精品解析：山西现代双语学校2026-2027学年高三上学期9月阶段检测数学试题

2026-2027学年高三年级上学期9月月考 数学试题 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分 试题个数：共19题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 3. 已知是定义在上的奇函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知定义在上的可导函数满足恒成立，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于的方程有6个根，则的取值范围为（） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是的极大值点 B. 若的图像关于对称，则 C. 若在上的最大值为，则 D. 当且仅当时，恰有三个零点 11. 已知双曲线的左､右焦点分别为在双曲线右支上，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 到的两条渐近线的距离之积为 D. 若，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若幂函数在上单调递增，则实数m的值为________． 13. 已知命题：“,”为假命题，则的取值范围是____________． 14. 已知正实数，满足，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 Ⅰ求角A的大小； Ⅱ若，求面积的最大值． 16. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）求函数的单调区间． 17. 如图，在三棱锥中，平面，，.点为的中点，点为的中点. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面所成二面角的余弦值. 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，函数有两个极值点． （i）求实数的取值范围； （i i）当满足时，求实数的最大值． 19. 已知函数的图象在点处的切线方程为 . （1）用表示出； （2）若在上恒成立，求的取值范围； （3）证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高三年级上学期9月月考 数学试题 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分 试题个数：共19题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义判断即可. 【详解】因为， 则． 2. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 所以， 因为， 所以，即，故选项A正确. 3. 已知是定义在上的奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由奇函数的性质可知，解得. 4. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 5. 已知定义在上的可导函数满足恒成立，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造，求导得到其单调性，从而得到不等式，得到答案 【详解】设，则， 所以在上单调递增. 于是，即，解得. 6. 函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将命题等价转化为研究在上的性质，然后分类讨论即知使得命题成立的充要条件是，最后比较选项即可得出答案. 【详解】由于是定义在上的递减函数，故命题等价于在上单调递增且取值恒为正. 若，则，从而在上取值不恒为正，不满足条件； 若，则对任意都有， 且由知对任意都有. 故在上单调递增且取值恒为正，满足条件. 所以使得原命题成立的充分必要条件是，从而观察选项可知A是充分不必要条件，B是充要条件，C，D是既不充分也不必要条件. 故选：A. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，可判断大小，构造函数，求导确定单调性，可判断大小，即可求解. 【详解】因为，所以，则． 令，则， 当时，单调递增， 当时，，单调递减， 则， 则，即．故． 8. 已知函数，若关于的方程有6个根，则的取值范围为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出分段函数图像，换元，统计在不同取值时解的个数；原方程要有个根，等价于关于的二次方程存在两个不等实根，两根都落在区间，利用二次函数根的分布列出不等式组求解参数范围． 【详解】作出函数的大致图象， 令．当或时，方程有个根； 当或时，方程有个根； 当时，方程有个根． 原方程可化为， 要使原方程有个根，关于的方程必须有两个不同的根，且两个根都属于， 令， 因为二次项系数为正，所以需满足，解得， 所以的取值范围为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】 直接利用不等式的性质的应用和基本不等式的应用求出结果． 【详解】解：因为，，且，所以 所以，故A正确； 对于B：，所以，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C：，当且仅当时取等号；故错误． 对于D：已知，，且，所以，则，当且仅当时取等号；故D正确． 故选：ABD 【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 10. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是的极大值点 B. 若的图像关于对称，则 C. 若在上的最大值为，则 D. 当且仅当时，恰有三个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，通过求导判断函数的单调性，进而确定极值点；对于B，根据函数的对称性判断；对于C，结合函数单调性和最值情况分析取值范围；对于D，结合函数单调性和极值情况分析零点个数. 【详解】对于A，， 所以当时，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 所以是的极大值点，故A正确； 对于B，若函数的图像关于对称，则， 又 ， 所以，所以，故B正确； 对于C，由A选项可知在和上单调递增，在上单调递减； 所以，又， 要使在上的最大值为， 则或，解得或，故C错误； 对于D，由A可知，，， 当时，，当时，， 要使恰有三个零点，则， 即，解得，故D正确； 故选：ABD 11. 已知双曲线的左､右焦点分别为在双曲线右支上，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 到的两条渐近线的距离之积为 D. 若，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由双曲线的定义可判断A；由双曲线的定义结合可判断B；由点到直线的距离公式代入计算，即可判断C；结合双曲线的定义代入计算即可判断D. 【详解】由双曲线可得：，所以 对于A，点在双曲线右支上，由双曲线的定义可得：，故A正确； 对于B，若，所以， 又因为，则 解得：，故B错误； 对于C，，由可得双曲线的渐近线方程为， 由点到直线的距离公式可得，设点， 到双曲线的两条渐近线的距离之积为， 将代入双曲线方程可得，则， 代入上式可得，故C正确； 对于D，由双曲线的定义可得，所以， 则， 当三点共线时，最小， 且， 故的最小值为，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若幂函数在上单调递增，则实数m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用幂函数概念及单调性即可求解. 【详解】因为是幂函数，所以， 解得或， 又因为幂函数在上单调递增， 所以，故舍去，所以， 故答案为： 13. 已知命题：“,”为假命题，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】首先写出命题的否定，再根据命题的否定为真命题，求的取值范围. 【详解】命题的否定为“，”，为真命题， 当时，恒成立， 当时，，解得：， 综上可得：的取值范围是 14. 已知正实数，满足，则的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】将条件变形为，然后构造函数，，利用导数研究其单调性，则根据得，进而利用基本不等式求解最值即可. 【详解】正实数，，， 令，，当时，， 所以函数在上单调递增， 又，于是， 则，当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为4． 故答案为：4 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 Ⅰ求角A的大小； Ⅱ若，求面积的最大值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 【详解】分析：（1）由正弦定理进行边角互化得． （2）由余弦定理结合基本不等式进行求解． 详解：（Ⅰ）由正弦定理可得： 从而可得：，即 又为三角形内角，所以，于是 又为三角形内角，所以． （Ⅱ）由余弦定理：得：， 所以，所以. 点睛：本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和基本不等式的应用，属于中档题． 16. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）求函数的单调区间． 【答案】（1）单调递减为，单调递增区间为 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）代入后，利用导数与函数单调性的关系即可得解； （2）对求导，分类讨论与，得到的单调情况，从而得解. 【小问1详解】 由题意得，定义域为 ， 则， 令，得；令，得； 所以在上单调递减，上单调递增 【小问2详解】 由题可知函数的定义域为 ， 则， （i）当时，则在定义域上恒成立， 此时函数在上单调递增； （ii） 当时， 令，即，解得； 令，即，解得； 所以在上单调递减，上单调递增 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，上单调递增. 【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： （1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． （2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． （3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． （4）考查数形结合思想的应用． 17. 如图，在三棱锥中，平面，，.点为的中点，点为的中点. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面所成二面角的余弦值. 【答案】（1）以为原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系. 则，，，. 点为的中点，所以. 点为的中点，所以， ，. 计算数量积得. 因此. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，写出各点坐标和向量 ，计算数量积为零，即证垂直； （2）先求平面的法向量，再取直线的方向向量，用向量夹角公式计算正弦值； （3）分别求平面和平面的法向量，利用法向量夹角公式得余弦值. 【详解】以为原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系. 则，，，. 点为的中点，所以. 点为的中点，所以. （1）略 （2）平面经过点，，，其方程为. 所以平面的一个法向量为. 直线的方向向量可取. 设直线与平面所成角为，则. 计算得，，. 所以. （3）设平面的法向量为，平面中. 因此，  令，得. 计算两个法向量的夹角余弦得 结合图形可知，所求二面角为锐角，故余弦值取绝对值， 即平面与平面所成二面角的余弦值为. 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，函数有两个极值点． （i）求实数的取值范围； （i i）当满足时，求实数的最大值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）先把代入函数求，再对求导得，算出即切线斜率，最后用点斜式得出切线方程. （2）（i）先得出和，因有两个极值点，是零点，将变形，设并求导，分析其单调性得最大值，结合图象确定2a范围，进而得到范围. （ii）根据条件得到2a表达式，设，代入化简得表达式，设求导分析单调性，由确定范围，得出范围，进而确定范围，再根据2a表达式设，分析其单调性得最大值，从而得到最大值. 【小问1详解】 当时，， ，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 （i），则， 因为函数有两个不同的极值点，所以是的零点， 由，得． 设，则， 令，得；令，得， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以． 当时，，当时，， 结合的图象的变化趋势可知，，所以， 故实数的取值范围为． （i i）由条件可知，，， 则，且． 不妨令，将代入中， 得，则． 设，，则， 令，则，所以在上单调递减， 则，即，所以在上单调递减． 由得，，所以， 因此在区间上单调递减，即， 于是，所以，则， 又，令，由（ⅰ）可知，在区间上单调递增， 所以，则，解得， 故实数的最大值为． 19. 已知函数的图象在点处的切线方程为 . （1）用表示出； （2）若在上恒成立，求的取值范围； （3）证明： 【答案】（1）， （2） （3）先证左边：由（2）知：当时，在上恒成立， 那么当时，，， 则， 则在上恒成立， 又，中的等号在处取得， 则在上恒成立， 令 依次取，，，…，可得： ，，，…，， ， ， ， .左边得证. 再证右边： 方法一：令，因为， 所以 在上是单调递减函数，在上是单调递增函数， 所以，所以， 所以，所以， 所以， 即，所以右边得证. 方法二：先证明不等式， 证明如下：设， ， 当时，，则在上是单调递增函数， 又， 则当时，，即； 设， 而， 当时， ，则在上是单调递增函数， 又， 则当时，，即； 综上可得，. 设，则， 即，又，则，下同方法一. 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求出切线的斜率，从而得到关于的等式，利用得到 关于的等式. （2）构造函数，分别按照和讨论求解，利用导数求出单调性，从而得到的取值范围. （3）先证左边：由（2）得到当时，在上恒成立，那么当时，在上恒成立；将 依次取，，，…，代入，得到不等式组，将这些不等式组相加计算得到，左边得证.再证右边：方法一：构造函数，利用导数法求出 的单调性，利用单调性得到，从而得到 ，即可得到，通过求和得到，所以右边得证.方法二：利用飘带不等式，，对左边赋值得到，下同方法一进行证明即可. 【小问1详解】 ，， 的图象在点处的切线方程为 ， ，； 又，. 【小问2详解】 由（1）得， 令， 则在上恒成立； ， 令，解得：，； 当，即时，在上恒成立， 在上单调递增，，满足题意； 当，即时， 若，则 ，则在上单调递减， 此时，不合题意；综上所述：的取值范围为. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $