专题04 等腰三角形重难点题型汇编（专项训练）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 以分类讨论为基础，动点综合为进阶，辅助线技巧为突破，构建等腰三角形从概念辨析到动态应用的完整解题体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分类讨论|4题型11题|腰底/顶底角不明分类、中线高位置讨论|从静态概念辨析到图形位置关系推理，培养几何直观与推理意识| |动点综合|2题型10题|速度-时间关系建模、全等/直角三角形判定|结合运动变化分析等量关系，发展空间观念与运算能力| |辅助线应用|2题型11题|截长补短法、作平行线法|通过构造全等转化线段关系，提升数学思维与创新意识|

专题04 等腰三角形重难点题型汇编 常考题型·精准突破 题型1腰和底不明时需分类（高频） 题型2顶角和底角不明时需讨论（重点） 题型3涉及中线、高位置的讨论 题型4等腰三角形个数的讨论（重点） 题型5等腰三角形中动点引起的分类（难） 题型6等边三角形中动点综合问题（难） 题型7等边三角形-截长补短法解决动点综合问题（高频） 题型8等边三角形-作平行线法解决动点综合问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1腰和底不明时需分类（高频） 1．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底长为（     ） A． B． C．或 D．或 2．（2026·四川雅安·一模）在等腰中，，中线将这个三角形的周长分为12和15两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（     ） A．7 B．7或11 C．10 D．8或10 3．（25-26八年级下·河北保定·期末）等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为（     ） A． B． C．或 D．或 4．（25-26七年级下·河南周口·期末）一个等腰三角形两边长分别为4和9，则该三角形周长为（    ） A．17 B．22 C．17或22 D．13 ◆题型2顶角和底角不明时需讨论（重点） 5．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如果等腰三角形的一个内角为，则它的一个底角度数为（   ） A． B． C． D． 6．（19-20八年级上·江苏扬州·期中）等腰三角形有一个内角为，则它的顶角为（    ） A． B． C．或 D．不能确定 7．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）等腰三角形底角为，则此等腰三角形的顶角度数为（    ） A． B． C．或 D． ◆题型3涉及中线、高位置的讨论 8．（25-26八年级上·福建莆田·期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 9．（23-24七年级下·江西景德镇·期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则顶角的度数是（    ） A． B．或 C．或 D．或 10．（25-26八年级上·全国·单元测试）等腰三角形底边上的高与腰的夹角为，则顶角为________． 11．（24-25七年级下·陕西西安·期末）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于______． ◆题型4等腰三角形个数的讨论（重点） 12．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知A，B是两格点，使得为等腰三角形的格点C的个数是（   ） A．3 B．5 C．6 D．8 13．（21-22八年级上·湖北武汉·期末）如图，网格中的每个小正方形的顶点称作格点，图中A、B在格点上，则图中满足△ABC为等腰三角形的格点C的个数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 14．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段是等腰三角形的一边，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为______． ◆题型5等腰三角形中动点引起的分类（难） 15．（25-26八年级上·广东惠州·期中）如图，在等边三角形中，厘米，厘米，点以3厘米/秒的速度运动，点N以v厘米/秒的速度运动．点从点出发，同时点从点出发，设运动时间为秒． (1)用含t的式子表示； (2)若点在线段上运动，点在线段上运动，点的运动速度与点的运动速度相等． ①当时，和是否全等？请说明理由． ②求当点的运动时间为多少秒时，是一个直角三角形． 16．（24-25七年级上·山东淄博·期中）如图（1），在等边中，厘米，点E以2厘米/秒的速度从点B出发向点A运动（不与点A重合），点F以1厘米/秒的速度从点A出发向点C运动（不与点C重合），设点E，F同时运动，运动时间为t秒． (1)在点E，F运动过程中，经过几秒时为等边三角形？ (2)在点E，F运动过程中，的形状能否为直角三角形？若能，请求出时间t的值；若不能，请说明理由． 17．（25-26八年级上·广东湛江·期中）如图，在中，，点、分别从点、点同时出发，沿的边运动，已知点的速度是，点的速度是，当点第一次到达点时，、同时停止运动．    (1)点、同时运动几秒后，、两点重合？ (2)点、同时运动几秒后，可得到等边？ (3)点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰，如果能，请求出此时、运动的时间． 18．（24-25八年级上·吉林松原·期末）如图，在中，，点P从点A出发，以的速度沿线段向终点B运动，同时点Q从点B出发，以的速度，沿射线方向运动．设运动时间为t（秒）． (1)连接，当时，求t的值； (2)当点Q运动到点C的右侧时，连接交于点D，当是等腰三角形时，求t的值； (3)直接写出当t为何值时，是直角三角形？ 19．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）如图，中，，，，动点从出发沿以每秒个单位向运动，动点从出发沿以每秒个单位向运动，、同时出发，设运动时间为秒． (1)用含的式子表示、； (2)当为何值时，为等腰直角三角形？ 20．（25-26七年级上·全国·期中）如图，在中，，，，平分交斜边于点D，动点P从点C出发，沿折线向终点D运动． (1)点P在上运动的过程中，当 时，与的面积相等； (2)点P在折线上运动的过程中，若是等腰三角形，求的度数； (3)若点E是斜边的中点，当动点P在上运动时，线段所在直线上存在另一动点M，使两线段、的长度之和，即的值最小，求此时的长． 21．（25-26八年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在中，，是边上的高，是边上的高，、相交于点，且． (1)求证：． (2)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，点是直线上的一点且．是否存在值，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． ◆题型6等边三角形中动点综合问题（难） 22．（22-23七年级下·吉林长春·期末）在等边中，，动点P以每秒3个单位长度的速度从点A出发在射线上运动，设点P的运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)连结，当时，求t的值； (3)若在线段上存在一点D，且．在点P运动的同时有一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发在线段上运动，当点Q运动到点D时，立即以原速度返回至终点C，当为等腰三角形时，直接写出t的值． 23．（25-26八年级上·四川广元·期中）如图，已知在等边中，厘米，厘米，点以厘米秒的速度从点出发运动，同时点从点出发，设运动时间为秒． (1)点在线段上运动，点在线段上运动，点的运动速度与点的运动速度相等． ①当时，和是否全等？请说明理由； ②当为多少秒时，是一个直角三角形？ (2)若点在线段上运动，点在线段上运动，但点的运动速度与点的运动速度不相等，它们同时出发，是否存在值，使得和全等？若存在，求出的值及点的运动速度；若不存在，请说明理由． 24．（25-26八年级上·广东中山·期中）如图，在等边三角形中，厘米，厘米，点以3厘米/秒的速度运动．点从点出发，同时点从点出发，设运动时间为秒． (1)若点在线段上运动，点在线段上运动，点的运动速度与点的运动速度相等． ①当时，和是否全等？请说明理由． ②求当点，的运动时间为多少秒时，是一个直角三角形． (2)若点的运动速度与点的运动速度不相等．点从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，两点都按顺时针方向沿的三边运动．经过30秒，点与点第一次相遇，求点的运动速度． 25．（25-26八年级上·全国·单元测试）（综合探究）点是边长为3cm的等边的边上的动点，点从点出发，沿线段向点运动． (1)如图1，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，动点，都以的速度同时出发，设运动时间为，连接，交于点，连接． ①当为何值时，是直角三角形？ ②在，运动的过程中，会发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； (2)如图2，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，连接交于点，动点，都以的速度同时出发，设运动时间为，连接，当为何值时，是等腰三角形？ ◆题型7等边三角形-截长补短法解决动点综合问题（高频） 26．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）【初步感知】 （1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段，，之间的数量关系为__________，请证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接，．请问：是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 27．（黑龙江省佳木斯市桦南县2025-2026学年八年级上学期10月期中数学试题）在 中，，点 B 在边上，且，C 是射线上的一个动点（不与点 B重合，且 ），在射线 上截取，连接. (1)当点 C 在线段上时，如图①，求证:; (2)当点C在线段的延长线上时，如图②和图③，线段，， 之间又有怎样的数量关系?直接写出你的猜想，不需要证明. 28.（24-25七年级下·山东烟台·期末）已知是等边三角形，点是所在直线左侧的一动点，且在边的上方． (1)如图1，平分，连接．求证：； (2)如图2，若，点是延长线上一点，连接交于点． ①求的度数； ②若点为的中点，，探究线段之间的数量关系． ◆题型8等边三角形-作平行线法解决动点综合问题（难） 29．（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）在等边三角形中，E是折线上的动点，D为射线上任意一点，且． (1)如图①，当动点E在边上时，连接、，求证：； (2)如图②，当动点E是边的中点时，判断的形状，并说明理由； (3)如图③，当动点E在边上时，求证：； (4)连接，若，是直角三角形，直接写出的长． 30．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）小新在学习完等边三角形后，想进一步探究等边三角形的性质，设计了等边三角形中的双动点问题．已知，在等边三角形中，分别为边上的动点，且不与端点重合，连接． 【初步探究】 （1）如图1，当时，求的度数； 【深入探究】 （2）如图2，当在移动时，若始终保持，在的右侧作，交于．求证：； 【知识迁移】 （3）如图3，若，在运动时始终保持，在的右侧作，且，连接，试判断的数量关系，并证明你的结论． 31．（25-26八年级上·河北衡水·期中）等边的边长为10，P是边上一动点，点Q是射线上一动点． (1)如图1，当时，求证：； (2)当点Q在延长线上时，连接，交边于点D，始终保证D是线段的中点． ①如图2，，作交于点E，求的长； ②如图3，作于点F．线段的长是否发生变化？若不变，求线段的长；若发生变化，请说明理由； ③如图4，长为1的木条在边上，且．若②中的点F落在木条上（包括端点），请直接写出的取值范围． 32．（25-26八年级上·四川达州·开学考试）在等边三角形中，是边的延长线上一点，是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． (1)如图1，若点在边上，求证：； (2)如图2，若点在边的延长线上，请探究线段，与之间的数量关系，并说明理由． 综合攻坚·知能拔高 1．（22-23八年级上·全国·期末）已知等腰三角形的周长为，以一腰为边作等边三角形，其周长为，则等腰三角形的底边长是（     ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·山东枣庄·开学考试）如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C应该有（     ）个． A． B． C． D． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在等边中，三个内角的角平分线相交于点，过点作的平行线分别交，于点，．若，则的周长为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）如图，点A、C、B在同一条直线上，和都是等边三角形，、分别与，交于点M、N，连接，有如下结论：①；②；③为等边三角形；④其中正确的结论有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 5．（25-26八年级下·甘肃兰州·期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，若，则的长为_____． 6．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，若，，，是中点，点在线段上以的速度由点到点运动，同时点在线段上由点到点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为_________时，能使与以、、三点为顶点所构成的三角形全等． 7．（2023·江苏盐城·模拟预测）已知为等边三角形，点为直线上一动点（点不与点，点重合）．以为边作等边三角形，连接． (1)如图，当点在边上时． 求证： ； 直接写出线段，与三者之间的数量关系：______（不需证明）； (2)如图，当点在边的延长线上时，其他条件不变，请画出图形，写出，，三者之间存在的数量关系，并写出证明过程． 8．（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，数学实践活动小组为了测量一幢楼的高度，在旗杆与楼之间选定一点（点在同一直线上），测得，点到楼底的距离，旗杆的高度为．若旗杆与楼之间的距离，请你计算楼的高度． 9．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）【发现问题】 在综合与实践课上，小宣遇到了如下问题： (1)如图，，，求边上的中线的取值范围．请你帮小宣解决此问题，的取值范围是 ； 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【灵活运用】 (2)大为同学又遇到了新的问题．如图，是的中线，是的中线，，求证：；请你尝试帮助该同学解决问题． 【拓展延伸】 (3)如图，在中，，，与相交于点，，，，的面积为，则的面积是________． 10．（25-26七年级下·上海宝山·期末）如图，已知：、都是等边三角形，连接分别是线段的中点． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形． 11．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，在中，，，，动点、同时从A、B两点出发，分别在、边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为． (1)当t为何值时，为等边三角形？ (2)当t为何值时，为直角三角形？ 12．（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索． 【模型呈现】 (1)如图①，在等腰直角三角形中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，猜想，与之间满足的数量关系，并说明理由； (2)【模型应用】如图②，在等腰直角三角形中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，，，则的长为________； (3)【深入探究】如图③，和都是等腰直角三角形，，，，且点E在上，连接，试猜想线段与线段的位置关系，并说明理由． 13．（25-26七年级下·四川达州·期末）阅读理解： 问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点N，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． (1)方法积累：结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． (2)问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段之间的数量关系，并说明理由； (3)问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请写出线段之间的数量关系． (4)实际运用：在（3）的条件下，已知，，，动点P从B出发，沿线段以2个单位每秒向C运动，到达C后立即原路原速度返回至B停止，运动时间为t秒，请直接写出使得的所有t的值． 14．（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）综合实践 数学是一门充满乐趣，奥妙，又极具探索的学科，对一个人的思维也是一种“挑战”．几何图形变幻无穷，但只要我们借助图形的直观，从特殊情形出发，逐步“从特殊到一般”进行探索，思路和方法自然就会显现出来．于是数学课上，刘老师出示了以下的题目：如图，在等边中，点在上，点在的延长线上，且，试确定线段与的大小关系，并说明理由． 小优与同桌小秀讨论后，进行了如下解答： (1)【特殊情况，归纳猜想】如图，当为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出你的结论： （选填“”、“”或者“=”）； (2)【特例启发，推理证明】如图2，当不是的中点时，小优和小秀认为（1）中的结论仍然成立，所以他们尝试过点E作，交于点F．刘老师肯定了这种做法，请你帮助小优和小秀完成接下来的证明过程； (3)【拓展延伸，问题解决】当点E在的延长线上时，点D在边上，且，请自己画图，并探究（1）中的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． 15．（25-26七年级下·辽宁阜新·阶段检测）在中，，，点为直线上一动点，以为直角边在的右侧作等腰直角，使． (1)当点在线段上时，如图1，请判断与的位置关系，并说明理由； (2)当点在线段的延长线上时，如图2，判断三条线段数量关系，并说明理由； (3)当点在线段的延长线上时，直接判断与的位置关系，并直接写出三条线段的数量关系． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 等腰三角形重难点题型汇编 常考题型·精准突破 题型1腰和底不明时需分类（高频） 题型2顶角和底角不明时需讨论（重点） 题型3涉及中线、高位置的讨论 题型4等腰三角形个数的讨论（重点） 题型5等腰三角形中动点引起的分类（难） 题型6等边三角形中动点综合问题（难） 题型7等边三角形-截长补短法解决动点综合问题（高频） 题型8等边三角形-作平行线法解决动点综合问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1腰和底不明时需分类（高频） 1．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底长为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】分3cm的边为腰、底两种情况讨论，验证能否构成三角形后确定底长. 【详解】解：分两种情况讨论： 当为腰长时，底边长为， ∵， ∴无法构成三角形，此情况舍去. 当为底边长时，腰长为. ∵， ∴可构成三角形，此情况成立，故该等腰三角形的底长为． 2．（2026·四川雅安·一模）在等腰中，，中线将这个三角形的周长分为12和15两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（     ） A．7 B．7或11 C．10 D．8或10 【答案】B 【分析】分两种情况讨论中线分周长的组合，结合等腰三角形性质列方程组，求解后验证三边关系． 【详解】解：如图，设等腰的腰长，底边长， ∵是边上的中线， ∴， 分两种情况：情况①当时， 解得， ∵， ∴能构成三角形； 情况②当时， 解得， ∵， ∴能构成三角形． 综上，底边长为7或11． 3．（25-26八年级下·河北保定·期末）等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】分腰长为、腰长为两种情况讨论，结合三角形三边关系排除不成立的情况后计算周长． 【详解】解：等腰三角形的两边长分别为和， 分两种情况讨论： ①当腰长为时，三边长为，，， ， 不能构成三角形； ②当腰长为时，三边长为，，， ， 能构成三角形，周长为． 4．（25-26七年级下·河南周口·期末）一个等腰三角形两边长分别为4和9，则该三角形周长为（    ） A．17 B．22 C．17或22 D．13 【答案】B 【分析】分情况讨论等腰三角形的腰长，再结合三角形三边关系验证能否构成三角形，舍去不符合的情况，即可求出正确周长． 【详解】解：分两种情况讨论： ①若腰长为，底边长为， ，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去该情况； ②若腰长为，底边长为， ∵，，满足三角形三边关系，可以构成三角形， ∴该三角形的周长为． ◆题型2顶角和底角不明时需讨论（重点） 5．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如果等腰三角形的一个内角为，则它的一个底角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，分类讨论是解答的关键． 根据等腰三角形两底角相等的性质及三角形内角和为，分情况讨论已知内角为底角和顶角求解即可． 【详解】解：∵三角形内角和为，等腰三角形的两个底角相等 若该内角为底角，则两底角之和为，不符合三角形内角和定理， ∴该内角只能是顶角， ∴底角度数为． 故选：B． 6．（19-20八年级上·江苏扬州·期中）等腰三角形有一个内角为，则它的顶角为（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质可分为顶角和底角进行求解． 【详解】解：分情况讨论，当等腰三角形的一个内角为顶角时，其顶角为； 当为底角时，则其顶角为； 故选：C． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 7．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）等腰三角形底角为，则此等腰三角形的顶角度数为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质．根据“等腰三角形的两底角相等”，即可求解． 【详解】解：∵等腰三角形底角为， ∴此等腰三角形的顶角度数为． 故选：B ◆题型3涉及中线、高位置的讨论 8．（25-26八年级上·福建莆田·期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义以及直角三角形两锐角互余，通过分等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况，并画出对应的图形进行分类讨论是正确解答本题的关键． 【详解】解：设该等腰三角形为，且， ①当等腰三角形为锐角三角形时，如图1所示，    由题意得，， ∴， ∴此等腰三角形的顶角的度数为； ②当等腰三角形为钝角三角形时，如图2，    由题意得：，， ∴， ∴， ∴此等腰三角形的顶角的度数为； 综上所述，此等腰三角形的顶角的度数为或， 故选：D． 9．（23-24七年级下·江西景德镇·期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则顶角的度数是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解．首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为，另一种情况等腰三角形为钝角三角形，即可推出顶角的度数为． 【详解】解：如图1，等腰三角形为锐角三角形，    ∵，， ∴， 即顶角的度数为； 如图2，等腰三角形为钝角三角形，    ∵，， ∴， ∴， 即顶角的度数为； 综上分析可知，顶角的度数是或． 故选：C． 10．（25-26八年级上·全国·单元测试）等腰三角形底边上的高与腰的夹角为，则顶角为________． 【答案】/度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一即可得到答案． 【详解】解：如图，是等腰三角形的底边上的高，， ∴平分， ∴， 即顶角为， 故答案为： 11．（24-25七年级下·陕西西安·期末）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于______． 【答案】或 【分析】此题考查了等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．分别从是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案． 【详解】解：如图（1）， ∵，， ∴， ∵， ∴； 如图（2）， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，它的顶角度数为：或． 故答案为：或． ◆题型4等腰三角形个数的讨论（重点） 12．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知A，B是两格点，使得为等腰三角形的格点C的个数是（   ） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键．根据等腰三角形的定义及结合题意可进行求解． 【详解】解：如图： 分三种情况： ①当时，以点A为圆心，以长为半径作圆，则点即为所求； ②当时，以点B为圆心，以长为半径作圆，则点即为所求； ③当时，作的垂直平分线，则点，，，即为所求， 综上所述，使得为等腰三角形的格点C的个数是6个． 故选：C． 13．（21-22八年级上·湖北武汉·期末）如图，网格中的每个小正方形的顶点称作格点，图中A、B在格点上，则图中满足△ABC为等腰三角形的格点C的个数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质分类讨论即可． 【详解】解：如图所示： 故选：B． 【点睛】本题考查了的等腰三角形的判定，解题的关键是根据等腰三角形的性质讨论腰． 14．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段是等腰三角形的一边，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为______． 【答案】10 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，分别找到以为底和以为腰时，符合题意的点C的个数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，以为底有6个点符合题意； 以为腰有4个点符合题意； ∴一共有10个点符合题意， 故答案为：10． ◆题型5等腰三角形中动点引起的分类（难） 15．（25-26八年级上·广东惠州·期中）如图，在等边三角形中，厘米，厘米，点以3厘米/秒的速度运动，点N以v厘米/秒的速度运动．点从点出发，同时点从点出发，设运动时间为秒． (1)用含t的式子表示； (2)若点在线段上运动，点在线段上运动，点的运动速度与点的运动速度相等． ①当时，和是否全等？请说明理由． ②求当点的运动时间为多少秒时，是一个直角三角形． 【答案】(1)，； (2)①， 理由如下： ∵点的运动速度与点的运动速度相等， ∴当时，厘米． ∵厘米， 厘米． 是等边三角形， ， ． ②秒或秒 【分析】本题考查三角形中的动点问题，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据路程等于速度乘以时间，结合线段的和差关系，列出代数式即可； （2）①利用即可得证；②分和两种情况，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，， ∴． （2）解：① 略 ②是等边三角形， ∴， 设运动时间为秒时，是一个直角三角形． a．当时， ， ， ， ，解得：秒； b．当时， ， ， ， ，解得：秒． 综上所述，当为秒或秒时，是一个直角三角形． 16．（24-25七年级上·山东淄博·期中）如图（1），在等边中，厘米，点E以2厘米/秒的速度从点B出发向点A运动（不与点A重合），点F以1厘米/秒的速度从点A出发向点C运动（不与点C重合），设点E，F同时运动，运动时间为t秒． (1)在点E，F运动过程中，经过几秒时为等边三角形？ (2)在点E，F运动过程中，的形状能否为直角三角形？若能，请求出时间t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)经过5s时，为等边三角形 (2)当运动时间为或6s时，为直角三角形 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半．关键是分情况讨论． （1）由等边三角形的判定，当时，是等边三角形，由此即可解决问题； （2）分两种情况，由直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：，， 则，当时，是等边三角形， 所以，，解得：， 所以，经过时，为等边三角形； （2）解：的形状能为直角三角形． 分两种情况，理由如下： ①如图1，当时， 因为，， 所以，， 因为，， 所以，， 所以，； ②如图2，当时，， 所以，， 所以，． 所以，， 所以，在点E，F运动过程中，当运动时间为或时，为直角三角形． 17．（25-26八年级上·广东湛江·期中）如图，在中，，点、分别从点、点同时出发，沿的边运动，已知点的速度是，点的速度是，当点第一次到达点时，、同时停止运动．    (1)点、同时运动几秒后，、两点重合？ (2)点、同时运动几秒后，可得到等边？ (3)点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰，如果能，请求出此时、运动的时间． 【答案】(1)9秒 (2)3秒 (3)能；12秒 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等边三角形的性质是解题的关键． （1）设点M、N运动t秒后，M、N两点重合，表示出M、N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多，列出方程求解即可； （2）设点M、N运动t秒后，得到等边三角形，表示出，的长，根据，只要，三角形就是等边三角形，列式计算即可； （3）根据证明 得，列式计算即可． 【详解】（1）解：设运动时间为秒，、两点重合，则：，解得， ∴点、同时运动9秒时，、两点重合； （2）解：设运动时间为秒， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴点、同时运动3秒时，可得到等边三角形； （3）解：如图，∵， ∴，    ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 解得：， 此时运动的时间为12秒． 18．（24-25八年级上·吉林松原·期末）如图，在中，，点P从点A出发，以的速度沿线段向终点B运动，同时点Q从点B出发，以的速度，沿射线方向运动．设运动时间为t（秒）． (1)连接，当时，求t的值； (2)当点Q运动到点C的右侧时，连接交于点D，当是等腰三角形时，求t的值； (3)直接写出当t为何值时，是直角三角形？ 【答案】(1)t的值为 (2)t的值为 (3)或 【分析】本题考查了几何动点问题，掌握分类讨论的数学思想是解题关键． （1）由题意得，即可求解； （2）由题意得，分类讨论即可求解； （3）分类讨论，，即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得，即t的值为； （2）解：由题意得：为等边三角形； ∴， ∴， ∵是等腰三角形， 若，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； 若，不成立， 若，不成立， 即当是等腿三角形时，t的值为； （3）解：由（2）知， 当，， 当，如下图： ， ∵， ∴， ∴， ∴，解得； ∵， ∴不可能为直角， 综上所述：或． 19．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）如图，中，，，，动点从出发沿以每秒个单位向运动，动点从出发沿以每秒个单位向运动，、同时出发，设运动时间为秒． (1)用含的式子表示、； (2)当为何值时，为等腰直角三角形？ 【答案】(1)， (2)当秒时，为等腰直角三角形 【分析】本题考查了列代数式， 等腰三角形的性质和判定，几何问题(一元一次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据运动，分别用t表示出、，即可用t表示出； （2）由为等腰直角三角形，得到关于t的方程求解． 【详解】（1）解：∵动点从出发沿以每秒个单位向运动，动点从出发沿以每秒个单位向运动， ∴，， ∴， （2）若为等腰直角三角形，则且∠C=90°， ∴，解得：， 此时满足条件． 故当秒时，为等腰直角三角形． 20．（25-26七年级上·全国·期中）如图，在中，，，，平分交斜边于点D，动点P从点C出发，沿折线向终点D运动． (1)点P在上运动的过程中，当 时，与的面积相等； (2)点P在折线上运动的过程中，若是等腰三角形，求的度数； (3)若点E是斜边的中点，当动点P在上运动时，线段所在直线上存在另一动点M，使两线段、的长度之和，即的值最小，求此时的长． 【答案】(1)当时，与的面积相等 (2)或或或 (3)5 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）由（1）得：，分两种情况：①点P在上，再分，，利用等腰三角形的性质求解即可；②点P在上时，存在，根据等腰三角形的性质求解即可； （3）当M在上，且时，最小，作于，如图3所示：则，证明得到，，则，当点E、M、三点共线时取等号，此时的最小值为的长；由平行线的性质得，由直角三角形的性质得，，求出即可． 【详解】（1）解：当时，与的面积相等，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴与的面积相等． （2）解：由（1）得：， 分两种情况： ①点P在上，如图1所示： 若，则， ∴； 若时，则； 若， 则； ②点P在上时，如图2所示： 存在， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或或； （3）解：当M在上，且时，最小，作于，如图3所示： 则， ∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，当点E、M、三点共线时取等号， ∴的最小值为的长， 此时，则， ∵，， ∴， ∵点E是斜边的中点， ∴ ∴ ∴. 故答案为：5． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含的直角三角形的性质、角平分线的定义、平行线的判定与性质以及最小值问题等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 21．（25-26八年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在中，，是边上的高，是边上的高，、相交于点，且． (1)求证：． (2)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，点是直线上的一点且．是否存在值，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)存在，或 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，线段的和差，熟练掌握三角形全等的判定与性质，采用分类讨论的思想解题，是解题的关键． （1）由，可得，通过即可证明； （2）分两种情形：如图2，当时；如图3，当时，分别进行求解即可得到答案． 【详解】（1）证明： 是边上的高，是边上的高， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：存在， 如图2，当时， 是边上的高，是边上的高， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 如图3，当时， 是边上的高，是边上的高， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 综上所述：或时，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． ◆题型6等边三角形中动点综合问题（难） 22．（22-23七年级下·吉林长春·期末）在等边中，，动点P以每秒3个单位长度的速度从点A出发在射线上运动，设点P的运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)连结，当时，求t的值； (3)若在线段上存在一点D，且．在点P运动的同时有一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发在线段上运动，当点Q运动到点D时，立即以原速度返回至终点C，当为等腰三角形时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)当为等腰三角形时，或 【分析】（1）本题考查列代数式，根据运动路程问题结合线段关系直接列式即可得到答案； （2）本题考查直角三角形所对直角边等于斜边一半及等边三角形性质，分别讨论P在线段上或延长线上两类结合所对直角边等于斜边一半列式求解即可得到答案； （3）本题考查等腰三角形的性质，分类讨论P在线段上或延长线上，根据腰长列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：设点的运动时间为t秒． ∴， ∵，动点以每秒3个单位长度的速度从点A出发在射线上运动， 当时，， 当时， ， 综上所述，； （2）解：如图所示， ①    当P在线段上时， ∵是等边三角形，， ∴，， 当时，， ∴， ∴， 解得：， ②当P在的延长线上时， ∵，∴ ∴， ∴， ∴， 解得： ； （3）解：如图所示，当时，P在上运动时， ∵，当为等腰三角形时，则为等边三角形， ∴， ∵，， P点在上运动的时间为：，Q在上运动的时间为，当Q点从点C运动到点D的过程中，，， ∴， 解得：， 当，即点P在的延长线上时，此时点Q从D运动回点C， 当点Q从D点返回时，，， ∴， 解得： ， 综上所述，当为等腰三角形时，或． 23．（25-26八年级上·四川广元·期中）如图，已知在等边中，厘米，厘米，点以厘米秒的速度从点出发运动，同时点从点出发，设运动时间为秒． (1)点在线段上运动，点在线段上运动，点的运动速度与点的运动速度相等． ①当时，和是否全等？请说明理由； ②当为多少秒时，是一个直角三角形？ (2)若点在线段上运动，点在线段上运动，但点的运动速度与点的运动速度不相等，它们同时出发，是否存在值，使得和全等？若存在，求出的值及点的运动速度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) ①和全等，理由如下， 点的运动速度与点的运动速度相等，即6厘米/秒， ∴当时，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴； ②运动时间为秒或秒时，是一个直角三角形； (2)存在，的值为秒，点的运动速度厘米/秒． 【分析】本题主要考查点的运动，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）①根据点的运动速度与点的运动速度相等，，又，由等边三角形的性质可得，由此可证和全等，； ②分类讨论：当时，是直角三角形；当时，是直角三角形；由含角的直角三角形的性质列式求解； （2）点的运动速度与点的运动速度不相等，设点的运动速度为厘米/秒，分类讨论：当时，（厘米），，当时，（厘米），，据此列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：①略 ②当时，是直角三角形， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点的运动速度与点的运动速度相等，即厘米/秒， ∴， ∴， ∴， 解得，； 当时，是直角三角形， 同理，，则， ∵， ∴， 解得，； 综上所述，运动时间为秒或秒时，是一个直角三角形； （2）解：存在，的值为秒，点的运动速度厘米/秒，理由如下， 点的运动速度与点的运动速度不相等，设点的运动速度为厘米/秒， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 当时，（厘米），， ∴， 解得，（厘米/秒），即点的运动速度为厘米/秒，不符合题意，舍去； 当时，（厘米），， ∴，， 解得，，（厘米/秒）； 综上所述，点的运动速度与点的运动速度不相等，和全等时，的值为秒，点的运动速度厘米/秒． 24．（25-26八年级上·广东中山·期中）如图，在等边三角形中，厘米，厘米，点以3厘米/秒的速度运动．点从点出发，同时点从点出发，设运动时间为秒． (1)若点在线段上运动，点在线段上运动，点的运动速度与点的运动速度相等． ①当时，和是否全等？请说明理由． ②求当点，的运动时间为多少秒时，是一个直角三角形． (2)若点的运动速度与点的运动速度不相等．点从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，两点都按顺时针方向沿的三边运动．经过30秒，点与点第一次相遇，求点的运动速度． 【答案】(1) ①．理由如下： 点的运动速度与点的运动速度相等， 当时，厘米． 厘米． 是等边三角形， ， ． ②秒或秒 (2)厘米/秒或厘米秒 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定、直角三角形的性质、一元一次方程的应用等知识点，根据题意建立正确的方程是解题的关键． （1）①分别根据运动速度和时间计算出的值，易得，，再根据等边三角形的性质可得即可证得；②分别根据和两种情况进行讨论，根据角对应的直角边是斜边的一半建立方程求解即可； （2）设点的运动速度为厘米/秒，然后分点的运动速度更快和点的运动速度更快两种情况，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：①略 ②设运动时间为秒时，是一个直角三角形． a．当时， ， ，解得：秒； b．当时 ，解得：秒． 综上所述，当为秒或秒时，是一个直角三角形． （2）解：设点的运动速度为． ①．若点的运动速度更快，则，解得：； ②若点的运动速度更快，则，解得． 综上，点的运动速度为厘米/秒或厘米秒． 25．（25-26八年级上·全国·单元测试）（综合探究）点是边长为3cm的等边的边上的动点，点从点出发，沿线段向点运动． (1)如图1，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，动点，都以的速度同时出发，设运动时间为，连接，交于点，连接． ①当为何值时，是直角三角形？ ②在，运动的过程中，会发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； (2)如图2，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，连接交于点，动点，都以的速度同时出发，设运动时间为，连接，当为何值时，是等腰三角形？ 【答案】(1)①或；②不会发生变化， (2)1 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，一元一次方程动点问题，等腰三角形的判定，较为综合，根据题意分情况讨论是本题的关键． （1）①当是直角三角形时，分或时两种情况列方程，即可算出t的值；②根据证得，得到，根据三角形外角的性质得到，即可证明； （2）当是等腰三角形时，，然后即可证明，即可根据题意求出t的值． 【详解】（1）解：①∵等边的边长为3cm， ∴，， 根据题意得：，， ∵是直角三角形， 当时，， ∴， ∴， 解得； 当时，， ∴， ， 解得． 当的值为1或2时，是直角三角形． ②不会发生变化，． 是等边三角形， ，． 在和中， ， ， ． ， ． 故不会发生变化，． （2）解：， 当是等腰三角形时，， ． ， ， ，即． ， ，解得． 故当的值为1时，是等腰三角形． ◆题型7等边三角形-截长补短法解决动点综合问题（高频） 26．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）【初步感知】 （1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段，，之间的数量关系为__________，请证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接，．请问：是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）证明： 和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． （2）解：， 和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． ， ， ． （3）有；8 【分析】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）由和是等边三角形，推出，，，又因为，则，即，利用证明即可； （2）证明，得出，结合，则； （3）在射线上截取，连接，易证，则，，得出是等边三角形，则，即点E在角平分线上运动，在射线上截取，连接，证明，得出，推出，由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值． 【详解】（1） 略 （2） 略 （3）解：有最小值，在射线上截取，连接， ， ∵和是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ∵， ∴， 是等边三角形， ， ∴，， 即点E在角平分线上运动， 在射线上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值， ∵，， ∴， ∴ 的最小值为8． 27．（黑龙江省佳木斯市桦南县2025-2026学年八年级上学期10月期中数学试题）在 中，，点 B 在边上，且，C 是射线上的一个动点（不与点 B重合，且 ），在射线 上截取，连接. (1)当点 C 在线段上时，如图①，求证:; (2)当点C在线段的延长线上时，如图②和图③，线段，， 之间又有怎样的数量关系?直接写出你的猜想，不需要证明. 【答案】(1) 证明：在上截取，连接， ，， 是等边三角形， ，， ， 同理可得，也是等边三角形， ， ， 即， ， ， 在和中， ， ， ， ． (2)数量关系为或． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）在上截取，连接，先证明和都是等边三角形，得出，再通过证明得出，结合图形即可得出结论； （2）分两类情况：点在线段、延长线上，作出同（1）中的辅助线，由（1）中的结论得，，，再根据线段的和差进行等量代换即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：若点A在线段上，如图，作同（1）中的辅助线， 由（1）中的结论得，，， ； 若点A在延长线上，如图，作同（1）中的辅助线， 由（1）中的结论得，，， ； 综上所述，数量关系为或． 28.（24-25七年级下·山东烟台·期末）已知是等边三角形，点是所在直线左侧的一动点，且在边的上方． (1)如图1，平分，连接．求证：； (2)如图2，若，点是延长线上一点，连接交于点． ①求的度数； ②若点为的中点，，探究线段之间的数量关系． 【答案】(1) 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)①； ② 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质． （1）根据题意可证， 得到，由此即可求解； （2）①在上截取，连接，可证，得到，，则为等边三角形，由此即可求解； ②在上取点，使，连接，可证，由①知，为等边三角形，则，，，，所以，由即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①在上截取，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； ②在上取点，使，连接， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， 由①知，为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ◆题型8等边三角形-作平行线法解决动点综合问题（难） 29．（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）在等边三角形中，E是折线上的动点，D为射线上任意一点，且． (1)如图①，当动点E在边上时，连接、，求证：； (2)如图②，当动点E是边的中点时，判断的形状，并说明理由； (3)如图③，当动点E在边上时，求证：； (4)连接，若，是直角三角形，直接写出的长． 【答案】(1) 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵， 即， 在和中， ， ∴； (2) 是等腰三角形，理由如下： ∵E为的中点，是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形； (3) 证明：过点E作，如图， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴； ∴， ∴； (4)或 【分析】本题考查了三角形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等边三角形性质及应用，直角三角形性质及应用；解题的关键是掌握等边三角形性质及全等三角形判定定理． （1）由是等边三角形，得，，而，知是等边三角形，有，，可得，，再由边角边的证明方法证明即可； （2）由E为的中点，是等边三角形，得，，又，故，有知，是等腰三角形： （3）过点E作，证明是等边三角形，可得，，即可证，得，从而； （4）分两种情况：当时，由（1）可知，，可得；当时，由（3）可知，，可得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）解：当时，如图， ∴是的中线， ∴， 由（1）知，， ∴； 当时，如图， ∴ ∴， ∴， 由（3）知，， ∴； 综上，的长为或． 30．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）小新在学习完等边三角形后，想进一步探究等边三角形的性质，设计了等边三角形中的双动点问题．已知，在等边三角形中，分别为边上的动点，且不与端点重合，连接． 【初步探究】 （1）如图1，当时，求的度数； 【深入探究】 （2）如图2，当在移动时，若始终保持，在的右侧作，交于．求证：； 【知识迁移】 （3）如图3，若，在运动时始终保持，在的右侧作，且，连接，试判断的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1） （2）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即， 又， 而， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3） 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质等知识，正确判断三角形全等是解答本题的关键． （1）由等边三角形的性质得，再根据三角形内角和定理可求出的度数； （2）由等边三角形的性质得，，得到，根据三角形外角的性质得出，根据证明，可得； （3）过点作交于点，可证明是等边三角形，得，再根据证明可得出，进而可得结论． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴， 又， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）过点作交于点，如图， ∵是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ， ∵， ∴， 又， ∴, ∴， ∴． 31．（25-26八年级上·河北衡水·期中）等边的边长为10，P是边上一动点，点Q是射线上一动点． (1)如图1，当时，求证：； (2)当点Q在延长线上时，连接，交边于点D，始终保证D是线段的中点． ①如图2，，作交于点E，求的长； ②如图3，作于点F．线段的长是否发生变化？若不变，求线段的长；若发生变化，请说明理由； ③如图4，长为1的木条在边上，且．若②中的点F落在木条上（包括端点），请直接写出的取值范围． 【答案】(1) 证明：是等边三角形， ，， ， ； (2)①12；②的长不变，为5；③． 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）结合等边三角形性质证明全等即可； （2）①由（1）知，，先证明是等边三角形，得到，再证明，得到，即可得解； ②作，交于E，由①知，是等边三角形，，则，再根据等边三角形三线合一的性质可得，即可得解； ③分两种情况讨论：当点F在M处时，作，交于E；当F在N处时，结合上述结论求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①由（1）知，， ， ，，， 是等边三角形， ， 是的中点， ， ， ， ； ②如图1，的长不变，理由如下， 作，交于E， 由①知，是等边三角形，， ， ， ， ， 的长不变； ③如图2，当点F在M处时，作，交于E， 由上知，是等边三角形，， ， 此时， 当F在N处时，此时， ， ， ． 32．（25-26八年级上·四川达州·开学考试）在等边三角形中，是边的延长线上一点，是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． (1)如图1，若点在边上，求证：； (2)如图2，若点在边的延长线上，请探究线段，与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由判定，即可得到，进行边的转化即可得到答案； （2）延长并截取，连接，由判定，进行边的转化即可得到结论． 【详解】（1）证明： 如图，在上截取，连接， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， 和是等边三角形， ， ． 在和中， ， ． ， ． （2）解：． 理由：延长并截取，连接，如图2所示： 同（1）得：是等边三角形，， ． ， ． 综合攻坚·知能拔高 1．（22-23八年级上·全国·期末）已知等腰三角形的周长为，以一腰为边作等边三角形，其周长为，则等腰三角形的底边长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据等边三角形的性质求出等腰三角形的腰长，再结合等腰三角形的周长计算底边长，最后验证三角形三边关系即可得到结果． 【详解】解：∵等边三角形周长为，且等边三角形三边相等， ∴等边三角形的边长为，即等腰三角形的腰长为， ∵等腰三角形周长为， ∴等腰三角形的底边长为， 又∵，满足三角形三边关系， 因此等腰三角形底边长为． 2．（22-23八年级下·山东枣庄·开学考试）如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C应该有（     ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分为等腰三角形的底边和为等腰三角形的一条腰两种情况讨论即可． 【详解】解：如图所示： ①为等腰三角形的底边，符合条件的点C有个； ②为等腰三角形的一条腰，符合条件的点C有个； 故符合条件的点C共有个． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在等边中，三个内角的角平分线相交于点，过点作的平行线分别交，于点，．若，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义得，，再根据平行线的性质得，，则，，根据等腰三角形的判定得，，再根据三角形的定义得的周长为：，结合等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，的平分线相交于点P， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的周长为， ∵等边中，， ∴， ∴的周长为． 4．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）如图，点A、C、B在同一条直线上，和都是等边三角形，、分别与，交于点M、N，连接，有如下结论：①；②；③为等边三角形；④其中正确的结论有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质； 先根据等边三角形的性质得到，求出，可证明，从而对①进行判断；然后再证明，则可对②③进行判断；由于的度数不固定，故无法得出． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，④正确； ∴是等边三角形，③正确； ∵，而的度数不一定是， ∴不一定是，即②的结论不正确； 故选：D． 5．（25-26八年级下·甘肃兰州·期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，若，则的长为_____． 【答案】 【分析】根据旋转的性质得出，，可得是等边三角形，即可得出答案． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∵， ∴． 6．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，若，，，是中点，点在线段上以的速度由点到点运动，同时点在线段上由点到点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为_________时，能使与以、、三点为顶点所构成的三角形全等． 【答案】或 【分析】先求出，，的长，以及，再分六种情况：①，②，③，④，⑤，⑥，分别利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是中点， ∴， ①当时， ∴，， ∴， 解得， ∴此时点的运动速度为； ②当时， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴此时点的运动速度为； ③当时， ∴，，， ∴，， ∴解得，， ∴， ∴此时点的运动速度为； ④当时， ∴，，， ∴，， 解得，， ∴， ∴此时点的运动速度为； ⑤当时， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴此时点的运动速度为； ⑥当时， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴此时点的运动速度为； 综上，当点的运动速度为或时，能使与以、、三点为顶点所构成的三角形全等． 7．（2023·江苏盐城·模拟预测）已知为等边三角形，点为直线上一动点（点不与点，点重合）．以为边作等边三角形，连接． (1)如图，当点在边上时． 求证： ； 直接写出线段，与三者之间的数量关系：______（不需证明）； (2)如图，当点在边的延长线上时，其他条件不变，请画出图形，写出，，三者之间存在的数量关系，并写出证明过程． 【答案】(1)①∵和都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中： ​， ． ②． (2)数量关系：，证明如下： 在延长线上取点，作等边，连接． 、为等边三角形， ，，， 即， 在和中： ， ， ∴， 又， ． 【分析】（1）①根据等边三角形的边相等、内角为的性质，因为和都是等边三角形，所以可得到，且，通过等式变形得到夹角，用判定定理证明三角形全等．②利用①中全等三角形对应边相等的结论，结合的线段和关系，推导三条线段的数量关系． （2）先按要求画出点D在延长线上的图形，同理先证明，再根据此时的线段和关系，推导对应的三条线段数量关系． 【详解】（1）①略． ②数量关系：．理由： ∵， ∴， ∵， ∴ （2）略． 8．（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，数学实践活动小组为了测量一幢楼的高度，在旗杆与楼之间选定一点（点在同一直线上），测得，点到楼底的距离，旗杆的高度为．若旗杆与楼之间的距离，请你计算楼的高度． 【答案】楼的高度为 【分析】证明，进一步利用全等三角形的性质可得答案. 【详解】解：由题意，得． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 答：楼的高度为． 9．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）【发现问题】 在综合与实践课上，小宣遇到了如下问题： (1)如图，，，求边上的中线的取值范围．请你帮小宣解决此问题，的取值范围是 ； 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【灵活运用】 (2)大为同学又遇到了新的问题．如图，是的中线，是的中线，，求证：；请你尝试帮助该同学解决问题． 【拓展延伸】 (3)如图，在中，，，与相交于点，，，，的面积为，则的面积是________． 【答案】(1) (2)证明：如图2，延长至点M，使得，连接， 是的中线， ， 在和中， ， ， ，， 是的中线，， ，， ， 在和中， ， ， ， 即； (3)20 【分析】（1）采用“倍长中线法”构造全等三角形，将、、转化到同一个三角形中，再利用三角形三边关系求的取值范围； （2）同（1）采用“倍长中线法”构造全等三角形，结合的条件推导边和角的等量关系，再证明包含和的三角形全等，进而得到角相等； （3）先采用“倍长中线法”构造全等三角形，求出、，再证明，将转化为，最后利用求解即可． 【详解】（1）解：如图1所示，延长至点E，使得，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， 的取值范围是； （2）略； （3）解：如图3，延长至点，使得，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ，即， ， ， ． 10．（25-26七年级下·上海宝山·期末）如图，已知：、都是等边三角形，连接分别是线段的中点． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1)证明：∵、都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴； (2)证明：∵， ∴，， ∵分别是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】（1）首先结合等边三角形的性质证明，进一步可得，然后利用“”证明即可； （2）首先利用“”证明，由全等三角形的性质可得，进而证明，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 11．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，在中，，，，动点、同时从A、B两点出发，分别在、边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为． (1)当t为何值时，为等边三角形？ (2)当t为何值时，为直角三角形？ 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出，当时，为等边三角形，据此列方程求解即可； （2）分两种情况：当时，可证明，据此列方程求解即可；当时，可证明，据此列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，， ， ，， ， 当时，为等边三角形， 解得； （2）解：为直角三角形，分两种情况： 当时， ， ， ， ， 解得； 当时， ， ， ， ， 解得； 综上所述，当或时，为直角三角形． 12．（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索． 【模型呈现】 (1)如图①，在等腰直角三角形中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，猜想，与之间满足的数量关系，并说明理由； (2)【模型应用】如图②，在等腰直角三角形中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，，，则的长为________； (3)【深入探究】如图③，和都是等腰直角三角形，，，，且点E在上，连接，试猜想线段与线段的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，与之间满足的数量关系是：，理由如下： 如图1所示： 在等腰直角中，，， ， 于点D，于点E， ， ， ， 在和中，， ， ，， ； (2)8 (3)，理由如下： 如图3，过点D作于点F， ，， ∴同理得：， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形， ， ， ． 【分析】（1）先利用同角的余角相等，证明，结合、，用判定，根据全等三角形对应边相等，将拆分为，替换为得到数量关系； （2）同样先证明，得到对应边，，由图中线段位置关系，用计算的长度； （3）过点作交的延长线于点，构造一线三垂直模型，证明，得到对应边相等关系，推导，得到，结合，计算的度数，判断与的位置关系． 【详解】（1）略； （2）如图2所示： 在等腰直角中，，， ， 于点D，于点E， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ，， ； （3）略． 13．（25-26七年级下·四川达州·期末）阅读理解： 问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点N，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． (1)方法积累：结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． (2)问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段之间的数量关系，并说明理由； (3)问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请写出线段之间的数量关系． (4)实际运用：在（3）的条件下，已知，，，动点P从B出发，沿线段以2个单位每秒向C运动，到达C后立即原路原速度返回至B停止，运动时间为t秒，请直接写出使得的所有t的值． 【答案】(1)解：选择方法1，证明如下： 如图所示，在上截取，连接， ∵对角线平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 选择方法2，证明如下： 如图所示，延长到点N，使得，连接， ∵对角线平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)解：，理由如下： 如图所示，在上截取，连接， 由（1）得， ∵， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵对角线平分， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) (4)4或18 【分析】（1）方法1：证明，得到，再证明，得到，即可证明；方法2：证明，得到，再证明，得到，即可证明； （2）在上截取，连接，证明是等边三角形，得到；可求出，得到，则可证明是等边三角形，得到，证明，得到，据此可得； （3）过点D作交的延长线于点F，连接，证明，得到，；再证明，得到，据此可得； （4）求出，得到；根据全等三角形的性质得到，，则可求出，进而得到；可求出，再分两种情况：点P从B向点C运动和点P从点C向点B运动，讨论求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图所示，过点D作交的延长线于点F，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，； 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即； （4）解：如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴； 由（3）可得，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴当点P从B向点C运动时，则， 当点P从点C向点B运动时，则， 综上所述，t的值为4或18． 14．（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）综合实践 数学是一门充满乐趣，奥妙，又极具探索的学科，对一个人的思维也是一种“挑战”．几何图形变幻无穷，但只要我们借助图形的直观，从特殊情形出发，逐步“从特殊到一般”进行探索，思路和方法自然就会显现出来．于是数学课上，刘老师出示了以下的题目：如图，在等边中，点在上，点在的延长线上，且，试确定线段与的大小关系，并说明理由． 小优与同桌小秀讨论后，进行了如下解答： (1)【特殊情况，归纳猜想】如图，当为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出你的结论： （选填“”、“”或者“=”）； (2)【特例启发，推理证明】如图2，当不是的中点时，小优和小秀认为（1）中的结论仍然成立，所以他们尝试过点E作，交于点F．刘老师肯定了这种做法，请你帮助小优和小秀完成接下来的证明过程； (3)【拓展延伸，问题解决】当点E在的延长线上时，点D在边上，且，请自己画图，并探究（1）中的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． 【答案】(1)= (2)如图，过点作交于点， 则， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； (3)不发生变化，证明如下： 如图，过点作交的延长线于点， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（）证明，得到，即可求证； （）过点作交于点，可证是等边三角形，得到，再证明，得到，即可求证； （）过点作交的延长线于点，同理（）证明即可求证； 【详解】（1）解：∵是等边三角形，点为的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）略 15．（25-26七年级下·辽宁阜新·阶段检测）在中，，，点为直线上一动点，以为直角边在的右侧作等腰直角，使． (1)当点在线段上时，如图1，请判断与的位置关系，并说明理由； (2)当点在线段的延长线上时，如图2，判断三条线段数量关系，并说明理由； (3)当点在线段的延长线上时，直接判断与的位置关系，并直接写出三条线段的数量关系． 【答案】(1)解：， 理由：， ， ， 在与中， ， ， ∵是等腰直角三角形，且， ， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)解：， 理由：∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) ． 【分析】（1）根据“”即可证明，再根据等腰直角的性质即可说明； （2）同（1）的方法判断出，得出，再根据，可得出结论； （3）同（2）的方法可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：， 理由：如图， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴，即， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 等腰三角形重难点题型汇编 常考题型·精准突破 ◆题型1腰和底不明时需分类（高频） 1． 【答案】A 【分析】分3cm的边为腰、底两种情况讨论，验证能否构成三角形后确定底长. 【详解】解：分两种情况讨论： 当为腰长时，底边长为， ∵， ∴无法构成三角形，此情况舍去. 当为底边长时，腰长为. ∵， ∴可构成三角形，此情况成立，故该等腰三角形的底长为． 2． 【答案】B 【分析】分两种情况讨论中线分周长的组合，结合等腰三角形性质列方程组，求解后验证三边关系． 【详解】解：如图，设等腰的腰长，底边长， ∵是边上的中线， ∴， 分两种情况：情况①当时， 解得， ∵， ∴能构成三角形； 情况②当时， 解得， ∵， ∴能构成三角形． 综上，底边长为7或11． 3． 【答案】A 【分析】分腰长为、腰长为两种情况讨论，结合三角形三边关系排除不成立的情况后计算周长． 【详解】解：等腰三角形的两边长分别为和， 分两种情况讨论： ①当腰长为时，三边长为，，， ， 不能构成三角形； ②当腰长为时，三边长为，，， ， 能构成三角形，周长为． 4． 【答案】B 【分析】分情况讨论等腰三角形的腰长，再结合三角形三边关系验证能否构成三角形，舍去不符合的情况，即可求出正确周长． 【详解】解：分两种情况讨论： ①若腰长为，底边长为， ，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去该情况； ②若腰长为，底边长为， ∵，，满足三角形三边关系，可以构成三角形， ∴该三角形的周长为． ◆题型2顶角和底角不明时需讨论（重点） 5． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，分类讨论是解答的关键． 根据等腰三角形两底角相等的性质及三角形内角和为，分情况讨论已知内角为底角和顶角求解即可． 【详解】解：∵三角形内角和为，等腰三角形的两个底角相等 若该内角为底角，则两底角之和为，不符合三角形内角和定理， ∴该内角只能是顶角， ∴底角度数为． 故选：B． 6． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质可分为顶角和底角进行求解． 【详解】解：分情况讨论，当等腰三角形的一个内角为顶角时，其顶角为； 当为底角时，则其顶角为； 故选：C． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 7． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质．根据“等腰三角形的两底角相等”，即可求解． 【详解】解：∵等腰三角形底角为， ∴此等腰三角形的顶角度数为． 故选：B ◆题型3涉及中线、高位置的讨论 8． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义以及直角三角形两锐角互余，通过分等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况，并画出对应的图形进行分类讨论是正确解答本题的关键． 【详解】解：设该等腰三角形为，且， ①当等腰三角形为锐角三角形时，如图1所示，    由题意得，， ∴， ∴此等腰三角形的顶角的度数为； ②当等腰三角形为钝角三角形时，如图2，    由题意得：，， ∴， ∴， ∴此等腰三角形的顶角的度数为； 综上所述，此等腰三角形的顶角的度数为或， 故选：D． 9． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解．首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为，另一种情况等腰三角形为钝角三角形，即可推出顶角的度数为． 【详解】解：如图1，等腰三角形为锐角三角形，    ∵，， ∴， 即顶角的度数为； 如图2，等腰三角形为钝角三角形，    ∵，， ∴， ∴， 即顶角的度数为； 综上分析可知，顶角的度数是或． 故选：C． 10． 【答案】/度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一即可得到答案． 【详解】解：如图，是等腰三角形的底边上的高，， ∴平分， ∴， 即顶角为， 故答案为： 11． 【答案】或 【分析】此题考查了等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．分别从是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案． 【详解】解：如图（1）， ∵，， ∴， ∵， ∴； 如图（2）， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，它的顶角度数为：或． 故答案为：或． ◆题型4等腰三角形个数的讨论（重点） 12． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键．根据等腰三角形的定义及结合题意可进行求解． 【详解】解：如图： 分三种情况： ①当时，以点A为圆心，以长为半径作圆，则点即为所求； ②当时，以点B为圆心，以长为半径作圆，则点即为所求； ③当时，作的垂直平分线，则点，，，即为所求， 综上所述，使得为等腰三角形的格点C的个数是6个． 故选：C． 13． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质分类讨论即可． 【详解】解：如图所示： 故选：B． 【点睛】本题考查了的等腰三角形的判定，解题的关键是根据等腰三角形的性质讨论腰． 14． 【答案】10 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，分别找到以为底和以为腰时，符合题意的点C的个数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，以为底有6个点符合题意； 以为腰有4个点符合题意； ∴一共有10个点符合题意， 故答案为：10． ◆题型5等腰三角形中动点引起的分类（难） 15． 【答案】(1)，； (2)①， 理由如下： ∵点的运动速度与点的运动速度相等， ∴当时，厘米． ∵厘米， 厘米． 是等边三角形， ， ． ②秒或秒 【分析】本题考查三角形中的动点问题，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据路程等于速度乘以时间，结合线段的和差关系，列出代数式即可； （2）①利用即可得证；②分和两种情况，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，， ∴． （2）解：① 略 ②是等边三角形， ∴， 设运动时间为秒时，是一个直角三角形． a．当时， ， ， ， ，解得：秒； b．当时， ， ， ， ，解得：秒． 综上所述，当为秒或秒时，是一个直角三角形． 16． 【答案】(1)经过5s时，为等边三角形 (2)当运动时间为或6s时，为直角三角形 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半．关键是分情况讨论． （1）由等边三角形的判定，当时，是等边三角形，由此即可解决问题； （2）分两种情况，由直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：，， 则，当时，是等边三角形， 所以，，解得：， 所以，经过时，为等边三角形； （2）解：的形状能为直角三角形． 分两种情况，理由如下： ①如图1，当时， 因为，， 所以，， 因为，， 所以，， 所以，； ②如图2，当时，， 所以，， 所以，． 所以，， 所以，在点E，F运动过程中，当运动时间为或时，为直角三角形． 17． 【答案】(1)9秒 (2)3秒 (3)能；12秒 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等边三角形的性质是解题的关键． （1）设点M、N运动t秒后，M、N两点重合，表示出M、N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多，列出方程求解即可； （2）设点M、N运动t秒后，得到等边三角形，表示出，的长，根据，只要，三角形就是等边三角形，列式计算即可； （3）根据证明 得，列式计算即可． 【详解】（1）解：设运动时间为秒，、两点重合，则：，解得， ∴点、同时运动9秒时，、两点重合； （2）解：设运动时间为秒， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴点、同时运动3秒时，可得到等边三角形； （3）解：如图，∵， ∴，    ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 解得：， 此时运动的时间为12秒． 18． 【答案】(1)t的值为 (2)t的值为 (3)或 【分析】本题考查了几何动点问题，掌握分类讨论的数学思想是解题关键． （1）由题意得，即可求解； （2）由题意得，分类讨论即可求解； （3）分类讨论，，即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得，即t的值为； （2）解：由题意得：为等边三角形； ∴， ∴， ∵是等腰三角形， 若，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； 若，不成立， 若，不成立， 即当是等腿三角形时，t的值为； （3）解：由（2）知， 当，， 当，如下图： ， ∵， ∴， ∴， ∴，解得； ∵， ∴不可能为直角， 综上所述：或． 19． 【答案】(1)， (2)当秒时，为等腰直角三角形 【分析】本题考查了列代数式， 等腰三角形的性质和判定，几何问题(一元一次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据运动，分别用t表示出、，即可用t表示出； （2）由为等腰直角三角形，得到关于t的方程求解． 【详解】（1）解：∵动点从出发沿以每秒个单位向运动，动点从出发沿以每秒个单位向运动， ∴，， ∴， （2）若为等腰直角三角形，则且∠C=90°， ∴，解得：， 此时满足条件． 故当秒时，为等腰直角三角形． 20． 【答案】(1)当时，与的面积相等 (2)或或或 (3)5 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）由（1）得：，分两种情况：①点P在上，再分，，利用等腰三角形的性质求解即可；②点P在上时，存在，根据等腰三角形的性质求解即可； （3）当M在上，且时，最小，作于，如图3所示：则，证明得到，，则，当点E、M、三点共线时取等号，此时的最小值为的长；由平行线的性质得，由直角三角形的性质得，，求出即可． 【详解】（1）解：当时，与的面积相等，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴与的面积相等． （2）解：由（1）得：， 分两种情况： ①点P在上，如图1所示： 若，则， ∴； 若时，则； 若， 则； ②点P在上时，如图2所示： 存在， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或或； （3）解：当M在上，且时，最小，作于，如图3所示： 则， ∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，当点E、M、三点共线时取等号， ∴的最小值为的长， 此时，则， ∵，， ∴， ∵点E是斜边的中点， ∴ ∴ ∴. 故答案为：5． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含的直角三角形的性质、角平分线的定义、平行线的判定与性质以及最小值问题等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 21． 【答案】(1)见解析 (2)存在，或 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，线段的和差，熟练掌握三角形全等的判定与性质，采用分类讨论的思想解题，是解题的关键． （1）由，可得，通过即可证明； （2）分两种情形：如图2，当时；如图3，当时，分别进行求解即可得到答案． 【详解】（1）证明： 是边上的高，是边上的高， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：存在， 如图2，当时， 是边上的高，是边上的高， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 如图3，当时， 是边上的高，是边上的高， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 综上所述：或时，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． ◆题型6等边三角形中动点综合问题（难） 22． 【答案】(1) (2) (3)当为等腰三角形时，或 【分析】（1）本题考查列代数式，根据运动路程问题结合线段关系直接列式即可得到答案； （2）本题考查直角三角形所对直角边等于斜边一半及等边三角形性质，分别讨论P在线段上或延长线上两类结合所对直角边等于斜边一半列式求解即可得到答案； （3）本题考查等腰三角形的性质，分类讨论P在线段上或延长线上，根据腰长列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：设点的运动时间为t秒． ∴， ∵，动点以每秒3个单位长度的速度从点A出发在射线上运动， 当时，， 当时， ， 综上所述，； （2）解：如图所示， ①    当P在线段上时， ∵是等边三角形，， ∴，， 当时，， ∴， ∴， 解得：， ②当P在的延长线上时， ∵，∴ ∴， ∴， ∴， 解得： ； （3）解：如图所示，当时，P在上运动时， ∵，当为等腰三角形时，则为等边三角形， ∴， ∵，， P点在上运动的时间为：，Q在上运动的时间为，当Q点从点C运动到点D的过程中，，， ∴， 解得：， 当，即点P在的延长线上时，此时点Q从D运动回点C， 当点Q从D点返回时，，， ∴， 解得： ， 综上所述，当为等腰三角形时，或． 23． 【答案】(1) ①和全等，理由如下， 点的运动速度与点的运动速度相等，即6厘米/秒， ∴当时，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴； ②运动时间为秒或秒时，是一个直角三角形； (2)存在，的值为秒，点的运动速度厘米/秒． 【分析】本题主要考查点的运动，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）①根据点的运动速度与点的运动速度相等，，又，由等边三角形的性质可得，由此可证和全等，； ②分类讨论：当时，是直角三角形；当时，是直角三角形；由含角的直角三角形的性质列式求解； （2）点的运动速度与点的运动速度不相等，设点的运动速度为厘米/秒，分类讨论：当时，（厘米），，当时，（厘米），，据此列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：①略 ②当时，是直角三角形， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点的运动速度与点的运动速度相等，即厘米/秒， ∴， ∴， ∴， 解得，； 当时，是直角三角形， 同理，，则， ∵， ∴， 解得，； 综上所述，运动时间为秒或秒时，是一个直角三角形； （2）解：存在，的值为秒，点的运动速度厘米/秒，理由如下， 点的运动速度与点的运动速度不相等，设点的运动速度为厘米/秒， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 当时，（厘米），， ∴， 解得，（厘米/秒），即点的运动速度为厘米/秒，不符合题意，舍去； 当时，（厘米），， ∴，， 解得，，（厘米/秒）； 综上所述，点的运动速度与点的运动速度不相等，和全等时，的值为秒，点的运动速度厘米/秒． 24． 【答案】(1) ①．理由如下： 点的运动速度与点的运动速度相等， 当时，厘米． 厘米． 是等边三角形， ， ． ②秒或秒 (2)厘米/秒或厘米秒 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定、直角三角形的性质、一元一次方程的应用等知识点，根据题意建立正确的方程是解题的关键． （1）①分别根据运动速度和时间计算出的值，易得，，再根据等边三角形的性质可得即可证得；②分别根据和两种情况进行讨论，根据角对应的直角边是斜边的一半建立方程求解即可； （2）设点的运动速度为厘米/秒，然后分点的运动速度更快和点的运动速度更快两种情况，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：①略 ②设运动时间为秒时，是一个直角三角形． a．当时， ， ，解得：秒； b．当时 ，解得：秒． 综上所述，当为秒或秒时，是一个直角三角形． （2）解：设点的运动速度为． ①．若点的运动速度更快，则，解得：； ②若点的运动速度更快，则，解得． 综上，点的运动速度为厘米/秒或厘米秒． 25． 【答案】(1)①或；②不会发生变化， (2)1 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，一元一次方程动点问题，等腰三角形的判定，较为综合，根据题意分情况讨论是本题的关键． （1）①当是直角三角形时，分或时两种情况列方程，即可算出t的值；②根据证得，得到，根据三角形外角的性质得到，即可证明； （2）当是等腰三角形时，，然后即可证明，即可根据题意求出t的值． 【详解】（1）解：①∵等边的边长为3cm， ∴，， 根据题意得：，， ∵是直角三角形， 当时，， ∴， ∴， 解得； 当时，， ∴， ， 解得． 当的值为1或2时，是直角三角形． ②不会发生变化，． 是等边三角形， ，． 在和中， ， ， ． ， ． 故不会发生变化，． （2）解：， 当是等腰三角形时，， ． ， ， ，即． ， ，解得． 故当的值为1时，是等腰三角形． ◆题型7等边三角形-截长补短法解决动点综合问题（高频） 26． 【答案】（1）证明： 和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． （2）解：， 和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． ， ， ． （3）有；8 【分析】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）由和是等边三角形，推出，，，又因为，则，即，利用证明即可； （2）证明，得出，结合，则； （3）在射线上截取，连接，易证，则，，得出是等边三角形，则，即点E在角平分线上运动，在射线上截取，连接，证明，得出，推出，由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值． 【详解】（1） 略 （2） 略 （3）解：有最小值，在射线上截取，连接， ， ∵和是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ∵， ∴， 是等边三角形， ， ∴，， 即点E在角平分线上运动， 在射线上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值， ∵，， ∴， ∴ 的最小值为8． 27． 【答案】(1) 证明：在上截取，连接， ，， 是等边三角形， ，， ， 同理可得，也是等边三角形， ， ， 即， ， ， 在和中， ， ， ， ． (2)数量关系为或． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）在上截取，连接，先证明和都是等边三角形，得出，再通过证明得出，结合图形即可得出结论； （2）分两类情况：点在线段、延长线上，作出同（1）中的辅助线，由（1）中的结论得，，，再根据线段的和差进行等量代换即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：若点A在线段上，如图，作同（1）中的辅助线， 由（1）中的结论得，，， ； 若点A在延长线上，如图，作同（1）中的辅助线， 由（1）中的结论得，，， ； 综上所述，数量关系为或． 28. 【答案】(1) 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)①； ② 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质． （1）根据题意可证， 得到，由此即可求解； （2）①在上截取，连接，可证，得到，，则为等边三角形，由此即可求解； ②在上取点，使，连接，可证，由①知，为等边三角形，则，，，，所以，由即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①在上截取，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； ②在上取点，使，连接， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， 由①知，为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ◆题型8等边三角形-作平行线法解决动点综合问题（难） 29． 【答案】(1) 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵， 即， 在和中， ， ∴； (2) 是等腰三角形，理由如下： ∵E为的中点，是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形； (3) 证明：过点E作，如图， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴； ∴， ∴； (4)或 【分析】本题考查了三角形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等边三角形性质及应用，直角三角形性质及应用；解题的关键是掌握等边三角形性质及全等三角形判定定理． （1）由是等边三角形，得，，而，知是等边三角形，有，，可得，，再由边角边的证明方法证明即可； （2）由E为的中点，是等边三角形，得，，又，故，有知，是等腰三角形： （3）过点E作，证明是等边三角形，可得，，即可证，得，从而； （4）分两种情况：当时，由（1）可知，，可得；当时，由（3）可知，，可得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）解：当时，如图， ∴是的中线， ∴， 由（1）知，， ∴； 当时，如图， ∴ ∴， ∴， 由（3）知，， ∴； 综上，的长为或． 30． 【答案】（1） （2）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即， 又， 而， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3） 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质等知识，正确判断三角形全等是解答本题的关键． （1）由等边三角形的性质得，再根据三角形内角和定理可求出的度数； （2）由等边三角形的性质得，，得到，根据三角形外角的性质得出，根据证明，可得； （3）过点作交于点，可证明是等边三角形，得，再根据证明可得出，进而可得结论． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴， 又， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）过点作交于点，如图， ∵是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ， ∵， ∴， 又， ∴, ∴， ∴． 31． 【答案】(1) 证明：是等边三角形， ，， ， ； (2)①12；②的长不变，为5；③． 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）结合等边三角形性质证明全等即可； （2）①由（1）知，，先证明是等边三角形，得到，再证明，得到，即可得解； ②作，交于E，由①知，是等边三角形，，则，再根据等边三角形三线合一的性质可得，即可得解； ③分两种情况讨论：当点F在M处时，作，交于E；当F在N处时，结合上述结论求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①由（1）知，， ， ，，， 是等边三角形， ， 是的中点， ， ， ， ； ②如图1，的长不变，理由如下， 作，交于E， 由①知，是等边三角形，， ， ， ， ， 的长不变； ③如图2，当点F在M处时，作，交于E， 由上知，是等边三角形，， ， 此时， 当F在N处时，此时， ， ， ． 32． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由判定，即可得到，进行边的转化即可得到答案； （2）延长并截取，连接，由判定，进行边的转化即可得到结论． 【详解】（1）证明： 如图，在上截取，连接， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， 和是等边三角形， ， ． 在和中， ， ． ， ． （2）解：． 理由：延长并截取，连接，如图2所示： 同（1）得：是等边三角形，， ． ， ． 综合攻坚·知能拔高 1． 【答案】B 【分析】先根据等边三角形的性质求出等腰三角形的腰长，再结合等腰三角形的周长计算底边长，最后验证三角形三边关系即可得到结果． 【详解】解：∵等边三角形周长为，且等边三角形三边相等， ∴等边三角形的边长为，即等腰三角形的腰长为， ∵等腰三角形周长为， ∴等腰三角形的底边长为， 又∵，满足三角形三边关系， 因此等腰三角形底边长为． 2． 【答案】B 【分析】分为等腰三角形的底边和为等腰三角形的一条腰两种情况讨论即可． 【详解】解：如图所示： ①为等腰三角形的底边，符合条件的点C有个； ②为等腰三角形的一条腰，符合条件的点C有个； 故符合条件的点C共有个． 3． 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义得，，再根据平行线的性质得，，则，，根据等腰三角形的判定得，，再根据三角形的定义得的周长为：，结合等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，的平分线相交于点P， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的周长为， ∵等边中，， ∴， ∴的周长为． 4． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质； 先根据等边三角形的性质得到，求出，可证明，从而对①进行判断；然后再证明，则可对②③进行判断；由于的度数不固定，故无法得出． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，④正确； ∴是等边三角形，③正确； ∵，而的度数不一定是， ∴不一定是，即②的结论不正确； 故选：D． 5． 【答案】 【分析】根据旋转的性质得出，，可得是等边三角形，即可得出答案． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∵， ∴． 6． 【答案】或 【分析】先求出，，的长，以及，再分六种情况：①，②，③，④，⑤，⑥，分别利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是中点， ∴， ①当时， ∴，， ∴， 解得， ∴此时点的运动速度为； ②当时， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴此时点的运动速度为； ③当时， ∴，，， ∴，， ∴解得，， ∴， ∴此时点的运动速度为； ④当时， ∴，，， ∴，， 解得，， ∴， ∴此时点的运动速度为； ⑤当时， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴此时点的运动速度为； ⑥当时， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴此时点的运动速度为； 综上，当点的运动速度为或时，能使与以、、三点为顶点所构成的三角形全等． 7． 【答案】(1)①∵和都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中： ​， ． ②． (2)数量关系：，证明如下： 在延长线上取点，作等边，连接． 、为等边三角形， ，，， 即， 在和中： ， ， ∴， 又， ． 【分析】（1）①根据等边三角形的边相等、内角为的性质，因为和都是等边三角形，所以可得到，且，通过等式变形得到夹角，用判定定理证明三角形全等．②利用①中全等三角形对应边相等的结论，结合的线段和关系，推导三条线段的数量关系． （2）先按要求画出点D在延长线上的图形，同理先证明，再根据此时的线段和关系，推导对应的三条线段数量关系． 【详解】（1）①略． ②数量关系：．理由： ∵， ∴， ∵， ∴ （2）略． 8． 【答案】楼的高度为 【分析】证明，进一步利用全等三角形的性质可得答案. 【详解】解：由题意，得． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 答：楼的高度为． 9． 【答案】(1) (2)证明：如图2，延长至点M，使得，连接， 是的中线， ， 在和中， ， ， ，， 是的中线，， ，， ， 在和中， ， ， ， 即； (3)20 【分析】（1）采用“倍长中线法”构造全等三角形，将、、转化到同一个三角形中，再利用三角形三边关系求的取值范围； （2）同（1）采用“倍长中线法”构造全等三角形，结合的条件推导边和角的等量关系，再证明包含和的三角形全等，进而得到角相等； （3）先采用“倍长中线法”构造全等三角形，求出、，再证明，将转化为，最后利用求解即可． 【详解】（1）解：如图1所示，延长至点E，使得，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， 的取值范围是； （2）略； （3）解：如图3，延长至点，使得，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ，即， ， ， ． 10． 【答案】(1)证明：∵、都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴； (2)证明：∵， ∴，， ∵分别是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】（1）首先结合等边三角形的性质证明，进一步可得，然后利用“”证明即可； （2）首先利用“”证明，由全等三角形的性质可得，进而证明，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 11． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出，当时，为等边三角形，据此列方程求解即可； （2）分两种情况：当时，可证明，据此列方程求解即可；当时，可证明，据此列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，， ， ，， ， 当时，为等边三角形， 解得； （2）解：为直角三角形，分两种情况： 当时， ， ， ， ， 解得； 当时， ， ， ， ， 解得； 综上所述，当或时，为直角三角形． 12． 【答案】(1)，与之间满足的数量关系是：，理由如下： 如图1所示： 在等腰直角中，，， ， 于点D，于点E， ， ， ， 在和中，， ， ，， ； (2)8 (3)，理由如下： 如图3，过点D作于点F， ，， ∴同理得：， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形， ， ， ． 【分析】（1）先利用同角的余角相等，证明，结合、，用判定，根据全等三角形对应边相等，将拆分为，替换为得到数量关系； （2）同样先证明，得到对应边，，由图中线段位置关系，用计算的长度； （3）过点作交的延长线于点，构造一线三垂直模型，证明，得到对应边相等关系，推导，得到，结合，计算的度数，判断与的位置关系． 【详解】（1）略； （2）如图2所示： 在等腰直角中，，， ， 于点D，于点E， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ，， ； （3）略． 13． 【答案】(1)解：选择方法1，证明如下： 如图所示，在上截取，连接， ∵对角线平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 选择方法2，证明如下： 如图所示，延长到点N，使得，连接， ∵对角线平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)解：，理由如下： 如图所示，在上截取，连接， 由（1）得， ∵， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵对角线平分， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) (4)4或18 【分析】（1）方法1：证明，得到，再证明，得到，即可证明；方法2：证明，得到，再证明，得到，即可证明； （2）在上截取，连接，证明是等边三角形，得到；可求出，得到，则可证明是等边三角形，得到，证明，得到，据此可得； （3）过点D作交的延长线于点F，连接，证明，得到，；再证明，得到，据此可得； （4）求出，得到；根据全等三角形的性质得到，，则可求出，进而得到；可求出，再分两种情况：点P从B向点C运动和点P从点C向点B运动，讨论求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图所示，过点D作交的延长线于点F，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，； 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即； （4）解：如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴； 由（3）可得，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴当点P从B向点C运动时，则， 当点P从点C向点B运动时，则， 综上所述，t的值为4或18． 14． 【答案】(1)= (2)如图，过点作交于点， 则， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； (3)不发生变化，证明如下： 如图，过点作交的延长线于点， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（）证明，得到，即可求证； （）过点作交于点，可证是等边三角形，得到，再证明，得到，即可求证； （）过点作交的延长线于点，同理（）证明即可求证； 【详解】（1）解：∵是等边三角形，点为的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）略 15． 【答案】(1)解：， 理由：， ， ， 在与中， ， ， ∵是等腰直角三角形，且， ， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)解：， 理由：∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) ． 【分析】（1）根据“”即可证明，再根据等腰直角的性质即可说明； （2）同（1）的方法判断出，得出，再根据，可得出结论； （3）同（2）的方法可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：， 理由：如图， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴，即， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $