第2章 一元二次函数、方程和不等式 单元复习归纳-【重难点手册】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版）浙江专用

第二章一元二次函教、方程和不等式么出 单元复习归纳 ☑01一知识网5构建幻 不等式的概念 不等关系与不等式 不等式的基本性质 比较实数的大小（作差法） 一元二次不等式的概念 一元二次 三个“二次”（一元二次方程的根、二次函数的图象、一元二次不等式的解集） 不等式及 之间的关系 其解法 元二次不 利用三个“二次” 不含参数的一元二次不等式的解法 不等式 等式的解法 之间的关系 含参数的一元二次不等式的解法 基本不等式的变式与拓展 若a十b=S(定值)，则当a=b 基本不等式：√ab≤ 最值与定值 时6取得最大值子S 求最值的 a+b(a≥0，b≥0) (a≥0，b≥0) 常用方法 若ab=G(定值)，则当a=b时， a+b取得最小值2G 求实际应用问题的最值 基本不等式的应用 比较实数的大小 证明不等式 口02微转题妙总结 微专题1求解含参一元二次不等式 [点拨本题考查分式不等式和含参数的不等式 对于可化为一元二次不等式的其他不等 的解法.可先将其转化为整式不等式，再利用解一元 式，常包括以下几种类型和解法： 二次不等式的知识求解，注意分类讨论， (1)解高次不等式常用数轴标根法 解航原不等式可化为a二D-1>0, x-2 (2)分式不等式是利用不等式同解原理将 pa-1l-8二》e-2>0. () 其转化为整式不等式（组）求解的. (3)指数、对数不等式是利用指数函数和 ①D当a>1时，()式申为(-日二》x-2) 对数函数的单调性，将指数、对数不等式转化为等 >0, 价的代数不等式（组）求解的（会在第四章学到）】 8号-。0,2 而Q2 例日解不等式，2一1e. 此时x>2或x<a二名 a-1 63 重避点手册高中数学必修第一册（上）RUA(浙江专用) (2)当a<1时，(*)式即为(-日二)(x-2) 即<0， 3a2-2a-1>0, 得a<号 <0, 而2-a-2 所以a的取位范国为aa<一君》 点评对于恒成立问题，一般借助草图进行分 0若0ca<1,则日导2， 析，解题时应注意对各种情况的讨论，避免遗漏. 方法二变换主元 此时2<x<0-2 a-1 ②若a=0,则(x一2)2<0，此时无解. 例8已知2≤m≤3，不等式x2+mx十 ⑧老a<0,则-子<2，此时8-子<2 4>2m十4x恒成立，求x的取值范围， a-1 综上所述， 解机因为当？≤m≤3时，不等式r2+x十4> 当a>1时，不等式的解袋为{z会-导或>2， 2m+4x恒成立，即m(x-2)十(x-2)2>0恒成立. 当x=2时，不等式不成立，所以x≠2令y=m(x 当0<a<1时，不等式的解集为x2<x< 一2)十（一2）（其中m为自变量），2≤m≤3，问题转化 为2≤m≤3时y恒大于0，则2 x-2》+-2》2>0, 当a=0时，不等式的解集为心； 3(x-2)+(x-2)2>0, 解得x>2或x<-1,所以x的取值范围为{x|x< 当a<0时，不等式的解集为z x<2 -1或x>2}. 点评1.在将分式不等式化为整式不等式的过 方法三分离参数 程中，应注意分母的符号，不能将其乘到另一边，正确 例④已知函数y=ax2十x,如果0≤x≤1 的方法是移项、通分. 时，y≤1，求实数a的取值范围 2.本题中，化为含参数的一元二次不等式后，应先 解析当0≤x≤1时，|y≤1台-1≤y≤1，即 讨论二次项系数的符号，再讨论两个根的大小关系，解 -1≤a.x2+x≤1. 题过程需有条不紊，顺理成章 当x=0时，a∈R; 微专题2不等式恒成立问题的解决方法 1ax2≥-x-1, 当0<x≤1时，问题转化为 恒 ax2≤-x+1 方法一分类讨论 成立 例2若关于x的不等式a.x2+(a-1)x十 a一1<0对于x∈R恒成立，求a的取值范围. 由a≥一 点拨解题时应先对最高次项系数进行讨论，然 z但+}+ 后根据不等式的解的情况进行分析讨论. 因为0<x≤1，所以≥1. 解析当a>0时，二次函数y=ax2十(a一1)x十 a一1的图象开口向上，不合题意； 令=则z=-(+2》+日，所以当=1，即 当a=0时，不等式为x十1>0，也不合题意. x=1时，Z取得最大值-2，可得a≥-2. a<0, 所以必有 4=(a-1)2-4a(a-1)<0, 由成三，即来号的装小位 64 第二章一元二次函教、方程和不等式么超 设F-是1（侵- 号)，“a6≤寻成立， 同理可得，当x=1时，F取得最小值0，可得a≤ 原不等式成立. 0.故-2≤a≤0. 点评本题的证明方法称为基本不等式法，基本 综上所述，当x=0时，a∈R;当0<x≤1时， 不等式法是证明含有对称式的条件不等式的一种特 -2≤a≤0. 殊方法.它一般用于不等式的证明，也常用来求具有 微专题3基本不等式及其应用 相同结构特征的函数的最值.依据所证式子的结构凑 基本不等式为历≤“白，其变式为6≤ 出常数因子是解决此类问题的关键 例6(2026·浙江杭州学军中学高一检 口.≤少等基本不等武可 测)已知a>1,b>0,a+b=2,则 。+的 用来比较代数式的大小、证明不等式、求函数 最小值为( 的最值或值域、求参数的取值范围、解实际应 A8+ 32 用题等」 B.4+2 例5已知a>0,b>0,且a+b=1.求证： 112 a+4 C.3+2√2 D.23 解析由题意知a>1,b>0,a十b=2,所以(a ②a++b+2 D+6=1a-1>0,则。+品-[a-1D+61· 点拨构造基本不等式的条件→利用基本不等 式证明→考查等号成立的条件」 (+》-1++分+号+云马 [证明(1)：a>0,b>0,且a十b=1, =+2,当且仅当“2=6 2 2ba-1a十b=2,即a=3- +=a+(日+)=2++分≥2+ 巨，=巨-1时，等号成立，则。号十元的最小值为 是+E. 号成立. 原不等式成立 [答案A (2).a>0,b>0,且a+b=1, 例⑦已知xy为正实数，则工，十2红十y ”x十2yx a++6+2(、a 的最小值为 b+2)°≤42+2a+2)6+2)≤4台 解析原式=2y十立十2，令—>0，则 a+号)6+2)≤1eab+2a+)+<1ea6+ 原或可支为1中2+1+2=中2+1+0)+号≥ 1 1+1ob< 2什2a+②+号-号+2，多显当中2 11 a>0,b>0, 1=a十b≥2va5(当且仅当a=6=2时取等 多1+2公即1-时等号或立，故十 65 重滩点手册高中数学必修第一册（上）UA(浙江专用) 2红y的最小值为+巨。 4 答奥+厄. 又+≥2（当且仅当a=6=时取等号），故 例8已知a>0,b>0,a十b=1,求证： M≥7+2-5 。+6+≥ 4 4 微专题4高阶拓展柯西不等式 点拨这道题有一定的难度，主要难在解题方向 1.柯西不等式 的寻找上，我们知道，要证明一个不等式，主要是对其 (1)柯西不等式的一般形式 进行恰当的恒等变形与放缩变形.这里的“恰当”二字 (a1b1+a2b2+…+anbn)2≤(a+a号+… 十分关键，是确定解题方向与解题策略的核心 +a)(b+b号+…+b品). [证明方法一.1=a十b≥2√ab, ∴.1≥4ab. 当且仅当公-公器=…-云时等号成立 于是(a+日)b+号)≥4a6(a+是)(6+6) (2)二维柯西不等式 4(a2+1)(b2+1)=4(a2b2+a2+b2+1). (a1b1+a2b2)2≤(a+a)(b+b). .a十b=1,∴.a2+b2=1-2ab, 当且仅当公=2时等号成立. .4(a2b2+a2+b2+1)=4(a2b2+1-2ab+1)= 4[(ab-1)2+1]. (3)三维柯西不等式 :1=a十6≥2历（当且仅当a=b=号时取 (a1b1+a2b2+a3b3)2≤(a+a+a)(b+ b号+b3). 等号)， 当且仅当2-4-2时等号成立 6162 63 06c号， 2.柯西不等式的应用 ∴4[aw-1D+1≥4[得-1°+1-25 (1)根式型 综上可件(a+)6+名)≥5. 例9求y=√Jx一4十√15一3x的最大值. 解析要使函数有意义，则 方法=设M=(a+是)6+君)，则 x-4≥0， 15-3x≥0， 解得4≤x≤5。 M=a6+品++号 .函数的定义域为[4,5]，且y>0. 1=a十6≥2a(当且仅当a=6=号时取 由柯西不等式得 y=√x-4+√15-3x 等号)， =√x-4十5·√5-x 1≥2， ① ≤√/12+(W3)2·W(Wx-4)2+(5-x)2 ab =2. 励≥是 ② 当且仅当√3X√x-4=√5-x时等号成立，即当 ①+②，得2-a5≥2 、3 √ab -时画数取最大位2 66 第二章一元二次函教、方程和不等式么 (2)幂式型 2.权方和不等式的应用 例10已知a,b,c均为正数，且a2十b2十 例12已知a>0,b>0,且 2 1 a+2 a+2b 4c2=3,证明：a+b+2c≤3. 1,则a+b的最小值是 证明根据柯西不等式得 1、(W2+1)2 (12+12+12)[a2+b2+(2c)2]≥(a十b+2c)2, 解析81千2a十22a0千2 (*) 则a十b十2c≤3，当且仅当a=b=2c=1时等号 当且收s是中5时，即a=区6=号时 成立.所以a十b+2c≤3. ()式等号成立. (3)分式型 例11已知a,b,c∈R*,求证： 即1≥ 0源含661=2+ (W2+1)2 2 a十b+c3 故a+b的最小值是厄+分 b+cc+aa+b2 面目为+中。+6+3 答家厄+ =(6e+)+(车a+)+(a6+) 侧围已知>0y>0x+ 2,则6.x+5y的最小值是 -a+6+o(6++。》 解析 1 3 1 2=2x++y=2x+y十 =6+)+(e+a)+a+66e++a 12、(1+23)2 4(x+y) 6x+5y +。6≥21+1+1-号 :6x十5y≥1+25)_13+45，故当且仅当 2 2 当且仅当a=b=c时等号成立. 1 4(x十时，6x+5y取得最小值13+43 23 2x+y 2 答案13+4v3 微专题5高阶拓展—权方和不等式 2 1.权方和不等式 例14已知a十b=1,a>0,b>0,则2+ 若a,b,x,y>0,则g+6a+b x+y -,当 1 y a+6的最小值是 且仅当经时取等号。 大家注意到没有，权方和不等式可以看成 42 4 是柯西不等式的变形.由柯西不等式可知 ≥w2+2) 任+9》x+y≥(a+6,因为a,a:x> (a+b)2 =(W2+2)2=6+42. 2 0,所以两边同时除以x十y,可得 ×6 当且仅当 2aba2+6时等号成立. ≥ y 收++。6的最小值为6=反， 4 a+),当且仅当-时等号成立。 x+y x y 答案6十4W2. 67