专题01 二次函数及其图象与性质（11大题型）专题练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 以二次函数定义为起点，通过11类题型系统覆盖图象性质、解析式求法、几何变换及最值应用，形成概念到综合应用的完整逻辑链，培养抽象能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义与解析式|12题|概念辨析、系数确定、待定系数法|从定义（3-5题）到解析式形式（38-44题），构建表达式生成逻辑| |图象与性质|28题|图象识别、顶点坐标、增减性|从基础图象（6-10题）到性质应用（11-15题、52-60题），强化几何直观| |几何变换|7题|平移规律、坐标变化|基于顶点式的变换规则（31-37题），培养空间观念| |最值应用|9题|范围最值、实际应用|结合性质解决动态最值问题（61-69题），发展模型意识与推理能力|

专题01 二次函数及其图象与性质 题型一 二次函数的定义（共5小题） 1．（2026•哈尔滨校级开学）下列各式中，y是x的二次函数的是（　　） A．y＝2x+1 B．y＝ax2+bx+c C． D．y﹣2x2＝x+1 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义：形如y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的函数是二次函数，即可判断． 【解答】解：A、y＝2x+1是一次函数，不是二次函数，故A不符合题意； B、y＝ax2+bx+c未明确a≠0，不一定是二次函数，故B不符合题意； C、是分式形式，不是二次函数，故C不符合题意； D、将y﹣2x2＝x+1整理得y＝2x2+x+1，符合二次函数的定义，是二次函数，故D符合题意； 故选：D． 2．（2026春•海淀区校级期末）若y＝（a﹣4）x|a|﹣2+7x﹣5是二次函数，则a的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．±4 D．±2 【答案】A 【分析】二次函数的一般形式为y＝ax2+bx+c（a≠0），根据定义列出关于a的方程与不等式，进而求解a的值． 【解答】解：由题意可得：|a|﹣2＝2，且a﹣4≠0． 由|a|﹣2＝2，得|a|＝4，解得a＝4或a＝﹣4． 又∵a﹣4≠0，即a≠4， ∴a＝﹣4． 故选：A． 3．（2025秋•北辰区校级月考）指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1）y＝﹣0.9x2+2x﹣3 　﹣0.9　 　2　 　﹣3　 （2）y＝﹣2x2﹣7 　﹣2　 　0　 　﹣7　 （3）y＝﹣x2+x 　﹣1　 　1　 　0　 【答案】（1）﹣0.9，2，﹣3； （2）﹣2，0，﹣7； （3）﹣1，1，0． 【分析】根据二次函数的定义，二次函数的解析式y＝ax2+bx+c（a≠0）解答即可． 【解答】解：y＝﹣0.9x2+2x﹣3的二次项系数为﹣0.9，一次项系数为2，常数项为﹣3； y＝﹣2x2﹣7的二次项系数为﹣2，一次项系数为0，常数项为﹣7； y＝﹣x2+x的二次项系数为﹣1，一次项系数为1，常数项为0； 填表如下： 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1）y＝﹣0.9x2+2x﹣3 ﹣0.9 2 ﹣3 （2）y＝﹣2x2﹣7 ﹣2 0 ﹣7 （3）y＝﹣x2+x ﹣1 1 0 故答案为：（1）﹣0.9，2，﹣3； （2）﹣2，0，﹣7； （3）﹣1，1，0． 4．（2025秋•赤壁市月考）已知函数． （1）若这个函数是一次函数，求m的值． （2）若这个函数是二次函数，求m的值． 【答案】（1）m的值为﹣1； （2）m的值为1． 【分析】（1）根据一次函数的定义即可求解； （2）根据二次函数的定义即可求解． 【解答】解：（1）由条件可知当m2+1＝1时，则m2＝0， 解得m1＝m2＝0， ∴ ＝（0+1）x0+1+（0﹣1）x+0﹣2 ＝x﹣x﹣2 ＝﹣2，不是一次函数， 当m+1＝0时，则m＝﹣1， ∴ ＝﹣2x﹣3， 综上所述，m的值为﹣1； （2）∵是二次函数， ∴m2+1＝2， m2＝1， m＝±1， 当m＝﹣1时， ＝﹣2x﹣3，是一次函数，不符合题意， ∴当m＝1时， ＝2x2﹣1， 综上所述，m的值为1． 5．（2025秋•芜湖期末）已知函数是关于x的二次函数． （1）求m的值； （2）写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】（1）m＝3； （2）二次项系数是12，一次项系数是0，常数项是﹣2． 【分析】（1）根据二次函数的定义，即y＝ax2+bx+c（a≠0）列式求解即可； （2）根据二次函数一般式判定即可． 【解答】解：（1）由条件可得， ∴m＝3． （2）二次函数解析式为y＝12x2﹣2， 故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项为﹣2． 题型二 二次函数y＝ax2的图象（共5小题） 6．（2026•兴庆区校级一模）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法一：分a＞0和a＜0，根据一次函数的性质和二次函数的性质逐项判断即可； 解法二：根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a的正负情况，从而可以解答本题． 【解答】解：解法一：当a＞0时，函数y＝ax2的图象开口向上，函数y＝ax+a的图象经过第一、第二、第三象限，所以A、D错误，B正确； 当a＜0时，函数y＝ax2的图象开口向下，函数y＝ax+a的图象经过第二、第三、第四象限，所以C错误． 解法二：A项，由一次函数的增减性，知a＜0，由一次函数图象与y轴的交点，知a＞0，故A不符合题意； B项，由二次函数的图象，知a＞0，由一次函数的图象，知a＞0，故B符合题意； C项，由二次函数的图象，知a＜0，由一次函数的图象，知a＞0，故C不符合题意； D项，由二次函数的图象，知a＞0，由一次函数的图象，知a＜0，故D不符合题意． 故选：B． 7．（2025秋•洪雅县期末）当ab＜0时，y＝x2与y＝ax+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，ab＜0，分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析选项可得答案． 【解答】解：根据题意分a＞0与a＜0两种情况讨论如下： ab＜0， 当a＞0时，b＜0，抛物线开口向上，过原点，y＝ax+b过一、三、四象限； 此时，A选项符合， 当a＜0时，b＞0，抛物线开口向下，过原点，y＝ax+b过一、二、四象限； 此时，没有选项符合． 故选：A． 8．（2025秋•任泽区期中）二次函数y1＝mx2、y2＝nx2的图象如图所示，则m　＞　 n（填“＞”或“＜”）． 【答案】＞ 【分析】根据抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数的关系即可得出． 【解答】解：根据抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数的关系：系数越大，开口越小， 故m＞n， 故答案为＞． 9．（2025•贵州模拟）如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为 a＞b＞d＞c ． 【答案】a＞b＞d＞c 【分析】设x＝1，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小． 【解答】解：因为直线x＝1与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a），（1，b），（1，d），（1，c）， 所以，a＞b＞d＞c． 10．（2025秋•福海县月考）请按要求画出函数y＝x2的图象： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 y … （1）表格补充完整； （2）画出图象； （3）写出抛物线的增减性． 【答案】（1）表格如下： x ⋯⋯ ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 y … 9 4 1 0 1 4 9 （2）图象如下： （3）当x＜0时，随着x的增大y减小；当x＞0时，随着x的增大y增大． 【分析】（1）将x的数值代入y＝x2即可补全表格； （2）描出（1）中的点，用光滑的曲线连接即可得到函数图象； （3）根据图象即可得到抛物线的增减性． 【解答】解：（1）将x的数值代入y＝x2即可补全表格，表格如下： x ⋯⋯ ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 y … 9 4 1 0 1 4 9 （2）描点连线如图： （3）根据图象可知， 当x＜0时，随着x的增大y减小；当x＞0时，随着x的增大y增大． 题型三 二次函数y＝ax2的性质（共5小题） 11．（2026•长春一模）下列函数中，y的值随x的值增大而增大的是（　　） A．y＝2x2 B．y＝﹣x+3 C．y＝﹣x2 D．y＝x﹣1 【答案】D 【分析】根据各个选项中的函数解析式，即可写出y随x的增大如何变化，然后即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：函数y＝2x2中，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项A错误，不符合题意； 函数y＝﹣x+3中，y随x的增大而减小，故选项B错误，不符合题意； 函数y＝﹣x2中，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小，故选项C错误，不符合题意； 函数y＝x﹣1中，y随x的增大而增大，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 12．（2026•南京一模）二次函数的图象开口向　下　 ．（填“上”或“下”） 【答案】下． 【分析】根据二次函数的性质即可得到二次函数图象的开口方向． 【解答】解：根据二次函数的性质即可得： 二次函数中，， ∴二次函数的图象开口向下， 故答案为：下． 13．（2026•鼓楼区一模）写出一条抛物线y＝2x2，y＝﹣2x2，共有的性质：　顶点坐标为（0，0）（答案不唯一）　 ． 【答案】顶点坐标为（0，0）（答案不唯一）． 【分析】三条抛物线的解析式均为y＝ax2的形式，因此它们都具有相同的对称轴和顶点，即可作答． 【解答】解：∵三条抛物线的解析式均为y＝ax2的形式， ∴二次函数y＝ax2的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）， 故答案为：顶点坐标为（0，0）（答案不唯一）． 14．（2025秋•怀仁市期中）已知抛物线y＝ax2经过点A（﹣2，﹣8）． （1）求此抛物线的解析式． （2）判断点B（﹣1，﹣4）是否在此抛物线上． 【答案】（1）y＝﹣2x2； （2）不在抛物线上，理由： 当x＝﹣1时，y＝﹣2×（﹣1）2＝﹣2， ∴点B（﹣1，﹣4）不在此抛物线上． 【分析】（1）将点A（﹣2，﹣8）代入y＝ax2待定系数法求解析式，即可求解； （2）将x＝﹣1代入（1）的解析式即可求解． 【解答】解：（1）由条件可得﹣8＝a×（﹣2）2， 解得a＝﹣2， ∴抛物线的函数解析式为y＝﹣2x2； （2）当x＝﹣1时，y＝﹣2×（﹣1）2＝﹣2， ∴点B（﹣1，﹣4）不在此抛物线上． 15．（2025秋•射阳县期中）二次函数y＝ax2的图象与直线y＝2x﹣1交于点P（1，m）． （1）求a、m的值； （2）写出二次函数的解析式，并指出x取何值时，y随x的增大而增大？ （3）指出抛物线的顶点坐标和对称轴． 【答案】（1）a＝1，m＝1； （2）当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小； （3）顶点坐标为（0，0），对称轴直线x＝0（或y轴）． 【分析】（1）把P代入y＝2x﹣1，求得m的值，然后将P（1，1）代入二次函数解析式即可求解； （2）根据（1）的结论可写出二次函数解析式，根据解析式求得对称轴为x＝0，进而即可求解； （3）根据函数解析式直接写出顶点坐标与对称轴． 【解答】解：（1）二次函数y＝ax2的图象与直线y＝2x﹣1交于点P（1，m）， 把P代入y＝2x﹣1中得：m＝2×1﹣1＝1， 则P（1，1）， 把P代入y＝ax2中得：1＝a×1， ∴a＝1； （2）∵a＝1＞0，对称轴为直线x＝0， ∴当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小； （3）由y＝x2可得，抛物线的顶点坐标为（0，0），对称轴为直线x＝0（或y轴）． 题型四 二次函数y＝a（x﹣h）2+k图象与系数的关系（共5小题） 16．（2026•科尔沁区校级二模）已知二次函数y＝2（x﹣h）2，当x＞3时，y随x的增大而增大，则h的取值范围是（　　） A．h＝3 B．h＜3 C．h≤3 D．h≥3 【答案】C 【分析】先根据解析式确定开口方向与对称轴，再结合二次函数的增减性和题目条件求解h的取值范围． 【解答】解：∵y＝2（x﹣h）2，且2＞0， ∴开口向上，对称轴为直线x＝h， ∴当x＞h时，y随x的增大而增大， ∵当x＞3时，y随x的增大而增大， ∴h≤3． 故选：C． 17．（2025秋•滨湖区期末）若二次函数y＝（x﹣m）2﹣1在x＜1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　） A．m≥1 B．m≤1 C．m＞1 D．m＜1 【答案】A 【分析】先利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线x＝m，则当x＜m时，y的值随x值的增大而减小，由于x＜1时，y的值随x值的增大而减小，即可得出答案． 【解答】解：二次函数y＝（x﹣m）2﹣1的对称轴为直线x＝m， ∵a＝1＞0， ∴开口向上， ∴而x＜1时，y的值随x值的增大而减小， 当x＜m时，y的值随x值的增大而减小， ∴若二次函数y＝（x﹣m）2﹣1在x＜1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是m≥1， 故选：A． 18．（2026•莲池区二模）在平面直角坐标系中，已知点A（3，1），B（3，3），抛物线L：y＝﹣（x﹣t）2+t，当L与线段AB有公共点时，t的取值范围是（　　） A．3≤t≤4 B．2≤t≤3或4≤t≤5 C．3≤t≤4，5≤t≤6 D．2≤t≤5 【答案】B 【分析】线段AB上所有点横坐标均为3，纵坐标满足1≤y≤3，由抛物线L与线段AB有公共点结合图象求解即可． 【解答】解：在平面直角坐标系中，已知点A（3，1），B（3，3），抛物线L：y＝﹣（x﹣t）2+t，当L与线段AB有公共点时， ∵点A（3，1），B（3，3）， ∴线段AB上所有点横坐标为3，且1≤y≤3． ∵抛物线L与线段AB有公共点，如图， 当抛物线过A（3，1）时， ∴﹣（3﹣t）2+t＝1， 解得：t＝2或t＝5， 当抛物线过B（3，3）时，如图， ∴﹣（3﹣t）2+t＝3， 解得：t＝3或t＝4， ∵抛物线L：y＝﹣（x﹣t）2+t，L与线段AB有公共点， ∴2≤t≤3或4≤t≤5． 故选：B． 19．（2026•哈尔滨校级开学）二次函数y＝（a﹣1）x2+2x+1开口向下，则a的取值范围是a＜1　 ． 【答案】a＜1． 【分析】二次函数图象开口向下时，二次项系数小于0，据此列不等式求解即可． 【解答】解：∵二次函数图象开口向下， ∴a﹣1＜0， 解得a＜1． 故答案为：a＜1． 20．（2025秋•武都区期末）若抛物线y＝（x﹣2）2+（1﹣m）的顶点在第一象限，则m的取值范围为 m＜1　 ． 【答案】m＜1． 【分析】直接利用顶点形式得出顶点坐标，结合第一象限点的特点列出不等式解答即可． 【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣2）2+（1﹣m）， ∴顶点坐标为（2，1﹣m）， ∵顶点在第一象限， ∴1﹣m＞0， ∴m的取值范围为m＜1． 故答案为：m＜1． 题型五 二次函数y＝a（x﹣h）2+k图象上点的坐标特征（共10小题） 21．（2026•松北区一模）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2﹣3与y轴的交点坐标为（　　） A．（0，﹣3） B．（﹣3，0） C．（﹣5，﹣0） D．（0，﹣5） 【答案】D 【分析】此题可把x＝0代入二次函数解析式进行求解即可． 【解答】解：将x＝0代入抛物线解析式得：y＝﹣2（0﹣1）2﹣3＝﹣5， 抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣5）； 故选：D． 22．（2026•海门区校级模拟）已知二次函数y＝a（x﹣m）2+4（a＞0）的图象经过A（﹣1，p），B（3，q）两点，且p＜q，则m的值不可能是（　　） A．﹣2 B． C． D． 【答案】D 【分析】二次函数y＝a（x﹣m）2+4（a＞0）开口向上，对称轴为直线x＝m，根据抛物线上的点与直线x＝m的距离越远对应的y值就越大，即可得到m的取值范围． 【解答】解：由条件可知抛物线开口向上，对称轴为直线x＝m， ∴当抛物线上的点与直线x＝m的距离越远，对应的y值就越大， ∵A（﹣1，p），B（3，q），且p＜q， ∴B点到直线x＝m的距离大于A点到直线x＝m的距离， ∴m≤﹣1或m+1＜3﹣m，即m＜1， ∴m＜1， 而只有1， 故选：D． 23．（2025秋•祥符区期末）已知在二次函数y＝2（x﹣1）2+m的图象上有三点，其坐标分别为（﹣1，y1），（0，y2），（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　） A．y3＞y1＞y2 B．y1＞y2＞y3 C．y1＞y2＝y3 D．y1＝y2＞y3 【答案】C 【分析】由抛物线的对称性知，（0，y2），（2，y3）两点关于对称轴对称，则y2＝y3，再利用增减性质可得y1＞y2，从而确定y1，y2，y3的大小关系． 【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向上，且2﹣1＝1﹣0， ∴点（0，y2），（2，y3）两点关于对称轴对称， ∴y2＝y3； ∵点（﹣1，y1）距离对称轴较远， ∴y1＞y2， ∴y1＞y2＝y3； 故选：C． 24．（2026•沧州模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝a（x﹣3）2+k与L2：y＝m（x+2）2+n的一个交点为A，过点A作x轴的平行线，分别交这两条抛物线于点B、C（点B在点A左侧，点C在点A右侧）．已知点A的横坐标为1，则BC的长为（　　） A．9 B．9.5 C．10 D．10.5 【答案】C 【分析】利用对称性确定出点B与C的横坐标，进而求出BC的长． 【解答】解：两条抛物线的对称轴分别为直线x＝3与直线x＝﹣2， ∵点A的横坐标为1， ∴点C的横坐标为5，点B的横坐标为﹣5， ∴BC＝10， 故选：C． 25．（2026•天宁区校级二模）二次函数y＝a（x﹣1）2+h的图象经过点A（0，4），B（m，4），则m＝　2　 ． 【答案】2 【分析】利用二次函数的对称性即可得到，解得m＝2． 【解答】解：∵二次函数y＝a（x﹣1）2+h， ∴对称轴为直线x＝1， ∵二次函数y＝a（x﹣1）2+h的图象经过点A（0，4），B（m，4）， ∴A、B关于对称轴对称， ∴， ∴m＝2， 故答案为：2． 26．（2025秋•恩施市期末）二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）中的自变量x与函数值y的部分对应值如下： x ﹣2 0 2 y 0 2 n 若h＞0，写出一个符合题意的n的值为 　2（答案不唯一）　 ． 【答案】2（答案不唯一）． 【分析】根据题意设h＝1，则二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的对称轴为直线x＝1，利用二次函数的对称性即可得出一个符合题意的n的值为2． 【解答】解：∵h＞0， ∴设h＝1， ∴二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的对称轴为直线x＝1， ∵二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）图象过点（0，2），（2，n）， ∴点（0，2），（2，n）关于对称轴对称， ∴n＝2， ∴符合题意的n的值可以为2． 故答案为：2（答案不唯一）． 27．（2025秋•长安区校级期末）已知，B（2，y2），是二次函数y＝﹣（x﹣1）2+m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是y3＜y1＜y2 ． 【答案】y3＜y1＜y2． 【分析】根据所给二次函数解析式，结合二次函数的图象与性质进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为二次函数的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+m， 所以抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝1， 则抛物线上的点离对称轴越远，其纵坐标越小． 因为点，B（2，y2），都在该二次函数的图象上， 则且， 所以y3＜y1＜y2． 故答案为：y3＜y1＜y2． 28．（2025秋•长春校级期末）如图，抛物线与平行于x轴的直线l交于A，B两点．若AB＝3，则点B的纵坐标为 　　 ． 【答案】 【分析】设直线l：y＝a，则a，求出A、B坐标即可求解． 【解答】解：∴抛物线， ∴顶点坐标为（h，）， 设直线l：y＝a， 则a，解得：x＝h±， 即：A（h，a），B（h，a）， ∵AB＝3， ∴h（h）＝3， 解得：a， ∴a． 故答案为：． 29．（2025秋•梁溪区校级期末）如图，二次函数y＝﹣x2+k的图象经过正方形ABOC的三个顶点，则k的值为　2　 ． 【答案】2． 【分析】根据题意，得出点A坐标为（0，k），据此可表示出点C的坐标，再将点C坐标代入函数解析式进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为二次函数解析式为y＝﹣x2+k， 则当x＝0时，y＝k， 所以点A坐标为（0，k）． 因为四边形ABOC是正方形， 所以点C坐标可表示为（）， 将点C坐标代入y＝﹣x2+k得， ， 解得k＝2或k＝0（舍去）， 所以k的值为2． 故答案为：2． 30．（2025秋•潮阳区期末）已知二次函数y＝m（x+1）2﹣5的图象经过点（1，3）． （1）求m的值． （2）判断点（﹣2，﹣1）是否在这个二次函数的图象上． 【答案】（1）m＝2； （2）点（﹣2，﹣1）不在这个二次函数的图象上． 【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值； （2）代入x＝﹣2，求出y值，再将其与﹣1比较后，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝m（x+1）2﹣5的图象经过点（1，3）， ∴3＝m（1+1）2﹣5， 解得：m＝2， ∴m的值为2； （2）当x＝﹣2时，y＝2×（﹣2+1）2﹣5＝﹣3， ∵﹣3≠﹣1， ∴点（﹣2，﹣1）不在这个二次函数的图象上． 题型六 二次函数y＝a（x﹣h）2+k图象与几何变换（共7小题） 31．（2026•徐州）在平面直角坐标系中，将函数y＝（x﹣1）2+4的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（　　） A．y＝（x+1）2+5 B．y＝（x+1）2+3 C．y＝（x﹣3）2+3 D．y＝（x﹣3）2+5 【答案】B 【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移法则即可解决问题． 【解答】解：由题知， 将函数y＝（x﹣1）2+4的图象向左平移2个单位长度后，所得抛物线的函数表达式为y＝（x+2﹣1）2+4＝（x+1）2+4， 再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为y＝（x+1）2+4﹣1＝（x+1）2+3． 故选：B． 32．（2025秋•新余校级期末）将抛物线y＝2x2先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是（　　） A．y＝2（x﹣3）2﹣2 B．y＝2（x+3）2﹣2 C．y＝2（x﹣3）2+2 D．y＝2（x+3）2+2 【答案】B 【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【解答】解：将抛物线y＝2x2先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是：y＝2（x+3）2﹣2． 故选：B． 33．（2026•岳池县模拟）将抛物线y＝（x﹣2）2+3先向右平移4个单位长度后，接着再向上平移2个单位长度，得到新抛物线y＝a（x﹣h）2+k，则a+h+k的值为（　　） A．﹣4 B．0 C．4 D．12 【答案】D 【分析】根据抛物线平移规则：向右平移a个单位，则x替换为x﹣a；向上平移b个单位，则y替换为y﹣b．对原抛物线逐步平移后，得到新解析式，再与标准形式比较得出a、h、k的值，最后求和． 【解答】解：∵原抛物线为 y＝（x﹣2）2+3向右平移4个单位可得：y＝[（x﹣4）﹣2]2+3＝（x﹣6）2+3； 抛物线y＝（x﹣6）2+3再向上平移2个单位得y＝（x﹣6）2+5， 即新抛物线为 y＝（x﹣6）2+5， 与 y＝a（x﹣h）2+k 比较， 得 a＝1，h＝6，k＝5， ∴a+h+k＝1+6+5＝12． 故选：D． 34．（2026•尤溪县模拟）将抛物线C：y＝﹣（x﹣3）2+6进行平移得抛物线C′：y＝﹣x2+2，点P（m，5）在抛物线C上，对应点P′在抛物线C′上，则点P′的横坐标可以是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先根据两个抛物线的顶点坐标确定平移规律，然后用含m的代数式表示出点P′的坐标，再将点P′的坐标代入抛物线C′的方程，即可求出点P′的横坐标． 【解答】解：∵抛物线C的顶点为（3，6），抛物线C′的顶点为（0，2）， ∴平移规律为：向左平移3个单位，向下平移4个单位， ∵点P（m，5）在抛物线C上，平移后对应点为P′， ∴P′的坐标为（m﹣3，5﹣4），即（m﹣3，1）， ∵P′在抛物线C′上， 将P′（m﹣3，1）代入y＝﹣x2+2得：1＝﹣（m﹣3）2+2， 整理得（m﹣3）2＝1， 解得m＝2或m＝4， 则m﹣3的值可以是﹣1或1， 因此点P′的横坐标可以是﹣1或1，选项A符合． 故选：A． 35．（2026•惠山区模拟）如果将抛物线y＝（x﹣1）2﹣4向上平移m（m＞0）个单位后经过原点，那么m的值是　3　 ． 【答案】3． 【分析】根据二次函数图象平移规律“上加下减”，得到平移后的函数解析式，再代入原点坐标求解即可． 【解答】解：将抛物线y＝（x﹣1）2﹣4向上平移m（m＞0）个单位后，新函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣4+m． ∵平移后函数图象经过原点， ∴0＝（0﹣1）2﹣4+m， 解得m＝3， 故答案为：3． 36．（2026•海淀区校级开学）将抛物线y＝2x2沿着直线y＝3x的方向平移，平移后的抛物线顶点横坐标为1，则平移后的抛物线表达式为y＝2（x﹣1）2+3　 ． 【答案】y＝2（x﹣1）2+3． 【分析】易得顶点坐标为（1，3），即可得解． 【解答】解：由题可当x＝1时，y＝3， 即顶点坐标为（1，3）， ∵a＝2， ∴y＝2（x﹣1）2+3； 故答案为：y＝2（x﹣1）2+3． 37．（2025秋•宝山区期末）将抛物线y＝﹣x2平移，使平移后的抛物线经过点A（0，﹣10）、B（8，﹣10）． （1）求平移后的抛物线的表达式； （2）说明由抛物线y＝﹣x2如何平移得到新抛物线． 【答案】（1）平移后的抛物线的表达式y＝﹣（x﹣4）2+6； （2）把抛物线y＝﹣x2向右平移4个单位得到抛物线y＝﹣（x﹣4）2+6解析式． 【分析】（1）根据平移后的抛物线经过点A（0，﹣10）、B（8，﹣10），得出平移后的抛物线对称轴，从而得出平移后函数解析式； （2）根据平移规律得出结论． 【解答】解：（1）∵平移后的抛物线经过点A（0，﹣10）、B（8，﹣10）， ∴平移后抛物线的对称轴为直线x4， 设平移后的函数解析式为y＝﹣（x﹣4）2+k， 把（8，﹣10）代入解析式得：﹣10＝﹣16+k， 解得k＝6， ∴平移后的抛物线的表达式y＝﹣（x﹣4）2+6； （2）把抛物线y＝﹣x2向右平移4个单位，再向上平移6个单位得到抛物线y＝﹣（x﹣4）2+6解析式． 题型七 待定系数法求二次函数解析式（共7小题） 38．（2026•仪征市一模）已知抛物线y1顶点坐标为（﹣1，2），且与的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线y1的解析式为（　　） A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝﹣（x+1）2+2 D．y＝﹣（x﹣1）2+2 【答案】B 【分析】根据抛物线开口和形状确定二次项系数，再将顶点坐标代入顶点式，即可得出解析式． 【解答】解：设抛物线y1为y＝a（x﹣h）2+k， 由题意可得：a＝1， ∴将（﹣1，2）代入可得y＝（x+1）2+2． 故选：B． 39．（2025秋•红桥区期中）若抛物线的顶点坐标为（2，﹣5），与y轴相交于点（0，﹣9），则该抛物线的解析式为（　　） A．y＝﹣（x﹣2）2﹣5 B．y＝（x﹣2）2﹣5 C．y＝﹣（x+2）2﹣5 D．y＝（x+2）2+5 【答案】A 【分析】根据顶点坐标设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2﹣5，再代入点（0，﹣9），求出系数a＝﹣1，问题得解． 【解答】解：若抛物线的顶点坐标为（2，﹣5），与y轴相交于点（0，﹣9）， ∴设解析式为y＝a（x﹣2）2﹣5， 又∵抛物线过点（0，﹣9）， ∴﹣9＝a（0﹣2）2﹣5， 解得a＝﹣1， ∴y＝﹣（x﹣2）2﹣5． 故选：A． 40．（2025秋•云南校级期中）小明在平面直角坐标系中画了一个二次函数的图象，该图象经过（1，0），（3，0），（0，3）三点，若用顶点式表示这个二次函数，正确的是（　　） A．y＝（x+2）2﹣1 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2+1 【答案】C 【分析】先设交点式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），再把点（0，3）代入求出a＝1，从而得到抛物线的一般式，然后配方得到顶点式即可． 【解答】解：∵二次函数图象经过（1，0），（3，0）， ∴设二次函数为y＝a（x﹣1）（x﹣3）， 把点（0，3）代入得3＝a（0﹣1）（0﹣3）， 解得a＝1． ∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x﹣3）， 即y＝x2﹣4x+3． ∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1． ∴抛物线的顶点式为y＝（x﹣2）2﹣1． 故选：C． 41．（2025秋•拱墅区校级期中）已知某二次函数，当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（　　） A．y＝（x+1）2 B．y＝2（x﹣1）2 C．y＝﹣2（x+1）2 D．y＝﹣2（x﹣1）2 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质，得出二次函数的对称轴为直线：x＝1，再根据x＜1时，y随x的增大而减小；x＞1时，y随x的增大而增大，得出开口向上． 【解答】解：∵二次函数，当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大， ∴对称轴是：x＝1，开口向上， A．y＝（x+1）2，对称轴：x＝﹣1，故A选项不合题意； B．y＝2（x﹣1）2，故B选项符合题意； C．y＝﹣2（x+1）2，开口向下，故C选项不合题意； D．y＝﹣2（x﹣1）2，开口向下，故D选项不合题意； 故选：B． 42．（2025•靖江市校级三模）已知一条抛物线的形状与抛物线y＝2x2+3形状相同，与另一条抛物线y（x+1）2﹣2的顶点坐标相同，这条抛物线的解析式为 y＝2（x+1）2﹣2，y＝﹣2（x+1）2﹣2　 ． 【答案】y＝2（x+1）2﹣2，y＝﹣2（x+1）2﹣2 【分析】设抛物线的顶点式为y＝±2（x﹣h）2+k，再求得顶点坐标是（﹣1，﹣2），代入即可确定解析式． 【解答】解：∵一条抛物线的形状与抛物线y＝2x2+3形状相同， ∴a＝±2， 设抛物线的顶点式为y＝±2（x﹣h）2+k， 由y（x+1）2﹣2可知顶点（﹣1，﹣2） ∴此抛物线顶点坐标是（﹣1，﹣2）， ∴抛物线的顶点式为y＝±2（x+1）2﹣2． 故答案为：y＝2（x+1）2﹣2，y＝﹣2（x+1）2﹣2． 43．（2026•云南模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x﹣1）2+4经过点（﹣1，8）． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点A（m，n）在抛物线上，，且m与K均为整数，求点A的坐标． 【答案】（1）y＝（x﹣1）2+4； （2）（2，5）或（0，5）． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）将点A（m，n）代入y＝（x﹣1）2+4中，得出（m﹣1）2＝n﹣4，由，且m与K均为整数，求出m的值进而即可求点A的坐标． 【解答】解：（1）由条件可知a（﹣1﹣1）2+4＝8， 解得a＝1， ∴抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2+4； （2）m，n满足n＝（m﹣1）2+4，即n﹣4＝（m﹣1）2，则（n﹣4）2＝（m﹣1）4， ∵，且m与K均为整数， ∴ ， ∴m﹣1＝1或m﹣1＝﹣1， ∴m＝2或m＝0， m＝2时，n＝（2﹣1）2+4＝5；m＝0时，n＝（0﹣1）2+4＝5， 综上，点A的坐标为（2，5）或（0，5）． 44．（2026秋•同步）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝（x+h）2的顶点为B（2，0），与y轴交于点A，过点A作AC⊥y轴，交该抛物线于点C，连接BC，以AC，BC为边作▱ACBD． （1）求该抛物线的表达式； （2）求点D的坐标． 【答案】（1）y＝（x﹣2）2； （2）D（﹣2，0）． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）由题意可知A、C关于直线x＝2对称，先确定A点的坐标，然后确定C点的坐标，则AC＝4，根据平行四边形的性质得出BD＝AC＝4，进一步求得D的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝（x+h）2的顶点为B（2，0）， ∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2； （2）当x＝0时，y＝（x﹣2）2＝4， ∴A（0，4）， ∵顶点为B（2，0）， ∴对称轴为直线x＝2， ∵AC⊥y轴，交该抛物线于点C， ∴A、C关于直线x＝2对称， ∴C（4，4）， ∴AC＝4， ∵▱ACBD中，BD＝AC＝4，B（2，0）， ∴D（﹣2，0）． 题型八 二次函数的三种形式（共7小题） 45．（2025秋•魏县期中）二次函数y＝3﹣4（x﹣5）2的顶点坐标是（　　） A．（3，﹣5） B．（3，5） C．（5，﹣3） D．（5，3） 【答案】D 【分析】将二次函数化为顶点形式y＝a（x﹣h）2+k，即可直接读出顶点坐标（h，k）． 【解答】解：∵y＝3﹣4（x﹣5）2＝﹣4（x﹣5）2+3， ∴顶点坐标为（5，3）． 故选：D． 46．（2025秋•武清区校级月考）二次函数中．二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3、﹣2、5 B． C．，5 D． 【答案】C 【分析】依据题意，根据二次函数的解析式为，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵二次函数为， ∴二次项系数为3，一次项系数为﹣2、常数项为5． 故选：C． 47．（2026•道里区模拟）把二次函数y＝x2﹣2x﹣1的解析式配成顶点式为（　　） A．y＝（x﹣1）2 B．y＝（x﹣1）2﹣2 C．y＝（x+1）2+1 D．y＝（x+1）2﹣2 【答案】B 【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． 【解答】解：y＝x2﹣2x﹣1＝x2﹣2x+1﹣1﹣1＝（x﹣1）2﹣2． 故选：B． 48．（2025秋•徐汇区校级月考）如果抛物线y＝（a﹣1）x2+ax﹣1的顶点是它的最低点，那么a的取值范围是（　　） A．a＞0 B．a＜0 C．a＞1 D．a＜1 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质列出算式，求出a的范围． 【解答】解：∵抛物线y＝（a﹣1）x2+ax﹣1的顶点是它的最低点， ∴抛物线开口向上， ∴a﹣1＞0， ∴a＞1， 故选：C． 49．（2025秋•立山区月考）小睿同学画二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0，b＞0）的图象，列出表格如下： x … ﹣1 0 1 2 … y … 3 2 3 3 … 他发现有一组对应值计算有误，则错误的那一组对应值化成点坐标是（　　） A．（﹣1，3） B．（0，2） C．（1，3） D．（2，3） 【答案】A 【分析】根据抛物线开口向下可得抛物线不能同时经过（﹣1，3）、（1，3）、（2，3）求解即可． 【解答】解：∵抛物线不能同时经过（﹣1，3）、（1，3）、（2，3）， ∴（﹣1，3）不在抛物线上， 故选：A． 50．（2025秋•阿克陶县月考）二次函数解析式通常有三种形式：①一般式 y＝ax2+bx+c（a≠0）　 ；②顶点式 y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）　 ；③双根式 y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0）　 ． 【答案】y＝ax2+bx+c（a≠0）y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0）． 【分析】根据二次函数的三种形式：一般式，形如y＝ax2+bx+c（a≠0）；顶点式，形如y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）；双根式，形如y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0），进行求解即可． 【解答】解：根据二次函数的三种形式：一般式，形如y＝ax2+bx+c（a≠0）；顶点式，形如y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）；双根式，形如y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0）， 二次函数的一般式是形如y＝ax2+bx+c（a≠0）的形式可得； 二次函数的顶点式是形如y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）； 若x1、x2是二次函数与x轴的两个交点的横坐标，则二次函数解析式可以设为形如y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0）的形式，这叫做双根式， 故答案为：y＝ax2+bx+c（a≠0），y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0）． 51．（2025秋•门头沟区校级期末）已知二次函数y＝x2﹣6x+5． （1）用配方法将其化为y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）在所给的平面直角坐标系xOy中，画出该函数的图象； （3）根据图象，当0＜x≤4时，直接写出y的取值范围； （4）根据图象，当y＞0时，直接写出x的取值范围． 【答案】（1）y＝（x﹣3）2﹣4； （2）图象如图所示： （3）y的取值范围为﹣4≤y＜5； （4）x的取值范围为x＞5或x＜1． 【分析】（1）用配方法配方成顶点式即可； （2）写出顶点坐标，计算其与x轴的交点和与y轴的交点，列表、描点，画出图象； （3）由图象可知y的取值范围； （4）由图象可知x的取值范围． 【解答】解：（1）y＝x2﹣6x+5＝（x2﹣6x+9﹣9）+5＝（x﹣3）2﹣4； （2）由（1）知，顶点（3，﹣4）， 当y＝0时，x2﹣6x+5＝0， （x﹣5）（x﹣1）＝0， x1＝1，x2＝5， ∴与x轴交点为（1，0）、（5，0）， 当x＝0时，y＝5， ∵x＝0与x＝6关于x＝3对称， ∴当x＝6时，y＝5， ∴五个点为（3，﹣4），（1，0）、（5，0），（0，5）、（6，5）， 图象如图所示： （3）当0＜x≤4时，由图象可知，y的取值范围为﹣4≤y＜5； （4）当y＞0时，由图象可知，x的取值范围为x＞5或x＜1． 题型九 二次函数图象与系数的关系（共3小题） 52．已知二次函数的图象如图所示，那么下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数的图象性质，根据二次函数的图象判断式子符号，正确掌握相关性质内容是解题的关键； 根据图象特点可得到，，，，即可判断选项A；根据对称轴不是直线，可得，即可判断选项B；根据图象可知，当时，，即可判断选项C；根据图象可知，当时，，即可判断选项D． 【详解】解：由二次函数图象可知，函数图象开口向上，即， ∵对称轴在轴的右侧， ∴， ∵图象与轴的交点在轴的负半轴， ∴， ∴，可判断选项A错误； ∵当对称轴时，可得， 而由图象分析可知，二次函数的对称轴不是直线， ∴，故选项B错误； 由图象可知当时，，故选项C正确； 由图象可知当时，，故选项D错误； 故选：C． 53．如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则下列讨论中错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象，判断出、、的关系与符号，逐项验证即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴，，故B正确， ∵二次函数的图象与轴交于正半轴， ∴， ∴，故A正确 ∵， ∴，故C正确， ∵图象过点， ∴， ∴， ∴，故D错误． 54．如图为二次函数的图像，则下列说法：①；②；③；④当时，；⑤；⑥，其中正确的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数图像的开口方向可判断①，根据对称轴可判断②，根据特殊点可判断③，根据图像的特点可以判断④，根据二次函数图像与轴的交点可判断⑤，根据二次函数的最值可判断⑥． 【详解】解：∵二次函数的图像开口向下， ∴，故说法①不正确； ∵二次函数的图像与轴交点横坐标分别是和， ∴该图像的对称轴为：， ∴，故说法②正确； 由二次函数的图像可知：当时，， ∴，故说法③正确； 由二次函数的图像可知：当时，函数图像在轴上方，即，故说法④正确； 由二次函数的图像可知：该图像与轴有个交点， ∴一元二次方程有两个不相等的根， ∴，故说法⑤错误； ∵二次函数的图像开口向下，对称轴为， ∴当时，最大值为， 当时，， ∴， 即（为实数），故说法⑥正确； ∴正确的有个． 题型十 二次函数图象与性质（共6小题） 55．抛物线的对称轴是直线（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为抛物线的解析式为， 所以该抛物线的对称轴为直线． 56．已知抛物线经过和两点，则的值为（ ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图像和性质．熟悉二次函数的图像和性质，抛物线的对称性，二次函数的对称轴公式，是解题的关键． 点和纵坐标相同，故关于抛物线的对称轴对称，先求对称轴以确定，再代入求． 【详解】解：∵抛物线，经过和，两点纵坐标相等， ∴对称轴为直线， 又∵对称轴为直线， ∴，解得， ∴抛物线为， 代入，得， 或代入，，结果一致． 故选：． 57．若，，为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，由题意得，抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上，再根据二次函数的增减性求解即可． 【详解】解：由题意得，抛物线对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， ∵点离对称轴直线最远，点离对称轴直线最近， ∴， 故选：D． 58．关于抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，下列说法错误的是（ ） A．开口向下 B．与y轴交于正半轴 C．对称轴在y轴左侧 D．不经过第一象限 【答案】D 【解答】解：由条件可知图象开口向下，故选项A正确，不符合题意； 令x＝0，即y＝3， ∴图象交于y轴的正半轴，故选项B正确，不符合题意； ，所以对称轴在y轴的左侧，故选项C正确，不符合题意； 令﹣x2﹣2x+3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，故与x轴的交点（1，0），（﹣3，0），又知道与y轴的交点坐标为（0，3），图象一定经过第一象限，选项D错误，符合题意； 故选：D． 59．若二次函数的图象在坐标系中的位置如图所示，则函数的图象可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由的图象可得，，，，从而可判断的大致图象． 【详解】解：∵的图象开口向下， ∴， ∴的图象与轴交于负半轴； ∵的对称轴在轴左边， ∴， ∴， ∵的图象与轴交于负半轴， ∴， ∴， ∴的图象开口向下，对称轴在轴左边， ∵的图象与轴没有交点， ∴， ∴的图象与轴没有交点， 综上所述，可得D选项符合题意． 故选：D． 60．已知二次函数，其中为常数． (1)若，求此函数图象的顶点坐标； (2)当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入二次函数中，得到，即可得到函数图象的顶点坐标为； （2）先求得抛物线的对称轴为直线，根据当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，得到，即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴二次函数， ∴函数图象的顶点坐标为； （2）解：∵二次函数为， ∴对称轴为直线， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴，解得； ∵当时，随的增大而增大， ∴，解得， ∴的取值范围是． 题型十一 二次函数的最值（共9小题） 61．（2026•沁阳市模拟）定义运算：a★b＝a（a+2b）﹣3，例如4★3＝4×（4+2×3）﹣3，则函数y＝（x+1）★2的最小值为（　　） A．﹣3 B．﹣7 C．﹣9 D．﹣21 【答案】B 【分析】根据新定义运算，将函数化为二次函数，然后化为顶点式，根据二次函数性质求最小值即可． 【解答】解：定义运算：a★b＝a（a+2b）﹣3，例如4★3＝4×（4+2×3）﹣3， y＝（x+1）★2＝（x+1）[（x+1）+2×2]﹣3＝（x+1）（x+5）﹣3＝x2+6x+2， 化为顶点式得 y＝（x+3）2﹣7， ∵a＝1＞0，抛物线开口向上， ∴当x＝﹣3时，y有最小值，y最小＝﹣7． 故选：B． 62．（2025秋•威海期末）在“探索二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：A（0，1），B（2，1），C（4，1），D（3，2）．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式y＝ax2+bx+c，则a+b+c的最大值等于（　　） A．﹣5 B． C．2 D．5 【答案】C 【分析】根据坐标系中的四个点画出二次函数的图象，根据图象判断经过A、D、C三点的抛物线当x＝1时，y的值最大，利用待定系数法求得二次函数的系数即可求解． 【解答】解：∵A、B、C的纵坐标相同， ∴抛物线不会经过A、B、C三点， ∴抛物线经过可能经过A、D、C或者B、D、C或者A、B、D， 如图，经过A、D、C三点的抛物线，当x＝1时，y的值最大， 把A（0，1），C（4，1），D（3，2）代入y＝ax2+bx+c得， 解得， ∴经过A、D、C三点的抛物线的解析式为yx2x+1， 当x＝1时，y1＝2， 故a+b+c的最大值等于2， 故选：C． 63．（2025秋•东台市期末）若二次函数y＝﹣x2+4x+9在t≤x≤t+3的范围内的最大值为4，则实数t的值为（　　） A．﹣4或5 B．﹣1或5 C．﹣1或7 D．﹣4或7 【答案】A 【分析】二次函数开口向下，顶点为（2，13），最大值为13．由于要求区间内最大值为4（小于13），故对称轴为直线x＝2不在区间内，即区间完全在对称轴左侧或右侧．分两种情况讨论：①区间在左侧时，最大值在右端点取得；②区间在右侧时，最大值在左端点取得．分别解方程求t，并验证区间条件． 【解答】解：若二次函数y＝﹣x2+4x+9在t≤x≤t+3的范围内的最大值为4， ∵y＝﹣x2+4x+9＝﹣（x﹣2）2+13， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，13），为最高点， ①当x≤2时，抛物线随x的增大而增大， ∴当t+3＜2，即t＜﹣1，函数有最大值4， ∴﹣（t+3）2+4（t+3）+9＝4， 解得t＝﹣4或t＝2（舍去，t＜﹣1）， ∴t＝﹣4； ②当x≥2时，抛物线随x的增大而减小， ∴当t＞2时，即函数有最大值4， ∴﹣t2+4t+9＝4， 解得t＝5或t＝﹣1（舍去）， ∴t＝5， 综上，t的值为﹣4或5， 故选A． 64．（2025秋•富顺县期末）若函数y＝x2﹣2x+1在a≤x≤a+2上的最小值为4，则实数a的值为（　　） A．﹣3或3 B．﹣1或1 C．0或2 D．2或4 【答案】A 【分析】求出函数值为4时的自变量值，再根据开口方向，得到关于a的方程，解之即可． 【解答】解：∵函数y＝x2﹣2x+1在a≤x≤a+2上的最小值为4， ∴令y＝4， 解得：x＝﹣1或x＝3， ∵1＞0， ∴函数图象开口向上， ∴a+2＝﹣1或a＝3， ∴a＝﹣3或a＝3． 故选：A． 65．（2026•广州）二次函数y＝x2﹣4x+2的最小值为　﹣2　 ． 【答案】﹣2 【分析】直接利用配方法求出二次函数的顶点式，进而得出答案． 【解答】解：y＝x2﹣4x+2 ＝（x﹣2）2﹣2， 故二次函数y＝x2﹣4x+2的最小值为：﹣2． 故答案为：﹣2． 66．（2025秋•瑶海区校级期末）已知一个直角三角形的两直角边之和为10cm，则这个直角三角形面积最大为　12.5　 cm2． 【答案】12.5． 【分析】设一条直角边为xcm，则另一条为（10﹣x）cm，则根据三角形面积公式即可得到面积S和x之间的解析式，求最值即可． 【解答】解：设一条直角边为xcm，则另一条为（10﹣x）cm， 则Sx（10﹣x）（x﹣5）2+12.5， ∵0， ∴当x＝5cm时，S最大＝12.5cm2． 故答案为：12.5． 67．（2025秋•河东区期末）二次函数y＝x2﹣2mx（m≠0）的图象经过点A（2m+1，y1），点B（m﹣1，y2）． （1）若m＝4，求抛物线的顶点坐标； （2）若存在实数k，使得y2﹣1＝k（y1﹣1），且1＜k＜2，求m的取值范围； （3）当m﹣1≤x≤2m+1时，随着x增大，y先减小再增大，y的最大值与y的最小值的和为，求m的值． 【答案】（1）（4，﹣16）； （2）﹣4＜m＜﹣2； （3）或． 【分析】（1）把m＝4代入抛物线的解析式，化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，求解即可； （2）根据图象过点的意义，确定对应的函数值，再代入y2﹣1＝k（y1﹣1），化简，结合1＜k＜2，求解即可； （3）先得到当x＝m时，y的最小值是﹣m2，再分2m+1﹣m＞m﹣（m﹣1）和2m+1﹣m＜m﹣（m﹣1）确定函数的最大值，结合y的最大值与y的最小值的和为，列等式解方程求解即可． 【解答】解：（1）二次函数y＝x2﹣2mx（m≠0）的图象经过点A（2m+1，y1），点B（m﹣1，y2） 若m＝4，则y＝x2﹣8x＝（x﹣4）2﹣16， ∴顶点坐标（4，﹣16）； （2）把x＝2 m+1代入得，， 把x＝m﹣1代入得，， ∵y2﹣1＝k（y1﹣1）， ∴， ∵1＜k＜2， ∴， ∴﹣4＜m＜﹣2； （3）∵对称轴为， ∴当m﹣1≤x≤2m+1时，随着x的值增大，y的值先减小再增大， ∴点B（m﹣1，y2）在对称轴x＝m的左侧，点A（2m+1，y1）在对称轴x＝m的右侧， ∴当x＝m时，y的最小值是﹣m2， 若2m+1﹣m＞m﹣（m﹣1），即m＞0，y的最大值是2m+1， ∴． 解得，（舍去）， 若2m+1﹣m＜m﹣（m﹣1），即﹣1＜m＜0，y的最大值是1﹣m2， ∴， 解得，（舍去）， 综上，m的值是或． 68．（2025秋•黄岩区期末）已知二次函数y＝ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（4，﹣1）． （1）求二次函数图象的对称轴； （2）若a＞0，当3≤x≤5时，函数最大值为9，求a的值； （3）已知函数图象经过A（t﹣1，m）、B（3﹣t，n），且n＜m＜b﹣1，求t的取值范围． 【答案】（1）二次函数图象的对称轴为直线x＝2；（2）a＝2；（3）t的取值范围为t＞2且t≠3． 【分析】（1）利用待定系数法与二次函数的性质解答即可； （2）利用二次函数的性质得到当x＝5时，函数最大值为9，再利用待定系数法解答即可； （3）利用二次函数的性质得到a＜0，且t﹣1≠2，则t≠3，再利用二次函数的性质列出不等式解答即可． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（4，﹣1）， ∴16a+4b﹣1＝﹣1， ∴b＝﹣4a， ∴x2． ∴二次函数图象的对称轴为直线x＝2； （2）∵对称轴为直线x＝2，a＞0， ∴抛物线的开口向上，当x＞2时，y随x的增大而增大， ∵当3≤x≤5时，函数最大值为9， ∴当x＝5时，函数最大值为9， 由（1）知：b＝﹣4a， ∴y＝ax2﹣4ax﹣1， ∴25a﹣20a﹣1＝9， ∴a＝2． （3）∵y＝ax2+bx﹣1， ∴当x＝2时，y＝b﹣1， 即二次函数的极值为b﹣1， ∵n＜m＜b﹣1， ∴二次函数有最大值， ∴a＜0，且t﹣1≠2， ∴t≠3． ∵n＜m， ∴|t﹣1﹣2|＜|3﹣t﹣2|， 解得：t＞2 综上，t的取值范围为t＞2且t≠3． 69．（2025秋•河南期末）已知抛物线y＝x2+bx+c经过点（2，1）和点（﹣1，4）； （1）求该抛物线的解析式． （2）若将抛物线y＝x2+bx+c往下平移m个单位长度得到新的抛物线y1，且当0≤x≤3时，y1的最大值为3，求m的值． （3）若当t≤x≤t+1时，抛物线y＝x2+bx+c的最小值为4，求t的值．（直接写出结果） 【答案】（1）y＝x2﹣2x+1； （2）m＝1； （3）t的值为﹣2或3． 【分析】（1）通过代入已知点建立方程组求解b和c的值，得到抛物线解析式； （2）平移后的抛物线开口向上，分析0≤x≤3的最大值位置，根据端点处的函数值求解m； （3）分析原抛物线的顶点位置及区间t≤x≤t+1与顶点的关系，分情况讨论最小值为4时的t值． 【解答】解：（1）将点（2，1），（﹣1，4）代入抛物线y＝x2+bx+c，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+1，即y＝（x﹣1）2， （2）原抛物线为y＝（x﹣1）2，向下平移m个单位后为， 抛物线开口向上，在0≤x≤3中，顶点在x＝1时取得最小值﹣m； ∵3﹣1＞1﹣0， ∴当x＝3时，y＝（3﹣1）2﹣m＝4﹣m为最大值， ∴4﹣m＝3， ∴m＝1； （3）原抛物线y＝（x﹣1）2的顶点为（1，0），开口向上．当t≤x≤t+1包含顶点x＝1时，最小值为0，但题目要求最小值为4，故t≤x≤t+1不包含顶点； t≥1，此时函数最小值在x＝t处： （t﹣1）2＝4， ∴t﹣1＝±2， 解得：t＝3或t＝﹣1（舍去）， 当t+1≤1，即t≤0时，此时函数最小值在x＝t+1处： （t+1﹣1）2＝4， ∴t2＝4， ∴t＝2（舍去）或t＝﹣2， 综上，t的值为﹣2或3． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数及其图象与性质 题型一 二次函数的定义（共5小题） 1．（2026•哈尔滨校级开学）下列各式中，y是x的二次函数的是（　　） A．y＝2x+1 B．y＝ax2+bx+c C． D．y﹣2x2＝x+1 2．（2026春•海淀区校级期末）若y＝（a﹣4）x|a|﹣2+7x﹣5是二次函数，则a的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．±4 D．±2 3．（2025秋•北辰区校级月考）指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1）y＝﹣0.9x2+2x﹣3 　 　 　 　 　 　 （2）y＝﹣2x2﹣7 　 　 　 　 　 　 （3）y＝﹣x2+x 　 　 　 　 　 　 4．（2025秋•赤壁市月考）已知函数． （1）若这个函数是一次函数，求m的值． （2）若这个函数是二次函数，求m的值． 5．（2025秋•芜湖期末）已知函数是关于x的二次函数． （1）求m的值； （2）写出二次项系数、一次项系数及常数项． 题型二 二次函数y＝ax2的图象（共5小题） 6．（2026•兴庆区校级一模）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a的图象大致是（　　） A． B． C． D． 7．（2025秋•洪雅县期末）当ab＜0时，y＝x2与y＝ax+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 8．（2025秋•任泽区期中）二次函数y1＝mx2、y2＝nx2的图象如图所示，则m　 　 n（填“＞”或“＜”）． 9．（2025•贵州模拟）如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为 　 　 ． 10．（2025秋•福海县月考）请按要求画出函数y＝x2的图象： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 y … （1）表格补充完整； （2）画出图象； （3）写出抛物线的增减性． 题型三 二次函数y＝ax2的性质（共5小题） 11．（2026•长春一模）下列函数中，y的值随x的值增大而增大的是（　　） A．y＝2x2 B．y＝﹣x+3 C．y＝﹣x2 D．y＝x﹣1 12．（2026•南京一模）二次函数的图象开口向　 　 ．（填“上”或“下”） 13．（2026•鼓楼区一模）写出一条抛物线y＝2x2，y＝﹣2x2，共有的性质：　 　 ． 14．（2025秋•怀仁市期中）已知抛物线y＝ax2经过点A（﹣2，﹣8）． （1）求此抛物线的解析式． （2）判断点B（﹣1，﹣4）是否在此抛物线上． 15．（2025秋•射阳县期中）二次函数y＝ax2的图象与直线y＝2x﹣1交于点P（1，m）． （1）求a、m的值； （2）写出二次函数的解析式，并指出x取何值时，y随x的增大而增大？ （3）指出抛物线的顶点坐标和对称轴． 题型四 二次函数y＝a（x﹣h）2+k图象与系数的关系（共5小题） 16．（2026•科尔沁区校级二模）已知二次函数y＝2（x﹣h）2，当x＞3时，y随x的增大而增大，则h的取值范围是（　　） A．h＝3 B．h＜3 C．h≤3 D．h≥3 17．（2025秋•滨湖区期末）若二次函数y＝（x﹣m）2﹣1在x＜1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　） A．m≥1 B．m≤1 C．m＞1 D．m＜1 18．（2026•莲池区二模）在平面直角坐标系中，已知点A（3，1），B（3，3），抛物线L：y＝﹣（x﹣t）2+t，当L与线段AB有公共点时，t的取值范围是（　　） A．3≤t≤4 B．2≤t≤3或4≤t≤5 C．3≤t≤4，5≤t≤6 D．2≤t≤5 19．（2026•哈尔滨校级开学）二次函数y＝（a﹣1）x2+2x+1开口向下，则a的取值范围是　 　 ． 20．（2025秋•武都区期末）若抛物线y＝（x﹣2）2+（1﹣m）的顶点在第一象限，则m的取值范围为 　 　 ． 题型五 二次函数y＝a（x﹣h）2+k图象上点的坐标特征（共10小题） 21．（2026•松北区一模）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2﹣3与y轴的交点坐标为（　　） A．（0，﹣3） B．（﹣3，0） C．（﹣5，﹣0） D．（0，﹣5） 22．（2026•海门区校级模拟）已知二次函数y＝a（x﹣m）2+4（a＞0）的图象经过A（﹣1，p），B（3，q）两点，且p＜q，则m的值不可能是（　　） A．﹣2 B． C． D． 23．（2025秋•祥符区期末）已知在二次函数y＝2（x﹣1）2+m的图象上有三点，其坐标分别为（﹣1，y1），（0，y2），（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　） A．y3＞y1＞y2 B．y1＞y2＞y3 C．y1＞y2＝y3 D．y1＝y2＞y3 24．（2026•沧州模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝a（x﹣3）2+k与L2：y＝m（x+2）2+n的一个交点为A，过点A作x轴的平行线，分别交这两条抛物线于点B、C（点B在点A左侧，点C在点A右侧）．已知点A的横坐标为1，则BC的长为（　　） A．9 B．9.5 C．10 D．10.5 25．（2026•天宁区校级二模）二次函数y＝a（x﹣1）2+h的图象经过点A（0，4），B（m，4），则m＝　 　 ． 26．（2025秋•恩施市期末）二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）中的自变量x与函数值y的部分对应值如下： x ﹣2 0 2 y 0 2 n 若h＞0，写出一个符合题意的n的值为 　 　 ． 27．（2025秋•长安区校级期末）已知，B（2，y2），是二次函数y＝﹣（x﹣1）2+m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是　 　 ． 28．（2025秋•长春校级期末）如图，抛物线与平行于x轴的直线l交于A，B两点．若AB＝3，则点B的纵坐标为 　 　 ． 29．（2025秋•梁溪区校级期末）如图，二次函数y＝﹣x2+k的图象经过正方形ABOC的三个顶点，则k的值为　 　 ． 30．（2025秋•潮阳区期末）已知二次函数y＝m（x+1）2﹣5的图象经过点（1，3）． （1）求m的值． （2）判断点（﹣2，﹣1）是否在这个二次函数的图象上． 题型六 二次函数y＝a（x﹣h）2+k图象与几何变换（共7小题） 31．（2026•徐州）在平面直角坐标系中，将函数y＝（x﹣1）2+4的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（　　） A．y＝（x+1）2+5 B．y＝（x+1）2+3 C．y＝（x﹣3）2+3 D．y＝（x﹣3）2+5 32．（2025秋•新余校级期末）将抛物线y＝2x2先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是（　　） A．y＝2（x﹣3）2﹣2 B．y＝2（x+3）2﹣2 C．y＝2（x﹣3）2+2 D．y＝2（x+3）2+2 33．（2026•岳池县模拟）将抛物线y＝（x﹣2）2+3先向右平移4个单位长度后，接着再向上平移2个单位长度，得到新抛物线y＝a（x﹣h）2+k，则a+h+k的值为（　　） A．﹣4 B．0 C．4 D．12 34．（2026•尤溪县模拟）将抛物线C：y＝﹣（x﹣3）2+6进行平移得抛物线C′：y＝﹣x2+2，点P（m，5）在抛物线C上，对应点P′在抛物线C′上，则点P′的横坐标可以是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 35．（2026•惠山区模拟）如果将抛物线y＝（x﹣1）2﹣4向上平移m（m＞0）个单位后经过原点，那么m的值是　 　 ． 36．（2026•海淀区校级开学）将抛物线y＝2x2沿着直线y＝3x的方向平移，平移后的抛物线顶点横坐标为1，则平移后的抛物线表达式为　 　 ． 37．（2025秋•宝山区期末）将抛物线y＝﹣x2平移，使平移后的抛物线经过点A（0，﹣10）、B（8，﹣10）． （1）求平移后的抛物线的表达式； （2）说明由抛物线y＝﹣x2如何平移得到新抛物线． 题型七 待定系数法求二次函数解析式（共7小题） 38．（2026•仪征市一模）已知抛物线y1顶点坐标为（﹣1，2），且与的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线y1的解析式为（　　） A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝﹣（x+1）2+2 D．y＝﹣（x﹣1）2+2 39．（2025秋•红桥区期中）若抛物线的顶点坐标为（2，﹣5），与y轴相交于点（0，﹣9），则该抛物线的解析式为（　　） A．y＝﹣（x﹣2）2﹣5 B．y＝（x﹣2）2﹣5 C．y＝﹣（x+2）2﹣5 D．y＝（x+2）2+5 40．（2025秋•云南校级期中）小明在平面直角坐标系中画了一个二次函数的图象，该图象经过（1，0），（3，0），（0，3）三点，若用顶点式表示这个二次函数，正确的是（　　） A．y＝（x+2）2﹣1 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2+1 41．（2025秋•拱墅区校级期中）已知某二次函数，当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（　　） A．y＝（x+1）2 B．y＝2（x﹣1）2 C．y＝﹣2（x+1）2 D．y＝﹣2（x﹣1）2 42．（2025•靖江市校级三模）已知一条抛物线的形状与抛物线y＝2x2+3形状相同，与另一条抛物线y（x+1）2﹣2的顶点坐标相同，这条抛物线的解析式为 　 　 ． 43．（2026•云南模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x﹣1）2+4经过点（﹣1，8）． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点A（m，n）在抛物线上，，且m与K均为整数，求点A的坐标． 44．（2026秋•同步）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝（x+h）2的顶点为B（2，0），与y轴交于点A，过点A作AC⊥y轴，交该抛物线于点C，连接BC，以AC，BC为边作▱ACBD． （1）求该抛物线的表达式； （2）求点D的坐标． 题型八 二次函数的三种形式（共7小题） 45．（2025秋•魏县期中）二次函数y＝3﹣4（x﹣5）2的顶点坐标是（　　） A．（3，﹣5） B．（3，5） C．（5，﹣3） D．（5，3） 46．（2025秋•武清区校级月考）二次函数中．二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3、﹣2、5 B． C．，5 D． 47．（2026•道里区模拟）把二次函数y＝x2﹣2x﹣1的解析式配成顶点式为（　　） A．y＝（x﹣1）2 B．y＝（x﹣1）2﹣2 C．y＝（x+1）2+1 D．y＝（x+1）2﹣2 48．（2025秋•徐汇区校级月考）如果抛物线y＝（a﹣1）x2+ax﹣1的顶点是它的最低点，那么a的取值范围是（　　） A．a＞0 B．a＜0 C．a＞1 D．a＜1 49．（2025秋•立山区月考）小睿同学画二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0，b＞0）的图象，列出表格如下： x … ﹣1 0 1 2 … y … 3 2 3 3 … 他发现有一组对应值计算有误，则错误的那一组对应值化成点坐标是（　　） A．（﹣1，3） B．（0，2） C．（1，3） D．（2，3） 50．（2025秋•阿克陶县月考）二次函数解析式通常有三种形式：①一般式 　 　 ；②顶点式 　 　 ；③双根式 　 　 ． 51．（2025秋•门头沟区校级期末）已知二次函数y＝x2﹣6x+5． （1）用配方法将其化为y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）在所给的平面直角坐标系xOy中，画出该函数的图象； （3）根据图象，当0＜x≤4时，直接写出y的取值范围； （4）根据图象，当y＞0时，直接写出x的取值范围． 题型九 二次函数图象与系数的关系（共3小题） 52．已知二次函数的图象如图所示，那么下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 53．如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则下列讨论中错误的是（ ） A． B． C． D． 54．如图为二次函数的图像，则下列说法：①；②；③；④当时，；⑤；⑥，其中正确的个数为（ ） A． B． C． D． 题型十 二次函数图象与性质（共6小题） 55．抛物线的对称轴是直线（ ） A． B． C． D． 56．已知抛物线经过和两点，则的值为（ ）. A． B． C． D． 57．若，，为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是（ ） A． B． C． D． 58．关于抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，下列说法错误的是（ ） A．开口向下 B．与y轴交于正半轴 C．对称轴在y轴左侧 D．不经过第一象限 59．若二次函数的图象在坐标系中的位置如图所示，则函数的图象可能为（ ） A． B． C． D． 60．已知二次函数，其中为常数． (1)若，求此函数图象的顶点坐标； (2)当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的取值范围． 题型十一 二次函数的最值（共9小题） 61．（2026•沁阳市模拟）定义运算：a★b＝a（a+2b）﹣3，例如4★3＝4×（4+2×3）﹣3，则函数y＝（x+1）★2的最小值为（　　） A．﹣3 B．﹣7 C．﹣9 D．﹣21 62．（2025秋•威海期末）在“探索二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：A（0，1），B（2，1），C（4，1），D（3，2）．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式y＝ax2+bx+c，则a+b+c的最大值等于（　　） A．﹣5 B． C．2 D．5 63．（2025秋•东台市期末）若二次函数y＝﹣x2+4x+9在t≤x≤t+3的范围内的最大值为4，则实数t的值为（　　） A．﹣4或5 B．﹣1或5 C．﹣1或7 D．﹣4或7 64．（2025秋•富顺县期末）若函数y＝x2﹣2x+1在a≤x≤a+2上的最小值为4，则实数a的值为（　　） A．﹣3或3 B．﹣1或1 C．0或2 D．2或4 65．（2026•广州）二次函数y＝x2﹣4x+2的最小值为　 　 ． 66．（2025秋•瑶海区校级期末）已知一个直角三角形的两直角边之和为10cm，则这个直角三角形面积最大为　 　 cm2． 67．（2025秋•河东区期末）二次函数y＝x2﹣2mx（m≠0）的图象经过点A（2m+1，y1），点B（m﹣1，y2）． （1）若m＝4，求抛物线的顶点坐标； （2）若存在实数k，使得y2﹣1＝k（y1﹣1），且1＜k＜2，求m的取值范围； （3）当m﹣1≤x≤2m+1时，随着x增大，y先减小再增大，y的最大值与y的最小值的和为，求m的值． 68．（2025秋•黄岩区期末）已知二次函数y＝ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（4，﹣1）． （1）求二次函数图象的对称轴； （2）若a＞0，当3≤x≤5时，函数最大值为9，求a的值； （3）已知函数图象经过A（t﹣1，m）、B（3﹣t，n），且n＜m＜b﹣1，求t的取值范围． 69．（2025秋•河南期末）已知抛物线y＝x2+bx+c经过点（2，1）和点（﹣1，4）； （1）求该抛物线的解析式． （2）若将抛物线y＝x2+bx+c往下平移m个单位长度得到新的抛物线y1，且当0≤x≤3时，y1的最大值为3，求m的值． （3）若当t≤x≤t+1时，抛物线y＝x2+bx+c的最小值为4，求t的值．（直接写出结果） 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $