选修一 第三章 机械波 单元知识网络和单元检测 -2027届高考物理一轮复习

**基本信息** 高中物理选择性必修一机械波单元检测卷，整合2025-2026年高考真题及模拟题，覆盖波的传播、振动图像等核心知识点，适配一轮复习巩固与物理观念、科学思维素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|7/28|简谐横波传播方向、质点振动分析|结合高考真题（如甘肃卷、湖南卷），通过波形图考查运动与相互作用观念| |多项选择|3/18|波的叠加、周期波长计算|设置双波源叠加情境（如山东卷），体现科学推理与模型建构| |非选择题|5/54|波速计算、振动方程、图像绘制|融入文化（水袖、混天绫）与科技（地质探测）情境，综合考查科学论证与问题解决能力|

高中物理选择性必修一知识网络和复习单元检测卷 第3章 机械波 知识网络 素养提升 高中物理选择性必修一 单元检测卷3 机械波 本试卷满分100分，考试用时75分钟。 一、单项选择题：本题共7小题，每小题4分，共28分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 ．（2026高考甘肃卷）简谐横波沿x轴的负方向传播，M为介质中一个质点，某时刻的波形图如图所示。下列说法正确的是 A．此刻M点沿x轴的负方向运动 B．此刻M点的加速度方向沿y轴的负方向 C．此刻后很短时间内M点的速度逐渐减小 D．经过四分之一周期，M,点通过的路程为 答案 B 解析 根据题述，简谐横波沿x轴的负方向传播，M点沿y轴负方向运动，A错误；此刻M点的加速度方向指向平衡位置，沿y轴的负方向，此刻后很短时间内M点的速度逐渐增大，B正确C错误；由于此刻M点不是处于平衡位置，也不是处于波峰或波谷，所以经过四分之一周期，M,点通过的路程不是一个振幅，D错误。 2 （2026高考理综卷）一列横波沿x轴正向传播，位于坐标原点的波源振动周期为T，其开始一个周期的振动图像如图所示。该波在t=T时刻的波形图可能为 A． B． C． D． 答案 C 解析 由振动图形可知，t=0时刻波源从平衡位置向y轴正方向起振，因此波动传播到的所有质点，起振方向都是沿y轴正方向。经过一个周期T，波沿x轴正方向传播的距离是一个波长λ，此时最前端（x=λ）的质点刚要开始振动，振动方向必然沿y轴正方向。对照一个周期的振动图形可知，该波在t=T时刻的波形图可能为C。 3. ( 2025年5月山西青桐鸣大联考)甲、乙两同学各用一只手握着水平轻绳的一端，上、下振动分别形成A、B两列绳波，在时刻的波形如图所示，此时，A波传播到P点，B波传播到Q点，绳上O点到P、Q的距离相等，则下列判断正确的是（ ） A. A波先传播到O点 B. 两同学的手同时开始振动 C. 两同学的手起振的方向均向上 D. 两列波叠加后，O点为振动加强点 【答案】C 【解析】．两列波沿绳传播的速度一样快，因此两列波同时传播到O点，故A错误； t=0时刻，B波传播的距离远，因此乙同学的手先振动，故B错误； 由P、Q的起振方向可知，两同学的手起振的方向均向上，故C正确； 由于两列波的波长不同，频率不同，叠加后不能形成稳定的干涉，因此不能形成稳定的振动加强点，故D错误。 4 （2025学年湖北省百师联盟高三下二轮复习联考（二））动画电影《哪吒2》票房突破百亿大关，这一里程碑式的突破，是中国文化创新活力、魅力与实力的一次生动展示。如图甲所示，哪吒手持法宝混天绫挥舞甩动，即可翻江倒海。若舞动的混天绫可简化为沿x轴正方向传播的简谐横波，图乙为t=0时刻的波形图，质点P的坐标x=4.5m，已知t=3s时，P第一次经过平衡位置，下列说法正确的是（　　） A. t=3s时P点向y轴正方向振动 B. 该波的传播速度大小为2m/s C. P点在0~10s内通过的路程为2.5m D. P点的振动方程为 【答案】D 【解析】．该简谐波沿x轴正方向传播，由波形图可知，P点在t=0时刻向y轴的正方向振动，其振动图像如图所示 P点在t=3s时，振动方向为y轴负方向，故A错误； 已知质点P的横坐标 由图乙可知，在t=0时刻P点的纵坐标 故 则 波长 所以波速，故B错误； 由于，P点在0时刻不在平衡位置，所以路程 故C错误； 设P点的振动方程为，， 将坐标（0，）代入可得 根据振动图像，可得 则，故D正确。 5 （2026高考物理湖南卷第4题）如图，均匀介质中有且仅有一个点波源产生简谐横波在xy平面内传播，A(4，3)、B（4,0）在xy平面内。某时刻，A处质点位于波峰，B处质点位于波谷。下列说法正确的是 A． 若波源在（0,0）处，波长可能为1m B．若波源在（0,0）处，波长可能为2m C．若波源在（0,3）处，波长可能为3m D．若波源在（0,3）处，波长可能为4m 答案 B 解析 已知某时刻，A处质点位于波峰，B处质点位于波谷，因此AB两点的波程差应满足半波长的奇数倍，△r=(n+)λ, (n=1,2,3,```) 若波源在（0,0）处，A点到波源的距离=m，B点到波源的距离=4m，波程差△r==1m，代入△r=(n+)λ, (n=1,2,3,```)，解得 波长λ=m， (n=1,2,3,```)， 当λ=1m时，解得n=0.5，非整数，A错误； 当λ=2m时，解得n=0，B正确。 若波源在（0,3）处，A点到波源的距离=4m，B点到波源的距离=m， 波程差△r==1m，代入△r=(n+)λ, (n=1,2,3,```)，解得 波长λ=m， (n=1,2,3,```)， 当λ=3m时，解得n为负数，C错误； 当λ=4m时，解得n=0.5，D错误。 6．（2026年6月高考物理浙江卷）一列波速为v=4m/s、沿x轴正方向传播的简谐波，t=0.5s时刻的波形如图所示。A、B、C为传播方向上的三个质点，B、C所在的位置分别为=0.5m和=1.5m。则 A．波的频率为0.5 Hz B．图示时刻，A向y轴正方向运动 C．当波从点传播到点，B运动了1 m D．C的振动方程为y=0.4sin(4πt-π)m 答案 D 解析 由波形图可知波长λ=2.0m，波速为v=4m/s，由v=λf可得波的频率为f=2.0 Hz，A错误； 沿x轴正方向传播的简谐波，图示时刻，A向y轴负方向运动，B错误； 当波从点传播到点，传播距离△x=1.5m-0.5m=1m，传播时间△t==0.25s，该波周期T=1/f=0.5s，因此△t=T/2，质点B仅在平衡位置附近振动，半个周期内运动路程为2A=2×0.4m=0.8m，C错误； 振幅A=0.4m，角频率ω=2πf=4π rad/s, t=0.5s时刻质点C在平衡位置且向下运动，根据波动的周期性可知，t=0时刻质点C的运动状态与t=0.5s时刻运动状态相同，所以C的振动方程为y=0.4sin(4πt-π)m，D正确。 7. （2026年1月高考物理浙江卷第9题）在地质探测中，可利用横波传播速度的不同，探测岩石密度信息。选择岩石分界面上的一点为原点、垂直分界面方向为x轴，建立如图所示的坐标系。在坐标原点安装周期T=1×10-3s、振幅A=2mm的人工振源。t=0时振源从平衡位置（）开始沿y轴正方向振动，同时向两侧传播简谐横波。t=3×10-3s时在岩石Ⅰ（）中的波恰好到达x=-3m处，岩石Ⅱ（）中的波速为，则（ ） A. 岩石Ⅰ和岩石Ⅱ中两波波长之比为 B. t=1.5×10-3s时，x=-1m处质点的振动方向沿y轴正方向 C. 在0~3×10-3s内，x=1.25m处质点经过的路程为21mm D. 增大振源的振动周期，岩石Ⅱ中的波速将变小 【答案】C 【解析】．岩石Ⅰ中，横波传播速度 波长公式，两波周期相同，故波长比等于波速比，A错误； t=0时振源从平衡位置（）开始沿y轴正方向振动，波传到的时间 在 t=1.5×10-3s时，可知x=-1m处质点的已经振动的时间 振源起振方向y轴正方向，经过半个周期后，质点振动方向为y轴负方向，B错误； 波传到x=1.25m的时间 该质点振动的总时间 即2个全振动和剩余时间，质点从平衡位置（y=0）开始向y轴正方向振动，则该质点经过的路程为，C正确； 机械波在介质中的传播速度由介质本身的性质（如密度、弹性模量）决定，与振源的周期、频率无关，故波速不变，D错误。 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。 8（2026高考陕晋青宁卷第9题）一列简谐横波在均匀介质中沿直线传播，为介质中平衡位置相距的两个质点。时刻的波形图如图，时振动至波谷，时第一次回到波峰，则（ ） A. 波的周期为1.2s B. 波速为 C. 波的振幅为 D. 内质点的路程为 【答案】ACD 【解析】 根据题意由图可知，时，质点在波峰，1.2s时第一次回到波峰，则波的周期为1.2s，故A正确； 由于时振动至波谷，则时，质点沿轴负方向振动，则波沿轴正方向传播，质点由波峰振动到此位置的时间为，则质点的振动传播到质点需要，则波速为，故B错误； 设波的振幅为，结合上述分析可知，质点的振动方程为 又有时， 解得 经过时间，质点通过的路程为，故CD正确。 9．（2025高考山东卷）均匀介质中分别沿x轴负向和正向传播的甲、乙两列简谐横波，振幅均为，波速均为，M、N为介质中的质点。时刻的波形图如图所示，M、N的位移均为。下列说法正确的是（    ） A．甲波的周期为 B．乙波的波长为 C．时，M向y轴正方向运动 D．时，N向y轴负方向运动 【答案】BD 【解析】．根据题图可知甲波的波长 根据，可得，A错误； 设左边在平衡位置的质点与质点平衡位置的距离为，根据题图结合 又 可得，，B正确； 时即经过，结合同侧法可知M向y轴负方向运动，C错误； 同理根据，可得 根据同侧法可知时N向y轴负方向运动，时即经过时间，N仍向y轴负方向运动，D正确。 10. （2025年1月浙江选考）如图1所示，两波源和分别位于与处，以为边界，两侧为不同的均匀介质。时两波源同时开始振动，其振动图像相同，如图2所示。时与两处的质点开始振动。不考虑反射波的影响，则（　　） A. 时两列波开始相遇 B. 在间波的波长为 C. 两列波叠加稳定后，处的质点振动减弱 D. 两列波叠加稳定后，在间共有7个加强点 【答案】BC 【解析】波在左侧的波速，右侧的波速 两列波相遇时，解得t=0.12s，选项A错误； 在间波的波长为，选项B正确； 左侧波传到时用时间为 此时右侧波在该质点已经振动 即此时刻左侧波在该点的振动在平衡位置向上运动，右侧波在该点的振动也在平衡位置向下振动，可知该点的振动减弱，选项C正确； 当右侧波传到x=6m位置时用时间为0.1s=5T，即此时x=6m处质点从平衡位置向上振动；此时x=0处的波源S1也在平衡位置向上振动，即振动方向相同，可知在内到x=0和x=6m两点的路程差为波长整数倍时振动加强，波在该区间内的波长 可知 即x=3+0.4n，其中n取0、±1、±2、±3、±4、±5、±6、±7 则共有15个振动加强点，选项D错误。 三、非选择题：本题共5小题，共54分。 11．(2026上海嘉定质检如图所示，在平静的湖面上，一根树枝周期性地轻点水面O处，形成的水波近似看作简谐横波。某时刻（）的水波图样如图（a）所示，图中实线、虚线分别表示波峰、波谷。M、N是相邻波峰和波谷上的两个质点，两质点振动的平衡位置均在x轴上。质点M的振动图像如图（b）所示，已知。 （1） 湖面上形成的水波图样是一个个等间距的同心圆，这是因为水波的______和______大小不变（选填：振幅、频率、波速）。 （2）已知质点M、N在x轴方向上的距离为a，则水波的波长为______，水波的传播速度为______。 （3）若观察到树枝轻点水面产生的水波图样如图（c）所示，这是因为_____。 A． 点击水面的频率增大了        B． 点击水面的振幅增大了        C．点击水面的位置向右移动了 答案 （1）频率 波速 （2）2a （3）C 解析 （1）因为波速由介质决定，所以湖面上形成的水波图样是一个个等间距的同心圆，这是因为水波的频率和波速大小不变。 （2）已知质点M、N在x轴方向上的距离为a，则水波的波长为2a，由图b可知，周期T=2，则水波的传播速度为v= = 。 （3）若观察到树枝轻点水面产生的水波图样如图（c）所示，这是因为点击水面的位置向右移动了，C正确。 12．（2026山东烟台期中）如图甲所示，一列简谐横波沿x轴方向传播。已知平衡位置在的质点A的振动图像如图乙中实线所示，平衡位置在的质点B的振动图像如图乙中虚线所示。 (1)求该波可能的波长； (2)若该波的波速v>10m/s，求该波的传播方向及波速。 答案 (1)（n=0，1，2，3…） (2)沿x轴负方向传播，33m/s 【解析】（1）由图乙可知，t=0时刻，质点A经平衡位置且向上振动，质点B经y=4cm位置也向上振动。若该波沿x轴正方向传播，则A、B之间的最简波形为 则有（n=0，1，2，3…） 解得（n=0，1，2，3…） 若该波沿x轴负方向传播，则A、B之间的最简波形为 则有（n=0，1，2，3…） 解得（n=0，1，2，3…） （2）根据图乙有 波传播的速度 若该波沿x轴正方向传播，结合上述有（n=0，1，2，3…） 可知，此时的波传播速度均小于10m/s，不满足题意。若该波沿x轴负方向传播，结合上述有（n=0，1，2，3…） 由于速度v>10m/s， 解得符合条件的波速v=33m/s 结合上述可知，波的传播方向为沿x轴负方向传播，传播速度大小为33m/s。 13 （2026高考物理河北卷第14题）下图为一列沿 轴正方向传播的简谐横波在 时的波形（中间部分未画出），此时平衡位置在的质点处于波峰。 （1）写出该波的波长，以及在 范围内的所有可能值。 （2）若平衡位置位于原点处的质点在 内通过的路程为 ，求该波的周期和波速。 【答案】（1） ，11m和13m （2）0.8s，2.5m/s 解析 （1）由波形图可知该波的波长，λ=2m 平衡位置处于波峰的质点横坐标满足关系式 =(n+)λ (n=2，3，4···) 又 10m<<14m, 在10~14m范围内的所有可能值有：n=5时，=11m， n=6时，=13m， 在10~14m 范围内的所有可能值有11m和13m。 （2）波动振幅A=1cm，若平衡位置位于原点处的质点在 内通过的路程为s= ， 则有 T+T/4=1s，解得该波的周期 T=0.8s 波速v=λ/T=2.5m/s。 14. （2026高考物理贵州卷第13题）图（a）是绳波在某时刻的照片。设该绳波为简谐横波，以绳中各质点平衡位置的连线为 轴、质点振动方向为y轴，建立如图（b）所示的直角坐标系，图中实线、虚线分别表示t=0和t=0.25s时绳波的图像。若该绳波沿 轴负方向传播，周期大于0.25s。 （1）求绳波的波长和振幅； （2）求绳波的周期和传播速度； （3）在图（c）中，画出t=0.5s时绳波在0~2.0 m内的图像。 解析 （1）由图（b）可知，绳波的波长λ=2.0m，振幅A=16cm （2） 若该绳波沿 轴负方向传播，从t=0到t=0.25s，传播时间△t=0.25s=T+nT （n=0,1,2,3，···） 由于周期T大于0.25s。则n只能取0，解得T=1s。 波的传播速度 v==2m/s (3)时间t=0.5s=T/2，则此时的波形为t=0时波形沿x轴负方向传播半个周期，绳波在0~2.0 m内的图像为题图中实线关于x轴对称的图像，如图。 15．（2026山东师范大学附中质检）水袖是中国古典舞中用于情感表达和抒发的常用技巧，舞者的手有规律的振动传导至袖子上，给人营造出一种“行云流水”的美感，这一过程其实就是机械波的传播。现有一列沿轴方向传播的简谐横波，时刻的波形如图中实线所示，时的波形如图中虚线所示。已知：波的周期满足，求： (1)波的传播速度； (2)写出质点振动位移随时间变化的关系式。 答案．(1)或 (2)或 【解析】（1）从时刻到时刻，经过的时间 由图可知，若波沿x轴正方向传播，则（n=0，1，2，…） 当n=1时，解得 满足，波的传播速度 若波沿x轴负方向传播，则（n=0，1，2，…） 当n=1时，解得 满足，波的传播速度 （2）时，质点M处于正向最大位移处，振动方程形式为 由图可知，角频率 若波沿x轴正方向传播，则，联立解得 若波沿x轴负方向传播，则，联立解得 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中物理选择性必修一知识网络和复习单元检测卷 第3章 机械波 知识网络 素养提升 高中物理选择性必修一 单元检测卷3 机械波 本试卷满分100分，考试用时75分钟。 一、单项选择题：本题共7小题，每小题4分，共28分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 ．（2026高考甘肃卷）简谐横波沿x轴的负方向传播，M为介质中一个质点，某时刻的波形图如图所示。下列说法正确的是 A．此刻M点沿x轴的负方向运动 B．此刻M点的加速度方向沿y轴的负方向 C．此刻后很短时间内M点的速度逐渐减小 D．经过四分之一周期，M,点通过的路程为 2 （2026高考理综卷）一列横波沿x轴正向传播，位于坐标原点的波源振动周期为T，其开始一个周期的振动图像如图所示。该波在t=T时刻的波形图可能为 A． B． C． D． 3. ( 2025年5月山西青桐鸣大联考)甲、乙两同学各用一只手握着水平轻绳的一端，上、下振动分别形成A、B两列绳波，在时刻的波形如图所示，此时，A波传播到P点，B波传播到Q点，绳上O点到P、Q的距离相等，则下列判断正确的是（ ） A. A波先传播到O点 B. 两同学的手同时开始振动 C. 两同学的手起振的方向均向上 D. 两列波叠加后，O点为振动加强点 4 （2025学年湖北省百师联盟高三下二轮复习联考（二））动画电影《哪吒2》票房突破百亿大关，这一里程碑式的突破，是中国文化创新活力、魅力与实力的一次生动展示。如图甲所示，哪吒手持法宝混天绫挥舞甩动，即可翻江倒海。若舞动的混天绫可简化为沿x轴正方向传播的简谐横波，图乙为t=0时刻的波形图，质点P的坐标x=4.5m，已知t=3s时，P第一次经过平衡位置，下列说法正确的是（　　） A. t=3s时P点向y轴正方向振动 B. 该波的传播速度大小为2m/s C. P点在0~10s内通过的路程为2.5m D. P点的振动方程为 5 （2026高考物理湖南卷第4题）如图，均匀介质中有且仅有一个点波源产生简谐横波在xy平面内传播，A(4，3)、B（4,0）在xy平面内。某时刻，A处质点位于波峰，B处质点位于波谷。下列说法正确的是 A． 若波源在（0,0）处，波长可能为1m B．若波源在（0,0）处，波长可能为2m C．若波源在（0,3）处，波长可能为3m D．若波源在（0,3）处，波长可能为4m 6．（2026年6月高考物理浙江卷）一列波速为v=4m/s、沿x轴正方向传播的简谐波，t=0.5s时刻的波形如图所示。A、B、C为传播方向上的三个质点，B、C所在的位置分别为=0.5m和=1.5m。则 A．波的频率为0.5 Hz B．图示时刻，A向y轴正方向运动 C．当波从点传播到点，B运动了1 m D．C的振动方程为y=0.4sin(4πt-π)m 7. （2026年1月高考物理浙江卷第9题）在地质探测中，可利用横波传播速度的不同，探测岩石密度信息。选择岩石分界面上的一点为原点、垂直分界面方向为x轴，建立如图所示的坐标系。在坐标原点安装周期T=1×10-3s、振幅A=2mm的人工振源。t=0时振源从平衡位置（）开始沿y轴正方向振动，同时向两侧传播简谐横波。t=3×10-3s时在岩石Ⅰ（）中的波恰好到达x=-3m处，岩石Ⅱ（）中的波速为，则（ ） A. 岩石Ⅰ和岩石Ⅱ中两波波长之比为 B. t=1.5×10-3s时，x=-1m处质点的振动方向沿y轴正方向 C. 在0~3×10-3s内，x=1.25m处质点经过的路程为21mm D. 增大振源的振动周期，岩石Ⅱ中的波速将变小 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。 8（2026高考陕晋青宁卷第9题）一列简谐横波在均匀介质中沿直线传播，为介质中平衡位置相距的两个质点。时刻的波形图如图，时振动至波谷，时第一次回到波峰，则（ ） A. 波的周期为1.2s B. 波速为 C. 波的振幅为 D. 内质点的路程为 9．（2025高考山东卷）均匀介质中分别沿x轴负向和正向传播的甲、乙两列简谐横波，振幅均为，波速均为，M、N为介质中的质点。时刻的波形图如图所示，M、N的位移均为。下列说法正确的是（    ） A．甲波的周期为 B．乙波的波长为 C．时，M向y轴正方向运动 D．时，N向y轴负方向运动 10. （2025年1月浙江选考）如图1所示，两波源和分别位于与处，以为边界，两侧为不同的均匀介质。时两波源同时开始振动，其振动图像相同，如图2所示。时与两处的质点开始振动。不考虑反射波的影响，则（　　） A. 时两列波开始相遇 B. 在间波的波长为 C. 两列波叠加稳定后，处的质点振动减弱 D. 两列波叠加稳定后，在间共有7个加强点 三、非选择题：本题共5小题，共54分。 11．(2026上海嘉定质检如图所示，在平静的湖面上，一根树枝周期性地轻点水面O处，形成的水波近似看作简谐横波。某时刻（）的水波图样如图（a）所示，图中实线、虚线分别表示波峰、波谷。M、N是相邻波峰和波谷上的两个质点，两质点振动的平衡位置均在x轴上。质点M的振动图像如图（b）所示，已知。 （1） 湖面上形成的水波图样是一个个等间距的同心圆，这是因为水波的______和______大小不变（选填：振幅、频率、波速）。 （2）已知质点M、N在x轴方向上的距离为a，则水波的波长为______，水波的传播速度为______。 （3）若观察到树枝轻点水面产生的水波图样如图（c）所示，这是因为_____。 A． 点击水面的频率增大了        B． 点击水面的振幅增大了        C．点击水面的位置向右移动了 12．（2026山东烟台期中）如图甲所示，一列简谐横波沿x轴方向传播。已知平衡位置在的质点A的振动图像如图乙中实线所示，平衡位置在的质点B的振动图像如图乙中虚线所示。 (1)求该波可能的波长； (2)若该波的波速v>10m/s，求该波的传播方向及波速。 13 （2026高考物理河北卷第14题）下图为一列沿 轴正方向传播的简谐横波在 时的波形（中间部分未画出），此时平衡位置在的质点处于波峰。 （1）写出该波的波长，以及在 范围内的所有可能值。 （2）若平衡位置位于原点处的质点在 内通过的路程为 ，求该波的周期和波速。 14. （2026高考物理贵州卷第13题）图（a）是绳波在某时刻的照片。设该绳波为简谐横波，以绳中各质点平衡位置的连线为 轴、质点振动方向为y轴，建立如图（b）所示的直角坐标系，图中实线、虚线分别表示t=0和t=0.25s时绳波的图像。若该绳波沿 轴负方向传播，周期大于0.25s。 （1）求绳波的波长和振幅； （2）求绳波的周期和传播速度； （3）在图（c）中，画出t=0.5s时绳波在0~2.0 m内的图像。 15．（2026山东师范大学附中质检）水袖是中国古典舞中用于情感表达和抒发的常用技巧，舞者的手有规律的振动传导至袖子上，给人营造出一种“行云流水”的美感，这一过程其实就是机械波的传播。现有一列沿轴方向传播的简谐横波，时刻的波形如图中实线所示，时的波形如图中虚线所示。已知：波的周期满足，求： (1)波的传播速度； (2)写出质点振动位移随时间变化的关系式。 学科网（北京）股份有限公司 $