专题01 三角形中的倒角模型之双角平分线模型（几何模型讲义）数学新教材人教版八年级上册

该初中数学讲义以“双角平分线模型”为核心，通过框架图系统梳理双内角、一内一外、双外角三类模型，结合“双内90°加一半，双外90°减一半，内外直接取一半”口诀及证明过程，呈现知识脉络与重难点内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，A组基础题巩固模型识别，B组提升题强化推导，C组压轴题综合应用，如双内角模型证明题培养推理意识。易错点总结规避公式混淆，解题步骤指导强化模型观念，助力不同学生提升，支持教师精准教学。

专题01 三角形中的倒角模型之双角平分线模型 双角平分线模型是人教版八年级上册几何角度计算的核心必考模型，贯穿高线、角平分线、平行线、三角形内角和、外角定理两大核心模块，题型相对固定、结论性强、易混易错点集中。本讲内容主要掌握掌握三类双角平分线模型的图形特征，能快速识图分类；熟练推导各模型角度公式，理解推导原理；能在选填题中套用结论解决角度计算相关问题；规避模型混淆、步骤漏写等常见易错点。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.双角平分线模型（双内角） 2 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 8 模型3.双角平分线模型（两外角） 11 易错点与方法总结 17 模型运用 18 A组（基础题） 18 B组（能力提升题） 18 C组（综合压轴题） 24 古希腊数学家毕达哥拉斯提出角平分线基本概念，欧几里得《几何原本》完善了单角平分线定理（平分角且对边成比例），但未涉及双角组合模型；直到21世纪双角平分线按位置关系提炼为三类标准模型。三类模型均通过角平分线性质将复杂角度关系转化为∠A的线性函数，体现“集中条件”的核心思想。该模型本质是角平分线研究的现代结晶，通过教育实践完成从理论到工具的转化。 口诀化总结：“双内90°加一半，双外90°减一半，内外直接取一半”。 1）三角形内角和等于180°；三角形外角定理：三角形的一个外角等于不相邻两内角之和； 2）角平分线定义：将一个角分为两个相等的角； 3）等式性质、角度整体代换思想（几何核心方法）。 模型1.双角平分线模型（双内角） 【模型提炼与证明】 1）两内角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。 图1 图2 图3 2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1（拓展1） 条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。 3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2（拓展2） 条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠B+∠E-180°。。 证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，。 ∴∠P=180°-(∠PCD+∠PDC)=180°-(∠BCD+∠CDE)=180°-(540°-∠A-∠B-∠E)=(∠A+∠B+∠E)-90即：2∠P=∠A+∠B+∠E-180°。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·江西吉安·期中）如图，P为内一点，平分，平分，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵在中，，∴． ∵平分，平分，∴， ∴． 【典例2】（24-25八年级上·新疆·期末）如图，是的角平分线，是的角平分线，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵分别平分和，∴，， ∵，， ∴，， ∴，而，∴．故选：C． 【典例3】（25-26八年级下·贵州毕节·期中）如图，在中，和的平分线相交于点． (1)若，求的度数；(2)把（1）中这个条件去掉，试探索和之间有怎样的数量关系． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ，， 和的平分线相交于点，，， ，． （2），理由如下：在中，， 和的平分线相交于点，，， ， ． 【典例4】（25-26八年级下·河南安阳·期中）如图，四边形中，与的角平分线交于点，___________． 【答案】105 【详解】解：四边形的内角和为，， ， 分别是、的角平分线，， ． 【典例5】（24-25七年级下·山西临汾·期末）综合与探究 【感知】如图1，在中，分别是和的角平分线． 【应用】(1)若，则 ；若，则 ； (2)求与之间的关系并证明； 【拓展】(3)如图2，在四边形中，分别是和的角平分线，求与的数量关系． 【答案】(1)(2) ；理由见解析(3) 【详解】（1）解：若， 由条件可知 ，∴； 若，∵分别是和的平分线， ∴ ， ∴ ， ∵，∴； （2）解：；理由如下： ∵分别是和的平分线，∴ ， ∴ ； （3）解：．如图，延长，交于点E，由（2）知， ， 由条件可知，∴， ∴ ，即． 【典例6】（24-25七年级下·山东青岛·期末）【基础探究1】（1）如图1，中，平分，平分，探求与之间的数量关系； 【基础探究2】（2）如图2，中，、是的三等分线，、是的三等分线，则与之间的数量关系是______； 【基础探究3】（3）如图3，中，、、是的四等分线，、、是的四等分线，则与之间的数量关系是______； 【拓展与探究】（4）如图4，中，、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，请用一个等式表示、、三者之间的数量关系是______； 【探究与应用】（5）中，、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线，若与的和是的7倍，则______． 【答案】（1）（2）（3）（4）（5）105 【详解】解：（1）∵，∴， ∵平分，平分，∴，， ∴ ． （2）∵、是的三等分线，、是的三等分线， ∴，， ∴ ．故答案为： （3）∵、、是的四等分线，、、是的四等分线， ∴，， ∴ ．故答案为： （4）∵、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，∴，，，， ∴ ， ， ∴． 故答案为： （5）∵、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线， ∴，，，， ∴ ， ， ∴， ∵∴，∴， 同理可得．故答案为：105 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 1）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P； 结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 图1 图2 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线）（拓展1） 条件：如图3，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在中，，，平分，平分的外角，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵在中，，，平分，平分的外角， ∴，， ∵，∴，故选：D． 【典例2】（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在四边形中，，的平分线与外角的平分线相交于点，则的度数为（   ） A． B． C．25° D． 【答案】C 【详解】解：如图，延长和交于点G，∵， ∴ ，∴， ∵的平分线与外角的平分线相交于点，∴， ∴故选：C． 【典例3】（24-25·河北·八年级专题练习）问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系． (1)特例探究：如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝ ； 如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝ ；这两个图中，与∠A度数的比是   ；(2)猜想证明：如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由． 【答案】(1)30°；50°；1:2(2)成立，见解析 【详解】（1）解：如图2，是等边三角形，，， 平分，平分．，，，； 如图3，是等腰三角形，，，， 平分，平分．，， ，；故答案为，，； （2）解：成立，如图1，在中，，在中，，（1） 平分，平分，，， 又，，（2） 由（1）（2），，． 【典例4】（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，若，则为____． 【答案】 【详解】解：∵和分别是的内角平分线和外角平分线， ，，又，， ，，同理可得：， ， 则，∵，，． 【典例5】（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，，分别是的内角和外角的平分线，且，平分交于点，连接，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，，． 平分，．．，故选项 B 正确； 平分，．，即． 又，，即． ，无法推出，故选项 C 错误； ，且，，故选项 A 正确； 平分，． 在 中，． ，． 又，，故选项 D 正确． 模型3.双角平分线模型（两外角） 1）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A。 图1 图2 2）旁心模型 （拓展1） 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图4，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。 证明：如图4，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角， ∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·广东广州·阶段检测）如图，的两外角，的平分线交于点P，．则_______． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得：， ∵．∴，∴， ∴，∴，故选：A 【典例2】（25-26八年级上·四川广安·期中）如图，在中，，分别是，的外角平分线，(1)若，，那么______．(2)若，求的度数用含α的式子表示）． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵，，∴，， 又∵，分别是，的外角平分线， ∴，，∴，故答案为：． （2）解：∵，∴， 又∵，，，∴， ∵，， ∴，∴， ∴，即． 【典例3】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，分别平分的外角，内角，外角．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有___________． 【答案】①③④ 【详解】解：①∵平分，∴， ∵，，∴，∴，故①正确； ②∵，∴，∵平分，， ∴，∴，故②错误； ③在中，，∵平分的外角，∴， ∵，∴，，， ∴，， ∴， ∴，故③正确； ④∵平分，∴，∵，∴，∴， ∵，即 ∴，∴， ∴，故④正确；故答案为：①③④． 【典例4】（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）【教材呈现】下面是北师版八年级下册数学教材习题52页第19题部分内容． 【问题回顾】(1)已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是 ．(2)已知：如图2，在中，平分，平分外角，试判断和的数量关系，并说明理由． (3)如图3，平分外角，平分外角，若设，则 ．（用含的式子表示） 【拓展与应用】(4)如图4，平分，平分，把折叠，使点与点重合，若，则 ． 【答案】(1)(2)，理由见解析(3)(4) 【详解】（1）解：在中，，∴， ∵，分别平分和，∴， ∴，∴； （2）解：，理由如下： ∵平分，平分外角，∴，， ∵是的外角，是的外角，∴， ∴，即，∴； （3）解：∵，∴，∴， ∵平分，平分，∴， ∴，∴； （4）解：∵折叠，∴， ∵，∴，∴， ∵平分，平分，由（1）得：． 【典例5】（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图1、2、3所示，在中，与的平分线相交于点． (1)如图1 所示，若，，则的度数为 ． (2)如图1 所示，如果，求的度数； (3)如图2 所示，作外角， 的平分线交于点 ，试探索， 之间的数量关系； (4)如图3所示，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的 3 倍，请写出的度数． 【答案】(1)(2)(3)(4)或或或 【详解】（1）解：分别是和的角平分线，， ， ，； （2）解：分别是和的角平分线，， ， ； （3）解：分别是的角平分线，，， ，，， ，， ，； （4）解：是的角平分线，是的角平分线，， ，， ，由（3）知，，， ∵在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，，都是锐角， ∴分四种情况讨论：①，，，； ②，，； ③，，，， ④，，解之得：， 综上可知：的度数为或或或． 模型常见易错点 1）混淆【90°+∠A】和【90°-∠A】：记住内大外小，内角平分角度较大，外角平分角度较小； 2）一内一外模型无 90°，是唯一纯半角公式（即∠A）； 3）解答题禁止直接写结论，必须写角平分线定义、角度代换步骤，否则扣分； 4）无图题型需分类讨论（部分压轴题考点）。 解题方法总结 通用解题步骤 1）先识别模型类型：判断是共边角场景，还是三角形的“双内/双外/一内一外”场景； 2）直接套用对应结论，跳过复杂的分步角度推导； 3）大题需补充推导过程：利用角平分线性质拆分角度，结合三角形内角和/外角定理完成证明。 1．（25-26八年级上·贵州铜仁·阶段检测）如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线交于点，得；…；与的平分线交于点，得．求的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵与的平分线交于点，∴，， 由三角形外角的性质可得，，， ∴，整理得：， 同理可得，∴． 当时，．故选：B． 2．（25-26·成都市·八年级专题练习）如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则 ． 【答案】61° 【详解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=180°﹣58°=122°， ∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°， ∴∠DAC+∠ACF=360°﹣（∠BAC+∠BCA）=360°﹣122°=238°， ∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF， ∴∠EAC+∠ECA =（∠DAC+∠ACF）=119°，∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°， ∴∠AEC=180°﹣（∠EAC+∠ECA）=180°﹣119°=61°，故答案为：61°． 3.（24-25·陕西·八年级期中）如图，在中，点O是内一点，且点O到三边的距离相等，，则的度数为 °． 【答案】 【详解】解：∵点O到三边的距离相等， ∴平分，平分，∴，， ∴ ．故答案为：． 4·（25-26八年级上·贵州铜仁·阶段检测）如图，在中，，分别平分和，，交于点，是的一个外角，为的平分线，的延长线交 于点．若，则的度数是______． 【答案】/20度 【详解】解：已知平分，则，平分，则， 根据三角形外角性质：，， 代入得：， 由于，可得．故答案为：． 5．（25-26七年级下·山西太原·阶段检测）如图，点是的两条角平分线的交点．若，则的度数为________． 【答案】/124度 【详解】解：∵分别平分，∴， ∵，∴， ∴，∴． 6．（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则___________． 【答案】 【详解】解：∵是的平分线，，∴，． ∵是的平分线，，∴，． 对，，∴． 对，，∴．∴ ． 7．（25-26七年级下·河南新乡·期中）如图，在中，，平分外角，平分外角，平分，平分，求的度数． 【答案】 【详解】解：，，， ，， 平分外角，平分外角，，， 平分，平分， ，，， ． 8．（25-26八年级上·广东汕尾·阶段检测）在中，和的平分线相交于点． (1)若，，则_____；(2)若，则_____ (3)若，试猜想_____，并证明你的猜想的正确性． 【答案】(1)120(2)(3) 【详解】（1）解：∵的平分线交于点O，∴， ∴， 故答案为：120； （2）解： ∵的平分线交于点O，∴，， ∴ ，故答案为：； （3）解：∵的平分线交于点O， ∴，，∴ 故答案为：． 9．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，在中，． (1)如图1，平分，平分，求的度数． (2)如图2，平分，平分外角，求的度数． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵平分，平分，∴，． ∵，∴． （2）解：∵平分，平分外角，∴，． ∵，，∴． 10.（2025·陕西榆林·模拟预测）（1）问题解决：如图，中，、分别是和的平分线，为、交点，若，求的度数；（写出求解过程） （2）拓展与探究：①如图1，中，、分别是和的平分线，为、交点，则与的关系是______；（请直接写出你的结论） ②如图2，、分别是和的两个外角和的平分线，为、交点，则与的关系是______；（请直接写出你的结论） ③如图3，、分别是的一个内角和一个外角的平分线，为、交点，则与的关系是______．（请直接写出你的结论） 【答案】（1）；（2）①，理由见解析；②理由见解析；③，理由见解析 【详解】解（1）∵，∴， ∵、分别是和的平分线，∴， ∴，∴； （2）①，理由如下： ∵，∴， ∵、分别是和的平分线，∴， ∴， ∴，故答案为：； ②，理由如下： ∵，∴， ∵分别是两个外角和的平分线， ∴，∴， ∴，故答案为：； ③，理由如下：∵、分别是的一个内角和一个外角的平分线，， ∴， 又∵是的一外角，∴，∴， ∵是的一外角，∴， 故答案为：． 11．（25-26八年级下·重庆 ·期中）如图，在四边形中，，与的外角平分线交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图， ,，． 又，． 与的外角平分线交于点，，． ． ．故选：A． 12.（24-25七年级下·成都·期中）如图，在四边形中，，点为与的角平分线的交点，则的度数是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴， ∵为角平分线，∴ ∴；即：．故答案为：C． 13．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图所示，中，，，，，分别是，，，的平分线，则的度数为_________（结果用表示） 【答案】 【详解】解：∵、分别是、的一个外角 ∴，， 又 ∵、 分别是、的平分线，∴， ， ∴，∴，∴， ∵，∴，∵中，、分别是和的平分线， ∴，，∴ ． 14．（25-26七年级下·河南周口·期中）探究不同情境，回答下面问题： (1)如图1，，平分，平分，则的度数为__________； (2)如图2，，，分别是，三等分线中的一条，，，求的度数； (3)小明利用图3进行了深入探究：①若是两个外角与的平分线和的交点，则与的数量关系为__________；②若是两个外角与其中一条等分线和的交点，，，，则的度数为_____________（用含，的代数式表示）． 【答案】(1)(2)(3)①；② 【详解】（1）解：∵，∴， ∵点O是内角、的平分线的交点，∴，， ∴，∴， ∵，∴； （2）解：∵，∴， ∵，分别是，三等分线中的一条，，， ∴，∴， ∵，∴； （3）解：①∵平分，平分，∴，， ∵，，∴，， ∴，∵， ∴， ∴，即； ②∵，，∴， ∵，，∴， ∵，，∴， ∴， ∴． 15．（24-25八年级上·河南许昌·期中）探究与发现： （1）如图（1），在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD． ①若，则　 　．②若，用含有α的式子表示为　 　． （2）如图（2），在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试探究∠P与∠A+∠B的数量关系，并说明理由．（3）如图（3），在六边形ABCDEF中，DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：　 　． 【答案】（1）①125°②∠P＝90°＋α；（2）∠P＝（∠A＋∠B）（3）∠P＝（∠A＋∠B＋∠E＋∠F）−180° 【详解】解：（1）①∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，∴∠CDP＝∠ADC，∠DCP＝∠ACD ∵∠A＋∠ADC＋∠ACD＝180°∴∠ADC＋∠ACD＝180°−∠A ∵∠P＋∠PDC＋∠PCD＝180° ∴∠P＝180°−（∠PDC＋∠PCD）＝180°− （∠ADC＋∠ACD） ∴∠P＝180°−（180°−∠A）＝90°＋∠A=90°＋×70°=125° 故答案为：125°； ②∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，∴∠CDP＝∠ADC，∠DCP＝∠ACD ∵∠A＋∠ADC＋∠ACD＝180°∴∠ADC＋∠ACD＝180°−∠A ∵∠P＋∠PDC＋∠PCD＝180° ∴∠P＝180°−（∠PDC＋∠PCD）＝180°− （∠ADC＋∠ACD） ∴∠P＝180°−（180°−∠A）＝90°＋∠A=90°＋α故答案为：∠P＝90°＋α； （2）∠P＝（∠A＋∠B） 理由如下：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，∴∠CDP＝∠ADC，∠DCP＝∠BCD ∵∠A＋∠B＋∠BCD＋∠ADC＝360°∴∠BCD＋∠ADC＝360°−（∠A＋∠B） ∵∠P＋∠PDC＋∠PCD＝180°∴∠P＝180°−（∠PDC＋∠PCD）＝180°−（∠ADC＋∠BCD） ∴∠P＝180°−[360°−（∠A＋∠B）]＝（∠A＋∠B） （3）∵DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD∴∠PDC＝∠EDC，∠PCD＝∠BCD ∵∠A＋∠B＋∠E＋∠F＋∠BCD＋∠EDC＝720°∴∠BCD＋∠EDC＝720°−（∠A＋∠B＋∠E＋∠F） ∵∠P＋∠PDC＋∠PCD＝180°∴∠P＝180°−（∠PDC＋∠PCD）＝180°−（∠EDC＋∠BCD） ∴∠P＝180°− [720°−（∠A＋∠B＋∠E＋∠F）]∴∠P＝（∠A＋∠B＋∠E＋∠F）−180° 故答案为：∠P＝（∠A＋∠B＋∠E＋∠F）−180°． 16．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，中，的角平分线与外角的平分线交于． (1)如图，若，则 ． (2)如图，四边形中，的角平分线及外角的角平分线相交于点，若，求的度数． (3)如图，中，的角平分线与外角的角平分线交于，若为延长线上一动点，连接，与的角平分线交于点，当滑动时有下面两个结论： 的值为定值；的值为定值； 其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值． 【答案】(1)(2)(3)正确的结论是①，理由见解析 【详解】（1）解：∵平分平分，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，故答案为：； （2）解：∵平分平分，∴， ∴， ∵，∴， ∴，∴，∴； （3）解：正确的结论是①，理由如下：同（1）可得， ∵平分平分，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴的值为定值，①正确，其值是． 17．（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）如图，在中，，与的角平分线交于点，过点作交于点，交于点，给出下列结论：①；②；③的周长；④，其中错误的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【详解】如图： ∵，∴， ∵与的平分线交于点F，∴，∴， ∴，∴，故①是正确的； ∵，，∴，∴，故②是错误的； ∵的周长，∴的周长，故③是正确的； ∵，， ∴， ∴，故④是正确的；综上，错误的是②． 18.（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，，的平分线交于点O，． （1）的度数为_____．（2）若CD平分外角，交BO的延长线于点D，点E是的两外角平分线的交点，则的度数为_____． 【答案】 80° 10° 【详解】（1）解：∵BO平分，CO平分， ∴，. ∵，， ∴， ∴， ∴. （2）解：由（1）知. ∵点E是的两外角平分线的交点， ∴，， ∴ . ∵BO平分，CD平分外角， ∴，. ∵，， ∴ ， ∴. 19．（25-26七年级下·福建泉州·期中）我们曾经研究过三角形双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题，小明在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： (1)【问题再现】如图1，在中，、的角平分线交于点P，若，则______． (2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，则______． (3)如图3，在中，、的角平分线交于点P，将沿折叠使得点A与点P重合．若，则为多少度？ (4)【拓展提升】如图4，在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接，，、的角平分线交于点G，若，，试探究和，之间的数量关系． 【答案】(1)(2)(3)(4)或或． 【详解】（1）解：，， 、的角平分线交于点P，， ，，； （2）解：的角平分线与的外角的角平分线交于点P， ，，． （3）解：∵平分，平分，∴，（角平分线的定义）， ∴，∴， ∴，∴，∴． 由折叠的性质可得，，∴， ∵，，∴． （4）解：①当点F在点E左侧时，如图所示， ∵，∴．∵平分，平分， ∴，．∵， ∴． ②当F在D、E之间时，如图所示：同理可得，， ， ∴． ③当点F在D点右侧时，如图所示： 同理可得． 综上所述，F在E左侧；F在ED中间；F在D右侧． 20．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）【初步认识】 （1）如图1，在中，平分，平分．若，则______； 如图2，平分，平分外角，则与的数量关系是______； 【继续探索】（2）如图3，平分外角，平分外角，求证：； 【拓展应用】（3）如图4，点P是两内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，延长交于点M，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求的度数． 【答案】（1）；；（2）见解析；（3）的度数为或或或 【详解】（1）解：如图1，∵平分，平分， ∴， ∵，∴； 如图2，∵平分，平分外角，∴， ∵，， ∴，整理得，； （2）证明：∵平分外角，平分外角， ∴，． ∵，∴ ， ∴． ∴． （3）解：∵平分，平分，∴，， ∵，∴． 由（1）（2）知，， ∵在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍， ∴①当时，，∴． ②当时，，解得． ③当时，，解得． ④当时，，解得． 综上，的度数为或或或． 30 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形中的倒角模型之双角平分线模型 双角平分线模型是人教版八年级上册几何角度计算的核心必考模型，贯穿高线、角平分线、平行线、三角形内角和、外角定理两大核心模块，题型相对固定、结论性强、易混易错点集中。本讲内容主要掌握掌握三类双角平分线模型的图形特征，能快速识图分类；熟练推导各模型角度公式，理解推导原理；能在选填题中套用结论解决角度计算相关问题；规避模型混淆、步骤漏写等常见易错点。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.双角平分线模型（双内角） 2 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 8 模型3.双角平分线模型（两外角） 11 易错点与方法总结 17 模型运用 18 A组（基础题） 18 B组（能力提升题） 18 C组（综合压轴题） 24 古希腊数学家毕达哥拉斯提出角平分线基本概念，欧几里得《几何原本》完善了单角平分线定理（平分角且对边成比例），但未涉及双角组合模型；直到21世纪双角平分线按位置关系提炼为三类标准模型。三类模型均通过角平分线性质将复杂角度关系转化为∠A的线性函数，体现“集中条件”的核心思想。该模型本质是角平分线研究的现代结晶，通过教育实践完成从理论到工具的转化。 口诀化总结：“双内90°加一半，双外90°减一半，内外直接取一半”。 1）三角形内角和等于180°；三角形外角定理：三角形的一个外角等于不相邻两内角之和； 2）角平分线定义：将一个角分为两个相等的角； 3）等式性质、角度整体代换思想（几何核心方法）。 模型1.双角平分线模型（双内角） 【模型提炼与证明】 1）两内角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。 图1 图2 图3 2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1（拓展1） 条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。 3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2（拓展2） 条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠B+∠E-180°。。 证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，。 ∴∠P=180°-(∠PCD+∠PDC)=180°-(∠BCD+∠CDE)=180°-(540°-∠A-∠B-∠E)=(∠A+∠B+∠E)-90即：2∠P=∠A+∠B+∠E-180°。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·江西吉安·期中）如图，P为内一点，平分，平分，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25八年级上·新疆·期末）如图，是的角平分线，是的角平分线，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【典例3】（25-26八年级下·贵州毕节·期中）如图，在中，和的平分线相交于点． (1)若，求的度数；(2)把（1）中这个条件去掉，试探索和之间有怎样的数量关系． 【典例4】（25-26八年级下·河南安阳·期中）如图，四边形中，与的角平分线交于点，___________． 【典例5】（24-25七年级下·山西临汾·期末）综合与探究 【感知】如图1，在中，分别是和的角平分线． 【应用】(1)若，则 ；若，则 ； (2)求与之间的关系并证明； 【拓展】(3)如图2，在四边形中，分别是和的角平分线，求与的数量关系． 【典例6】（24-25七年级下·山东青岛·期末）【基础探究1】（1）如图1，中，平分，平分，探求与之间的数量关系； 【基础探究2】（2）如图2，中，、是的三等分线，、是的三等分线，则与之间的数量关系是______； 【基础探究3】（3）如图3，中，、、是的四等分线，、、是的四等分线，则与之间的数量关系是______； 【拓展与探究】（4）如图4，中，、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，请用一个等式表示、、三者之间的数量关系是______； 【探究与应用】（5）中，、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线，若与的和是的7倍，则______． 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 1）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P； 结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 图1 图2 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线）（拓展1） 条件：如图3，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在中，，，平分，平分的外角，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在四边形中，，的平分线与外角的平分线相交于点，则的度数为（   ） A． B． C．25° D． 【典例3】（24-25·河北·八年级专题练习）问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系． (1)特例探究：如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝ ； 如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝ ；这两个图中，与∠A度数的比是   ；(2)猜想证明：如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由． 【典例4】（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，若，则为____． 【典例5】（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，，分别是的内角和外角的平分线，且，平分交于点，连接，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 模型3.双角平分线模型（两外角） 1）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A。 图1 图2 2）旁心模型 （拓展1） 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图4，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。 证明：如图4，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角， ∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·广东广州·阶段检测）如图，的两外角，的平分线交于点P，．则_______． A． B． C． D． 【典例2】（25-26八年级上·四川广安·期中）如图，在中，，分别是，的外角平分线，(1)若，，那么______．(2)若，求的度数用含α的式子表示）． 【典例3】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，分别平分的外角，内角，外角．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有___________． 【典例4】（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）【教材呈现】下面是北师版八年级下册数学教材习题52页第19题部分内容． 【问题回顾】(1)已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是 ．(2)已知：如图2，在中，平分，平分外角，试判断和的数量关系，并说明理由． (3)如图3，平分外角，平分外角，若设，则 ．（用含的式子表示） 【拓展与应用】(4)如图4，平分，平分，把折叠，使点与点重合，若，则 ． 【典例5】（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图1、2、3所示，在中，与的平分线相交于点． (1)如图1 所示，若，，则的度数为 ． (2)如图1 所示，如果，求的度数； (3)如图2 所示，作外角， 的平分线交于点 ，试探索， 之间的数量关系； (4)如图3所示，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的 3 倍，请写出的度数． 模型常见易错点 1）混淆【90°+∠A】和【90°-∠A】：记住内大外小，内角平分角度较大，外角平分角度较小； 2）一内一外模型无 90°，是唯一纯半角公式（即∠A）； 3）解答题禁止直接写结论，必须写角平分线定义、角度代换步骤，否则扣分； 4）无图题型需分类讨论（部分压轴题考点）。 解题方法总结 通用解题步骤 1）先识别模型类型：判断是共边角场景，还是三角形的“双内/双外/一内一外”场景； 2）直接套用对应结论，跳过复杂的分步角度推导； 3）大题需补充推导过程：利用角平分线性质拆分角度，结合三角形内角和/外角定理完成证明。 1．（25-26八年级上·贵州铜仁·阶段检测）如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线交于点，得；…；与的平分线交于点，得．求的度数（    ） A． B． C． D． 2．（25-26·成都市·八年级专题练习）如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则 ． 3.（24-25·陕西·八年级期中）如图，在中，点O是内一点，且点O到三边的距离相等，，则的度数为 °． 4·（25-26八年级上·贵州铜仁·阶段检测）如图，在中，，分别平分和，，交于点，是的一个外角，为的平分线，的延长线交 于点．若，则的度数是______． 5．（25-26七年级下·山西太原·阶段检测）如图，点是的两条角平分线的交点．若，则的度数为________． 6．（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则___________． 7．（25-26七年级下·河南新乡·期中）如图，在中，，平分外角，平分外角，平分，平分，求的度数． 8．（25-26八年级上·广东汕尾·阶段检测）在中，和的平分线相交于点． (1)若，，则_____；(2)若，则_____ (3)若，试猜想_____，并证明你的猜想的正确性． 9．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，在中，． (1)如图1，平分，平分，求的度数． (2)如图2，平分，平分外角，求的度数． 10.（2025·陕西榆林·模拟预测）（1）问题解决：如图，中，、分别是和的平分线，为、交点，若，求的度数；（写出求解过程） （2）拓展与探究：①如图1，中，、分别是和的平分线，为、交点，则与的关系是______；（请直接写出你的结论） ②如图2，、分别是和的两个外角和的平分线，为、交点，则与的关系是______；（请直接写出你的结论） ③如图3，、分别是的一个内角和一个外角的平分线，为、交点，则与的关系是______．（请直接写出你的结论） 11．（25-26八年级下·重庆 ·期中）如图，在四边形中，，与的外角平分线交于点，则（   ） A． B． C． D． 12.（24-25七年级下·成都·期中）如图，在四边形中，，点为与的角平分线的交点，则的度数是（    ）．    A． B． C． D． 13．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图所示，中，，，，，分别是，，，的平分线，则的度数为_________（结果用表示） 14．（25-26七年级下·河南周口·期中）探究不同情境，回答下面问题： (1)如图1，，平分，平分，则的度数为__________； (2)如图2，，，分别是，三等分线中的一条，，，求的度数； (3)小明利用图3进行了深入探究：①若是两个外角与的平分线和的交点，则与的数量关系为__________；②若是两个外角与其中一条等分线和的交点，，，，则的度数为_____________（用含，的代数式表示）． 15．（24-25八年级上·河南许昌·期中）探究与发现： （1）如图（1），在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD． ①若，则　 　．②若，用含有α的式子表示为　 　． （2）如图（2），在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试探究∠P与∠A+∠B的数量关系，并说明理由．（3）如图（3），在六边形ABCDEF中，DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：　 　． 16．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，中，的角平分线与外角的平分线交于． (1)如图，若，则 ． (2)如图，四边形中，的角平分线及外角的角平分线相交于点，若，求的度数． (3)如图，中，的角平分线与外角的角平分线交于，若为延长线上一动点，连接，与的角平分线交于点，当滑动时有下面两个结论： 的值为定值；的值为定值； 其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值． 17．（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）如图，在中，，与的角平分线交于点，过点作交于点，交于点，给出下列结论：①；②；③的周长；④，其中错误的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 18.（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，，的平分线交于点O，． （1）的度数为_____．（2）若CD平分外角，交BO的延长线于点D，点E是的两外角平分线的交点，则的度数为_____． 19．（25-26七年级下·福建泉州·期中）我们曾经研究过三角形双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题，小明在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： (1)【问题再现】如图1，在中，、的角平分线交于点P，若，则______． (2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，则______． (3)如图3，在中，、的角平分线交于点P，将沿折叠使得点A与点P重合．若，则为多少度？ (4)【拓展提升】如图4，在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接，，、的角平分线交于点G，若，，试探究和，之间的数量关系． 20．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）【初步认识】 （1）如图1，在中，平分，平分．若，则______； 如图2，平分，平分外角，则与的数量关系是______； 【继续探索】（2）如图3，平分外角，平分外角，求证：； 【拓展应用】（3）如图4，点P是两内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，延长交于点M，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求的度数． 18 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $