第07讲 函数的概念及其表示 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦函数的概念及其表示核心知识点，从初中一次、反比例、二次函数的朴素认识出发，系统梳理函数的严格概念（非空数集到非空数集的唯一对应）、三要素（定义域、对应法则、值域）、表示法及分段函数，构建从具体到抽象的学习支架。 资料通过新知导图构建知识体系，题型分类训练（例、变式、巩固检测）分层突破，易错清单和方法总结强化重点。以“任意x唯一y”判断函数培养抽象能力（数学眼光），用待定系数法求解析式发展推理能力（数学思维），助力课中教学与课后查漏补缺。

第 07 讲 3.1 函数的概念及其表示 ▶ 预习目标 ● 1．理解函数的概念，会用“任意 都有唯一 与之对应”判断两个变量是否构成函数关系。 ● 2．掌握函数的三要素（定义域、对应法则、值域）与区间表示法，会求简单函数的定义域与函数值。 ● 3．理解函数的三种表示法（解析法、图象法、列表法），会求分段函数的函数值、画简单图象。 ● 4．会用换元法、待定系数法、方程组法求函数的解析表达式。 ▶ 知识回顾 初中我们研究过一次函数 、反比例函数 、二次函数 ，它们都刻画了两个变量之间的依赖关系。本讲把这个朴素认识提升为严格的“函数”概念。 ▶ 新知导图 函数概念 非空数集 到 的唯一对应 三要素 定义域、对应法则、值域（值域由前两者决定） 区间表示 等 表示法 解析法、图象法、列表法 分段函数 ▶ 知识点精讲 ◆ 知识点 01 函数的概念 设 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个数 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数。记作 。其中 叫自变量， 叫函数的定义域， 叫值域。 ◆ 知识点 02 函数的三要素与区间 定义域、对应法则、值域称为函数的三要素；当两个函数定义域相同且对应法则一致时，它们就是同一函数。区间表示法： 闭区间、 开区间、半开半闭 ，以及无穷区间 、、、。 求定义域的常见限制：分母不为 ；偶次根号下非负；零次幂底数不为 。 ◆ 知识点 03 函数的表示法 （1）解析法：用等式 表示；（2）列表法：用表格列出自变量与函数值；（3）图象法：用平面曲线上的点 表示。三种方法各有优劣，常结合使用。 ◆ 知识点 04 分段函数 在定义域的不同子集上，对应关系用不同式子表示的函数叫分段函数。分段函数是一个函数（不是几个），求值时先判断自变量所在区间，再代入对应式子。 ◆ 理解提示 判断函数关系的关键只有一条：对定义域内每一个 ，是否都有“唯一”的 。一个 对应多个 就不是函数；但多个 对应同一个 是允许的（如 ）。两个函数相同，必须定义域与对应法则都相同，与所用字母无关。 ▶ 题型分类训练 【例 1】 下列各式中， 是 的函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】 A 中一个 对应两个 （正负），不满足唯一性；B 中一个 对应两个 ；D 中 取正负两个值，不唯一；C 中由 且 得 ，定义域 ，对应唯一 ，是函数。 【变式 1-1】 函数 的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 需 （根号内正且分母不为 ），故 ，定义域为 。 【变式 1-2】 下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 【答案】 B 【详解】 B 中 ，定义域均为 ，对应法则相同，是同一函数。A 中 定义域 与 不同；C 中 定义域 ；D 中 定义域 ，均不同。 【变式 1-3】 函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 需 且 ，即 且 ，故定义域为 。 【例 2】 已知 则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 先算 ：因 ，用第二段 。再算 ：，仍用第二段 。故 ，选 B。 【变式 2-1】 已知 则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 （因 ）；（因 ）；故 。 【变式 2-2】 已知函数 满足 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 令 得 ，代入 。 【变式 2-3】 设 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 。 【例 3】 已知 是一次函数，且 ，则 的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 设 ，由 、 相减得 ，代回得 ，故 。 【变式 3-1】 已知 ，则 的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 令 ，则 ，代入得 ，故 。 【变式 3-2】 已知 ，则 的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 令 ，则 ，代入得 ，故 。 【变式 3-3】 已知二次函数 满足 ，则 的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 设 ，由 、（即 ）、（即 ）解得 ，故 。 【例 4】 函数 的图象大致是（ ）（考查图象分布与渐近线） A．两支分别在第一、三象限的曲线 B．两支分别在第二、四象限的曲线 C．过原点的直线 D．开口向上的抛物线 【答案】 A 【详解】 是反比例函数，图象为双曲线，两支分别位于第一、三象限，以坐标轴为渐近线，不过原点。 【变式 4-1】 设 ，下列图形中能表示 到 的函数的是（ ） A．过 、 的线段 B．竖直直线 C．半圆 D．开口向下的抛物线 【答案】 A 【详解】 函数要求每个 对应唯一 ：A 为线段，满足；B 中一个 对应无穷多 ，不是函数；C 中一个 对应两个 （上下），不唯一；D 若整体对应多个 也不唯一。故选 A。 【变式 4-2】 函数 的最小值及取得最小值时的 是（ ） A．最小值 ，当 B．最小值 ，当 C．最小值 ，当 D．无最小值 【答案】 A 【详解】 ，当 时取等号，最小值为 。 ▶ 巩固检测卷 ◆ 一、基础巩固（10 题） 1． 函数 的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 需 且 ，即 且 ，故 。 2． 已知 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 ，，故 。 3． 下列函数中，与 表示同一函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 ，定义域 ，与 相同。B 定义域 ；C 定义域 ；D 为 。 4． 已知 则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 ，用第一段 。 5． 函数值域 对应的一个函数可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 的值域为 ，即 。 6． 若 ，则 的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 令 ，则 ，代入 ，故 。 7． 函数 的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 需 ，即 。 8． 已知 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 ，。 9． 下列表示法不能作为函数 的表示的是（ ） A．解析法 B．列表法（列出若干 与 ） C．图象法（过原点的直线） D． 【答案】 D 【详解】 表示一个 （除 外）对应两个 ，不是函数 的表示。 10． 函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 需 且 ，即 且 ，故 。 ◆ 二、能力提升（5 题） 11． 已知 为偶函数且满足 ，则 的值为（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】 B 【详解】 偶函数有 ，代入 得 ，故 为常数函数，。 12． 函数 的值域是（ ） A． B． C． D．全体实数 【答案】 D 【详解】 时 ，值域为 ； 时 ，值域为 。两段值域之并为 ，即全体实数。 13． 已知 ，且 ，则 为（ ） A． B． C． 或 D． 【答案】 C 【详解】 ，故 且 。 时 ； 时 。两组均满足，故 或 。 14． 函数 中，当 取遍非零实数时，函数值不可能等于（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 由 解得 ，当 时分母为 无解，故函数值不可能为 。 15． 已知 满足 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 令 得 ；令 得 。由第二式 ，代入第一式：。选 B。 ▶ 易错清单 ● 1．判断函数只看“任意 唯一 ”；一个 对应多个 不是函数，多个 对应一个 可以。 ● 2．求定义域别漏限制：分母、偶次根号、零次幂底数，三者叠加时取交集。 ● 3．两个函数相同必须“定义域相同且对应法则相同”，化简前先看定义域。 ● 4．分段函数求值时先判区间再代式，是一整个函数而非几个函数。 ▶ 方法总结墙 （1）定义域优先：拿到函数先看定义域，再谈其它。（2）换元求解析式：令 ，反解 后代回。（3）方程组法：用 或 代换构造方程联立消元。（4）待定系数法：已知函数类型（一次、二次）时设出系数解方程组。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 07 讲 3.1 函数的概念及其表示 ▶ 预习目标 ● 1．理解函数的概念，会用“任意 都有唯一 与之对应”判断两个变量是否构成函数关系。 ● 2．掌握函数的三要素（定义域、对应法则、值域）与区间表示法，会求简单函数的定义域与函数值。 ● 3．理解函数的三种表示法（解析法、图象法、列表法），会求分段函数的函数值、画简单图象。 ● 4．会用换元法、待定系数法、方程组法求函数的解析表达式。 ▶ 知识回顾 初中我们研究过一次函数 、反比例函数 、二次函数 ，它们都刻画了两个变量之间的依赖关系。本讲把这个朴素认识提升为严格的“函数”概念。 ▶ 新知导图 函数概念 非空数集 到 的唯一对应 三要素 定义域、对应法则、值域（值域由前两者决定） 区间表示 等 表示法 解析法、图象法、列表法 分段函数 ▶ 知识点精讲 ◆ 知识点 01 函数的概念 设 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个数 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数。记作 。其中 叫自变量， 叫函数的定义域， 叫值域。 ◆ 知识点 02 函数的三要素与区间 定义域、对应法则、值域称为函数的三要素；当两个函数定义域相同且对应法则一致时，它们就是同一函数。区间表示法： 闭区间、 开区间、半开半闭 ，以及无穷区间 、、、。 求定义域的常见限制：分母不为 ；偶次根号下非负；零次幂底数不为 。 ◆ 知识点 03 函数的表示法 （1）解析法：用等式 表示；（2）列表法：用表格列出自变量与函数值；（3）图象法：用平面曲线上的点 表示。三种方法各有优劣，常结合使用。 ◆ 知识点 04 分段函数 在定义域的不同子集上，对应关系用不同式子表示的函数叫分段函数。分段函数是一个函数（不是几个），求值时先判断自变量所在区间，再代入对应式子。 ◆ 理解提示 判断函数关系的关键只有一条：对定义域内每一个 ，是否都有“唯一”的 。一个 对应多个 就不是函数；但多个 对应同一个 是允许的（如 ）。两个函数相同，必须定义域与对应法则都相同，与所用字母无关。 ▶ 题型分类训练 【例 1】 下列各式中， 是 的函数的是（ ） A． B． C． D． 【变式 1-1】 函数 的定义域是（ ） A． B． C． D． 【变式 1-2】 下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 【变式 1-3】 函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 【例 2】 已知 则 的值为（ ） A． B． C． D． 【变式 2-1】 已知 则 的值为（ ） A． B． C． D． 【变式 2-2】 已知函数 满足 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【变式 2-3】 设 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【例 3】 已知 是一次函数，且 ，则 的解析式为（ ） A． B． C． D． 【变式 3-1】 已知 ，则 的解析式为（ ） A． B． C． D． 【变式 3-2】 已知 ，则 的解析式为（ ） A． B． C． D． 【变式 3-3】 已知二次函数 满足 ，则 的解析式为（ ） A． B． C． D． 【例 4】 函数 的图象大致是（ ）（考查图象分布与渐近线） A．两支分别在第一、三象限的曲线 B．两支分别在第二、四象限的曲线 C．过原点的直线 D．开口向上的抛物线 【变式 4-1】 设 ，下列图形中能表示 到 的函数的是（ ） A．过 、 的线段 B．竖直直线 C．半圆 D．开口向下的抛物线 【变式 4-2】 函数 的最小值及取得最小值时的 是（ ） A．最小值 ，当 B．最小值 ，当 C．最小值 ，当 D．无最小值 ▶ 巩固检测卷 ◆ 一、基础巩固（10 题） 1． 函数 的定义域是（ ） A． B． C． D． 2． 已知 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 3． 下列函数中，与 表示同一函数的是（ ） A． B． C． D． 4． 已知 则 的值为（ ） A． B． C． D． 5． 函数值域 对应的一个函数可以是（ ） A． B． C． D． 6． 若 ，则 的解析式为（ ） A． B． C． D． 7． 函数 的定义域是（ ） A． B． C． D． 8． 已知 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 9． 下列表示法不能作为函数 的表示的是（ ） A．解析法 B．列表法（列出若干 与 ） C．图象法（过原点的直线） D． 10． 函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． ◆ 二、能力提升（5 题） 11． 已知 为偶函数且满足 ，则 的值为（ ） A． B． C． D．无法确定 12． 函数 的值域是（ ） A． B． C． D．全体实数 13． 已知 ，且 ，则 为（ ） A． B． C． 或 D． 14． 函数 中，当 取遍非零实数时，函数值不可能等于（ ） A． B． C． D． 15． 已知 满足 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． ▶ 易错清单 ● 1．判断函数只看“任意 唯一 ”；一个 对应多个 不是函数，多个 对应一个 可以。 ● 2．求定义域别漏限制：分母、偶次根号、零次幂底数，三者叠加时取交集。 ● 3．两个函数相同必须“定义域相同且对应法则相同”，化简前先看定义域。 ● 4．分段函数求值时先判区间再代式，是一整个函数而非几个函数。 ▶ 方法总结墙 （1）定义域优先：拿到函数先看定义域，再谈其它。（2）换元求解析式：令 ，反解 后代回。（3）方程组法：用 或 代换构造方程联立消元。（4）待定系数法：已知函数类型（一次、二次）时设出系数解方程组。 学科网（北京）股份有限公司 $