山西大学附属中学校2026-2027学年高三上学期9月月考（总第三次）数学试题

**基本信息** 高三数学月考卷涵盖函数、数列、几何、概率等核心知识，解答题如第19题以麦穗问题为情境考查概率应用，融合数学思维与现实情境，适配高三一轮复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|命题否定、集合运算、圆锥几何性质、函数奇偶性|单选基础巩固，多选如复数几何意义考查逻辑推理| |填空题|3/15|二项式定理、单位圆三角函数、数列新定义插入|第14题结合数列插入新定义，考查抽象能力| |解答题|5/67|数列证明、立体几何折叠（体积与二面角）、椭圆存在性问题、解三角形综合、概率应用|第16题折叠问题融合空间观念，第19题麦穗情境体现数学建模与数据观念，贴合高考命题趋势|

山西大学附中 2026~2027学年第一学期高三9月月考（总第三次） 数学试题 考查时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，且，则下列不等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个圆心角为直角的扇形，则该圆锥的母线长为（     ） A．2 B． C．4 D． 5．已知，且，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知是上的奇函数，当时，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 7．设函数，若恒成立，且在上最大值与最小值的和为0，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．5 D．4 8．若，数列的前n项和为，且，，则（   ） A．76 B．38 C．19 D．0 二、选择题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知复数，，在复平面内，，的对应点分别为，，为坐标原点，则（    ） A．的虚部为 B． C．向量，的夹角为 D．向量在上的投影向量为 10．若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则下列结论正确的是（    ） A．角C一定为锐角 B． C． D．的最小值为 11．已知函数与的部分图象如图所示，为两曲线相邻的交点的横坐标，记，则（   ） A． B．的最小正周期为 C．若在上有9个零点，则 D． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．已知，二项式的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为__________. 13．如图，单位圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，点位于第一象限，点，，为正三角形，则__________． 14．已知数列满足，数列满足在任意的之间插入数列的项()，从而构成一个新数列，设的前n项和为，则=_______(请用数字作答). 四、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（本小题13分）已知数列中，，且满足．设，． (1)证明为等比数列，并求通项公式； (2)求数列的通项公式. 16．（本小题15分）已知边长为4的菱形（如图1），与相交于点为线段上一点，将三角形沿折叠成三棱锥（如图2）． (1)证明：； (2)若三棱锥的体积为8，二面角的余弦值为，求的长． 17．（本小题15分）已知椭圆E：（）的离心率为，，，且原点到直线的距离等于． (1)求椭圆的方程； (2)设点（）在椭圆上，直线交轴于点．点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得?若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 18．（本小题17分）在中，角所对的边分别为，已知． (1)判断的形状； (2)若边上的两条中线相交于点，求； (3)若在边上，在边上，且，设，求的最大值． 19．（本小题17分）有一位老师叫他的学生到麦田里，摘一颗全麦田里最大的麦穗，期间只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头．结果他的学生两手空空走出麦田，因为他不知道前面是否有更好的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到．假设该学生在麦田中一共会遇到颗麦穗（假设颗麦穗的大小均不相同），最大的那颗麦穗出现在各个位置上的概率相等，为了使他能在这些麦穗中摘到那颗最大的麦穗，现有如下策略：不摘前颗麦穗，自第颗开始，只要发现比他前面见过的麦穗都大的，就摘这颗麦穗，否则就摘最后一颗．设，该学生摘到那颗最大的麦穗的概率为．（取） (1)若，，求； (2)若，，则在摘到最大麦穗的条件下，最大麦穗出现在第颗的概率； (3)若取无穷大，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年9月4日高中数学作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 2．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 3．已知，且，则下列不等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A，因为，所以，所以成立. 选项B，若，则不成立. 选项C，因为，并且(，等号取不到)，所以， 因此，成立. 选项D，，等号在时成立，但是，所以等号无法取到，因此. 4．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个圆心角为直角的扇形，则该圆锥的母线长为（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 5．已知，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由， 又，所以， 所以， 所以， 又，所以， 所以， 故选：D. 6．已知是上的奇函数，当时，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于均为上的单调递增函数，故在上单调递增， 由于是上的奇函数，故在上单调递增， 又，故， 由得，等价于， 所以，解得. 故选：A. 7．设函数，若恒成立，且在上最大值与最小值的和为0，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【详解】，周期为， ，则是周期， ，即是正偶数， 当时，， 已知最大值与最小值的和为0， 最大值与最小值互为相反数， 若，区间，最大值为，最小值为1，和不为0； 若，区间，最大值为，最小值为，和不为0； 若，区间，最大值为，最小值为，和为0； 的最小值为6． 8．若，数列的前n项和为，且，，则（   ） A．76 B．38 C．19 D．0 【答案】B 【详解】因为函数的定义域为， 且， 所以函数的图象关于点成中心对称， 所以，若，则. 由，得当时，， 两式相减得，整理得，即， 因为，，所以，即， 所以对任意正整数，都有， 所以数列为常数列，故，即， 由得数列是等差数列， 所以， 故， 所以. 故选：B. 二、多选题 9．已知复数，，在复平面内，，的对应点分别为，，为坐标原点，则（    ） A．的虚部为 B． C．向量，的夹角为 D．向量在上的投影向量为 【答案】BCD 【详解】对于A项，，则，则的虚部为，故A错误； 对于B项，，则，故B正确； 对于C项，，，则，， 设向量，的夹角为，故， 因为，所以，故C正确； 对于D项，向量在上的投影向量为，故D正确； 10．若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则下列结论正确的是（    ） A．角C一定为锐角 B． C． D．的最小值为 【答案】BC 【分析】对于A，根据三角降幂公式将条件化成即可判断；对于B，在A得到后，利用正弦定理与内角关系化简得到，即可判断；对于C，将已得式利用余弦定理即可化简得到；对于D，利用，将化成，借助于基本不等式，求得其最值即可判断. 【详解】对于A，由可得， 因，代入得：，则，角为钝角，故A错误； 对于B， 由A得，利用正弦定理，， 又， 代入上式，可得， 即，显然两边同时除以， 可得，因，则成立，故B正确； 对于C，由A项已得，由余弦定理，， 化简得：，即，故C正确； 对于D，因， 由B项得，代入可得：， 因，，由， 当且仅当，即时等号成立，此时取得最大值为，故D错误. 故选：BC. 11．已知函数与的部分图象如图所示，为两曲线相邻的交点的横坐标，记，则（   ） A． B．的最小正周期为 C．若在上有9个零点，则 D． 【答案】ACD 【分析】由求导得，根据图像分和两种情况分析求出求得周期可判断A、B；由求得相邻两零点的距离，结合在上零点的个数求出的范围即可判断C；先由，得，再由及求得的值，进而通过诱导公式结合三角恒等变换求解即可判断D. 【详解】对于A，B，，若，则，得， 所以，又且，得， 此时，符合题意； 若，则，得，所以， 又，且，得，此时， 在其单调递减区间内，与图象不符，所以，最小正周期为，故A正确，B错误； 对于C，由得，所以相邻两零点的距离为， 因为在上有9个零点，所以， 即，故C正确； 对于D，由，得， 又由，且， 得， 所以 ，故D正确． 三、填空题 12．已知，二项式的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为__________. 【答案】 【详解】因为二项式的展开式中所有项的系数和为64， 所以，或舍去， 二项式的通项公式为， 令， 所以展开式中的常数项为. 故答案为： 13．如图，单位圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，点位于第一象限，点，，为正三角形，则__________． 【答案】/ 【详解】， 因为，且 所以. 因此. 14．已知数列满足，数列满足在任意的之间插入数列的项()，从而构成一个新数列，设的前n项和为，则_______(请用数字作答). 【答案】 【分析】整理变形得，则根据常数列得到，再分析得为新数列的第43项，最后利用分组求和法即可得到答案. 【详解】因为，即， 可得，可知为常数列，则， 故，根据题意， 当时，新数列中前共有数列的前项， 故为新数列的第项，当时，， 即为新数列的第43项，且与之间插入了共13项， 则. 4、 解答题 15．已知数列中，，且满足．设，． (1)证明为等比数列，并求通项公式； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1) 证明：，， ，， ，3分，4分 ，5分为等比数列，公比为，首项为， ；6分 【详解】（2），，，7分 ，，， ∴当时， ，12分 又， . 13分 16．已知边长为4的菱形（如图1），与相交于点为线段上一点，将三角形沿折叠成三棱锥（如图2）．    (1)证明：； (2)若三棱锥的体积为8，二面角的余弦值为，求的长． 【答案】(1) 因为四边形是边长为4的菱形，并且， 所以均为等边三角形， 故，且， 因为平面平面，且， 所以平面 4分 因为平面，所以．5分 (2) （2）设到平面的距离为，因为等边三角形的边长为4， 所以三棱锥的体积为，所以，6分 因为，所以平面，7分 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系；8分    则，，设9分 因为⊥平面，所以是平面的一个法向量，10分 设平面的法向量为， 又， 故 取，则， 得，12分 因为二面角的余弦值为， 所以14分 解得：或（舍去），此时．15分 17．已知椭圆E：（）的离心率为，，，且原点到直线的距离等于． (1)求椭圆的方程； (2)设点（）在椭圆上，直线交轴于点．点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得?若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 【详解】（1）由，得，    1分 由点，可知直线CD的方程为，即． 由于原点到直线CD的距离为，即，2分 得，，4分 所以椭圆的标准方程为．5分 (2)存在点，理由如下： 假设存在点满足题意，设，6分 ，直线DA的方程为：， 令，；8分 ，直线DB的方程为：，直线DB与x轴交于点N， 令，则．  10分 ，， ， 则，    12分 所以，（注：点在椭圆E上，），13分 则，存在点使得．15分 18．在中，角所对的边分别为，已知． (1)判断的形状； (2)若边上的两条中线相交于点，求； (3)若在边上，在边上，且，设，求的最大值． 【详解】（1）由正弦定理得．1分 即，2分又，，， 所以或， ①当时，是等腰三角形；②当时，是直角三角形. 因此是等腰三角形或直角三角形.4分 （2）若，则，，不满足三角形三边关系，舍去；5分 若，则，， 因为点是边上的两条中线的交点，所以为此的重心，且 根据重心性质可得， 则.10分 （3）若为等腰三角形，且， 在中，由正弦定理得，其中，11分 故，结合得，，12分 整理得，故，13分 由辅助角公式可得，其中， 故，解得，15分 若为直角三角形，即， 在中，，即，16分 因此.17分 19．有一位老师叫他的学生到麦田里，摘一颗全麦田里最大的麦穗，期间只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头．结果他的学生两手空空走出麦田，因为他不知道前面是否有更好的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到．假设该学生在麦田中一共会遇到颗麦穗（假设颗麦穗的大小均不相同），最大的那颗麦穗出现在各个位置上的概率相等，为了使他能在这些麦穗中摘到那颗最大的麦穗，现有如下策略：不摘前颗麦穗，自第颗开始，只要发现比他前面见过的麦穗都大的，就摘这颗麦穗，否则就摘最后一颗．设，该学生摘到那颗最大的麦穗的概率为．（取） (1)若，，求； (2)若，，则在摘到最大麦穗的条件下，最大麦穗出现在第颗的概率； (3)若取无穷大，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值． 【详解】（1）这4颗麦穗的位置从第1颗到第4颗排序，全排列有种情况. 要摘到那颗最大的麦穗，分为以下两种情况： ①最大的麦穗是第3颗，其余麦穗任意排列，有种情况； ②最大的麦穗是最后1颗，且前3颗里第二大的麦穗出现在第1颗或第2颗，其余麦穗任意排列，有种情况. 所以. 4分 （2）设事件：成功摘到最大麦穗；事件：最大麦穗出现在第个位置. 最大麦穗出现在每个位置的概率均等，故. 由全概率公式得. 当时，最大的麦穗落在前颗麦穗之中，不会被摘到，； 当时，最大的麦穗被摘到，当且仅当前颗麦穗中的最大值的一颗在前颗麦穗中，此时. 所以当，时，9分 又因为，10分 所以，即所求概率为.11分 （3）由全概率公式得.12分 因为，所以. 令.13分 所以，令，即，则. 当时，，函数在区间是单调递增； 当时，，函数在区间是单调递减；15分 所以. 所以的最大值为且取最大值时的值为.17分 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $