1.3.1空间直角坐标系同步练习题-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习针对高二数学空间直角坐标系，采用“例题引导-基础巩固”分层设计，通过从单点坐标到几何体建系的进阶路径，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |例题精练|点的投影与对称、直三棱柱及正三棱锥中坐标确定|以典型例题示范建系方法，体现从简单到复杂几何体的过渡| |基础夯实|点面距离、对称点坐标、正方体及长方体坐标计算、四棱锥建系应用|通过选择、填空、解答题梯度设置，覆盖单一知识点到综合应用，强化模型观念|

1.3.1　空间直角坐标系 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】已知点，求： (1)点A在平面、x轴上的投影点的坐标； (2)求点A关于平面、x轴、原点的对称点的坐标. 【答案】(1)，. (2)，，. 【分析】（1）根据空间点的投影特点即可得到坐标； （2）根据空间点关于面、线和点对称的特点即可得到坐标. 【详解】（1）点A在平面、x轴上的投影点的坐标分别为，. （2）点A关于平面、x轴、原点的对称点的坐标分别为，，. 【例2】如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求：    (1)点，，，，的坐标 (2)向量，，的坐标． 【答案】(1)，，，， (2)，， 【分析】（1）以点为原点，以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，进而标点； （2）求点的坐标，结合空间向量的坐标表示求相关向量. 【详解】（1）由题意知，以点为原点， 分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．    则，，，， （2）由（1）可知，, 向量，，. 【例3】已知在正三棱锥中，高为1，底面正三角形的边长为，建立适当的空间直角坐标系写出A，B，C，D四点的坐标. 【答案】，，， 【分析】设O为A在底面BCD上的射影，过点O作与CD平行的直线，交BC于点F，分别以有向直线OB，OF，OA为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，根据几何长度求出各点坐标 【详解】设O为A在底面BCD上的射影，则O为正三角形BCD的中心. 过点O作与CD平行的直线，交BC于点F，分别以有向直线OB，OF，OA为x轴、y轴、z轴的正方向， 以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系. 延长BO交CD于点E，则点E为CD的中点，    由，O为的中心可知，，，，. 又，，. 又在z轴上，且，. 综上，，，，. 【基础夯实】 一、单选题 1．在空间直角坐标系中，点到平面的距离为，到平面的距离为，到平面的距离为，则的坐标可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点，由题意可得出、、的值，即可得出点的坐标. 【详解】设点，由题意可得，解得， 故点的坐标可能为， 故选：B. 2．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为点，点在坐标平面内的射影为点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间直角坐标系中点关于轴的对称及点在面上的射影求解. 【详解】因为点关于轴的对称点为点， 所以点在坐标平面内的射影为点， 故选：B 3．已知正方体的棱长为和相交于点，连接，如图所示，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间直角坐标系，结合中点坐标公式可得. 【详解】由空间直角坐标系，且正方体棱长为1，可得， 又四边形为正方形，所以为的中点，故． 故选：A 4．已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为点，，所以线段的中点， 点关于平面对称的点的坐标为. 5．如图所示，在棱长为2的正四面体中，以的中心为坐标原点，为轴，为轴建立坐标系，为中点，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，得的中线长为，，，可得点的坐标，再由中点坐标公式解决即可. 【详解】由题意，得的中线长为． 所以． 所以． 所以点的坐标为． 又点的坐标为． 因为为中点， 所以点的坐标为． 故选：A． 6．如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若，则的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，求出点坐标，即可求出答案. 【详解】因为， 所以，即， 所以. 故选：C 二、多选题 7．在空间直角坐标系中，O为坐标原点，点P的坐标为，则（    ） A．点P到点O的距离是 B．点P关于轴对称点的坐标是 C．点P关于点对称的点的坐标是 D．点P关于平面对称的点的坐标是 【答案】AD 【分析】选项A，由空间向量两点间距离坐标公式可得；选项B，关于轴对称，则对称点的横坐标与点点的横坐标相同，故B错误；选项C，由空间向量中点坐标公式可得；选项D，点关于平面对称的点的横、纵坐标与点的相同，竖坐标互为相反数. 【详解】选项A，由点P的坐标为得， ，故A正确； 选项B，点P关于轴对称点的坐标是，故B错误； 选项C，设点P关于点对称的点的坐标是， 则，解得， 即对称点为，故C错误； 选项D，点P关于平面对称的点的坐标是，故D正确. 故选：AD. 8．如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱，，，F是棱的中点，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意，直接得到各点的坐标，即可判断. 【详解】因为在空间直角坐标系中，已知直三棱柱，， ，F是棱的中点，， 所以，，，， 所以A，D正确，B，C错误. 故选：AD 9．在长方体中，，与交于点P，以D为原点，以，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（    ） A．点的坐标为 B．点P的坐标为 C． D． 【答案】AB 【分析】根据空间向量的坐标即可结合选项逐一求解. 【详解】由题意可得，,,，,, 所以,,故CD错误，AB正确， 故选：AB    三、填空题 10．在空间直角坐标系中，已知点.设为线段的中点，则向量________. 【答案】 【分析】由中点公式求得的坐标，再由向量的点坐标表示写出. 【详解】由题意，而，则. 故答案为： 11．画一个正方体，若以为坐标原点，分别以有向直线，，为轴、轴、轴的正方向，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则 ①顶点的坐标分别为______； ②棱中点的坐标为______； ③正方形对角线的交点的坐标为______. 【答案】 ， 【分析】根据线段长度写出点的坐标，再根据中点坐标公式写出中点坐标. 【详解】    如图，，，，， 所以中点， 因为四边形为正方形，所以对角线的交点即为的中点， 由，得中点， 故答案为：，；；. 12．如图，在长方体中，，，，与相交于点，以为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则向量的坐标为__________.    【答案】 【分析】分别求出点和点的坐标，从而得到的坐标. 【详解】由题可知，，，，而为中点，则，所以. 故答案为： 四、解答题 13．如图，四棱锥中，底面，，，，为的中点.请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标． 【答案】答案见解析 【分析】连接交于，由等腰三角形三线合一可知，以为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据长度关系和中点坐标公式可求得各点坐标. 【详解】如图，连接交于， ，为等腰三角形，又平分，； 以为坐标原点，正方向为轴，作轴，可建立如图所示空间直角坐标系， ，，， 又， 则，，，，，，. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3.1　空间直角坐标系 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】已知点，求： (1)点A在平面、x轴上的投影点的坐标； (2)求点A关于平面、x轴、原点的对称点的坐标. 【例2】如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求：    (1)点，，，，的坐标 (2)向量，，的坐标． 【例3】已知在正三棱锥中，高为1，底面正三角形的边长为，建立适当的空间直角坐标系写出A，B，C，D四点的坐标. 【基础夯实】 一、单选题 1．在空间直角坐标系中，点到平面的距离为，到平面的距离为，到平面的距离为，则的坐标可能为（　　） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为点，点在坐标平面内的射影为点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．已知正方体的棱长为和相交于点，连接，如图所示，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（     ）． A． B． C． D． 5．如图所示，在棱长为2的正四面体中，以的中心为坐标原点，为轴，为轴建立坐标系，为中点，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若，则的坐标是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 7．在空间直角坐标系中，O为坐标原点，点P的坐标为，则（    ） A．点P到点O的距离是 B．点P关于轴对称点的坐标是 C．点P关于点对称的点的坐标是 D．点P关于平面对称的点的坐标是 8．如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱，，，F是棱的中点，则（   ）    A． B． C． D． 9．在长方体中，，与交于点P，以D为原点，以，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（    ） A．点的坐标为 B．点P的坐标为 C． D． 三、填空题 10．在空间直角坐标系中，已知点.设为线段的中点，则向量________. 11．画一个正方体，若以为坐标原点，分别以有向直线，，为轴、轴、轴的正方向，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则 ①顶点的坐标分别为______； ②棱中点的坐标为______； ③正方形对角线的交点的坐标为______. 12．如图，在长方体中，，，，与相交于点，以为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则向量的坐标为__________.    四、解答题 13．如图，四棱锥中，底面，，，，为的中点.请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $