第3章 3.4 圆周角-课时3 圆内接四边形-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（苏科版·新教材）
2026-08-17
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教辅
摘要：
该初中数学课件聚焦九年级上册“圆”章节核心知识点圆内接四边形，通过江苏宿迁调研题等实例导入，结合圆周角定理过渡，设置“刷基础”“刷提升”学习支架，衔接前后知识脉络。
其亮点是精选各地中考真题，通过构造辅助线（如连半径、造直角三角形）培养几何直观，借助全等证明、勾股定理应用发展推理能力，“刷有所得”小结提炼性质，助力学生提升解题逻辑，教师可高效开展分层教学。
内容正文：
数 学
九年级上册 SK
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第3章 圆
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3.4
圆周角
课时3 圆内接四边形
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刷基础
刷提升
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基础
知识点 圆内接四边形
（第1题图）
1.【2026江苏宿迁宿豫区调研】如图，四边形 内接于
，为边延长线上一点.若 ，则 的度
数是( )
A
A. B. C. D.
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【解析】由圆周角定理得 四边形 内接
于， ，
，故选A.
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刷有所得
圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的任意一个外角
等于与它相邻内角的对角.
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（第2题图）
2.【2025江苏南京期中】如图，为的直径，为 上一点，
，交于点，连接，.设 ，
，则下列结论成立的是( )
A
A. B. C. D.
【解析】连接，如图.是的直径， 四边形
是圆的内接四边形，
，
, ，
.
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（第3题图）
3.如图，四边形是的内接四边形，是 的直径，连
接.若，则 的度数是( )
A
A. B. C. D.
【解析】连接，如图. 四边形是 的内接四边形，
， 是
的直径，
， 在 中，
.故选A.
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（第4题图）
4.【2026江苏泰州调研】如图，是 的外接圆，
，弦平分并交于点，弦 ，连
接，，则 的半径是( )
A
A.2 B. C. D.
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【解析】如图，连接并延长，交于 ，
连接 四边形为 的内接四边形，
， 平分
，，， 为等边三角形，
，,， 由勾股定
理得.设的半径为 ，
则.在中，，即 ，解得
，即 的半径为2，故选A.
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（第5题图）
5.如图，四边形是的内接四边形，是 的直径，
，则的度数是_____ .
120
【解析】如图，连接是的直径， ，
，为等边三角形， 四边形
是的内接四边形， ，
，故答案为120.
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6.【2025浙江宁波期中】在利用量角器测量 的度数时，小文同学放错了位置，
将角的顶点放到了量角器的弧线上（如图），爱思考的李涛同学忽然发现，这样
测量也能得到的度数.通过仔细观察，李涛同学发现射线, 与量角器的
交点和对应的刻度分别是 和 ，则 的度数为______.
（第6题图）
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【解析】根据题意构造，在下半圆上取点，连接，，，,设
的直径为 ,如图.
由题意可知， , ，
， 点
,,,均在上， ， .故答案为
.
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关键点拨
根据题意构造和内接四边形 是解题关键.
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7.如图，四边形是的内接四边形，点是 延长线上的一
点，且平分，交延长线于点 .
（1）求证： .
【证明】平分 ，
,
, ，
， .
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（2）若，，求 的长.
【解】如图，过点作，垂足为平分 ，
，，， .
在和中，， ，
，.在和
中，，， ,
，， ，
.
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8.如图，四边形内接于，是上一点，且，连接 并延长交
的延长线于点，连接 ．
（1）若 ， ，求 的度数；
【解】 四边形内接于， ，
， ，
， .
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（2）若的半径为6，且，求 的长．
【解】如图，连接，，过作于点 ，则
, 四边形内接于 ，
， ，
.
，， ，
，由勾股定理得 ，
， .
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思路分析
连接，，过作于点,则 .根据圆内接四边形的性质求出
的度数，由圆周角定理得出的度数，求出 .根据含 角
的直角三角形的性质求出的长，根据勾股定理求出 的长，进而可求出答案.
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提升
（第1题图）
1.【2026江苏宿迁质检，中】如图，点，，分别在
的三边上，， ， ，
，下列结论正确的是( )
A
A.可求，不可求 B.不可求， 可求
C.，均可求 D.， 均不可求
【解析】连接， ， ，, ,
,四点共圆， ， 点固定，即可求.当 绕点
旋转时， 不变，则，，， 四点共圆不变，
依旧不变，即点可以在上任何地方， 不可求.综
上可得，可求， 不可求.故选A.
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（第2题图）
2.［中］如图，四边形是的内接四边形， ,
,,,则 的长为( )
C
A. B. C. D.3
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【解析】如图，延长，交于点 四边形是 的内接四
边形， , ,
, ,, .设
，则，， ，
，，. 由勾股定理
易得，，解得 ,
，故选C.
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（第3题图）
3.【2026江苏苏州调研，中】如图，圆内接四边形 ，
， ，连接,，则四边形 的面
积为( )
D
A.4 B.2 C. D.
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【解析】如图，将绕点逆时针旋转 得到，过点
作于点 , 点与点 重合，
，,， ，
，， 四边形 的面积为
四边形 内接于圆，
， ，，， 三点共线，
， ，
，为等边三角形， ，
，， 四边形
的面积为 .故选D.
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（第4题图）
4.【2026浙江绍兴期中，较难】如图，四边形为 的内
接四边形，为的直径， ，点为 上的点，且
，垂足为，点是线段上一点，且 .若
,，则 的半径为( )
B
A. B. C. D.
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【解析】如图，作，交的延长线于点，作 ，
交的延长线于点， ，
， ，
，, ，
， ， .设 ，
则，， ，
.在 中，
， ，解得
或（舍去），, ，
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.为 的直
径， ， ，. 在
中，， ，解
得（负值已舍去），的半径为 .故选B.
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5.【2026江苏无锡期末，中】如图，四边形内接于， ，点
，，分别是，，的中点.若的半径为2，则 的最大值是
_______.
（第5题图）
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【解析】连接，，， ，
如图. 四边形内接于 ，
，
， .过点 作
于点，则， ， ，
， 点，分别是， 的中点，
，同理，， 当 最大
时，的值最大.为的弦， 当为的直径时， 的值最大，
为4， 当时，的值最大，最大值为 .
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6.［较难］如图，中，， ， .以 为弦的圆
分别交，于，两点，连接，，点在 边上，且满足
，连接.若，则 的面积的最小值是_________.
（第6题图）
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【解析】如图，连接， ，
， ， ，
,,, 四点共圆，
， ，
，， ，
， ，
, 易得，，
边上的高为， 当最小时，的面积取得最小值.作
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的外接圆，过点作于点，连接，， ，
，， 是等腰直角三角形，
，是等腰直角三角形， ，
，， 当 最小
时，就取得最小值.， 当，，三点共线时， 最
小，此时，. ，
，的最小值为，此时 ，
的面积的最小值为.故答案为 .
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思路分析
连接.利用四点共圆和同弧所对的圆周角相等证明 ，从而得到
.当最小时，的面积就最小，作的外接圆 ，过
点作于点，连接，，,.表示出与 的关系，可
知当最小时，就最小.当，，三点共线时， 最小，此时
，求出，可得的最小值，再求出此时的，即可求出 的
面积的最小值.
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7.［较难］如图（1），在中，弦平分圆周角，我们将圆中以 为公
共点的三条弦，，构成的图形称为“爪形”，弦，， 称为“爪
形”的爪.如图（2），四边形内接于，，连接 .
图（1）
图（2）
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（1）求证：圆中存在“爪形 ”.
【证明】，，平分圆周角， 圆中存在
“爪形 ”.
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（2）若 ，求证： .
图（1）
【证明】如图（1），延长至点，使得 ，连接
, ,
，, ,
, ，
， 为等边三角形，
， .
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图（3）
（3）如图（3），若，此时“爪形 ”的爪之间满足怎样的数
量关系，请直接写出结果.
图（2）
【解】.如图（2），延长至点 ，使得
，连接.同（2）可得 ，
，. ，
， ， 为等
腰直角三角形，，即 .
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图（1）
8.【2026山东济宁期中，较难】“作圆”这种作辅助线的方法
不经常用，但有时用起来会使问题变得很简单，例如小明遇到
的这道题目：
如图（1），已知， ，
，求 的度数.
小明解决不了，去问学霸小刚，小刚说：“，说明，，在以
为圆心，长为半径的圆上.以为圆心， 长为半径画圆，再利用圆的知识就
可以很轻松地解决这个问题.”
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（1）请你利用小刚的方法解答这道题目，写出完整的解题步骤.
图（1）
【解】，，，在以为圆心， 长为半径的
圆上.如图（1），以为圆心，长为半径画圆. ，
，
，
.
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（2）请你用学到的方法解答下面的题目.
如图（2），在四边形中， ，为对角线 的中点，
连接，，.若 ，，求 的长.
图（2）
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图（2）
【解】 在四边形中， ，
， 点,,,共圆，且
是直径.为对角线的中点，为圆心.以点为圆心， 长为
半径画圆，如图（2）. ，
.过点作于 ，则
，, ，
， ，
，则 .
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微专题4 与圆心角或圆周角有关的辅助线
（第1题图）
1.构造同弧的圆周角 【2025浙江杭州质检，中】如图，圆内接
的外角的平分线与圆交于点，连接, ，
垂足为，,交延长线于 .有下列结论：
；； .其中一定成立的结论有
( )
B
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
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【解析】连接，如图.平分，， ，
和是 所对的圆周角，
.在和中，
刷有所得
作与圆心角或圆周角相关的辅助线时，核心是建立圆周角、圆心角之间的联系，
从而解决问题.
，，， ，故①②成立.当
且仅当时， ，故③不一定成立.综上所述，一定成立的结论有2
个，故选B.
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（第2题图）
2.连半径，构造圆心角 【2025江苏淮安期中，中】如图，四边形
是的内接四边形，是的直径，为 上一点.若
，则 的度数为____.
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【解析】如图，连接 四边形是 的内接四边形，
，
，
，
， ，故答案为
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3.构造圆内接四边形 【2025黑龙江大庆期末，中】如图，点，，在 上，
四边形是平行四边形，若对角线，则 的长为___.
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（第3题图）
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【解析】如图，在优弧上找一点，连接,,,交
于点，则 四边形 是平行四边形，
四边形是 的内接四边形，
， ，
关键点拨
构造圆内接四边形，求出 是解题的关键.
， 四边形是平行四边形， ,
.， 四边形 为菱形，
，, , ，
，， ，故答案为2.
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4.构造直角三角形 【2025江苏南京质检，中】如图，的半径为4， 的
顶点，在上， , ,，分别与交于， 两点，
且，则 的面积为______.
（第4题图）
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【解析】连接,如图. ，点,,都在 上，
为的直径，， ，
， ，
， .
， . 故答案为
.
为直径， ， ，
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