1.3 空间向量及其运算的坐标表示 限时训练-2026年暑假预习高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本练习围绕空间向量坐标运算，以基础巩固、几何应用、综合探究为分层路径，通过选择、填空、解答题梯度设计，培养数学运算能力与空间观念，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|坐标运算（加减、数乘、垂直平行）|5道单选聚焦公式直接应用，如向量垂直求参数（2题）| |中档|几何情境应用（夹角、投影、对称）|5题含多选与正方体模型题，如向量夹角余弦值计算（6题）| |提升|综合探究（参数范围、多问解答）|5题含填空（投影向量坐标12题）与解答题（模、夹角、垂直综合14题）|

1.3 空间向量及其运算的坐标表示限时训练 1．（25-26高二下·江苏扬州·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三·全国·三轮复习）已知向量，且与垂直，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 4．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为（    ） A． B． C． D．或 5．（25-26高二上·河北衡水·期末）设x，，向量，，，且，，则 （    ） A． B．3 C． D．4 6．（25-26高一下·湖南岳阳·期中）如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·福建莆田·期末）在正方体中，分别过作直线的垂线，垂足分别为M，N，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）（多选）如图，在长方体中， ，，，直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则（   ） A．点的坐标为 B．点关于点对称的点为 C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为 9．（25-26高二下·江苏盐城·阶段检测）（多选）已知向量，，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．不存在实数，使得 C．若，则 D．若，则 10．（25-26高二上·河南周口·阶段检测）（多选）在空间直角坐标系中，已知，则（    ） A． B．与平行且模为的向量的坐标为或 C．与夹角的余弦值为 D．在上投影向量的坐标为 11．（25-26高二下·河南许昌·期中）若，，则_________. 12．（25-26高二上·上海·期中）给定点，，，则在方向上的投影向量的坐标为______. 13．（25-26高二下·福建龙岩·期末）已知，，三点，若是锐角，则实数a的取值范围为__________． 14．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知向量. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数t的值． 15．（25-26高二上·甘肃武威·期中）已知向量． (1)若，求实数k； (2)若向量与所成角为锐角，求实数k的取值范围． 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 空间向量及其运算的坐标表示限时训练 1．（25-26高二下·江苏扬州·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，所以. 2．（25-26高三·全国·三轮复习）已知向量，且与垂直，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知：，则， 又与垂直， 则，得. 3．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由空间向量平行坐标表示可得答案. 【详解】由题可得. 因，则.故选：B 4．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】使用向量的模的公式与向量的夹角公式即可求解. 【详解】因为，， 所以，，， 又向量与夹角的余弦值为， 所以，解得. 故选：B. 5．（25-26高二上·河北衡水·期末）设x，，向量，，，且，，则 （    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】由空间向量垂直、平行的坐标表示列方程求参数值，进而得，再应用空间向量模长的坐标运算求结果. 【详解】由，，，， ，解得， 又，则，解得， 所以，， 则，可得. 故选：C 6．（25-26高一下·湖南岳阳·期中）如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，以D为原点，分别以，，所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为3，则，，，， 所以，， 故， 所以向量与夹角的余弦值为.   7．（25-26高二上·福建莆田·期末）在正方体中，分别过作直线的垂线，垂足分别为M，N，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，设，，结合题意求得，进而利用可求解. 【详解】在正方体中， 以为坐标原点，以所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则， 则，，， 设，所以， 所以，解得，所以. 设，所以， 所以，解得，所以. 所以. 8．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）（多选）如图，在长方体中， ，，，直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则（   ） A．点的坐标为 B．点关于点对称的点为 C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为 【答案】ACD 【分析】利用空间点的对称性即可逐项判断得出结论. 【详解】由图形及已知可得，点的坐标为，A选项正确； 点关于点对称的点为，B选项错误； 因为，所以四边形为菱形， 所以点关于直线对称的点为，C选项正确； 点关于平面对称的点为，D选项正确； 9．（25-26高二下·江苏盐城·阶段检测）（多选）已知向量，，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．不存在实数，使得 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】选项A， 根据空间向量模长公式，若，则， 得，即，故A错误； 选项B， 若存在实数使得，则对应坐标成比例 ， 由解得，此时矛盾，因此不存在这样的，故B正确； 选项C ，若，则，计算得 令，得，故C错误； 选项D， 若，即，得， 此时，符合结论，故D正确. 10．（25-26高二上·河南周口·阶段检测）（多选）在空间直角坐标系中，已知，则（    ） A． B．与平行且模为的向量的坐标为或 C．与夹角的余弦值为 D．在上投影向量的坐标为 【答案】BD 【分析】根据向量的坐标运算即可求解AB，根据夹角公式以及投影向量的计算公式即可求解CD. 【详解】对A， 因为，所以A错误； 对B，因为，所以，因为所求的向量与平行，且模为， 所以所求的向量为：或，即所求向量坐标为或，所以B正确； 对C，又因为， 所以与夹角的余弦值为，所以C错误； 对D在上投影向量为：，所以选项D正确． 故选：BD． 11．（25-26高二下·河南许昌·期中）若，，则_________. 【答案】 【详解】. ，所以. . 12．（25-26高二上·上海·期中）给定点，，，则在方向上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【详解】根据向量坐标的计算公式，， 根据投影向量的计算公式在方向上的投影向量为， 即. 13．（25-26高二下·福建龙岩·期末）已知，，三点，若是锐角，则实数a的取值范围为__________． 【答案】 【详解】由，，， 则， 因为是锐角， 所以，且不共线， 则，解得且， 则实数a的取值范围为. 14．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知向量. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数t的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 所以, 所以； （2）因为， 所以， 所以， ，， 设与的夹角为， 则， 又，得； （3）因为， 所以，， 因为与垂直，所以， 故，解得. 15．（25-26高二上·甘肃武威·期中）已知向量． (1)若，求实数k； (2)若向量与所成角为锐角，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示求解； （2）将问题转化为两个向量的数量积为正且不共线求解. 【详解】（1）因为， 所以， 因为，则， 解得； （2）因为向量与所成角为锐角， 所以，且与不同向共线． 由（1）知，， 若向量与同向共线，则存在，使得，即， 可得，解得，若两个向量不同向共线，则， 故，解得且， 即的取值范围为． 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $