（预习篇）第七讲 角的平分线【思维导图+知识卡片+新知学习+四大考点讲练+优选题难度分层练 共36题】-2026-2027学年人教版数学七升八年级暑假学习衔接讲义

2026-2027学年人教版数学七升八年级衔接金牌培优讲义「预习篇」 第七讲 角的平分线「暑假衔接复习培优讲义」 【人教版数学新教材•八年级上册（第14章）】 （思维导图+新知讲解+四大考点讲练+优选题难度分层练 共36题） 同学，你好！该份讲义主要以复习人教版新教材八年级上册内容为主，结合课本内容讲解新课知识点，讲义包含导图指引，新知学习，高频考点讲练，优选题培优难度分层训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 作一个角的平分线 已知：∠ AOB. 求作：∠ AOB 的平分线. 作法：(1)以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB 于点N. (2)分别以点M，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在∠ AOB 的内部相交于点C. (3)画射线OC. 射线OC 即为∠AOB的平分线(如图14.3 -1). 知识点二 角的平分线的性质 1. 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 . 角的平分线的性质的两个必要条件 (1)点在角平分线上； (2)这个点到角两边的距离即点到角两边的垂线段的长度. 两者缺一不可. 2. 几何语言：如图14.3 -3， ∵ OP 平分∠ AOB，PE ⊥ OA 于点E，PF ⊥ OB 于点F，∴ PE=PF. 知识点三 角的平分线的判定 1. 判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 2. 几何语言：如图14.3 -10， ∵ 点P 为∠ AOB 内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P 在∠ AOB 的平分线OC 上. 应用角的平分线的判定所具备的条件 (1)位置关系：点在角的内部； (2)数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. 3. 角的平分线的判定定理与性质定理的关系 (1)如图14.3 -10，都与距离有关，即条件PD ⊥ OA， PE ⊥ OB 都具备； (2)点在角的平分线上 (角的内部的)点到 角两边的距离相等.如图14.3 -10 ， 知识点四 三角形的角平分线的性质(拓展点) 1. 性质定理：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 这一点叫三角形的内心 . 2. 几何语言：如图14.3 -14，在△ ABC 中，AD，BM，CN 分别是∠ BAC，∠ ABC，∠ ACB 的平分线，AD，BM，CN 交于一点O，且点O 到三边BC，AB，AC 的距离相等，即OE=OG=OF. 考点一 作角平分线(尺规作图) 【典例精讲】（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，在中，， (1)在边上找一点D，使得点D到边的距离与到边的距离相等（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）； (2)在（1）的条件下，若，，求的面积． 【变式训练1】（25-26八年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，在中，． (1)①在图1中作的平分线交于点D（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； ②在①的条件下，若，，求的面积． (2)如图2，平分，F是线段上一点，延交线段于H点，，求证：． 【变式训练2】（25-26八年级上·湖南常德·期末）如图，在中，，按下列步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径画圆弧，分别与，交于点D，E，连接；②分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点F；③作射线交于点G．若，，则的面积为（　　） A．16 B．24 C．36 D．48 【变式训练3】（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交于，两点；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线．交边于点，若，，，则的长为____． 考点二 角平分线的性质定理 【典例精讲】（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，点在直线上，平分，平分，是上一点，连结OF． (1)求证：； (2)若，求证：． 【变式训练1】（24-25八年级上·云南德宏·期末）如图，在中，为的平分线，于E，于F，，，则的面积是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26八年级上·上海·期末）如图，在中，，平分．如果，，那么的面积是_________． 【变式训练3】（25-26八年级上·山东日照·期末）如图，已知中，平分，于点，连接，若，，则的面积是（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 考点三 角平分线的判定定理 【典例精讲】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）已知：，小惠在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为（即）的角尺来作的角平分线． (1)如图1，她先在边和上分别取，再移动角尺使；然后她就说射线是的角平分线．试根据小惠的做法证明射线是的角平分线； (2)如图2，将角尺绕点旋转了一定的角度后，，但仍然出现了，此时是的角平分线吗？如果是，请说明理由． 【变式训练1】（25-26八年级上·北京·期末）下面是小天设计的“作已知角的角平分线”的尺规作图过程． 已知：如图1，． 求作：射线，使得平分． 作法：如图2， ①以点O为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N； ②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点C； ③作射线． 则射线就是所求作的射线． 根据小天设计的尺规作图过程，解答下列问题： (1)使用直尺和圆规，补全图2（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明： 证明：如图2，连接，． 在与中， ， （ ）（填理由）． ． 即射线平分． (3)如图3，若C为内部一点，交于E，交于F，且，则平分（ ）（填理由）． 【变式训练2】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，的内角与外角的平分线交于点，连接，若，则的度数是_____________． 【变式训练3】（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，，，垂足分别为点和点，，与相交于点．求证：平分． 考点四 角平分线性质的实际应用 【典例精讲】（25-26八年级上·天津·期末）某小区计划在绿化区域增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交于点，交于点，若要建一喷灌处，喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（    ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【变式训练1】（2025八年级上·上海青浦·专题练习）如图，△的和的外角平分线相交于点． (1)若，求的度数； (2)如图2，连接，求证：平分； 【变式训练2】（25-26八年级上·贵州遵义·期中）某市政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的三角形平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（   ） A．三条高线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．以上都不对 【变式训练3】（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，平分，，，则的长为______． 【基础通关能力提升】 1．（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）如图，已知是的角平分线，，点E是边上的中点，连接，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山西朔州·期末）如图，是的平分线，点，分别在射线和上，且．是射线上一点，若，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 3．（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，，，为的平分线，，则的面积为（   ） A．8 B．20 C．28 D．34 4．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）已知，以为圆心，以任意长为半径作弧，交，于点，，分别以，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧在内交于点，以为边作，则的度数为______． 5．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，在中，，是的角平分线，，垂足为E，若，，则的面积是__________． 6．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，，，平分，点、分别是、上不与端点重合的动点，连接、，则的最小值为______． 7．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，四边形中，平分，于点E，，则的长为_________． 8．（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，于D，平分． (1)若，且，求和的度数； (2)若，，，，求的面积． 9．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）如图，在与中，满足，． (1)求证：； (2)若是线段上一点，，，垂足分别是点，试判断 与的数量关系，并说明理由． 10．（25-26八年级上·甘肃甘南·期末）完成下面题目： (1)请用直尺和圆规作的平分线；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)已知在中，的平分线也是边上的高，请判断是不是等腰三角形，并说明理由． 【思维拓展拔尖训练】 1．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，点E，F分别在的边，的延长线上，，的角平分线，交于点P，，，垂足分别为M，．下列结论：①平分；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，分别平分，，下列结论：① ；②；③；④，其中正确的为（   ） A．②③④ B．①② C．②③ D．①②③④ 4．（23-24八年级下·山东青岛·期中）如图，的外角和的平分线、相交于点P，于E且 ，若的周长为，，则的面积为________． 5．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，在的平分线交于D．过C点作于G，交于E．过D点作于F．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的序号是________ ． 6．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，平分交于点，平分交于点，，相交于． （1）的度数为_____； （2）过点作于，若，则的长为_____． 7．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，是角平分线，过点作于点． （1）当时， ______； （2）若，，，则 ______． 8．（25-26八年级上·福建厦门·期末）在中，，点在上，点在上，连接和交于点，． (1)如图，求证：； (2)如图，连接，若平分，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长． 9．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，是轴上的动点，连接作，其中． (1)如图①，请找出图中与相等的角，并说明理由； (2)如图②，交x轴于点，过点作轴于点，，求证：平分； (3)如图③，若，点在轴正半轴移动，且，取，连交轴于点，的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度． 10．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，为轴正半轴上一点，为轴正半轴上一点，为轴负半轴上一点，过点作交延长线于点，且，连． (1)如图1，①若，则______；②求的度数； (2)如图2，延长至，使，过点作轴于点，交于点，连，完成以下探究： 动手操作：当时，______°；当时，______°； 猜想证明：当时，______，并给出证明．（提示：构全等三角形） 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null2026-2027学年人教版数学七升八年级衔接金牌培优讲义「预习篇」 第七讲 角的平分线「暑假衔接复习培优讲义」 【人教版数学新教材•八年级上册（第14章）】 （思维导图+新知讲解+四大考点讲练+优选题难度分层练 共36题） 同学，你好！该份讲义主要以复习人教版新教材八年级上册内容为主，结合课本内容讲解新课知识点，讲义包含导图指引，新知学习，高频考点讲练，优选题培优难度分层训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 作一个角的平分线 已知：∠ AOB. 求作：∠ AOB 的平分线. 作法：(1)以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB 于点N. (2)分别以点M，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在∠ AOB 的内部相交于点C. (3)画射线OC. 射线OC 即为∠AOB的平分线(如图14.3 -1). 知识点二 角的平分线的性质 1. 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 . 角的平分线的性质的两个必要条件 (1)点在角平分线上； (2)这个点到角两边的距离即点到角两边的垂线段的长度. 两者缺一不可. 2. 几何语言：如图14.3 -3， ∵ OP 平分∠ AOB，PE ⊥ OA 于点E，PF ⊥ OB 于点F，∴ PE=PF. 知识点三 角的平分线的判定 1. 判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 2. 几何语言：如图14.3 -10， ∵ 点P 为∠ AOB 内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P 在∠ AOB 的平分线OC 上. 应用角的平分线的判定所具备的条件 (1)位置关系：点在角的内部； (2)数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. 3. 角的平分线的判定定理与性质定理的关系 (1)如图14.3 -10，都与距离有关，即条件PD ⊥ OA， PE ⊥ OB 都具备； (2)点在角的平分线上 (角的内部的)点到 角两边的距离相等.如图14.3 -10 ， 知识点四 三角形的角平分线的性质(拓展点) 1. 性质定理：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 这一点叫三角形的内心 . 2. 几何语言：如图14.3 -14，在△ ABC 中，AD，BM，CN 分别是∠ BAC，∠ ABC，∠ ACB 的平分线，AD，BM，CN 交于一点O，且点O 到三边BC，AB，AC 的距离相等，即OE=OG=OF. 考点一 作角平分线(尺规作图) 【典例精讲】（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，在中，， (1)在边上找一点D，使得点D到边的距离与到边的距离相等（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）； (2)在（1）的条件下，若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)14 【分析】（1）作的角平分线：先以点B为圆心，一定长为半径画弧交于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，连接B与两弧的交点，交于点D，根据角平分线的性质定理可知，此时点到边的距离与到边的距离相等； （2）过点D作，由作图可知，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，点D即为所求， （2）解：如（1）图，过点D作， 由（1）可知，点D到边的距离与到边的距离相等， ∵，， ∴， ∵， ∴ ． 【变式训练1】（25-26八年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，在中，． (1)①在图1中作的平分线交于点D（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； ②在①的条件下，若，，求的面积． (2)如图2，平分，F是线段上一点，延交线段于H点，，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】（1）①根据角平分线的作法作图即可； ②过点作于点，由角平分线的性质得到，再结合三角形面积公式求解即可． （2）过点分别作于，于，根据角平分线的性质可得，再证明，即可得证． 【详解】（1）①解：即为的平分线，如图所示． ②解：如图，过点作于点． ∵平分，，， ∴， ∴ ； （2）证明：过点分别作于，于． 平分， ， ， ， 同理， ， 在和中， ， ， ． 【变式训练2】（25-26八年级上·湖南常德·期末）如图，在中，，按下列步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径画圆弧，分别与，交于点D，E，连接；②分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点F；③作射线交于点G．若，，则的面积为（　　） A．16 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】如图，过点G作于点H．先由作图得平分，再根据角平分线的性质得，即可求解． 【详解】解：如图，过点G作于点H． 由作图可知平分， ∵，， ∴， ∴的面积． 【变式训练3】（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交于，两点；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线．交边于点，若，，，则的长为____． 【答案】 【分析】本题主要考查了尺规作图作一个角的平分线、角平分线的性质，由作法得平分，过点作于，则，利用面积法求解． 【详解】解：如下图所示，由作法得平分，过点作于，则， 在中，，，， ， ， 即， ． 故答案为：． 考点二 角平分线的性质定理 【典例精讲】（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，点在直线上，平分，平分，是上一点，连结OF． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用角平分线的定义结合平角的性质即可证明； （2）利用，结合已知求得，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式训练1】（24-25八年级上·云南德宏·期末）如图，在中，为的平分线，于E，于F，，，则的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握该性质是解题的关键．由已知结合角平分线的性质可得，，再根据三角形面积计算公式可求出的面积． 【详解】解：∵为的平分线，于E，于F， ∴， ∵，，， ∴． 【变式训练2】（25-26八年级上·上海·期末）如图，在中，，平分．如果，，那么的面积是_________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点作于点，根据角平分线的定义得出，进而根据三角形的面积即可求解，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴的面积为， 故答案为：． 【变式训练3】（25-26八年级上·山东日照·期末）如图，已知中，平分，于点，连接，若，，则的面积是（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题重点考查角平分线的性质、三角形的面积公式等知识．作于点F，由平分，于点E，根据角平分线的性质得，而，根据，代入数据计算即可求解． 【详解】解：作于点F， ∵平分，于点E， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 考点三 角平分线的判定定理 【典例精讲】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）已知：，小惠在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为（即）的角尺来作的角平分线． (1)如图1，她先在边和上分别取，再移动角尺使；然后她就说射线是的角平分线．试根据小惠的做法证明射线是的角平分线； (2)如图2，将角尺绕点旋转了一定的角度后，，但仍然出现了，此时是的角平分线吗？如果是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识． （1）根据证明，可得结论； （2）过点作于，于．证明，可得结论． 【详解】（1）解：证明：如图1中， 在和中， ， ， ； （2）解：结论正确． 理由：如图2中，过点作于，于． ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 则是的角平分线． 【变式训练1】（25-26八年级上·北京·期末）下面是小天设计的“作已知角的角平分线”的尺规作图过程． 已知：如图1，． 求作：射线，使得平分． 作法：如图2， ①以点O为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N； ②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点C； ③作射线． 则射线就是所求作的射线． 根据小天设计的尺规作图过程，解答下列问题： (1)使用直尺和圆规，补全图2（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明： 证明：如图2，连接，． 在与中， ， （ ）（填理由）． ． 即射线平分． (3)如图3，若C为内部一点，交于E，交于F，且，则平分（ ）（填理由）． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键． （1）根据题意补全图形即可； （2）根据全等三角形的判定和性质即可得到结论； （3）根据角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上即可得到结论． 【详解】（1）解：补全的图形如图所示； （2）解：如图2，连接，． 在与中， ， ， ． 即射线平分； 故答案为：，，； （3）解：交于E，交于F，， ∴平分（在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上）， 故答案为：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 【变式训练2】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，的内角与外角的平分线交于点，连接，若，则的度数是_____________． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质和判定，三角形外角的性质，正确掌握角平分线的性质和判定是解题的关键． 根据角平分线的性质，可得，从而得是的平分线，再根据三角形外角的性质，可求，进而，最后根据角平分线的定义，计算即可求解． 【详解】解：如图，过点作，，，垂足分别为，，， 是的平分线，，， ，， 同理可得，， ， ，， 是的平分线， ， ， ，即 ， ， ， ， 即． 故答案为：． 【变式训练3】（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，，，垂足分别为点和点，，与相交于点．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质以及角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据易证，由全等三角形的对应角相等可得，又因，，根据角平分线的性质即可得平分． 【详解】证明：∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴平分． 考点四 角平分线性质的实际应用 【典例精讲】（25-26八年级上·天津·期末）某小区计划在绿化区域增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交于点，交于点，若要建一喷灌处，喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（    ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质， 由角平分线的交点到角边的距离相等，两同旁内角平分线的交点满足条件；这样的点有2个，可得可供选择的修建点有2个． 【详解】解：作和的平分线相交于，过作于E，于F，于G，    ∴， 即和的平分线的交点到、、距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； 同理∶ 和的平分线的交点到、、距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； ∴满足这条件的点有2个； 故选：B． 【变式训练1】（2025八年级上·上海青浦·专题练习）如图，△的和的外角平分线相交于点． (1)若，求的度数； (2)如图2，连接，求证：平分； 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定和性质，三角形内角和定理． （1）根据三角形内角和定理得出，求出，根据角平分线定义求出，最后根据三角形内角和定理求出结果即可； （2）过点作于点，过点作于点，过点作于点，根据角平分线的性质得出，，求出，即可证明平分； 【详解】（1）解：， ， ，， ， 平分，平分， ，， ， ； （2）证明：过点作于点，过点作于点，过点作于点，如图所示： 平分，平分， ，， ， 平分； 【变式训练2】（25-26八年级上·贵州遵义·期中）某市政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的三角形平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（   ） A．三条高线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答． 【详解】解：∵度假村在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等， ∴度假村应该在三条角平分线的交点处． 故选：B． 【变式训练3】（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，平分，，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形的面积公式，正确地作出辅助线是解题的关键．作于点，根据角平分线的性质得出．结合三角形的面积求出的值，即可求解． 【详解】解：作于点，如图： ∵， ∴， ∵平分，，， ∴． ∵，， 故， 即． 故答案为：． 【基础通关能力提升】 1．（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）如图，已知是的角平分线，，点E是边上的中点，连接，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的中位线平分面积，得到，根据角平分线的性质得到，综合可得结果． 【详解】解：点是边上的中点， ， 是的角平分线， 点到、的距离相等，设点到、的距离为， 则， 又， ． 2．（25-26八年级上·山西朔州·期末）如图，是的平分线，点，分别在射线和上，且．是射线上一点，若，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，过作于点，过作于点，根据角平分线的性质可得，然后分当在点右侧时，当在点左侧时两种情况，分别通过全等三角形的判定与性质即可求解，掌握以上知识点及分类讨论是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点，过作于点， ∵是的平分线， ∴， 当在点右侧时，如图，则， ∵， ∴， ∴，即， 当在点左侧时，如图，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上可得：的度数为或， 故选：． 3．（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，，，为的平分线，，则的面积为（   ） A．8 B．20 C．28 D．34 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，解决本题的关键是在边与边的高线． 作边与边的高线，由角平分线的性质可得高线相等，再根据，可求解边的垂线的长度，由此可得边的垂线的长度，再由三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过点D作交于点E，交于点F，如图， ∵为的平分线，且，， ∴， ∵， 即，解得， ∴， ∴， 则． 故选：B ． 4．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）已知，以为圆心，以任意长为半径作弧，交，于点，，分别以，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧在内交于点，以为边作，则的度数为______． 【答案】或 【分析】根据作图步骤可得为的角平分线，作时分两种情况，分别计算的度数即可． 【详解】解：由作图步骤可知，是的角平分线， ∵， ∴， 如图，当在内部时， ， 如图，当在内部时， ， ∴的度数为或． 5．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，在中，，是的角平分线，，垂足为E，若，，则的面积是__________． 【答案】10 【分析】由角平分线性质定理可得，再根据三角形面积公式可得的面积． 【详解】解：∵在中，， ∴， 又是的角平分线，，且， ∴， ∴的面积． 6．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，，，平分，点、分别是、上不与端点重合的动点，连接、，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】在上截取线段，作，垂足为，容易证明，则．由垂线段最短可得，点、、都在垂线段上时，最小，利用三角形的面积公式求出的值即可． 【详解】解：如图，在上截取线段，作，垂足为， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由垂线段最短可知，， ∴当点、、都在垂线段上时，最小，即最小， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，四边形中，平分，于点E，，则的长为_________． 【答案】2 【分析】过点作交的延长线于点，证明，则，证明，则，得到，即可得到的长． 【详解】如图，过点作交的延长线于点， 平分，于点，于， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 8．（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，于D，平分． (1)若，且，求和的度数； (2)若，，，，求的面积． 【答案】(1) (2)22 【分析】（1）先推导出，，得到，则，进而推导出，根据三角形的内角和即可求出的度数； （2）过点E作于点F，于点M，先推导出，求出，得到，则，即可解答． 【详解】（1）解：， ，， ， ， 又∵平分， ∴， ∴； （2）解：过点E作于点F，于点M，如图 ∵平分， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴，即 解得， ∴， ∴． 9．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）如图，在与中，满足，． (1)求证：； (2)若是线段上一点，，，垂足分别是点，试判断 与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）根据证明即可； （2）证明，结合，可得结论. 【详解】（1）证明：在和中， ∵， ∴． （2）解：， 理由如下： ∵，     ∴． ∵，，   ∴． 10．（25-26八年级上·甘肃甘南·期末）完成下面题目： (1)请用直尺和圆规作的平分线；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)已知在中，的平分线也是边上的高，请判断是不是等腰三角形，并说明理由． 【答案】(1)作图见解析 (2)是等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）利用角平分线的作图方法作图即可； （2）根据条件证明，可得到的形状． 【详解】（1）如图，射线即为所求， （2）是等腰三角形， 理由如下：是的平分线， ， 是边上的高， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形． 【思维拓展拔尖训练】 1．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，点E，F分别在的边，的延长线上，，的角平分线，交于点P，，，垂足分别为M，．下列结论：①平分；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】①过点P作于点H，根据角平分线性质得，再根据点P在的内部得点P在的平分线上，据此可对结论①进行判断；②依据“”判定和全等，和全等得，，由此得，进而得，据此可对结论②进行判断；③根据和全等，和全等得，，由此得，据此可对结论③进行判断；④设，则，，，由此可得，进而得当时，，依题意可知不一定等于，据此可结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①过点P作于点H，如图所示： 是的平分线，，， ， 是的平分线，，， ， ， 又点P在的内部， 点P在的平分线上， 平分，故结论①正确； ②，， 和都是直角三角形， 在和中， ， ， ， 同理：， ， ， ， ，故结论②不正确； ③，， ，， ， 又， ，故结论③正确； ④设， 在中，， ，， ， 当时，，即当时，， 依题意可知：不一定等于， 不一定等于，故结论④不正确， 综上所述：正确结论的序号是①③，共2个． 2．（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，直角三角形的性质及角平分线的定义，根据三角形内角和以及角平分线定义得，继而得出的度数，即可判断A项；推出，根据证明即可，即可判断B项；证明，得，，根据外角的性质即可判断C项；通过等量代换可判断D项． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故B正确，不符合题意； ∴，AB=FB，PA=PF， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，故C错误，符合题意； 又∵， ∴，， 即，故D正确，不符合题意， 故选：C． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，分别平分，，下列结论：① ；②；③；④，其中正确的为（   ） A．②③④ B．①② C．②③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质等知识．由角平分线的定义，即三角形外角的性质可得，进而判定①；由角平分线的定义和平角的定义可求，利用三角形外角的性质及平行线的性质可判定②；利用角平分线的定义可判定③；由角平分线的性质及判定可得为外角的平分线，结合角平分线的定义及三角形外角的性质即可证明，再利用平行线的性质可判定④． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴，即，故①错误； ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴，故③正确； 过点分别作直线、、的垂线，垂足分别为、、， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴为外角的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上，②③④正确； 故选：A． 4．（23-24八年级下·山东青岛·期中）如图，的外角和的平分线、相交于点P，于E且 ，若的周长为，，则的面积为________． 【答案】 7.5 【分析】过点P作于F，作于G，连接，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，根据，求出，然后求出，再根据计算即可得解． 【详解】解：如图，过点P作于F，作于G，连接， ∵和的平分线、交于P，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵的周长为15， ∴， ， ． 5．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，在的平分线交于D．过C点作于G，交于E．过D点作于F．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的序号是________ ． 【答案】①③⑤ 【分析】此题主要考查角平分线的性质定理，三角形的外角定理，直角三角形的性质和三角形的面积，解题的关键是掌握以上性质． 由，得，再由三角形外角的性质得，得；根据角平分线的性质，得，根据等高的两个三角形面积之比等于底边之比得出；等量代换得，从而得出答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， 且， ∴，①正确； ∴， 又平分，，于F， ∴． ∵E到与的距离相等， ∴，③正确； ∵， ∴，⑤正确． 无法证明以及． 故答案为：①③⑤． 6．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，平分交于点，平分交于点，，相交于． （1）的度数为_____； （2）过点作于，若，则的长为_____． 【答案】 /120度 / 【分析】（1）根据三角形内角和定理得到，由角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （2）连接，过点作于点，证明，得，证明，得，然后通过恒等变形可得结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 故答案为：； （2）连接，过点作于点， ∵平分，平分， ∴平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，是角平分线，过点作于点． （1）当时， ______； （2）若，，，则 ______． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握三角形面积与线段的比例关系是解题关键． （1）先根据已知比例求出，再用三角形内角和算出，最后由角平分线定义得出； （2）延长交于，根据“同高三角形面积比等于底边比”和角平分线的性质推出 ，然后构造全等三角形得，，再通过角度关系推出，结合线段比例关系求得． 【详解】（1）解： ， ， ， 平分， ． 故答案为：． （2）解：如图，延长交于点，则， 与是同高三角形， ， 设点到的距离为，到的距离为， 平分， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·福建厦门·期末）在中，，点在上，点在上，连接和交于点，． (1)如图，求证：； (2)如图，连接，若平分，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）根据等边对等角得出，再利用外角的性质推出，，等量代换即可求解； （2）过点作于，过点作交的延长线于，作交的延长线于，根据角平分线的性质，得出，结合已知条件分别证明、即可求解； （3）过点作，交于N，过点作交于，作交的延长线于点，根据平行的性质结合已知条件分别证明、，推出，再结合（1）的中和（2）中平分，推出， 然后根据，推出，推出，再等量代换推出，证明，推出，最后等量代换得到，，即可求解． 【详解】（1）∵， ∴， ∵为的外角， ∴， ∵为的外角， ∴； （2）证明：如图，点作于，过点作交的延长线于，作交的延长线于， 则， ∵平分，，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴； （3）如图，过点作，交于N，过点作交于，作交的延长线于点， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵由（1）得， 又∵， ∴， ∵由（2）知平分， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 9．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，是轴上的动点，连接作，其中． (1)如图①，请找出图中与相等的角，并说明理由； (2)如图②，交x轴于点，过点作轴于点，，求证：平分； (3)如图③，若，点在轴正半轴移动，且，取，连交轴于点，的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 (3)的长度不变， 【分析】（1）根据同角的余角相等得出答案； （2）延长交的延长线于点，再证明，可得，进而得出，即可知垂直平分，可得答案； （3）过点作轴于点，先证明，可得，再得出，进而得出，根据等腰直角三角形的性质和判定即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴，， ∴； （2）证明：如图2，延长交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴平分； （3）解：的长度不变，，理由如下： 如图3，过点作轴于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 10．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，为轴正半轴上一点，为轴正半轴上一点，为轴负半轴上一点，过点作交延长线于点，且，连． (1)如图1，①若，则______；②求的度数； (2)如图2，延长至，使，过点作轴于点，交于点，连，完成以下探究： 动手操作：当时，______°；当时，______°； 猜想证明：当时，______，并给出证明．（提示：构全等三角形） 【答案】(1)； (2)；； 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等，熟练掌握全等三角形的构造是解题的关键． （1）利用四边形内角和为即可求解；过点C作轴于点Y，轴于点Z， 证明，即可得出； （2）过点A作交延长线于点G，证明，即可求解出度数． 【详解】（1）解：①； ，， ， ， ； ②过点C作轴于点Y，轴于点Z， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 平分， ； （2）动手操作：当时，；当时，； 猜想证明：当时， ， 理由如下： 过点A作交延长线于点G， 在与中， ， ， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 由（1）得， ， 当时， ， ； 当时， ， ； ， ， ． 综上所述， 动手操作：当时，；当时，； 猜想证明：当时， ． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null