专题01 勾股定理中的的最短路径模型（几何模型讲义）数学新教材北师大版八年级上册

该初中数学讲义以“勾股定理最短路径模型”为核心，通过“原理-模型-应用”框架系统构建知识体系，用模型提炼与证明呈现圆柱、长方体、阶梯等四类立体图形的转化方法，结合思维导图梳理“立体展开-平面转化-勾股计算”的逻辑链条，突出空间观念与转化思想的重难点联系。 讲义亮点在于分层练习设计与解题模板创新，如圆柱缠绕彩带问题通过“展开-定边-勾股”三步模板解题，长方体爬行问题分类讨论三种展开情况，培养几何直观与推理意识。A组基础题巩固模型应用，C组综合题联动将军饮马模型，助力不同层次学生提升，教师可据此实施精准分层教学。

专题01勾股定理中的最短路径模型 人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。勾股定理最短路径模型的核心原理：两点之间，线段最短。立体图形（圆柱、长方体、阶梯）表面的路径为折线或曲线，无法直接求解，需通过展开立体图形为平面图形，将立体最短路径问题，转化为平面两点间线段长度问题，最终利用勾股定理计算线段长度。本模型综合性极强，常联动：立体图形展开图、轴对称最值、勾股定理计算、实数化简、分类讨论思想。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.圆柱中的最短路径模型 2 模型2.长方体中的最短路径模型 10 模型3.阶梯中的最短路径模型 22 模型4.将军饮马与空间最短路径模型 27 易错点与方法总结 17 模型运用 18 A组（基础题） 18 B组（能力提升题） 18 C组（综合压轴题） 24 勾股定理最短路径模型拥有多重理论起源。古希腊欧几里得提出 “两点之间线段最短” 这一核心公理（提出 “展平求直线” 思路）。直角边长关系最早记录于我国《周髀算经》商高定理（为模型提供计算工具）。而考试常见的立体图形中爬行最短路径并非古代原题，是近代初等几何衍生模型，通过将立体表面展开为平面构造直角三角形，依靠勾股定理计算斜边，以此得到表面最短路线。 1）基本公理：两点之间，线段最短； 2）核心公式：勾股定理 （直角三角形两直角边平方和等于斜边平方）； 3）立体基础：圆柱侧面展开为长方形、长方体表面可展开为不同长方形组合； 4）基础能力：实数运算、平方根化简、分类讨论。 模型1. 在圆柱表面运动中的最短路径模型 【模型提炼与证明】 条件：如图，圆柱底面周长是c厘米，高是h厘米，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点B。 结论：彩带最短需要厘米． 证明：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接， 根据两点之间线段最短得这条丝线的最短长度是的长度， 由勾股定理得，，则这条丝线的最短长度是厘米， 注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； 2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·重庆·阶段检测）如图，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈彩带到顶部B处，则这条彩带的最小长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，将圆柱的侧面展开，得到矩形， ∵圆柱的底面周长是，高是，∴，， 在中，，∴这条彩带的最小长度是，故选：C． 【典例2】（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）如图，圆柱底面周长为，圆柱高，在圆柱侧面有一只蚂蚁，沿圆柱侧面从点A爬到点C，再从点C爬回到点A，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最小长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：沿剪开，展开圆柱的侧面，如图，这只蚂蚁爬行的最小长度为， 由题意，知，∵圆柱底面周长为，圆柱高， ∴，，，由勾股定理，得， ，∴这只蚂蚁爬行的最小长度为，故选：C． 【典例3】（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）如图，有一圆柱，其高为9，它的底面周长为10，蚂蚁从圆柱外部表面点A爬到圆柱内部点B处，其中B离上沿为3，则蚂蚁经过的最短路程为（    ） A．13 B． C． D．16 【答案】B 【详解】解：如图所示，将圆柱的侧面沿过A点的一条竖线展开， 连接，则线段的长即为蚂蚁经过的最短路程，由题意得，，， 在中，由勾股定理得， ∴蚂蚁经过的最短路程为，故选：B． 【典例4】（25-26八年级下·广西北海·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为（   ） A．18米 B．20米 C．22米 D．24米 【答案】B 【详解】解：如图是其侧面展开图： （米），（米），（米）， 在中，，∴， 解得（负值舍去），故他滑行的最短距离约为（米）．故选：B． 【典例5】（25-26八年级上·湖南衡阳·阶段检测）如图所示，圆柱底面半径为，高为，点分别是圆柱两底面圆周上的点，且在同一高线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕3圈到点，则这根棉线的长度最短为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：圆柱体的展开图如图所示，最短路线是：， 即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，从点沿着3个长方形的对角线运动到的路线最短，∵底面半径为，∴底面周长为， 又∵圆柱高为，∴小长方形的一条边长是：，即， ，∴最短为．故选：A． 模型2.在长方体表面运动中的最短路径模型 【模型提炼与证明】 条件：如图，一只蚂蚁从长是a，宽是b，高是h的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，（其中：h＞a＞b）。 结论：蚂蚁爬行的最短路程是 证明：如图，当长方体的侧面按图甲展开时，；，则； 如图，当长方体的侧面按图乙展开时，；，则； 如图，当长方体的侧面按图丙展开时，；，则； ∵h＞a＞b，∴ah＞bh＞ab，故＞＞ ∴蚂蚁所行的最短路线长为， 注意：长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三类情况进行讨论； 秒杀结论：长方体最短路径，固定让最长棱单独做一条直角边，剩余两棱之和做另一条直角边，所得斜边最短。 【模型运用】 【典例1】20．（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图，一个棱长为60厘米的正方体快递包裹，在顶点A处有一只蚂蚁．蚂蚁沿着正方体的表面爬行，从顶点A爬到顶点B的最短路程是（    ）    A．厘米 B．120厘米 C．厘米 D．厘米 【答案】D 【详解】解：如图所示，将正方体展开，则，， ∴由勾股定理得，∴需要爬行的最短路程是厘米，故选：D．    【典例2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图是一个棱长为的正方体木块，一只蚂蚁在木块的顶点A处；它沿木块的表面走到棱的中点P处吃食物，所走的最短路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点P是的中点，∴， 如图，∴，∴； 如图，∴；如图，∴， ∵，∴所走的最短路程是；故选C． 【典例3】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，三棱柱每个侧面都是长方形，其高为，底面为直角三角形，其直角边长分别为，，围绕三棱柱的侧面，从顶点A到顶点镶有一圈金属丝，则这圈金属丝的长度至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图为三棱柱的侧面展开图， ∵底面为直角三角形，其直角边长分别为，，∴斜边长为， ∴，，，∴，故选：B． 【典例4】（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）如图，教室的墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上．若PA＝AB＝50，点P到AD的距离是30，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，则蚂蚁的最短行程为_____． 【答案】40． 【详解】解：如图，过P作PG⊥BF于G，连接PB，∵AG＝30，AP＝AB＝50，∴PG＝40，∴BG＝80， ∴PB＝＝＝40．故这只蚂蚁的最短行程应该是40．故答案为：40． 模型3.在台阶或阶梯表面运动中的最短路径模型 【模型提炼与证明】 条件：如图，一个三级台阶，它的每一级的长是a，宽是b，高是h，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物。 结论：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程为 证明：如图所示， 三级台阶平面展开图为长方形，宽为BC=a，长为AC=b+h， ∴蚂蚁从点A沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线的长， 则由勾股定理得； 则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是． 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·四川内江·期末）如图所示的是两层台阶，每一层台阶都相同，数据如图（单位：），一只蚂蚁沿台阶表面从点A出发爬到点 B，其爬行的最短线路的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将台阶展开成平面图形，如图所示， 在中，，，， 即一只蚂蚁沿台阶从点出发爬到点，其爬行的最短线路的长度是．故选：C． 【典例2】（25-26八年级上·四川资阳·期末）如图，在一个长为，宽为的长方形草地上，放着一根长方体木块，它较长的棱和草地的宽平行且棱长大于，木块从正面看是边长为的正方形，一只蚂蚁从点出发到达点处需要走的最短路程为（    ）    A．13 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示，将木块展开，由题意得，展开后的长方形的长为，宽为， ∴一只蚂蚁从点出发到达点处需要走的最短路程为，故选A．    【典例3】（25-26八年级上·成都·期中）如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点到点的所有路径中，最短路径的长是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将第一层小正方体的顶面和正面，以及第二层小正方体的顶面和正面展开，如下图，连接， 则最短路径．故选：A． 【典例4】（25-26八年级上·福建宁德·期中）在一个长为、宽为、高为的长方体上，居中截去一个长为、宽为、深为的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点处，沿着几何体的表面到几何体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，将图中的几何体上表面展开，连接，则蚂蚁需要爬行的最短路径为的长， 根据题意得：，， 由勾股定理得：，，蚂蚁需要爬行的最短路径的长为，故选． 模型4.将军饮马与空间最短路径模型 【模型提炼与证明】 条件：如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为h厘米，底面周长为c厘米，在容器内壁离容器底部a厘米的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿a厘米的点A处，      结论：蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程为：厘米。 证明：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交B的延长线于D， 则四边形是矩形，∴，，连接，则即为最短距离， ∵由题意得，（），=a（），（）， 在中，（）． 注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解。 【模型运用】 【典例1】（25-26·重庆·八年级校考期中）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（ ）m．（取3） A．30 B．28 C．25 D．22 【答案】C 【详解】其侧面展开图如图：作点C关于AB的对称点F，连接DF， ∵中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5cm的半圆， ∴BC=πR=2.5π=7.5cm，AB=CD=20cm，∴CF=2BC=15cm， 在Rt△CDF中，DF=cm，故他滑行的最短距离约为cm．故选C． 【典例2】（24-25八年级下·陕西·阶段检测）如图，长方体鱼缸（无盖）的长，宽，高分别为，一只壁虎从外表面点A出发，沿长方体表面爬到内侧点E处，点E在棱上且距离上沿（即），壁虎爬行最短路程是________．（鱼缸厚度忽略不计） 【答案】130 【详解】解：如图，作点E关于点的对称点，连接交于点P，连接，则，的最小值为的长，∴， ∵，∴ ∵，∴，故答案为：130． 【典例3】（25-26八年级上·山东东营·期中）课本再现 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为．在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？     方法探究（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是______． 方法应用（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．求彩条的最短长度． （3）如图4，圆柱形玻璃杯底面周长为，高为，杯底厚．在玻璃杯外壁距杯口的点A处有一只蚂蚁，蚂蚁相对面的内壁底部B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短路径长．（玻璃杯的壁厚忽略不计） 【答案】（1）15；（2）（3） 【详解】解：（1）根据题意得出：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长， 由题意得：.在中，由勾股定理得：， 所以，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是故答案为：15． （2）如图所示，∵从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B， ∴展开后由勾股定理得：， 所以彩条的最短长度是． （3）展开玻璃杯的侧面，如图，作点A关于的对称点，连接，作于点C，则 ，，，． 在中，，所以蚂蚁爬行的最短路径长为． 模型常见易错点 1）圆柱模型误用完整周长（常考半圈或几圈）； 2）长方体只算一种展开情况，漏分类； 3）不会立体转平面，直接在立体图中量折线； 4）勾股定理斜边直角边混淆，计算开方错误； 5）正方体展开错误判断路径； 6）阶梯模型不会平移拼接边长。 解题方法总结 1）圆柱最短路径解题模板 步骤1：剪开圆柱侧面，展开为长方形；步骤2：确定两条直角边：圆柱高、底面半（全）周长； 步骤3：代入勾股定理 ； 步骤4：化简根式，得出最短路径。 2）长方体最短路径解题模板 步骤1：设长宽高，列出三种展开组合的直角边；步骤2：分别计算三种斜边长度； 步骤3：对比大小，选取最小值； 步骤4：规范作答最短路径。 3）阶梯折面最短路径解题模板 步骤1：平移所有横、竖边，求出总水平长度、总竖直长度；步骤2：构造直角三角形； 步骤3：勾股定理计算斜边，即为最短路径。 1．（25-26八年级上·山西晋中·期末）如图所示，圆柱高为4米，在底面周长为米的圆柱上，有一条彩带从柱底A点沿圆柱表面缠绕2圈到达圆柱顶正上方的C点，则彩带长至少为（　　） A．4米 B．4.3米 C．5米 D．6米 【答案】C 【详解】解：圆柱高米，彩带缠绕2圈，因此展开后竖直方向的总高度为4米； 底面周长为米，缠绕2圈后，水平方向的总长度为米． 将圆柱侧面展开后，彩带的路径可看作直角三角形的斜边，其中：水平直角边：3米，竖直直角边：4米， 根据勾股定理，斜边（彩带长度）为：米．故选：C． 2．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图，圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面有一只蚂蚁，沿圆柱侧面从点A爬到点C，再从点C爬回点A，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最小长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将圆柱侧面展开如图所示，   此时蚂蚁爬行的最小长度为， ∵圆柱底面的周长为，圆柱高为，∴，， ∴在中，由勾股定理得：，则， 即：这只蚂蚁爬行的最小长度为．故选：D． 3．（25-26八年级下·广东·期末）如图，在桌面上放置一个棱长为的正方体，点B为一条棱上的点，且，蚂蚁在正方体表面爬行，从顶点A爬行到点B的最短路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意如图， ∵正方体棱长为，∴，在中中， ∴它运动的最短路程．故选：B． 4．（25-26八年级下·山西·期末）如图是放在水平地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，则它需要爬行的最短路程为（   ） A．10 B． C． D．9 【答案】A 【详解】解：如图1， ∵，∴，∴； ∵，∴，∴， ∴，∵，∴它需要爬行的最短路程为10． 5．（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是（    ）        A．20 B．15 C．25 D．27 【答案】C 【详解】解：如图所示，      ∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为， ∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长， 由勾股定理得：，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是25． 故选：C． 6．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在一个长为，宽为的长方形草地上，放着一根长方体木块，它较长的边和草地的宽平行且长大于，木块从正面看是边长为的正方形，一只蚂蚁从点A出发到达点C处需要走的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，将木块展开，如图， 长相当于是AB+2个正方形的宽，∴长为9+2×1＝11(m)；宽为6 m． 于是最短路径为： (m)．故选B． 7．（25-26八年级下·安徽淮南·期中）如图，已知圆柱的高为，底面圆周长为，若一只蚂蚁准备从圆柱的底面处，沿着圆柱的侧面爬到处，则它爬行的最短路程是___________cm． 【答案】5 【详解】解：根据题意，设展开图为矩形，，， 如图所示：，故答案为：5． 8.（25-26八年级上·四川成都·期中）深受人们喜爱的蜘蛛侠代表了善良、正义且具备超能力的艺术形象．如图是某部动作电影中的一座长方体建筑，其底面为正方形，现已知，，蜘蛛侠欲从点开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈，最后到达点处，则蜘蛛侠行走的最短距离为______． 【答案】130 【详解】解：如图，将长方体展开： 是正方形，，，， ，从点A开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈到达点，行走的最短距离相当于直三角形的斜边的边长，， 行走的最短距离为． 故答案为：130． 9．（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，有一个棱长为的正方体盒子，蚂蚁在正方体下方一边的中点P处，发现上方顶点处有一滴蜂蜜，蚂蚁需要沿着正方体盒子的表面从点P爬行到顶点处吃到蜂蜜，它需要爬行的最短距离为_____． 【答案】 【详解】解：可以把和所在的两个平面展开到一个平面内，如图1， 根据勾股定理得：；如图2， 根据勾股定理得：．． 故沿着正方体的外表面爬到其一顶点处的最短路径是．故答案为：． 10．（25-26八年级上·陕西汉中·期末）如图，是一个棱长为1的正方体纸盒，若一只蚂蚁要沿着正方体纸盒的表面，从顶点A爬到顶点B去觅食，则需要爬行的最短路程是______________． 【答案】 【详解】解：如图所示，将正方体沿着它的一条棱展开，则，∴， 由两点之间，线段最短可知，从顶点A爬到顶点B去觅食，则需要爬行的最短路程是，故答案为：。 11．（25-26八年级上·全国·寒假作业）如图所示，已知圆柱的一个底面周长为36，高，点在圆柱上底面的圆周上，点距点在上底面圆周上的曲线长度为上底面圆周长的，为下底面圆的直径，小虫在圆柱外侧面爬行，从点处爬到点处，然后再从点处爬到点处，则小虫爬行的最短路程为_____． 【答案】/ 【详解】解：如图，由题意得，， ∵点距点在上底面圆周上的曲线长度为上底面圆周长的，∴，， ∴小虫爬行的最短路程为﹒ 故答案为： 12．（25-26八年级上·江苏·专题练习）如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是______． 【答案】 【详解】解：如图，将圆柱体的侧面展开并连接，则为蚂蚁爬行的最短路径， 由题意得，，， ∵，∴，∴最短的路线长是，故答案为：． 13．（2025八年级上·成都·专题练习）如图，在一个长为2米，宽为1米的长方形草地上，堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且长于草地宽，木块的上下底面是边长为米的正三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要爬行的最短路程是________米． 【答案】 【详解】解：如图，将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长， ∴长方形的长为米，∵长方形的宽为1米， ∴一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是对角线， ∴米，故答案为：． 14．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期中）如图，一大楼的外墙面与地面垂直，点P在墙面上，若米，点P到的距离是8米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（    ）米． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，过P作于G，连接， （米），（米），（米）， （米），（米） 这只蚂蚁的最短行程应该是米，故选：D． 15．（25-26八年级下·广东·期末）如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池的示意图，该型池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点在上，，一名滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离为（    ）m（边缘部分的厚度可以忽略不计，取3） A．17 B． C． D． 【答案】B 【详解】将半圆面展开可得： 米，米， 在中，米，即滑行的最短距离为米，故选∶B． 16．（24-25八年级上·江西抚州·期中）如图，一个底面为正六边形的六棱柱，在六棱柱的侧面上，从顶点A到顶点B镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为,底面边长为,则这圈金属丝的长度至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，六棱柱侧面展开后，这圈金属丝的长度最短为的长， 由勾股定理得，，故选：B． 17．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间长而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面半径为，已知，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走的路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，将中间半圆柱的凸起展平，图形长度增加半圆周长，连接， 则，，， ，故选：A． 18．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）如图，这是一个长方体透明玻璃鱼缸，其中，高，水深，在鱼缸内水面上紧贴内壁处有一鱼饵，在水面线上，且．一只小虫想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内壁处吃鱼饵，小虫爬行的最短路线长为__________． 【答案】 【详解】解：作点D关于的对称点，连接，交于点Q，连接， ∴，∴小虫的爬行路径为最短． 由对称可得，∴， ∴在中，， ∴小虫爬行的最短路线长为．故答案为： 19．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，圆柱的高为，底面圆周长为，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到与点相对、离下底面的点处（圆柱外表面）的食物． (1)蚂蚁不能从下底面通过时，求蚂蚁从点爬到点时的最短路径； (2)另一只蚂蚁在点处，求蚂蚁从点爬到点时的最短路径． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：（1）将圆柱的侧面展开，如图所示： 连接AC，AC即为蚂蚁爬行的最短路程．∵，， ∵，∴， 在中，由勾股定理可得：， ，，即：蚂蚁爬行的最短路径是． （2）解：路径一：连接，即为蚂蚁爬行的一条路径．如图所示： ∵，∴， 在中，由勾股定理可得：，，， 即：蚂蚁沿此路径爬行的路程是． 路径二：把圆柱按如图方式展开，此时，蚂蚁由到点所爬行的距离为， ∵是圆柱上底面圆直径，底面圆周长为，∴， ∴，此时，蚂蚁沿此路径爬行的路程是， 比较两条路径的大小：， ∵，∴，即：，∴，即：， 综上所述，选择路径二，蚂蚁爬行的最短路径是． 20．（25-26八年级上·河北·单元复习）综合与实践 如图1，已知圆柱底面的周长为，高为，是圆柱底面的直径，，是圆柱的高，为的中点，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈路径最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ． (2)求该金属丝的长．(3)其他条件不变，如图2，若在圆柱(空心且上面无盖)的内壁点处有面包屑，一只蚂蚁从圆柱的外壁点处出发，去吃面包屑，求蚂蚁爬行的最短路程． 【答案】(1)D(2)(3) 【详解】（1）解：∵过点，嵌有一圈路径最短的金属丝，且两点之间线段最短， ∴将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是D； （2）解：在图D中，由题意得，， ∴，同理可得，∴该金属丝的长为； （3）解：如图所示，作点E关于的对称点F，设点P为上任意一点，连接， ∴蚂蚁爬行的路程为的值，由轴对称的性质可得，， ∴，∴当B、P、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，在中，， ∴，∴蚂蚁爬行的最短路程为． 21.（2023·四川广安·中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蚂蚁相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计） 【答案】10 【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，由题意得：，， ∵底面周长为，，， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为，故答案为：10． 22．（24-25八年级下·全国·暑假作业）如图，一个长方体盒子，其中，，为上靠近的三等分点，在大长方体盒子上有一个小长方体盒子，，，，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点爬行到点，它爬行的最短路程为______．    【答案】10 【详解】解：如图，将面、、展开在同一个平面内，连接，则为最短路径， 由题意知，，，，∴， 由勾股定理得，，故答案为：10． 23．（25-26八年级下·广东·期末）综合与实践 【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？（计算过程中的取3） 素材1  如图1，圆柱形纸盒的高为12厘米，底面直径为6厘米，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物． 素材2  如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6厘米，高为10厘米的木质圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的，（1）中两种路线路程的长度如下表所示（单位：厘米）： 圆柱高度 沿路线一路程x 沿路线二路程y 比较x与y的大小 5 11 10.3 4 10 9.85 3 a 9.49 b (1)若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是厘米．将圆柱沿着将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径（此路径记为“路线二”），此时最短路程是_______厘米；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线______（用“一”或“二”填空） (2)填空：表格中a的值是________；表格中b表示的大小关系是_________； (3)经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h．在r不变的情况下，当圆柱半径为r与圆柱的高度h存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？ 【答案】(1)画出蚂蚁爬行的最短路径,如图；15；二；(2)，(3) 【详解】（1）解：展开后，半圆长为，此时最短路程是厘米， ∵比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线二， （2）解：，∵，∴表格中b表示的大小关系是； （3）解：根据题意可得，即，∴， 故当时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等． 24．（26-27八年级·江苏·暑假作业）综合与实践 【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案） 　【变式探究】（2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】（3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）；（2）该蚂蚁爬行的最短路程是厘米；（3）蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米 【详解】解：（1）由题意得：，，， 故答案为：； （2）将圆柱体侧面展开，如下图： 由题意得：，，， 该蚂蚁爬行的最短路程厘米； （3）如下图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接， 由题意得：，，， 底面周长为，，， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米． 33 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01勾股定理中的最短路径模型 人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。勾股定理最短路径模型的核心原理：两点之间，线段最短。立体图形（圆柱、长方体、阶梯）表面的路径为折线或曲线，无法直接求解，需通过展开立体图形为平面图形，将立体最短路径问题，转化为平面两点间线段长度问题，最终利用勾股定理计算线段长度。本模型综合性极强，常联动：立体图形展开图、轴对称最值、勾股定理计算、实数化简、分类讨论思想。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.圆柱中的最短路径模型 2 模型2.长方体中的最短路径模型 10 模型3.阶梯中的最短路径模型 22 模型4.将军饮马与空间最短路径模型 27 易错点与方法总结 17 模型运用 18 A组（基础题） 18 B组（能力提升题） 18 C组（综合压轴题） 24 勾股定理最短路径模型拥有多重理论起源。古希腊欧几里得提出 “两点之间线段最短” 这一核心公理（提出 “展平求直线” 思路）。直角边长关系最早记录于我国《周髀算经》商高定理（为模型提供计算工具）。而考试常见的立体图形中爬行最短路径并非古代原题，是近代初等几何衍生模型，通过将立体表面展开为平面构造直角三角形，依靠勾股定理计算斜边，以此得到表面最短路线。 1）基本公理：两点之间，线段最短； 2）核心公式：勾股定理 （直角三角形两直角边平方和等于斜边平方）； 3）立体基础：圆柱侧面展开为长方形、长方体表面可展开为不同长方形组合； 4）基础能力：实数运算、平方根化简、分类讨论。 模型1. 在圆柱表面运动中的最短路径模型 【模型提炼与证明】 条件：如图，圆柱底面周长是c厘米，高是h厘米，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点B。 结论：彩带最短需要厘米． 证明：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接， 根据两点之间线段最短得这条丝线的最短长度是的长度， 由勾股定理得，，则这条丝线的最短长度是厘米， 注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； 2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·重庆·阶段检测）如图，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈彩带到顶部B处，则这条彩带的最小长度是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）如图，圆柱底面周长为，圆柱高，在圆柱侧面有一只蚂蚁，沿圆柱侧面从点A爬到点C，再从点C爬回到点A，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最小长度为（   ） A． B． C． D． 【典例3】（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）如图，有一圆柱，其高为9，它的底面周长为10，蚂蚁从圆柱外部表面点A爬到圆柱内部点B处，其中B离上沿为3，则蚂蚁经过的最短路程为（    ） A．13 B． C． D．16 【典例4】（25-26八年级下·广西北海·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为（   ） A．18米 B．20米 C．22米 D．24米 【典例5】（25-26八年级上·湖南衡阳·阶段检测）如图所示，圆柱底面半径为，高为，点分别是圆柱两底面圆周上的点，且在同一高线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕3圈到点，则这根棉线的长度最短为（   ） A． B． C． D． 模型2.在长方体表面运动中的最短路径模型 【模型提炼与证明】 条件：如图，一只蚂蚁从长是a，宽是b，高是h的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，（其中：h＞a＞b）。 结论：蚂蚁爬行的最短路程是 证明：如图，当长方体的侧面按图甲展开时，；，则； 如图，当长方体的侧面按图乙展开时，；，则； 如图，当长方体的侧面按图丙展开时，；，则； ∵h＞a＞b，∴ah＞bh＞ab，故＞＞ ∴蚂蚁所行的最短路线长为， 注意：长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三类情况进行讨论； 秒杀结论：长方体最短路径，固定让最长棱单独做一条直角边，剩余两棱之和做另一条直角边，所得斜边最短。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图，一个棱长为60厘米的正方体快递包裹，在顶点A处有一只蚂蚁．蚂蚁沿着正方体的表面爬行，从顶点A爬到顶点B的最短路程是（    ）    A．厘米 B．120厘米 C．厘米 D．厘米 【典例2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图是一个棱长为的正方体木块，一只蚂蚁在木块的顶点A处；它沿木块的表面走到棱的中点P处吃食物，所走的最短路程是（   ） A． B． C． D． 【典例3】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，三棱柱每个侧面都是长方形，其高为，底面为直角三角形，其直角边长分别为，，围绕三棱柱的侧面，从顶点A到顶点镶有一圈金属丝，则这圈金属丝的长度至少为（    ） A． B． C． D． 【典例4】（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）如图，教室的墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上．若PA＝AB＝50，点P到AD的距离是30，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，则蚂蚁的最短行程为_____． 模型3.在台阶或阶梯表面运动中的最短路径模型 【模型提炼与证明】 条件：如图，一个三级台阶，它的每一级的长是a，宽是b，高是h，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物。 结论：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程为 证明：如图所示， 三级台阶平面展开图为长方形，宽为BC=a，长为AC=b+h， ∴蚂蚁从点A沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线的长， 则由勾股定理得； 则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是． 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·四川内江·期末）如图所示的是两层台阶，每一层台阶都相同，数据如图（单位：），一只蚂蚁沿台阶表面从点A出发爬到点 B，其爬行的最短线路的长度是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26八年级上·四川资阳·期末）如图，在一个长为，宽为的长方形草地上，放着一根长方体木块，它较长的棱和草地的宽平行且棱长大于，木块从正面看是边长为的正方形，一只蚂蚁从点出发到达点处需要走的最短路程为（    ）    A．13 B． C． D． 【典例3】（25-26八年级上·成都·期中）如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点到点的所有路径中，最短路径的长是（    ） A．5 B． C． D． 【典例4】（25-26八年级上·福建宁德·期中）在一个长为、宽为、高为的长方体上，居中截去一个长为、宽为、深为的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点处，沿着几何体的表面到几何体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长为（    ） A． B． C． D． 模型4.将军饮马与空间最短路径模型 【模型提炼与证明】 条件：如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为h厘米，底面周长为c厘米，在容器内壁离容器底部a厘米的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿a厘米的点A处，   结论：蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程为：厘米。 证明：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交B的延长线于D， 则四边形是矩形，∴，，连接，则即为最短距离， ∵由题意得，（），=a（），（）， 在中，（）． 注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解。 【模型运用】 【典例1】（25-26·重庆·八年级校考期中）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（ ）m．（取3） A．30 B．28 C．25 D．22 【典例2】（24-25八年级下·陕西·阶段检测）如图，长方体鱼缸（无盖）的长，宽，高分别为，一只壁虎从外表面点A出发，沿长方体表面爬到内侧点E处，点E在棱上且距离上沿（即），壁虎爬行最短路程是________．（鱼缸厚度忽略不计） 【典例3】（25-26八年级上·山东东营·期中）课本再现 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为．在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？     方法探究（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是______． 方法应用（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．求彩条的最短长度． （3）如图4，圆柱形玻璃杯底面周长为，高为，杯底厚．在玻璃杯外壁距杯口的点A处有一只蚂蚁，蚂蚁相对面的内壁底部B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短路径长．（玻璃杯的壁厚忽略不计） 模型常见易错点 1）圆柱模型误用完整周长（常考半圈或几圈）； 2）长方体只算一种展开情况，漏分类； 3）不会立体转平面，直接在立体图中量折线； 4）勾股定理斜边直角边混淆，计算开方错误； 5）正方体展开错误判断路径； 6）阶梯模型不会平移拼接边长。 解题方法总结 1）圆柱最短路径解题模板 步骤1：剪开圆柱侧面，展开为长方形；步骤2：确定两条直角边：圆柱高、底面半（全）周长； 步骤3：代入勾股定理 ； 步骤4：化简根式，得出最短路径。 2）长方体最短路径解题模板 步骤1：设长宽高，列出三种展开组合的直角边；步骤2：分别计算三种斜边长度； 步骤3：对比大小，选取最小值； 步骤4：规范作答最短路径。 3）阶梯折面最短路径解题模板 步骤1：平移所有横、竖边，求出总水平长度、总竖直长度；步骤2：构造直角三角形； 步骤3：勾股定理计算斜边，即为最短路径。 1．（25-26八年级上·山西晋中·期末）如图所示，圆柱高为4米，在底面周长为米的圆柱上，有一条彩带从柱底A点沿圆柱表面缠绕2圈到达圆柱顶正上方的C点，则彩带长至少为（　　） A．4米 B．4.3米 C．5米 D．6米 2．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图，圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面有一只蚂蚁，沿圆柱侧面从点A爬到点C，再从点C爬回点A，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最小长度为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·广东·期末）如图，在桌面上放置一个棱长为的正方体，点B为一条棱上的点，且，蚂蚁在正方体表面爬行，从顶点A爬行到点B的最短路程是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·山西·期末）如图是放在水平地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，则它需要爬行的最短路程为（   ） A．10 B． C． D．9 5．（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是（    ）        A．20 B．15 C．25 D．27 6．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在一个长为，宽为的长方形草地上，放着一根长方体木块，它较长的边和草地的宽平行且长大于，木块从正面看是边长为的正方形，一只蚂蚁从点A出发到达点C处需要走的最短路程为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·安徽淮南·期中）如图，已知圆柱的高为，底面圆周长为，若一只蚂蚁准备从圆柱的底面处，沿着圆柱的侧面爬到处，则它爬行的最短路程是___________cm． 8.（25-26八年级上·四川成都·期中）深受人们喜爱的蜘蛛侠代表了善良、正义且具备超能力的艺术形象．如图是某部动作电影中的一座长方体建筑，其底面为正方形，现已知，，蜘蛛侠欲从点开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈，最后到达点处，则蜘蛛侠行走的最短距离为______． 9．（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，有一个棱长为的正方体盒子，蚂蚁在正方体下方一边的中点P处，发现上方顶点处有一滴蜂蜜，蚂蚁需要沿着正方体盒子的表面从点P爬行到顶点处吃到蜂蜜，它需要爬行的最短距离为_____． 10．（25-26八年级上·陕西汉中·期末）如图，是一个棱长为1的正方体纸盒，若一只蚂蚁要沿着正方体纸盒的表面，从顶点A爬到顶点B去觅食，则需要爬行的最短路程是______________． 11．（25-26八年级上·全国·寒假作业）如图所示，已知圆柱的一个底面周长为36，高，点在圆柱上底面的圆周上，点距点在上底面圆周上的曲线长度为上底面圆周长的，为下底面圆的直径，小虫在圆柱外侧面爬行，从点处爬到点处，然后再从点处爬到点处，则小虫爬行的最短路程为_____． 12．（25-26八年级上·江苏·专题练习）如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是______． 13．（2025八年级上·成都·专题练习）如图，在一个长为2米，宽为1米的长方形草地上，堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且长于草地宽，木块的上下底面是边长为米的正三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要爬行的最短路程是________米． 14．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期中）如图，一大楼的外墙面与地面垂直，点P在墙面上，若米，点P到的距离是8米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（    ）米． A． B． C． D． 15．（25-26八年级下·广东·期末）如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池的示意图，该型池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点在上，，一名滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离为（    ）m（边缘部分的厚度可以忽略不计，取3） A．17 B． C． D． 16．（24-25八年级上·江西抚州·期中）如图，一个底面为正六边形的六棱柱，在六棱柱的侧面上，从顶点A到顶点B镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为,底面边长为,则这圈金属丝的长度至少为（    ） A． B． C． D． 17．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间长而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面半径为，已知，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走的路程为（   ） A． B． C． D． 18．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）如图，这是一个长方体透明玻璃鱼缸，其中，高，水深，在鱼缸内水面上紧贴内壁处有一鱼饵，在水面线上，且．一只小虫想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内壁处吃鱼饵，小虫爬行的最短路线长为__________． 19．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，圆柱的高为，底面圆周长为，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到与点相对、离下底面的点处（圆柱外表面）的食物． (1)蚂蚁不能从下底面通过时，求蚂蚁从点爬到点时的最短路径； (2)另一只蚂蚁在点处，求蚂蚁从点爬到点时的最短路径． 20．（25-26八年级上·河北·单元复习）综合与实践 如图1，已知圆柱底面的周长为，高为，是圆柱底面的直径，，是圆柱的高，为的中点，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈路径最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ． (2)求该金属丝的长．(3)其他条件不变，如图2，若在圆柱(空心且上面无盖)的内壁点处有面包屑，一只蚂蚁从圆柱的外壁点处出发，去吃面包屑，求蚂蚁爬行的最短路程． 21.（2023·四川广安·中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蚂蚁相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计） 22．（24-25八年级下·全国·暑假作业）如图，一个长方体盒子，其中，，为上靠近的三等分点，在大长方体盒子上有一个小长方体盒子，，，，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点爬行到点，它爬行的最短路程为______．    23．（25-26八年级下·广东·期末）综合与实践 【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？（计算过程中的取3） 素材1  如图1，圆柱形纸盒的高为12厘米，底面直径为6厘米，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物． 素材2  如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6厘米，高为10厘米的木质圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的，（1）中两种路线路程的长度如下表所示（单位：厘米）： 圆柱高度 沿路线一路程x 沿路线二路程y 比较x与y的大小 5 11 10.3 4 10 9.85 3 a 9.49 b (1)若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是厘米．将圆柱沿着将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径（此路径记为“路线二”），此时最短路程是_______厘米；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线______（用“一”或“二”填空） (2)填空：表格中a的值是________；表格中b表示的大小关系是_________； (3)经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h．在r不变的情况下，当圆柱半径为r与圆柱的高度h存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？ 24．（26-27八年级·江苏·暑假作业）综合与实践 【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案） 　【变式探究】（2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】（3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 20 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $