专题02 三角形中的倒角模型之平分平行（射影）构等腰、角平分线第二定理模型（几何模型讲义）数学新教材人教版八年级上册

该初中数学讲义通过知识框架系统梳理了三角形倒角模型知识体系，将平分平行构等腰、角平分线第二定理与飞镖、八字等模型整合，用模型推导图呈现“由角推边”到线段比例计算的逻辑递进，明确重难点分布与内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计与模型化方法指导，基础题如角平分线平行构等腰证明，提升题结合圆与反比例函数的线段计算，压轴题融入动点问题，培养推理意识与几何直观。易错点分析与“万能口诀”帮助学生突破难点，教师可据此实施分层教学，支持学生自主复习与能力提升。

专题02.三角形中的倒角模型-平分平行（射影）构等腰、角平分线第二定理模型 平分平行构等腰是初中几何 “由角推边” 的经典构造手段，和飞镖、八字、双角平分线共同构成三角形倒角体系，用来解决无全等条件下的边角转化问题。角平分线第二定理，是从角度倒角过渡到线段比例计算的桥梁，衔接三角形基础与相似几何。 在考试中，前者多用于基础证明小问，后者多用于压轴线段长度计算，经常与圆、反比例函数几何、动点问题结合。要求会用两种模型进行倒角证明与线段比例计算，规范书写过程。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 2 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 7 易错点与方法总结 11 模型运用 12 A组（基础题） 12 B组（能力提升题） 17 C组（综合压轴题） 22 1842年斯坦纳-雷米欧司定理的纯几何证明完成，该定理证明过程中大量涉及角平分线与平行线的构造技巧，‌间接催生了"角平分线+平行线→等腰三角形"这一辅助线作法的明确化和模型化‌。 随着几何教育的发展，教育研究者‌将实践中高频出现的解题模式进行总结归类‌。“平分平行构等腰”（或“角平分线+平行线→等腰”）因其简洁性与普适性，被提炼为标准化模型，作为角平分线非全等类模型的核心之一，与“射影构等腰”（角平分线+垂直→等腰）并列，纳入专题教学体系。 这一模型并非由单一学者独创，而是几何学基本原理（尤其是角平分线和平行线性质）在解决经典问题（如斯坦纳-雷米欧司定理）中自然衍生的方法结晶。其现代形式的明确化与命名，是‌19世纪定理证明方法与20世纪后教学经验提炼‌共同作用的结果。 1）平行线性质：两直线平行，内错角相等； 2）角平分线定义与角平分线的性质（第一定理），等角代换； 3）等腰三角形判定：等角对等边； 4）三角形面积公式；比例式变形与计算。 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 【模型提炼与证明】 1）角平分线加平行线必出等腰三角形．    图1 图2 图3 条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。 证明：∵PQ//ON，∴∠1=∠3，∵OO’平分∠MON，∴∠2=∠1， ∴∠2=∠3，∴OQ=PQ，∴△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。 证明：∵DE ∥ BC，∴∠BDE=∠DBC，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠DBE=∠DBC， ∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 证明：由题意得：MN ∥ BC，∴∠BOM=∠OBC，∵BO是∠ABC的角平分线，∴∠OBM=∠OBC， ∴∠BOM=∠MBO，∴BM=OM，∴△BOM是等腰三角形。同理可得：△CON也是等腰三角形。 2）角平分线加射影模型必出等腰三角形． → 图4 条件：如图4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°. 结论：三角形CEF是等腰三角形。 证明：∵BE平分∠CBA，∴∠CBE=∠ABE，∵∠ACB＝90°，∴∠CBE+∠CEB=90°， ∵∠CDA＝90° ，∴∠ABE+∠BFD=90°，∵∠BFD=∠CFE，∴∠ABE+∠CFE=90°， ∴∠CEB=∠CFE，∴CF=CE，∴三角形CEF是等腰三角形。 【模型运用】 【典例1】（2025·江苏苏州·二模）如图，，平分．以下结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A： ∵， ∴． ∵平分，∴， ∴，该选项成立． 选项B： 仅由，平分，无法得出． 例如，当时，，，的度数取决于的形状，不一定等于 ，该选项不一定成立． 选项C： ∵，∴，又平分，即， ∴． 在中，等角对等边，∴，该选项成立． 选项D： 在中，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边， ∵（已证），∴，即，也就是，该选项成立．故选：B． 【典例2】（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，，，则的长为 ． 【答案】2 【详解】解：∵，∴，， ∵∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，∴，， ∴，，∴，， ∵，，，∴，即， ∴，故答案为：2． 【典例3】（2024·湖南长沙·二模）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵和的平分线交于点，，∴，， ∵，∴，，∴，， ∴，，∴，∴线段的长为．故答案为：． 【典例4】（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）如图，在中，平分，平分，且，若的周长是6，则的长是（    ） A．6 B．3 C．12 D．9 【答案】A 【详解】解：∵平分，平分，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∵的周长是6，∴，∴．故选A． 【典例5】（25-26八年级上·广西梧州·期末）如图①，在中，，的平分线交于点．过点的直线平行于，分别与，交于点，． (1)求证：．(2)将“的平分线”改为“的外角平分线”，如图②所示． ①试推断，，存在怎样的数量关系，并证明你的结论．②若，求的值． 【答案】(1)见解析(2)①，理由见解析；② 【详解】（1）证明：平分，平分，， ，， ，，，； （2）解：①，理由如下：如图， 平分，平分，， ，， ，，，； ②，，由①知，． 【典例6】（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，在中，，点D在边上，连接，的平分线分别交，于点E，F．(1)尺规作图：求作的高线；（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可画出草图后解答（2）题）；(2)若，求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）解：如图，线段即为所求： ； （2）证明：∵，∴，∴在中，， ∵，∴，∵平分，∴，∴， ∵，∴，∴，由（1）知是的高，即， ∵，∴，∵平分，∴， ∴． 【典例7】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，中，，，于，平分，交于，交于．(1)求证：是等边三角形；(2)求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：，，，，， 又平分，，， ，，是等边三角形． （2）证明：是等边三角形，， ，，，又，，． 模型2.角平分线第二定理（内（外）角平分线定理）模型 【模型提炼与证明】 1）内角平分线定理 条件：如图，在△ABC中，若BD是∠ABC的平分线。 结论： 证明：作，作DHAB垂足分别为F，H. ∵BD是∠ABC的平分线，∴DF=DH，则= = （2）作BECA垂足为E，则 = = ∴= 2）外角平分线定理 图2 图3 条件：如图2，在△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D。 结论：． 证明：如图2，过C作．交BA的延长线于E， ∵，∴，∠2＝∠4，∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴AE＝AC，∴． 3）奔驰模型（面积） 条件：如图3，的三边、、的长分别是a，b，c，其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形。结论：=c：a：b。 证明：过点作于点，作于点，作于点．   由题意知：，，是的三条角平分线，，于，， 的三边、、长分别为a，b，c， ． 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期中）如图，的三边，，的长分别为，，，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵三条角平分线将分为三个三角形，∴到的三边，，的距离相等，设为，又的三边，，的长分别为，，， ∴故选：C． 【典例2】（25-26八年级上·山东德州·期中）角平分线定理：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，即如图，的角平分线交于点，则． (1)求证：；(2)若，，，求的长． 【答案】(1)详见解析(2) 【详解】（1）证明：如图，过点作于点，作于点，过点作于点． ∵是的角平分线，∴  ， ，，； （2）解：，，， ，，． 【典例3】（2025·河北石家庄·模拟预测）阅读材料：角平分线分线段成比例定理：如图1，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程： 证明：如图2，过点C作，交的延长线于点E．…… 解决问题：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余过程； (2)如图3，在中，是角平分线，，，，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵，∴，，． ∵平分，∴，∴，∴，∴． （2）解：∵是角平分线，∴．∵，，， ∴，解得，经检验符合题意．故的长为． 【典例4】（24-25·北京·八年级校考期中）在中，D是边上的点（不与点B、C重合），连接． (1)如图1，当点D是边的中点时，_____； (2)如图2，当平分时，若，，求的值（用含m、n的式子表示）； (3)如图3，平分，延长到E．使得，连接，若，求的值． 【答案】(1)(2)(3)16 【详解】（1））过A作于E，∵点D是边上的中点，∴， ∴故答案为：； （2）过D作于E，于F，∵为的角平分线，∴， ∵，，∴； （3）∵，∴由（1）知：，∵，∴， ∵，平分，∴由（2）知：， ∴，∴，故答案为：16． 模型常见易错点 1）分不清平行线产生的同位角/内错角，代换角度出错； 只机械记模型，不会写平行线带来的等角，等量代换逻辑断裂。 正解：先写平行→角相等，再写角分→角相等，再等量传递。 2）随便套用角平分线第二定理，忽略使用条件 定理使用前提：线段是内角平分线，且端点落在对边上，外角平分线不能直接套用该比例式。 3）把比例式写反，比例颠倒 记忆口诀：分点两侧的线段之比=相邻两边之比，BD对应AB，DC对应AC。 4）解答题直接写定理结论，没有推导过程 初中课内未学角平分线第二定理，大题不能直接默写公式，需要用面积法/作平行线简单推导再使用。 5）外角平分线 + 平行的结构，套用内角等腰结论 内外构图角度位置不同，需要重新倒角，不能照搬内角模型结论。 解题方法总结 （1）平分平行构等腰（角分线 + 平行线模型） 一条角平分线 + 一条平行线，利用平行线内错角相等，进行等量代换，可推导出三角形两底角相等，进而得到等腰三角形，实现 “角相等→边相等” 的转化，属于纯倒角构造模型。 （2）角平分线第二定理（内角平分线分线段成比例定理） 三角形内角平分线交对边于一点，分对边所得的两条线段，与三角形的两条邻边对应成比例。 本定理可以用面积法推导，是线段比例计算的重要工具，解答题可先推导再使用。 万能口诀：角分遇平行，内错来搭桥；等角换等边，等腰马上出；角分比例式，邻边比底边，设k解方程。 1．（2025·宁夏银川·一模）如图，已知，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，若是上一点，过点作的平行线交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，是的角平分线， ，， 过点作的平行线交于点，， ，，故选：D． 2.（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，和的平分线交于点E，过点E作分别交AB、AC于点M、N，则的周长为 ． 【答案】 【详解】解∶平分， 同理可得∶， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·山东·期中）如图，的三边，，长分别是，，，其三条角平分线将分为三个三角形，已知，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点分别作，，的垂线，垂足分别为点，，， 由角平分线的性质定理得：， 的三边，，长分别是，，， ，，解得：， ，故答案为：． 4．（25-26八年级上·广东·期中）如图1，在中，是它的角平分线． (1)求证：； (2)如图2，在中，是它的角平分线，且，请同学们探究线段、、三者的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析(2)，见解析 【详解】（1）证明：作，，垂足为E、F， 平分，，； （2）解：在上截取，连接，如图，平分，， 又，，，，， 又，且，， ，，，即． 5．（25-26八年级上·河南商丘·阶段检测）如图，在中，，，为边上的高线．(1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若（1）中所作的角平分线分别交于点E、F，求证：三角形AEF为等腰三角形． 【答案】(1)见解析(2))见解析 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：在中，，，， 平分，， ．∴， ∴CE=CF ∴三角形AEF为等腰三角形． 6．（24-25九年级上·陕西榆林·开学考试）如图，的内角的平分线与外角的平分线交于点D，过点D作BC的平行线交AB于E，交AC于F．试判断EF与BE，CF之间的数量关系，并说明理由． 【答案】，见解析 【详解】解：（其他形式正确也可）∵BD平分，∴． 又∵，∴，∴，∴． ∵CD平分，∴．又∵，∴， ∴，∴．∵，∴． 7．（2025·山西临汾·二模）阅读与思考 在学习完角平分线的相关辅助线后，老师让学生探究角平分线分线段成比例定理，以下是小宇同学的探究过程： 角平分线分线段成比例定理 内容：三角形内角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边对应成比例，如图1．若为的角平分线，则． 下面是小宇对这个定理的证明过程． 证明：如图2，过点C作，交的延长线于点E． 则，且（依据1）， 又平分， （依据2），． 任务：(1)填空：材料中的依据1是_______，依据2是_______； (2)你有不同的思考方法吗？请写出你的证明过程； (3)如图3，在中，平分交于点D，，则的长为_______． 【答案】(1)平行线分线段成比例定理，等角对等边(2)见解析(3) 【详解】（1）解：方法1中的依据1是：平行线分线段成比例；依据2指的是：等角对等边； 故答案为：平行线分线段成比例；等角对等边； （2）证明：过点A作于点H，过D点作于点E，作于点F， ∴，∵平分，∴， ∴，∴． （3）解：∵中，是角平分线，∴ ∵，∴，∴． 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，中，，平分，平分，，过点作，分别交、于、，设，则周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵平分，，∴， ∵，，∴， ∵平分，平分，∴，， ∵，∴，，∴，， ∴的周长， 则周长是．故选：D． 2．（25-26八年级上·浙江金华·阶段练习）如图， 在中， 和的平分线分别交于点 F、G，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：∵平分，∴， ∴，∴，同理可得：，∴；故选C． 3．（25-26八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，的角平分线和相邻的外角平分线交于点，过点作交于，交于，若，且，则长为 ． 【答案】 【详解】解：∵平分，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵平分，∴，∵，，∴， ∴，∴，∵，∴， ∴，故答案为：． 4．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，的三边的长分别为，其三条角平分线将分成三个三角形，则 ． 【答案】 【详解】解：过O点分别做， 的垂线， ∵， ，是三角形的三条角平分线∴， ∴，故答案为： 5．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）如图1，在中，是高，若．       (1)试判断的形状，并说明理由；(2)如图2，若是的角平分线，，相交于点F．求证：． 【答案】(1)是直角三角形，见解析(2)见解析 【详解】（1）解：是直角三角形．理由如下： ∵在中，是高，∴，∴． ∵，∴，∴，∴是直角三角形； （2）证明：∵是的角平分线，∴． 由（1）得，， ∴，，∴． ∵，∴． 6．（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）请阅读下面材料，并回答所提出的问题． 三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例． 已知：如图，中，是角平分线，求证：． 分析：在比例式中，恰是、、的第四比例项，所以考虑过作，交的延长线于，从而得到、、的第四比例项，这样，证明就可以转化成证明． AI   证明：如图，过作，交的延长线于，则，．平分，，，，，，． (1)上述证明过程中，用到了哪些定理？（写对两个定理即可） (2)在上述分析、证明过程中，主要用到了下面三种数学思想中的哪一种？选出一个填在后面的括号内（只填序号）（    ） ①数形结合思想；②转化思想；③分类讨论思想． (3)用三角形内角平分线性质定理解答问题：    已知：如图，在中，是角平分线，，，．求的长． 【答案】(1)见解析(2)②(3) 【详解】（1）解：证明过程中用到的定理有：①平行线的性质定理；②等腰三角形的判定定理； （2）把转化成，是用的转化思想；故答案为：②． （3）∵是角平分线，∴， 又，，．∴解得： 7．（25-26九年级下·安徽滁州·阶段练习）请阅读下面材料，并回答所提出的问题． 三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例． 已知：． 证明：过作，交的延长线于．，．----① 是角平分线，．．----② 又，----③ ． (1)上述证明过程中，步骤①②③处的理由是什么？（写出两条即可） (2)用三角形内角平分线定理解答，已知，中，是角平分线，，，，求的长； (3)我们知道如果两个三角形的高相等，那么它们面积的比就等于底的比．请你通过研究和面积的比来证明三角形内角平分线定理． 【答案】(1)①平行线的性质定理，②等腰三角形的判定定理，③平行线分线段成比例定理(2) (3)见解析 【详解】（1）解：根据题意，得证明过程中用到的定理有： ①平行线的性质定理；②等腰三角形的判定定理；③平行线分线段成比例定理； （2）解：是角平分线，， 又，，，，故． （3）证明：和的高相等，设点到的高为，点到的高为， 可得：和面积的比，可得：． 1．（25-26下·广东深圳·八年级期中）如图，在中，，是边上的高，是的平分线，交于点F，下面说法：①；②；③；④．其中正确的说法有（    ）个．    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：是的平分线，， ，是边上的高，，， ，，．故①③符合题意． ，是边上的高，，， 是的平分线，， ，，．故②符合题意． 如图，过点作于，，是的平分线，，    ，故④符合题意．选：D． 2．（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图1,在中,的平分线与的平分线相交于,过点作,交直线于点,交直线于点,通过上述条件,我们不难发现:;如图2,的平分线与的外角平分线相交于,过点作,交直线于点,交直线于点,根据图1所得的结论,试猜想,,之间存在什么关系?（ ） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【详解】解:如图2,∵,∴,, ∵的平分线与的外角平分线相交于, ∴,,∴,,∴,, ∵,∴．即．故选:A． 3．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，和的平分线分别交于点G，F．若，则的值为 ． 【答案】13 【详解】∵，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∵，∴，故答案为：13． 4．（25-26八年级上·安徽六安·期中）在中，，为边上的高． (1)如图1，若的平分线分别交，于点F，E； ①当时，求的度数；②与相等吗？请说明理由． (2)如图2，若为的中点，交于点，，的面积为36，连接，则的面积为______． 【答案】(1)①；②相等；理由见解析(2) 【详解】（1）解：①∵，，∴， ∵平分，∴， ∴． ②∵，∴，∵，∴， 又∵平分，∴， ∴， ∵， ∴， 即． （2）解：取的中点G，连接，如图所示： ∵点E为的中点，∴，，∴，， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵，的面积为36，∴，∴． 5．（25-26七年级下·广东佛山·阶段练习）阅读理解：如图1，中，是边上一点，且，试说明．    解：过点作边上的高， ，，，又，． 根据以上结论解决下列问题：如图，在中，是边上一点，且，将沿直线翻折得到，点的对应点为，，的延长线交于点，，． (1)若，，求的度数； (2)设的面积为，点，分别在线段，上． ①求的最小值（用含的代数式表示） ②已知，当取得最小值时，求四边形的面积（用含的代数式表示）． 【答案】(1)；(2)①的最小值为；②． 【详解】（1）解：∵，，，∴， ∵沿直线翻折得到，点的对应点为，∴； （2）解：①如图，作于点，交于点，连接、，   ， 由翻折得，，∵，， ∴（），∴，，∴垂直平分， ∴，∴≥， ∴当点落在上且时，的值最小，为此时的长； 如图，于点，交于点，，    由，得，解得，， 此时，∴的最小值为． ②如图，当取最小值时，于点，交于点，，    设，，∵，， ∴，∴； ∵，∴，∴，∴， ∴，∴，由，，得， 设，∵，∴， 由，得，∴， ∴，∴． 6．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题．角平分线分线段成比例定理：三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比．如图①，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图②，过点C作，交的延长线于点E． ，，… (1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分； (2)如图①，在中，是角平分线，，，．求的长； (3)如图③，中，E是中点，是的平分线，交于F，若，，求线段的长． 【答案】(1)见详解(2)(3) 【详解】（1）证明：如图②，过点作，交的延长线于点， ∵，∴，，， 平分，，，∴，∴； （2）解：是角平分线，∴， ∵，，,∴，解得，经检验：符合题意． （3）解：是角平分线，，， ∴，∴，， 是中点，∴，∵， ∴，∴． 7．（25-26八年级上·天津·期中）已知：中，、的平分线相交于点． ①如下图，过点作交、于、，求证：；    ②如下图，过点作交于、交于，若，求的周长； ③若中，的平分线与三角形外角的平分线交于，过点作交于，交于．如下图，请写出这时与、间的关系（不需证明）． 【答案】①证明见解析；②；③ 【详解】①证明：∵，∴，， ∵、的平分线相交于点，∴，， ∴，，∴，， ∴，即； ②解：∵、的平分线相交于点，∴，， ∵，，，∴，， ∴，，∴，， ∴的周长：，即的周长为； ③解：．理由如下：∵，∴，， ∵，分别是与的角平分线，∴，， ∴，，∴，， ∴，即． 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02.三角形中的倒角模型-平分平行（射影）构等腰、角平分线第二定理模型 平分平行构等腰是初中几何 “由角推边” 的经典构造手段，和飞镖、八字、双角平分线共同构成三角形倒角体系，用来解决无全等条件下的边角转化问题。角平分线第二定理，是从角度倒角过渡到线段比例计算的桥梁，衔接三角形基础与相似几何。 在考试中，前者多用于基础证明小问，后者多用于压轴线段长度计算，经常与圆、反比例函数几何、动点问题结合。要求会用两种模型进行倒角证明与线段比例计算，规范书写过程。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 2 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 7 易错点与方法总结 11 模型运用 12 A组（基础题） 12 B组（能力提升题） 17 C组（综合压轴题） 22 1842年斯坦纳-雷米欧司定理的纯几何证明完成，该定理证明过程中大量涉及角平分线与平行线的构造技巧，‌间接催生了"角平分线+平行线→等腰三角形"这一辅助线作法的明确化和模型化‌。 随着几何教育的发展，教育研究者‌将实践中高频出现的解题模式进行总结归类‌。“平分平行构等腰”（或“角平分线+平行线→等腰”）因其简洁性与普适性，被提炼为标准化模型，作为角平分线非全等类模型的核心之一，与“射影构等腰”（角平分线+垂直→等腰）并列，纳入专题教学体系。 这一模型并非由单一学者独创，而是几何学基本原理（尤其是角平分线和平行线性质）在解决经典问题（如斯坦纳-雷米欧司定理）中自然衍生的方法结晶。其现代形式的明确化与命名，是‌19世纪定理证明方法与20世纪后教学经验提炼‌共同作用的结果。 1）平行线性质：两直线平行，内错角相等； 2）角平分线定义与角平分线的性质（第一定理），等角代换； 3）等腰三角形判定：等角对等边； 4）三角形面积公式；比例式变形与计算。 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 【模型提炼与证明】 1）角平分线加平行线必出等腰三角形．    图1 图2 图3 条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。 证明：∵PQ//ON，∴∠1=∠3，∵OO’平分∠MON，∴∠2=∠1， ∴∠2=∠3，∴OQ=PQ，∴△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。 证明：∵DE ∥ BC，∴∠BDE=∠DBC，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠DBE=∠DBC， ∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 证明：由题意得：MN ∥ BC，∴∠BOM=∠OBC，∵BO是∠ABC的角平分线，∴∠OBM=∠OBC， ∴∠BOM=∠MBO，∴BM=OM，∴△BOM是等腰三角形。同理可得：△CON也是等腰三角形。 2）角平分线加射影模型必出等腰三角形． → 图4 条件：如图4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°. 结论：三角形CEF是等腰三角形。 证明：∵BE平分∠CBA，∴∠CBE=∠ABE，∵∠ACB＝90°，∴∠CBE+∠CEB=90°， ∵∠CDA＝90° ，∴∠ABE+∠BFD=90°，∵∠BFD=∠CFE，∴∠ABE+∠CFE=90°， ∴∠CEB=∠CFE，∴CF=CE，∴三角形CEF是等腰三角形。 【模型运用】 【典例1】（2025·江苏苏州·二模）如图，，平分．以下结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，，，则的长为 ． 【典例3】（2024·湖南长沙·二模）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，则线段的长为 ． 【典例4】（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）如图，在中，平分，平分，且，若的周长是6，则的长是（    ） A．6 B．3 C．12 D．9 【典例5】（25-26八年级上·广西梧州·期末）如图①，在中，，的平分线交于点．过点的直线平行于，分别与，交于点，． (1)求证：．(2)将“的平分线”改为“的外角平分线”，如图②所示． ①试推断，，存在怎样的数量关系，并证明你的结论．②若，求的值． 【典例6】（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，在中，，点D在边上，连接，的平分线分别交，于点E，F．(1)尺规作图：求作的高线；（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可画出草图后解答（2）题）；(2)若，求证：． 【典例7】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，中，，，于，平分，交于，交于．(1)求证：是等边三角形；(2)求证：． 模型2.角平分线第二定理（内（外）角平分线定理）模型 【模型提炼与证明】 1）内角平分线定理 条件：如图，在△ABC中，若BD是∠ABC的平分线。 结论： 证明：作，作DHAB垂足分别为F，H. ∵BD是∠ABC的平分线，∴DF=DH，则= = （2）作BECA垂足为E，则 = = ∴= 2）外角平分线定理 图2 图3 条件：如图2，在△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D。 结论：． 证明：如图2，过C作．交BA的延长线于E， ∵，∴，∠2＝∠4，∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴AE＝AC，∴． 3）奔驰模型（面积） 条件：如图3，的三边、、的长分别是a，b，c，其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形。结论：=c：a：b。 证明：过点作于点，作于点，作于点．   由题意知：，，是的三条角平分线，，于，， 的三边、、长分别为a，b，c， ． 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期中）如图，的三边，，的长分别为，，，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于(    ) A． B． C． D． 【典例2】（25-26八年级上·山东德州·期中）角平分线定理：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，即如图，的角平分线交于点，则． (1)求证：；(2)若，，，求的长． 【典例3】（2025·河北石家庄·模拟预测）阅读材料：角平分线分线段成比例定理：如图1，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程： 证明：如图2，过点C作，交的延长线于点E．…… 解决问题：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余过程； (2)如图3，在中，是角平分线，，，，求的长． 【典例4】（24-25·北京·八年级校考期中）在中，D是边上的点（不与点B、C重合），连接． (1)如图1，当点D是边的中点时，_____； (2)如图2，当平分时，若，，求的值（用含m、n的式子表示）； (3)如图3，平分，延长到E．使得，连接，若，求的值． 模型常见易错点 1）分不清平行线产生的同位角/内错角，代换角度出错； 只机械记模型，不会写平行线带来的等角，等量代换逻辑断裂。 正解：先写平行→角相等，再写角分→角相等，再等量传递。 2）随便套用角平分线第二定理，忽略使用条件 定理使用前提：线段是内角平分线，且端点落在对边上，外角平分线不能直接套用该比例式。 3）把比例式写反，比例颠倒 记忆口诀：分点两侧的线段之比=相邻两边之比，BD对应AB，DC对应AC。 4）解答题直接写定理结论，没有推导过程 初中课内未学角平分线第二定理，大题不能直接默写公式，需要用面积法/作平行线简单推导再使用。 5）外角平分线 + 平行的结构，套用内角等腰结论 内外构图角度位置不同，需要重新倒角，不能照搬内角模型结论。 解题方法总结 （1）平分平行构等腰（角分线 + 平行线模型） 一条角平分线 + 一条平行线，利用平行线内错角相等，进行等量代换，可推导出三角形两底角相等，进而得到等腰三角形，实现 “角相等→边相等” 的转化，属于纯倒角构造模型。 （2）角平分线第二定理（内角平分线分线段成比例定理） 三角形内角平分线交对边于一点，分对边所得的两条线段，与三角形的两条邻边对应成比例。 本定理可以用面积法推导，是线段比例计算的重要工具，解答题可先推导再使用。 万能口诀：角分遇平行，内错来搭桥；等角换等边，等腰马上出；角分比例式，邻边比底边，设k解方程。 1．（2025·宁夏银川·一模）如图，已知，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，若是上一点，过点作的平行线交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2.（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，和的平分线交于点E，过点E作分别交AB、AC于点M、N，则的周长为 ． 3．（25-26八年级上·山东·期中）如图，的三边，，长分别是，，，其三条角平分线将分为三个三角形，已知，则 ． 4．（25-26八年级上·广东·期中）如图1，在中，是它的角平分线． (1)求证：； (2)如图2，在中，是它的角平分线，且，请同学们探究线段、、三者的数量关系，并证明． 5．（25-26八年级上·河南商丘·阶段检测）如图，在中，，，为边上的高线．(1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若（1）中所作的角平分线分别交于点E、F，求证：三角形AEF为等腰三角形． 6．（24-25九年级上·陕西榆林·开学考试）如图，的内角的平分线与外角的平分线交于点D，过点D作BC的平行线交AB于E，交AC于F．试判断EF与BE，CF之间的数量关系，并说明理由． 7．（2025·山西临汾·二模）阅读与思考 在学习完角平分线的相关辅助线后，老师让学生探究角平分线分线段成比例定理，以下是小宇同学的探究过程： 角平分线分线段成比例定理 内容：三角形内角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边对应成比例，如图1．若为的角平分线，则． 下面是小宇对这个定理的证明过程． 证明：如图2，过点C作，交的延长线于点E． 则，且（依据1）， 又平分， （依据2），． 任务：(1)填空：材料中的依据1是_______，依据2是_______； (2)你有不同的思考方法吗？请写出你的证明过程； (3)如图3，在中，平分交于点D，，则的长为_______． 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，中，，平分，平分，，过点作，分别交、于、，设，则周长是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江金华·阶段练习）如图， 在中， 和的平分线分别交于点 F、G，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（25-26八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，的角平分线和相邻的外角平分线交于点，过点作交于，交于，若，且，则长为 ． 4．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，的三边的长分别为，其三条角平分线将分成三个三角形，则 ． 5．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）如图1，在中，是高，若．       (1)试判断的形状，并说明理由；(2)如图2，若是的角平分线，，相交于点F．求证：． 6．（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）请阅读下面材料，并回答所提出的问题． 三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例． 已知：如图，中，是角平分线，求证：． 分析：在比例式中，恰是、、的第四比例项，所以考虑过作，交的延长线于，从而得到、、的第四比例项，这样，证明就可以转化成证明． 证明：如图，过作，交的延长线于，则，．平分，，，，，，． (1)上述证明过程中，用到了哪些定理？（写对两个定理即可） (2)在上述分析、证明过程中，主要用到了下面三种数学思想中的哪一种？选出一个填在后面的括号内（只填序号）（    ） ①数形结合思想；②转化思想；③分类讨论思想． (3)用三角形内角平分线性质定理解答问题：    已知：如图，在中，是角平分线，，，．求的长． 7．（25-26九年级下·安徽滁州·阶段练习）请阅读下面材料，并回答所提出的问题． 三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例． 已知：． 证明：过作，交的延长线于．，．----① 是角平分线，．．----② 又，----③ ． (1)上述证明过程中，步骤①②③处的理由是什么？（写出两条即可） (2)用三角形内角平分线定理解答，已知，中，是角平分线，，，，求的长； (3)我们知道如果两个三角形的高相等，那么它们面积的比就等于底的比．请你通过研究和面积的比来证明三角形内角平分线定理． 1．（25-26下·广东深圳·八年级期中）如图，在中，，是边上的高，是的平分线，交于点F，下面说法：①；②；③；④．其中正确的说法有（    ）个．    A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图1,在中,的平分线与的平分线相交于,过点作,交直线于点,交直线于点,通过上述条件,我们不难发现:;如图2,的平分线与的外角平分线相交于,过点作,交直线于点,交直线于点,根据图1所得的结论,试猜想,,之间存在什么关系?（ ） A． B． C． D．无法判断 3．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，和的平分线分别交于点G，F．若，则的值为 ． 4．（25-26八年级上·安徽六安·期中）在中，，为边上的高． (1)如图1，若的平分线分别交，于点F，E； ①当时，求的度数；②与相等吗？请说明理由． (2)如图2，若为的中点，交于点，，的面积为36，连接，则的面积为______． 5．（25-26七年级下·广东佛山·阶段练习）阅读理解：如图1，中，是边上一点，且，试说明．    解：过点作边上的高， ，，，又，． 根据以上结论解决下列问题：如图，在中，是边上一点，且，将沿直线翻折得到，点的对应点为，，的延长线交于点，，． (1)若，，求的度数； (2)设的面积为，点，分别在线段，上． ①求的最小值（用含的代数式表示） ②已知，当取得最小值时，求四边形的面积（用含的代数式表示）． 6．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题．角平分线分线段成比例定理：三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比．如图①，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图②，过点C作，交的延长线于点E． ，，… (1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分； (2)如图①，在中，是角平分线，，，．求的长； (3)如图③，中，E是中点，是的平分线，交于F，若，，求线段的长． 7．（25-26八年级上·天津·期中）已知：中，、的平分线相交于点． ①如下图，过点作交、于、，求证：；    ②如下图，过点作交于、交于，若，求的周长； ③若中，的平分线与三角形外角的平分线交于，过点作交于，交于．如下图，请写出这时与、间的关系（不需证明）． 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $