专题01 全等模型之倍长中线与截长补短（几何模型讲义）数学新教材苏科版八年级上册

该初中数学讲义以“倍长中线与截长补短”为核心，通过框架图系统梳理全等模型类型，包括倍长中线的中线型、中点型、中点+平行线型及截长补短的截长法、补短法，用表格归纳知识储备，呈现从基础判定到综合应用的递进脉络。 讲义亮点在于分层练习设计，A组基础题巩固模型应用，B组提升题结合中点与角平分线综合构造，C组压轴题融入实际测量情境，培养推理意识与几何直观。易错点总结指导辅助线规范表述，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供支持。

专题01 全等模型之倍长中线与截长补短 倍长中线与截长补短是初中全等几何两大压轴核心模型，区别于基础全等判定，属于几何构造类高阶模型，是区分普通学生和尖子生的核心考点。模型贯穿全等三角形、三角形综合、中考几何填空压轴、解答证明大题，是线段关系证明、线段和差最值、不等关系推导的必备工具。两大模型核心本质：通过辅助线构造全等三角形，实现线段、角度的等量转移，破解题目中线段分散、条件不足的问题。 【模型来源】 1 【知识储备】 2 【例讲模型】 2 模型1.倍长中线模型 2 模型2.截长补短模型 11 【易错点与方法总结】 19 【模型运用】 20 A组（基础题） 20 B组（提升题） 31 C组（综合压轴题） 39 倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究。古希腊数学家欧几里得《几何原本》虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础。数学文献中，“倍长中线”作为标准术语被确立于20世纪，成为初等几何常见技巧。截长补短概念起初源于对图形简单拼接与分割的实践探索，后来在计算机图形学早期发展也有辅助线贡献。截长补短也被纳入中学数学教材成为常见解题手段，截长补短能巧妙处理线段数量关系难题，效果显著。 1.基础全等判定：SAS、ASA、AAS、SSS（倍长中线核心用 SAS）； 2.角度性质：对顶角相等、角平分线定义、平行线内外错角、特殊角（45°、60°、90°）； 3.线段性质：中点定义、线段和差、三角形三边关系； 4.特殊图形性质：等腰三角形、直角三角形、正方形、平行四边形基础性质。 模型1.倍长中线模型 【模型提炼与证明】 1）倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2）倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 3）倍长类中线模型拓展（中点+平行线型） 条件：AB∥CD，E为AC的中点，F为AB边上一点（不同于端点）。结论：△AFE≌△CGE。 证明：延长FE，交DC的延长线于点G。 ∵E为AC的中点，∴AE=CE，∵AB∥CD，∴∠A=∠ECG，∠AFE=∠G，∴△AFE≌△CGE（AAS） 若“中点+平行线型”按“中点型”来倍长，则需证明点G在CD上，为了避免证明三点共线，点G就直接通过延长相交得到。因为有平行线，内错角相等，故根据“AAS”或“ASA”证明全等。这里“中点+平行线型”可以看做是“中点型”的改良版。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·山东·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是（   ） A．SSS    B．SAS    C．AAS    D．ASA （2）求得的取值范围是（   ） A．    B．    C．    D． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】（3）如图2，是的中线，交于，交于，且．求证：． 【能力提高】（4）如图3，在中，，，是的中线，，，且，求的长． 【答案】（1）B；（2）C；（3）见解析；（4） 【详解】解：（1）是的中线，， 在和中，，．故选：B． （2）由（1）知：，，， 在中，，由三角形三边关系定理得：，．故选：C． （3）证明：如图，延长到，使，连接， 是中线，，在和中，， ，，，，， ，，． （4）如图，延长，交的延长线于点，，， 是的中线，，在和中，， ，，，，， 又，，即，垂直平分，． 【典例2】（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 如图，在中，D是边上的中点． (1)如图1，E是边上任意一点，过点C作，交的延长线于点F．.求证：． (2)如图2，连接，若，，求的长的取值范围． (3)如图3，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：平分． (4)若将（3）中的“，”更改为“平分，”，试探究线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析(2)(3)见解析(4)，理由见解析 【详解】（1）解：∵，∴，， ∵D是边上的中点．∴，∴，∴． （2）解：如图，延长至点E，使，连接．∵是的中线，∴， 在和中，∵，∴，∴， 又，∴在中，由三边关系可得：，即， ∵，∴故． （3）证明：如图，延长至点F，使，连接． 同法（1）得：，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵，∴， 在和中，∵， ∴，∴，即平分； （4），理由如下：如图，延长至点F，使，连接． ∴同法（1）得：，∴， ∵，∴∵平分，∵， ∵，∴，∴，∴ 【典例3】（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． 【问题解决】（1）如图1，是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为：_____． （2）如图1，在中，若，，是的中线，则的取值范围是_____． 【问题应用】（3）如图2，是的中线，点在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】（4）如图3，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析（4）见解析 【详解】解：（1）∵是的中线，∴， 在和中，，∴，故答案为：； （2）∵，，，∴， ∴，∴，∴，故答案为：； （3）线段与的数量关系是：，理由如下： 延长到F，使，连接，如图所示： 则，同（1）证明：，∴， ∵，∴，∵平分，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，∴； （4）．理由如下：延长至G，使，连接，则， ∵点D为的中点，∴， 在和中，∴，∴，， ∵，∴，∵，∴， ∴， 在和中，∴，∴． 【典例4】（24-25八年级上·山西大同·期中）阅读理解：中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法” (1)如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是__________（请直接写出答案） (2)为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，教学楼高度，求的长．(3)如图3，和均为等腰直角三角形，连接，点F是的中点，连接并延长，与相交于点G．试探究并直接写出：和的数量关系和位置关系． 【答案】(1)(2)(3)，，理由见解析 【详解】（1）解：是的中点，， 在和中，，，， ，，，在中，， 即，，，， ，中线的取值范围是：，故答案为：． （2）解：延长交的延长线于，如图2所示： 根据题意得：，，， 点是的中点，，在和中，， ，，，， ，，又，为线段的垂直平分线，； （3）解：，，理由如下：延长到，使，连接，如图3所示： 则，点是的中点，， 在和中，，， ，，，， 和均为等腰直角三角形，，，， ，，， ，，，在和中，， ，，， ，，，， ，，，即． 【典例5】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题． （1）如图1，是的中线，且，延长至点，使，连接．根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：__________； 【方法运用】（2）如图2已知是的中线，是上一点，连接交于．若．求证：； 【问题拓展】（3）如图3，是四边形的对角线，，点是边的中点，点在上，，若面积为16，求点到的距离． 【答案】（1）；（2）见详解（3） 【详解】解：（1）∵是的中线，∴， 在和中，∴， 即根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为． （2）如图，延长至H，使得，连接，如图所示： ∵是的中线，∴，∵，， ∴∴，∴． （3）延长至，使得，连接，∵是的中点∴ ∵，∴∴，，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵∴等边三角形，∴， ∴，，∴， 又∵，∴，∴，， ∴，即：， ∴为等边三角形，∴．∴，∴， 设点到的距离为∵面积为16，∴ 则∴，即点到的距离为． 模型2.截长补短模型 【模型提炼与证明】 截长补短模型 截长：指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 补短：指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS） ∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C， ∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。 法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS） ∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD， ∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。 【模型运用】 【典例2】（24-25八年级上·江西宜春·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：． (1)为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） (2)如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)的长为14 【详解】（1）证明：在上截取，使得，连接， 平分，∴，，∴， ，，∵，， 是的一个外角，，，， ，，； （2）解：在上截取，连接， ，，∴， ，，， ，，，， ，，，， ，，，，， ，，的长为14． 【典例1】（25-26八年级上·山东聊城·期中）【阅读材料】“截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】（1）如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】（2）如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由；（3）如图③，在中，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由． 【答案】解：（1） 见解析 （2）见解析 （3）不成立.新数量关系为：． 【详解】（1）；理由：如图①，在上截取，连接， 为的角平分线，， 在和中，，， ，，，，，， ，，； （2），理由：如图②，在上截取，连接， 平分，， 在和中，，，，， ，，，， ，，； （3）不成立， 新数量关系为：， 理由：如图③，在的延长线上取一点，使，连接， 是的平分线，， 在和中，，， ，，，， ，， ，，，，． 【典例3】（25-26八年级上·云南昆明·期末）截长补短源于《九章算术》“以盈补虚”思想，古匠造殿梁长不足，截他木续之，发现截补后两梁端点重合、角线相符，遂悟可证全等．明代木工将此经验总结为“截长补短法”，后经徐光启引入《几何原本》体系，成为证明三角形全等的重要辅助手段，体现了中国传统技艺与西方逻辑推理的融合． 在四边形中，是边的中点． (1)如图①，若平分，，，则的度数是______°； (2)如图②，若平分，，则线段、、的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明； (3)如图③，若，，，求线段长度的最大值． 【答案】(1)(2)，证明见详解(3) 【详解】（1）解：平分，，， 又，； （2）解：，证明如下：如图，在上取， 平分，， 在和中，，， ，，，， 是边的中点，，在和中， ，，； （3）解：如图，过点作且，过点作且， 则在和中，， 在和中，， ，，， 又，，是等边三角形，， ，的最大值为． 【典例4】（24-25八年级上·广西·开学考试）【问题背景】在四边形中，，，，，分别是、上的点．且，试探究图1中线段、、之间的数量关系； 【初步探索】小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______． 【探索延伸】在在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，请证明【初步探索】中的结论是否仍然成立； 【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（）为70°，试求此时两舰艇之间的距离． 【问题发现】如图4，在四边形ABCD中，，，若点F在CB的延长线上，点E在CD的延长线上，若，请直接写出与的数量关系．    【答案】初步探索：；探索延伸：仍然成立，证明见解析；结论运用：此时两舰艇之间的距离是210海里；问题发现：． 【详解】初步探索：线段、、之间的数量关系为：； 证明：延长到，使，连接，如图1：       在和中，，∴，∴，， ∵，，∴， ∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴， 故线段、、之间的数量关系为：．故答案为：． 探索延伸：仍然成立；证明：如图2，延长到，使，连接， ∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴.∴， 在和中，，∴∴， ∴；故结论仍然成立． 结论运用：解：连接，延长交于点，如图3：       ∵，，∴， ∵，∴， ∴符合探索延伸中的条件，∴结论成立， 即海里，答：此时两舰艇之间的距离是210海里； 问题发现：延长到H，使，如图4， ∵，∵，∴， 在和中，，∴，∴，， ∴，即， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴， ∴，∴． 模型常见易错点 1）方法选错丢分：优先用截长法（简单、步骤少），短线段交叉、角度特殊时再用补短法，切勿盲目补短； 2）截取位置错误：必须在最长线段上截取，短线段截取无法完成证明，属于思路性错误； 3）特殊角不会用：45°、60°、90°、角平分线是截长补短的关键条件，不会结合角度构造全等是主要难点； 4）辅助线表述错误：禁止直接写 “倍长中线”（阅卷扣分重点），标准表述：延长AD至E，使DE=AD，连接BE、CE； 5）模型滥用：无中点条件强行倍长中线，仅题干含中点、平分线段、中线三大条件才可使用； 6）全等条件遗漏：倍长后只记得边相等，忽略对顶角相等，导致 SAS 全等证明缺条件； 7）结论不会迁移：只会证线段相等，不会利用平行、角度转移解决角度计算问题。 解题方法总结 1）中点+线段和差综合：当题干同时出现【中点】和【线段和差求证】，需先倍长中线转移线段，再用截长补短证明和差关系，是期末、模考、中考高频压轴。 2）角平分线+中点综合：角平分线触发截长补短，中点触发倍长中线，双重模型结合考察综合构造能力。 3）几何最值综合：利用倍长中线转化线段，结合截长补短化简线段和，求解将军饮马、线段最值问题。 1．（25-26·成都·七年级校考期中）如图，已知AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于F，AC＝BF，∠DAC＝24°，∠EBC＝32°，则∠ACB＝_____． 【答案】100° 【详解】解：如图，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM， 在△BDM和△CDA中， ，∴△BDM≌△CDA（SAS）， ∴BM＝AC＝BF，∠M＝∠DAC＝24°，∠C＝∠DBM，∵BF＝AC，∴BF＝BM，∴∠M＝∠BFM＝24°， ∴∠MBF＝180°﹣∠M﹣∠BFM＝132°，∵∠EBC＝32°，∴∠DBM＝∠MBF﹣∠EBC＝100°， ∴∠C＝∠DBM＝100°，故答案为：100°． 2．（24-25八年级上·重庆·期中）截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．如图，在中，，于D，求证：． 【答案】见解析 【详解】解：在上截取，连接，∵，∴， ∵∴，∴，， ∴，∴，∴． 3.（24-25重庆·八年级月考）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB． 【答案】证明见解析 【详解】证明：如图，在上截取 平分 平分 4.（2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【答案】（1）见解析；（2）选择②为条件，①为结论或选择①为条件，②为结论；证明见解析；（3）见解析 【详解】解：（1）在和中，∵，，， ∴，∴； （2）解：选择②为条件，①为结论：如图，在取点N，使，连接， ∵平分，∴， 在和中，∵，，， ∴，∴，， ∵，，∴，∴， ∴，∴； 选择①为条件，②为结论：如图，在取点N，使，连接， ∵平分，∴，在和中， ∵，，，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∴，∴，∵，∴； 5.（24-25八年级上·黑龙江·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了下面问题： 如图①，是的中线，若，，求的取值范围． “善思小组”通过探究发现，延长至点E，使，连接，可以证出，利用全等三角形的性质，可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围． 从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”．请你利用“善思小组”的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是 ； A．     B．     C．     D． (2)求得的取值范围是 ； A．    B．    C．    D． 解题时，条件中若出现“中点”或“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一三角形中． 根据上面解题方法的启发，请你解答问题．(3)如图②，在中，，点D，E在上，点E是的中点，交于点F，．求证：平分． 【答案】(1)D(2)C(3)见解析 【详解】（1）解：如图①中，延长到点E，使，连接， ∵是的中线，∴， 在和中，，∴，故答案为：D； （2）解：∵，，∴， ∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：C； （3）证明：如图②，延长至点G，使得，连接． ∵点E是的中点，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴平分． 6．（25-26八年级上·青海西宁·期中）阅读与思考 下面是小亮同学写的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应任务． 巧用中线构造全等 数学问题：数学课上，老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，，，若的长度为奇数，求边的长度． 解决问题：我通过小组交流，得到了如下解决方法：如图2，延长至点，使，连接． 因为是边上的中线，所以．可证，则． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件时，可以通过倍长中线构造全等三角形，从而转化已知线段和角． 任务：(1)小亮判断的依据是______； (2)请你根据小亮的思路写出完整的证明思路并求出边的长度； (3)迁移应用：如图3，是的中线，在边上取一点，连接交于点，若，，，则的度数为______． 【答案】(1)(2)1或3(3) 【详解】（1）解：在和中，因为，，，所以． 所以．所以小亮判断的依据是“”，故答案为：； （2）解：在和中， 因为，，，所以．所以． 因为，所以，所以，所以 因为的长度为奇数，所以可以为1或3； （3）解：延长至点，使得，连接， 同上可证明：，所以，， 因为，所以，所以，所以， 因为，，所以， ∴． 7.（24-25八年级下·陕西榆林·期中）（1）【阅读理解】如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线＋对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．老师给出一个方法：延长到点N，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题；结合图1，根据老师提出的方法，添加辅助线并完成证明； （2）【问题解决】如图2，在（1）的条件下，连接，当，时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），见解析 【详解】解：（1）延长到点，得，连接，平分，， 在和中，，，，， ，，，，； （2）．理由如下：延长到点，使得，连接，由（1）知， ，是等边三角形，，， ，， ，为等边三角形，，， ，即， 在和中，，，， ，． 8．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）综合与实践 【问题情境】倍长中线法是指延长边上的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等．倍长中线法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“”证明）． 例：如图1，是的中线，若，设，求的取值范围． 小明同学的解题方法：如图2，延长至点，使，连接．是的中线， 在和中， 在中，，∴ ① ② 的取值范围是 ③ ． 【问题解决】（1）将小明同学的解题方法补充完整：①____________；②____________；③____________． 【拓展延伸】（2）如图3，已知是的中点，是上一点，是上一点，连接，，．（i）若，求证：平分． （ii）若，且，求点到的距离． 【答案】（1），10，；（2）（i）证明见解析，（ii） 【详解】解：（1）是的中线， 在和中， 在中，，∴的取值范围是． 故答案为： ，10，． （2）（i）， 平分． （ii）如图，延长至点，使，连接，． 是的中点， 在和中， 即三点共线， 设点到的距离为，则，，即点到的距离为． 9.（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）阅读下列材料，完成相应任务．数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下：证明：如图2，延长至E，使，是边上的中线，， 在和中，，（依据1），， 在中，（依据2），． （1）任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：__________；依据2：__________． 【归纳总结】上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）任务二：利用“倍长中线法”，解决下列问题． 如图3，中，，D为中点，求证：． 【答案】（1）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边 （2）证明见解析 【详解】解：（1）任务一：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等； 依据2：三角形任意两边的和大于第三边； 故答案为：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形两边的和大于第三边； （2）任务二：证明：如图4，延长至，使，连接， 由任务一得：，，，，， ，， ，，，． 10.（24-25八年级上·江西宜春·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：． (1)为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） (2)如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)的长为14 【详解】（1）证明：在上截取，使得，连接，平分，∴， ，∴，，， ∵，，是的一个外角，， ，，，，； （2）解：在上截取，连接， ，，∴， ，，， ，，，， ，，，， ，，，， ，，，的长为14． 11．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，若的平分线交于，连结，且也平分，则以下的命题中正确的有 ． ①；②为中点；③；④    【答案】①②④ 【详解】解：在上截取．平分，，    又，．． ，．∵． 平方，∴，又， ．①，故，故①正确； ②，即是中点，故②正确；③与不一定相等，故③不正确； ④，，，故④正确． 故答案为：①②④． 12．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段检测）综合与实践：【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接BE．如图（1）．请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件作辅助线，能得到，理由是_____________． A．    B．    C．    D． （2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为_____________． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【解决问题】（3）如图（2），是的中线，点在的延长线上，，求证：． 【答案】（1）A（2）（3）见解析 【详解】（1）解：∵是边上的中线，∴， 在和中，∴，故选：； （2）解：∵，即，∴， ∵，∴，故答案为：； （3）解：延长至，使， ∵是的中线，∴， 在和中，∴， ∴，∵，∴， ∵，∴，即， 在和中，∴，∴， ∵，∴ 13．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段检测）中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． (1)如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．嘉淇在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点H，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，利用三角形三边的关系，可得中线的取值范围是______． (2)如图2，在中，，D为边的中点，求证：． (3)如图3，在中，，为角平分线，E为边的中点，过点E作的平行线，交于点F，交的延长线于点P．①判断和的数量关系，并说明理由；②若，，，则的长为______． 【答案】(1)(2)证明见解析(3)①，理由见解析；②2 【详解】（1）解：在和中，，，， ∴，∴， ∵，∴在中，，∴，故答案为：； （2）证明：如图1，延长到点E，使，则，连接．∵D为的中点，∴， 在和中，∴，∴，， ∵，∴，∴，即． 在和中，，∴，∴，∵，∴； （3）①．理由如下：如图2，延长到点G，使，连接． ∵E为的中点，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵平分，∴．∵，∴，， ∴，∴，∴，∴； ②∵，，∴，∴，设， ∵，∴，由①得，∴， ∵，∴，∴，∴，即． 14.（24-25七年级下·广东深圳·期末）【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线” 等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求  的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”    【初步感知】（1）如图1，在中 ，，，D是 的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到 点E，使 ，连 接．可以判定， 从而得到．这样就能把线段、、 集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是______ (请直接写出答案) 【实践应用】（2）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，  教学楼高度，求 的长 ． 【拓展探究】( 3 ) 如 图 3 ， 和 均为等腰直角三角形，连接，，点 F 是 的中点，连接并延长，与 相交于点G．试探究： 和 的数量关系和位置关系并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），，证明见解析 【详解】解：（1）如图，延长到点，使， ∵是的中点，， ，，， 在中，，，；            （2）如图，延长交于点，∵的中点为D，∴， ∵由题意可得：，而， ∴，∴，， ∵，，∴，是的垂直平分线，∴； （3），，理由如下：如图，延长，使，连接， ∵为的中点，∴，∵，∴， ∴，，∴，∴， ∵，，∴， ∴，∴， ∵，，∴，∴，， ∵，∴．∵， ∴，∴，∴． 15．（25-26八年级下·广东·开学考试）在中，为的角平分线， (1)如图1，当时，在上截取，连接，直接写出线段的数量关系． (2)如图2，当，线段又有怎样的数量关系，并证明你的猜想． (3)如图3，在（2）的条件下点分别是上的动点，若，，求的最小值． 【答案】(1)(2)，证明见解析(3)4 【详解】（1）证明：∵为的角平分线，∴， 在和中，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴； （2）解：， 理由：在上截取，连接， ∵为的角平分线， ∴， 在和中，∴， ∴， ∵，∴，、 ∵，∴，∴，∴； （3）解：作N关于的对称点，由（2）可知，在上，， 当共线时，最小，当时，最小， ∵，，∴∴， ∴，故的最小值为4． 16．（24-25七年级上·山东烟台·期末）阅读材料： “截长补短法”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系．截长，即在长线段上截取一条线段等于其中一条短线段，再证明剩下的部分等于另一条短线段；补短，即延长其中一条短线段，使延长部分等于另一条线段，再证明延长后的线段等于长线段． 依据上述材料，解答下列问题：如图，在等边中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为边作等边，连接CF．(1)如图，若点D在边BC上，试说明；（提示：在线段CD上截取，连接EG．） (2)如图，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)证明见解析(2)FC＝CD+CE 【详解】（1）证明：在CD上截取CG＝CE，如图1所示：   ∵△ABC是等边三角形，∴∠ECG＝60°，∴△CEG是等边三角形，∴EG＝EC＝CG，∠CEG＝60°， ∵△DEF是等边三角形，∴DE＝FE，∠DEF＝60°， ∴∠DEG+∠GEF＝∠FEC+∠GEF＝60°，∴∠DEG＝∠FEC， 在△DEG和△FEC中， ，∴△DEG≌△FEC（SAS）， ∴DG＝CF，∴CD＝CG+DG＝CE+CF，∴CE+CF＝CD； （2）解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：   ∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，过D作DGAB，交AC的延长线于点G，如图2所示： ∵GDAB，∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°， ∴∠GDC＝∠DGC＝60°，∴△GCD为等边三角形，∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°， ∵△EDF为等边三角形，∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，∴∠EDG＝∠FDC， 在△EGD和△FCD中， ，∴△EGD≌△FCD（SAS）， ∴EG＝FC，∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE． 17．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）【阅读理解】课外数学社团开展活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点，使．连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中，我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】(1)直接写出图1中的取值范围：_____； (2)如图3，在中，点为边的中点，点在边上，与相交于点，，求证：； (3)如图4，在中，，为中点，连接，作交于点．试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)见详解(3)，理由见详解 【详解】（1）解：延长到点，使，连接，如图所示： ，在中，，，是边上的中线，， 在和中，，，， 在中，由三角形三边之间关系得：， ，，故答案为：； （2）证明：延长至点，使，连接，如图： 点为边的中点，， 又，，，，， ，，； ，，，； （3）如图，延长到使，连接，为中点，， ，，，， ，，，， ，，． 18.（25-26七年级下·辽宁·期中）解答下列各题： (1)【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 如图1，在中，为的中线，若，求的范围． 倍长中线法：如图2，延长至点，使得，连接，可证明，由全等得到，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围为___________； (2)【实践应用】为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图3所示的测量方案，他们首先取地面的中点，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，教学楼高度，则的长为___________； (3)【拓展探究】如图4，为线段上一点，，分别以，为斜边向上作等腰和等腰，为中点，连接，，． ①判断的形状，并证明；②若将图4中的等腰绕点转至图5的位置（，，不在同一条直线上），连接为中点，且在同侧，连接，当点共线时，，则与的面积之和为___________． 【答案】(1)；(2)40；（3）①为等腰直角三角形；过程见解析 ②21 【详解】（1）解：为的中线，，，， ，，，， ∵，∴，； （2）解：如图，延长至点F，使得，连接， 的中点为，，又∵，，， ∴，，由题意得，， ∴，∴点E、C、F三点共线， ，，，是等腰三角形，； （3）解：(3)①为等腰直角三角形，证明如下： 延长到F，使得，连接、，如图，等腰和等腰， ，，，， ，点是中点，，， 又∵，，，， ，，， 又∵，，，， ， ，，，为等腰直角三角形； ②延长到点F，使得，连接、，如图，等腰和等腰， ，，，， ， 点是中点，，， 又∵，，，，， ∵ ，， 又∵，，，， ，是等腰直角三角形， ∵是的中点，∴，，∴为等腰直角三角形， ∵，∴， ∵D，E，B共线，∴与的底在同一直线上且等高，∴， ∵，∴，∴， 又∵与等底同高，∴， ∵，∴，∴． 19．（25-26八年级上·湖北黄石·期中）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围． (1)几何模型：小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长到Q使得； ②再连接，把、、集中在中； ③利用三角形的三边关系可得，则的取值范围是_________（直接写出其取值范围） 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． (2)初步运用：如图2，是的中线，延长到点E，连接，使，求证； (3)拓展提升：已知，如图3，是的中线， ，，，试探究线段与的数量关系，并给予证明． (4)应用实践：如图4，张大爷有一块五边形苗圃，其五个内角之和为 ，测得，且，，M为边的中点，米，米，直接写出苗圃的面积． 【答案】(1)(2)证明见解析(3)，证明见解析(4)平方米 【详解】（1）解：，，，故答案为：； （2）证明：如图，延长至点F，使得，连接， 是的中线，， 在与中，，，，， ，，，； （3）解：，理由如下，如图，延长至点P，使得，连接， 是的中线，， 在与中，，，，， ，，，， ，，， 在与中，，，； （4）解：如图，延长至点F，使得，连接、、， 为中点，，在与中，， ，，， ，，， ，，，，， 在与中，，，， ，，， 米，米，平方米， 苗圃的面积为平方米． 20.（24-25八年级上·河南漯河·期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3），见解析 【详解】解：（1）方法1：在上截取，连接，平分，， 在和中，，，，， ，，，，； 方法2：延长到，使，连接，平分，， 在和中，，，，， ，，，，； （2），，之间的数量关系为． 方法1：理由如下：如图，在上截取，连接， 由（1）知，， ，，， 为等边三角形， ，， ，为等边三角形，，， ，，，． 方法：理由：延长到，使，连接， 由（1）知，，是等边三角形， ，， ，，， ，为等边三角形，，， ，，即， 在和中，，，， ，； （3）线段、、之间的数量关系为． 连接，过点作于点， ，，， 在和中，，，，， 在和中，，，， ，． 21.（24-25八年级上·江苏·期中）综合与探索：在四边形中，分别是上的点，且，试探究图1中线段之间的数量关系． (1)【初步探索】小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是______． (2)【探索延伸】在四边形中如图2，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． (3)【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以50海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以70海里/小时的速度前进1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角（）为，试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】(1)(2)结论仍然成立(3)此时两舰艇之间的距离是120海里 【详解】（1）解：延长到点，使，连接， ∵，∴， ∵∴，∴， ∵，，∴， ∴，即， 又∵∴，∴， ∵，∴，故答案为：； （2）解：结论仍然成立，证明如下：如图，延长到，使，连接， ，， 在和中， ， 在和中， ，，； （3）解：如图，连接，延长交于点， ，，， ，，符合探索延伸中的条件， 结论成立，即海里， 答：此时两舰艇之间的距离是120海里． 22．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题． （1）如图1，是等边三角形，点是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系． 解题思路：延长到点，使，连接，根据，可证，易证得≌，得出是等边三角形，所以，从而探寻线段、、之间的数量关系． 根据上述解题思路，请写出、、之间的数量关系是______，并写出证明过程； 【拓展延伸】（2）如图2，在中，，，若点是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【知识应用】（3）如图3，两块斜边长都为的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离的平方为多少？ 【答案】（1）DA=DC+BD，见解析；（2）；见解析；（3） 【详解】解：（1）DA=DC+BD，理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°， ∵∠BDC=120°，∴∠ABD+∠ACD=360°-∠BAC-∠BDC=180°，又∵∠ACE+∠ACD=180°，∴∠ABD=∠ACE， 在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE，∠BAD=∠CAE， ∵∠ABC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°，∴∠DAC+∠CAE=60°，即∠DAE=60°， ∴△ADE是等边三角形，∴DA=DE=DC+CE=DC+DB，即DA=DC+DB，故答案为：DA=DC+BD； （2），如图2，延长DC到点E，使CE=BD，连接AE， ∵∠BAC=90°，∠BDC=90°，∴∠ABD+∠ACD=360°-∠BAC-∠BDC=180°， ∵∠ACE+∠ACD=180°，∴∠ABD=∠ACE， ∵AB=AC，CE=BD，在△ABD和△ACE中，， ∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，∴∠DAE=∠BAC=90°， ∴DA2+AE2=DE2，∴； （3）如图3，连接PQ，∵MN=2，∠QMN=30°，∠MQN=90°，∴QN=MN=1，∴， 由（2）知．∴． 23．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）【问题情境】在数学活动课上，李老师给出如下的问题： 如图1，已知，，过点B作射线l，点E在的内部，点A和点E关于l对称，交l于点D，连接．证明：． 【探究合作】同学们根据问题进行小组合作，下面是第一小组的同学分享的解题过程： 小红：除已知所给相等的边和角之外，我们小组还推理得到； 小鹏：从结论出发可以“截”较长的线段，本题转化为证明两条线段相等的问题．如图2，在上截取，再证明； 小亮：要证明，观察图形选取“证明这两条线段所在的三角形全等”的方法，如图3，连接，以为目标构造与之全等的三角形； 小明：与小鹏的想法类似，但采用将结论中任一较短的线段“补”的方法．如图4，延长到点G，使，连接，再确定一个三角形作为目标构造与之全等的三角形证明． 【推理证明】（1）请你推理出小红的结论；（2）根据第一小组同学们的解题思路，任选一种方法证明． 【反思提升】李老师：小鹏和小明利用“截长补短”的方法，将“求证一条线段等于两条线段和的问题”转化为“求两条线段相等的问题”，这就将新问题转化为我们熟悉的问题去解决，转化思想在数学学习中无处不在． 请同学们反思后解决下面的问题： （3）如图，， ，点D是的角平分线上一动点，的垂直平分线交射线于E，求的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析（3）的最小值是3 【详解】（1）∵A、E两点关于l对称 ∴，，，，， ∵，∴，设，则∴ ∵，∴ ∵∴∴ （2）连接．∵，，∴是等边三角形，∴，， 又∵，，∴是等边三角形，∴， ∴，∴， 在和中，，∴，∴； （3）过点C作交BA于点H，交的平分线于点D，此时取得最小值； ∵点E在的垂直平分线上∴．∴ ∵BD平分∴∴∴∴ 在中， ∴∴ 当C、D、H三点共线时最短，此时 在中， ∴∴的最小值是3． 24．（24-25八年级下·山西运城·期中）学完平移与旋转后，数学老师再次介绍了截长补短法：截长补短法是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或者旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题． 例如：如图1，已知点P是的平分线上一点，点A是射线上任意一点，在上截取B点，使（截长法），连接，易得：．如图2，已知中，平分，延长至点F（补短法），使得，连接，易得．    问题情境： 今天我们继续运用截长补短法进行探究学习．如图3，点P是等边外一点，连接且满足，线段之间有何等量关系呢？ 经过探究，勤奋小组讲解了他们的思路： 如图4，在上截取一点Q，使，连接． ∵是等边三角形， ∴， 又∵，∴，又∵  ∴ ∴（依据1： ）∴， ∴，即 可知是等边三角形（依据2： ），所以，因此最终得出线段 之间的等量关系是 ．    反思交流：（1）①上述证明过程中“依据1”“依据2”分别指什么？ 依据1： ．依据2： ．②图3中线段之间的等量关系是 ． 探索发现：（2）创新小组受勤奋小组的启发，把点D移动到边下方，如图5，是等边三角形，且点D是边下方一点，，将绕点A逆时针旋转得到，根据上述解题思路，继续探究三条线段之间的等量关系，并写出你的证明过程．    问题解决：（3）请你参考上面的解题思路，探究并解决下列问题：如图6，在正方形内有一点P，且，，则＝ ． 【答案】（1）①、有一个角等于的等腰三角形是等边三角形；②；（2），证明见解析；（3） 【详解】解：（1）①依据1是：、依据2是：有一个角等于的等腰三角形是等边三角形 ②∵，，，∴ （2）∵，∴， ∵绕点A逆时针旋转得到， ∴，∴ ∵D、C、E三点在一条直线上，∴是等边三角形，∴． （3）将绕点B逆时针旋转得到， ∴， ∴，， ∵，，∴，∴， ∴，故答案为： 1 / 53 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 全等模型之倍长中线与截长补短 倍长中线与截长补短是初中全等几何两大压轴核心模型，区别于基础全等判定，属于几何构造类高阶模型，是区分普通学生和尖子生的核心考点。模型贯穿全等三角形、三角形综合、中考几何填空压轴、解答证明大题，是线段关系证明、线段和差最值、不等关系推导的必备工具。两大模型核心本质：通过辅助线构造全等三角形，实现线段、角度的等量转移，破解题目中线段分散、条件不足的问题。 【模型来源】 1 【知识储备】 2 【例讲模型】 2 模型1.倍长中线模型 2 模型2.截长补短模型 11 【易错点与方法总结】 19 【模型运用】 20 A组（基础题） 20 B组（提升题） 31 C组（综合压轴题） 39 倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究。古希腊数学家欧几里得《几何原本》虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础。数学文献中，“倍长中线”作为标准术语被确立于20世纪，成为初等几何常见技巧。截长补短概念起初源于对图形简单拼接与分割的实践探索，后来在计算机图形学早期发展也有辅助线贡献。截长补短也被纳入中学数学教材成为常见解题手段，截长补短能巧妙处理线段数量关系难题，效果显著。 1.基础全等判定：SAS、ASA、AAS、SSS（倍长中线核心用 SAS）； 2.角度性质：对顶角相等、角平分线定义、平行线内外错角、特殊角（45°、60°、90°）； 3.线段性质：中点定义、线段和差、三角形三边关系； 4.特殊图形性质：等腰三角形、直角三角形、正方形、平行四边形基础性质。 模型1.倍长中线模型 【模型提炼与证明】 1）倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2）倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 3）倍长类中线模型拓展（中点+平行线型） 条件：AB∥CD，E为AC的中点，F为AB边上一点（不同于端点）。结论：△AFE≌△CGE。 证明：延长FE，交DC的延长线于点G。 ∵E为AC的中点，∴AE=CE，∵AB∥CD，∴∠A=∠ECG，∠AFE=∠G，∴△AFE≌△CGE（AAS） 若“中点+平行线型”按“中点型”来倍长，则需证明点G在CD上，为了避免证明三点共线，点G就直接通过延长相交得到。因为有平行线，内错角相等，故根据“AAS”或“ASA”证明全等。这里“中点+平行线型”可以看做是“中点型”的改良版。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·山东·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是（   ） A．SSS    B．SAS    C．AAS    D．ASA （2）求得的取值范围是（   ） A．    B．    C．    D． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】（3）如图2，是的中线，交于，交于，且．求证：． 【能力提高】（4）如图3，在中，，，是的中线，，，且，求的长． 【典例2】（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 如图，在中，D是边上的中点． (1)如图1，E是边上任意一点，过点C作，交的延长线于点F．.求证：． (2)如图2，连接，若，，求的长的取值范围． (3)如图3，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：平分． (4)若将（3）中的“，”更改为“平分，”，试探究线段与的数量关系，并说明理由． 【典例3】（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． 【问题解决】（1）如图1，是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为：_____． （2）如图1，在中，若，，是的中线，则的取值范围是_____． 【问题应用】（3）如图2，是的中线，点在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】（4）如图3，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 【典例4】（24-25八年级上·山西大同·期中）阅读理解：中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法” (1)如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是__________（请直接写出答案） (2)为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，教学楼高度，求的长．(3)如图3，和均为等腰直角三角形，连接，点F是的中点，连接并延长，与相交于点G．试探究并直接写出：和的数量关系和位置关系． 【典例5】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题． （1）如图1，是的中线，且，延长至点，使，连接．根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：__________； 【方法运用】（2）如图2已知是的中线，是上一点，连接交于．若．求证：； 【问题拓展】（3）如图3，是四边形的对角线，，点是边的中点，点在上，，若面积为16，求点到的距离． 模型2.截长补短模型 【模型提炼与证明】 截长补短模型 截长：指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 补短：指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。 AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS） ∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C， ∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。 法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。 AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS） ∴∠C′=∠C，∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD， AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·山东聊城·期中）【阅读材料】“截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】（1）如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】（2）如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由；（3）如图③，在中，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由． 【典例2】（24-25八年级上·江西宜春·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：． (1)为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） (2)如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长． 【典例3】（25-26八年级上·云南昆明·期末）截长补短源于《九章算术》“以盈补虚”思想，古匠造殿梁长不足，截他木续之，发现截补后两梁端点重合、角线相符，遂悟可证全等．明代木工将此经验总结为“截长补短法”，后经徐光启引入《几何原本》体系，成为证明三角形全等的重要辅助手段，体现了中国传统技艺与西方逻辑推理的融合． 在四边形中，是边的中点． (1)如图①，若平分，，，则的度数是______°； (2)如图②，若平分，，则线段、、的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明； (3)如图③，若，，，求线段长度的最大值． 【典例4】（24-25八年级上·广西·开学考试）【问题背景】在四边形中，，，，，分别是、上的点．且，试探究图1中线段、、之间的数量关系； 【初步探索】小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______． 【探索延伸】在在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，请证明【初步探索】中的结论是否仍然成立； 【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（）为70°，试求此时两舰艇之间的距离． 【问题发现】如图4，在四边形ABCD中，，，若点F在CB的延长线上，点E在CD的延长线上，若，请直接写出与的数量关系．    模型常见易错点 1）方法选错丢分：优先用截长法（简单、步骤少），短线段交叉、角度特殊时再用补短法，切勿盲目补短； 2）截取位置错误：必须在最长线段上截取，短线段截取无法完成证明，属于思路性错误； 3）特殊角不会用：45°、60°、90°、角平分线是截长补短的关键条件，不会结合角度构造全等是主要难点； 4）辅助线表述错误：禁止直接写 “倍长中线”（阅卷扣分重点），标准表述：延长AD至E，使DE=AD，连接BE、CE； 5）模型滥用：无中点条件强行倍长中线，仅题干含中点、平分线段、中线三大条件才可使用； 6）全等条件遗漏：倍长后只记得边相等，忽略对顶角相等，导致 SAS 全等证明缺条件； 7）结论不会迁移：只会证线段相等，不会利用平行、角度转移解决角度计算问题。 解题方法总结 1）中点+线段和差综合：当题干同时出现【中点】和【线段和差求证】，需先倍长中线转移线段，再用截长补短证明和差关系，是期末、模考、中考高频压轴。 2）角平分线+中点综合：角平分线触发截长补短，中点触发倍长中线，双重模型结合考察综合构造能力。 3）几何最值综合：利用倍长中线转化线段，结合截长补短化简线段和，求解将军饮马、线段最值问题。 1．（25-26·成都·七年级校考期中）如图，已知AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于F，AC＝BF，∠DAC＝24°，∠EBC＝32°，则∠ACB＝_____． 2．（24-25八年级上·重庆·期中）截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．如图，在中，，于D，求证：． 3.（24-25重庆·八年级月考）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB． 4.（2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 5.（24-25八年级上·黑龙江·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了下面问题： 如图①，是的中线，若，，求的取值范围． “善思小组”通过探究发现，延长至点E，使，连接，可以证出，利用全等三角形的性质，可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围． 从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”．请你利用“善思小组”的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是 ； A．     B．     C．     D． (2)求得的取值范围是 ； A．    B．    C．    D． 解题时，条件中若出现“中点”或“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一三角形中． 根据上面解题方法的启发，请你解答问题．(3)如图②，在中，，点D，E在上，点E是的中点，交于点F，．求证：平分． 6．（25-26八年级上·青海西宁·期中）阅读与思考 下面是小亮同学写的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应任务． 巧用中线构造全等 数学问题：数学课上，老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，，，若的长度为奇数，求边的长度． 解决问题：我通过小组交流，得到了如下解决方法：如图2，延长至点，使，连接． 因为是边上的中线，所以．可证，则． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件时，可以通过倍长中线构造全等三角形，从而转化已知线段和角． 任务：(1)小亮判断的依据是______； (2)请你根据小亮的思路写出完整的证明思路并求出边的长度； (3)迁移应用：如图3，是的中线，在边上取一点，连接交于点，若，，，则的度数为______． 7.（24-25八年级下·陕西榆林·期中）（1）【阅读理解】如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线＋对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．老师给出一个方法：延长到点N，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题；结合图1，根据老师提出的方法，添加辅助线并完成证明； （2）【问题解决】如图2，在（1）的条件下，连接，当，时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 8．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）综合与实践 【问题情境】倍长中线法是指延长边上的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等．倍长中线法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“”证明）． 例：如图1，是的中线，若，设，求的取值范围． 小明同学的解题方法：如图2，延长至点，使，连接．是的中线， 在和中， 在中，，∴ ① ② 的取值范围是 ③ ． 【问题解决】（1）将小明同学的解题方法补充完整：①____________；②____________；③____________． 【拓展延伸】（2）如图3，已知是的中点，是上一点，是上一点，连接，，．（i）若，求证：平分． （ii）若，且，求点到的距离． 9.（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）阅读下列材料，完成相应任务．数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下：证明：如图2，延长至E，使，是边上的中线，， 在和中，，（依据1），， 在中，（依据2），． （1）任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：__________；依据2：__________． 【归纳总结】上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）任务二：利用“倍长中线法”，解决下列问题． 如图3，中，，D为中点，求证：． 10.（24-25八年级上·江西宜春·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：． (1)为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） (2)如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长． 11．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，若的平分线交于，连结，且也平分，则以下的命题中正确的有 ． ①；②为中点；③；④    12．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段检测）综合与实践：【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接BE．如图（1）．请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件作辅助线，能得到，理由是_____________． A．    B．    C．    D． （2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为_____________． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【解决问题】（3）如图（2），是的中线，点在的延长线上，，求证：． 13．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段检测）中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． (1)如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．嘉淇在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点H，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，利用三角形三边的关系，可得中线的取值范围是______． (2)如图2，在中，，D为边的中点，求证：． (3)如图3，在中，，为角平分线，E为边的中点，过点E作的平行线，交于点F，交的延长线于点P．①判断和的数量关系，并说明理由；②若，，，则的长为______． 14.（24-25七年级下·广东深圳·期末）【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线” 等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求  的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”    【初步感知】（1）如图1，在中 ，，，D是 的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到 点E，使 ，连 接．可以判定， 从而得到．这样就能把线段、、 集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是______ (请直接写出答案) 【实践应用】（2）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，  教学楼高度，求 的长 ． 【拓展探究】( 3 ) 如 图 3 ， 和 均为等腰直角三角形，连接，，点 F 是 的中点，连接并延长，与 相交于点G．试探究： 和 的数量关系和位置关系并说明理由． 15．（25-26八年级下·广东·开学考试）在中，为的角平分线， (1)如图1，当时，在上截取，连接，直接写出线段的数量关系． (2)如图2，当，线段又有怎样的数量关系，并证明你的猜想． (3)如图3，在（2）的条件下点分别是上的动点，若，，求的最小值． 16．（24-25七年级上·山东烟台·期末）阅读材料： “截长补短法”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系．截长，即在长线段上截取一条线段等于其中一条短线段，再证明剩下的部分等于另一条短线段；补短，即延长其中一条短线段，使延长部分等于另一条线段，再证明延长后的线段等于长线段． 依据上述材料，解答下列问题：如图，在等边中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为边作等边，连接CF．(1)如图，若点D在边BC上，试说明；（提示：在线段CD上截取，连接EG．） (2)如图，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间的数量关系并说明理由． 17．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）【阅读理解】课外数学社团开展活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点，使．连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中，我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】(1)直接写出图1中的取值范围：_____； (2)如图3，在中，点为边的中点，点在边上，与相交于点，，求证：； (3)如图4，在中，，为中点，连接，作交于点．试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 18.（25-26七年级下·辽宁·期中）解答下列各题： (1)【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 如图1，在中，为的中线，若，求的范围． 倍长中线法：如图2，延长至点，使得，连接，可证明，由全等得到，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围为___________； (2)【实践应用】为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图3所示的测量方案，他们首先取地面的中点，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，教学楼高度，则的长为___________； (3)【拓展探究】如图4，为线段上一点，，分别以，为斜边向上作等腰和等腰，为中点，连接，，． ①判断的形状，并证明；②若将图4中的等腰绕点转至图5的位置（，，不在同一条直线上），连接为中点，且在同侧，连接，当点共线时，，则与的面积之和为___________． 19．（25-26八年级上·湖北黄石·期中）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围． (1)几何模型：小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长到Q使得； ②再连接，把、、集中在中； ③利用三角形的三边关系可得，则的取值范围是_________（直接写出其取值范围） 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． (2)初步运用：如图2，是的中线，延长到点E，连接，使，求证； (3)拓展提升：已知，如图3，是的中线， ，，，试探究线段与的数量关系，并给予证明． (4)应用实践：如图4，张大爷有一块五边形苗圃，其五个内角之和为 ，测得，且，，M为边的中点，米，米，直接写出苗圃的面积． 20.（24-25八年级上·河南漯河·期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 21.（24-25八年级上·江苏·期中）综合与探索：在四边形中，分别是上的点，且，试探究图1中线段之间的数量关系． (1)【初步探索】小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是______． (2)【探索延伸】在四边形中如图2，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． (3)【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以50海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以70海里/小时的速度前进1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角（）为，试求此时两舰艇之间的距离． 22．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题． （1）如图1，是等边三角形，点是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系． 解题思路：延长到点，使，连接，根据，可证，易证得≌，得出是等边三角形，所以，从而探寻线段、、之间的数量关系． 根据上述解题思路，请写出、、之间的数量关系是______，并写出证明过程； 【拓展延伸】（2）如图2，在中，，，若点是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【知识应用】（3）如图3，两块斜边长都为的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离的平方为多少？ 23．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）【问题情境】在数学活动课上，李老师给出如下的问题： 如图1，已知，，过点B作射线l，点E在的内部，点A和点E关于l对称，交l于点D，连接．证明：． 【探究合作】同学们根据问题进行小组合作，下面是第一小组的同学分享的解题过程： 小红：除已知所给相等的边和角之外，我们小组还推理得到； 小鹏：从结论出发可以“截”较长的线段，本题转化为证明两条线段相等的问题．如图2，在上截取，再证明； 小亮：要证明，观察图形选取“证明这两条线段所在的三角形全等”的方法，如图3，连接，以为目标构造与之全等的三角形； 小明：与小鹏的想法类似，但采用将结论中任一较短的线段“补”的方法．如图4，延长到点G，使，连接，再确定一个三角形作为目标构造与之全等的三角形证明． 【推理证明】（1）请你推理出小红的结论；（2）根据第一小组同学们的解题思路，任选一种方法证明． 【反思提升】李老师：小鹏和小明利用“截长补短”的方法，将“求证一条线段等于两条线段和的问题”转化为“求两条线段相等的问题”，这就将新问题转化为我们熟悉的问题去解决，转化思想在数学学习中无处不在． 请同学们反思后解决下面的问题： （3）如图，， ，点D是的角平分线上一动点，的垂直平分线交射线于E，求的最小值． 24．（24-25八年级下·山西运城·期中）学完平移与旋转后，数学老师再次介绍了截长补短法：截长补短法是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或者旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题． 例如：如图1，已知点P是的平分线上一点，点A是射线上任意一点，在上截取B点，使（截长法），连接，易得：．如图2，已知中，平分，延长至点F（补短法），使得，连接，易得．    问题情境： 今天我们继续运用截长补短法进行探究学习．如图3，点P是等边外一点，连接且满足，线段之间有何等量关系呢？ 经过探究，勤奋小组讲解了他们的思路： 如图4，在上截取一点Q，使，连接． ∵是等边三角形， ∴， 又∵，∴，又∵  ∴ ∴（依据1： ）∴， ∴，即 可知是等边三角形（依据2： ），所以，因此最终得出线段 之间的等量关系是 ．    反思交流：（1）①上述证明过程中“依据1”“依据2”分别指什么？ 依据1： ．依据2： ．②图3中线段之间的等量关系是 ． 探索发现：（2）创新小组受勤奋小组的启发，把点D移动到边下方，如图5，是等边三角形，且点D是边下方一点，，将绕点A逆时针旋转得到，根据上述解题思路，继续探究三条线段之间的等量关系，并写出你的证明过程．    问题解决：（3）请你参考上面的解题思路，探究并解决下列问题：如图6，在正方形内有一点P，且，，则＝ ． 27 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $