3.5 点与圆、直线与圆的位置关系(6)---切线长定理 课件 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“切线长定理”，通过旧知复习（切线定义、性质及判定）衔接情景引入（过圆上点作切线），搭建从已知到过圆外点作切线的学习支架，引导学生逐步构建新知脉络。 其亮点在于融合几何直观与推理能力，通过尺规作图探究切线作法（数学眼光），严格证明切线长定理（数学思维），例题涵盖圆外切四边形等模型应用（数学语言）。助力学生深化理解，教师可直接用于教学，提升效率。

3.5 点与圆、直线与圆的位置关系(6)---切线长定理 第三章 圆 盐城市北蒋实验学校 九年级数学备课组 苏科版2024 • 九年级 • 数学 • 上学期 1 旧知复习 当直线与圆有唯一公共点时，我们称直线与圆相切，这条直线叫作圆的切线，这个公共点叫作切点． 1、什么叫作直线与圆相切？ 2、圆的切线有什么性质？ 3、怎样判定一条直线是圆的切线？ 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 圆的切线垂直于经过切点的半径． 情景引入 如图，点P是⊙O上一点，怎样过点P作⊙O的切线？ l 新课讲解 圆的切线判定定理给出了过圆上一点的切线的作法.那么，过圆外一点如何作这个圆的切线？ 假设已经作出了过 点P的⊙O的切线， 切点为A，那么 OA⊥AP，∠OAP=90°， 所以点A在以OP为直径的圆上. 以OP为直径的圆和⊙O的交点就是切点. 新课讲解 过圆外一点如何作这个圆的切线？ 你能说明理由吗？ 作法： ① 连接OP． ② 以 OP 为直径作圆，交⊙O于点A，B． ③ 连接PA，PB． PA，PB 即为所求． O′ A B O′ A B 新课讲解 过圆外一点如何作这个圆的切线？ 你能说明理由吗？ O′ A B 证明：连接OA，设OP的中点为O′． ∵ OP是⊙O′的直径， ∴ ∠OAP＝90°，即 OA⊥PA． 又∵ OA是⊙O半径， ∴ PA是⊙O切线， 同理，PB是⊙O切线． 新课讲解 在经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长（length of the tangent）． 概念讲解 如左图，线段PA，PB的长是点P到⊙O的切线长． 注意：切线是一条直线，不可度量．        切线长是圆外一点与切点间的线段的长，可度量． 新课讲解 上面尺规作图过程中的图形是轴对称图形吗？其中有哪些相等的线段？ 这个图形是轴对称图形，对称轴为 OP 所在直线． 图中相等的线段有： OA=OB，PA=PB 你会证明吗？ 新课讲解 证明：连接 OA，OB，OP． ∵ PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B， ∴ PA⊥OA，PB⊥OB（圆的切线性质定理）． 在 Rt△POA 和 Rt△POB 中， ∵ ∴△POA≌△POB（HL）． ∴ PA＝PB． 已知： 求证： 如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B． PA＝PB． 新课讲解 于是，我们得到切线长定理： 过圆外一点可作圆的两条切线，切线长相等． ∵ PA、PB分别切⊙O于A、B， ∴ PA＝PB． 符号语言： 例题讲解 (书本第96页例5) 如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB，AC 分别与小圆相切于点D，E．求证：AB＝AC．      连接OD，OE． ∵ AB，AC是小圆的两条切线，切点分别为D，E， ∴ AD＝AE（切线长定理）， AB⊥OD，AC⊥OE． ∴ AB＝2AD，AC＝2AE． ∴ AB＝AC． 新课讲解 讨论：在上图中，如果连接DE，BC，那么DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？为什么？ 解：DE∥BC且DE＝BC，理由如下： 由例题可知：点D，E分别是AB，AC的中点． ∴ DE是△ABC的中位线． ∴ DE∥BC且DE＝BC ． 尝试练习 (1)(书本第96页练习第1题)如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别为P，C，D．已知AB＝5，AC＝3．求BD的长． A B C D P ● O 解：∵ AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别P，C，D，AC＝3， ∴ AP＝AC＝3，BD＝BP． ∵ AP＋BP＝AB＝5， ∴ BD＝BP＝AB－AP＝5－3＝2． 尝试练习 (2)(书本第96页练习第2题)如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为 A，B，直线OP交⊙O于点C，D，交AB于点E．根据题设条件，你能得到哪些结论？ (5)图中所有的等腰三角形： 解： (1)图中所有的相等的线段有： PA＝PB，AE＝BE，OA＝OB． (2)图中相等的角有： ∠OAE＝∠OBE＝∠APE＝∠BPE， ∠AOE＝∠BOE＝∠PAE＝∠PBE． (3)图中所有的垂直关系： OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP． (4)图中所有的全等三角形有： △AOP≌△BOP，△AOE≌△BOE，△AEP≌△BEP． △ABP ，△AOB． 解：AB＋CD＝AD＋BC，理由如下： ∵ AB，BC，CD，DA 与⊙O分别相切于点E，F，G，H， ∴ AE＝AH，BE＝BF，CG＝CF，DG＝DH． ∴ AE＋BE＋CG＋DG＝AH＋BF＋CF＋DH． 即： AB＋CD＝AD＋BC． 例题讲解 (1)(书本第100页习题第12题)如图，四边形ABCD的各边与⊙O分别相切于点E，F，G，H．AB，BC，CD，DA 之间有怎样的数量关系？为什么？ 圆外切四边形两组对边之和相等，即： AB＋CD＝AD＋BC． 由此我们可以得到： 圆外切四边形两组对边之和相等，即： AB＋CD＝AD＋BC． (2)在(1)的基础上，请你继续思考： ①圆的外切平行四边形是        形； ②圆的外切矩形是       形； ③若AB︰BC︰CD︰DA＝1︰3︰4︰x，且四边形ABCD的周长为20cm，则x＝       ，AD＝      ． 菱 正方  2 4cm 例题讲解 例题讲解 (3)（2024秋•四平期末）已知：PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E三点，PA＝6．求： ①△PCD的周长； ②若∠P＝50°，求∠COD的度数． 解：(1)∵PA、PB切⊙O于A、B，CD切⊙O于E， ∴PA＝PB＝6，ED＝BD，CE＝AC； ∴△PCD的周长＝PD+DE+PC+CE＝2PA＝12； 例题讲解 (3)（2024秋•四平期末）已知：PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E三点，PA＝6．求： ①△PCD的周长； ②若∠P＝50°，求∠COD的度数． 解：(2)连接OE，如图所示： 由切线的性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD， ∴∠OAC＝∠OEC＝∠OED＝∠OBD＝90°， ∴∠AOB+∠P＝180°， ∴∠AOB＝180°－∠P＝130°， 由切线长定理得：∠AOC＝∠EOC，∠EOD＝∠BOD， ∴∠COD=∠AOB=×130°＝65°． 如图，AE、AD、BC、GH切⊙O于E、D、F、P点， （1）若AE＝10，则△ABC的周长等于 ； （2）若△ABC的周长等于18，则AE＝ ； （3）若AE＝a，则△ABC的周长等于 ； （4）试说明：△ABC的周长＝AG＋AH－GH. （5）若连结BO、CO，且∠BOC＝80°，则∠A＝ .（∠BOC与∠A有怎样的关系？） 尝试练习 20 9 2a (4)证明：∵AE、AD、BC、GH切⊙O于E、D、F、P点， ∴ AE=AD，GE=GP，BE=BF，CD=CF，HD=HP， ∴ C△ABC=AB＋AC+BC=AB＋AC+BF+CF =AB＋AC+BE+CD=AE+AD=AG－GE+AH－HD.                  =AG+AH－GP－HP =AG+AH－GH 20° 2∠BOC+∠A=180° 解：过B作BF⊥CD于F， ∵AB、CD与半圆O切于A、D， ∴∠BAD＝∠CDA＝∠BFD＝90°， ∴四边形ADFB为矩形， ∴AB＝DF，BF＝AD， ∵AB＝BE＝4，CD＝CE＝9， ∴BC＝BE+CE＝13， ∵AB、CD与半圆O相切， ∴四边形ADFB为矩形， ∴CF＝CD﹣FD＝9﹣4＝5， 在Rt△BFC中，BF===12， ∴AD＝BF＝12， ∴⊙O的半径为6．． 1．（2025秋•富顺县期末）如图，AB、CD分别与半圆⊙O切于点A，D，BC切⊙O于点E．若AB＝4，CD＝9，则⊙O的半径为（　　） A．12 B．63 C．6 D．5 课堂作业 F C 证明：（1）连接AO， ∵PA、PB均为⊙O的切线，A和B是切点， ∴∠APO＝∠BPO，OA⊥AP，PA＝PB， ∴∠APB＝2∠APO，∠OAP＝90°，PO⊥AB， ∴∠OAB+∠BAP＝90°，∠BAP+∠APB＝90°， ∴∠OAB＝∠APB， ∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB，∴∠OBA＝∠APO， ∴∠APB＝2∠ABC； 2．（2025秋•亭湖区期中）如图，P为⊙O外一点，PA、PB均为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径． 求证：（1）∠APB＝2∠ABC；（2）AC∥OP． 课堂作业 （2）设AB交OP于F， ∵PA，PB是圆的切线， ∴PA＝PB， ∵OA＝OB， ∴PO垂直平分AB． ∴∠OFB＝90°． ∵BC是直径， ∴∠CAB＝90°． ∴∠CAB＝∠OFB． ∴AC∥OP． 2．（2025秋•亭湖区期中）如图，P为⊙O外一点，PA、PB均为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径． 求证：（1）∠APB＝2∠ABC；（2）AC∥OP． 课堂作业 F 课堂小结 这节课，你的收获是--- $