第2章 一元二次函数、方程和不等式（单元解读讲义）高一数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦一元二次函数、方程和不等式核心内容，系统梳理等式与不等式性质、基本不等式及“三个二次”关系，衔接初中“数与代数”知识，为后续函数学习奠定基础，构建从作差比较到性质应用再到实际建模的学习支架。 资料以情境导入（如身高、价格不等关系）和问题驱动（杂志定价问题）激发兴趣，通过赵爽弦图、函数图象等直观工具培养数学抽象与直观想象，结合实际应用实例提升数学建模能力，课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识查漏补缺。

第二章 一元二次函数、方程和不等式（单元解读） 01课程标准 相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础。本单元的学习，可以帮助学生通过类比，理解等式和不等式的共性与差异，掌握基本不等式。内容包括：等式与不等式的性质、基本不等式。 （1）等式与不等式的性质 梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质。 （2）基本不等式 掌握基本不等式 ，结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题。 用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法。本单元的学习，可以帮助学生用一元二次函数认识一元二次方程和一元二次不等式。通过梳理初中数学的相关内容，理解函数、方程和不等式之间的联系，体会数学的整体性。内容包括：从函数观点看一元二次方程、从函数观点看一元二次不等式。 （1）从函数观点看一元二次方程 会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系。 （2）从函数观点看一元二次不等式 ①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义。能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集。 ②借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。 【学业要求】 能够从函数观点认识一元二次方程和一元二次不等式，感悟数学知识之间的关联，认识函数的重要性。掌握等式与不等式的性质。重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养。 02单元内容分析 1. 教材地位 本单元是高中数学必修课程的第二章，是初中“数与代数”内容的延续与提升，也是高中数学中不等式知识的起始与基础。等式与不等式是刻画数量关系的基本工具，基本不等式是求最值的重要方法，从函数观点认识方程和不等式是数学的基本思想方法。通过本单元的学习，学生能够用函数、方程、不等式之间的联系分析和解决问题，体会数学知识的整体性和关联性，为后续函数、指数函数、对数函数、三角函数等内容的学习奠定基础，提升数学抽象、逻辑推理和数学运算等核心素养。 2. 知识结构 本单元围绕等式性质与不等式性质、基本不等式、二次函数与一元二次方程和不等式三大主题展开。首先学习等式性质与不等式性质，掌握实数大小比较的作差法并建立不等式性质体系；然后学习基本不等式，掌握其证明、几何意义与求最值的应用；最后学习二次函数与一元二次方程、不等式，掌握一元二次不等式的解法及其在实际问题中的应用。具体包括以下内容： （1）等式性质与不等式性质 梳理等式的基本性质，理解不等式的概念；掌握实数大小比较的作差法（作差→变形→判号→结论），了解作商法；通过赵爽弦图探究重要不等式 ；理解并掌握不等式的基本性质，能利用不等式性质进行变形、判断和证明。 （2）基本不等式 理解基本不等式的构建、证明过程和几何解释；理解算术平均数与几何平均数；会用基本不等式证明简单不等式，能借助基本不等式解决简单的最值问题。 （3）二次函数与一元二次方程、不等式 理解“三个二次”（二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）之间的联系；掌握一元二次不等式的求解方法，会用集合表示解集；能将实际问题抽象为一元二次不等式模型并求解，掌握用一元二次不等式解决最值、范围等问题的一般思路。 03学情分析 1. 知识储备 学生在初中已学习过等式与不等式的概念和性质，掌握一元一次方程、一元一次不等式的解法，了解二次函数和一元二次方程的图象与性质，具备一定的代数变形能力，但对不等式性质的严谨证明、基本不等式的构建与证明、从函数观点认识方程和不等式等方面还缺乏系统认识。 2. 认知特点 高一学生正处于从形象思维向抽象思维过渡的关键阶段，能够进行一定的逻辑推理和代数运算，但抽象概括能力、等价转化能力和分类讨论能力仍需培养。对不等式性质的灵活运用、含参数问题的分类讨论、从函数观点看方程与不等式等内容，需要借助具体实例、数形结合和反复练习。 3. 学习兴趣 高一学生对数学学习充满期待，生活中丰富的不等关系（身高、价格、速度、利润等）能激发学习兴趣，赵爽弦图、半圆等几何模型也富有趣味性和文化气息；但不等式性质的变形规则、基本不等式的使用条件等抽象内容容易让学生产生畏难情绪，需要通过生活实例和数形结合持续激发兴趣。 4. 学习困难 学生对不等式性质中的符号变化（乘除负数要变号）、同向不等式相加相乘的条件、基本不等式“一正二定三相等”的使用条件、“三个二次”之间的转化、含参数不等式的分类讨论等容易出错；在实际问题中把不等关系转化为一元二次不等式模型、并检验结果的实际意义，也可能成为学习难点。 04单元学习目标 1. 数学抽象 能从生活实例中抽象出不等关系，理解等式与不等式的性质、基本不等式的概念，能用数学语言刻画不等关系，发展数学抽象素养。 2. 逻辑推理 能证明不等式的基本性质和基本不等式，能进行不等式变形与推理，能判断不等式推导的正确性，发展逻辑推理素养。 3. 数学运算 能进行作差法比较大小、不等式变形、基本不等式求最值、一元二次不等式的求解，能规范地写出解题过程与等号成立条件，发展数学运算素养。 4. 直观想象与数学建模 能利用函数图象理解“三个二次”的关系，能借助数轴、函数图象理解不等式性质与求解不等式；能将实际问题抽象为不等式模型并求解，发展直观想象和数学建模素养。 05教学重难点 1. 教学重点 等式与不等式的性质及运用；作差法比较大小；基本不等式及其求最值的应用；一元二次不等式的解法；从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式。 2. 教学难点 不等式性质中乘除负数变号、同向相加相乘的条件；基本不等式“一正二定三相等”的理解与应用；含参数一元二次不等式的分类讨论；在实际问题中建立一元二次不等式模型并检验结果的实际意义。 06教学方法 1. 教法 采用情境导入法，从生活实例引入不等关系；通过问题驱动引导学生自主探究；运用类比等式性质探究不等式性质，运用归纳法建立“三个二次”的联系；利用数轴、函数图象等直观工具辅助理解；设计分层练习和即时训练巩固知识；针对含参问题和综合问题采用启发式讲解。 2. 学法 引导学生课前预习，了解等式与不等式的基本概念；课堂上积极参与观察、思考、讨论和练习，主动构建知识；课后及时总结归纳，绘制知识结构图；通过错题反思提升逻辑推理和运算能力。 07教学资源 1. 教材 充分利用教材《第二章 一元二次函数、方程和不等式》及配套教师教学用书。 2. 多媒体资源 制作PPT课件，包含不等关系情境、赵爽弦图、半圆与基本不等式几何解释、二次函数图象、杂志定价与商品销售等实际应用示例；利用网络资源展示不等式在交通、经济等领域的应用实例，增强教学的直观性和趣味性。 3. 教学辅助 准备导学案、课堂练习题、课后作业单、二次函数图象模板、数轴练习纸等；准备课堂展示用的典型例题和变式训练，便于学生合作探究和展示交流。 08教学过程 第1节 等式性质与不等式性质（2课时） 第1课时 不等关系与作差法 1. 课程导入（5分钟） 以课件中的情境1引入：在自然界和社会生活中，存在着大量的相等关系、不等关系、函数关系，高矮、胖瘦、轻重、长短都可以用数学来刻画；接着完成问题1，用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系，如三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短等，体会不等关系比相等关系更为普遍。 2. 新知讲授（20分钟） 以问题2（某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本；单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本，如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元）为载体，说明在数学中用不等式表示不等关系；借助数轴指出0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了“标杆”，由此复习两个实数大小比较的基本事实，归纳作差比较法（作差→变形→判号→结论），并了解作商法；再由第24届国际数学家大会会标（赵爽弦图）抽象出图形，探究重要不等式 并证明。 3. 课堂互动（10分钟） 完成课件中的典例精讲与即时训练：用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系；用作差法比较两个数（式）的大小，体会作差法的关键是变形，一般采用配方、因式分解、通分、有理化等手段，以利于定号，特别是作差后的式子为二次三项式时常考虑因式分解或配方法变形。 4. 课堂小结（5分钟） 总结不等关系、作差比较法与重要不等式，强调重要不等式中的a、b为全体实数，没有正负限制，布置课后作业。 第2课时 不等式的性质 1. 课程导入（5分钟） 以课件中的问题1引入：回忆等式的基本性质并归纳发现等式基本性质的方法，得到“运算中的不变性就是性质”；进而思考：类比等式的性质，你能猜想出不等式的性质并加以证明吗？ 2. 新知讲授（20分钟） 通过类比等式性质探究不等式的性质，并从形与数两个角度加以证明，系统梳理不等式的八条基本性质：对称性、传递性、可加性、可乘性、同向可加性、同向同正可乘性、同正可乘方性等；并利用可乘性与传递性推出同向同正可乘性等结论，形成完整的性质体系。 3. 课堂互动（10分钟） 完成课件中的典例精讲与即时训练：运用不等式的性质判断变形、推导是否正确，注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其不能凭想象捏造性质；用特殊值法排除错误选项，取特殊值时要遵循满足题设条件、取值简单便于验证计算两条原则；结合性质求代数式的取值范围、证明简单不等式。 4. 课堂小结（5分钟） 总结不等式的八条基本性质及其证明思路，强调乘除负数要变号、同向可加而异向不可加、中间量传递要统一等易错点，并回顾特殊值法的取值原则，布置课后作业。 第2节 基本不等式（1课时） 1. 课程导入（5分钟） 以课件中的问题引入：我们可以从哪些方面研究算术平均数和几何平均数之间的大小关系？你能证明它吗？说明学习了基本不等式后就可以顺利解决这类问题，激发学习兴趣。 2. 新知讲授（20分钟） 由前面利用面积法和完全平方公式得出的一类重要不等式出发，构建基本不等式 （a>0，b>0，当且仅当a=b时取等号），理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数；结合完全平方公式、通过倒推给出证明，并结合半圆给出几何解释（半径不小于半弦长）；进一步补充三元不等式等高中数学常用的几个公式。 3. 课堂互动（10分钟） 完成课件中的典例精讲与即时训练：利用基本不等式求最值，遵循“一正、二定、三相等、下结论”的步骤，体会积定和最小、和定积最大；把握利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，对照已知的式子和欲求的式子运用“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用条件（一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定，应凑出定和或定积；三不等，一般用函数的图象或性质）。 4. 课堂小结（5分钟） 总结基本不等式的构建与证明、几何意义及求最值的应用，强调使用前先写明a>0、b>0，求最值必须写“当且仅当…时取等号”等规范，布置课后作业。 第3节 二次函数与一元二次方程、不等式（2课时） 第1课时 一元二次不等式的解法 1. 课程导入（5分钟） 回顾一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间有着密切的联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题，并设问：它们之间有什么关系？我们怎样从函数观点进一步解决方程、不等式的问题？以课件中的情境（某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为10万册；若单册价格每提高0.2元，则发行量就减少5000册，要使杂志社的销售收入大于22.4万元，每册杂志的价格应定在怎样的范围内）引出一元二次不等式。 2. 新知讲授（20分钟） 类比初中从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法，探究能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法；借助二次函数的图象理解函数的零点与方程根的关系，明确零点是一个实数而不是一个点；列表梳理二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系，归纳依据图象写出解集的方法。 3. 课堂互动（10分钟） 完成课件中的典例精讲与即时训练：按“求根→画图→求解”的步骤解一元二次不等式，注意结合二次函数图象与x轴的位置关系写出解集；求解方程的根时可优先考虑用因式分解的方法求解，不能因式分解时再求判别式Δ，用求根公式计算。 4. 课堂小结（5分钟） 总结一元二次不等式的概念以及二次函数与一元二次方程、不等式的对应关系，强调数形结合的思想方法和“零点不是点”，布置课后作业。 第2课时 一元二次不等式的应用 1. 课程导入（5分钟） 回顾一元二次不等式的解法，以课件中“销售收入创收60000元以上”等实际问题引入，感受一元二次不等式在交通安全、经济生活等实际问题中的应用价值。 2. 新知讲授（20分钟） 讲解用一元二次不等式解决实际问题的一般步骤：选取合适的字母表示题目中的未知数；由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）；求解所列出的不等式（组）；结合题目的实际意义确定答案。强调“数学解”到“实际解”的转化，注意定义域与实际背景的限制。 3. 课堂互动（10分钟） 完成课件中的典例精讲与即时训练：将实际问题抽象为一元二次不等式模型并求解，如为增加收入，某书店购进一批文具盒，若按每个15元的价格销售每天能卖出30个，若售价每提高1元日销量将减少2个，为了使这批文具盒每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，应怎样制定销售价格。 4. 课堂小结（5分钟） 总结一元二次不等式应用题的解题步骤和关键转化，强调结合题目的实际意义确定答案、注意取值范围的端点与实际情况，布置课后作业。 09教学评价 1. 课堂表现评价 观察学生课堂参与度，包括提问回答、小组讨论、练习展示、板演讲解等表现，及时给予鼓励和针对性指导。 2. 作业评价 认真批改作业，了解学生对不等式性质、基本不等式、一元二次不等式及其应用等知识的掌握情况，针对作业中集中出现的问题进行重点讲解或个别辅导。 3. 测验评价 定期进行单元小测验，考查学生对不等式性质、基本不等式、一元二次不等式的解法及应用等内容的掌握程度，分析测验结果，及时调整教学策略。 4. 学习过程评价 关注学生在学习过程中数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象和数学建模等核心素养的发展情况，鼓励学生进行自我评价和同伴评价。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $