精品解析：山西大学附属中学校2026-2027学年高三上学期8月月考（总第一次）数学试题

山西大学附中2026～2027学年第一学期高三8月月考（总第一次） 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知复数，则z的虚部为（ ） A. 1 B. 2 C. i D. 2. 样本数据3，3，4，5，6，7，7，8的第80百分位数为（    ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 若集合，，则（   ） A. B. C. D. 4. 记为等差数列的前项和，，，则（   ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 5. 已知，，则（    ） A. B. C. D. 6. 设函数，曲线与恰有一个交点，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 已知直线，圆，若圆上有且仅有三个点到直线的距离为，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 8. 设为空间中64个点构成的集合，点，记样本空间，从中随机取一个点，定义随机变量如下：对中的每个点，令，则的数学期望值为（    ） A. B. C. 0 D. 二、选择题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知正实数，，满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线的焦点为，过的一条直线交于两点，过作直线的垂线，垂足为，则（    ） A. 的坐标为 B. C. D. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数且，，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知双曲线的虚轴长是实轴长的3倍，则的离心率为__________. 13. 已知向量，，若，则____________． 14. 在三棱锥中，若，，二面角为，则三棱锥外接球的表面积为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 在中，角，，的对边分别为，，，已知， （1）证明：为钝角三角形； （2）若的面积为，求的值. 16. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． （1）求的方程； （2）过点的直线交于两点，为坐标原点.若的面积为，求直线的方程． 17. 如图，四棱锥中，底面，，． （1）若，证明：平面； （2）若，且，求二面角的正弦值． 18. 已知函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； （3）设，分别为在区间的极值点和零点，比较与的大小，并证明你的结论. 19. 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，其中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为. （1）求，，的值； （2）求的值（用n表示）； （3）求的数学期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中2026～2027学年第一学期高三8月月考（总第一次） 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知复数，则z的虚部为（ ） A. 1 B. 2 C. i D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为复数，所以z的虚部为2. 2. 样本数据3，3，4，5，6，7，7，8的第80百分位数为（    ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】将数据从小到大排列后使用百分位数的计算方法即可求解. 【详解】数据从小到大排列为3，3，4，5，6，7，7，8，共8个数据， ，则第80百分位数为第7位数据7. 3. 若集合，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，即，解得， 则，故. 4. 记为等差数列的前项和，，，则（   ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】因为数列为等差数列，则，即， 且，则， 可得公差，所以. 5. 已知，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，， 所以， . 6. 设函数，曲线与恰有一个交点，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】令，可得，令，将原题问题转化为恰有一个零点，进而结合函数为偶函数，可得，进而求解. 【详解】令，即，可得， 令，原题意等价于曲线恰有一个零点， 又，即函数为偶函数， 可知零点只能是，可得，即，解得，经检验符合题意. 综上所述：． 故选：C. 7. 已知直线，圆，若圆上有且仅有三个点到直线的距离为，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆心到直线的距离，即可判断. 【详解】圆的圆心到直线距离， 若圆上有且仅有三个点到直线的距离为，则，即. 故选： D. 8. 设为空间中64个点构成的集合，点，记样本空间，从中随机取一个点，定义随机变量如下：对中的每个点，令，则的数学期望值为（    ） A. B. C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，根据古典概型求相应的概率，进而可得期望. 【详解】由题意可知， 且随机变量的取值为，，，，，，0，1，2，3，4，5，6. 依题意，若，则， 根据对称性可得， 同理可知， ，， ，， 所以. 二、选择题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知正实数，，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断AB；举反例，可判断C；利用二次函数的范围可判断D. 【详解】已知正实数  满足 ， 选项 A：，当且仅当  时取等号， 故 ，当且仅当  时取等号，故A正确； 选项 B：由均值不等式，， 当且仅当  时取等，故B正确； 选项 C：取 ，则 ， 满足，但不满足 ，故C错误； 选项 D：代入 ，得 ， 当且仅当  时取等，故D正确. 故选：ABD 10. 已知抛物线的焦点为，过的一条直线交于两点，过作直线的垂线，垂足为，则（    ） A. 的坐标为 B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由抛物线方程易得焦点坐标，判断A；由抛物线定义判断B；设直线，与抛物线方程联立得韦达定理，利用弦长公式以及数量积的坐标表示判断C，D. 【详解】由可知抛物线的焦准距，则，则焦点的坐标为， 准线为，由抛物线定义可知，故A错误，B正确； 显然直线的斜率不为0，可设，，， 联立方程，消去x可得， 则，，， 则，, 故，当且仅当时，等号成立，故C正确； 又因为，， 则，所以不成立，故D错误. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数且，，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】先求的周期，再求，再举出不是奇函数但是满足题意的函数，最后根据周期性讨论的值. 【详解】由题可知：，由得，对两边求导得：，即得， 所以关于中心对称，所以，因为为偶函数，所以， 根据关于中心对称得，所以，所以， ，所以A正确，B正确； 对于C，令，其导数为偶函数，且满足，，但是不是奇函数，C错误； 对于D，因为，所以，即， 的周期为8，考虑的前八项，其中，，， ， 因为可为任意实数，所以不一定为，所以D错误. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知双曲线的虚轴长是实轴长的3倍，则的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线实轴长、虚轴长分别为、，由题意得到，再利用及离心率求解． 【详解】设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，半焦距为，则实轴长为，虚轴长为． 由题意，，所以 又双曲线中，所以 因为，所以． 故双曲线 的离心率为 13. 已知向量，，若，则____________． 【答案】 【解析】 【详解】因为向量，，且， 所以，解得， 所以，所以， 所以. 14. 在三棱锥中，若，，二面角为，则三棱锥外接球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】通过确定三角形外接圆圆心位置并利用相似三角形确定球心位置，最后求解外接球表面积. 【详解】 取中点，因为，所以为等边三角形. 因为且，所以为直角三角形，由对称性可作于点. 因为，，故为二面角，. ，. 因为外接圆圆心位于，外接圆圆心位于， 且，所以球心满足平面且平面， 故，解得，所以球半径， 因此表面积. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 在中，角，，的对边分别为，，，已知， （1）证明：为钝角三角形； （2）若的面积为，求的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）4. 【解析】 【分析】(1)将等式由正弦定理边化角，由和角正弦变形，角化边，再用余弦定理即可作答； (2)由三角形面积定理结合(1)中的即可得解. 【详解】（1）中，由正弦定理得， 即， 则，又，， 又由正弦定理得，而，于是， 由余弦定理得，即为钝角， 所以为钝角三角形； （2）中，因，则， 而，可得，．则有， 所以. 【点睛】思路点睛：解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系． 16. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． （1）求的方程； （2）过点的直线交于两点，为坐标原点.若的面积为，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用椭圆上顶点和离心率，结合直接求出椭圆标准方程； （2）设直线方程，联立椭圆用韦达定理，表达三角形面积，解方程求出参数t即可. 【小问1详解】 由题知，，而离心率为，故， 因为，故，故椭圆方程为：. 【小问2详解】 由题设直线的斜率不为0，且过点， 故设直线，， 由，得， 故，即， 且， 故， 解得， 所以直线或 17. 如图，四棱锥中，底面，，． （1）若，证明：平面； （2）若，且，求二面角的正弦值． 【答案】（1）因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以. 因为，所以， 所以， 又平面，平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）先证，再由勾股定理得，从而，进而证明平面； （2）作，，确定为二面角的平面角，再利用直角三角形求出，由三角函数求其正弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，过点D作于，再过点作于，连接， 因为平面，且平面，所以， 又因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，平面，所以平面， 所以即为二面角的平面角， 因为，则，，， 而为等腰直角三角形，所以， 故，所以. 18. 已知函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； （3）设，分别为在区间的极值点和零点，比较与的大小，并证明你的结论. 【答案】（1）单调递增区间为：；单调递减区间为： （2）由（1）知是在上唯一的极值点，是极大值点. 所以. 所以在上存在唯一的零点. 综上，在区间存在唯一的极值点和唯一的零点. （3），证明如下： 由（2）知，，满足，且， 要比较与的大小，即比较与的大小. . 令，， 则， 所以在上单调递减，，即. 因为在单调递减，， 所以. 【解析】 【分析】（1）通过函数求导可求得单调性. （2）通过单调性以及值域来求得极值点和零点的个数. （3）通过构造函数求解新函数范围，并通过单调性证明. 【小问1详解】 ，. 令，即，因为，，所以， 解得，且. 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，其中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为. （1）求，，的值； （2）求的值（用n表示）； （3）求的数学期望. 【答案】（1），， （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）由题意根据组合数公式、古典概型概率计算公式先求得，再结合全概率公式可得. （2）由全概率公式得递推公式，构造等比数列即可求解. （3）由题意得，结合，由此可得、分布列以及数学期望. 【小问1详解】 根据题意可得恰有0个黑球的概率为， 根据古典概型可得，， 所以. 【小问2详解】 由题意得， 进一步整理可以得到下式： 又 故可以确定是以首项为，公比为的等比数列， 所以 ； 【小问3详解】 由题意可得①， ②， ①-②，得， 因为，所以. 所以，的概率分布列为： 0 1 2 ， 所以的数学期望为定值1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $