专题14.3 角的平分线（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦“角的平分线”核心知识点，系统梳理角平分线的性质（角平分线上的点到两边距离相等）和判定（到两边距离相等的点在角平分线上），通过模型（如角平分线加平行线得等腰三角形）搭建从基础到综合的学习支架，涵盖尺规作图、计算、证明等8类题型。 资料以探究式学习引导学生主动观察与探究，如通过“角平分线与垂线综合”培养抽象能力和创新意识，分层题型设计锻炼推理能力，实际应用（如加油站选址）强化应用意识。课中辅助教师高效授课，课后检测与复盘笔记助力学生查漏补缺。

简一数理 初中专题讲义 专题14.3 角的平分线 （新教材人教版） 知识点一、角平分线的性质和判定 2 知识点二、角平分线模型 2 【题型1 作角平分线（尺规作图）】 3 【题型2 角平分线的性质定理（基础计算）】 5 【题型3 角平分线的判定定理（判定证明）】 7 【题型4 角平分线的性质和判定综合推理】 11 【题型5 三角形内角平分线角度计算】 14 【题型6 角平分线的实际应用】 17 【题型7 角平分线与垂线、平行线综合】 19 【题型8 角平分线压轴综合（几何模型）】 27 【探究式学习】 37 【课后检测】 45 【复盘笔记】 59 知识点一、角平分线的性质和判定 角平分线 解释 示例 性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 如图，若射线OC是的角平分线，则． 判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 如图，若，则OC是的角平分线． 知识点二、角平分线模型 模型I：角平分线加平行线必出等腰三角形． 模型II：角平分线加射影模型必出等腰三角形． → 模型III：角平分线的中心思想是对称，关于角平分线对称，因此常见做辅助线的方法有以下三种． 【题型1 作角平分线（尺规作图）】 【例1】如图，在中，，以点为圆心，适当长度为半径画弧，交，于点，，再分别以点，为圆心，大于为半径画弧．两弧在内相交于点，作射线交边于点，若，下列结论正确的是（     ） A． B． C．点到的距离为4 D． 【答案】C 【详解】解：由作图得，平分 ∵， ∴点到的距离，故C正确； 根据题意无法得到，，，故A，B，D错误． 【变式1-1】如图，利用尺规作的角平分线的作法，用到的三角形全等的判定方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接，，由作图得，，，然后利用证明即可． 【详解】解：如图，连接，， 由作图得，，，， ∴， ∴，即平分． ∴用到的三角形全等的判定方法是． 【变式1-2】如图，在内，按下列步骤进行尺规作图的操作： ①以为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点； ③作射线． 已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据尺规作图的步骤可知是的角平分线，根据角平分线的定义即可求出的度数． 【详解】解：由作图步骤可知，射线是的角平分线， ， ． 【变式1-3】如图，在中，．请用尺规作图法作的平分线交边于点（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】如图，即为所作．（作法不唯一） 【分析】根据角平分线的作图方法作图即可． 【详解】略 【题型2 角平分线的性质定理（基础计算）】 【例2】如图，在中，是的平分线，若，则点到的距离是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】作，根据角平分线的性质得到，即可求解． 【详解】解：作，如图所示： ∵，是的平分线， ∴ ∵， ∴ ∴点D到的距离是． 【变式2-1】如图，在中，，是角平分线，若，，则的面积为（     ） A．13 B．26 C．36 D．18 【答案】D 【分析】过点作，利用角平分线上的点到角两边的距离相等得出，再利用三角形面积公式求解. 【详解】解：过点作于点，如图所示： ∵是的角平分线，，， ∴， ∴的面积. 【变式2-2】如图，是的角平分线，于点E，于点F，，则的长是（     ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出，从而求出的长． 【详解】解：∵是的角平分线， 且，， ∴， ∵， ∴． 【变式2-3】如图，在中，，，平分交于点D，若的面积为7，则的长为（     ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】过点D作于点E，首先利用三角形面积求出，然后利用角平分线的性质求解即可． 【详解】解：过点D作于点E， ∵，的面积为7， ∴， ∴， ∴， ∵，平分，， ∴． 【题型3 角平分线的判定定理（判定证明）】 【例3】如图，、分别是的外角、的平分线．小明经过分析后，得出了以下结论：①点P在的平分线上；②；③点P到、、的距离相等．则正确的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】过点P分别向、、作垂线，利用角平分线的性质，说明这三条垂线段相等，从而说明①③正确． 【详解】解：如图，作，，， ∵、分别是的外角、的平分线， ∴，， ∴，③正确， ∴点P在的平分线上，①正确， 对于②，缺乏足够的条件说明． 【变式3-1】如图，的平分线交于点，，，则下列结论中正确的个数是（    ） 平分； ； ； ． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明，根据全等三角形的性质得出，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④． 【详解】解：①过点作于， ∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴点在的角平分线上，故①正确； ②∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴，②正确； ③∵平分，平分， ∴， ∵， ∴ ∴，③正确； ④由②可知，， ∴，， ∴，故④正确， 综上可知，正确的结论有：①②③④，共有4个． 【变式3-2】已知点是三角形的两条角平分线的交点，关于这个点，下列说法正确的是（   ） A．到三角形的三个顶点的距离相等 B．到三角形三边的距离相等 C．不一定在第三个角的平分线上 D．与顶点的连线垂直于该顶点的对边 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内心的性质，掌握三角形内心到三边的距离相等是解题的关键． 点是三角形的两条角平分线的交点，即为三角形的内心，内心到三角形三边的距离相等． 【详解】解：∵ 点是两条角平分线的交点， ∴ 点是三角形的内心， ∴ 点到三角形三边的距离相等，B正确，符合题意； A、内心到顶点的距离不一定相等，故错误，不符合题意； C、三条角平分线必交于一点，因此点一定在第三个角的平分线上，故错误，不符合题意； D、内心与顶点的连线不一定垂直于对边，故错误，不符合题意． 故选：B． 【变式3-3】两个完全一样的直角三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（   ） A．的平分线上 B．外角的平分线上 C．边的垂直平分线上 D．外角的平分线上 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，掌握到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上是解题的关键． 作射线，设两直角三角板中落在延长线的直角顶点为，落在边上的直角顶点为，由题意得，且，，根据角平分线的判定定理可证平分，从而得到答案． 【详解】解：如图，作射线，设两直角三角板中落在延长线的直角顶点为，落在边上的直角顶点为， 由题意得，且，， ∴平分，即点在外角的平分线上． 故选：B． 【题型4 角平分线的性质和判定综合推理】 【例4】已知中，平分，交于点，平分，交于点D，与交于点． (1)如图1．求证：； (2)如图2，连接，求证：平分． 【答案】(1)证明：平分，平分， 设，， ，， ； (2)证明：过作于点，作于点，作于点， 平分， ， 平分， ， ． 平分． 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理得到，，即可得到结论； （2）过作于点，作于点，作于点，根据角平分线的性质得到，，则．根据角平分线的判定即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 【变式4-1】如图，为的平分线，点A、C分别在、上，连接、，恰为的平分线，过P作于E，于F，于G．求证：点P在的平分线上． 【答案】证明：为的平分线，恰为的平分线， ，， ， ，， ∴点P在的平分线上． 【分析】根据角平分线的性质定理得到，，可知，根据角平分线的判定定理证明即可． 【详解】略． 【变式4-2】如图，在中，，点在边上，点在边上，连接、，过点作于点，，．求证：是的平分线． 【答案】证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的平分线． 【分析】先证明，则，再根据角平分线的判定定理可得是的平分线． 【详解】略 【变式4-3】如图，在和中，，，． (1)求证：； (2)和的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：∵∠， ∴， ∵，， ∴ (2)，理由如下： 如图，过作于，于， ， ，， ， ， ． 【分析】（1）求出，根据推出两三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质得出两三角形面积相等和，根据面积公式求出，根据角平分线的判定得出结论即可． 【详解】（1）略 （2）略 【题型5 三角形内角平分线角度计算】 【例5】如图，四边形中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作于，于，于，根据角平分线的性质定理得到，可知平分，即，根据三角形外角的性质求出的值即可． 【详解】解：如图，作于，于，于， ∵， ∴平分， ∵，， ， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， ∴， ∵，， 平分， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴． 【变式5-1】如图，的内角与外角的平分线交于点，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质，可得，从而得是的平分线，计算即可求解． 【详解】如图，过点作，，，垂足分别为，，， 是的平分线，，， ， 同理可得， ， ，， 是的平分线， ． 【变式5-2】如图，点在一块直角三角板上，其中，于点，于点，连接．若，则的度数是（    ） A．10° B．15° C．20° D．30° 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定，掌握到角两边距离相等的点在角的平分线上，角平分线将角分成相等的两部分是解题的关键． 根据到角两边距离相等的点在角平分线上，判断平分，再结合的度数求出的度数． 【详解】解：，，， 是的平分线． ， ． 故选：B． 【变式5-3】如图，是外的一点，的延长线于点，于点，的延长线于点，连接，．若，，则的度数为（）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质、三角形内角和定理以及三角形外角性质，解题关键是利用角平分线的判定定理得出角平分线，再结合三角形内角和与外角性质进行角度计算． 利用角平分线判定定理得出相关角的平分线，再结合三角形外角性质和角的和差关系求出的度数． 【详解】解：∵，，且， ∴平分．即：， 同理可得：， 又∵，， ∴， ∴ 在中，， ∴． 故选为：C． 【题型6 角平分线的实际应用】 【例6】如图，三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可以供选择的地址有（     ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】D 【分析】到三条直线距离相等的点，即为这三条直线所围成三角形的内角平分线或外角平分线的交点． 【详解】解：三条直线两两相交围成一个三角形； ∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴到三条直线距离相等的点必在角的平分线上，三角形内部有一个点，即三条内角平分线的交点；三角形外部有三个点，即两条外角平分线与一条内角平分线的交点； ∴共有处可供选择的地址． 【变式6-1】计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭O，使其到小路，的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（    ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理．角平分线上的点到角两边的距离相等，由此即可判断． 【详解】解：甲方案：O在的垂直平分线上，O到A、B的距离相等，O不一定到和的距离相等， 乙方案：平分，由角平分线的性质定理得到O到小路，的距离相等． ∴甲、乙两个方案，只有乙对． 故选：B． 【变式6-2】如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 如图：过点作，垂足为点F，根据C是的中点可求的长度，再根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：如图：过点作，垂足为点F， ∵C是的中点，， ∴， ∵，，射线是的平分线， ． 故选：B． 【变式6-3】如图两条笔直的公路、相交于点O，公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知，，C村到公路的距离为，则C村到公路的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 证明，可得，根据角平分线的性质，即可得C村到公路的距离． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴为的角平分线， ∴点到的距离与点到的距离相等， ∵C村到公路的距离为， ∴C村到公路的距离是． 故选：D． 【题型7 角平分线与垂线、平行线综合】 【例7】如图，为了达到就近检测的目的，某地决定设立一个核酸检测点，要求其到两村庄A，B的距离相等，且到两公路m，n的距离相等，则该监测点应设（　　）    A．线段AB的垂线上 B．两公路m，n夹角的角平分线上 C．线段AB的垂直平分线上 D．线段AB的垂直平分线和两公路m，n夹角平分线的交点 【答案】D 【详解】根据垂直平分线的判定定理，角平分线的判定定理处理； 【解答】解：∵核酸检测点到两村庄A，B的距离相等， ∴核酸检测点在线段的垂直平分线上， ∵核酸检测点到两公路m，n的距离相等， ∴核酸检测点在两公路m，n夹角平分线上， ∴核酸检测点为线段AB的垂直平分线和两公路m，n夹角平分线的交点． 故选：D． 【点睛】本题考查垂直平分线的判定定理、角平分线的判定定理；掌握判定定理，根据线段相等判定点的位置是解题的关键． 【变式7-1】如图，在中，，点P为边上的一点，，且，点C关于直线的对称点为D，连接，又的边上的高为：    (1)求的大小； (2)判断直线是否平行？并说明理由； (3)证明：． 【答案】(1) (2) ．理由： ∵， ， 如图，取中点E，连接，    ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴为等腰三角形， ， ∴，即． 又∵的边上的高为， ∴， ∴； (3) 证明：如图，过点A作的垂线，垂足分别为G、F．    ∵，即点A在的平分线上， ∴． ∵， 即点A在的平分线上， ∴， ， ∴点A在的平分线上． 又∵， ， ∴， ， ∴在中，，， ． 【分析】（1）根据点C关于直线的对称点为D，即可得到，进而得出，即可； （2）取中点E，连接，则为等边三角形，为等腰三角形，，进而得到．再根据的边上的高为，即可求解； （3）过点A作的垂线，垂足分别为G、F．根据角平分线的性质定理以及逆定理可得，从而得到，再由，即可求证． 【详解】（1）解：∵， ， ∵点C关于直线的对称点为D， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）略 【点睛】此题考查了角平分线的判定和性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键． 【变式7-2】实践小组探究角平分线与平行线或垂线的有关联系，有两位同学提出以下两种思路： 小星：如图1已知：，点在上，过M作． 求作：平分，射线交于点P． 小红：如图2已知：，点在上，过作于M 求作：平分，射线交于点P． (1)请你选择一位同学方法，使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)若你选择图1，当时，求长是多少？若你选择图2，当时，求点到的距离是多少？ 【答案】(1) 解：选择小星的， 作图如下： 或选择小红的， 作图如下： ． (2)选择图1，；选择图2， 【分析】本题考查的是作已知角的角平分线，角平分线的性质，等腰三角形的判定； （1）根据作已知角的角平分线的步骤作图即可； （2）选择图1，证明，可得．选择图2，过作于，证明即可． 【详解】（1）略 （2）解：选择小星的： ∵， ∴， 由作图可得：， ∴， ∵， ∴． 选择小红的： 过作于， 平分， ，， ， ， ． 【变式7-3】【问题初探】 （1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，，平分，求证：． ①如图2，小强同学从角平分线性质的角度出发给出如下解题思路：过点C分别作，，垂足分别为M，N．以此来证明阴影部分的三角形全等得到． ②如图3，小颖同学从平分的条件出发给出另一种解题思路：过C作，交于点F．以此来证明阴影部分的三角形全等得到． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）张老师发现两名同学都运用了作垂线的方法造的全等三角形，为了帮助学生更好地感悟，张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答．如图4，，平分，求证：． 【学以致用】 （3）如图5，在中，，，D是边的中点，，与边相交于点E，与边相交于点F．请直接写出线段，和的数量关系． 【答案】 （1）①选择小强同学， 证明：如图2，过点作于，于， 平分， ，， ， ， ， 在与中 ， ， ； ②选择小颖同学， 证明：如图3，过点作，交于点，则， ，平分， ，且， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． （2）证明：如图，过点作，，垂足分别为，， ， 又平分，， ，， 在四边形中，， 又， ， 又， ，且，， ， ； （3） 【分析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）①选择小强同学，过点作于，于，证明，可得结论；②选择小颖同学，过点作，交于点，则，可证，可得； （2）过点作，，垂足分别为，，由角平分线的性质可得，由“”可证，可得； （3）取中点，连接，根据证，得，即可得证； 【详解】（1）略 （2）略 （3）取中点，连接， 点、分别是、边上的中点， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 【题型8 角平分线压轴综合（几何模型）】 【例8】已知，在四边形中，对角线平分，，求证：． (1)小明说他可以用截长的方法解决，如图①，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，请按小明的思路进行证明． (2)小刚说他用补短的方法也可以证明，如图②，延长到，使，连接请按小刚的思路进行证明． (3)如图③，在四边形中，对角线平分，，，过点作，垂足为点，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明∶如图①，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴． (2)小刚的证明思路∶如图②，延长到，使，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (3)解∶；理由如下： 如图：作于M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即． 【分析】（1）小明的证明方法：证出，再证明可得，再利用等量代换即可证明结论； （2）小刚的证明方法：证出得出，再证明，再利用等角对等边以及等量代换即可证明结论； （3）如图：作于M，先根据角平分线的性质得出，证明得出，证明得出，再根据线段的和差即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式8-1】在四边形中，． (1)若，，点，分别是，上的点，且．试探究线段，，之间的数量关系． 小亮同学认为：延长到点，使，连接，如图，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系．请你： ①直接写出的度数：________°； ②根据小亮同学的思路，直接判断，，之间的数量关系：________． (2)如图，若，点，分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． (3)如图，若，，点，分别是，延长线上的点，若，求的度数（结果用含的代数式表示）． 【答案】(1)①；② (2)结论仍然成立，理由如下： 延长到点，使，连接，如图所示： ， ，， ， 在和中， ， ，， ， ， ， 是的平分线， ， 在和中， ， ， 又， ， 结论仍然成立； (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质的应用、角平分线的判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先由“”证明，得到、，进而推导出，再证明，即可得角的度数和线段关系； （2）利用可推导出，沿用（1）的截长补短构造全等的思路，先证明，再证明，判断结论是否成立； （3）采用截长补短法，在上截取，先证明，得到、，再证明，结合角的和差关系推导与的数量关系． 【详解】（1）解：①延长到点，使，连接， ， ， ， 在和中， ， ， 、， ， ， ； ②由①知，、， 在和中， ， ， ， ， ； （2）略； （3）解：如图，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 又， 在和中， ， ， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即， ， ． 【变式8-2】在与中，，，． (1)如图1，A，C，D三点共线，连接，，延长交于点F，则与的数量关系为 ；位置关系为 ． (2)如图2，A，C，D不共线时，连接，交于点F，试探究，的关系． (3)如图3，在（2）条件下连接，延长线交于点G，若，试用的表达式表示． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）证明，推出，，再利用三角形内角和定理求得，即可得到，； （2）同（1）证明，即可得到，； （3）①过点A作和的垂线，垂足分别为M和N，证明是的角平分线，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：设与交于点H， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故，； （3）解：过点A作和的垂线，垂足分别为M和N， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴， ∴是的角平分线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式8-3】如图，在四边形中，，、分别平分、，点在边上，试说明：点为中点． 【答案】证明：如图，作，垂足为， ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴． ∴点为中点． 【分析】作，垂足为，根据角平分线的性质定理以及判定定理即可证明； 【详解】略 【探究式学习】 1．问题：已知：射线是的平分线，点D是射线上任意一点． 探究：嘉嘉、琪琪和乐乐对上面的问题展开了探究，请阅读他们的探究过程并解答下列问题：    （1）如图1，若分别在、上截取，猜想与的数量关系是______；       （2）如图2，若作“，，垂足分别为B、A”，其余条件不变，请你探究、两条线段之间的数量关系，并说明理由；       （3）点B、点A分别是的两边和上不与点C重合的任意一点，通过探究，得到的命题是：“如果，那么．”请判断此命题是真命题，还是假命题，如果是真命题说明理由；如果是假命题，在图3画出图形说明此命题不成立．          【答案】（1）； （2）．理由如下： 射线是的平分线，，， ， 在和中， ， ∴， ； （3）“如果，那么”是假命题． 如图，以点D为圆心画圆，与的两边相交，此时，但         【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）根据角平分线的性质得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （3）“如果，那么．”是假命题，画图说明即可． 【详解】解：（1）如图1，， 证明：射线是的平分线， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）略 2．【问题情境】数学活动课上，老师提出了一个问题：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？同学们就这个问题展开探究． 【问题初探】 （1）希望小组的同学们根据题意画出了相应的图形，如图①，在中，，D是的中点，，，垂足分别为E，F．经过探究讨论，该小组的同学们得出的结论是，他们的证法如下： 证明：∵，， ． ∵， （依据1）． ∵D是BC的中点， ． 在和中， （依据2）， ∴． ①请写出依据1和依据2的内容： 依据1： ， 依据2： ； ②请你写出另一种证法； 【问题再探】 （2）未来小组的同学们经过探究又有新的发现，如图②，在中，D是的中点，，，垂足分别为E，F，作腰上的高，则与有确定的数量关系．请你直接写出这个数量关系： ； 【类比探究】 （3）奋斗小组的同学们认真研究过后，发现了以下两个正确结论：①如图③，在中，，D为的中点，若分别为和的中线，那么仍然成立；②如图④，在中，，D为的中点，若分别为和的角平分线，那么仍然成立．请你选择其中一个结论证明． 【答案】（1）①等腰三角形的两个底角相等（或等边对等角）；两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（或角角边或）； ②证明：如图，连接． ∵，D是的中点， ∴是的平分线． ∵，， ． （2）； （3）证明：选择①：∵分别是和的中线， ，． ∵， ． 又∵D是的中点， ． 在和中， ， ∴． 选择②：∵，D是的中点， ， ． 又∵分别是和的角平分线， ． 在和中， ． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质、角平分线的判定及性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键． （1）①由等腰三角形的性质和全等三角形的判定可求解； ②由等腰三角形的性质可得是的平分线，由角平分线的性质可得； 问题再探： （2）由等腰三角形的性质可得是的平分线，由角平分线的性质可得，由面积的和差关系可求； （3）通过证明，可得结论． 【详解】（1）①解：依据1：等腰三角形的两个底角相等（或等边对等角） 依据2：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（或角角边或） ②略 （2）解：， 连接， ∵，D是的中点， ∴是的平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）略 3．探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 已知在中，，的角平分线相交于点 【初步感知】如图1，，求的度数； 【问题探究】如图2，，，求的面积． 【拓展延伸】如图3，，，，，在的延长线上取一点F，连接，使得，则______． 【答案】[初步感知]；[问题探究]；[拓展延伸] 【分析】[初步感知]根据角平分线的定义，得，，再根据三角形内角和性质，得，再代入数值计算，即可作答． [问题探究]先结合角平分线的定义，证明，然后证明，再把数值代入，进行计算，即可作答． [拓展延伸]结合，以及等角对等边，得，再运用角平分线的性质，得，根据，进行列式计算，得，然后求出，最后把数值代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：[初步感知]如图1， ，分别平分，， ，， 又在中，， ， ， ； [问题探究] 如图2，在上取一点Q，使，连接， 平分， ， 在和中， ， ，， 由上问知， ， ， 又平分， ， 在和中， ， ∴， ， ， ∵， ∵， ； [拓展延伸]如图3， 平分， ， ，，， ， ， 过点O作于点G，作于点H，作于点M，过点E作于点P， ， 的角平分线相交于点O， ，， 设， ， ， ，， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，等角对等边，角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【课后检测】 1．如图，平分是上一点，于点，是射线上的一个动点，若，则长的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】当时，有最小值，利用角平分线的性质可得，即可解答． 【详解】解：如图， 当时，有最小值， ∵平分，，， ∴， ∴长的最小值为3． 2．如图，中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点，画射线与相交于点，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D．到的距离是 【答案】B 【分析】利用直角三角形两锐角互余结合尺规作图得到的角平分线推导即可． 【详解】解：由题意得为的平分线， ，， ， ， ，故C不正确； ，故B正确； 如图，过点作，垂足为， 由角平分线定理可得，无法推出，到的距离是，故A、D不正确． 3．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在上．若，，，当长度最小时，的面积是（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】由垂线段最短可知，当时，长度最小，由作图过程可知平分，结合角平分线性质得到，证明，利用全等三角形性质得到，进而得到，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，长度最小， 由作图过程可知平分， ，， ， ， ， ， ， 的面积是． 4．如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．若，，，则线段的长为（     ） A．3 B．5 C． D．6 【答案】A 【分析】过点D作于点E，根据基本作图，得，设，根据三角形的面积不变，得，求解即可； 【详解】解：过点D作于点E，根据基本作图，得， ， ， 设，根据三角形的面积不变，得， ，，， ， 解得； 故线段的长为3； 5．如图，在中，利用尺规作图作出了射线交于点P．根据作图痕迹，下列说法不一定正确的是（     ） A．是的平分线 B． C．点P到，的距离相等 D． 【答案】D 【分析】根据尺规作图痕迹判断为的平分线，利用角平分线的性质及三角形面积公式逐项判断． 【详解】解：由作图痕迹可知为的平分线， 故A选项说法一定正确，不合题意； 为的平分线， 点P到，的距离相等， 故C选项说法一定正确，不合题意； 设点P到，的距离为h， 则， 故B选项说法一定正确，不合题意； 根据现有条件不能得出， 故D选项说法不一定正确，符合题意． 6．如图，是中的角平分线，于点E，的面积，，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．5 【答案】A 【分析】过点作于点，如图所示，由角平分线的性质得到，由等面积法得，再结合三角形面积公式列方程求解即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 是中的角平分线，于点，于点， ， 的面积，， ，即， ， 解得． 7．如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于边上的点处，于点．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】据角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，结合已知条件及，可推导出且，进而得出，代入数据求解即可． 【详解】解：， ， 平分，， ， 同理，， ， 平分，， ， ， ， ， ． 8．游戏时，3名同学在活动区内的同一点处同时出发，先跑出活动区者获胜．为使游戏公平，出发点最适当的位置应设置在（    ） A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边上高的交点 【答案】A 【详解】解：∵游戏公平要求三名同学从出发点到活动区边界（即三边）的距离相等，角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴三条角平分线的交点到三边的距离都相等， ∴最适当的位置是三条角平分线的交点． 9．如图，在中，点在边上，连接，，平分交于点，于点，若，则的长为_____． 【答案】/ 【分析】过点I作于点E，根据角平分线的性质得到，根据得到，，根据求解即可． 【详解】解：过点I作于点E， 平分交于点，于点， ， ，， ，， ，， ， ， 解得． 10．如图，在中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，作于点E，若，，的面积为13，则的长为 __________ 【答案】 5 【分析】根据尺规作图痕迹可知平分，过点作于点，利用角平分线的性质可得，再根据列方程求解； 【详解】解：过点作于点， 由作图痕迹可知，平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 11．如图，是的一条角平分线，是边上的中线，若的面积是18，的面积是6，，则的长为________． 【答案】6 【分析】先根据三角形中线的性质求出，即可求解，过点D作于F，过D作于G，然后根据角平分线的性质定理得到，再由三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵的面积是6，是边上的中线， ∴， ∵的面积是18 ∴ 如图所示，过点D作于F，过D作于G， 是的角平分线， ， ， ， ∴． 12．如图，已知，垂足分别为点E和点．求证：． 【答案】 证明：，， ∴． ∵， ， ∴． 【分析】由角平分线的性质得到；再结合，通过线段相加即可证出． 【详解】略 13．如图，已知，请用尺规作图法在上求作一点M，使得点M到，的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，点即为所求 【分析】由角平分线的性质定理可得，作出的角平分线即可． 【详解】略． 14．我们已经学习了很多有关角平分线的知识，例如：角平分线的性质．实际上，还有另一个重要的定理：“三角形的一条内角平分线，和另外两个内角的外角平分线交于同一点”，即如下图在中，、、的角平分线交于同一点．根据上述材料回答以下问题： (1)如图1，的三条内角平分线交于点，过点分别作、、边上的垂线段、、．若的周长为16，，求的面积； (2)如图2，在中，、分别在、的延长线上，和的角平分线交于点，连接，若，，求的度数； (3)如图3，在中，，的角平分线交于点，延长至点，使，连接．过点作的角平分线交于点．若，，求的周长． 【答案】(1)16 (2) (3) 【分析】（1）首先根据角平分线的性质求出，然后利用的面积整体求解即可； （2）首先根据角平分线的定义得到，，然后结合平角的定义和三角形内角和定理求出，然后得到平分，进而求解即可； （3）过点作，，，过点作，连接，连接，延长到，延长到点，由题意可得平分，平分，得到，由，可得，由，，，可得，，，再由，可得，最后由的周长为即可求出结果． 【详解】（1）解：∵的三条内角平分线交于点，，，， ∴， ∴ ． （2）解：∵和的角平分线交于点，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵三角形的一条内角平分线，和另外两个内角的外角平分线交于同一点， ∴平分， ∴． （3）解：过点作于点G，于点I，于点J，过点作于点H，连接，连接，延长到，延长到点， ∵的内角的平分线交于点， ∴平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分，即是的外角平分线， ∴平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，， 在与中 ∴， ∴， ∴， 在与中 ∴， ∴， 同理：，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵的内角的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 15．如图，两个等腰直角三角形与，连接，相交于点H．求证： (1)； (2)； (3)连接，求证平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质证明即可； （2）设的交点为，证明，结合，，可得； （3）作于于J．证明，，可得，结合角平分线的判定可得结论． 【详解】（1）证明：∵两个等腰直角三角形与， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：如图，设的交点为， ∵， ∴， ∵，， ∴； （3）解：作于于J，如图所示： ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴平分． 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 59 页 第 1 页 共 59 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题14.3 角的平分线 （新教材人教版） 知识点一、角平分线的性质和判定 2 知识点二、角平分线模型 2 【题型1 作角平分线（尺规作图）】 3 【题型2 角平分线的性质定理（基础计算）】 4 【题型3 角平分线的判定定理（判定证明）】 5 【题型4 角平分线的性质和判定综合推理】 6 【题型5 三角形内角平分线角度计算】 7 【题型6 角平分线的实际应用】 8 【题型7 角平分线与垂线、平行线综合】 9 【题型8 角平分线压轴综合（几何模型）】 12 【探究式学习】 15 【课后检测】 18 【复盘笔记】 22 知识点一、角平分线的性质和判定 角平分线 解释 示例 性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 如图，若射线OC是的角平分线，则． 判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 如图，若，则OC是的角平分线． 知识点二、角平分线模型 模型I：角平分线加平行线必出等腰三角形． 模型II：角平分线加射影模型必出等腰三角形． → 模型III：角平分线的中心思想是对称，关于角平分线对称，因此常见做辅助线的方法有以下三种． 【题型1 作角平分线（尺规作图）】 【例1】如图，在中，，以点为圆心，适当长度为半径画弧，交，于点，，再分别以点，为圆心，大于为半径画弧．两弧在内相交于点，作射线交边于点，若，下列结论正确的是（     ） A． B． C．点到的距离为4 D． 【变式1-1】如图，利用尺规作的角平分线的作法，用到的三角形全等的判定方法是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在内，按下列步骤进行尺规作图的操作： ①以为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点； ③作射线． 已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在中，．请用尺规作图法作的平分线交边于点（保留作图痕迹，不写作法）． 【题型2 角平分线的性质定理（基础计算）】 【例2】如图，在中，是的平分线，若，则点到的距离是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 【变式2-1】如图，在中，，是角平分线，若，，则的面积为（     ） A．13 B．26 C．36 D．18 【变式2-2】如图，是的角平分线，于点E，于点F，，则的长是（     ） A．2 B． C．3 D．4 【变式2-3】如图，在中，，，平分交于点D，若的面积为7，则的长为（     ） A．1 B． C．2 D．3 【题型3 角平分线的判定定理（判定证明）】 【例3】如图，、分别是的外角、的平分线．小明经过分析后，得出了以下结论：①点P在的平分线上；②；③点P到、、的距离相等．则正确的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式3-1】如图，的平分线交于点，，，则下列结论中正确的个数是（    ） 平分； ； ； ． A． B． C． D． 【变式3-2】已知点是三角形的两条角平分线的交点，关于这个点，下列说法正确的是（   ） A．到三角形的三个顶点的距离相等 B．到三角形三边的距离相等 C．不一定在第三个角的平分线上 D．与顶点的连线垂直于该顶点的对边 【变式3-3】两个完全一样的直角三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（   ） A．的平分线上 B．外角的平分线上 C．边的垂直平分线上 D．外角的平分线上 【题型4 角平分线的性质和判定综合推理】 【例4】已知中，平分，交于点，平分，交于点D，与交于点． (1)如图1．求证：； (2)如图2，连接，求证：平分． 【变式4-1】如图，为的平分线，点A、C分别在、上，连接、，恰为的平分线，过P作于E，于F，于G．求证：点P在的平分线上． 【变式4-2】如图，在中，，点在边上，点在边上，连接、，过点作于点，，．求证：是的平分线． 【变式4-3】如图，在和中，，，． (1)求证：； (2)和的大小关系，并说明理由． 【题型5 三角形内角平分线角度计算】 【例5】如图，四边形中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，的内角与外角的平分线交于点，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，点在一块直角三角板上，其中，于点，于点，连接．若，则的度数是（    ） A．10° B．15° C．20° D．30° 【变式5-3】如图，是外的一点，的延长线于点，于点，的延长线于点，连接，．若，，则的度数为（）． A． B． C． D． 【题型6 角平分线的实际应用】 【例6】如图，三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可以供选择的地址有（     ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【变式6-1】计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭O，使其到小路，的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（    ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【变式6-2】如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】如图两条笔直的公路、相交于点O，公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知，，C村到公路的距离为，则C村到公路的距离是（    ） A． B． C． D． 【题型7 角平分线与垂线、平行线综合】 【例7】如图，为了达到就近检测的目的，某地决定设立一个核酸检测点，要求其到两村庄A，B的距离相等，且到两公路m，n的距离相等，则该监测点应设（　　）    A．线段AB的垂线上 B．两公路m，n夹角的角平分线上 C．线段AB的垂直平分线上 D．线段AB的垂直平分线和两公路m，n夹角平分线的交点 【变式7-1】如图，在中，，点P为边上的一点，，且，点C关于直线的对称点为D，连接，又的边上的高为：    (1)求的大小； (2)判断直线是否平行？并说明理由； (3)证明：． 【变式7-2】实践小组探究角平分线与平行线或垂线的有关联系，有两位同学提出以下两种思路： 小星：如图1已知：，点在上，过M作． 求作：平分，射线交于点P． 小红：如图2已知：，点在上，过作于M 求作：平分，射线交于点P． (1)请你选择一位同学方法，使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)若你选择图1，当时，求长是多少？若你选择图2，当时，求点到的距离是多少？ 【变式7-3】【问题初探】 （1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，，平分，求证：． ①如图2，小强同学从角平分线性质的角度出发给出如下解题思路：过点C分别作，，垂足分别为M，N．以此来证明阴影部分的三角形全等得到． ②如图3，小颖同学从平分的条件出发给出另一种解题思路：过C作，交于点F．以此来证明阴影部分的三角形全等得到． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）张老师发现两名同学都运用了作垂线的方法造的全等三角形，为了帮助学生更好地感悟，张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答．如图4，，平分，求证：． 【学以致用】 （3）如图5，在中，，，D是边的中点，，与边相交于点E，与边相交于点F．请直接写出线段，和的数量关系． 【题型8 角平分线压轴综合（几何模型）】 【例8】已知，在四边形中，对角线平分，，求证：． (1)小明说他可以用截长的方法解决，如图①，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，请按小明的思路进行证明． (2)小刚说他用补短的方法也可以证明，如图②，延长到，使，连接请按小刚的思路进行证明． (3)如图③，在四边形中，对角线平分，，，过点作，垂足为点，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【变式8-1】在四边形中，． (1)若，，点，分别是，上的点，且．试探究线段，，之间的数量关系． 小亮同学认为：延长到点，使，连接，如图，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系．请你： ①直接写出的度数：________°； ②根据小亮同学的思路，直接判断，，之间的数量关系：________． (2)如图，若，点，分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． (3)如图，若，，点，分别是，延长线上的点，若，求的度数（结果用含的代数式表示）． 【变式8-2】在与中，，，． (1)如图1，A，C，D三点共线，连接，，延长交于点F，则与的数量关系为 ；位置关系为 ． (2)如图2，A，C，D不共线时，连接，交于点F，试探究，的关系． (3)如图3，在（2）条件下连接，延长线交于点G，若，试用的表达式表示． 【变式8-3】如图，在四边形中，，、分别平分、，点在边上，试说明：点为中点． 【探究式学习】 1．问题：已知：射线是的平分线，点D是射线上任意一点． 探究：嘉嘉、琪琪和乐乐对上面的问题展开了探究，请阅读他们的探究过程并解答下列问题：    （1）如图1，若分别在、上截取，猜想与的数量关系是______；       （2）如图2，若作“，，垂足分别为B、A”，其余条件不变，请你探究、两条线段之间的数量关系，并说明理由；       （3）点B、点A分别是的两边和上不与点C重合的任意一点，通过探究，得到的命题是：“如果，那么．”请判断此命题是真命题，还是假命题，如果是真命题说明理由；如果是假命题，在图3画出图形说明此命题不成立．          2．【问题情境】数学活动课上，老师提出了一个问题：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？同学们就这个问题展开探究． 【问题初探】 （1）希望小组的同学们根据题意画出了相应的图形，如图①，在中，，D是的中点，，，垂足分别为E，F．经过探究讨论，该小组的同学们得出的结论是，他们的证法如下： 证明：∵，， ． ∵， （依据1）． ∵D是BC的中点， ． 在和中， （依据2）， ∴． ①请写出依据1和依据2的内容： 依据1： ， 依据2： ； ②请你写出另一种证法； 【问题再探】 （2）未来小组的同学们经过探究又有新的发现，如图②，在中，D是的中点，，，垂足分别为E，F，作腰上的高，则与有确定的数量关系．请你直接写出这个数量关系： ； 【类比探究】 （3）奋斗小组的同学们认真研究过后，发现了以下两个正确结论：①如图③，在中，，D为的中点，若分别为和的中线，那么仍然成立；②如图④，在中，，D为的中点，若分别为和的角平分线，那么仍然成立．请你选择其中一个结论证明． 3．探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 已知在中，，的角平分线相交于点 【初步感知】如图1，，求的度数； 【问题探究】如图2，，，求的面积． 【拓展延伸】如图3，，，，，在的延长线上取一点F，连接，使得，则______． 【课后检测】 1．如图，平分是上一点，于点，是射线上的一个动点，若，则长的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点，画射线与相交于点，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D．到的距离是 3．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在上．若，，，当长度最小时，的面积是（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 4．如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．若，，，则线段的长为（     ） A．3 B．5 C． D．6 6．如图，是中的角平分线，于点E，的面积，，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．5 7．如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于边上的点处，于点．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 8．游戏时，3名同学在活动区内的同一点处同时出发，先跑出活动区者获胜．为使游戏公平，出发点最适当的位置应设置在（    ） A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边上高的交点 9．如图，在中，点在边上，连接，，平分交于点，于点，若，则的长为_____． 10．如图，在中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，作于点E，若，，的面积为13，则的长为 __________ 11．如图，是的一条角平分线，是边上的中线，若的面积是18，的面积是6，，则的长为________． 12．如图，已知，垂足分别为点E和点．求证：． 13．如图，已知，请用尺规作图法在上求作一点M，使得点M到，的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 14．我们已经学习了很多有关角平分线的知识，例如：角平分线的性质．实际上，还有另一个重要的定理：“三角形的一条内角平分线，和另外两个内角的外角平分线交于同一点”，即如下图在中，、、的角平分线交于同一点．根据上述材料回答以下问题： (1)如图1，的三条内角平分线交于点，过点分别作、、边上的垂线段、、．若的周长为16，，求的面积； (2)如图2，在中，、分别在、的延长线上，和的角平分线交于点，连接，若，，求的度数； (3)如图3，在中，，的角平分线交于点，延长至点，使，连接．过点作的角平分线交于点．若，，求的周长． 15．如图，两个等腰直角三角形与，连接，相交于点H．求证： (1)； (2)； (3)连接，求证平分． 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 59 页 第 1 页 共 59 页 学科网（北京）股份有限公司 $