专题13.3 三角形的内角与外角【导图+知识卡片+知识梳理+8个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题】-2026-2027学年人教版数学八年级上册同步讲义

本讲义聚焦三角形内角与外角核心知识点，系统梳理三角形内角和定理（180°）、直角三角形两锐角互余的性质及判定（两角互余）、三角形外角的定义与性质（等于不相邻两内角和等），构建从内角到特殊三角形再到外角的递进学习支架。 资料以思维导图直观呈现知识结构培养几何直观（数学眼光），通过8个题型讲练（如折叠角度、角平分线综合问题）发展推理能力（数学思维），结合中考真题与分层训练（基础夯实、培优拔高）提升应用意识（数学语言）。课中辅助教师系统教学，课后助力学生分层练习、查漏补缺。

null 专题13.3 三角形的内角与外角『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+8个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题） 【人教版数学新教材•八年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 三角形的内角和 2 知识点二 直角三角形的性质及判定 3 知识点三 三角形的外角 3 题型讲练 4 题型一 三角形内角和定理的证明 4 题型二 与平行线有关的三角形内角和问题 6 题型三 与角平分线有关的三角形内角和问题 8 题型四 三角形折叠中的角度问题 11 题型五 三角形内角和定理的应用 13 题型六 直角三角形的两个锐角互余 15 题型七 锐角互余的三角形是直角三角形 16 题型八 三角形的外角的定义及性质 18 中考真题演练 21 难度分层训练 29 【基础夯实】 29 【培优拔高】 36 知识点一 三角形的内角和 1.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°. 如图，在中，． 注意：三角形内角和定理适用于所有三角形，三角形最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角. 2.三角形的内角和定理证明：主要运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处,合并成一个角,再说明这个角是平角即可. 知识点二 直角三角形的性质及判定 1.性质：直角三角形的两个锐角互余. 表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. 2.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 知识点三 三角形的外角 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 2.性质： ①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 求证：∠ACD=∠A+∠B； 证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°；∴∠A+∠B=180°－∠ACB=∠ACD. ②三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； 如图：∵∠ACD=∠A+∠B；∴∠ACD>∠A；∠ACD>∠B. ③三角形的外角和等于360°． 求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°； 证明：∵∠BAE=∠2+∠3；∠CBF=∠1+∠3；∠ACD=∠1+∠2； ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）=2×180°=360°. 题型一 三角形内角和定理的证明 【典例精讲】（2025八年级上·全国·专题练习）在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质的知识点，熟悉以上知识点是解题关键．根据平行线性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：A、∵，∴，，由，得，故此选项不符合题意； B、∵，∴，，由，得，故此选项不符合题意； C、∵，，，无法证得三角形的内角和等于，故此选项符合题意； D、如图， ∵，∴，，∵，∴，∵，∴， ∴，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式训练1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）证明：三角形的内角和等于． 已知：如图，． 求证：___________． 证明： 【答案】，证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明、平行线性质等知识点，正确作出辅助线、构造平行线是解题的关键． 根据图形以及三角形内角和定理写成求证；如图，过点作，根据平行线性质得出，再根据平角的定义以及等量代换即可解答． 【详解】解：求证：． 证明：如图，过点作， ， （两直线平行，内错角相等）， （平角的定义）， （等量代换）． 【变式训练2】（25-26八年级上·天津南开·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是 A．如图①所示，过点作 B．如图②所示，过点作 C．如图③所示，过点作、垂足为点 D．如图④所示，过边上点作， 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形内角和定理的证明，根据平行线的性质，平角的定义即可得解，熟练掌握三角形内角和定理的证明方法，是解决本题的关键．作出相应的平行线，把三角形的三个内角转化到同一条直线上，再根据平角的定义解决此题． 【详解】解：如图①所示，过点作， ，， ， 故图①能证明“三角形内角和是”， 故A选项不符合题意； 如图②所示，过点作， ，， ， 故图②能证明“三角形内角和是”， 故B选项不符合题意； 如图③所示，过点作、垂足为点， 只能证明， 故图③无法证明“三角形内角和是”， 故C选项符合题意； 如图④所示，过边上点作，， 四边形是平行四边形，，， ， ， 故图④能证明“三角形内角和是”， 故D选项不符合题意． 故选：C． 题型二 与平行线有关的三角形内角和问题 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，点D在边上，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质及三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解决问题的关键． 先由平行线的性质求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【变式训练1】如图，直线，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理. 先求出，再根据三角形内角和求出结论即可． 【详解】解：如下图： ，， ， ， ， ， 故选：D． 【变式训练2】（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为（    ） A． B．110° C．80° D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据三角形的内角和得到，由折叠的性质得到，，，根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：，， ， 由折叠的性质得，，，， ， ， ， ， 故选：B． 题型三 与角平分线有关的三角形内角和问题 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，在中，是的平分线，，垂足为，，求的度数． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义求出的度数，垂直得到的度数，进而求出的度数即可． 【详解】解：∵是的平分线，，， ∴，， ∴． 【变式训练1】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分平分，若，则的度数为_____． 【答案】/100度 【分析】利用三角形内角和为180度得出，再根据角平分线的定义得出，最后根据和求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将纸片沿折叠，使点落在点处， ∴， ∴． 【变式训练2】（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，中，是边上的高，是的平分线． (1)若，，求的度数． (2)若，求．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高；直角三角形两锐角互余，三角形的内角和定理； （1）根据直角三角形两锐角互余求出，再根据三角形的内角和等于求出的度数，然后根据角平分线的定义求出，再求解即可； （2）根据，分别表示出，计算即可． 【详解】（1）解： ，是边上的高， ， ，， ， 是的平分线， ， ； （2）解：∵是边上的高，，是的平分线． ∴， ∴ 题型四 三角形折叠中的角度问题 【典例精讲】（25-26八年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，M，N分别是边上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，由三角形内角和定理可得的度数，由平角的定义可得的度数，再由折叠的性质可得的度数，据此由角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故选：C． 【变式训练1】（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，中，，沿将此三角形折叠，点落在点处，又沿再一次折叠，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理和折叠的性质，由折叠的性质得，，设，在中，根据三角形内角和定理得出①，在中，根据三角形内角和定理得出②，从而求出的度数． 【详解】解：由折叠的性质得，，， ∴， 设， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 由折叠的性质得，， 在中，， ∴， 即， 得，， 故答案为：． 【变式训练2】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，把沿折叠，使点A落在点处，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形折叠中的角度问题，根据三角形的内角和定理，折叠的性质，推出的度数，再根据平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 题型五 三角形内角和定理的应用 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，直线，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由平行线的性质求出，再利用三角形内角和即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 【变式训练1】（25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，是的角平分线，是的高，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线和高的性质，熟练掌握相应知识是解题的关键． 首先根据是的角平分线，求出的度数，然后根据是的高，求出，最后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴是的高， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：的度数是． 【变式训练2】（25-26八年级上·贵州毕节·期末）如图，直线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质，可知的大小，再根据三角形的内角和可知的度数． 【详解】解：，，， ， ， 题型六 直角三角形的两个锐角互余 【典例精讲】（25-26八年级上·江西宜春·期末）如图，在中，，，是边上的高，是的平分线，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，直角三角形的两个锐角互余，三角形的角平分线的定义，根据三角形内角和定理求得，根据角平分线的定义可得，进而求得，再根据，即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 是的平分线， ， 在直角中，， 【变式训练1】（25-26八年级上·广东湛江·期末）如图，在中，是高，是角平分线，，，求的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记相关性质并准确识图是解题的关键．先根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出，再根据三角形的内角和等于求出的度数，然后根据角的关系求出即可． 【详解】解：，， ， 是角平分线， ， 是高， ， ， ． 故选：B． 【变式训练2】（25-26八年级上·陕西榆林·阶段检测）若某个直角三角形的一个锐角是，则它的另一个锐角的度数为______． 【答案】 【详解】解：直角三角形的一个锐角为， 另一个锐角的度数为：． 题型七 锐角互余的三角形是直角三角形 【典例精讲】（25-26八年级上·湖南常德·期末）下列条件中，不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，锐角互余的三角形是直角三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据三角形内角和定理，锐角互余的三角形是直角三角形等知识点，对四个选项逐一分析，再判断是否存在的角． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形， 故A不符合题意； ∵， ∴， ∴是直角三角形， 故B不符合题意； ∵， ∴， ∴是直角三角形， 故C不符合题意； ，仅知道一个角为，无法确定是否存在的角（如等边三角形三个角均为）， 不能判定△ABC为直角三角形， 故D符合题意； 故选：D． 【变式训练1】（25-26八年级上·云南昆明·期末）下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的判定，解题的关键是求出三角形中有一个角是． 根据三角形的内角和定理，结合有一个角是的三角形时是直角三角形，进行判断即可． 【详解】解：三角形内角和为， A、，，故是直角三角形，此选项不符合题意； B、设，则，， ，无角，故不是直角三角形，此选项符合题意； C、设，则， ， ，故是直角三角形，此选项不符合题意； D、，又， ，即，，故是直角三角形，此选项不符合题意； 故选：B． 【变式训练2】（25-26八年级上·吉林白城·期末）如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形内角和以及直角三角形的判定，用三角形的内角和求得即可． 【详解】证明： ， ， ，， ，， ，， ， 是直角三角形． 题型八 三角形的外角的定义及性质 【典例精讲】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，在与中，点B在上，点A在上，且，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理求出，再根据三角形外角性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 【变式训练1】（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）已知相交于点． (1)如图1，若平分交于点，平分交于点，求的度数； (2)如图2，延长至点，若直线平分交于点，平分交直线于点，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等可得出，由平分线的定义可得出、，再结合三角形内角和定理即可得出，代入度数即可得出结论； （2）由邻补角互补结合角平分线可得出，根据三角形外角性质结合（1）中即可得出，再根据三角形内角和定理即可得出，代入度数即可得出结论． 【详解】（1）解：，，， ， ，， ． 平分交于，平分交于， ，． ，， ， ． （2）解：，平分交直线于， ， ，， ． 【变式训练2】（25-26八年级上·河南安阳·期末）随着教育厅《关于保障中小学生每天综合体育活动不低于两小时的通知》规定的落地，学校的操场已成为学生们每日必到的打卡地．如图①是某校体育课上的侧压动作，可以抽象为如图②的几何图形，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和这一性质是解题的关键． 根据三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，建立与已知角的关系，从而求出的度数． 【详解】解：由题意可得，， ， 故答案为：． 【真题演练1】（2025·陕西西安·中考真题）如图，，平分交于点E，，，M，N分别是延长线上的点，和的平分线交于点F．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据相关知识逐项判断即可． 【详解】解：，， ，， ， 又， ， ， ， ，故正确； ，，而， ， 即，故正确； ， ， ∴， ， 若， 则需， 设， 即需， 则， 即只有当时，B结论成立．但题目没有此条件，故错误； ， ． 和的平分线交于点， ． ， ， ， ，故正确． 故选：． 【真题演练2】（2025·山西朔州·中考真题）如图，已知，P为外一点（点P不在直线，，上），且在的上方，连接，．若，，，则的度数不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和外角的性质，正确理解题意，分情况画出图形是解题的关键． 根据点P有3种可能的位置，分情况进行讨论，依据三角形内角和定理以及外角的性质进行计算即可求解． 【详解】解：如图一，， ∵， ∴， ∴； 如图二，， ∵， ∴， ∴； 如图三，延长交于点D， ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴； 综上，的度数可能是，或， 结合选项可知，A、B、C选项均不符合题意； 故选：D． 【真题演练3】（2025·江西抚州·中考真题）如图，在中，，，D是边上的定点，E是上的动点，沿折叠，点C落在点F处．当与的一边平行时，的度数是_______． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了图形的折叠变换及性质，平行线的性质，三角形的内角和定理等知识，先求出，再根据折叠的性质得，然后根据当与的一边平行，分两种情况进行讨论：①当时；②当时，又有两种情况：（ⅰ）点F在上方时；（ⅱ）当点F在下方时，分情况进行求解即可； 【详解】解：， ， 由折叠的性质得， ， 当与的一边平行，有以下两种情况： ①当时（如图），， ， ， ， ； ②当时，又有两种情况： （i）点F在上方时（如图）， ， ， ， ， ； （ⅱ）当点F在下方时（如图）． 设， ， ， ， ． ， ， 解得， ． 综上所述，符合题意的的度数是或或． 【真题演练4】（2025·上海·中考真题）如图，在中，，与是的两个外角，平分，交的平分线于点，连接，交于点．若，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的性质和判定，证明平分是解题的关键． 首先在中根据三角形的内角和定理求出的度数，再构造角平分线向角两边的垂线进而得到即可证明平分，因此可以求出的度数，最后在中根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：在中，，， ∴， 如图，作于点H，作于点I，作于点J， ∵平分，交的平分线于点， ∴，， ∴， ∴平分， ∴， 在中，，， ∴， 故答案为：． 【真题演练5】（2025·山西太原·中考真题）综合与实践 问题情境：如图，，为含有角的直角三角板，，，连接，，延长交直线于点N，直线交于点M． 特例探究： （1）如图1，当A，E，C在同一直线上时，_________°． （2）如图2，当点E在，之间，且与A，C不在同一直线上，点C在直线上时，，，求证：平分． 一般发现： （3）当直角三角板在平行线，之间绕点E转动，直线交，于点P，Q，（转动过程中，三角板的任意一个顶点都在平行线之间）可发现与之间有确定的数量关系，直接写出此数量关系． 【答案】（1）60；（2）见解析；（3） 【分析】（1）过点作，根据两直线平行，内错角相等，计算即可得出结果； （2）过点作 ，交于点，由题意并结合平行线的性质求出，即可得证； （3）分两种情况，分别画出图形，结合三角形内角和定理计算即可得出结果． 【详解】解：（1）如图，过点作， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）如图，过点作，交于点， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分； （3）如图，当点在点的左侧时， , ∵，， ∴， ∴， ∴； 如图，当点在点的右侧时， ， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，． 【基础夯实】 1．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图，将直尺与含角的三角尺摆放在一起，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图：由三角形外角的性质可得，再根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：如图：由题意可得：，， ∴， ∵将直尺与含角的三角尺摆放在一起， ∴． 2．（24-25八年级上·河北唐山·阶段检测）如图，处在处的南偏西方向，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东方向，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方向角的定义，即可求得，，的度数，然后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：几何图形如下图所示： ∵，是正南正北方向， ∴， ∵处在处的南偏西方向， ∴， ∵处在处的南偏东方向， ∴， ∴， ∵处在处的北偏东方向， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用三角形内角和为，逐个判断条件能否推出三角形有一个内角为90°，即可得到符合要求的条件个数． 【详解】解：三角形内角和为，逐个推导如下， ① ， ， 代入内角和得，得， 是直角三角形； ② ， 设， 则，解得， ， 是直角三角形； ③ ， ， ， 是直角三角形； ④ ，， ， 是钝角三角形，不是直角三角形． 综上，能确定是直角三角形的条件共3个． 4．（24-25七年级下·山东泰安·期末）共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据得出，根据三角形内角和定理得出，进而根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵，都与地面平行， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 5．（25-26八年级上·江西上饶·期中）将一副三角板如图放置，使点落在上，三角板的顶点与三角板的直角顶点重合，若，与交于点，则的度数为_______． 【答案】 【分析】利用平行线的性质得到，再利用三角形外角的性质计算即可． 【详解】解：， ， ． 6．如图，在四边形中，是上一点，过点作，．若，________． 【答案】 【分析】由平行线的性质可得，，因此，结合三角形的内角和定理计算出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．（25-26八年级上·广东中山·阶段检测）如图，中，为的角平分线，为的高，，，求的度数 ． 【答案】 【分析】根据，得，根据为的角平分线得，根据为的高得，可得，根据对顶角相等即可得． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵为的高， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在和中，和交于点，点，，，在同一条直线上，已知，，判断和的数量关系并说明理由． 【答案】，见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质、三角形内角和定理，解题关键是通过角的关系证得，，利用平行线的性质推导角相等． 【详解】解：   理由如下：∵， ∴，   ∴， ∴． 9．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，是边上的高，，． (1)求的度数； (2)若是的角平分线，交于点，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由三角形内角和定理可求得的度数，再由直角三角形的两锐角互余可求得的度数； （2）先由角平分线的性质可求得的度数，再由外角的性质可求得的度数． 【详解】（1）解：，，， ， 是边上的高， ， ； （2）解：是的角平分线， ， 是的一个外角， ． 10．如图，将长方形纸片沿和折叠得到一个轴对称的帽子，折痕角，点A，D的对应点分别为点G，H，折叠后点B，C的对应点恰好都在点E． (1)若折痕角，求帽子顶角的度数． (2)设度，度． ①请用含x的代数式表示y，则 ． ②当时，帽子比较美观，求此时y的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据长方形的性质，角的和差得到，根据折叠的性质得到，再根据三角形内角和定理即可求解； （2）①如图所示，设于交于点R，S，根据三角形内角和定理，对顶角相等的知识列式得到； ②根据题意得到，，结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：在长方形中，， ∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴在中，； （2）解：①如图所示，设于交于点R，S， 在长方形中，， ∵折叠， ∴， 在中，度， ∴， ∴， 在中，， ∵，即， ∴； ②， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 解得，， ∴． 【培优拔高】 1．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，，．当时，的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板中的角的计算，三角形外角的性质，根据题意，得到． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：D． 2．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，在延长线上，的角平分线与的角平分线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，角平分线的定义．先利用三角形的外角的性质求得，，利用角平分线的定义求得，，据此列式计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵的角平分线与的角平分线交于点， ∴，． ∴． ∴． 故选：B． 3．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在四边形中，，的平分线与外角的平分线相交于点，则的度数为（   ） A． B． C．25° D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角的性质和角平分线的定义，解题关键是利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和的关系进行转化．本题先求出，再利用即可求解． 【详解】解：如图，延长和交于点G， ∵， ∴ ， ∴， ∵的平分线与外角的平分线相交于点， ∴， ∴ 故选：C． 4．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）如图，是的一个外角，的平分线交于点F，交的平分线于点D．若，则 ________ ． 【答案】/70度 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义， 先根据三角形外角的性质得，，再根据角平分线的定义得，然后将两个式子联立可得，最后代入数值可得答案． 【详解】解：∵是的外角， ∴． ∵是的外角， ∴， 即． ∵平分，平分， ∴， ∴， 即． ∵， ∴． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·江西上饶·期末）如图，在中，，，点为边延长线上一点，平分，点为直线上一点．若直线垂直于的一边，则的度数为___________． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理及外角定理，角平分线的定义，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据三角形的内角和定理求出，根据角平分线的定义得出，然后分三种情况进行讨论求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴； ①如图所示，过点作，交于点，交于点， ∴， ∴； ②如图所示，过点作，交于点， ∴， ∴； ③如图所示，过点作，交直线于点， ∴， ∴， ， ∴； 综上，的度数为或或． 6．（25-26八年级上·河南新乡·期末）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，．第一步，在边上找一点D，将纸片沿折叠，点A落在处，如图2；第二步，将纸片沿折叠，点D落在处，如图3．当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，的度数为______． 【答案】或 【分析】本题考查了轴对称变换，直角三角形两锐角互余，正确的作出图形是解题的关键．因为点恰好在原直角三角形纸片的边上，所以分为当落在边上和边上两种情况分析求解即可． 【详解】解：将纸片沿折叠，点A落在处，将纸片沿折叠，点D落在处， ． 分两种情况讨论∶如图，当点恰好落在边上时， 则． ， ． 如图，当点恰好落在边上时， 根据轴对称的性质知， ， ． ， ． ， ． ， ； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 7．（25-26八年级上·福建漳州·期末）我们定义： 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图1，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与，重合） （1）的度数为　　，　　“和谐三角形”（填“是”或“不是”）； （2）若，试说明：是“和谐三角形”； 【应用拓展】 （3）如图2，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取点，使，．若△是“和谐三角形”，请直接写出的度数． 【答案】（1），不是；（2）见解析；（3）或 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质和判定，理解和谐三角形的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． （1）根据，得到，求得，得到，所以不是“和谐三角形”； （2）因为是的一个外角，得到，求出，，所以，所以得到是“和谐三角形”； （3）由，，得到，可以证明，得到，而，得到，由，得到，根据△是“和谐三角形”，即可求解． 【详解】解：（1）， ， ， ， 不是“和谐三角形”； 故答案为：，不是； （2）是的一个外角， ， 又， ， ， ， 是“和谐三角形”； （3），， ， ， ， 而， ， ， ， 平分， ， ， 是“和谐三角形”， 或， 或． 8．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，D，E分别在边，上，且，的平分线交延长线于点F，点H在边上，连接交于点M，且． (1)求，，之间的等量关系式； (2)若，求的度数； (3)在（ 2）的条件下，将△的顶点E固定，位置重新摆放，且保证边在直线上方，重新摆放过程中，当的其中一边与的某一边平行时，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或或或或 【分析】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握平行线的性质，分类讨论是解答的关键． （1）根据平行线的性质和三角形的外角性质可得结论； （2）设，则，，根据平行线的性质和角平分线的定义得到，，根据直角三角形的两个锐角互余列方程求得，进而可求解； （3）分为①当时，②时，③当时，④当时， ⑤当时，分别利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由三角形外角性质可得； （2）解：设，则，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， 解得， ∴，， ∴； （3）解：由（ 2）可知， ∵， ∴， ∵， ∴，， ①当时， 此时； ②时， 此时， ∵， ∴； ③当时，延长、交于点K， 则， ∵， ∴， ∴， ∴； ④当时， 此时， ∴点F在延长线上， ∴； ⑤当时， 此时， ∴； 综上，的度数为或或或或． 9．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）【问题背景】如图，，点E，F分别是，上一点． 【初步探索】（1）如图1，过点E，F作直线，若，则____°； 【深入研究】（2）如图2，点G是平行线内一点，连接，，若，求的度数； 【变式探究】（3）如图3，P是直线下方一点，若，，求的度数． 【答案】（1）50；（2）；（3）50 【分析】（1）由于，利用两直线平行内错角相等求解； （2）过点G作，则，再证明，从而可得， 再结合，从而可得，于是可得； （3）先利用平行线的性质求得，再利用邻补角的意义求得，从而可根据，利用三角形内角和求得． 【详解】（1）解：因为，， 所以， 故答案为：50； （2）解：如图，过点G作，则， 因为， 所以， 所以， 又，， 所以， 所以， 即； （3）解：如图， 因为，， 所以， 所以， 又， 所以． 10．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如图1，已知，A、B两点同时从点O出发，点A沿射线运动，点B沿射线运动．点C为三条内角平分线交点，连接、． (1)如图2，当，求的大小． (2)在点A、B的运动过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由． (3)如图3，连接并延长，与的角平分线交于点P，与交于点Q．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)不发生变化，值为 (3)或 【分析】本题考查三角形的综合应用，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握分类讨论的思想方法． （1）根据题意，则，；再根据，，求出的角度，最后根据求解即可； （2）根据三角形的内角和求出，根据角平分线定义得出，，最后根据三角形内角和定理即可解答；（3）设根据题意，表示出的三个内角，分类讨论，即可． 【详解】（1）解：∵点C为三条内角平分线交点， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵点C为三条内角平分线的交点， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， 的度数不变，值为； （3）解：设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点C为三条内角平分线交点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 在中有一个角是另一个角的2倍， 分以下4种情况讨论： ①若， ∴， ∴， ∴； ②， ∴， ∴， ∴； ③， ∴， ∴， ∴； ④， ∴， ∴（舍去）； 综上所述，为或． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.3 三角形的内角与外角『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+8个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题） 【人教版数学新教材•八年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 三角形的内角和 2 知识点二 直角三角形的性质及判定 3 知识点三 三角形的外角 3 题型讲练 4 题型一 三角形内角和定理的证明 4 题型二 与平行线有关的三角形内角和问题 5 题型三 与角平分线有关的三角形内角和问题 5 题型四 三角形折叠中的角度问题 6 题型五 三角形内角和定理的应用 7 题型六 直角三角形的两个锐角互余 8 题型七 锐角互余的三角形是直角三角形 9 题型八 三角形的外角的定义及性质 9 中考真题演练 10 难度分层训练 12 【基础夯实】 12 【培优拔高】 15 知识点一 三角形的内角和 1.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°. 如图，在中，． 注意：三角形内角和定理适用于所有三角形，三角形最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角. 2.三角形的内角和定理证明：主要运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处,合并成一个角,再说明这个角是平角即可. 知识点二 直角三角形的性质及判定 1.性质：直角三角形的两个锐角互余. 表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. 2.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 知识点三 三角形的外角 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 2.性质： ①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 求证：∠ACD=∠A+∠B； 证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°；∴∠A+∠B=180°－∠ACB=∠ACD. ②三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； 如图：∵∠ACD=∠A+∠B；∴∠ACD>∠A；∠ACD>∠B. ③三角形的外角和等于360°． 求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°； 证明：∵∠BAE=∠2+∠3；∠CBF=∠1+∠3；∠ACD=∠1+∠2； ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）=2×180°=360°. 题型一 三角形内角和定理的证明 【典例精讲】（2025八年级上·全国·专题练习）在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）证明：三角形的内角和等于． 已知：如图，． 求证：___________． 证明： 【变式训练2】（25-26八年级上·天津南开·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是 A．如图①所示，过点作 B．如图②所示，过点作 C．如图③所示，过点作、垂足为点 D．如图④所示，过边上点作， 题型二 与平行线有关的三角形内角和问题 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，点D在边上，，若，求的度数． 【变式训练1】如图，直线，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为（    ） A． B．110° C．80° D． 题型三 与角平分线有关的三角形内角和问题 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，在中，是的平分线，，垂足为，，求的度数． 【变式训练1】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分平分，若，则的度数为_____． 【变式训练2】（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，中，是边上的高，是的平分线． (1)若，，求的度数． (2)若，求．（用含的代数式表示） 题型四 三角形折叠中的角度问题 【典例精讲】（25-26八年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，M，N分别是边上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，中，，沿将此三角形折叠，点落在点处，又沿再一次折叠，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为________． 【变式训练2】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，把沿折叠，使点A落在点处，若，则等于（　　） A． B． C． D． 题型五 三角形内角和定理的应用 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，直线，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，是的角平分线，是的高，，，求的度数． 【变式训练2】（25-26八年级上·贵州毕节·期末）如图，直线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型六 直角三角形的两个锐角互余 【典例精讲】（25-26八年级上·江西宜春·期末）如图，在中，，，是边上的高，是的平分线，求的度数． 【变式训练1】（25-26八年级上·广东湛江·期末）如图，在中，是高，是角平分线，，，求的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26八年级上·陕西榆林·阶段检测）若某个直角三角形的一个锐角是，则它的另一个锐角的度数为______． 题型七 锐角互余的三角形是直角三角形 【典例精讲】（25-26八年级上·湖南常德·期末）下列条件中，不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26八年级上·云南昆明·期末）下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26八年级上·吉林白城·期末）如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 题型八 三角形的外角的定义及性质 【典例精讲】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，在与中，点B在上，点A在上，且，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）已知相交于点． (1)如图1，若平分交于点，平分交于点，求的度数； (2)如图2，延长至点，若直线平分交于点，平分交直线于点，求的度数． 【变式训练2】（25-26八年级上·河南安阳·期末）随着教育厅《关于保障中小学生每天综合体育活动不低于两小时的通知》规定的落地，学校的操场已成为学生们每日必到的打卡地．如图①是某校体育课上的侧压动作，可以抽象为如图②的几何图形，若，则的度数为________． 【真题演练1】（2025·陕西西安·中考真题）如图，，平分交于点E，，，M，N分别是延长线上的点，和的平分线交于点F．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【真题演练2】（2025·山西朔州·中考真题）如图，已知，P为外一点（点P不在直线，，上），且在的上方，连接，．若，，，则的度数不可能是（    ） A． B． C． D． 【真题演练3】（2025·江西抚州·中考真题）如图，在中，，，D是边上的定点，E是上的动点，沿折叠，点C落在点F处．当与的一边平行时，的度数是_______． 【真题演练4】（2025·上海·中考真题）如图，在中，，与是的两个外角，平分，交的平分线于点，连接，交于点．若，则_____． 【真题演练5】（2025·山西太原·中考真题）综合与实践 问题情境：如图，，为含有角的直角三角板，，，连接，，延长交直线于点N，直线交于点M． 特例探究： （1）如图1，当A，E，C在同一直线上时，_________°． （2）如图2，当点E在，之间，且与A，C不在同一直线上，点C在直线上时，，，求证：平分． 一般发现： （3）当直角三角板在平行线，之间绕点E转动，直线交，于点P，Q，（转动过程中，三角板的任意一个顶点都在平行线之间）可发现与之间有确定的数量关系，直接写出此数量关系． 【基础夯实】 1．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图，将直尺与含角的三角尺摆放在一起，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北唐山·阶段检测）如图，处在处的南偏西方向，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东方向，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25七年级下·山东泰安·期末）共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，，则的度数为______． 5．（25-26八年级上·江西上饶·期中）将一副三角板如图放置，使点落在上，三角板的顶点与三角板的直角顶点重合，若，与交于点，则的度数为_______． 6．如图，在四边形中，是上一点，过点作，．若，________． 7．（25-26八年级上·广东中山·阶段检测）如图，中，为的角平分线，为的高，，，求的度数 ． 8．（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在和中，和交于点，点，，，在同一条直线上，已知，，判断和的数量关系并说明理由． 9．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，是边上的高，，． (1)求的度数； (2)若是的角平分线，交于点，求的度数． 10．如图，将长方形纸片沿和折叠得到一个轴对称的帽子，折痕角，点A，D的对应点分别为点G，H，折叠后点B，C的对应点恰好都在点E． (1)若折痕角，求帽子顶角的度数． (2)设度，度． ①请用含x的代数式表示y，则 ． ②当时，帽子比较美观，求此时y的值． 【培优拔高】 1．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，，．当时，的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，在延长线上，的角平分线与的角平分线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在四边形中，，的平分线与外角的平分线相交于点，则的度数为（   ） A． B． C．25° D． 4．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）如图，是的一个外角，的平分线交于点F，交的平分线于点D．若，则 ________ ． 5．（25-26八年级上·江西上饶·期末）如图，在中，，，点为边延长线上一点，平分，点为直线上一点．若直线垂直于的一边，则的度数为___________． 6．（25-26八年级上·河南新乡·期末）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，．第一步，在边上找一点D，将纸片沿折叠，点A落在处，如图2；第二步，将纸片沿折叠，点D落在处，如图3．当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，的度数为______． 7．（25-26八年级上·福建漳州·期末）我们定义： 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图1，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与，重合） （1）的度数为　　，　　“和谐三角形”（填“是”或“不是”）； （2）若，试说明：是“和谐三角形”； 【应用拓展】 （3）如图2，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取点，使，．若△是“和谐三角形”，请直接写出的度数． 8．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，D，E分别在边，上，且，的平分线交延长线于点F，点H在边上，连接交于点M，且． (1)求，，之间的等量关系式； (2)若，求的度数； (3)在（ 2）的条件下，将△的顶点E固定，位置重新摆放，且保证边在直线上方，重新摆放过程中，当的其中一边与的某一边平行时，求的度数． 9．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）【问题背景】如图，，点E，F分别是，上一点． 【初步探索】（1）如图1，过点E，F作直线，若，则____°； 【深入研究】（2）如图2，点G是平行线内一点，连接，，若，求的度数； 【变式探究】（3）如图3，P是直线下方一点，若，，求的度数． 10．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如图1，已知，A、B两点同时从点O出发，点A沿射线运动，点B沿射线运动．点C为三条内角平分线交点，连接、． (1)如图2，当，求的大小． (2)在点A、B的运动过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由． (3)如图3，连接并延长，与的角平分线交于点P，与交于点Q．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null