专题05 全等三角形模型之对角互补模型（几何模型讲义）数学新教材苏科版八年级上册

该初中数学讲义以“对角互补模型”为核心，按“模型提炼-证明推导-应用拓展”递进构建知识体系，通过模型分类框架图呈现90°+90°、60°+120°、α+180°-α三种类型，结合几何直观展示双垂线构造和旋转法等辅助线策略，清晰梳理邻边相等与对角互补的内在联系及结论推导逻辑。 讲义亮点在于分层练习设计与精准方法指导，A组基础题巩固双垂线构造AAS全等，B组提升题结合旋转法探究线段和差，C组压轴题融入圆内接四边形等隐藏条件，培养推理意识与模型观念。易错点总结（如线段和差判断）和记忆口诀辅助学生自主突破，教师可据此实施分层教学，提升复习效率。

专题05.全等三角形模型之对角互补模型 对角互补模型是全等拔高非常重要模型，经常和半角模型捆绑出题。 核心辅助线是双垂线构造 AAS 全等；核心工具是等角的补角相等。 很多题目不会直接给出对角互补，会通过圆内接四边形、邻补角给出隐藏条件，需要学生自主推导。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.全等模型-对角互补模型（90°+ 90°） 2 模型2.全等模型-对角互补模型（60°+120°） 7 模型3.全等模型-对角互补模型（α + 180°-α） 14 易错点与方法总结 23 模型运用 24 A组（基础题） 24 B组（能力提升题） 30 C组（综合压轴题） 37 对角互补模型，早期教研称为邻边等 + 对角补模型。这个模型本质是四点共圆的特殊全等分支。 在《几何原本》圆内接四边形对角互补基础上，国内初中教研提炼出这个经典全等构造模型。 这个模型有个很巧妙的特点：邻边相等 + 对角互补，天然可以旋转重合，和手拉手模型是同源思想； 记忆口诀：对角互补邻边等，双垂旋转造全等；点在线上求和长，点在延长求差长。 早期文献将该模型称为“边等角补模型”（强调邻边相等时的特性），但教学中发现学生更易通过“对角和为180°”这一直观特征识别模型。2021年后，“对角互补模型”逐渐成为主流命名，凸显其核心几何本质。部分教师至今仍沿用旧称，引发课堂辩论：“到底该先看边等还是角补？” 1）全等判定：AAS、ASA、SAS； 2）角平分线性质：角平分线上的点到角两边距离相等； 3）补角性质：同角（等角）的补角相等； 4）旋转的性质：旋转前后对应边相等、对应角相等； 5）四边形内角和 360°；四点共圆基础性质。 模型1.全等模型-对角互补模型（90°+90°） 【模型提炼与证明】 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， 根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形，∴∠CON＝45°，OM=ON， 又∵OD＋OE＝OM-DM+ON+NE，∴OD＋OE=OM+ON=2ON=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴ 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE， ∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形， ∴∠CON＝45°，OM=ON，又∵OE－OD＝ON+NE-（DM-OM），∴OE－OD=ON+OM=2ON=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，. 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·四川绵阳·期中）已知，在的平分线上有一点，将一个三角板的直角顶点与点重合，它的两条直角边分别与相交于点． (1)如图①，当于点，于点时，和之间的数量关系为________． (2)加图②，当三角板绕点旋转到与不垂直时，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1)(2)成立，见解析 【详解】（1）解：∵平分，，，∴；故答案为：； （2）解：上述结论仍然成立．理由如下： 如图2，过点C分别作，垂足为F，，垂足为G． ∴，∴；∵为的角平分线， ∴， ∵，∴，∴，∴． 【典例2】（2025·河南·一模）已知，点是的角平分线上的任意一点，现有一个直角绕点旋转，两直角边，分别与直线，相交于点，点. （1）如图1，若，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由. （2）如图2，若点在射线上，且与不垂直，则（1）中的数量关系是否仍成立？如成立，请说明理由；如不成立，请写出线段，，之间的数量关系，并加以证明. （3）如图3，若点在射线的反向延长线上，且，，请直接写出线段的长度. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3） 【详解】解：（1）∵，，，∴四边形为矩形. ∵是的角平分线，∴，∴， ∴矩形为正方形，∴，.∴. （2）如图，过点作于点，于点， ∵平分，，∴四边形为正方形，由（1）得：， 在和中，，∴，∴，∴. （3），，∴. ∵，，∴， ∴，∴，的长度为. 【典例3】（24-25八年级下·湖南永州·期中）已知中，，，D为AB边的中点，，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F． (1)当∠EDF绕D点旋转到于E时（如图①），则______（请在“＞、＝、＜”中选择一个填空）．(2)当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图②这种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明．(3)当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图③这种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明． 【答案】(1)“＝”(2)成立，证明见解析(3)不成立；它们的关系是：；理由见解析 【详解】（1）解： ∵DE⊥AC ，∴∠DEC＝90°，又∵∠EDF＝90°，，∴四边形CEDF是矩形， ∵D为AB中点，∴E为AC中点，∴，同理可得， ∴； （2）解：（1）中的结论成立，理由如下： 证明：过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，则∠DME＝∠DNF＝∠MDN＝90°， 又∵∠C＝90°，∴DM∥BC，DN∥AC， ∵D为AB边的中点，由中位线定理可知：DN＝AC，MD＝BC，∵AC＝BC，∴MD＝ND， ∵∠EDF＝90°，∴∠MDE+∠EDN＝90°，∠NDF+∠EDN＝90°，∴∠MDE＝∠NDF， 在△DME与△DNF中， ，∴△DME≌△DNF（ASA）， ∴S△DME＝S△DNF，∴S四边形DMCN＝S四边形DECF＝S△DEF+S△CEF， 由以上可知S四边形DMCN＝S△ABC，∴S△DEF+S△CEF＝S△ABC； （3）解：S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC，理由如下：连接DC， 证明：同（2）得：△DEC≌△DBF，∠DCE＝∠DBF＝135°， ∴S△DEF＝S五边形DBFEC＝S△CFE+S△DBC＝S△CFE+S△ABC，∴S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC． 故S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC． 【典例4】（25-26八年级上·广东·期末）在图1，图2，图3中，， (1)问题探索：如图1，当点和点在直线异侧时，猜想，，三者之间数量关系．小明想出了下面的方法，延长到点，使得，连接，由于，证得，从而，且，所以，得到等腰直角，则小明得到线段，，之间的数量关系为 (2)问题解决：如图2，当点和在直线同侧时，与交于点，请你借鉴中的方法证明： (3)思维拓展：如图3，当点和在直线 异侧时，于点，猜想线段，，三之间的数量关系，并写出证明过程． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【详解】（1）解：∵∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，∴∴； （2）证明：在上截取，连接， ∵，，∴， 设，则，，∴， 又∵，，∴，∴ ∴∴是等腰直角三角形， ∴∴即 （3）解：如图所示，延长至，使得， ∵，∴，又∵，∴ 又∵∴，∴，又∵∴， ∴∴四边形是矩形， 又∵∴四边形是正方形，∴∴ 即 ∴ 模型2.全等模型-对角互补模型（60°+120°） 【模型提炼与证明】 1）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴。 2）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∠AOB+∠MCN＝180°，∴∠DCE=∠MCN＝60° ∴∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OD-OE＝OM+DM-（NE-ON），∴OD-OE=ON+OM=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴。 3）“120°等腰三角形对60°模型” 条件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°，PA平分∠BPC。 结论：PB+PC=PA； 证明：将△PAC绕点A顺时针旋转120°至△QAB，即△PAC≌△QAB， ∴∠ACP=∠ABQ，∠CAP=∠BAQ，AP＝AQ，PC＝QB； ∵∠BAC=120°，∠BPC=60°，∴∠ACP+∠ABP=180°，∴∠ABQ+∠ABP=180°，故P、B、Q共线。 又∵∠BPC=60°，PA平分∠BPC，∴∠APQ=60°，∵AP＝AQ，∴∠AQP=60°， 根据勾股定理易证：PQ=PA，又∵PQ=PB+QB=PB+PC，∴PB+PC=PA。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·湖北宜昌·期中）如图，在中，，，点D为边的中点，且，与边，分别交于点E，F．当绕着点D运动时，线段与的数量关系是否发生改变？ (1)探究一：首先观察点F的特殊位置： ①当点F与点C重合时，如图1所示，此时______，线段与之间的数量关系：________； ②当时，如图2所示，求此时的度数及线段与之间的数量关系并说明理由； (2)探究二：观察一般情况，当绕着点D运动时，与之间有什么数量关系并证明． 【答案】(1)①60，；②，，见解析(2)，见解析 【详解】（1）解：①当点与点重合时， 在中，，点为边的中点， 根据等腰三角形三线合一性质可知， ，是等边三角形， ，．故答案为：60， ②解：连接，，点为边的中点， 即为的角平分线，， ，，，， ，， ∴； （2）方法1：过点D作，，垂足分别为M，N， 点为边的中点，，，，， ，，，， 在四边形中，，，， 在和中，，，； 方法2：在上截取，点为边的中点，， ，，，，， 在四边形中，，， 则，，，又，． 【典例2】（25-26重庆八年级期末）如图，已知∠AOB=120°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个60°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E． （1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 【答案】（1）详见解析；（2）（1）中结论仍然成立，理由详见解析；（3）（1）中结论不成立，结论为OE﹣OD=OC，证明详见解析. 【详解】(1)∵OM是∠AOB的角平分线，∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°， ∵CD⊥OA，∴∠ODC=90°，∴∠OCD=30°，∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=30°， 在Rt△OCD中，OD=OC，同理：OE=OC，∴OD+OE=OC， (2)(1)中结论仍然成立，理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，如图， ∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=120°，∴∠FCG=60°， 同(1)的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC， ∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG， ∵∠DCE=60°，∠FCG=60°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG， ∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG， ∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE，∴OD+OE=OC； (3)(1)中结论不成立，结论为：OE﹣OD=OC， 理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，如图， ∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=120°，∴∠FCG=60°， 同(1)的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC， ∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG， ∵∠DCE=60°，∠FCG=60°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE， ∴DF=EG，∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG， ∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，∴OE﹣OD=OC． 【典例3】（25-26八年级下·江西吉安·期末）中，，点D是线段的中点，，与线段相交于点E．与线段（或的延长线）相交于点F． (1)如图1，若，垂足为F，，求的长；(2)如图2，将（1）中的绕点D顺时针旋转一定的角度，仍与线段相交于点F．求证：； (3)如图3，将（2）中的继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使与线段的延长线相交于点F，作于点N，若，求证：． 【答案】(1)(2)答案见解析(3)答案见解析 【详解】（1）解：如图1，，，是等边三角形， ，， ∵点是线段的中点， ， ，即， ， ， ∴； （2）证明：过点作于，作于，如图2， 则有， ∵ ， ，， 在和中，， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 连接，由（1）得：，，， ，，，； （3）证明：过点作于，如图3． 同（1）可得：， 同（2）可得：， ，， ，， 为等边三角形，，，，，， ，，，同理：， ，， ． 【典例4】（25-26八年级上·辽宁辽阳·期中）如图，已知， 在的平分线上有一点 C(不与点O重合)．将一个 角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线，OB相交于点 D，E． 【初步把握】（1）如图1， 当绕点 C旋转到与垂直时， 求证： 【深入研究】（2）如图2，当∠DCE绕点C旋转到与不垂直时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由； 【拓展延伸】（3）当∠DCE绕点 C旋转到与的反向延长线相交时，线段，与之间又有怎样的数量关系？请画出图形，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）结论成立，证明见解析；（3），理由见解析 【详解】解∶ （1）是的角平分线， ， ，， 在中， 设， 则， 由勾股定理得 同理：    （2）（1）中结论仍然成立，理由∶如图2， 过点 C作于 F，于 G， ∴，∵，∴， 同（1）的方法得， ∵， ， 且点 C是的平分线上一点，∴， ∵， ，∴，∴，∴， ∴， ，∴， (3)结论为∶ 理由∶ 如图3， 过点C作于 F，于 G， ∴， 同（1）的方法得， ∵， ， 且点 C是的平分线上一点，∴， ∵， ，∴，∴， ∴，∴， ， ∴，    模型3.全等模型-对角互补模型（α+180°-α） 【模型提炼与证明】 1）“α对180°-α模型”：条件：四边形ABCD中，AP=BP，∠A+∠B=180°。结论：OP平分∠AOB。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°， ∵∠A+∠B=180°，∠OAP+∠PAE=180°，∴∠EAP=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 注意：如下图：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。 2）“蝴蝶型对角互补模型”（隐藏型对角互补） 条件：AP=BP，∠AOB=∠APB，结论：OP平分∠AOB的外角。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°，∵∠AOB=∠APB，∴∠A=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·辽宁·期中）如图，P是平分线上一点，，，在绕点P旋转的过程中始终保持不变，其两边和，分别相交于M，N，下列结论：是等边三角形；的值不变；；四边形 面积不变．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：作于E，于F，如图所示：，， ，，， 平分，于E，于F，，，∴， 在和中，，，， 在和中，，，，，， ，是等边三角形，故正确； ，定值，故正确； ，故正确； M，N的位置变化，的长度是变化的，故错误；故选：C． 【典例2】（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）如图（1）~（3），已知的平分线OM上有一点P，的两边与射线OA、OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设，． (1)如图（1），当时，试猜想PC与PD，与的数量关系（不用说明理由）； (2)如图（2），当，时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由． (3)如图（3），当时，你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)，(2)成立，理由见详解(3)， 【详解】（1），， 证明：过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图， ∵OM平分AOB，∴∠AOP=∠BOP，∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE， ∵∠AOB+∠ODC+∠OCD=180°，∠PCD+∠PDC+∠CPD=180°， ∴∠AOB+∠ODC+∠OCD+∠PCD+∠PDC+∠CPD=360°，∴四边形OCPD的内角和为360°， 同理，四边形OFPE的内角和为360°，∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°， ∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，即∠AOB+∠EPF=180°， ∵∠AOB=∠CPD=90°，即∠AOB+∠CPD=180°，∴∠EPF=∠CPD， ∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，∴∠CPE=∠EPD， 又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，∴△FPC≌△EPD，∴PC=PD，∴∠PDC=∠PCD， ∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，∴2∠PDC=∠CPN， ∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，∴∠AOB=∠CPN，∴2∠PDC=∠AOB，结论得证； （2）成立，理由如下：过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图， ∵OM平分AOB，∴∠AOP=∠BOP，∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE， ∵四边形OFPE的内角和为360°，∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°， ∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，即∠AOB+∠EPF=180°， ∵∠AOB=60°，∠CPD=120°，即∠AOB+∠CPD=180°，∴∠EPF=∠CPD， ∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，∴∠CPE=∠EPD， 又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，∴△FPC≌△EPD，∴PC=PD，∴∠PDC=∠PCD， ∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，∴2∠PDC=∠CPN， ∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，∴∠AOB=∠CPN，∴2∠PDC=∠AOB，结论得证； （3）成立，，， 证明：过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图， ∵OM平分AOB，∴∠AOP=∠BOP，∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE， ∵四边形OFPE的内角和为360°，∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°， ∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，即∠AOB+∠EPF=180°，∵∠AOB+∠CPD=180°，∴∠EPF=∠CPD， ∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，∴∠CPE=∠EPD， 又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，∴△FPC≌△EPD，∴PC=PD，∴∠PDC=∠PCD， ∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，∴2∠PDC=∠CPN， ∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，∴∠AOB=∠CPN，∴2∠PDC=∠AOB，结论得证． 【典例3】（25-26八年级上·湖北孝感·期中）（1）感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，易知DB，DC数量关系为：　 　． （2）探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，（1）中的结论是否成立？请作出判断并给予证明． （3）应用：如图3，在四边形ABCD中，DB＝DC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，DE⊥AB于点E，试判断AB，AC，BE的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）DB=DC，理由见解析；（2）结论成立，理由见解析；（3）AB=AC+2BE，理由见解析． 【详解】解：（1）结论：DB=DC．理由：∵∠B+∠C=180°，∠B=90°，∴∠B=∠C=90°， ∵∠DAC=∠DAB，AD=AD，∴△ADC≌△ADB．∴BD=CD．故答案为BD=CD． （2）结论成立．理由：如图②中，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． ∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF， ∵∠ABD+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，∴∠B=∠FCD， 在△DFC和△EDB中，，∴△DFC≌△DEB，∴DC=DB． （3）结论：AB=AC+2BE．理由：如图③中，连接AD．作DF⊥AC于F． ∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，∴∠B=∠FCD， 在△DFC和△DEB中，，∴△DFC≌△DEB（AAS），∴DF=DE，CF=BE， 在Rt△ADF和Rt△ADE中，，∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL）， ∴AF=AE，∴AB=AE+BE=AC+CF+BE=AC+2BE． 【典例4】（25-26八年级上·吉林·校考期末）如图，已知与，平分． (1)如图1，与的两边分别相交于点D、E，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 以下是小宇同学给出如下正确的解法：解：． 理由如下：如图1，过点C作，交于点F，则， 请你根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．(2)若，． ①如图3，与的两边分别相交于点D、E时，写出线段、、的数量关系 ； ②如图4，的一边与的延长线相交时，写出线段、、的数量关系 ； 若，的面积为a，则的面积＝ （用含a的代数式表示）． 【答案】(1)见详解(2)，， 【详解】（1）解：过点C作，交于点F，如图，则， 平分，，，∴，， 又，∴， 在与中，，． （2）①．理由如下：方法一：过点作，，垂足分别为，，如图， 则，又∵平分，∴， 在四边形中，， 又∵，∴，又∵，∴， 在与中，，∴，∴． ∴． 在中，， ∴，同理，∴． 方法二：以为一边作，交于点，如图， ∵平分，∴，∴， ∴，，∴是等边三角形，∴， ∵，，∴， 在与中，∴， ∴．∴． ②有结论成立．以为一边，作与交于F点，如图， ∵，为的角平分线，∴， 又∵，∴为等边三角形∴， ∵，，∴， 又∵，， ∴，∴，∴，， ∴，即． 过点C作，垂足分别为M，N，如图，则， 又∵平分，∴，设， ∵， ∴，则， ∵，，∴，则． 【典例5】（25-26江苏·八年级专题练习）感知：如图①，平分，，．判断与的大小关系并证明． 探究：如图②，平分，，，与的大小关系变吗？请说明理由．应用：如图③，四边形中，，，，则与差是多少（用含的代数式表示） 【答案】感知：，证明见详解；探究：与的大小关系不变，理由见详解；应用：与差是． 【详解】感知：，理由如下： ∵，，∴，即，∵平分，∴； 探究：与的大小关系不变，还是相等，理由如下： 过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC，交AC延长线于点F，则∠DEB=∠DFC=90°，如图所示： ∵平分，∴DE=DF，∵，，∴∠B=∠DCF， ∴△DEB≌△DFC（AAS），∴； 应用：过点D作DH⊥AB于点H，DG⊥AC，交AC的延长线于点G，连接AD，如图所示： ∵，，∴，∵，∴， ∵，， ∴△DHB≌△DGC（AAS），且△DHB与△DGC都为等腰直角三角形， ∴，由勾股定理可得， ∴，∴，在Rt△AHD和Rt△AGD中，AD=AD，DH=DG， ∴Rt△AHD≌Rt△AGD（HL），∴，∴，∴． 模型常见易错点 1）只看到对角互补，忽略【邻边相等】，直接套用全等结论 错误：只要对角互补，就认为一定可以证全等。 解决方案：对角互补 + 邻边相等两个条件缺一不可；缺少邻边相等，一般只能得到相似，不能全等。审题圈画：邻边相等是全等模型的前提。 2）分不清点在线段上/延长线上，线段和差结论混用 错误：D在延长线上，依然使用(OD+OE)的结论。 解决方案：点在两条边本身上，是线段相加；点落在边延长线上，是线段相减。先画图，看清交点位置。 3）辅助线选择混乱，旋转法写证明时忘记证明三点共线 错误：直接旋转三角形，省略三点共线推导，步骤扣分。 解决方案：考场正式证明优先双垂线法，书写简单，不易丢分；旋转法适合分析思路，如果大题用旋转，必须证明三点共线。 4）误将对角互补模型和半角模型混淆 解决方案：对角互补核心：对角相加 180°+ 邻边相等；半角模型核心：大角里面包含一半的小角。 解题方法总结 1）审题识别标志：四边形对角互补+有一组邻边相等/角平分线上一点，两角互补； 2）二选一作辅助线： 考试书写：过公共顶点向角两边作双垂线； 思路分析：旋转三角形，让等邻边重合； 3）证明三角形全等，得到对应边、对应面积相等； 4）判断交点位置：点在边上用线段和；点在延长线上用线段差； 5）代入模型线段、面积结论计算。 记忆口诀： 对角互补邻边等，双垂旋转造全等； 角平分线作垂线，等角等边立刻现； 点在线上求线段和，点延线上求线段差。 1.（2025·浙江·校考一模）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM﹣ON的值不变；（3）△OMN的周长不变；（4）四边形PMON的面积不变，其中正确的序号为_____． 【答案】（1）（4） 【详解】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．∵∠PEO＝∠PFO＝90°，∴∠EPF+∠AOB＝180°， ∵∠MPN+∠AOB＝180°，∴∠EPF＝∠MPN，∴∠EPM＝∠FPN， ∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，∴PE＝PF， 在△POE和△POF中，∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），∴OE＝OF， 在△PEM和△PFN中，∴△PEM≌△PFN（ASA）， ∴EM＝NF，PM＝PN，故（1）正确，∴S△PEM＝S△PNF， ∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故（4）正确， ∵OM﹣ON＝OE+EM﹣（OF﹣FN）＝2EM，不是定值，故（2）错误， ∵OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE＝定值， 在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，形状是相似的，因为PM的长度是变化的，所以MN的长度是变化的，所以△OMN的周长是变化的，故（3）错误，故答案为：（1）（4）． 2．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，为的平分线，为上一点，且于点，，给出下列结论：①；②；③；④；⑤四边形的面积是面积的2倍，其中结论正确的个数有 ． 【答案】3 【详解】解：过点作，垂足为点．∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，且，∴，∴， ∵，∴故①错误， 在△PAK和△PCD中，，∴△PAK≌△PCD（ASA），∴AK＝CD，PA＝PC，故②正确， ∵∴，∵，∴，故③正确， ∵，∴， ∴．故④正确．故答案为3． 3．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，在中，为的中点，点在边上（不与端点重合），将射线绕点顺时针旋转后与交于点，则四边形的面积是 ． 【答案】9 【详解】解：如图，连接， ∵为的中点，∴， ∴，，∴是等腰直角三角形，∴， 根据题意得：，∴，∴，即， 在和中，∵，，，∴，∴， ∴四边形的面积．故答案为：9 4.（24-25八年级上·重庆·校考期中）小宇和小明一起进行数学游戏：已知，将等腰直角三角板摆放在平面内，使点A在的内部，且两个底角顶点B，C分别放在边上．    (1)如图1，小明摆放，恰好使得，又由于是等腰直角三角形，，从而直接可以判断出点A在的角平分线上．请回答：小明能够直接作出判断的数学依据是______． (2)如图2，小宇调整了的位置，请判断平分是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请举出反例． 【答案】(1)角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上．(2)成立，证明见解析． 【详解】（1）解：因为，，根据角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上，所以点A在的角平分线上 故答案为：角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上． （2）结论：平分仍然成立； 证明：如解图3，过点A作，，∴，    又∵，∴，∴， 又∵，∴， 在和中，∴∴， 又∵，，∴平分，故（1）结论正确． 5．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）（1）已知，将一个三角板的直角顶点P如图（1）所示放在平面直角坐标系的y轴上，已知点P的坐标为，，求点N的坐标． （2）是第一象限角的平分线，将三角板的直角顶点P在射线上滑动，如图（2）所示，两直角边分别与x轴、y轴交于D、，请猜想和有怎样的数量关系，并证明你的结论． （3）是第一象限角的平分线，将三角板的直角顶点P在射线上转动，如图（3）所示，两直角边的延长线分别与x轴、y轴交于D、，请你直接写出和有怎样的数量关系． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）． 【详解】解：（1）如图，作轴于，则， ，，， 在和中，，， ，，，点的坐标为； （2），理由如下：如图（2）作轴于，轴于， ∵是第一象限角的平分线，且轴于，轴于， ∴， ，，， 在和中，，，； （3），理由如下：如图，作轴于，轴于， 由（2）可得，，，，． 6．（25-26下年级上·山东东营·期末）如图，一伞状图形，已知，点是角平分线上一点，且，，与交于点，与交于点． (1)如图一，当与重合时，探索，的数量关系 (2)如图二，将在(1)的情形下绕点逆时针旋转度，继续探索，的数量关系，并求四边形的面积． 【答案】（1），证明详见解析；（2）， 【详解】解：（1）∵，平分，∴， ∵，∴ ，∴是等边三角形，∴；     （2）过点作，， ∵平分，∴，， ∵，∴∠QPH＝60°，∴，  ∴，               在与中，∴， ∴， ， ∵，，平分，∴，∴，＝， ∴＝，∴四边形的面积＝＝ 1．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，点D为边的中点，，将绕点D旋转，它的两边分别交所在直线于点E、F．有以下4个结论：①；②；③；④当点E、F落在的延长线上时，．在旋转过程中，上述结论一定成立的有（    ）        A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：如图，连接，，，点D为边的中点， ，，， ，，， 在与中，，故①正确； ，，，故②错误； ，故③正确；如图，连接， 同理可证：:，， ，故④正确．故选：C． 2．（25-26八年级上·河南漯河·期末）如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与交于点，则一下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；④的长不变；其中正确的个数为（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵点在的角平分线上，∴， 如图所示，过点作于点，作于点， ∴，，，∴在四边形中，， ∵，∴，即， ∴，∴，∴，故①正确； 由①正确可得，，∴，故②正确； 由可得，∴， ∴四边形的面积是定值，故③正确； 如图所示，连接，由上述结论可得，，，，， ∴，即的长度发生变化，故④错误；综上所述，正确的有①②③，共3个，故选：C ． 3．（25-26八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，为等边三角形，边长为4，点为的中点，，其两边分别交和的延长线于，则 ． 【答案】6 【详解】解：∵是等边三角形，边长为4，∴，， 如图，过点作，设与交于点， ∴，∴， 又∵，，∴， 又∵点为的中点，且，∴是的中位线， ∴， 在和中，，∴，∴， 又∵， ∴．故答案为：6． 4．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图1，在中，于点O，，，过点A作于点H，交于点P． (1)求线段的长度；(2)连接，求的度数；(3)如图2，若点D为的中点，点M为线段延长线上一动点，连接，过点D作交线段延长线于N点，则的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 【答案】(1)1(2)(3)不改变， 【详解】（1）解 :  ， ， ，， 在 和中，，； （2）解：过O分别作于点M点，作于点N，如图 所示： 在四边形中，，， 在与中，，， ， ，，平分，； （3）解：的值不发生改变，等于，理由如下：如图：连接， ，，D为的中点，，，， ，，， ，即，， 在和中，，， ． 5．（25-26七年级下·四川成都·期末）已知平分，如图1所示，点B在射线上，过点B作于点A，在射线上取一点C，使得．    (1)若线段，求线段的长；(2)如图2，点D是线段上一点，作，使得的另一边交于点E，连接．①是否成立，请说明理由； ②请判断三条线段的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①成立，理由见解析；②，理由见解析 【详解】（1）解：如图所示，过点B作于H， ∵，∴，即， ∵平分，∴，∵，，∴， 又∵，∴，∴，∴    （2）解：①成立，理由如下：如图所示，过点B作于H， ∵，∴，即， 同（1）可得，∴， ∵，∴，∴； ②，理由如下：如图所示，在上截取，连接， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴， 又∵，∴，∴，∵，∴．    6．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）问题情境 如图1，，平分，把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，并使三角尺的两条直角边分别与、相交于点、，    (1)把三角尺绕着点旋转（如图1），与相等吗？试猜想的大小关系，并说明理由． 变式拓展：(2)如图2，已知，平分，是上一点，，边与边相交于点边与射线的反向延长线相交于点．试解决下列问题：①与还相等吗？为什么？②试判断、、三条线段之间的数量关系，请直接写出你发现的结论． 【答案】(1)；证明见解析(2)①，理由见解析；②，理由见解析 【详解】（1）解：，证明如下：过点作于，于，如图：       平分，，，，， ，， ，， 在和中，，，． （2）①结论：．理由：过点作于，于，如图： 平分，，，，， ，，， ，， 在和中，，，． ②结论：．理由：由①得：，，， 在和中，，，， ，，， 在中，，， ，，． 1.（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）已知为等边三角形，为的中点，，交线段于点E，DF交于点．下列说法中正确的结论有（   ）个 ①；②；③若，则；④若，则． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】解：①如图，连接，作于，于，则， ，， ∵为等边三角形，为的中点，∴，，， ∴，∴， ∵，∴， ∵于，于，∴， ∴，∴，故①正确； ②如图：作交于，则，， ∴为等边三角形，，∴，，∴； 在和中，，∴，∴，∴， ∵，∴， ∴，故②正确； ③如图，作于，∵，∴设，则，∴， 由②可得：，∴，∴，∴， ∴，∴， 由②可得：，∴，∵，∴，故③正确； ④如图，作于，于，交于， ∵，∴设，则，， 由②可得：，，，， ∴，∴， ∵，∴，故④正确；综上所述，正确的有①②③④，共个，故选：A． 2．（2026·河南郑州·校考一模）【问题背景】 如图1，在四边形中，若或，我们把这种四边形称为“对补四边形”．某学习小组根据研究矩形、菱形、正方形的经验，又进行了如下探究． 【初步认识】该学习小组先对“对补四边形”的角进行探究． （1）如图1，四边形是“对补四边形”，若，则 ． 【观察猜想】（2）该学习小组在探究“对补四边形”的边和对角线时，发现“对补四边形”的边和对角线都有着特殊的性质，并提出了下列两个猜想． 猜想1：如图2，四边形是“对补四边形”，若对角线平分，和的数量关系是： ； 猜想2：如图3，四边形是“对补四边形”，若，连接，则平分∠ ． 请补全猜想1和猜想2，并从猜想1或猜想2中任选一个给出证明； 【答案】（1）；（2）；，证明见解析；（3）旅游景区的最大面积是 【详解】（1）解：∵，∴设，，， ∵四边形ABCD是“对补四边形”，∴或，∴，解得：， ∴，，，∴，故答案为：． 【观察猜想】解：猜想1：四边形是“对补四边形”，若对角线平分，则， 故答案为：； 猜想2：四边形ABCD是“对补四边形”，若，连接，则平分，故答案为：； 【推理验证】（2）选择猜想1：； 证明：如图，过点C分别作于E，于F， ∵对角线AC平分∠DAB，CE⊥AD，CF⊥AB，∴，， ∵四边形是“对补四边形”，∴， ∵，∴， 在和中，，∴，∴； 选择猜想2：；证明：如图，过点A作，垂足为E，作，垂足为F， ∵，，∴， 又∵，，∴，∴，， ∵，，，∴平分； 3．（24-25八年级上·山西·期中）综合与探究 在等边三角形中，是的中点，，分别是边，（含线段，的端点）上的动点，将绕点进行旋转且始终保持，小嘉和小琪对这个图形展开如下研究： 问题初探：（1）如图1，小嘉发现：当时，，则的值为_______． 问题再探：（2）如图2，在的旋转过程中，小琪发现两个有趣的结论： ①始终等于；②与的和始终不变．请你选择其中一个结论加以证明． 成果运用：（3）若边长，在点，的运动过程中，记四边形的周长为，，则周长的变化范围是______． 【答案】（1）；（2）选择①见解析；或选择②见解析；（3）． 【详解】解：（1）∵是等边三角形，∴，. ∵是的中点，∴.∵，∴， 在中，.∵，，∴. ∵，∴，在中，， ∴.∵，∴； （2）若选择①，证明：如图，过点分别作于点，于点， ∴.∵是等边三角形， ∴，∴. ∵，∴.∵是等边三角形，且是的中点，∴. ∵，，∴. 在和中，，∴， ∴，即始终等于. 若选择②，证明：同（1）的方法得，， 由①知，，∴， ∴，∴与的和始终不变； （3）由（2）知，，.∵，∴， ∴四边形的周长为 ， ∴最大时，最大；最小时，最小.当时，最小. 由（1）知，，∴，∴. 当点和点重合时，最大，此时，. ∵，∴，∴是等边三角形， ∴，即，∴周长的变化范围是. 4．（24-25八年级上·吉林长春·期末）在等边中，是的中点，，的两边分别交直线、于、． (1)问题：如图1，当、分别在边、上，，时，直接写出线段与的数量关系；(2)探究：如图2，当落在边上，落在射线上时，（1）中的结论是否仍然成立？写出理由；(3)应用：如图3，当落在射线上， F落在射线上时，，，则 ． 【答案】(1)；理由见解析(2)；理由见解析(3) 【详解】（1）解：，理由如下： 是等边三角形，，是的中点，， ，，，，；故答案为：； （2）解：结论成立．． 理由：如图1，过点分别作于点，于点， 由（1）可得：，，， ，，． 在和中，，，； （3）解：如图2中，过作交于点， ，同理可证， ，． ，，，， ，，，，，．故答案为：6 5．（24-25八年级上·浙江台州·期中）在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是边AB、AC（含线段AB、AC的端点）上的动点，且∠EDF＝120°，小明和小慧对这个图形展开如下研究： 问题初探：（1）如图1，小明发现：当∠DEB＝90°时，BE+CF＝nAB，则n的值为　 　； 问题再探：（2）如图2，在点E、F的运动过程中，小慧发现两个有趣的结论： ①DE始终等于DF；②BE与CF的和始终不变；请你选择其中一个结论加以证明． 成果运用:（3）若边长AB＝8，在点E、F的运动过程中，记四边形DEAF的周长为L，L＝DE+EA+AF+FD，则周长L 取最大值和最小值时E点的位置? 【答案】（1）；（2）①见解析；②见解析；（3）周长L 取最大值时点E和点B重合或BE=4，取最小值时BE=2． 【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC， ∵点D是BC的中点，∴BD=CD=BC=AB，∵∠DEB=90°，∴∠BDE=90°-∠B=30°， 在Rt△BDE中，BE=BD，∵∠EDF=120°，∠BDE=30°，∴∠CDF=180°-∠BDE-∠EDF=30°， ∵∠C=60°，∴∠DFC=90°，在Rt△CFD中，CF=CD，∴BE+CF=BD+CD=BC=AB， ∵BE+CF=nAB，∴n=，故答案为； （2）如图，①过点D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，∴∠DGB=∠AGD=∠CHD=∠AHD=90°， ∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°，∴∠GDH=360°-∠AGD-∠AHD-∠A=120°，∵∠EDF=120°，∴∠EDG=∠FDH， ∵△ABC是等边三角形，且D是BC的中点，∴∠BAD=∠CAD，∵DG⊥AB，DH⊥AC，∴DG=DH， 在△EDG和△FDH中，，∴△EDG≌△FDH（ASA），∴DE=DF，即：DE始终等于DF； ②同（1）的方法得，BG+CH=AB，由①知，△EDG≌△FDH（ASA），∴EG=FH， ∴BE+CF=BG-EG+CH+FH=BG+CH=AB，∴BE与CF的和始终不变； （3）由（2）知，DE=DF，BE+CF=AB， ∵AB=8，∴BE+CF=4，∴四边形DEAF的周长为L=DE+EA+AF+FD =DE+AB-BE+AC-CF+DF=DE+AB-BE+AB-CF+DE=2DE+2AB-（BE+CF）=2DE+2×8-4=2DE+12， ∴DE最大时，L最大，DE最小时，L最小，当DE⊥AB时，DE最小，L最小， 此时∠BDE=90°-60°=30°，BE=BD=2， 当点F和点C重合或点E和点B重合时，DE最大，点F和点C重合时，∠BDE=180°-∠EDF=120°=60°， ∵∠B=60°，∴∠B=∠BDE=∠BED=60°，∴△BDE是等边三角形，∴BE=DE=BD=AB=4， 当点E和点B重合时，DE=BD=4，周长L 有最大值， 即周长L 取最大值时点E和点B重合或BE=4，取最小值时BE=2． 6．（24-25七年级下·山东·期末）已知：点是平分线上一点，点在射线上，作，交直线于点，作于点． (1)观察猜想：如图，当时，写出和的数量关系，并说明理由． (2)探究证明：如图，当时，写出，和之间的等量关系，并说明理由． (3)拓展延伸：如图，当，点在射线的反向延长线上时，请直接写出线段、和之间的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析(3)，理由见解析 【详解】（1）解：．理由：过点作于点， ∵点在的角平分线上，且于，，∴，， ∵，∴，，∴， 在和中，，∴（），∴． （2）解：结论：，理由如下：如图，过点作于点， 同（），可证，，∴， ∵，∴，∴，∴，∴． （3）解：，理由如下：如图，过点作于点， 同（），可证，，∴， ∵，∴，∴，∴，∴． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05.全等三角形模型之对角互补模型 对角互补模型是全等拔高非常重要模型，经常和半角模型捆绑出题。 核心辅助线是双垂线构造 AAS 全等；核心工具是等角的补角相等。 很多题目不会直接给出对角互补，会通过圆内接四边形、邻补角给出隐藏条件，需要学生自主推导。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.全等模型-对角互补模型（90°+ 90°） 2 模型2.全等模型-对角互补模型（60°+120°） 7 模型3.全等模型-对角互补模型（α + 180°-α） 14 易错点与方法总结 23 模型运用 24 A组（基础题） 24 B组（能力提升题） 30 C组（综合压轴题） 37 对角互补模型，早期教研称为邻边等 + 对角补模型。这个模型本质是四点共圆的特殊全等分支。 在《几何原本》圆内接四边形对角互补基础上，国内初中教研提炼出这个经典全等构造模型。 这个模型有个很巧妙的特点：邻边相等 + 对角互补，天然可以旋转重合，和手拉手模型是同源思想； 记忆口诀：对角互补邻边等，双垂旋转造全等；点在线上求和长，点在延长求差长。 早期文献将该模型称为“边等角补模型”（强调邻边相等时的特性），但教学中发现学生更易通过“对角和为180°”这一直观特征识别模型。2021年后，“对角互补模型”逐渐成为主流命名，凸显其核心几何本质。部分教师至今仍沿用旧称，引发课堂辩论：“到底该先看边等还是角补？” 1）全等判定：AAS、ASA、SAS； 2）角平分线性质：角平分线上的点到角两边距离相等； 3）补角性质：同角（等角）的补角相等； 4）旋转的性质：旋转前后对应边相等、对应角相等； 5）四边形内角和 360°；四点共圆基础性质。 模型1.全等模型-对角互补模型（90°+90°） 【模型提炼与证明】 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， 根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形，∴∠CON＝45°，OM=ON， 又∵OD＋OE＝OM-DM+ON+NE，∴OD＋OE=OM+ON=2ON=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴ 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE， ∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形， ∴∠CON＝45°，OM=ON，又∵OE－OD＝ON+NE-（DM-OM），∴OE－OD=ON+OM=2ON=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，. 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·四川绵阳·期中）已知，在的平分线上有一点，将一个三角板的直角顶点与点重合，它的两条直角边分别与相交于点． (1)如图①，当于点，于点时，和之间的数量关系为________． (2)加图②，当三角板绕点旋转到与不垂直时，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【典例2】（2025·河南·一模）已知，点是的角平分线上的任意一点，现有一个直角绕点旋转，两直角边，分别与直线，相交于点，点. （1）如图1，若，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由. （2）如图2，若点在射线上，且与不垂直，则（1）中的数量关系是否仍成立？如成立，请说明理由；如不成立，请写出线段，，之间的数量关系，并加以证明. （3）如图3，若点在射线的反向延长线上，且，，请直接写出线段的长度. 【典例3】（24-25八年级下·湖南永州·期中）已知中，，，D为AB边的中点，，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F． (1)当∠EDF绕D点旋转到于E时（如图①），则______（请在“＞、＝、＜”中选择一个填空）．(2)当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图②这种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明．(3)当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图③这种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明． 【典例4】（25-26八年级上·广东·期末）在图1，图2，图3中，， (1)问题探索：如图1，当点和点在直线异侧时，猜想，，三者之间数量关系．小明想出了下面的方法，延长到点，使得，连接，由于，证得，从而，且，所以，得到等腰直角，则小明得到线段，，之间的数量关系为 (2)问题解决：如图2，当点和在直线同侧时，与交于点，请你借鉴中的方法证明： (3)思维拓展：如图3，当点和在直线 异侧时，于点，猜想线段，，三之间的数量关系，并写出证明过程． 模型2.全等模型-对角互补模型（60°+120°） 【模型提炼与证明】 1）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴。 2）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∠AOB+∠MCN＝180°，∴∠DCE=∠MCN＝60° ∴∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OD-OE＝OM+DM-（NE-ON），∴OD-OE=ON+OM=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴。 3）“120°等腰三角形对60°模型” 条件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°，PA平分∠BPC。 结论：PB+PC=PA； 证明：将△PAC绕点A顺时针旋转120°至△QAB，即△PAC≌△QAB， ∴∠ACP=∠ABQ，∠CAP=∠BAQ，AP＝AQ，PC＝QB； ∵∠BAC=120°，∠BPC=60°，∴∠ACP+∠ABP=180°，∴∠ABQ+∠ABP=180°，故P、B、Q共线。 又∵∠BPC=60°，PA平分∠BPC，∴∠APQ=60°，∵AP＝AQ，∴∠AQP=60°， 根据勾股定理易证：PQ=PA，又∵PQ=PB+QB=PB+PC，∴PB+PC=PA。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·湖北宜昌·期中）如图，在中，，，点D为边的中点，且，与边，分别交于点E，F．当绕着点D运动时，线段与的数量关系是否发生改变？ (1)探究一：首先观察点F的特殊位置： ①当点F与点C重合时，如图1所示，此时______，线段与之间的数量关系：________； ②当时，如图2所示，求此时的度数及线段与之间的数量关系并说明理由； (2)探究二：观察一般情况，当绕着点D运动时，与之间有什么数量关系并证明． 【典例2】（25-26重庆八年级期末）如图，已知∠AOB=120°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个60°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E． （1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 【典例3】（25-26八年级下·江西吉安·期末）中，，点D是线段的中点，，与线段相交于点E．与线段（或的延长线）相交于点F． (1)如图1，若，垂足为F，，求的长；(2)如图2，将（1）中的绕点D顺时针旋转一定的角度，仍与线段相交于点F．求证：； (3)如图3，将（2）中的继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使与线段的延长线相交于点F，作于点N，若，求证：． 【典例4】（25-26八年级上·辽宁辽阳·期中）如图，已知， 在的平分线上有一点 C(不与点O重合)．将一个 角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线，OB相交于点 D，E． 【初步把握】（1）如图1， 当绕点 C旋转到与垂直时， 求证： 【深入研究】（2）如图2，当∠DCE绕点C旋转到与不垂直时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由； 【拓展延伸】（3）当∠DCE绕点 C旋转到与的反向延长线相交时，线段，与之间又有怎样的数量关系？请画出图形，并说明理由． 模型3.全等模型-对角互补模型（α+180°-α） 【模型提炼与证明】 1）“α对180°-α模型”：条件：四边形ABCD中，AP=BP，∠A+∠B=180°。结论：OP平分∠AOB。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°， ∵∠A+∠B=180°，∠OAP+∠PAE=180°，∴∠EAP=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 注意：如下图：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。 2）“蝴蝶型对角互补模型”（隐藏型对角互补） 条件：AP=BP，∠AOB=∠APB，结论：OP平分∠AOB的外角。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°，∵∠AOB=∠APB，∴∠A=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·辽宁·期中）如图，P是平分线上一点，，，在绕点P旋转的过程中始终保持不变，其两边和，分别相交于M，N，下列结论：是等边三角形；的值不变；；四边形 面积不变．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例2】（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）如图（1）~（3），已知的平分线OM上有一点P，的两边与射线OA、OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设，． (1)如图（1），当时，试猜想PC与PD，与的数量关系（不用说明理由）； (2)如图（2），当，时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由． (3)如图（3），当时，你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由． 【典例3】（25-26八年级上·湖北孝感·期中）（1）感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，易知DB，DC数量关系为：　 　． （2）探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，（1）中的结论是否成立？请作出判断并给予证明． （3）应用：如图3，在四边形ABCD中，DB＝DC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，DE⊥AB于点E，试判断AB，AC，BE的数量关系，并说明理由． 【典例4】（25-26八年级上·吉林·校考期末）如图，已知与，平分． (1)如图1，与的两边分别相交于点D、E，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 以下是小宇同学给出如下正确的解法：解：． 理由如下：如图1，过点C作，交于点F，则， 请你根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．(2)若，． ①如图3，与的两边分别相交于点D、E时，写出线段、、的数量关系 ； ②如图4，的一边与的延长线相交时，写出线段、、的数量关系 ； 若，的面积为a，则的面积＝ （用含a的代数式表示）． 【典例5】（25-26江苏·八年级专题练习）感知：如图①，平分，，．判断与的大小关系并证明． 探究：如图②，平分，，，与的大小关系变吗？请说明理由．应用：如图③，四边形中，，，，则与差是多少（用含的代数式表示） 模型常见易错点 1）只看到对角互补，忽略【邻边相等】，直接套用全等结论 错误：只要对角互补，就认为一定可以证全等。 解决方案：对角互补 + 邻边相等两个条件缺一不可；缺少邻边相等，一般只能得到相似，不能全等。审题圈画：邻边相等是全等模型的前提。 2）分不清点在线段上/延长线上，线段和差结论混用 错误：D在延长线上，依然使用(OD+OE)的结论。 解决方案：点在两条边本身上，是线段相加；点落在边延长线上，是线段相减。先画图，看清交点位置。 3）辅助线选择混乱，旋转法写证明时忘记证明三点共线 错误：直接旋转三角形，省略三点共线推导，步骤扣分。 解决方案：考场正式证明优先双垂线法，书写简单，不易丢分；旋转法适合分析思路，如果大题用旋转，必须证明三点共线。 4）误将对角互补模型和半角模型混淆 解决方案：对角互补核心：对角相加 180°+ 邻边相等；半角模型核心：大角里面包含一半的小角。 解题方法总结 1）审题识别标志：四边形对角互补+有一组邻边相等/角平分线上一点，两角互补； 2）二选一作辅助线： 考试书写：过公共顶点向角两边作双垂线； 思路分析：旋转三角形，让等邻边重合； 3）证明三角形全等，得到对应边、对应面积相等； 4）判断交点位置：点在边上用线段和；点在延长线上用线段差； 5）代入模型线段、面积结论计算。 记忆口诀： 对角互补邻边等，双垂旋转造全等； 角平分线作垂线，等角等边立刻现； 点在线上求线段和，点延线上求线段差。 1.（2025·浙江·校考一模）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM﹣ON的值不变；（3）△OMN的周长不变；（4）四边形PMON的面积不变，其中正确的序号为_____． 2．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，为的平分线，为上一点，且于点，，给出下列结论：①；②；③；④；⑤四边形的面积是面积的2倍，其中结论正确的个数有 ． 3．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，在中，为的中点，点在边上（不与端点重合），将射线绕点顺时针旋转后与交于点，则四边形的面积是 ． 4.（24-25八年级上·重庆·校考期中）小宇和小明一起进行数学游戏：已知，将等腰直角三角板摆放在平面内，使点A在的内部，且两个底角顶点B，C分别放在边上．    (1)如图1，小明摆放，恰好使得，又由于是等腰直角三角形，，从而直接可以判断出点A在的角平分线上．请回答：小明能够直接作出判断的数学依据是______． (2)如图2，小宇调整了的位置，请判断平分是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请举出反例． 5．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）（1）已知，将一个三角板的直角顶点P如图（1）所示放在平面直角坐标系的y轴上，已知点P的坐标为，，求点N的坐标． （2）是第一象限角的平分线，将三角板的直角顶点P在射线上滑动，如图（2）所示，两直角边分别与x轴、y轴交于D、，请猜想和有怎样的数量关系，并证明你的结论． （3）是第一象限角的平分线，将三角板的直角顶点P在射线上转动，如图（3）所示，两直角边的延长线分别与x轴、y轴交于D、，请你直接写出和有怎样的数量关系． 6．（25-26下年级上·山东东营·期末）如图，一伞状图形，已知，点是角平分线上一点，且，，与交于点，与交于点． (1)如图一，当与重合时，探索，的数量关系 (2)如图二，将在(1)的情形下绕点逆时针旋转度，继续探索，的数量关系，并求四边形的面积． 1．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，点D为边的中点，，将绕点D旋转，它的两边分别交所在直线于点E、F．有以下4个结论：①；②；③；④当点E、F落在的延长线上时，．在旋转过程中，上述结论一定成立的有（    ）        A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26八年级上·河南漯河·期末）如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与交于点，则一下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；④的长不变；其中正确的个数为（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，为等边三角形，边长为4，点为的中点，，其两边分别交和的延长线于，则 ． 4．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图1，在中，于点O，，，过点A作于点H，交于点P． (1)求线段的长度；(2)连接，求的度数；(3)如图2，若点D为的中点，点M为线段延长线上一动点，连接，过点D作交线段延长线于N点，则的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 5．（25-26七年级下·四川成都·期末）已知平分，如图1所示，点B在射线上，过点B作于点A，在射线上取一点C，使得．    (1)若线段，求线段的长；(2)如图2，点D是线段上一点，作，使得的另一边交于点E，连接．①是否成立，请说明理由； ②请判断三条线段的数量关系，并说明理由． 6．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）问题情境 如图1，，平分，把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，并使三角尺的两条直角边分别与、相交于点、，    (1)把三角尺绕着点旋转（如图1），与相等吗？试猜想的大小关系，并说明理由． 变式拓展：(2)如图2，已知，平分，是上一点，，边与边相交于点边与射线的反向延长线相交于点．试解决下列问题：①与还相等吗？为什么？②试判断、、三条线段之间的数量关系，请直接写出你发现的结论． 1.（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）已知为等边三角形，为的中点，，交线段于点E，DF交于点．下列说法中正确的结论有（   ）个 ①；②；③若，则；④若，则． A．4 B．3 C．2 D．1 2．（2026·河南郑州·校考一模）【问题背景】 如图1，在四边形中，若或，我们把这种四边形称为“对补四边形”．某学习小组根据研究矩形、菱形、正方形的经验，又进行了如下探究． 【初步认识】该学习小组先对“对补四边形”的角进行探究． （1）如图1，四边形是“对补四边形”，若，则 ． 【观察猜想】（2）该学习小组在探究“对补四边形”的边和对角线时，发现“对补四边形”的边和对角线都有着特殊的性质，并提出了下列两个猜想． 猜想1：如图2，四边形是“对补四边形”，若对角线平分，和的数量关系是： ； 猜想2：如图3，四边形是“对补四边形”，若，连接，则平分∠ ． 请补全猜想1和猜想2，并从猜想1或猜想2中任选一个给出证明； 3．（24-25八年级上·山西·期中）综合与探究 在等边三角形中，是的中点，，分别是边，（含线段，的端点）上的动点，将绕点进行旋转且始终保持，小嘉和小琪对这个图形展开如下研究： 问题初探：（1）如图1，小嘉发现：当时，，则的值为_______． 问题再探：（2）如图2，在的旋转过程中，小琪发现两个有趣的结论： ①始终等于；②与的和始终不变．请你选择其中一个结论加以证明． 成果运用：（3）若边长，在点，的运动过程中，记四边形的周长为，，则周长的变化范围是______． 4．（24-25八年级上·吉林长春·期末）在等边中，是的中点，，的两边分别交直线、于、． (1)问题：如图1，当、分别在边、上，，时，直接写出线段与的数量关系；(2)探究：如图2，当落在边上，落在射线上时，（1）中的结论是否仍然成立？写出理由；(3)应用：如图3，当落在射线上， F落在射线上时，，，则 ． 5．（24-25八年级上·浙江台州·期中）在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是边AB、AC（含线段AB、AC的端点）上的动点，且∠EDF＝120°，小明和小慧对这个图形展开如下研究： 问题初探：（1）如图1，小明发现：当∠DEB＝90°时，BE+CF＝nAB，则n的值为　 　； 问题再探：（2）如图2，在点E、F的运动过程中，小慧发现两个有趣的结论： ①DE始终等于DF；②BE与CF的和始终不变；请你选择其中一个结论加以证明． 成果运用:（3）若边长AB＝8，在点E、F的运动过程中，记四边形DEAF的周长为L，L＝DE+EA+AF+FD，则周长L 取最大值和最小值时E点的位置? 6．（24-25七年级下·山东·期末）已知：点是平分线上一点，点在射线上，作，交直线于点，作于点． (1)观察猜想：如图，当时，写出和的数量关系，并说明理由． (2)探究证明：如图，当时，写出，和之间的等量关系，并说明理由． (3)拓展延伸：如图，当，点在射线的反向延长线上时，请直接写出线段、和之间的数量关系． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $