面上点E处的视线与他自己 身体的夹角为∠EDF,己知AC1BE于点C,DF1BE于点F,图中所有的点都在同一平面 内.当AC=DF,∠BAC=∠EDF时，根据全等三角形的知识可得到BC=EF,这里直接判定△ABC和 △DEF全等的依据是( D B A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 4.(25-26七年级下·福建泉州·期末)如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=∠ACB=45°，D、E是斜 边BC上两点，且∠DAE=45°，过点A作AF1AD,垂足是A,过点C作CF1BC,垂足是C,交AF于点F, 连接EF,下列结论：①△ABD兰△ACF;②DE=EF;③若S△ADE=15,S△cF=6,则S△4BC=36;④ BD+CE=DE,其中正确的是( D A.①④ B.②③ C.①②③ D.①②④ 第22页共28页 5.(21-22八年级下·河南郑州·期中)如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE,BF相交于点 O,过点0作0D1BC于D,下列三个结论：①∠A0B=90°+号∠C;②当∠C=60时，AF+BE=AB; ③若OD=a,AB+BC+CA=2b,则S△4Bc=ab.·其中正确的是( B ED A.①② B.②③ C.①②③ D.①③ 6.(26-27八年级上·全国·课后作业)如图，AD I BC,AD=BC,AE1BC,将△ABE沿AD方向平移， 使点A与点D重合，此时点E平移至点F处，则△ABE兰一一，∠F=一， D 7.(25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测)如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线，过点B 作BE L AD,交AD的延长线于点E,过点C作CF L AD交AD于点F,若BE=6,则CF的长为一一 E 8.(25-26七年级下·四川成都·期末)如图，己知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=21°，按以下步骤 作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交边AC,AB于点D,E;②保持半径不变，以点B为圆心 作弧，分别交边BC,BA于点G,F;③以点F为圆心，DE长为半径作弧，交弧GF于点H;④连接BH并延长 交AC于点M,则∠CBM的度数为 第23页共28页 9.(2026八年级上·全国·专题练习)如图，在△ABC中，D是边AC的中点，∠EDF=90°，AF=10, CE=4,则EF的取值范围是 E 10.(25-26八年级上·福建莆田·阶段检测)如图，已知四边形ABCD中，AB=12厘米，BC=8厘 米，CD=14厘米，∠B=∠C,点E为线段AB的中点.如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点 向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动.当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能 够使△BPE与以C、PQ三点所构成的三角形全等， D B 11.（25-26八年级上·广东湛江·期末)如图，AB II CD,∠1=∠2，AD=AB+CD·求 证：BE=CE; D B 第24页共28页 12.(26-27八年级上·陕西宝鸡·开学考试)问题情境：如图1，在四边形ABCD中.AB1BC,DC1 BC,E是BC上一点，连接AE,DE,AB=CE,BE=CD. D P C入 图1 图2 问题探究： (1)则△DEA是 _三角形： (2)“智慧小组”的同学把题目进行改编：如图1，已知△AED是等腰直角三角形.AE=DE,∠AED= 90°，点B,E,C在同一直线上，AB1BC,DC1BC,试探究AB,CD与BC之间的数量关系，并说明理 由. (3)“创新小组”在图1的基础上变为图2，己知点B,E,C在直线MN上，AE=DE,∠ABE=∠ECD= ∠AED.若AB=7,CD=5,求BC的长. 第25页共28页 13.(25-26七年级下·贵州六盘水·期末)某乡村规划山地休闲游园，如图，地块形如三角形的山地， 中间有湖泊，三边划分功能区：边AB为绿地，长为4千米，边AC为临溪护栏，长为2千米，边BC为山间 土路.在土路BC的中点D处修建观景驿站，同时修建索道AD,连接地块顶点A与驿站D. B (1)直接写出山间土路BC边长的取值范围 (2)在△ABC中，延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,△ADC与△EDB全等吗？请说明理由； (3)在(2)的条件下，求索道AD长度的取值范围. 第26页共28页 14.(26-27八年级上·四川达州·开学考试)在△ABC中，延长AC到D,使CD=AB,E在AD上方，BC 右侧一点，且∠A=∠BCE=∠D,连接BE. B B F A C 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：△ABC兰△DCE: (2)若∠ACB=90°，将DE沿直线CD翻折得到DE',连接BE'交CE于F. 1)如图2，若BE‖ED,求证：F为BE的中点； 11)如图3，BE'交CD于点G,若∠ABC=4∠CBG,求∠BFC. 第27页共28页 15.已知如图，在平面直角坐标系中，点B(m,0)、A(n,0)分别是x轴上两点，且mn满足(m-3)2+ Vn-1=0,点P(0,)是y轴正半轴上的动点. D P B OA B 图1 图2 (1)求△ABP的面积（用含h的代数式表示）； (2)过点P作DP1PB,CP⊥PA,且PD=PB,PC=AP. ①连接AD、BC相交于点E,再连PE,求∠BEP的度数； ②连接CD与y轴相交于点Q,当动点P在y轴正半轴上运动时，线段PQ的长度变不变？如果不变，请求出其 值；如果变化，请求出其变化范围. 第28页共28页 2026-2027学年人教版数学八年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题三 三角形全等的判定与解题模型 【思维导图+十七大考点讲练+优选真题练 共48题〔解析版〕】 目 录 【思维导图 知识梳理】 2 【压轴考向 考点讲练】 2 【压轴考点01】全等的性质和SAS综合(SAS) 2 【压轴考点02】全等的性质和ASA(AAS）综合(ASA或者AAS) 6 【压轴考点03】全等的性质和SSS综合(SSS) 9 【压轴考点04】全等的性质和HL综合(HL) 12 【压轴考点05】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合) 15 【压轴考点06】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 17 【压轴考点07】结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 18 【压轴考点08】连接两点构造全等三角形（全等三角形的辅助线问题） 22 【压轴考点09】倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 25 【压轴考点10】旋转模型（全等三角形的辅助线问题 28 【压轴考点11】垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 31 【压轴考点12】其他模型（全等三角形的辅助线问题 34 【压轴考点13】全等三角形综合问题 39 【压轴考点14】过直线外一点作已知直线的平行线 42 【压轴考点15】尺规作一个角等于已知角 43 【压轴考点16】尺规作图—作三角形 45 【压轴考点17】利用全等图形求正方形网格中角度之和（全等图形) 48 【优选真题 实战演练】 49 【压轴考点01】全等的性质和SAS综合(SAS) 【典例精讲】（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，点，分别在边和上，连接，，交点为，且，．求证：． 【答案】证明：∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【思路引导】先证出，则可得，再证出，由此即可得证． 【对应练习】按要求解答问题： (1)如图①，在四边形中，，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：______； (2)如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系： ． 【答案】(1) (2)（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ． ，， ． ． 又， ． ． ． (3)或或 【思路引导】（1）延长到，使，连接．证明．，，证明．则．即可得到答案； （2）延长到，使，连接．证明，则，，证明，则．即可得到答案； （3）在上截取，使，连接．证明．则，．证明．则，即可得到结论． 【规范解答】（1）解：如图1，延长到，使，连接． 在与中， ， ． ，， ． ． 又， ∴． ． ． ； （2）略 （3）当（1）的结论成立， 当图3中，或． 证明：在上截取，使，连接． ，， ． 在与中， ， ． ，． ． ． ， ． ． 同理可得： ． 【压轴考点02】全等的性质和ASA(AAS）综合(ASA或者AAS) 【典例精讲】（26-27八年级上·四川达州·开学考试）如图，为的中线，平分，平分，，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】结合角平分线以及平角，得到，接着证明，进一步证明，，最后利用全等三角形的对应角相等，即可得出答案． 【规范解答】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为的中线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【对应练习】（26-27八年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，，，平分，于点，交的延长线于点．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号是_________． 【答案】 ①③④ 【思路引导】证明，得到，据此可判断①；证明，得到，据此可判断③④；过点作于点，证明，得到，可证明，推出，则可证明，再由，得到，据此可判断②． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①正确； ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，故③正确； ∵， ∴，故④正确； 如图所示，过点作于点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即，故②错误； 综上所述，正确的有①③④ ． 【压轴考点03】全等的性质和SSS综合(SSS) 【典例精讲】（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在中，AD是的角平分线，F为射线上一点，连接并延长至点E，连接且．若，，则等于（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】如图：在上截取，连接，通过证明和，推导出平分，从而确定D为的内心，利用三角形内角和定理及角平分线性质建立α与的关系求解即可． 【规范解答】解：如图：在上截取，连接， ∵AD是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵F，B，E共线， ∴， ∴平分， 又∵平分， ∴，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【对应练习】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，点D、E分别在、边上，，连接、，，若，则________． 【答案】 【思路引导】利用证明得到，再根据邻补角互补求出的度数即可得到答案． 【规范解答】解；∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【压轴考点04】全等的性质和HL综合(HL) 【典例精讲】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）已知，，平分交于点D (1)如图1，过点D作于点E，说明：； (2)如图2，在（1）的条件下，延长交的延长线于点F，说明：； (3)如图3，点H为上一点，连接，，，求的长 【答案】(1)解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； (2)解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； (3)5 【思路引导】（1）利用证明即可； （2）证明，即可得出结果； （3）作于点，由全等得到，由（1）可知，进而得到，根据线段的和差关系得到，即可得出结果. 【规范解答】（1）略 （2）略 （3）解：作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴. 【对应练习】（25-26七年级下·山东烟台·期末）综合与探究 问题情境： 小明在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小明进行了如下操作： 如图1，在和中，，，，连接、． 【问题发现】 (1)小明发现图1就是手拉手模型，拉手线、存在某种数量关系．其探究过程如下，请你写出①和②处的理由； 解： （理由：①） 在和中 （理由：②） (2)如图2，在图1的基础上，不动，将绕着点逆时针旋转至点，点、、在一条直线上，交于点．小明发现与依然全等．当时，求； 【拓展探究】 (3)在图2的基础上，延长至点，如图3．判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)等式的性质；全等三角形的对应边相等； (2)； (3)解：．理由如下： 如图，过点A作于点M，作于点N． 同（1）可知， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【思路引导】（1）根据角的和差关系结合全等三角形的性质，作答即可； （2）根据全等三角形的性质结合三角形的内角和定理即可得出结果； （3）过点A作于点M，作于点N，证明，进而证明，可知． 【规范解答】（1）略； （2）解：同（1）可知， ． 且， 在与中， ， ； （3）略． 【压轴考点05】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合) 【典例精讲】（26-27八年级上·全国·课后作业）根据题图及相应的条件，能否判定下面分别给出的两个三角形全等？ (1)如图①，线段与相交于点．和． (2)如图②，．和． (3)如图③，线段与相交于点．和． (4)如图④，．和． 【答案】(1)能 (2)能 (3)不能 (4)能 【思路引导】（1）利用即可证明两个三角形全等； （2）利用即可证明两个三角形全等； （3）两个三角形没有一组边对应相等，故不能判定两个三角形全等； （4）利用即可证明两个三角形全等． 【规范解答】（1）解：能，证明如下： 在和中， ， ∴； （2）解：能，证明如下： 在和中， ， ∴； （3）解：不能，理由如下： ∵在和中，只有，没有一组边对应相等， ∴不能判定与全等； （4）解：能，证明如下： 在和中， ， ∴． 【对应练习】（25-26八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）下列说法：①周长相等的两个三角形全等；②面积相等的两个三角形全等；③两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）分别对应相等的两个三角形全等；④两角和其中一角的平分线（或第三角的平分线）分别对应相等的两个三角形全等；⑤两边和其中一边上的高（或第三边上的高）分别对应相等的两个三角形全等．其中正确的说法有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【思路引导】本题考查三角形全等的判定条件，熟练掌握三角形全等的判定条件是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理，逐一判断即可． 【规范解答】解；说法①：周长相等的两个三角形不一定全等，如三边分别为3、4、5和4、4、4的三角形，周长均为12但不全等，故①错误； 说法②：面积相等的两个三角形不一定全等，如底和高相同但形状不同的三角形，故②错误； 说法③：两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等，可通过构造辅助线证明全等，如延长中线倍长后利用或证明，故③正确； 说法④：两角和其中一角的平分线（或第三角的平分线）对应相等，由两角相等得三角对应相等，再结合角平分线相等，利用或可证明全等，故 ④正确； 说法⑤：两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等，但高可能落在三角形外部导致夹角不同，如两边及一边的高相等时可能形成锐角或钝角三角形而不全等，故⑤错误； 综上所述，正确的说法有③和④，共2个， 故选：C． 【压轴考点06】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【典例精讲】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图1，已知、和线段，试作，使，，．我们用尺规作图得到如图2所示的，又发现我们所作的三角形和其他同学所作的三角形能够完全重合，于是得到判定三角形全等的方法是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据作图痕迹结合全等三角形的判定方法，即可求解． 【规范解答】解：由作图可知，这个作图的依据是：两角夹边对应相等的两个三角形全等，即． 【对应练习】（25-26八年级上·上海·阶段检测）在课堂上，李老师发给每人一张印有RtABC（如图）的卡片，要求学生们画一个，使得，小海和小华先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中，错误的是（    ） A．小海作图判定的依据是直角三角形全等的判定定理 B．小海第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小华作图判定的依据是 D．小华第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 【答案】D 【思路引导】本题考查了用圆规作图和全等三角形判定的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据演示确定作图的具体步骤，结合全等的判定方法逐选项进行判断，即可求解； 【规范解答】解：由图示知，小海第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为；小华第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为． 选项D表述为“小华第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长”明显错误，符合题意， 故选：D． 【压轴考点07】结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 【典例精讲】（24-25八年级上·广东广州·期中）数学兴趣小组在探讨全等三角形相关问题的解决方法时发现：当条件中出现“中线”或“中点”时，可考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题． (1)【问题初探】如图：在中，为边上的中线，则的取值范围为__________． (2)【类比分析】如图：在中，是的中线，于点且． 求的长度． 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】延长到点使，构造使，根据全等三角形对应边相等可知，根据三角形三边关系可得，从而可得； 延长交的延长线于点，构造，从而可证，，，可证，根据全等三角形对应边相等可得，从而可得 【规范解答】（1）解：如下图所示，延长到点使， 是边上的中线， ， 在和中， ， 在中，， ， ， ， ， ， ； （2）解：如下图所示，延长交的延长线于点， 是的中线， ， ， ， 在和中， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【考点剖析】本题考查三角形三边的关系、全等三角形的判定与性质．解决本题的关键是构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等的关系找边之间的关系． 【对应练习】（23-24八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，则______度． 【答案】 【思路引导】连接，利用平行线的性质和全等三角形的判定得出、及是等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可求解． 【规范解答】解：如图，连接， ， ， 和中， ， ，， ， ， 即， 是等腰直角三角形， ． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查的知识点是根据平行线判定与性质求角度、连接两点作辅助线、等腰三角形的性质和判定，解题关键是利用辅助线构造等腰三角形． 【压轴考点08】连接两点构造全等三角形（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．依据小明的方法，可求得的取值范围是____________． 【答案】 【思路引导】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定和性质，延长至点，使，连接，根据证明，即可得到，然后根据三角形的三边关系解答即可． 【规范解答】解：延长至点，使，连接， ∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 【对应练习】（25-26七年级下·贵州毕节·期末）【探究】 (1)如图1，是 的中线，且，延长至点，使，连接 ，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为 ．               【应用】 (2)提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是 的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 (3)根据以上经验，如图3，，，，连接 、 ，是的中点，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明：如图3，是的中点，延长至点，使，连接， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，根据三角形内角和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【思路引导】（1）按照边角边证明三角形全等即可． （2）按照（1）中方法延长，使，利用三角形全等证明，再利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求出的取值范围． （3）按照（1）中方法延长，使，证明、即可证明出结论． 【规范解答】（1）解：∵是的中线， ∴， 在和中， ∴， （2）解：如图2，是 的中线，，，延长至点，使，连接，则， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴在，根据三角形三边关系得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【压轴考点09】倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（24-25八年级上·甘肃临夏·期末）综合与实践 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． 【发现问题】 （1）如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系为：______． 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 【答案】（1）； （2），， 理由如下：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 【思路引导】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形的外角． （1）证明，即可得到； （2）根据等腰三角形的性质，证明即可得出结论． 【规范解答】解：（1）∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【对应练习】（24-25七年级下·山东济南·期末） 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 如图，过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形． （1）由判定，推出； （2）过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O，判定，推出，，由三角形内角和定理推出，推出． 【压轴考点10】旋转模型（全等三角形的辅助线问题 【典例精讲】（25-26八年级上·广东揭阳·期中）如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了平面直角坐标系、全等三角形的判定及性质，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点，点分别作，垂直于轴，通过证明，得到，，即可得出点的坐标． 【规范解答】解：如图，过点，点分别作，垂直于轴， 则， ∴， ∵点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为， ∴，，， ∴， 由题意可知，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 故选：A． 【对应练习】（24-25八年级上·福建宁德·期中）如图，顶点在同一平面直角坐标系下，点的坐标为，点的坐标为，，，则点C的坐标为______． 【答案】 【思路引导】本题考查全等三角形的判定与性质，根据等腰直角三角形构造一线三垂直模型证明全等，再求坐标即可． 【规范解答】解：过作轴于，过作轴于，过作交于，交于，则， ∴轴， ∴，， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【压轴考点11】垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（24-25八年级上·甘肃武威·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点分别在轴，轴的正半轴上．若，则___________． 【答案】 【思路引导】本题考查了平面直角坐标系和全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．过点分别作轴，轴于点和点，构造全等三角形，先根据已知条件利用角边角证得，再根据全等三角形的性质得到，最后通过等量代换将换成即可得出答案． 【规范解答】解：如图， 过点分别作轴，轴于点和点，则， 点的坐标为， ， ， ， ， 在和中， ，，， ， ， ． 故答案为：． 【对应练习】阅读下面的题目及分析过程． 已知：如图1，点E是的中点，点A在上，且．说明：． 分析：说明两个角相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的性质． 观察本题中说明的两个角，它们既不在同一个三角形中，而且它们所在两个三角形也不全等．因此，要说明，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形，现在提供两种添加辅助线的方法如下：如图2，过点C作，交的延长线于点F；如图3，延长至点M，使，连接． (1)请从以上两种添加辅助线方法中选择一种完成上面的说理过程． (2)反思应用：如图4，点B是的中点，于点B．请类比（1）中解决问题的思想方法，添加适当的辅助线，判断线段与之间的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) 法一：如图2，过点C作，交的延长线于点， ∵ ∴， ∵E是的中点， ∴； 在和中，                    ， ∴； ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 法二：如图3，延长至点M，使，连接． ∵E为的中点， ∴， 在和中                                     ， ∴； ∴， 又∵， ∴； ∴， ∴； (2) ，理由如下： 如图，延长到F，使，连接， 同（1）法可得：， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴． 【思路引导】（1）法一：过点C作，交的延长线于点，证明，得到，，推出，得到，即可得证； 法二：延长至点M，使，连接，证明，得到，推出，进而得到，即可得证； （2）延长到F，使，连接，证明，，推出，利用三角形三边关系，即可得出结论． 【规范解答】（1）略 （2）略 【考点剖析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．中垂线的性质，通过添加辅助线，证明三角形全等，是解题的关键． 【压轴考点12】其他模型（全等三角形的辅助线问题 【典例精讲】（24-25七年级下·贵州毕节·期末）（1）如图，在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． 【积累经验】①如图1，当时，直接写出线段，，之间的数量关系是_______． 【类比迁移】②如图2，当时，①中的结论是否仍然成立?请说明理由． 【拓展应用】 （2）如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G，G是的中点吗?请说明理由． 【答案】（1）①； ②问题①中结论仍然成立，理由如下： ， ， ， 又，， ， ，， ； （2）G是的中点，理由如下： 如图，作于M，于N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴点G是的中点． 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握相关判定方法及性质是解题的关键． （1）①由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； ②由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； （2）作于M，于N，先证 ，根据全等三角形的性质得到，同理，由此可得，再由此证明，由全等三角形的性质得到，于是得到点G是的中点． 【规范解答】解：（1）①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：； ②略 【对应练习】（25-26七年级下·江西抚州·期末）已知点是平分线上一点，的两边，分别与射线，相交于，两点，过点作，垂足为，． (1)若，则点到的距离是________； (2)如图1，当点在线段上时，则和满足什么数量关系？请说明理由； (3)如图2，当点在线段的延长线上时，若，，，求． 【答案】(1)4 (2) 理由：如图1，过点作于点，则， ∵点是平分线上一点， ， ，， ， 在和中，， ， ； (3) 【思路引导】（1）根据角平分线的性质定理即可求解； （2）过点作于点，利用角平分线的性质定理证明即可； （3）过点作于点，利用角平分线的性质定理证明，再证明即可求解． 【规范解答】（1）解：∵点是平分线上一点，，， ∴点到的距离是4； （2）解：； 理由略； （3）解：过点作于点，如图， 则， ∵点是平分线上一点， ， ，， ， 在和中，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【压轴考点13】全等三角形综合问题 【典例精讲】（25-26七年级下·山西运城·期末）阅读与思考 再探判定三角形全等的条件 几何主要研究图形形状、大小、位置，若两个三角形形状相同，大小也相同．即这两个三角形全等．它们通过平移、旋转或轴对称变化可完全重合． 回顾探究判定方法过程：根据条件作三角形，若只可作出唯一的三角形，即可知这些条件可作为三角形全等的判定方法．小红在已知两边及其一边对角作三角形时，也可作出唯一三角形，小丽也同样作出唯一三角形． 小红：已知． 如图． 小丽：已知． …… 任务： (1)按照小丽的条件，作出（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)按照小丽，小红所给条件，作出唯一三角形，但“”未作为判定三角形全等方法，一定有“”不成立的情况，类比小红、小丽的思路画图举出反例并进行适当的标注说明（作图工具不限）． (3)木工师傅拿一些木条制作四边形模型．已有模型框架如图，木条钉在同一点处．此时平分，是上固定一点，选取两根长度相等的木条，将两根木条的一端都钉在处，另一端分别钉在木条上，师傅钉完后发现有两种不同形状模型．如图1，如图2． 通过测量发现模型2中四边形面积比模型1中四边形面积大，且．此时四边形的面积为______，请说明钉出两种不同模型的原因． 【答案】(1)解：如图，即为所求； (2)解：如图，，即为所求； (3)20，两边和其中一边的对角确定，且这个对角为锐角，作出的三角形不唯一 【思路引导】（1）根据要求逐步作图即可； （2）作，在角的一边上截取，再以为圆心，为半径画弧交角的另一边于，进一步完成作图即可； （3）证明当时，或，在图2中，，，可得，而不全等，可得当时，全等，进一步分析求解. 【规范解答】（1）解：作直线，过作直线的垂线，在垂线上截取，在直线上取点，且，则即为所求； 作图略 （2）解：作，在角的一边上截取，再以为圆心，为半径画弧交角的另一边于，则， 显然：，两个三角形不全等. 作图略 （3）解：如图，在图2的上截取，连接， 在图1中， ∵平分， ∴，，， 此时不一定全等， 当时， ∴或， 在图2中，，， ∴，而不全等， ∵， ∴当时， ∴全等， ∴的面积相等， ∵模型2中四边形面积比模型1中四边形面积大， ∴的面积为， ∵， ∴的面积为， ∴模型1中四边形面积为； ∴钉出两种不同模型的原因是：两边和其中一边的对角确定，且这个对角为锐角，作出的三角形不唯一. 【压轴考点14】过直线外一点作已知直线的平行线 【典例精讲】（25-26六年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点，；以点为圆心，长为半径画弧，分别交边，于点，；再以点为圆心，长为半径画弧，与弧交于点；作射线交边于点．则的度数为________度． 【答案】 【思路引导】根据“作一个角等于已知角”的尺规作图可得，，再计算即可求解． 【规范解答】解：由题可知，， ， ． 【对应练习】（25-26七年级下·山东烟台·期末）用无刻度直尺和圆规作图．如图，已知，点E在上． (1)在上作一点F，使；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）条件下，判断与是否平行，并说明理由． 【答案】(1)解：如图所示，点F即为所求作的点； (2)解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【思路引导】（1）根据要求作图即可； （2）根据平行线的性质得到，可知，即可证明． 【规范解答】（1）略； （2）略． 【压轴考点15】尺规作一个角等于已知角 【典例精讲】（25-26七年级下·重庆忠县·期末）已知直线，线段如图所示，延长线段与直线交于点，过点作的平行线，点、分别在点的左、右两侧，设，，． (1)利用直尺和圆规完成以上作图，保留作图痕迹，不写作法，并标上相应的字母和数字． (2)若，求的大小． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）先延长线段与直线交于点，再用尺规作，过作的平行线，标注对应角、、并保留作图痕迹； （2）与是对顶角，故，根据，得与互补，求得． 【规范解答】（1）解：作图步骤： ①延长线段与直线交于点， ②以为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，交于点， ③以为圆心，以相同的半径画弧，交于点， ④以为圆心，以的长度为半径画弧，与步骤③中所画的弧交于点， ⑤过、两点作射线，再反向延长得到； 作图依据：如图： 根据作图步骤②、③可知，， 根据作图步骤④可知，， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【对应练习】（25-26七年级下·贵州毕节·期末）数学课上，老师给出这样一道题：如图①，已知直线及外一点，作直线，使得，且经过点（不写作法，保留作图痕迹）． 某学习小组根据“内错角相等，两直线平行”作图．如图②，过点作直线交直线于点，作．作法步骤如下： ①以点为圆心，以任意长为半径作弧，交直线于点，交直线于点； ②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点； ④过点作直线，则直线即为所求． 则的长度是（     ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】C 【思路引导】明确本题核心是利用尺规作一个角等于已知角，依据是全等三角形判定定理，目标是作出相等的内错角以得到平行线；作一个角等于已知角的步骤，因为要保证所作角和已知角的对应边相等，所以首先以已知角顶点为圆心的弧截出的两条线段长度，在新作角时需要对应相等，结合本题作图步骤，因为步骤③需要确定新作角的另一边的位置，所以要选取和已知角中两个交点连线长度相等的线段作为半径． 【规范解答】解：本题是利用作一个角等于已知角得到相等内错角，从而作平行线，符合“内错角相等，两直线平行”； 根据作一个角等于已知角的尺规作图规则： 要作， 第一步已经以为圆心作弧，得到两边上的交点、； 第二步以为圆心、长为半径作弧后， 第三步需要以为圆心，取的长度为半径作弧，才能通过三边全等保证作出的角与相等， 因此的长度是线段的长度． 【压轴考点16】尺规作图—作三角形 【典例精讲】（25-26七年级下·甘肃白银·期中）项目化学习 项目主题：确定三角形菜园的小门位置 项目背景：某中学积极响应劳动教育的号召，在校园内开辟了一处“青禾”劳动实践基地．七年级三班负责管理一块形状为三角形的菜园．为了便于同学们日常进出浇水、施肥、采摘，同时最大程度避免踩踏菜畦，班级劳动委员会决定在菜园靠路的一边修建一扇小门．现需要精确的施工图纸． 方案设计：第一步：绘制三角形菜园示意图； 第二步：确定菜园小门的位置． 为确保通行便利和安全，希望小门的位置（点）在靠路的一边上，且到菜园另外两边（和）的距离相等．即：是的角平分线 方案实施： (1)测量获得菜园的两个内角，及其夹边长度（按比例缩至图纸尺寸为线段），如图所示． 请你利用尺规作出（其中，，）（要求：保留作图痕迹，标注字母，不写作法）； (2)小颖根据方案设计中的第二步，在（1）中所作的中作出了，确定小门的位置（点），测得，，求出的度数． 【答案】(1)解：如图，即为所求； (2)如图，即为所求； 【思路引导】（1）先作出线段线段，然后在点，处分别作出，即可； （2）作的角平分线与的交点即为点，根据三角形内角和定理先求出的度数，再由角平分线的定义可得的度数，最后再由三角形内角和定理求出的度数即可． 【规范解答】（1）略 （2）解：图略； ，， ， 是的角平分线， ， ． 【对应练习】（25-26八年级上·全国·期末）如图，已知线段和．      (1)求作，使；(保留作图痕迹，不写作法) (2)在（1）的条件下，若， ，求的长． 【答案】(1) 如图所示，即为所求 (2) 【思路引导】本题考查尺规作三角形，等腰直角三角形的性质和判定，灵活运用所学知识解决问题． （1）先作，再以点A为圆心，以线段的长为半径画圆，交的一条边为B，再作，交的另一条边为C，连接即可． （2）由作法可知：，由此求出，得出是等腰直角三角形，由此即可求解． 【规范解答】（1）解：略． （2）解：∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 【压轴考点17】利用全等图形求正方形网格中角度之和（全等图形) 【典例精讲】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，正方形网格中，利用图形的轴对称设计了一个“蝴蝶”的平面图案，直线是它的对称轴，下列结论中：①；②；③；④．正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角的和差等知识点，根据网格发现全等三角形以及相等的角是解题的关键． 根据网格提供的信息，结合全等三角形的判定与性质、角的和差以及等量代换逐个判断即可． 【规范解答】解： 由图形可知：，则，即①正确； 由图形可知：，则， ∴，即②正确； 由，但，则与不全等， ∴，故③错误； 由图形可知：，则，即④正确． 综上，正确的有3个． 故选B． 【对应练习】（24-25八年级上·陕西安康·期中）如图，网格中的所有小正方形的边长相同，则____________ 【答案】/90度 【思路引导】本题考查了三角形全等的判定与性质，先证明得出，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【规范解答】解：如图， 在和中 ， ， ， ， ， 故答案为：． 1．（26-27八年级上·广西南宁·开学考试）如图，平分，，，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（     ） A． B．平分 C． D．过线段的中点 【答案】D 【思路引导】证明，利用全等三角形的性质可得到答案． 【规范解答】解：∵平分，，， ∴，， 又， ∴， ∴，，，平分， 故选项A、B、C中结论成立，不符合题意， ∵现有条件和图形不能证明过线段的中点， 故选项D中结论不成立，符合题意． 2．（26-27八年级上·四川成都·开学考试）如图，点E，F在上，，，下列条件中不能使成立是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据三角形全等的判定方法，逐项进行判断即可． 【规范解答】解：∵， ∴， 由，，根据“”不能得出，故A符合题意； ∵， ∴， 即， 由，，根据“”能得出，故B不符合题意； ∵， ∴， 由，根据“”能得出，故C不符合题意； 由，，根据“”能得出，故D不符合题意． 3．（25-26七年级下·内蒙古包头·期末）如图，综合实践小组的甲、乙两名同学分别站在地面上的点和点处，甲看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，乙看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，已知于点，于点，图中所有的点都在同一平面内．当，时，根据全等三角形的知识可得到，这里直接判定和全等的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【规范解答】根据题意整理已知条件： 由 ，，可得 ， ∵ ，， 且 恰好是 和 的夹边，恰好是 和 的夹边， 满足两角及其夹边对应相等，符合全等三角形的 （角边角）判定依据． 4．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【思路引导】由证明可判断①正确；证明可判断②正确；由①②结论得到，，由 求解可判断③正确；根据三角形的三边关系可判断④错误． 【规范解答】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴，故③正确； ∵在中，， ∴，故④错误， 综上，正确的是①②③． 5．（21-22八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作于D，下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．．其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 【答案】C 【思路引导】由角平分线的定义和三角形内角和定理可求解和的关系，进而判断①；根据得，根据角平分线和三角形内角和定理得，在上取一点H，使，利用证明可得，利用可证明得，进而可判断②；作于H，于M，根据题意得，根据，利用三角形面积即可判断③，即可得． 【规范解答】解：∵和的平分线，相交于点O， ∴，， ∴ ，故①正确； ∵， ∴， ∵，分别是和的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图所示，在上取一点H，使， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，故②正确； 如图所示，作于H，于M， ∵和的平分线相交于点O， ∴点O在的平分线上， ∴， ∵， ∴ ，故③正确； 综上，其中正确的有①②③． 6．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，，将沿方向平移，使点A与点D重合，此时点E平移至点F处，则______，______． 【答案】 【思路引导】根据平移的性质，平移前后的两个图形全等，对应角相等．由题意可知平移后得到，且与是对应角． 【规范解答】解：根据平移的性质，平移前后的图形全等， 沿方向平移，使点与点重合，点平移至点， ， 平移前后对应角相等， ， ， ， ． 7．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，为的中线，过点作，交的延长线于点，过点作交于点，若，则的长为________． 【答案】 【思路引导】利用判定，从而得出对应边相等． 【规范解答】解：是的中线， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 8．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，已知中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交边，于点，；②保持半径不变，以点为圆心作弧，分别交边，于点，；③以点为圆心，长为半径作弧，交弧于点；④连接并延长交于点，则的度数为_______． 【答案】/度 【思路引导】由作图可知，，再由，即可求解． 【规范解答】解：由作图可知，， ∵， ∴． 9．（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是边的中点，，，，则的取值范围是___________ 【答案】 【思路引导】延长到，使得，连接，．由“”可证，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题． 【规范解答】解：如图，延长到，使得，连接，． 是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 10．（25-26八年级上·福建莆田·阶段检测）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为线段的中点．如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为___________厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 【答案】3或 【思路引导】设点P运动的时间为t秒，则，，分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度． 【规范解答】解：设点P运动的时间为t秒，则，， ，点E为线段的中点，． ， ①当，时，与全等， 此时，， 解得：， ， 点Q的运动速度为厘米/秒； ②当，时，与全等， 此时，， 解得：， 点Q的运动速度为厘米/秒； 点Q的运动速度为3厘米/秒或厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 11．（25-26八年级上·广东湛江·期末）如图，，， ．求证：； 【答案】证明：延长交于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 又∵ ， ∴， ∴． 【思路引导】延长交于点F，则 ，可得，由，可得，根据证得两三角形全等即可完成解答． 【规范解答】略 12．（26-27八年级上·陕西宝鸡·开学考试）问题情境：如图1，在四边形中．，，是BC上一点，连接，，，． 问题探究： (1)则是__________三角形； (2)“智慧小组”的同学把题目进行改编：如图1，已知是等腰直角三角形．，，点，，在同一直线上，，，试探究，与之间的数量关系，并说明理由． (3)“创新小组”在图1的基础上变为图2，已知点，，在直线上，，．若，，求的长． 【答案】(1)等腰直角 证明：，， ． 在和中， ， ，， ， ，即， 是等腰直角三角形． (2) 证明：，， ，， ，， ． ， ， ，， ． (3) 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先运用证明，可得，再说明即可证明结论； （2）证明可得，，然后根据线段的和差即可解答； （3）先根据三角形外角的性质、角的和差以及已知条件可得，再证明可得，，最后根据即可解答． 【规范解答】（1）略． （2）略． （3）解：，， ， 在和中， ， ，， ． 13．（25-26七年级下·贵州六盘水·期末）某乡村规划山地休闲游园，如图，地块形如三角形的山地，中间有湖泊，三边划分功能区：边为绿地，长为4千米，边为临溪护栏，长为2千米，边为山间土路．在土路的中点处修建观景驿站，同时修建索道，连接地块顶点与驿站． (1)直接写出山间土路边长的取值范围_________； (2)在中，延长到点，使，连接，与全等吗？请说明理由； (3)在（2）的条件下，求索道长度的取值范围． 【答案】(1) (2)，理由如下： ∵点是的中点， ∴， 在与中， ， ； (3) 【思路引导】（1）根据三角形三边关系确定第三边范围即可； （2）利用证明三角形全等即可； （3）先求出，在中，根据得出结论即可； 【规范解答】（1）解：∵在中，， ∴，即； （2）略 （3）解：∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴． 14．（26-27八年级上·四川达州·开学考试）在中，延长到，使，在上方，右侧一点，且，连接． (1)如图1，求证：； (2)若，将沿直线翻折得到，连接交于． i）如图，若，求证：为的中点； ii）如图，交于点，若，求． 【答案】(1)证明：，，， ， 在与中， ， ． (2)i）证明：同（1）得， ，， 连接，如图， 将沿直线翻折得到， ， ， ， ， 由三线合一得：是的中点． ii） 【思路引导】（1）由，，，得，即可求解； （2）i）由和翻折得，由得，即，由三线合一得是的中点； ii）连接，延长、交于，设，，证明，可得，，而，有，，故，，可得，，从而，求出的值，再利用三角形内角和定理即可得到的度数． 【规范解答】（1）略． （2）i）略． ii）解：连接，延长、交于，如图： 设， ， ， 将沿直线翻折得到， ， ，， ， 在与中， ， ， ，， 同（1）知，， ，， ，， ，， ， ，即， 解得， ，， ． 15．（2022·江苏淮安·模拟预测）已知如图，在平面直角坐标系中，点、分别是x轴上两点，且m、n满足，点是y轴正半轴上的动点． (1)求的面积（用含h的代数式表示）； (2)过点作，，且，． ①连接、相交于点，再连，求的度数； ②连接与轴相交于点，当动点在轴正半轴上运动时，线段的长度变不变？如果不变，请求出其值；如果变化，请求出其变化范围． 【答案】(1)h (2)①；②1 【思路引导】（1）先求出点A、B的坐标，然后根据三角形面积公式求出结果即可； （2）如图，在线段上取点，使得，连接，先证明，再证明，进而推出为等腰直角三角形，求得，然后求出的度数； 线段的长度不变，且，证明和，分别表示、两点的坐标，利用待定系数法求直线的解析式，可得的坐标，进而得的长． 【规范解答】（1）解：∵m、n满足， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴、 ∴， ∵点是y轴正半轴上的动点， ∴的面积； （2）解：如图，在线段上取点，使得，连接， 由题意得：，，且，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，又， 为等腰直角三角形， ， ； 线段的长度不变，且，理由如下： 如图，过作轴于， ，， 在和中， ， ， ，， ， 过作轴于， 同理得：， ，， ， 设直线的解析式为：， 把、两点的坐标代入得：， 解得：， 直线的解析式为：， ， ． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null 2026-2027学年人教版数学八年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题三 三角形全等的判定与解题模型 【思维导图+十七大考点讲练+优选真题练 共48题〔原卷版〕】 目 录 【思维导图 知识梳理】 2 【压轴考向 考点讲练】 2 【压轴考点01】全等的性质和SAS综合(SAS) 2 【压轴考点02】全等的性质和ASA(AAS）综合(ASA或者AAS) 4 【压轴考点03】全等的性质和SSS综合(SSS) 4 【压轴考点04】全等的性质和HL综合(HL) 5 【压轴考点05】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合) 7 【压轴考点06】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 8 【压轴考点07】结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 9 【压轴考点08】连接两点构造全等三角形（全等三角形的辅助线问题） 10 【压轴考点09】倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 11 【压轴考点10】旋转模型（全等三角形的辅助线问题 13 【压轴考点11】垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 13 【压轴考点12】其他模型（全等三角形的辅助线问题 15 【压轴考点13】全等三角形综合问题 16 【压轴考点14】过直线外一点作已知直线的平行线 18 【压轴考点15】尺规作一个角等于已知角 19 【压轴考点16】尺规作图—作三角形 20 【压轴考点17】利用全等图形求正方形网格中角度之和（全等图形) 21 【优选真题 实战演练】 21 【压轴考点01】全等的性质和SAS综合(SAS) 【典例精讲】（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，点，分别在边和上，连接，，交点为，且，．求证：． 【对应练习】按要求解答问题： (1)如图①，在四边形中，，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：______； (2)如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系： ． 【压轴考点02】全等的性质和ASA(AAS）综合(ASA或者AAS) 【典例精讲】（26-27八年级上·四川达州·开学考试）如图，为的中线，平分，平分，，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【对应练习】（26-27八年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，，，平分，于点，交的延长线于点．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号是_________． 【压轴考点03】全等的性质和SSS综合(SSS) 【典例精讲】（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在中，AD是的角平分线，F为射线上一点，连接并延长至点E，连接且．若，，则等于（     ）． A． B． C． D． 【对应练习】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，点D、E分别在、边上，，连接、，，若，则________． 【压轴考点04】全等的性质和HL综合(HL) 【典例精讲】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）已知，，平分交于点D (1)如图1，过点D作于点E，说明：； (2)如图2，在（1）的条件下，延长交的延长线于点F，说明：； (3)如图3，点H为上一点，连接，，，求的长 【对应练习】（25-26七年级下·山东烟台·期末）综合与探究 问题情境： 小明在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小明进行了如下操作： 如图1，在和中，，，，连接、． 【问题发现】 (1)小明发现图1就是手拉手模型，拉手线、存在某种数量关系．其探究过程如下，请你写出①和②处的理由； 解： （理由：①） 在和中 （理由：②） (2)如图2，在图1的基础上，不动，将绕着点逆时针旋转至点，点、、在一条直线上，交于点．小明发现与依然全等．当时，求； 【拓展探究】 (3)在图2的基础上，延长至点，如图3．判断与的数量关系，并说明理由． 【压轴考点05】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合) 【典例精讲】（26-27八年级上·全国·课后作业）根据题图及相应的条件，能否判定下面分别给出的两个三角形全等？ (1)如图①，线段与相交于点．和． (2)如图②，．和． (3)如图③，线段与相交于点．和． (4)如图④，．和． 【对应练习】（25-26八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）下列说法：①周长相等的两个三角形全等；②面积相等的两个三角形全等；③两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）分别对应相等的两个三角形全等；④两角和其中一角的平分线（或第三角的平分线）分别对应相等的两个三角形全等；⑤两边和其中一边上的高（或第三边上的高）分别对应相等的两个三角形全等．其中正确的说法有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【压轴考点06】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【典例精讲】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图1，已知、和线段，试作，使，，．我们用尺规作图得到如图2所示的，又发现我们所作的三角形和其他同学所作的三角形能够完全重合，于是得到判定三角形全等的方法是（     ） A． B． C． D． 【对应练习】（25-26八年级上·上海·阶段检测）在课堂上，李老师发给每人一张印有RtABC（如图）的卡片，要求学生们画一个，使得，小海和小华先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中，错误的是（    ） A．小海作图判定的依据是直角三角形全等的判定定理 B．小海第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小华作图判定的依据是 D．小华第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 【压轴考点07】结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 【典例精讲】（24-25八年级上·广东广州·期中）数学兴趣小组在探讨全等三角形相关问题的解决方法时发现：当条件中出现“中线”或“中点”时，可考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题． (1)【问题初探】如图：在中，为边上的中线，则的取值范围为__________． (2)【类比分析】如图：在中，是的中线，于点且． 求的长度． 【对应练习】（23-24八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，则______度． 【压轴考点08】连接两点构造全等三角形（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．依据小明的方法，可求得的取值范围是____________． 【对应练习】（25-26七年级下·贵州毕节·期末）【探究】 (1)如图1，是 的中线，且，延长至点，使，连接 ，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为 ．               【应用】 (2)提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是 的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 (3)根据以上经验，如图3，，，，连接 、 ，是的中点，证明：． 【压轴考点09】倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（24-25八年级上·甘肃临夏·期末）综合与实践 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． 【发现问题】 （1）如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系为：______． 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 【对应练习】（24-25七年级下·山东济南·期末） 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【压轴考点10】旋转模型（全等三角形的辅助线问题 【典例精讲】（25-26八年级上·广东揭阳·期中）如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【对应练习】（24-25八年级上·福建宁德·期中）如图，顶点在同一平面直角坐标系下，点的坐标为，点的坐标为，，，则点C的坐标为______． 【压轴考点11】垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（24-25八年级上·甘肃武威·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点分别在轴，轴的正半轴上．若，则___________． 【对应练习】阅读下面的题目及分析过程． 已知：如图1，点E是的中点，点A在上，且．说明：． 分析：说明两个角相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的性质． 观察本题中说明的两个角，它们既不在同一个三角形中，而且它们所在两个三角形也不全等．因此，要说明，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形，现在提供两种添加辅助线的方法如下：如图2，过点C作，交的延长线于点F；如图3，延长至点M，使，连接． (1)请从以上两种添加辅助线方法中选择一种完成上面的说理过程． (2)反思应用：如图4，点B是的中点，于点B．请类比（1）中解决问题的思想方法，添加适当的辅助线，判断线段与之间的大小关系，并说明理由． 【压轴考点12】其他模型（全等三角形的辅助线问题 【典例精讲】（24-25七年级下·贵州毕节·期末）（1）如图，在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． 【积累经验】①如图1，当时，直接写出线段，，之间的数量关系是_______． 【类比迁移】②如图2，当时，①中的结论是否仍然成立?请说明理由． 【拓展应用】 （2）如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G，G是的中点吗?请说明理由． 【对应练习】（25-26七年级下·江西抚州·期末）已知点是平分线上一点，的两边，分别与射线，相交于，两点，过点作，垂足为，． (1)若，则点到的距离是________； (2)如图1，当点在线段上时，则和满足什么数量关系？请说明理由； (3)如图2，当点在线段的延长线上时，若，，，求． 【压轴考点13】全等三角形综合问题 【典例精讲】（25-26七年级下·山西运城·期末）阅读与思考 再探判定三角形全等的条件 几何主要研究图形形状、大小、位置，若两个三角形形状相同，大小也相同．即这两个三角形全等．它们通过平移、旋转或轴对称变化可完全重合． 回顾探究判定方法过程：根据条件作三角形，若只可作出唯一的三角形，即可知这些条件可作为三角形全等的判定方法．小红在已知两边及其一边对角作三角形时，也可作出唯一三角形，小丽也同样作出唯一三角形． 小红：已知． 如图． 小丽：已知． …… 任务： (1)按照小丽的条件，作出（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)按照小丽，小红所给条件，作出唯一三角形，但“”未作为判定三角形全等方法，一定有“”不成立的情况，类比小红、小丽的思路画图举出反例并进行适当的标注说明（作图工具不限）． (3)木工师傅拿一些木条制作四边形模型．已有模型框架如图，木条钉在同一点处．此时平分，是上固定一点，选取两根长度相等的木条，将两根木条的一端都钉在处，另一端分别钉在木条上，师傅钉完后发现有两种不同形状模型．如图1，如图2． 通过测量发现模型2中四边形面积比模型1中四边形面积大，且．此时四边形的面积为______，请说明钉出两种不同模型的原因． 【压轴考点14】过直线外一点作已知直线的平行线 【典例精讲】（25-26六年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点，；以点为圆心，长为半径画弧，分别交边，于点，；再以点为圆心，长为半径画弧，与弧交于点；作射线交边于点．则的度数为________度． 【对应练习】（25-26七年级下·山东烟台·期末）用无刻度直尺和圆规作图．如图，已知，点E在上． (1)在上作一点F，使；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）条件下，判断与是否平行，并说明理由． 【压轴考点15】尺规作一个角等于已知角 【典例精讲】（25-26七年级下·重庆忠县·期末）已知直线，线段如图所示，延长线段与直线交于点，过点作的平行线，点、分别在点的左、右两侧，设，，． (1)利用直尺和圆规完成以上作图，保留作图痕迹，不写作法，并标上相应的字母和数字． (2)若，求的大小． 【对应练习】（25-26七年级下·贵州毕节·期末）数学课上，老师给出这样一道题：如图①，已知直线及外一点，作直线，使得，且经过点（不写作法，保留作图痕迹）． 某学习小组根据“内错角相等，两直线平行”作图．如图②，过点作直线交直线于点，作．作法步骤如下： ①以点为圆心，以任意长为半径作弧，交直线于点，交直线于点； ②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点； ④过点作直线，则直线即为所求． 则的长度是（     ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【压轴考点16】尺规作图—作三角形 【典例精讲】（25-26七年级下·甘肃白银·期中）项目化学习 项目主题：确定三角形菜园的小门位置 项目背景：某中学积极响应劳动教育的号召，在校园内开辟了一处“青禾”劳动实践基地．七年级三班负责管理一块形状为三角形的菜园．为了便于同学们日常进出浇水、施肥、采摘，同时最大程度避免踩踏菜畦，班级劳动委员会决定在菜园靠路的一边修建一扇小门．现需要精确的施工图纸． 方案设计：第一步：绘制三角形菜园示意图； 第二步：确定菜园小门的位置． 为确保通行便利和安全，希望小门的位置（点）在靠路的一边上，且到菜园另外两边（和）的距离相等．即：是的角平分线 方案实施： (1)测量获得菜园的两个内角，及其夹边长度（按比例缩至图纸尺寸为线段），如图所示． 请你利用尺规作出（其中，，）（要求：保留作图痕迹，标注字母，不写作法）； (2)小颖根据方案设计中的第二步，在（1）中所作的中作出了，确定小门的位置（点），测得，，求出的度数． 【对应练习】（25-26八年级上·全国·期末）如图，已知线段和．      (1)求作，使；(保留作图痕迹，不写作法) (2)在（1）的条件下，若， ，求的长． 【压轴考点17】利用全等图形求正方形网格中角度之和（全等图形) 【典例精讲】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，正方形网格中，利用图形的轴对称设计了一个“蝴蝶”的平面图案，直线是它的对称轴，下列结论中：①；②；③；④．正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【对应练习】（24-25八年级上·陕西安康·期中）如图，网格中的所有小正方形的边长相同，则____________ 1．（26-27八年级上·广西南宁·开学考试）如图，平分，，，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（     ） A． B．平分 C． D．过线段的中点 2．（26-27八年级上·四川成都·开学考试）如图，点E，F在上，，，下列条件中不能使成立是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·内蒙古包头·期末）如图，综合实践小组的甲、乙两名同学分别站在地面上的点和点处，甲看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，乙看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，已知于点，于点，图中所有的点都在同一平面内．当，时，根据全等三角形的知识可得到，这里直接判定和全等的依据是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 5．（21-22八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作于D，下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．．其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 6．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，，将沿方向平移，使点A与点D重合，此时点E平移至点F处，则______，______． 7．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，为的中线，过点作，交的延长线于点，过点作交于点，若，则的长为________． 8．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，已知中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交边，于点，；②保持半径不变，以点为圆心作弧，分别交边，于点，；③以点为圆心，长为半径作弧，交弧于点；④连接并延长交于点，则的度数为_______． 9．（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是边的中点，，，，则的取值范围是___________ 10．（25-26八年级上·福建莆田·阶段检测）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为线段的中点．如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为___________厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 11．（25-26八年级上·广东湛江·期末）如图，，， ．求证：； 12．（26-27八年级上·陕西宝鸡·开学考试）问题情境：如图1，在四边形中．，，是BC上一点，连接，，，． 问题探究： (1)则是__________三角形； (2)“智慧小组”的同学把题目进行改编：如图1，已知是等腰直角三角形．，，点，，在同一直线上，，，试探究，与之间的数量关系，并说明理由． (3)“创新小组”在图1的基础上变为图2，已知点，，在直线上，，．若，，求的长． 13．（25-26七年级下·贵州六盘水·期末）某乡村规划山地休闲游园，如图，地块形如三角形的山地，中间有湖泊，三边划分功能区：边为绿地，长为4千米，边为临溪护栏，长为2千米，边为山间土路．在土路的中点处修建观景驿站，同时修建索道，连接地块顶点与驿站． (1)直接写出山间土路边长的取值范围_________； (2)在中，延长到点，使，连接，与全等吗？请说明理由； (3)在（2）的条件下，求索道长度的取值范围． 14．（26-27八年级上·四川达州·开学考试）在中，延长到，使，在上方，右侧一点，且，连接． (1)如图1，求证：； (2)若，将沿直线翻折得到，连接交于． i）如图，若，求证：为的中点； ii）如图，交于点，若，求． 15．已知如图，在平面直角坐标系中，点、分别是x轴上两点，且m、n满足，点是y轴正半轴上的动点． (1)求的面积（用含h的代数式表示）； (2)过点作，，且，． ①连接、相交于点，再连，求的度数； ②连接与轴相交于点，当动点在轴正半轴上运动时，线段的长度变不变？如果不变，请求出其值；如果变化，请求出其变化范围． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null