专题02 全等三角形模型之一线三等角（K字）模型（几何模型讲义）数学新教材苏科版八年级上册

该初中数学讲义通过框架图系统梳理一线三等角（K字）模型知识体系，将同侧型、异侧型模型按“条件-结论-证明”分层呈现，用表格归纳平角定义、全等判定等知识储备，清晰展现模型与三角形内角和、线段代换的内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，A组基础题巩固模型识别，B组能力题如“等腰直角三角板与木墙距离”培养几何直观，C组压轴题通过“类比迁移-拓展应用”提升推理意识。易错点总结与“找角、定线、构全等”步骤指导，助力学生从被动到主动构造全等，教师可据此实施精准分层教学。

专题02 全等三角形模型之一线三等角（K字）模型 一线三等角（俗称K字模型）：同一条直线上出现三个相等的角，利用平角180°与三角形内角和，自动推导一组锐角相等，配合一组已知边相等，直接构造全等三角形。核心本质：无角造角、无全等造全等，是初中几何最重要的构造辅助模型。初中几何构造全等第一大模型，中考高频必考母题。广泛出现于填空压轴、几何证明、坐标系几何、矩形正方形动点大题。是学生从“被动全等”走向“主动构造全等”的核心转折点，几何含金量极高。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 2 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 9 易错点与方法总结 16 模型运用 17 A组（基础题） 17 B组（能力提升题） 25 C组（综合压轴题） 35 “一线三等角”的概念最早可以追溯到古希腊数学家欧几里得的《几何原本》中。在这本经典的数学著作中，欧几里得系统地阐述了平面几何的基本原理和定理，其中就包括了关于角和线段关系的诸多论述。虽然“一线三等角”这一术语可能并非直接出自欧几里得之口，但其所涉及的原理和概念无疑在他的著作中得到了充分的体现和阐述。 在欧几里得之后，许多数学家都对“一线三等角”进行了深入的研究和探索。他们通过不同的方法和途径来证明这一结论的正确性，并寻找其在实际问题中的应用。这些数学家们的努力不仅推动了几何学的发展，也为后来的科学研究提供了宝贵的经验和启示。 随着时间的推移，“一线三等角”逐渐成为了中学数学教育中的重要内容之一。通过学习和掌握这一概念，学生们可以更加深入地理解角度和线段之间的关系，提高解决几何问题的能力。同时，这一概念也激发了学生们对数学的兴趣和热爱，为他们的未来学习和发展奠定了坚实的基础。 1）平角定义：平角=180°；直角互余性质：同角的余角相等；三角形内角和180°； 2）全等判定：AAS、SAS（K字99%用AAS）； 3）线段和差代换、几何标准书写格式。 常结合：直角三角形、矩形、正方形、等腰直角三角形、平面直角坐标系、动点折叠、线段和差证明。 命题特征：不画全图、不标等角，需要学生自行发现“共线三角相等”结构，自主倒角证全等。 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 【模型提炼与证明】 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：ΔABE≅ΔECD，AB+CD=BC. 证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·辽宁铁岭·期中）小强同学用块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 ． 【答案】 【详解】解：由题意知，，， ∵，∴， 又∵，，∴， ∴，∴，故答案为：． 【典例2】（25-26八年级上·重庆校考期中）如图，在中，，点D在线段上运动（点D不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E． (1)当时，______，______。(2)若，试说明． 【答案】(1)(2)见详解 【详解】（1）解：，， ∵，，故答案为：； （2）证明：∵，， ，，， 在和中，，． 【典例3】（25-26八年级上·四川成都·期中）已知，D，A，E三点在直线m上，在直线m上方有，且满足． 【积累经验】（1）如图1，当时，猜想线段、、之间的数量关系并说明理由． 【类比迁移】（2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，与的面积之和为2，请直接写出的面积． 【答案】（1），见解析；（2）（1）中的结论成立，见解析；（3） 【详解】解：（1）， ，，， 在和中， ，， ，，，即； （2）仍然成立，理由如下：， ，，， 在和中， ，， ，，； （3），， ，，， 在和中， ，，， ∵与的面积之和为2，∴， 设的底边上的高为，则的底边上的高为，， ． 【典例4】（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形． 根据对材料的理解解决以下问题∶ (1)如图1，，．猜想，，之间的关系：__________ (2)如图2，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，在中，点为上一点，，，，，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)（1）中结论仍然成立，理由见解析 (3)7 【详解】（1）解：∵， ∴，∴， 又∵，∴，∴， ∴；故答案为：； （2）解：（1）中结论仍然成立，理由如下： ∵，， ，∴． 在和中，，∴． ∴，．∴，∴（1）中结论仍然成立； （3）解：∵，，∴， ∵，∴，∴，∴． 【典例5】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数均为．当模型中有一组对应边相等时，模型中必定存在全等三角形． (1)如图1，在等腰直角三角形中，，，过点作直线，于点于点．判断与之间满足的数量关系，并说明理由； (2)如图2，在Rt中，．分别以和为直角边在外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接交延长线于点．判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在中，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接．直接写出的面积． 【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析(3)或4 【详解】（1）解：在等腰直角中，，于点D，于点E， ∴，，，∴， 在和中，，∴（），∴，， ∴，故答案为：； （2）解：如图，过点D作于点T，连接． ∵，∴，，∴， ∵，∴（），∴，， ∵，∴，∴四边形是平行四边形， ∴，∴；故答案为：． （3）解：以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，，如图，作高线，过点D作于F，∵，，∴，由（1）得：， ∴，∴， 以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，，如图，作高线，过点D作于F，∵，，，∴，由（1）得：， ∴，∴． 综上所述，的面积为或4．故答案为：或4． 【典例6】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）【探索发现】如图1，在等腰直角三角形中，，，直线l经过点C，过点A作直线l，垂足为点D．过B作，垂足为点E，易证，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】已知：直线的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点． （1）如图2．当时，在第一象限构造等腰直角，，则点E的坐标为______； （2）如图3，当点A在x轴负半轴上运动时，在y轴左侧过点B作，并且，连接，试问的面积是否为定值？若是请求出这个定值，若不是请说明理由； 【拓展提高】（3）如图4，在平面直角坐标系内，直线与y轴交于点N，与x轴交于点Q，将直线绕N点沿顺时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点M．求直线的函数关系式． 【答案】（1）；（2）的面积是定值，详见解析；（3） 【详解】解：（1）过点作轴，则：， ∵等腰直角，∴，， ∴，∴，∴， ∵，，∴，∴当时，，当时，， ∴，∴，∴，∴； （2）的面积是定值．理由如下：过点Q作轴，垂足为点H， ，， ，，，， 在和中，，，． 当时，，∴，． ，的面积是定值，定值为； （3）过点Q作交于点G，过点G作轴，垂足为点H． ．，，． 在中，由题意，，．． 在和中，，，． 由题意知，直线与y轴交于点N，与x轴交于点Q， 当时，；当时，，， ．，．，点． 设，将点代入得：，， ∴直线的函数关系式为：． 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 【模型提炼与证明】 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：，AB-CD=BC。 证明：∵，∴∠ECD=∠ABE， ∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·绵阳·期中）如图，在中，，，，，垂足分别为点，，交于点．(1)求证：≌；(2)若，，则的长________． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明: ∵, ∴，,∴, 在和中,，∴； （2）∵,∴, ∵,∴,∴, ∴．故答案为: ． 【典例2】（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到的位置时，①直接写出图1中全等的一角形__________；②__________（填＞、＜或＝） (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：；(3)当直线绕点旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明． 【答案】(1)①，②(2)见解析(3) 【详解】（1）解： 中，，， 直线经过点，且于，于， ，， 在和中，，， ，，，故答案为：；； （2）证明：中，，直线经过点，且于，于， ，，， 在和中，，， ，，； （3）解：，理由如下： 中，，直线经过点，且于，于， ，，， 在和中，，， ，，；、、之间的关系为． 【典例3】（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）问题情境：如图1，在直角三角形中，，于点，可知：（不需要证明）； (1)特例探究：如图2，，射线在这个角的内部，点、在的边、上，且，于点，于点．证明：； (2)归纳证明：如图3，点、在的边、上，点，在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，．求证：； (3)拓展应用：如图4，在中，，．点在边上，，点，在线段上，．若的面积为3，则与的面积之和为__________． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)1 【详解】（1）证明：如图②，∵，，，∴， ∴，，∴， 在和中，，∴； （2）证明：如图③，∵，，，∴， ∵，，，∴， 在和中，，∴； （3）解：∵，∴，∴，由（2）同理可得：， ∴，∴，故答案为∶1． 【典例4】（25-26七年级下·陕西西安·期中）综合与实践 央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到：“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”，几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． 【模型感知】一线三等角模型是初中数学三角形全等知识点考察的经典模型，在同一条直线上，依次分布三个相等的角，两角外侧各有一个三角形，由此构成的几何图形叫做一线三等角模型． (1)如图1，，射线在这个角的内部，点在的边上，且于点，于．则___________；线段、、之间的数量关系为___________． 【模型应用】(2)如图2．点在的边、上，点在内部的射线上．已知，．求证：． 【类比探究】(3)如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，则___________． 【答案】(1)，(2)见解析(3) 【详解】（1）证明：，，，， ，，， ∵，∴， 在和中，，∴，， ∵，∴； （2），，，， ，，，， 在和中，； （3）如图，过点作于，过点作的延长线于，， ，，， 在和中，， ，，同理可得：，，， 即：，， 在和中，∴， ∴，∴． 【典例5】（25-26八年级下·广东湛江·开学考试）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线DE，于D，于E，求证：； (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长； (3)拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，，，在平面直角坐标系中是否存在一点B，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出B点坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在，点B的坐标为或或或或或 【详解】（1）证明：∵，，∴， ∵，∴，∴， 又∵，∴； （2）证明：∵于D，于E，∴， ∵，∴，∴， 又∵，∴，∴，， ∵，∴，∴； （3）解：在平面直角坐标系中存在点B，使得为等腰直角三角形，理由如下： 分三种情况：①当时，，如图3，过点A作轴，过点C作于E，过点B作于F，同（1）得：，∴，， ∵，，∴，，∴； ∵点B在平面直角坐标系中，∴点关于点对称的点也满足条件， ∴∴； ②当时，，如图4，过点C作轴，过点A作于E，过点B作于F，同（1）得：，∴，， ∵，，∴，，∴； ∵点B在平面直角坐标系中，∴点关于点对称的点也满足条件； ③当时，，如图5，过点B作轴，交x轴于F，过点C作于E， 同（1）得：，∴，，设，则， ∵，，∴，，∴，解得：，∴； ∵点B在平面直角坐标系中，∴点关于线段中点对称的点也满足条件； 综上，使为等腰直角三角形，点B的坐标为或或或或或． 模型常见易错点 1）不会倒角，只会看图不会推角 很多学生能看出K字，但写不出∠A=∠CBE，缺少“余角相等”关键步骤，大题直接扣分。 2）全等顶点对应混乱 K字两个三角形是旋转对应，顶点顺序必须一一对应，顺序写错直接全等错误。 3）斜三等角乱用互余 非直角一线三等角不能用余角，必须用平角180°倒角，学生思维极易固化。 4）只会证全等，不会线段代换 考试重点是用全等求边长、证和差，只证全等不转化线段，拿不到满分。 5）混淆全等K字与相似K字 八年级全等阶段只谈全等、不谈比例，禁止套用相似思路。 解题方法总结 1）K字模型99%使用 AAS 全等判定； 2）核心倒角依据：同角的余角相等（大题得分关键句） 3）结构本质：直线上三直角 ⇒ 自动产生一组等角 4）两大用途：① 角度证明 ② 线段求值与和差 ③ 坐标系求坐标 5）正方形、等腰直角三角形、矩形最爱嵌套K字构造；内侧、外侧K字，倒角逻辑完全一致。 “一线三等角”的应用四种情况： ①图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； ②图形中存在“一线二等角”，再构造“一个等角”利用模型解题； ③图形中只有直线上一个角，再构造“两个等角”利用模型解题； ④.图形中只有斜45度角，斜直角或斜Rt∆，可构造“一线三等（直）角” 模型解题。 体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是全国各地的中考压轴题中，经常会有一个特殊角，通常需要常构造“一线三等角”来解题. 构造一线三等角的步骤：找角、定线、构全等。 1．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点B恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得：， ∴，∴，∴， 在和中，，∴； 由题意得：，，∴．故选：D． 2．（25-26·四川绵阳·八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（　　） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵AB＝AC＝9，∴∠B＝∠C， ∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB， ∴∠BAD＝∠CDE，∵AE的中垂线交BC于点D，∴AD＝ED， 在△ABD与△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS），∴CD＝AB＝9，BD＝CE， ∵CD＝3BD，∴CE＝BD＝3故选：A． 3．（24-25八年级下·湖北·期末）如图，正方形ABCD的面积为169，G是BC上的一点，于点E，，且交AG于点F，若，则EF的长是（   ） A． B．13 C．8 D．7 【答案】D 【详解】解：∵正方形的面积为， ∵于点， ， ∵于点， ，∴， ∵四边形是正方形，∴， ∵，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，故选：D． 4．（25-26八年级上·山东·期中）如图，在中，，点在边上，，分别是射线上的两点，且，，，．则的值是 ；若，的面积为，则的面积是 ． 【答案】 【详解】解：且 由外角定理可得，又，∴∠CAF＝∠BCE， 在和中， ．，， ，， ，的面积为，， ， ，∴的面积是 故答案为：， ． 5．（25-26八年级上·浙江·期末）综合与实践 问题情境：数学课上，同学们以等腰三角形为背景展开探究．在中，，直线过点，点是直线上两点． 独立思考：（1）如图1，当直线在的外部，满足时，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； 拓展探究：（2）如图2，当直线经过的内部，交于点，且，满足时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请写出线段，与之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当直线经过的内部，交于点，且，满足时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出线段与之间的数量关系． 【答案】（1），见解析；（2），见解析；（3）（1）中结论不成立．线段与之间的数量关系为 【详解】解：（1），理由如下： ∵，，∴， ∵，∴， ∴，∴； （2）结论不成立，，理由如下： ∵，，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴； （3）结论不成立，，理由如下： ∵，，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴． 6．（24-25八年级上·重庆·期中）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，利用全等三角形解决问题． (1)已知：如图，在中，，直线经过点直线直线，垂足分别为．求证：．          (2)如图，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． (3)如图，将（1）中的条件改为：三点都在直线上，且有，其中为任意锐角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析(2)成立，见解析(3)不成立，见解析 【详解】（1）证明：直线直线，．． ，．． 在和中， ．． （2）成立．证明：， 在和中，． ．． （3）不成立．理由：，． ，． 在和中，． ．． 7．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）（1）如图，已知：在中，，，直线经过点A，直线，直线，垂足分别为点，．直接写出，和之间满足的数量关系；（2）爱动脑筋的小华同学提出问题：当直线绕点A旋转到如图位置时，（1）中的结论是否发生改变？若不变，请给出证明；若改变，请写出新的结论并说明理由； （3）经过小华的提问，琪琪也提出新的想法：如图，将（1）中的条件改为：“在中，，，A ，三点都在直线上，并且有．则（1）中的结论是否仍成立？”若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）；（2）改变；，理由见解析；（3）成立，理由见解析 【详解】（1） 证明：直线，直线，， ，，，， 在和中，，， ，，． （2）不成立；，理由如下： 直线，直线，，，， ，， 在和中，，， ，，． （3）成立；理由如下： ， ，， 在和中，，， ，，． 8.（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）问题情境：如图1，在直角三角形中，，于点，可知：（不需要证明）； (1)特例探究：如图2，，射线在这个角的内部，点、在的边、上，且，于点，于点．证明：； (2)归纳证明：如图3，点、在的边、上，点，在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，．求证：； (3)拓展应用：如图4，在中，，．点在边上，，点，在线段上，．若的面积为3，则与的面积之和为__________． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)1 【详解】（1）证明：如图②，∵，，， ∴，∴，，∴， 在和中，，∴； （2）证明：如图③，∵，，，∴， ∵，，，∴， 在和中，，∴； （3）解：∵，∴，∴，由（2）同理可得：， ∴，∴，故答案为∶1． 9．（25-26·重庆·八年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来： ①如图1，是等腰直角三角形，，AE=BD，则_______； ②如图2，为正三角形，，则________； ③如图3，正方形的顶点B在直线l上，分别过点A、C作于E，于F．若，，则的长为________． 【模型变式】（2）如图5所示，在中，，，于E，AD⊥CE于D，，，求的长． 【答案】①△BDF；②△CFD；③3；（2）2cm 【详解】①∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90゜ ∴∠A=∠B=45゜∴∠BDF+∠BFD=180゜−∠B=135゜ ∵∠EDF=45゜∴∠ADE+∠BDF=180゜−∠EDF=135゜∴∠ADE=∠BFD 在△AED和△BDF中∴△AED≌△BDF(AAS) 答案为：△BDF； ②∵△ABC是等边三角形 ∴∠B=∠C=60゜∴∠BDE+∠BED=180゜−∠B=120゜ ∵∠EDF=60゜∴∠BDE+∠CDF=180゜−∠EDF=120゜∴∠BED=∠CDF 在△BDE和△CFD中∴△BDE≌△CFD(AAS)故答案为：△CFD； ③∵四边形ABCD是正方形∴∠ABC=90゜，AB=BC∴∠ABE+∠CBF=180゜−∠ABC=90゜ ∵AE⊥l，CF⊥l∴∠AEB=∠CFB =90゜∴∠ABE+∠EAB=90゜∴∠EAB=∠CBF 在△ABE和△BCF中∴△ABE≌△BCF(AAS) ∴AE=BF=1，BE=CF=2∴EF=BE+BF=2+1=3 故答案为：3； （2）∵∠ACB=90゜∴∠BCE+∠ACD =90゜∵BE⊥CE，AD⊥CE ∴∠CEB=∠ADC=90゜ ∴∠BCE+∠CBE=90゜ ∴∠CBE=∠ACD 在△BCE和△CAD中∴△BCE≌△CAD(AAS) ∴BE=CD，CE=AD=6cm ∴BE=CD=CE－DE=6－4=2(cm) 1．（24-25八年级上·河南新乡·期中）综合与实践 在学习三角形全等的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“一线三等角模型”进行研究． 直接猜想（1）如图1，在中，，，点在直线上，分别过点作直线的垂线，垂足分别为．直接写出，与之间的数量关系：______． 深入探究（2）如图2，在中，，，，三点都在直线上，且有（为任意锐角或钝角），此时（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 问题解决（3）如图3，，，，连接，且于点，与直线交于点，试判断与的数量关系，并给出证明过程． 【答案】（1）；（2）成立，证明见解析（3），证明见解析 【详解】解：（1），， ，，， 在和中，，， ，，；故答案为：； （2）解：结论成立；理由如下： ，，， 在和中，， ， ，，； （3）．理由如下，如图，过D作于点D，交直线于点F， ∵，，∴，同理， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴． 2．（24-25七年级上·山东烟台·期中）阅读下面的证明过程：如图1，、和都是直角三角形，其中，且直角顶点都在直线l上，求证：． 证明：由题意，，．∴． 在和中，，∴． 像这种“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索．请结合以上阅读，解决下列问题：    (1)如图2，在中，，，过点A作直线，于点D，于点E，探索、、之间的数量关系，并证明你的结论． (2)如图3，和都是等腰直角三角形，，，，且点E在上，连接，求证：． (3)如图4，在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为12米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台A水平距离为18米，高为4米的矮台B，请写出旗杆的高度是 ．（不必书写解题过程） 【答案】(1)，证明见解析(2)见解析(3)17米 【详解】（1）解：，理由如下：∵，∴， ∵，，∴，，∴， ∵，∴，∴，，∴， （2）证明：过D作交的延长线于点F，如图：       ∵，∴，， ∴，而，∴， ∴，，∴，∴，∵，∴； （3）过A作，过B作，如图：同理可证，∴，， 由题意知，，∴，∵，即，∴，∴， ∴（米）． 3.（24-25八年级上·河北张家口·期末）【推理】（1）如图1，已知在中，，，直线m经过点A，于点D，于点E，求证：． 【拓展】（2）如图2，将【推理】中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线m上，且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【应用】（3）如图3，D，E是直线m上的两个动点（D，A，E三点互不重合），且和均为等边三角形，连接，，，，若，的周长为60，直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）结论成立，证明见解析；（3）20． 【详解】（1）证明：∵，，∴． ∵，∴．∵，∴． 在和中，∴， ∴，，∴． （2）解：结论成立． 证明如下：∵，∴，∴． 在和中，∴， ∴，，∴． （3）解：20．提示： 与（2）同理，可得，∴，． ∵和均为等边三角形，∴，， ∴，∴． 在和中，∴，∴，， ∴，∴为等边三角形． ∵的周长为60，∴D．由（2）可知，． 4.（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）（1）【问题提出】如图，在和，已知，，、、三点在一条直线上，，，则的长度为_______． （2）【问题提出】如图，在中，，，过点作，且，求的面积． （3）【问题解决】我市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图所示，在河流的周边规划一个四边形森林公园，按设计要求，在四边形中，，，面积为，且的长为，求河流另一边森林公园的面积． 【答案】（1）； （2）；（3）河流另一边森林公园的面积为． 【详解】解：（）∵，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴，故答案为：； （）如图，过作交延长线于， ∵，，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴； （）如图，过作于，过作交延长线于，∴， ∵面积为，且的长为，∴，∴， ∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∴， ∵，∴，，∴， 在和中，，∴，∴， ∴，∴河流另一边森林公园的面积为． 5.（24-25七年级下·山东泰安·期末）【基础回顾】（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，求证：； 【变式探究】（2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】（3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，，是边上的高，延长交于点．求证：是的中点． 【答案】（1）证明见解析  （2）；证明见解析  （3）证明见解析 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l，∴，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴； （2）解：，，的数量关系是：，证明如下： ∵是的外角，∴，∴， ∵，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，同理可证明：，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴是的中点． 6．（24-25七年级下·辽宁阜新·阶段检测）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型，当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． (1)如图1，在等腰中，，，过点C作直线，于点，于点E，则与之间的数量关系为_____． (2)如图2，在等腰中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，若，求的长． (3)【变式运用】如图3，在中，，，求； (4)【拓展迁移】如图4，在中，，以为边向右侧作一个等腰，连接，请直接写出的面积． 【答案】(1)(2)(3)(4)9，或． 【详解】（1）解：∵，，∴，， ∵，∴ ，∴， 在与中，∵，∴，∴；故答案为：； （2）解：∵，，∴，， ∵，∴ ，∴， 在与中，∵，∴，∴，， ∵，，∴； （3）解：过点B作，∵，， ∴，，，∴， 在与中，∵，∴，∴， ∵，∴； （4）解：①当作直角边，时，如图所示，作高线，过作于F， ∵，，，∴，， 由（1）得，，∴，∴， ∴； ②当作直角边，时，如图所示，作高线，过作于F， 同理可得，，，由（1）得，，∴，∴； ③当作斜边，时，作三角形高，过D作，过A作， 同理可得，，，由（1）得，，∴，， ∵，， ，∴，，∴，， ∴，即， ∴，∴，∴， 综上所述：的面积是9，或． 7．（25-26八年级上·山东烟台·期末）[理解探究]“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形， (1)[问题解决]如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于，于，问：、、三条线段之间有何数量关系？并证明． (2)[问题探究]如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于，于，，，求的长． (3)[拓展延伸]如图3，在等腰直角中，，，且在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点坐标为，点是第一、第三象限的角平分线上的一个点，请直接写出点坐标． 【答案】(1)，证明见解析(2)(3)或 【详解】（1），，， ，， 在和中，，∴， ∵，∴； （2），，， ，， 在和中， ， （3）如图，当点B在第一象限角平分线上时过点A作直线于D，过点B作直线于E， ，，， ∵，，点A坐标为， ，，， ，点； 如图，当点B在第三象限角平分线上时，过点A作直线于D，过点B作直线于E， 同理可求：，，点A坐标为， ，，，，，点 综上所述：或． 1．（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：； (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，现要求的长，我们可以先证明三角形全等，再求出的长为________． (3)拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，平面内存在一点P，使为等腰直角三角形，请写出点P的坐标． 【答案】(1)见解析(2)(3)存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或或或或． 【详解】（1）证明：∵，，∴， ∵，∴，∴， 又∵，∴； （2）证明：∵于D，于E，∴， ∵，∴，∴， 又∵，∴∴，， ∵，∴∴；故答案为：； （3）解：存在一点P，使为等腰直角三角形，理由如下：分三种情况： ①当时，，如图③，分别过点B、点P作y轴的垂线交过点A作y轴的平行线于点E、点F，同（1）得：，∴， ∵，∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为，∴点P的坐标为； 当点P在第三象限时，利用中点坐标公式，可得点P的坐标为； ②当时，，如图④， 分别过点A、点P作x轴的垂线交过点B作x轴的平行线于点E、点F， 同(1)得：，∴， ∵，∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为，∴点P的坐标为； 当点P在第四象限时，利用中点坐标公式，可得点P的坐标为； ③当时，，如图⑤， 分别过点A、点B作x轴的垂线交过点P作x轴的平行线于点E、点F， 同(1)得：，∴，设， ∵，∴，， ∴，解得，∴点P的坐标为； 当点P在第二象限时，利用中点坐标公式，可得点P的坐标为； 综上，存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或或或或． 2．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段练习）（1）观察理解：如图1，中，，，直线过点，点、在直线同侧，，，垂足分别为、，由此可得：，所以，又因为，所以；所以，又因为，所以（  ）；（请填写全等判定的方法） （2）类比探究：如图2，中，，，将斜边绕点逆时针旋转90°至，连接，求的面积． （3）拓展提升：如图3，在中，，，点在边上，，点、在线段上，，若的面积为15，则与的面积之和为____________． （4）拓展应用：如图4，中，，，将绕点顺时针旋转90°，得，连接，则的面积为____________． 【答案】（1）；（2）；（3）（4）． 【详解】解：如图，，，，， 又，，， 在和中，，，故答案为：； （2）如图，过作于E，则， 由旋转得：，，∴，，∴， 在和中，，∴，， ； （3）如图中，的面积为，，的面积是：， ∵，，，， ∴，， 在和中，，∴ 与的面积之和等于与的面积之和，即等于 的面积，即为5，故答案为：5； （4）如图，过点作，交于点，过点作，交的延长线于点，则，∵，，∴，由旋转得，，， ∵，，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，故答案为：． 3．（25-26七年级下·河北·期末）已知：，，过点A作，垂足为D，过点B做，垂足为．(1)如图1，，，则______；(2)如图2，猜想，，的关系，并证明；(3)如图3，在中，，点D、E是边上两点，连接，以为腰作等腰直角，，作于点E，，若，，直接写出的面积． 【答案】(1)4(2)，见解析(3)30 【详解】（1）解：，垂足为D，，垂足为E， ，， 在中，，，，， 在和中，，， ，，， ，，，故答案为：4； （2）解：，，的关系是：，证明如下： ，垂足为D，，垂足为E，，， 在中，，，，， 在和中，，，，， ，； （3）解：过点A作于点H，如图所示： 在中，，，，，， 于点H，于点E，，， 是等腰直角三角形，且，，，， 在和中，，，， ，，， 的面积为：． 4．（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）综合实践 《被数学选中的人》是央视推出的纪录片，节目中说道：“数学区别于其他学科，最主要的特征是抽象与推理．”几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象．形成一些基本的几何模型，用类比等方法，进行探究，推理，以解决新的问题． (1)如图1，直线经过点，，，过点，分别向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【应用模型】(2)如图2，在中，，为上一点，是上一点，且,,．若，求的长； 【拓展延伸】(3)如图3，在四边形中，，，，若的面积为20，请直接写出四边形的面积为 ． 【答案】(1)证明：，，． ，，． 在和中，； （2）解：如图1，过点作，垂足为．同（1）可得，． ，，，； （3）解：如图2，过点作，交的延长线于点，过点作于点． 同（1）得，． ，是等腰直角三角形，． 的面积为20，．，， ，∴， ， ． 5．（25-26七年级上·山东泰安·期末）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】如图1，等腰直角三角形中，，．过A作于点D，过B作于点E．试说明：； 【模型应用】如图2，已知直线与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰，求点C的坐标及直线的表达式； 【深入探究】如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线绕P点沿顺时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R．求的面积． 【答案】模型呈现：说明见解析；模型应用：；；深入探究： 【详解】模型呈现：证明：在中，，，， 于点，于点，，，， 在和中，，； 模型应用：解：令，则，令，则，则点A，B的坐标分别为：、， 过点C作轴于点H，如图所示： ，，，， 又，，，，， ，则点，设直线的解析式为， 将点A、C的坐标代入一次函数表达式得：，解得， 故直线的表达式为； 深入探究：解：过点Q作轴，过点Q作交于点W，过点P作于点T，过点W作于点K，如图：把代入得，解得， 把代入得，，，，， 直线绕P点沿顺时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R，是等腰直角三角形， ，，，， ，，，， ，，设直线的解析式为， 把代入得，解得，直线的解析式为， 在中，令得，，， ，的面积为． 6.（25-26七年级上·山东东营·期中）【特例感知】（1）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．如图1，点在直线上，，，过点作于点，过点作于点，请猜想线段，，之间的数量关系，并写出证明过程； 【问题探究】（2）如图2，在中，点为上一点，，，， ，求． 【拓展应用】（3）如图3，在中，，，为边上的高，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 【答案】（1），见解析；（2）7；（3）10或4 【详解】解：（1），证明如下： ∵，，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴； （2）∵，又∵，∴， 又∵，∴，∴，，∴； （3）∵，是高，∴，，∴； 当是以为直角边的等腰直角三角形时，分两种情况： ①当时，则，过点作，交的延长线于点，如图，则， 同（1）法可得：，∴， ∴，∴； ②当时，，作，如图， 同（1）法可得：，∴， ∴；综上：的面积为或． 7．（24-25八年级上·海南海口·期末）探究题：    (1)问题发现：在中，，，直线经过点，且于，于．①当直线绕点旋转到图1的位置时，请直接写出，，之间的等量关系．（不用证明） ②当直线绕点旋转到图2的位置时，，，之间的等量关系是否发生变化？若发生变化，请写出结论并证明，若无变化，请说明理由． (2)拓展探究：如图3：，，，求的面积； (3)解决问题：如图4：在等边中，，分别为、边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当点从点向点运动（不与点重合）时，的度数变化吗？如不变请求出它的度数，如变化，请说明它是怎样变化的？ 【答案】(1)①；②发生变化，，证明见详解 (2)(3)的度数不变，为 【详解】（1）解：①，理由如下，∵，于，于． ∴，，，∴， 在与中，，∴；      ∴，， ∵，∴； ②发生变化，，理由如下，∵，∴， 又∵于，于，∴，，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴，∴； （2）解：如图，过点作交的延长线于点，∴，       ∵，∴，，， ∴，在与中，，∴， ∴，∴； （3）解：的度数不变，为，理由如下，如图，在上取一点，使得， ∵，都是等边三角形，∴，，， ∵，，∴， ∵，∴， 在和中，，∴；∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴． 19 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形模型之一线三等角（K字）模型 一线三等角（俗称K字模型）：同一条直线上出现三个相等的角，利用平角180°与三角形内角和，自动推导一组锐角相等，配合一组已知边相等，直接构造全等三角形。核心本质：无角造角、无全等造全等，是初中几何最重要的构造辅助模型。初中几何构造全等第一大模型，中考高频必考母题。广泛出现于填空压轴、几何证明、坐标系几何、矩形正方形动点大题。是学生从“被动全等”走向“主动构造全等”的核心转折点，几何含金量极高。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 2 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 9 易错点与方法总结 16 模型运用 17 A组（基础题） 17 B组（能力提升题） 25 C组（综合压轴题） 35 “一线三等角”的概念最早可以追溯到古希腊数学家欧几里得的《几何原本》中。在这本经典的数学著作中，欧几里得系统地阐述了平面几何的基本原理和定理，其中就包括了关于角和线段关系的诸多论述。虽然“一线三等角”这一术语可能并非直接出自欧几里得之口，但其所涉及的原理和概念无疑在他的著作中得到了充分的体现和阐述。 在欧几里得之后，许多数学家都对“一线三等角”进行了深入的研究和探索。他们通过不同的方法和途径来证明这一结论的正确性，并寻找其在实际问题中的应用。这些数学家们的努力不仅推动了几何学的发展，也为后来的科学研究提供了宝贵的经验和启示。 随着时间的推移，“一线三等角”逐渐成为了中学数学教育中的重要内容之一。通过学习和掌握这一概念，学生们可以更加深入地理解角度和线段之间的关系，提高解决几何问题的能力。同时，这一概念也激发了学生们对数学的兴趣和热爱，为他们的未来学习和发展奠定了坚实的基础。 1）平角定义：平角=180°；直角互余性质：同角的余角相等；三角形内角和180°； 2）全等判定：AAS、SAS（K字99%用AAS）； 3）线段和差代换、几何标准书写格式。 常结合：直角三角形、矩形、正方形、等腰直角三角形、平面直角坐标系、动点折叠、线段和差证明。 命题特征：不画全图、不标等角，需要学生自行发现“共线三角相等”结构，自主倒角证全等。 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 【模型提炼与证明】 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：ΔABE≅ΔECD，AB+CD=BC. 证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·辽宁铁岭·期中）小强同学用块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 ． 【典例2】（25-26八年级上·重庆校考期中）如图，在中，，点D在线段上运动（点D不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E． (1)当时，______，______。(2)若，试说明． 【典例3】（25-26八年级上·四川成都·期中）已知，D，A，E三点在直线m上，在直线m上方有，且满足． 【积累经验】（1）如图1，当时，猜想线段、、之间的数量关系并说明理由． 【类比迁移】（2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，与的面积之和为2，请直接写出的面积． 【典例4】（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形． 根据对材料的理解解决以下问题∶ (1)如图1，，．猜想，，之间的关系：__________ (2)如图2，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，在中，点为上一点，，，，，请直接写出的长． 【典例5】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数均为．当模型中有一组对应边相等时，模型中必定存在全等三角形． (1)如图1，在等腰直角三角形中，，，过点作直线，于点于点．判断与之间满足的数量关系，并说明理由； (2)如图2，在Rt中，．分别以和为直角边在外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接交延长线于点．判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在中，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接．直接写出的面积． 【典例6】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）【探索发现】如图1，在等腰直角三角形中，，，直线l经过点C，过点A作直线l，垂足为点D．过B作，垂足为点E，易证，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】已知：直线的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点． （1）如图2．当时，在第一象限构造等腰直角，，则点E的坐标为______； （2）如图3，当点A在x轴负半轴上运动时，在y轴左侧过点B作，并且，连接，试问的面积是否为定值？若是请求出这个定值，若不是请说明理由； 【拓展提高】（3）如图4，在平面直角坐标系内，直线与y轴交于点N，与x轴交于点Q，将直线绕N点沿顺时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点M．求直线的函数关系式． 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 【模型提炼与证明】 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：，AB-CD=BC。 证明：∵，∴∠ECD=∠ABE， ∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·绵阳·期中）如图，在中，，，，，垂足分别为点，，交于点．(1)求证：≌；(2)若，，则的长________． 【典例2】（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到的位置时，①直接写出图1中全等的一角形__________；②__________（填＞、＜或＝） (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：；(3)当直线绕点旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明． 【典例3】（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）问题情境：如图1，在直角三角形中，，于点，可知：（不需要证明）； (1)特例探究：如图2，，射线在这个角的内部，点、在的边、上，且，于点，于点．证明：； (2)归纳证明：如图3，点、在的边、上，点，在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，．求证：； (3)拓展应用：如图4，在中，，．点在边上，，点，在线段上，．若的面积为3，则与的面积之和为__________． 【典例4】（25-26七年级下·陕西西安·期中）综合与实践 央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到：“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”，几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． 【模型感知】一线三等角模型是初中数学三角形全等知识点考察的经典模型，在同一条直线上，依次分布三个相等的角，两角外侧各有一个三角形，由此构成的几何图形叫做一线三等角模型． (1)如图1，，射线在这个角的内部，点在的边上，且于点，于．则___________；线段、、之间的数量关系为___________． 【模型应用】(2)如图2．点在的边、上，点在内部的射线上．已知，．求证：． 【类比探究】(3)如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，则___________． 【典例5】（25-26八年级下·广东湛江·开学考试）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线DE，于D，于E，求证：； (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长； (3)拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，，，在平面直角坐标系中是否存在一点B，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出B点坐标：若不存在，请说明理由． 模型常见易错点 1）不会倒角，只会看图不会推角 很多学生能看出K字，但写不出∠A=∠CBE，缺少“余角相等”关键步骤，大题直接扣分。 2）全等顶点对应混乱 K字两个三角形是旋转对应，顶点顺序必须一一对应，顺序写错直接全等错误。 3）斜三等角乱用互余 非直角一线三等角不能用余角，必须用平角180°倒角，学生思维极易固化。 4）只会证全等，不会线段代换 考试重点是用全等求边长、证和差，只证全等不转化线段，拿不到满分。 5）混淆全等K字与相似K字 八年级全等阶段只谈全等、不谈比例，禁止套用相似思路。 解题方法总结 1）K字模型99%使用 AAS 全等判定； 2）核心倒角依据：同角的余角相等（大题得分关键句） 3）结构本质：直线上三直角 ⇒ 自动产生一组等角 4）两大用途：① 角度证明 ② 线段求值与和差 ③ 坐标系求坐标 5）正方形、等腰直角三角形、矩形最爱嵌套K字构造；内侧、外侧K字，倒角逻辑完全一致。 “一线三等角”的应用四种情况： ①图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； ②图形中存在“一线二等角”，再构造“一个等角”利用模型解题； ③图形中只有直线上一个角，再构造“两个等角”利用模型解题； ④.图形中只有斜45度角，斜直角或斜Rt∆，可构造“一线三等（直）角” 模型解题。 体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是全国各地的中考压轴题中，经常会有一个特殊角，通常需要常构造“一线三等角”来解题. 构造一线三等角的步骤：找角、定线、构全等。 1．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点B恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离的长为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26·四川绵阳·八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（　　） A．3 B．2 C． D． 3．（24-25八年级下·湖北·期末）如图，正方形ABCD的面积为169，G是BC上的一点，于点E，，且交AG于点F，若，则EF的长是（   ） A． B．13 C．8 D．7 4．（25-26八年级上·山东·期中）如图，在中，，点在边上，，分别是射线上的两点，且，，，．则的值是 ；若，的面积为，则的面积是 ． 5．（25-26八年级上·浙江·期末）综合与实践 问题情境：数学课上，同学们以等腰三角形为背景展开探究．在中，，直线过点，点是直线上两点． 独立思考：（1）如图1，当直线在的外部，满足时，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； 拓展探究：（2）如图2，当直线经过的内部，交于点，且，满足时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请写出线段，与之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当直线经过的内部，交于点，且，满足时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出线段与之间的数量关系． 6．（24-25八年级上·重庆·期中）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，利用全等三角形解决问题． (1)已知：如图，在中，，直线经过点直线直线，垂足分别为．求证：．          (2)如图，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． (3)如图，将（1）中的条件改为：三点都在直线上，且有，其中为任意锐角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 7．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）（1）如图，已知：在中，，，直线经过点A，直线，直线，垂足分别为点，．直接写出，和之间满足的数量关系；（2）爱动脑筋的小华同学提出问题：当直线绕点A旋转到如图位置时，（1）中的结论是否发生改变？若不变，请给出证明；若改变，请写出新的结论并说明理由； （3）经过小华的提问，琪琪也提出新的想法：如图，将（1）中的条件改为：“在中，，，A ，三点都在直线上，并且有．则（1）中的结论是否仍成立？”若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 8.（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）问题情境：如图1，在直角三角形中，，于点，可知：（不需要证明）； (1)特例探究：如图2，，射线在这个角的内部，点、在的边、上，且，于点，于点．证明：； (2)归纳证明：如图3，点、在的边、上，点，在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，．求证：； (3)拓展应用：如图4，在中，，．点在边上，，点，在线段上，．若的面积为3，则与的面积之和为__________． 9．（25-26·重庆·八年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来： ①如图1，是等腰直角三角形，，AE=BD，则_______； ②如图2，为正三角形，，则________； ③如图3，正方形的顶点B在直线l上，分别过点A、C作于E，于F．若，，则的长为________． 【模型变式】（2）如图5所示，在中，，，于E，AD⊥CE于D，，，求的长． 1．（24-25八年级上·河南新乡·期中）综合与实践 在学习三角形全等的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“一线三等角模型”进行研究． 直接猜想（1）如图1，在中，，，点在直线上，分别过点作直线的垂线，垂足分别为．直接写出，与之间的数量关系：______． 深入探究（2）如图2，在中，，，，三点都在直线上，且有（为任意锐角或钝角），此时（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 问题解决（3）如图3，，，，连接，且于点，与直线交于点，试判断与的数量关系，并给出证明过程． 2．（24-25七年级上·山东烟台·期中）阅读下面的证明过程：如图1，、和都是直角三角形，其中，且直角顶点都在直线l上，求证：． 证明：由题意，，．∴． 在和中，，∴． 像这种“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索．请结合以上阅读，解决下列问题：    (1)如图2，在中，，，过点A作直线，于点D，于点E，探索、、之间的数量关系，并证明你的结论． (2)如图3，和都是等腰直角三角形，，，，且点E在上，连接，求证：． (3)如图4，在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为12米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台A水平距离为18米，高为4米的矮台B，请写出旗杆的高度是 ．（不必书写解题过程） 3.（24-25八年级上·河北张家口·期末）【推理】（1）如图1，已知在中，，，直线m经过点A，于点D，于点E，求证：． 【拓展】（2）如图2，将【推理】中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线m上，且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【应用】（3）如图3，D，E是直线m上的两个动点（D，A，E三点互不重合），且和均为等边三角形，连接，，，，若，的周长为60，直接写出的值． 4.（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）（1）【问题提出】如图，在和，已知，，、、三点在一条直线上，，，则的长度为_______． （2）【问题提出】如图，在中，，，过点作，且，求的面积． （3）【问题解决】我市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图所示，在河流的周边规划一个四边形森林公园，按设计要求，在四边形中，，，面积为，且的长为，求河流另一边森林公园的面积． 5.（24-25七年级下·山东泰安·期末）【基础回顾】（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，求证：； 【变式探究】（2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】（3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，，是边上的高，延长交于点．求证：是的中点． 6．（24-25七年级下·辽宁阜新·阶段检测）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型，当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． (1)如图1，在等腰中，，，过点C作直线，于点，于点E，则与之间的数量关系为_____． (2)如图2，在等腰中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，若，求的长． (3)【变式运用】如图3，在中，，，求； (4)【拓展迁移】如图4，在中，，以为边向右侧作一个等腰，连接，请直接写出的面积． 7．（25-26八年级上·山东烟台·期末）[理解探究]“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形， (1)[问题解决]如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于，于，问：、、三条线段之间有何数量关系？并证明． (2)[问题探究]如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于，于，，，求的长． (3)[拓展延伸]如图3，在等腰直角中，，，且在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点坐标为，点是第一、第三象限的角平分线上的一个点，请直接写出点坐标． 1．（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：； (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，现要求的长，我们可以先证明三角形全等，再求出的长为________． (3)拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，平面内存在一点P，使为等腰直角三角形，请写出点P的坐标． 2．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段练习）（1）观察理解：如图1，中，，，直线过点，点、在直线同侧，，，垂足分别为、，由此可得：，所以，又因为，所以；所以，又因为，所以（  ）；（请填写全等判定的方法） （2）类比探究：如图2，中，，，将斜边绕点逆时针旋转90°至，连接，求的面积． （3）拓展提升：如图3，在中，，，点在边上，，点、在线段上，，若的面积为15，则与的面积之和为____________． （4）拓展应用：如图4，中，，，将绕点顺时针旋转90°，得，连接，则的面积为____________． 3．（25-26七年级下·河北·期末）已知：，，过点A作，垂足为D，过点B做，垂足为．(1)如图1，，，则______；(2)如图2，猜想，，的关系，并证明；(3)如图3，在中，，点D、E是边上两点，连接，以为腰作等腰直角，，作于点E，，若，，直接写出的面积． 4．（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）综合实践 《被数学选中的人》是央视推出的纪录片，节目中说道：“数学区别于其他学科，最主要的特征是抽象与推理．”几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象．形成一些基本的几何模型，用类比等方法，进行探究，推理，以解决新的问题． (1)如图1，直线经过点，，，过点，分别向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【应用模型】(2)如图2，在中，，为上一点，是上一点，且,,．若，求的长； 【拓展延伸】(3)如图3，在四边形中，，，，若的面积为20，请直接写出四边形的面积为 ． 5．（25-26七年级上·山东泰安·期末）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】如图1，等腰直角三角形中，，．过A作于点D，过B作于点E．试说明：； 【模型应用】如图2，已知直线与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰，求点C的坐标及直线的表达式； 【深入探究】如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线绕P点沿顺时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R．求的面积． 6.（25-26七年级上·山东东营·期中）【特例感知】（1）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．如图1，点在直线上，，，过点作于点，过点作于点，请猜想线段，，之间的数量关系，并写出证明过程； 【问题探究】（2）如图2，在中，点为上一点，，，， ，求． 【拓展应用】（3）如图3，在中，，，为边上的高，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 7．（24-25八年级上·海南海口·期末）探究题：    (1)问题发现：在中，，，直线经过点，且于，于．①当直线绕点旋转到图1的位置时，请直接写出，，之间的等量关系．（不用证明） ②当直线绕点旋转到图2的位置时，，，之间的等量关系是否发生变化？若发生变化，请写出结论并证明，若无变化，请说明理由． (2)拓展探究：如图3：，，，求的面积； (3)解决问题：如图4：在等边中，，分别为、边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当点从点向点运动（不与点重合）时，的度数变化吗？如不变请求出它的度数，如变化，请说明它是怎样变化的？ 19 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $