专题05 三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型（几何模型讲义）数学新教材人教版八年级上册

专题05.三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型 高分线模型、双（三）垂直模型属于初中几何高频倒角工具。 高分线模型核心记住：同一顶点的角平分线与高线夹角等于两底角差的一半； 双垂直、三垂直模型核心工具是同角的余角相等，是几何大题寻找全等条件最重要手段。 很多大题不会直接给出干净模型，需要学生从复杂图形中剥离出局部的高分线、双垂直结构完成倒角。 本专题包含高分线模型、双垂直模型、三垂直（一线三垂直/ K型）模型，属于初中几何倒角底层工具模型，贯穿八年级三角形全等、坐标系几何，九年级会延伸到初三相似、圆综合。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.高分线模型 2 模型2.双垂直模型 6 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 8 易错点与方法总结 12 模型运用 13 A组（基础题） 13 B组（能力提升题） 16 C组（综合压轴题） 19 高分线、双垂直模型，是国内教研团队从海量三角形角度计算题提炼总结，底层逻辑来自《几何原本》中直角三角形两锐角互余。 一线三垂直（三垂直）原型来自赵爽弦图，是我国古代经典几何图形，变形后成为初中最经典垂直倒角模型，也叫K型图。 1）三角形内角和 180°，外角定理；直角三角形两锐角互余； 2）角平分线定义：平分内角，得到两个相等角；高线定义：垂直对边，形成 90°； 3）余角性质：同角（等角）的余角相等； 4）等面积法（子母双垂直求斜边上的高）。 模型1.高分线模型 【模型提炼与证明】 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（2）可知：， ，，，， ，，，． 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·广东江门·期中）如图，在中，平分，，若，．则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分，∴， ∵，∴，∴， ∴，即的度数是．故选：D． 【典例2】（25-26八年级上·安徽六安·期中）在中，是高，是角平分线，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵，，∴，． 又∵平分，∴． ∵在中，，，∴．故选C． 【典例3】（25-26八年级上·贵州安顺·期中）如图，在中，，于点，平分，交于点． (1)当，时，求的度数．(2)猜想与，之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)，理由见解析 【详解】（1）解：∵平分，，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴． （2）解：，理由如下：∵平分，∴， ∵，∴， ∴，∵，∴， ∴ ． 【典例4】（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，在中，，平分交于点D，P是上一点（不与点D重合），过点P作于点E． (1)如图1，当，且点P与点A重合时，求的度数；(2)如图2，当是锐角三角形，且点P与点A不重合时，过点A作于点F，若，求的度数． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：，，， AD平分，，， ，，． （2）解：，，， ，，，∴，， ∵平分，，∴，． 【典例5】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）【问题重现】沪科版义务教育教科书数学八年级上册第87页第9题原文如下：“如图，在中，平分交于点D，，垂足为点E．若，，求的度数． 受此题启发，某校八年级数学兴趣小组继续进行此类问题的实践探究，请你和他们一起完成吧． 【问题变式】如图1，将原第9题中“”改为“在上任取一点F，作”，垂足为点E，其他条件不变，直接写出的度数_______； 【继续探究】如图2，将【问题变式】中“在上任取一点F”改为“在的延长线上任取一点F”，其他条件不变，判断的度数是否会发生变化，并说明理由； 【深度探究】如图3，在中，，，是的平分线，在上任取一点F，过点F作，与的延长线交于点E，请直接写出与，之间的数量关系． 【答案】问题变式：；继续探究：不变；理由见解析；深度探究： 【详解】解：问题变式：∵，，∴， ∵平分，∴， 是的一个外角，， ，∴，； 继续探究：的度数不变；理由如下： ∵，，∴， ∵平分，∴， 是的一个外角，， ，∴，； 深度探究：在中，，，， 是的平分线，， 是的一个外角，， ，． 模型2.双垂直模型 【模型提炼与证明】 条件：如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高， 结论：①∠ABD=∠ACE ；②∠A=∠BOE=∠COD；③。 证明：∵BD，CE是两条高，∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°， ∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°，∠ACE+∠DOC=90°，∴∠ABD=∠ACE，∠DOC=∠A， ∵∠DOC=∠BOE，∴∠A=∠BOE=∠COD。 ∵BD，CE是△ABC的两条高，∴，∴。 【模型运用】 【典例1】（25-26四川成都八年级校考期中）如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高，∠A=50°，则∠BOC=（       ） A．110° B．120° C．130° D．140° 【答案】C 【详解】解：∵在△ABC中，BD，CE是两条高，∠A=50°， ∴，∴，故选C． 【典例2】（25-26八年级上·湖北武汉·开学考试）中，，、是它的两条高，直线、交于，则的度数为 ． 【答案】或 【详解】解：如图，当为锐角三角形时，    ，，，， ，，， 当为钝角角三角形时，的延长线于， ，，，， ，，； 当为直角三角形，时，不存在， 故的度数为或．故答案为：130°或50°． 【典例3】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三角形中，分别是这个三角形的两条高，，，则三角形的面积等于（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】利用等面积法，求出之间的关系，并设值，再利用已知求出的长度，套用三角形的面积公式求解． 【详解】解：∵，∴， 又∵，∴，即，设，则， ∵，∴，解得，，． 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 【模型提炼与证明】 条件：在Rt中，∠ACB=90°，CD是的高线， 结论：①∠B=∠ACD；②∠A=∠BCD；③。      证明：∵∠ACB=90°，CD是高线，∴∠ACB=∠CDA=∠CDB=90°， ∴∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD， ∵∠ACB=90°，CD是高线，∴，∴。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在直角三角形中，是斜边上的高，，求：（1）的度数；（2）的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：（1）∵（已知），∴________， ∴（________） ∴________________（等量代换）． （2）∵________， ∴________（等式的性质）， ∴（已知），∴________（等量代换）． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【详解】解：（1）∵（已知），∴， ∴（三角形外角的性质） ∴（等量代换）． （2）∵，∴（等式的性质）， ∴（已知），∴（等量代换）． 【典例2】（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图所示，在中，，，垂足分别为，已知，，，则边上的高的长为（   ） A．4 B．4.8 C． D．8 【答案】B 【详解】解：由题意得，， 即，解得， 故选：B． 【典例3】（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，平分，是的高，，相交于点，若，，求的度数． 【答案】 【详解】解：，，． 平分，． 为边上的高，，． 【典例4】（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，D是AB上一点，且．      (1)求证： 证明：∵在中，（已知） ∴（___________），又∵（已知），∴（等量代换）， ∵（___________），∴，∴． (2)如图②，若的平分线分别交，于点E，F，求证：； (3)如图③．若E为上一点，交于点F，，，． ①___________；（用含m的代数式表示） ②四边形的面积是___________．（用含m的代数式表示） 【答案】(1)直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理；(2)见解析；(3)①；②． 【详解】（1）证明：∵在中，（已知）， ∴（直角三角形两锐角互余）， 又∵（已知），∴（等量代换）， ∵（三角形内角和定理），∴，∴． 故答案为：直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理； （2）证明：∵平分，∴， ∵，∴，，∴， 又∵，∴； （3）解：①∵，∴， ∵，∴，∴，故答案为：；    ②连接，设，则，∵，∴， ∵，∴， ∵，∴解得：， ∴四边形的面积，故答案为：． 模型常见易错点 1）高分线模型，不分顶点直接套用公式 解决方案：高和角平分线必须是从同一个顶点出发，才可以使用公式；不同顶点不能套用；钝角三角形高在外部，务必画图。 2）双垂直模型，分不清 “同角余角相等”，找错等角 错误：随便看到两个直角就判定角相等。 解决方案：找角要看两个角是否都和同一个角互余；做题标记 90°，圈出公共角。 3）一线三垂直，忽略 “三个直角在同一条直线上” 的前提 解决方案：必须是同一条直线上出现三个直角；无共线条件，不能直接判定角相等；全等需要一组对应边相等，仅有角相等不能证全等。 4）子母双垂直，混淆三组等角，八年级直接乱用射影定理 解决方案：初二只用来倒角 + 等面积求高；射影定理线段乘积结论学完相似再使用，初二证明不能直接写。 5）钝角三角形高线落在外部，容易漏解 解决方案：题干没有说明三角形是锐角三角形，需要分类讨论，高可能落在边延长线上。 解题方法总结 高分线模型解题步骤： 1）识别标志：同一顶点，一条高线 + 一条角平分线；2）公式：∠DAE=|∠ B-∠C|。3）选择填空可以直接代入；大题证明不能直接默写公式，必须写出内角和、角平分线、直角互余推导过程。 双垂直模型解题步骤： 1）识别：图中存在两处垂直，出现多个 90°；2）思路：寻找公共角，用同角的余角相等证明角度相等；3）子母双垂直：倒角 + 等面积法求斜边上的高。 一线三垂直（三垂直）解题步骤 1）识别：一条直线上三个直角顶点；2）倒角：利用平角拆分，推出一组等角；3）有一组边相等→证全等；无边相等→证相似；4）转化线段，进行线段加减计算。 记忆口诀 高分同顶半差角，内外钝角画图瞧； 双垂互余找等角，子母等面积别忘； 一线三垂共直线，等角全等马上现。 1．（25-26七年级下·河南开封·期末）如图，，分别是的高和中线，已知，，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】解：∵是中线，∴， ∵，即，∴． 2．（25-26八年级上·河南商丘·期中）如图，在中，是的平分线，是的高，，相交于点F，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵是的平分线，∴， ∵是的高，，∴， ∴，∴， ∴，故选：D． 3．（25-26八年级上·浙江·期中）如图，在中，是高，是的平分线，，，则的度数是________． 【答案】38 【详解】解：是高，，，， ，，是的平分线，， ，故答案为：38． 4.（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，，是的高，且.若，则的度数是_____°． 【答案】23 【详解】解：∵，是的高，∴， 在和中，，∴，∴， 又，且， ∴，∴， 又，． 5．（25-26八年级上·湖北·期中）如图，中，分别为角平分线和高，，则___________． 【答案】/12度 【详解】解：在中， ，，∴， ∵平分∴， ∵，∴ ∴故答案为：． 6．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）在中，，分别是它的高和角平分线，设，．(1)如图1，求证：．(2)如图2，是的外角的平分线，交的延长线于点E，且，求的度数． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：在中，由三角形内角和定理，得． ∵是的平分线，∴， ∵是高线，∴，∴， ∴． （2）解：∵是的平分线，，，∴， ∵是高线，∴， ∵，∴． 1．（25-26江苏·七年级专题练习）如图，在中，AB=8，BC=6，AB、BC边上的高CE、AD交于点H，则AD与CE的比值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得：； 解得故选：A． 2．（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图，在中，，平分，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，平分，∴， ∴，∴；故选D． 3．（25-26七年级下·江苏·专题练习）如图，在中，E为角平分线的延长线上一点，过点E作于点D，若，，则的度数为________ ． 【答案】 【详解】解：∵E为角平分线的延长线上一点，， ∴，∴， ∵，∴， ∵于点D，∴，∴，∴， ∴，∴，∴． 4.（25-26八年级上·重庆·校考期中）如图，在中，已知，与是的高，点O是它们的交点，求的度数． 【答案】， 【详解】解：∵与是的高，∴ ∵，∴， ∵，∴∴． 5．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）在中，是角平分线，，． (1)如图1，若是的高，求的度数； (2)如图2，若是上一点，且，垂足为，求的度数． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：，，， 是角平分线，，； 是的高，，； （2），，． 6．（25-26八年级上·重庆·校考期中）已知在中，，平分，请根据题中所给的条件，解答下列问题： (1)如图①所示，若，，求的度数； (2)通过以上的计算你发现和之间有什么关系？ (3)在图②的中，，那么（2）中的结论仍然成立吗？为什么？ 【答案】(1)(2)(3)成立，理由见解析 【详解】（1）解：∵，∴， ∵平分，∴， ∵，，∴，∴； （2）由（1）中，，，∴； （3）（2）中的结论仍然成立，理由如下： 在中，∵，平分，∴， ∴， 又∵，∴． 1.（25-26八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在中，，是斜边上的高，，，，则的长度为 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，是斜边上的高，∴，， ∴，∴，∴，故选：． 2.（25-26八年级上·重庆大足·期末）已知在（不是直角三角形）中，边的高、边的高所在直线交于点，则的度数为 ． 【答案】或 【详解】解：如图，当与交于点时，∵边的高、边的高所在直线交于点， ∴，； 如图，是锐角三角形时，∵边的高、边的高所在直线交于点， ∴，； 如图，是钝角三角形时，是钝角，同理可求，，； 如图，是钝角三角形时，是钝角，同理可得；故答案为：或． 3.（25-26八年级上·四川绵阳·专题练习）如图，在中，，是的高． （1）若，则________；（2）若，则________． 【答案】 【详解】解：（1）∵，是的高，∴，∴， ∵是的外角，∴； （2）由（1）可得， ∵是的外角，；∴． 4．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，在中，是边上的高，分别是的平分线，且相交于点O，，已知．(1)求的度数；(2)若，求的度数． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵分别是的平分线， ∴，∴． ∵在中，，∴， ∴． （2）解：∵是上的高，∴． 又∵，∴． 在中，． ∵是的平分线，∴．∴． 5.（24-25八年级上·广东·校考期中）已知：在中，，平分交于点．    (1)如图①，于点，若，求的度数； (2)如图①，于点，若，求的度数（用含的式子表示）； (3)如图②，在中，于点，是上的任意一点（不与点，重合），过点作于点，且，请你运用（2）中的结论求出的度数； (4)在（3）的条件下，若点在的延长线上（如图③），其他条件不变，则的度数会发生改变吗？说明理由． 【答案】(1)(2)(3)(4)的度数不会发生改变，理由见解析 【详解】（1）解：∵在中，，∴， ∵平分，∴， ∵，∴，∴， ∴， 当时，； （2）由（1）可知，，∴当时，∴； （3）∵，而，∴， ∵，，∴，∴； （4）的度数大小不发生改变．理由如下： ∵，，∴，∴． 6.（25-26八年级·上海嘉定·期末）小海在解答练习册P37第4题后进行了拓展探究： 如图1，在中，的平分线交边于点D，，垂足为E． 小海猜想：通过的度数可求出的度数，再结合的度数可求出的度数，从而确定与之间存在固定的数量关系．他尝试代入了几组的度数后，验证了这一猜想． (1)请补全下表： …… ……      ______ ______ …… (2)如图2，若，，那么______．（用含、的代数式表示），并加以证明； (3)在（2）的基础上作的垂直平分线，交的延长线于点F，连接．如图3，如果，请直接写出______． 【答案】(1)见解析(2)，证明见（1）(3) 【详解】（1）解：∵，∴，∴， ∵，的平分线交边于点D， ∴， ∴， 当时， ； 当时， ； 填表如下： …… ……      …… （2）解：由（1）可得， ∵，，∴； （3）解：由（1）可得， ∵，∴，∴； 由线段垂直平分线的性质可得，∴， ∵，的平分线交边于点D， ∴，∴． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05.三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型 高分线模型、双（三）垂直模型属于初中几何高频倒角工具。 高分线模型核心记住：同一顶点的角平分线与高线夹角等于两底角差的一半； 双垂直、三垂直模型核心工具是同角的余角相等，是几何大题寻找全等条件最重要手段。 很多大题不会直接给出干净模型，需要学生从复杂图形中剥离出局部的高分线、双垂直结构完成倒角。 本专题包含高分线模型、双垂直模型、三垂直（一线三垂直/ K型）模型，属于初中几何倒角底层工具模型，贯穿八年级三角形全等、坐标系几何，九年级会延伸到初三相似、圆综合。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.高分线模型 2 模型2.双垂直模型 6 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 8 易错点与方法总结 12 模型运用 13 A组（基础题） 13 B组（能力提升题） 16 C组（综合压轴题） 19 高分线、双垂直模型，是国内教研团队从海量三角形角度计算题提炼总结，底层逻辑来自《几何原本》中直角三角形两锐角互余。 一线三垂直（三垂直）原型来自赵爽弦图，是我国古代经典几何图形，变形后成为初中最经典垂直倒角模型，也叫K型图。 1）三角形内角和 180°，外角定理；直角三角形两锐角互余； 2）角平分线定义：平分内角，得到两个相等角；高线定义：垂直对边，形成 90°； 3）余角性质：同角（等角）的余角相等； 4）等面积法（子母双垂直求斜边上的高）。 模型1.高分线模型 【模型提炼与证明】 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（2）可知：， ，，，， ，，，． 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·广东江门·期中）如图，在中，平分，，若，．则的度数是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26八年级上·安徽六安·期中）在中，是高，是角平分线，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【典例3】（25-26八年级上·贵州安顺·期中）如图，在中，，于点，平分，交于点． (1)当，时，求的度数．(2)猜想与，之间的关系，并说明理由． 【典例4】（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，在中，，平分交于点D，P是上一点（不与点D重合），过点P作于点E． (1)如图1，当，且点P与点A重合时，求的度数；(2)如图2，当是锐角三角形，且点P与点A不重合时，过点A作于点F，若，求的度数． 【典例5】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）【问题重现】沪科版义务教育教科书数学八年级上册第87页第9题原文如下：“如图，在中，平分交于点D，，垂足为点E．若，，求的度数． 受此题启发，某校八年级数学兴趣小组继续进行此类问题的实践探究，请你和他们一起完成吧． 【问题变式】如图1，将原第9题中“”改为“在上任取一点F，作”，垂足为点E，其他条件不变，直接写出的度数_______； 【继续探究】如图2，将【问题变式】中“在上任取一点F”改为“在的延长线上任取一点F”，其他条件不变，判断的度数是否会发生变化，并说明理由； 【深度探究】如图3，在中，，，是的平分线，在上任取一点F，过点F作，与的延长线交于点E，请直接写出与，之间的数量关系． 模型2.双垂直模型 【模型提炼与证明】 条件：如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高， 结论：①∠ABD=∠ACE ；②∠A=∠BOE=∠COD；③。 证明：∵BD，CE是两条高，∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°， ∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°，∠ACE+∠DOC=90°，∴∠ABD=∠ACE，∠DOC=∠A， ∵∠DOC=∠BOE，∴∠A=∠BOE=∠COD。 ∵BD，CE是△ABC的两条高，∴，∴。 【模型运用】 【典例1】（25-26四川成都八年级校考期中）如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高，∠A=50°，则∠BOC=（       ） A．110° B．120° C．130° D．140° 【典例2】（25-26八年级上·湖北武汉·开学考试）中，，、是它的两条高，直线、交于，则的度数为 ． 【典例3】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三角形中，分别是这个三角形的两条高，，，则三角形的面积等于（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 【模型提炼与证明】 条件：在Rt中，∠ACB=90°，CD是的高线， 结论：①∠B=∠ACD；②∠A=∠BCD；③。      证明：∵∠ACB=90°，CD是高线，∴∠ACB=∠CDA=∠CDB=90°， ∴∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD， ∵∠ACB=90°，CD是高线，∴，∴。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在直角三角形中，是斜边上的高，，求：（1）的度数；（2）的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：（1）∵（已知），∴________， ∴（________） ∴________________（等量代换）． （2）∵________， ∴________（等式的性质）， ∴（已知），∴________（等量代换）． 【典例2】（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图所示，在中，，，垂足分别为，已知，，，则边上的高的长为（   ） A．4 B．4.8 C． D．8 【典例3】（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，平分，是的高，，相交于点，若，，求的度数． 【典例4】（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，D是AB上一点，且．      (1)求证： 证明：∵在中，（已知） ∴（___________），又∵（已知），∴（等量代换）， ∵（___________），∴，∴． (2)如图②，若的平分线分别交，于点E，F，求证：； (3)如图③．若E为上一点，交于点F，，，． ①___________；（用含m的代数式表示） ②四边形的面积是___________．（用含m的代数式表示） 模型常见易错点 1）高分线模型，不分顶点直接套用公式 解决方案：高和角平分线必须是从同一个顶点出发，才可以使用公式；不同顶点不能套用；钝角三角形高在外部，务必画图。 2）双垂直模型，分不清 “同角余角相等”，找错等角 错误：随便看到两个直角就判定角相等。 解决方案：找角要看两个角是否都和同一个角互余；做题标记 90°，圈出公共角。 3）一线三垂直，忽略 “三个直角在同一条直线上” 的前提 解决方案：必须是同一条直线上出现三个直角；无共线条件，不能直接判定角相等；全等需要一组对应边相等，仅有角相等不能证全等。 4）子母双垂直，混淆三组等角，八年级直接乱用射影定理 解决方案：初二只用来倒角 + 等面积求高；射影定理线段乘积结论学完相似再使用，初二证明不能直接写。 5）钝角三角形高线落在外部，容易漏解 解决方案：题干没有说明三角形是锐角三角形，需要分类讨论，高可能落在边延长线上。 解题方法总结 高分线模型解题步骤： 1）识别标志：同一顶点，一条高线 + 一条角平分线；2）公式：∠DAE=|∠ B-∠C|。3）选择填空可以直接代入；大题证明不能直接默写公式，必须写出内角和、角平分线、直角互余推导过程。 双垂直模型解题步骤： 1）识别：图中存在两处垂直，出现多个 90°；2）思路：寻找公共角，用同角的余角相等证明角度相等；3）子母双垂直：倒角 + 等面积法求斜边上的高。 一线三垂直（三垂直）解题步骤 1）识别：一条直线上三个直角顶点；2）倒角：利用平角拆分，推出一组等角；3）有一组边相等→证全等；无边相等→证相似；4）转化线段，进行线段加减计算。 记忆口诀 高分同顶半差角，内外钝角画图瞧； 双垂互余找等角，子母等面积别忘； 一线三垂共直线，等角全等马上现。 1．（25-26七年级下·河南开封·期末）如图，，分别是的高和中线，已知，，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（25-26八年级上·河南商丘·期中）如图，在中，是的平分线，是的高，，相交于点F，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·浙江·期中）如图，在中，是高，是的平分线，，，则的度数是________． 4.（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，，是的高，且.若，则的度数是_____°． 5．（25-26八年级上·湖北·期中）如图，中，分别为角平分线和高，，则___________． 6．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）在中，，分别是它的高和角平分线，设，．(1)如图1，求证：．(2)如图2，是的外角的平分线，交的延长线于点E，且，求的度数． 1．（25-26江苏·七年级专题练习）如图，在中，AB=8，BC=6，AB、BC边上的高CE、AD交于点H，则AD与CE的比值是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图，在中，，平分，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·江苏·专题练习）如图，在中，E为角平分线的延长线上一点，过点E作于点D，若，，则的度数为________ ． 4.（25-26八年级上·重庆·校考期中）如图，在中，已知，与是的高，点O是它们的交点，求的度数． 5．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）在中，是角平分线，，． (1)如图1，若是的高，求的度数； (2)如图2，若是上一点，且，垂足为，求的度数． 6．（25-26八年级上·重庆·校考期中）已知在中，，平分，请根据题中所给的条件，解答下列问题： (1)如图①所示，若，，求的度数； (2)通过以上的计算你发现和之间有什么关系？ (3)在图②的中，，那么（2）中的结论仍然成立吗？为什么？ 1.（25-26八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在中，，是斜边上的高，，，，则的长度为 （　　） A． B． C． D． 2.（25-26八年级上·重庆大足·期末）已知在（不是直角三角形）中，边的高、边的高所在直线交于点，则的度数为 ． 3.（25-26八年级上·四川绵阳·专题练习）如图，在中，，是的高． （1）若，则________；（2）若，则________． 4．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，在中，是边上的高，分别是的平分线，且相交于点O，，已知．(1)求的度数；(2)若，求的度数． 5.（24-25八年级上·广东·校考期中）已知：在中，，平分交于点．    (1)如图①，于点，若，求的度数； (2)如图①，于点，若，求的度数（用含的式子表示）； (3)如图②，在中，于点，是上的任意一点（不与点，重合），过点作于点，且，请你运用（2）中的结论求出的度数； (4)在（3）的条件下，若点在的延长线上（如图③），其他条件不变，则的度数会发生改变吗？说明理由． 6.（25-26八年级·上海嘉定·期末）小海在解答练习册P37第4题后进行了拓展探究： 如图1，在中，的平分线交边于点D，，垂足为E． 小海猜想：通过的度数可求出的度数，再结合的度数可求出的度数，从而确定与之间存在固定的数量关系．他尝试代入了几组的度数后，验证了这一猜想． (1)请补全下表： …… ……      ______ ______ …… (2)如图2，若，，那么______．（用含、的代数式表示），并加以证明； (3)在（2）的基础上作的垂直平分线，交的延长线于点F，连接．如图3，如果，请直接写出______． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $