周练02 错题巩固与压轴训练 1.4～1.5 线段垂直平分线与角平分线 等腰三角形 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦三角形中垂线、角平分线等核心知识，通过基础辨析（如等腰三角形周长计算）、动态探究（如动点P、Q运动问题）和实践应用（如油库选址作图），分层考查抽象能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6题/30分|等腰三角形性质、直角三角形30°角性质|结合易错点设置选项，如第1题辨析腰长与三边关系| |填空题|6题/30分|中垂线性质、角平分线分面积比|第10题以角平分线分三角形面积比，考查空间观念| |解答题|8题/40分|中垂线应用、动点问题、证明与探究|第16题“小棒摆放”实践活动，第19题平行线与角平分线动态探究，体现创新意识与推理能力|

初中数学同步周练　|　苏科版（2024）　|　一周错题巩固+压轴训练 八年级上册数学周练 第1章 三角形（1.4～1.5） 班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________　　得分：__________　　　　时间：60分钟　　满分：100分 一．选择题（共6小题） 1．（2025秋•南漳县期末）·【A】已知一个等腰三角形的一边长等于3cm，一边长等于7cm，那么它的周长为（　　） A．13cm B．17cm C．13cm或17cm D．18cm 2．（2026•榆树市模拟）·【A】等腰三角形周长为16cm，一边长为4cm，该等腰三角形的底边长为（　　） A．4cm B．8cm C．8cm或4cm D．5cm 3．（2026春•皇姑区校级期末）·【A】在△ABC中，已知∠A，∠B，∠C的度数之比是1：2：3，，则AC为（　　） A． B． C． D． 4．（2025秋•天河区期末）·【A】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AD⊥BC．则下列等式成立的是（　　） A．BD＝3DC B．AD＝2DC C．AB＝4DC D．BD＝2AC 5．（2025秋•马边县期末）·【B】如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，点G在AC上，点F在DG上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 6．（2026春•包河区期中）·【C】如图，E是线段AB上一动点，△ACE和△BDE是位于直线AB同侧的顶角相等的两个等腰三角形，△ACE的底AE与它自己的高相等，△BDE 的底BE与它自己的高相等，若AB＝4，则下列结论错误的是（　　） A．若E是AB的中点，则 B．若AE＝1，则 C．若，则△CDE是直角三角形 D．若△CDE的面积是，则BE＝3 二．填空题（共6小题） 7．（2025秋•连山区月考）·【A】如图，在△ABC中，直线DE是BC的垂直平分线，分别交AC，BC于点D，E，若AB＝5，△ABD的周长是12，则AC的长是　 　 ． 8．（2025秋•鼓楼区校级月考）·【A】如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点D，∠B＝64°，∠FAE＝10°，则∠C＝　 　 °． 9．（2025春•肥乡区期末）·【A】如果三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是 　 　 ． 10．（2026春•阜新期中）·【A】如图，△ABC的三边长分别是AB＝6，BC＝9，AC＝12，其三条角平分线将其分为三个三角形，则S△BOC：S△AOC：S△ABO＝　 　 ． 11．（2026春•沙坡头区期末）·【A】在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为60，AB＝12，DE＝6，则AC＝　 　 ． 12．（2026春•沈河区期末）·【A】如图，三条公路两两相交，交点分别为A、B、C．现计划修建一座油库，要求油库到这三条公路的距离都相等．若，∠A＝60°，则满足条件的油库到每条公路的距离为　 　 km． 三．解答题（共8小题） 13．（2025秋•武夷山市校级期中）·【A】在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6cm． （1）求BC的长； （2）分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为16cm，求OA的长． 14．（2026春•和平区校级月考）·【A】如图，AD，AF分别是△ABC的中线和高，BE是△ABD的角平分线． （1）若∠BED＝40°，∠BAF＝54°，求∠BAD的度数； （2）若DE：AE＝2：3，△ACD的面积是30cm2，则△ABE的面积为　 　 ． 15．（2026春•和平区校级期中）·【B】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过线段CD上一点E作EG∥AD，交AC于点F，交BA的延长线于点G． （1）请判断△AFG的形状，并加以证明； （2）若CE＝EF，∠BAC＝84°，则∠B的度数是　 　 ． 16．（2024秋•上高县期末）·【B】【综合与实践】 某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下： 设∠A＝θ（0°＜θ＜90°），小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在两射线上． （1）活动一：如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒． 数学思考：小棒能无限摆下去吗？答：　 　 ；（填“能”或“不能”） （2）若AA1＝A1A2＝A2A3＝1，则θ＝ 　 　 度； （3）活动二：如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2＝AA1． 数学思考：若已经向右摆放了3根小棒，则θ1＝ 　 　 ，θ2＝ 　 　 ，θ3＝ 　 　 ；（用含θ的式子表示）； （4） 若只能摆放4根小棒，求θ的范围． 17．（2026春•同步）·【B】求证：在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°． 18．（2025秋•阜宁县期中）·【B】如图所示，△ABC和△ACD都是边长为4厘米等边三角形，两个动点P，Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q运动的时间为t秒． （1）点P、Q从出发到相遇所用时间是 　 　 秒； （2）当t取何值时，△APQ也是等边三角形？请说明理由； （3）当0＜t＜2时，判断PQ与AC的位置关系． 19．（2026春•西湖区校级期中）·【C】【实验探究】在平面内，平行线的性质与角平分线的结合会产生丰富的角度关系．现有实验器材：直尺（用于画平行线）、量角器、铅笔、白纸． 如图，直线AB∥CD，EF∥GH，∠AEF的角平分线交CD于点P．试探究： （1）初步观察与推理：判断∠EPF和∠PEF的这两个角度数相等吗？并说明理由． （2）角度倍数关系的计算：若测量得∠FHG＝3∠EPF，请结合平行线的性质，求出∠EFD的度数． （3）动点角度的分析：点Q为射线GH上一点，连结EQ，FQ．若∠QFH＝∠FQH，且∠PEQ﹣∠EQF＝50°，求∠EQF的度数． 20．（2024秋•庄浪县期中）·【C】某私营企业要修建一个加油站，如图，其设计要求是，加油站到两村A、B的距离必须相等，且到两条公路m、n的距离也必须相等，那么加油站应修在什么位置，在图上标出它的位置．（要有作图痕迹） 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B A C A A D 一．选择题（共6小题） 1．（2025秋•南漳县期末）·【A】已知一个等腰三角形的一边长等于3cm，一边长等于7cm，那么它的周长为（　　） A．13cm B．17cm C．13cm或17cm D．18cm 【答案】B 【解答】解：分两种情况： 当腰为3时，3+3＜7，所以不能构成三角形； 当腰为7时，3+7＞7，所以能构成三角形，周长是：3+7+7＝17． 故选：B． 2．（2026•榆树市模拟）·【A】等腰三角形周长为16cm，一边长为4cm，该等腰三角形的底边长为（　　） A．4cm B．8cm C．8cm或4cm D．5cm 【答案】A 【解答】解：①4cm是腰长时，底边为16﹣4×2＝8cm， 此时三角形的三边长分别为4cm、4cm、8cm， ∵4+4＝8， ∴不能组成三角形； ②4cm是底边时，腰长为（16﹣4）＝6cm， 此时，三角形的三边分别为6cm、6cm、4cm， 能组成三角形， 所以，该等腰三角形的底边长为4cm． 故选：A． 3．（2026春•皇姑区校级期末）·【A】在△ABC中，已知∠A，∠B，∠C的度数之比是1：2：3，，则AC为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵∠A，∠B，∠C的度数之比是1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A＝180°30°，∠C＝180°90°， ∵AB， ∴BCAB，ACBC， 故选：C． 4．（2025秋•天河区期末）·【A】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AD⊥BC．则下列等式成立的是（　　） A．BD＝3DC B．AD＝2DC C．AB＝4DC D．BD＝2AC 【答案】A 【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠B＝30°， ∴BC＝2AC，∠C＝60°， ∵AD⊥BC， ∴∠DAC＝30°， ∴AC＝2DC， ∴B不符合要求； ∴BC＝4DC， ∴C不符合要求； ∴BD＝3DC， ∴A符合要求； ∵AC＝2DC，BC＝4DC ∴BDAC， ∴D不符合要求； 故选：A． 5．（2025秋•马边县期末）·【B】如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，点G在AC上，点F在DG上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【答案】A 【解答】解：∵DF＝DE，CG＝CD， ∴∠E＝∠DFE，∠CDG＝∠CGD， ∵GDC＝∠E+∠DFE，∠ACB＝∠CDG+∠CGD， ∴GDC＝2∠E，∠ACB＝2∠CDG， ∴∠ACB＝4∠E， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∴∠E＝60°÷4＝15°． 故选：A． 6．（2026春•包河区期中）·【C】如图，E是线段AB上一动点，△ACE和△BDE是位于直线AB同侧的顶角相等的两个等腰三角形，△ACE的底AE与它自己的高相等，△BDE 的底BE与它自己的高相等，若AB＝4，则下列结论错误的是（　　） A．若E是AB的中点，则 B．若AE＝1，则 C．若，则△CDE是直角三角形 D．若△CDE的面积是，则BE＝3 【答案】D 【解答】解：由题意，过C作CH⊥AE于H，过D作DG⊥BE于点G， 对于点A，∵E是AB的中点，AB＝4， ∴AEAB＝2， ∵△ACE是等腰三角形，CH⊥AE，CH＝AE＝2， ∴EHCE＝1． ∴CE，故A正确，不合题意； 对于点B，过C作CM⊥DG于M， ∵AE＝1， ∴CH＝1，EHAE，则DG＝BE＝AB﹣AE＝4﹣1＝3． 同理可得，EG， ∴CM＝EH+EG2． 又∵DM＝DG﹣CH＝3﹣1＝2， ∴CD2，故B正确，不合题意； 对于C，∵AE， ∴CH＝AE，DG＝BE． ∴EH，EG，则CM＝EH+GE＝2，DM＝DG﹣CH＝1， ∴CE，DE， ∴CD． ∴CE2+CD2＝DE2． ∴△CDE是直角三角形，故C正确，不合题意； 对于D，设BE＝a，则AE＝4﹣a， ∴CH＝4﹣a，DG＝a，GH＝2，EH（4﹣a），EGa． ∵S梯形CHGD（CH+DG）•GH＝S△EHC+S△DEG+S△DEC，且S△DEC， ∴（4﹣a+a）×2（4﹣a）•（4﹣a）a•a． ∴a＝1或3，即BE＝1或3，故D错误，符合题意． 故选：D． 二．填空题（共6小题） 7．（2025秋•连山区月考）·【A】如图，在△ABC中，直线DE是BC的垂直平分线，分别交AC，BC于点D，E，若AB＝5，△ABD的周长是12，则AC的长是　7　 ． 【答案】7． 【解答】解：由题意，∵DE垂直平分BC， ∴BD＝CD． 又∵C△ABD＝12，AB＝5， ∴5+AD+BD＝12， ∴AD+BD＝7， ∴AD+CD＝7， ∴AC＝7 故答案为：7． 8．（2025秋•鼓楼区校级月考）·【A】如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点D，∠B＝64°，∠FAE＝10°，则∠C＝　32　 °． 【答案】32 【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴EA＝EC， ∴∠EAC＝∠C， ∵∠FAE＝10°， ∴∠CAF＝∠FAE+∠EAC＝10°+∠C， ∵AF平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠CAF＝20°+2∠C， ∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∠B＝64°， ∴64°+20°+2∠C+∠C＝180°， ∴∠C＝32°， 故答案为：32． 9．（2025春•肥乡区期末）·【A】如果三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是 　钝角三角形　 ． 【答案】钝角三角形． 【解答】解：如果三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是钝角三角形， 故答案为：钝角三角形． 10．（2026春•阜新期中）·【A】如图，△ABC的三边长分别是AB＝6，BC＝9，AC＝12，其三条角平分线将其分为三个三角形，则S△BOC：S△AOC：S△ABO＝　3：4：2　 ． 【答案】3：4：2． 【解答】解：过点O作OF⊥AC于点F，OG⊥AB于点G，OE⊥BC于点E，垂足分别为F，G，E，如图所示， ∵AO，BO，CO是△ABC的角平分线，且OE⊥BC，OG⊥AB，OF⊥AC， ∴OE＝OF＝OG， ∵AB＝6，BC＝9，AC＝12， ∴S△AOC6OF， S△AOB3OG， S△BOCBC×OEOE， ∴S△BOC：S△AOC：S△AOB＝3：4：2； 故答案为：3：4：2． 11．（2026春•沙坡头区期末）·【A】在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为60，AB＝12，DE＝6，则AC＝　8　 ． 【答案】8． 【解答】解：过点D作DF⊥AC，垂足为F， ∵AD平分∠ACB，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF＝6， ∵S△ABC＝60，AB＝12， ∴△ADC的面积+△ADB的面积＝60， ∴AC•DFAB•DE＝60， ∴AC•612×6＝60， ∴AC＝8， 故答案为：8． 12．（2026春•沈河区期末）·【A】如图，三条公路两两相交，交点分别为A、B、C．现计划修建一座油库，要求油库到这三条公路的距离都相等．若，∠A＝60°，则满足条件的油库到每条公路的距离为　2或6　 km． 【答案】2或6． 【解答】解：如图所示，点D为内角的平分线交点，点D'为外角平分线交点， ∵AB＝BC，∠A＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝CA＝4， ∵油库到这三条公路的距离都相等， ∴油库的位置可以设计在△ABC三条角平分线（或外角平分线）的交点， ∴AE＝D′E＝6km， 当油库在△ABC里面时，DEAE＝2km， 当油库在△ABC外面时，D′E＝AE＝6km． 故答案为：2或6． 三．解答题（共8小题） 13．（2025秋•武夷山市校级期中）·【A】在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6cm． （1）求BC的长； （2）分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为16cm，求OA的长． 【答案】（1）BC的长为6cm； （2）OA的长为5cm． （2）利用线段垂直平分线的性质可得OA＝OB，OA＝OC，再根据已知和（1）的结论可得OB＝OC＝5cm，即可解答． 【解答】解：（1）∵AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E， ∴DA＝DB，EA＝EC， ∵△ADE的周长为6cm， ∴AD+DE+AE＝6cm， ∴BD+DE+CE＝6cm， ∴BC＝6cm， ∴BC的长为6cm； （2）如图： ∵OD是AB的垂直平分线，OE是AC的垂直平分线， ∴OA＝OB，OA＝OC， ∵△OBC的周长为16cm， ∴OB+OC+BC＝16cm， ∵BC＝6cm， ∴OB＝OC＝5cm， ∴OA的长为5cm． 14．（2026春•和平区校级月考）·【A】如图，AD，AF分别是△ABC的中线和高，BE是△ABD的角平分线． （1）若∠BED＝40°，∠BAF＝54°，求∠BAD的度数； （2）若DE：AE＝2：3，△ACD的面积是30cm2，则△ABE的面积为　18　 ． 【答案】（1）∠BAD＝22°； （2）△ABE的面积是18． （2）根据三角形的面积公式进行计算即可． 【解答】解：（1）∵AF⊥BC，∠BAF＝54°， ∴∠ABF＝90°﹣54°＝36°． ∵BE平分∠ABF， ∴∠ABE∠ABF＝18°， ∵∠BED＝40°， ∴∠BAD＝∠BED﹣∠ABE＝40°﹣18°＝22°； （2）∵AD是△ABC的中线且△ACD的面积是30， ∴S△ABD＝S△ACD＝30． ∵DE：AE＝2：3， ∴S△ABES△ABD30＝18． 15．（2026春•和平区校级期中）·【B】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过线段CD上一点E作EG∥AD，交AC于点F，交BA的延长线于点G． （1）请判断△AFG的形状，并加以证明； （2）若CE＝EF，∠BAC＝84°，则∠B的度数是　54°　 ． 【答案】（1）△AFG是等腰三角形，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD（角平分线的性质），∵EG∥AD，∴∠BAD＝∠G（两直线平行，同位角相等），∠CAD＝∠AFG（两直线平行，内错角相等），∴∠G＝∠AFG，∴△AFG是等腰三角形； （2）∠B＝54°． （2）由角平分线的定义可得∠BAD＝∠CAD＝42°，推出∠EFC＝∠AFG＝42°，再根据CE＝EF得到∠EFC＝∠C＝42°，最后根据三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：（1）△AFG是等腰三角形， 证明如下：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD（角平分线的性质）， ∵EG∥AD， ∴∠BAD＝∠G（两直线平行，同位角相等），∠CAD＝∠AFG（两直线平行，内错角相等）， ∴∠G＝∠AFG， ∴△AFG是等腰三角形； （2）∵AD平分∠BAC，∠BAC＝84°， ∴（角平分线的性质）， ∴∠AFG＝∠CAD＝42°（等量代换）， ∴∠EFC＝∠AFG＝42°， ∵CE＝EF， ∴∠EFC＝∠C＝42°（等边对等角）， ∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣84°﹣42°＝54°． 16．（2024秋•上高县期末）·【B】【综合与实践】 某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下： 设∠A＝θ（0°＜θ＜90°），小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在两射线上． （1）活动一： 如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒． 数学思考： 小棒能无限摆下去吗？答：　能　 ；（填“能”或“不能”） （2）若AA1＝A1A2＝A2A3＝1，则θ＝ 　22.5　 度； （3）活动二： 如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2＝AA1． 数学思考： 若已经向右摆放了3根小棒，则θ1＝ 　2θ　 ，θ2＝ 　3θ　 ，θ3＝ 　4θ　 ；（用含θ的式子表示）； （4）若只能摆放4根小棒，求θ的范围． 【答案】（1）能； （2）22.5°； （3）2θ，3θ，4θ． （4）18°≤θ＜22.5°． （2）本题需先根据已知条件AA1＝A1A2＝A2A3＝1，A1A2⊥A2A3，得出A2A3和AA3的值，判断出A1A2∥A3A4、A3A4∥A5A6，即可求出∠A＝∠AA2A1＝∠AA4A3＝∠AA6A，从而得解； （3）本题需先根据A1A2＝AA1，得出∠A1AA2和∠AA2A1相等，即可得出θ1的值，同样道理得出θ2、θ3的值． （4）本题需先根据已知条件，列出不等式组，解出θ的取值范围，即可得出正确答案． 【解答】解：（1）∵根据已知条件∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）小棒两端能分别落在两射线上，∴小棒能继续摆下去． 故答案为：能； （2）∵A1A2＝A2A3，A1A2⊥A2A3， ∴∠A2A1A3＝45°， ∴∠AA2A1+∠θ＝45°， ∵∠AA2A1＝∠θ， ∴∠θ＝22.5°； 故答案为：22.5°； （3）∵A1A2＝AA1， ∴∠A1AA2＝∠AA2A1＝θ． ∴∠A2A1A3＝θ1＝θ+θ． ∴θ1＝2θ． 同理可得：θ2＝3θ，θ3＝4θ． 故答案为：2θ，3θ，4θ． （4）如图： ∵A4A3＝A4A5， ∴∠A4A3A5＝∠A4A5A3＝4θ°， ∵根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质， 当∠A5A4B是钝角或直角时，不能继续摆放小棒了， ∴当∠A4A3A5是锐角，∠A5A4B＝5θ是钝角或直角时，只能摆放4根小棒， ∴5θ≥90°，且4θ＜90°， ∴18°≤θ＜22.5°． 17．（2026春•同步）·【B】求证：在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°． 【答案】见试题解答内容 【解答】已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°． 求证：∠A、∠B中至少有一个锐角不大于45°． 证明：假设原命题不成立，则∠A＞45°，∠B＞45°， ∵∠C＝90°， ∴∠A+∠B+∠C＞180°． ∵这与“三角形内角和等于180°”相矛盾， ∴假设不成立． ∴∠A、∠B中至少有一个锐角不大于45°． 18．（2025秋•阜宁县期中）·【B】如图所示，△ABC和△ACD都是边长为4厘米等边三角形，两个动点P，Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q运动的时间为t秒． （1）点P、Q从出发到相遇所用时间是 　4　 秒； （2）当t取何值时，△APQ也是等边三角形？请说明理由； （3）当0＜t＜2时，判断PQ与AC的位置关系． 【答案】（1）4； （2）； （3）PQ与AC互相垂直． （2）根据若△APQ是等边三角形，此时点P在BC上，点Q在CD上，且△ADQ≌△ACP，进而得出CP＝DQ，求出即可； （3）根据P，Q运动速度得出，△APN是等边三角形，得∠APQ＝90°求出即可． 【解答】解：（1）设点P、Q从出发到相遇所用时间是t，根据题意得： t+2t＝AC+AB+BC＝12， 解得：t＝4； 故答案为：4； （2）如图1：若△APQ是等边三角形， 此时点P在BC上，点Q在CD上，且△ADQ≌△ACP， 则CP＝DQ，即t﹣4＝4﹣（2t﹣8）， 解得：t； （3）PQ与AC互相垂直，理由如下： 如图2所示：根据题意得：AQ＝2AP， 取AQ的中点N， ∵∠PAQ＝60°， ∴△APN是等边三角形， ∴PN＝AN＝NQ， ∴△APQ是直角三角形， ∴∠APQ＝90°， 即当0＜t＜2时，PQ与AC互相垂直． 19．（2026春•西湖区校级期中）·【C】【实验探究】在平面内，平行线的性质与角平分线的结合会产生丰富的角度关系．现有实验器材：直尺（用于画平行线）、量角器、铅笔、白纸． 如图，直线AB∥CD，EF∥GH，∠AEF的角平分线交CD于点P．试探究： （1）初步观察与推理：判断∠EPF和∠PEF的这两个角度数相等吗？并说明理由． （2）角度倍数关系的计算：若测量得∠FHG＝3∠EPF，请结合平行线的性质，求出∠EFD的度数． （3）动点角度的分析：点Q为射线GH上一点，连结EQ，FQ．若∠QFH＝∠FQH，且∠PEQ﹣∠EQF＝50°，求∠EQF的度数． 【答案】（1）∠EPF与∠PEF相等，理由如下： ∵EP是∠AEF的平分线， ∴∠PEA＝∠PEF， ∵AB∥CD， ∴∠PEA＝∠EPF， ∴∠EPF＝∠PEF； （2）设∠EPF＝α， ∴∠FHG＝3∠EPF＝3α， 由（1）可知：∠EPF＝∠PEF＝∠PEA＝α， ∴∠AEF＝2α， ∵AB∥CD， ∴∠EFD＝∠AEF＝2α， ∵EF∥GH， ∴∠EFH+∠FHG＝180°即2α+3α＝180°， ∴α＝36°． ∴∠EFD＝2α＝72°； （3）设∠EQF＝β，∠PEQ﹣∠EQF＝50°， ∴∠PEQ＝50°+β． ∵点Q为射线GH上一点， ∴有以下两种情况： ①当点Q在线段GH上时，如图1所示： ∵EF∥GH， ∴∠1＝∠FQH， ∵∠QFH＝∠FQH， ∴∠1＝∠QFH， ∴∠1∠EFD， ∵EP是∠AEF的平分线， ∴∠2∠AEF， ∵AB∥CD， ∴∠AEF＝∠EFD， ∴∠1＝∠2， ∴PE∥FQ， ∴∠PEQ+∠EQF＝180°，即50°+β+β＝180°， ∴β＝65°，即∠EQF＝β＝65°； ②当点Q在线段GH的延长线上时， 过点Q作QR∥CD交EF于R， 如图2所示： ∵EF∥GH， ∴∠1＝∠FQH，∠3＝∠QFH， ∵∠QFH＝∠FQH， ∴∠1＝∠QFH＝∠3， ∴∠RFH＝2∠1＝2∠3， ∵∠RFH＝∠PFE， ∴∠PFE＝2∠3， ∵EP是∠AEF的平分线， ∴∠AEF＝2∠2， ∵AB∥CD， ∴∠AEF+∠CFE＝180°， ∴2∠3+2∠2＝180°， ∴∠3+∠2＝90°， ∵AB∥CD，QR∥CD， ∴AB∥QR， ∴∠AEQ+∠EQR＝180°，即∠2+50°+β+∠3+β＝180°， ∴β＝20°， ∴∠EQF＝β＝20°， 综上所述：∠EQF 的度数为65°或20°． （2）设∠EPF＝α，则∠FHG＝3α，由（1）可知∠EPF＝∠PEF＝∠PEA＝α，根据AB∥CD得∠EFD＝∠AEF＝2α，然后根据EF∥GH 得2α+3α＝180°，由此解出α即可得出∠EFD的度数； （3）设∠EQF＝β，则∠PEQ＝50°+β，分两种情况讨论如下：①当点Q在线段GH上时，先证明∠1∠EFD，∠2∠AEF，再根据AB∥CD得∠1＝∠2，则PE∥FQ，又根据平行线的性质得50°+β+β＝180°，由此解出β即可得出∠EQF的度数；②当点Q在线段GH的延长线上时，过点Q作QR∥CD交EF于R，证明∠3+∠2＝90°，AB∥QR，则∠AEQ+∠EQR＝180°，进而得∠2+50°+β+∠3+β＝180°，由此解出β即可得出∠EQF的度数，进而得解． 【解答】解：（1）∠EPF与∠PEF相等，理由如下： ∵EP是∠AEF的平分线， ∴∠PEA＝∠PEF， ∵AB∥CD， ∴∠PEA＝∠EPF， ∴∠EPF＝∠PEF； （2）设∠EPF＝α， ∴∠FHG＝3∠EPF＝3α， 由（1）可知：∠EPF＝∠PEF＝∠PEA＝α， ∴∠AEF＝2α， ∵AB∥CD， ∴∠EFD＝∠AEF＝2α， ∵EF∥GH， ∴∠EFH+∠FHG＝180°即2α+3α＝180°， ∴α＝36°． ∴∠EFD＝2α＝72°； （3）设∠EQF＝β，∠PEQ﹣∠EQF＝50°， ∴∠PEQ＝50°+β． ∵点Q为射线GH上一点， ∴有以下两种情况： ①当点Q在线段GH上时，如图1所示： ∵EF∥GH， ∴∠1＝∠FQH， ∵∠QFH＝∠FQH， ∴∠1＝∠QFH， ∴∠1∠EFD， ∵EP是∠AEF的平分线， ∴∠2∠AEF， ∵AB∥CD， ∴∠AEF＝∠EFD， ∴∠1＝∠2， ∴PE∥FQ， ∴∠PEQ+∠EQF＝180°，即50°+β+β＝180°， ∴β＝65°，即∠EQF＝β＝65°； ②当点Q在线段GH的延长线上时， 过点Q作QR∥CD交EF于R， 如图2所示： ∵EF∥GH， ∴∠1＝∠FQH，∠3＝∠QFH， ∵∠QFH＝∠FQH， ∴∠1＝∠QFH＝∠3， ∴∠RFH＝2∠1＝2∠3， ∵∠RFH＝∠PFE， ∴∠PFE＝2∠3， ∵EP是∠AEF的平分线， ∴∠AEF＝2∠2， ∵AB∥CD， ∴∠AEF+∠CFE＝180°， ∴2∠3+2∠2＝180°， ∴∠3+∠2＝90°， ∵AB∥CD，QR∥CD， ∴AB∥QR， ∴∠AEQ+∠EQR＝180°，即∠2+50°+β+∠3+β＝180°， ∴β＝20°， ∴∠EQF＝β＝20°， 综上所述：∠EQF 的度数为65°或20°． 20．（2024秋•庄浪县期中）·【C】某私营企业要修建一个加油站，如图，其设计要求是，加油站到两村A、B的距离必须相等，且到两条公路m、n的距离也必须相等，那么加油站应修在什么位置，在图上标出它的位置．（要有作图痕迹） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：作图如图，点P或点P′即为所求作的点． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $