培优02 二次函数与实际问题6大题型（大单元专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数实际应用，通过六大题型构建"问题情境-模型抽象-最值求解"的完整逻辑链，强化数学建模与几何直观素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图形问题|15题|矩形/正方形面积最值|几何图形→边长关系→二次函数表达式| |拱桥问题|15题|抛物线型建筑高度宽度计算|坐标系建立→顶点式求解析式→实际距离转化| |利润问题|23题|销售利润与价格关系|单价销量关系→利润公式→二次函数最值| |增长率问题|10题|连续增长/降低率计算|增长率模型→函数表达式→实际意义检验| |投球与喷水|23题|抛物线运动轨迹分析|顶点坐标→解析式确定→落点/最值计算| |动点问题|10题|动态几何面积函数关系|动点路径→分段函数→图象特征分析|

专题02 二次函数与实际问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、 图形问题 1 题型二、 拱桥问题 5 题型三、 利润问题 11 题型四、 增长率问题 15 题型五、 投球与喷水问题 16 题型六、 动点问题 24 B综合攻坚・能力跃升 题型一、图形问题 1．如图，有一张长，宽的矩形纸板，在它的四个角处分别裁去一个同样的小正方形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（      ） A． B． C． D． 2．如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，，则花园最大面积为（    ） A． B． C． D． 3．如图，利用一面墙，用40米长的篱笆围成一块矩形场地，如果墙长为25米，那么围成矩形场地的最大面积是（   ） A． B． C． D． 4．如图，正方形边长为分别为各边上的点且不与顶点重合，，设小正方形的面积为为x，则S关于x的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 5．如图，有一块矩形空地，学校规划在其中间的一块四边形空地上种花，其余的四块三角形空地上铺设草坪，其中点E，F，G，H分别在边，，，上，且，已知．有下列结论： ①铺设草坪的面积可以是； ②种花的面积的最大值为； ③的长有两个不同的值满足种花的面积为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为．其中不正确结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为，门宽为．若饲养室长为，占地面积为，则关于的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 8．为了节省材料，某工厂利用岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80米的材料围成一个由三块面积相等的小长方形组成的矩形区域（如图），若米，则下列4个结论：①米；②；③；④矩形的最大面积为300平方米．其中正确结论的个数为（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，在一个直角三角形内部作一个矩形，其中和分别在两直角边上，如果设矩形的一边的长为，要使矩形面积最大，的取值为（   ） A． B． C． D． 10．某农户想要用栅栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，另外三边用栅栏围成，若栅栏的总长为10米，设长方形靠墙的一边长为x米，面积为y平方米，则y与x满足的函数关系是（   ） A． B． C． D． 11．如图，学校要在校园内建一个矩形的开心农场，其中一边紧靠围墙，且的长不能超过，其余三边用长的铁质栅栏围成．有下列结论： ①的长可以为； ②当农场的面积为时，满足条件的的长只有一个值； ③农场面积的最大值为． 其中，正确的是______（只需填序号）． 12．如图所示，修建一个矩形猪舍，猪舍一面靠墙，墙长，另外三面用长的建筑材料围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括建筑材料）．所围矩形猪舍的边为___________时，猪舍面积最大（为整数） 13．如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围成的栅栏的总长是，花圃能围成的最大面积是． 14．如图，一块矩形土地由篱笆围着，并且由一条与边平行的篱笆分开．已知篱笆的总长为（篱笆的厚度忽略不计），当______m时，矩形土地的面积最大． 15．如图、利用长为50m的篱笆及一面墙围一个矩形花圃（墙足够长）为了便于打理，决定在与墙平行的边上预留出宽为2m的出口．设边的长为，花圃的面积为，则与之间的函数关系式是________．    题型二、拱桥问题 16．赛龙舟是中国端午节的习俗之一．某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分．如图所示建立平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度与到点的水平距离近似满足函数关系．据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．有下列结论： ①水面宽度； ②拱桥的最大高度是； ③若每条龙舟赛道宽度为，最多可设计龙舟赛道条． 其中，正确结论的个数有（    ） A． B． C． D． 17．如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为（        ）米． A．7 B．8 C．9 D．10 18．如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷．在抛物线上取四点、、、，且线段，都与地面平行，抛物线最高点到的距离为，，，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 19．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，则水面下降时，水面宽度为（   ）． A． B． C． D． 20．图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为了一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2．已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为（    ） A． B． C． D． 21．如图，有一个截面边缘为抛物线型的水泥门洞．门洞内的地面宽度为，两侧距地面高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为，则这个门洞内部顶端离地面的距离为（　　）     A． B．8 C． D． 22．如图，是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在位置时，水面宽度为，此时水面到桥拱的距离是，则抛物线的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 23．某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）．有下列结论： ①； ②池底所在抛物线的解析式为； ③池塘最深处到水面CD的距离为1.8m； ④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半， 则最深处到水面的距离减少为原来的． 其中结论正确的是（    ） A．①② B．②④ C．③④ D．①④ 24．如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O与水面的距离CO是2m，则当水位上升1.5m时，水面的宽度为（    ） A．0.4m B．0.6m C．0.8m D．1m 25．廊桥是我国古老的文化遗产，抛物线形的廊桥示意图如图所示．已知抛物线的函数表达式为，为增加安全性，在该抛物线上同一高度且水平距离为米的两处安装警示灯，则警示灯离水面的距离为______米． 26．卢沟桥如图①，“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一蝀分波夹镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为24米，若按如图②所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则主桥拱最高点到水中倒影的距离为_____米． 27．如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为米时，水面宽度为米；那么当水位上升米后，水面的宽度为___________米．（结果可带根号） 28．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米． 29．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在正常水位的情况下，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．则当水位下降m=________时，水面宽为5m？ 30．某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，如图，已知这座桥的跨度米，拱高米，且设计方案为抛物线型，抛物线的解析式为．现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面米，此货船能否顺利通过这座桥？请说明理由． 31．如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是．经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图）． (1)你选择的方案是______（填“方案一”“方案二”或“方案三”），则B点坐标是______； (2)求出你所选方案中的抛物线的解析式； (3)因降暴雨水位上升，此时水面宽为多少？ 32．某城市建设调研小组发现，广州部分公交站台的遮阳棚在风雨天气下存在安全隐患与遮挡不足的问题．为优化设计，该小组考察了某遮阳棚的结构．以下为该小组调研报告的部分记录，请认真阅读，并解决问题． 发现问题确定目标 遮阳棚抗风加固 公交车安全停靠 模型抽象与图形表示 遮阳棚横截面示意图，棚顶可视为抛物线的一部分如图2所示． 公交车停靠示意图如图3所示（忽略公交车车顶的实际弧度、空调装置等微小起伏，假设车厢顶部在车辆全长范围内是完全平坦且水平的．） 条件与规范整理 如图4当风力较大时，需在棚内侧安装钢架（为线段）加固，且在棚顶与钢架之间安装一根垂直钢架（在棚顶，在上，轴）． 车身完全覆盖要求： 公交车需完全停入遮阳棚下方，即车辆整体（包括车厢最高点）均位于遮阳棚的横向覆盖范围内． 垂直安全间隙要求： 车厢最高点与棚顶之间需保持一定的安全间隙，以避免因车辆振动、风载或路面不平等因素发生碰撞． 实测数据采集 棚顶最高点到地面距离为4米，棚顶与立柱交点到地面距离为2米，、两点水平距离为12米． 已知车身长约8米，公交车车厢最高点距地面约米，车身宽度与站台停靠都匹配，不考虑宽度影响． 问题解决： (1)如图2，以地面为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式： (2)如图3，请通过计算说明钢架加固前该公交车能否完全停入遮阳棚正下方； (3)如图4，根据安全规范，垂直钢架的长度不低于米．请问钢架加固后遮阳棚是否存在安全隐患或遮挡不足的问题． 题型三、利润问题 33．将进货价格为40元的商品按单价45元售出时，能卖出150个，已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个，设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 34．彝族年假期期间，某店销售特产苦荞饼，经调查发现每盒苦荞饼售价为20元时，日销售量为500盒，当每盒售价每下降1元时，日销售量会增加10盒．已知每盒苦荞饼的成本为10元，设每盒降价x元，商家每天的利润为y元，则y与x之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 35．某商店购进某种商品，该商品的进价为40元/件．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300件，销售单价每降低1元，每天的销量增加20件．现商店决定降价销售，设每天的销量为件，销售单价为元，商店每天销售该商品获得的利润为元，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 36．市场调查表明：某种水果一周内的销售率y（销售率售出数量进货数量）与价格倍数x（价格倍数售出价格进货价格）的关系满足函数关系 （）．根据有关规定，该商品售价不得超过进货价格的2倍，同时，一周内未售出的水果直接废弃．某商场希望通过销售该种水果可获取的最大利润率是（     ） A． B． C． D． 37．某旅社有100张床位，当每床每晚收费10元时，客床可全部租出；若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位租出；若每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的方法变化下去，为了投资少且利润大，每床每晚应提高（    ） A．4元和6元 B．4元 C．6元 D．8元 38．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（    ）元． A．50 B．90 C．80 D．70 39．“直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某直播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．经调查发现每件售价99元时，日销售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元），则与之间的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 40．某种商品每天的销售利润元与单价元之间的函数关系式为，则这种商品每天的最大利润为（    ） A．50元 B．60元 C．40元 D．30元 41．信阳毛尖又称豫毛峰，是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一．已知一批信阳毛尖每罐的进价为30元，售价定为50元/罐时，每天可销售60罐，为了促进销售，商家决定采取适当的降价措施，经调查发现，售价每降低2元，每天销量可增加20罐（销售单价不低于进价），则商家降价能获得的最大利润为_____元． 42．道县某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千元降价x（元）之间满足一次函数关系（其图象如图所示），则这种干果每千克降价___________元时，可获得最大利润． 43．某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需要对每个房间每天支出40元的各种费用．则宾馆获得的利润y（元）与房价x（元）（x为10的倍数）之间的函数解析式为______，宾馆利润最大利润是______元． 44．某服装店购进一批单价为50元的衬衫，如果按90元销售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种衬衫的销售价每降低1元，其销售量相应增加2件．当降价___________元时，该服装店的销售利润最大． 45．北京冬奥会推出的吉祥物“冰墩墩”“雪容融”深受人们的喜爱，销售火爆．某经销商以60元/个的价格购进了一批“冰墩墩”摆件，打算采取线下和线上两种方式销售，调查发现线下每周销售量y（个）与售价x（元/个）满足一次函数关系： 售价x（元/个） … 80 90 100 … 销量y（个） … 400 300 200 … 线下销售，每个摆件的利润不得高于进价的80%；线上售价为100元/个，供不应求．若该经销商共购进“冰墩墩”1000个，一周内全部销售完．合理分配线下和线上的销量，可使全部售完后获得的利润最大，最大利润是____________元（不计其它成本）． 46．某件商品的销售利润y（元）与商品单价x（元）之间满足，不考虑其他因素，该商品的单价定为__________元时，销售一件该商品获得的利润最大，最大利润为__________元． 47．某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为______________元（利润=总销售额-总成本）．    48．春节贴春联是中国的传统习俗，在春节来临前，某超市购进一种春联，每副春联的进价是20元，并且规定每副春联的售价不少于25元，不超过38元．根据以往的销售经验，当每副春联的售价定为25元时，日销售量为250副，每副春联的售价每提高1元，日销售量减少10副．当每副春联的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大日销售利润是多少元？ 49．某乡镇企业积极响应国家乡村全面振兴号召，依托本地特色资源，计划投资生产某种产品．投产第一年企业需要至少生产13万件产品，受产能限制，产量不超过24万件，并且生产的产品能全部售出．经调研，投产第一年该产品的总成本（万元）与产量（万件）之间近似满足二次函数关系，部分数据见下表： 产量（万件） … 15 18 20 … 总成本（万元） … 285 336 360 … （总利润=总销售额－总成本） (1)求投产第一年该产品的总成本与产量之间的函数关系式； (2)投产第一年，如果该产品每件售价为20元，生产该产品多少万件时，总利润最大？最大总利润是多少？ (3)投产第一年，如果该产品每件售价为元时，总利润会随着产量的增大而增大，则的最小值是多少？ 50．某水果批发商销售每箱进价为元的苹果，在确保每箱苹果的售价不低于元的情况下，物价部门规定，每箱苹果售价不高于元，经市场调查发现，平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系如图所示． (1)求平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并写出的取值范围； (2)求平均每天的销售利润（元）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并求出当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润；最大利润是多少元？ 51．某商场销售一种进价为每件25元的商品，售价为每件35元时，每天可售出50件；售价每上涨1元，每天的销售量就减少2件．设每件商品的售价为x元（且为整数），每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式； (2)当每件商品的售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 52．某县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发定价为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．设每千克降价元，每天销量为y千克． (1)直接写出与的函数关系式： (2)当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？ (3)若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？ 53．某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，销售单价定为25元时，月销售量为1050件；当销售单价每上涨1元，月销售量就减少50件．设销售单价为x（元），月销售量为y（件），月获利（月获利=月销售额月进价）为w（元）． (1)试写出y与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）； (2)试写出w与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；并求当销售单价为多少时，月获利最大，最大月获利为多少？ 54．某文具店经销甲、乙两种不同的笔记本，已知两种笔记本的进价之和为10元，每个笔记本的利润均为1元，小王同学买4本甲种笔记本和3本乙种笔记本共用了43元． (1)甲、乙两种笔记本的进价分别是多少元？ (2)该文具店购入这两种笔记本共1000本，花费不超过5200元，则购入甲种笔记本最多多少本？ (3)店主经统计发现平均每天可售出甲种笔记本300本和乙种笔记本150本．如果两种笔记本的售价各提高1元，则每天将少售出50本甲种笔记本和40本乙种笔记本．为使每天获取的利润更多，店主决定把两种笔记本的价格都提高x元，在不考虑其他因素的条件下，当x定为多少时，才能使该文具店每天销售甲、乙笔记本获取的利润最大？ 55．国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，环保节能设备的产品供不应求．某公司购进了两种节能产品，其中种节能产品每件成本比种节能产品多万元；若购买相同数量的两种节能产品，种节能产品要花万元，种节能产品要花万元． (1)求两种节能产品每件的成本价； (2)公司将购进的两种节能产品进行销售，已知两种节能产品的每周销售数量（件）与每件产品售价（万元/件）都满足函数关系．若以同样价格出售两种节能产品，求这两种节能产品每周的总销售利润（万元）与每件产品售价（万元/件）之间的函数关系式：并说明这两种节能产品的售价为多少时，每周的总销售利润最大？最大总销售利润多少万元？ 题型四、增长率问题 56．为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 57．某新能源汽车配件公司四月份生产配件万个，经过连续两个月的增长，到六月份生产配件达到了万个，设每个月增长的百分率都是，则与的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 58．由于长期受新型冠状病毒的影响，核酸检测试剂需求量剧增，某医院去年一月份用量是8000枚，二、三两个月用量连续增长，若月平均增长率为x，则该医院三月份用核酸检测试剂的数量y（枚）与x的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 59．某种商品的价格是元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格（单位：元）随每次降价的百分率的变化而变化，则关于的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 60．据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度GDP总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（　　） A．y＝2.4（1+2x） B．y＝2.4（1-x）2 C．y＝2.4（1+x）2 D．y＝2.4+2.4（1+x）+2.4（1+x）2 61．某工厂第一年的利润为万元，第三年的利润万元与平均年增长率之间的函数关系式是______，自变量x的取值范围是______． 62．某商场开展了家电惠民补贴活动，其中9月份投入资金20万元，设平均每月投入资金的增长率为x（），11月份的投入资金为y万元，则可列y关于x的函数表达式为______． 63．一台机器原价为万元，如果每年价格的下降率为，两年后这台机器的价格为万元，则关于的函数关系式为__________． 64．某工厂今年八月份医用防护服的产量是60万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，求十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式． 65．中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐渐回温，我市某酒店有A、B两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住了120间，总营业收入28000元． （1）求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？ （2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低2a元，将B种房间房价下调a%，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量都比2月增加了a%，总营业收入在2月的基础上增加了a%，求a的值． 题型五、投球与喷水问题 66．如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（     ） A． B．8 C． D．9 67．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球运动时间（单位：）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是；③当时，；④当时，．其中正确的有（    ） A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④ 68．如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数（）刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表： x 0 1 2 m 4 5 6 … y 0 6 8 n … 有下列结论： ①； ②当小球飞行的水平距离为2米时，小球距离斜坡的高度为6米； ③小球的落点A距离斜坡起点O的水平距离为7米； ④小球在飞行的过程中与斜坡的最大高度差为米． 其中，正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 69．如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线（a为常数，）运动，其中x（单位：m）是铅球离初始位置的水平距离，y（单位：m）是铅球离地面的高度．若铅球在抛出时离地面的高度为，有下列结论： ①铅球运动的高度可以是； ②铅球掷出的水平距离为； ③当铅球离地面的高度为时，它离初始位置的水平距离为． 其中，正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 70．一位篮球运动员在距篮球框中心水平距离处起跳投篮，篮球沿抛物线运动．当球运动的水平距离为时，达到最大高度，随后准确落入篮球框．已知篮球框中心距地面，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（    ） A．抛物线表达式为 B．篮球框中心坐标是 C．抛物线顶点坐标是 D．篮球出手时离地面高度是 71．水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（     ） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 72．广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为．水流在各个方向上沿抛物线路径落到水池．某方向上抛物线路径的形状如图所示，已知落点B到点O的距离为．建立如图所示的平面直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间满足函数关系，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 73．某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为（   ）． A． B． C． D． 74．如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口A处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度与水平距离之间的关系如图2所示，点B为该水流的最高点，点C为该水流的落地点，且，垂足为点D，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 75．小明周末外出游玩时看到某公园有一圆形喷水池，如图1，简单测量得到如下数据：圆形喷水池直径为，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈拋物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，小明根据图示建立了平面直角坐标系，如图2，则的高度是（）    A． B． C． D． 76．有一雕塑，从点向外喷水，喷出的水柱为抛物线．如图，以为原点建立平面直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点．已知雕塑高，距水平距离处为水柱最高点，落水点与雕塑之间的距离为，则喷出的水柱最大高度为___________． 77．某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为，则的长为___________． 78．如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高_______m时，水柱落点距离O点． 79．如图，羽毛球的运动路线可以看作是一条抛物线，若不考虑外力因素，羽毛球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系：，则羽毛球飞出的水平距离为______米． 80．2026年6月11日晚，“吴越杯”足球赛决赛，金华队对阵温州队．金华队在第83分钟时一记大力抽射，扳平比分．最终点球以战胜温州队，获得冠军．如图，据球迷目测，该球员在距离球门24米处射门，当球飞出14米远处，达到最高点，最终在球门离地面1.2米高处入网．这条抛物线的表达式为_________． 81．投掷铅球时，铅球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分．如图，某人掷铅球时，铅球距地面的高度与距投掷点的水平距离之间的函数表达式为． (1)当投掷的距离为时，求的值； (2)当时，铅球处于下落状态，求的取值范围； (3)当时，铅球距地面高度的最大值与最小值之差为，求的值． 82．如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点和点处，测得距离为，若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线的一部分． (1)求，的值． (2)小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，求的整数值． 83．发石车（图1）是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车位于点O处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，点B与点O的水平距离为28米，垂直距离为6米．以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线近似看作抛物线． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为10米，求函数表达式（不写x的范围）； (2)石块能否飞越防御墙？请说明理由． 84．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一 ．记运动员在该项目的运动过程中的某个位置与起跳点的水平距离为x（单位：m），竖直高度为y（单位：m），下面记录了甲运动员起跳后的运动过程中的七组数据 ： x/m 0 10 20 30 40 50 60 y/m 54.0 57.8 57.6 53.4 45.2 33.0 16.8 下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)为观察y与x之间的关系，建立坐标系，以x为横坐标，y为纵坐标，描出表中数据对应的7个点，并用平滑的曲线连接它们； (2)观察发现，（1）中的曲线可以看作是 的一部分（填“抛物线”或“双曲线”），结合图象，可推断出水平距离约为 m（结果保留小数点后一位）时，甲运动员起跳后达到最高点； (3)乙运动员在此跳台进行训练，若乙运动员在运动过程中的最高点的竖直高度达到，则乙运动员运动中的最高点比甲运动员运动中的最高点 （填写“高”或“低”）约 m （结果保留小数点后一位）． 85．某市消防中队引进一种新型用于高层消防的举高喷射消防车，为了熟练掌握其性能，在某广场进行了一次消防演练．如图所示，打开云梯后，消防车喷水口离地面的高度为，水流落地点为点，喷出的水流呈抛物线型．以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（喷水装置和水流粗细忽略不计）已知，，从处喷出的水流高度与水平距离之间的关系为． (1)求，的值； (2)在水压和喷口方向不变的情况下，此时水流高度能达到的最大高度是多少米？ (3)点在点正前方米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在处的水流高度达到米，则消防车从点沿方向应至少前进多少米？ 86．其小组准备合作制作出一个水流装置，下面是制作装置的活动过程： 活动目的 制作简易水流装置 设计方案 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径．从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从B处流出且呈抛物线型．以点O为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，水流最终落到x轴上的点M处． 示意图 已知 轴，，，点B为水流抛物线的顶点，点A、B、O、E、M在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为 任务一 求水流抛物线的函数表达式； 任务二 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在M处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 请根据活动过程完成任务一和任务二． 87．如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线．图是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为米时，达到最大高度米，现将喷灌架置于坡地底部点处，草坡上距离的水平距离为米处有一棵高度为米的小树，垂直水平地面且点到水平地面的距离为米． (1)计算说明水流能否浇灌到小树后面的草地． (2)记水流的高度为，斜坡的高度为，求的最大值． 88．某小区考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头（如图1）．如图2，已知车棚建在，两面墙之间，为水平地面，，，消防喷淋头安装在距离地面米高的棚顶上（），其到墙面的水平距离为米，喷淋头喷洒的最外层水柱的横截面可近似看作抛物线，其顶点为，且该水柱喷射到墙面上的点处．米，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．    (1)求最外层水柱横截面所在抛物线的解析式； (2)若在处有一吊灯，吊灯遇水会发生触电危险（即点位于图中抛物线下方或恰好在抛物线上时，会有触电危险），则此吊灯在消防喷淋头喷洒时是否有触电危险？请判断并说明理由． 题型六、动点问题 89．如图，水平放置的边长为的正方形，边长为的正方形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，现将正方形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止．在这个运动过程中，正方形与正方形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（     ） A． B． C． D． 90．矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边、边向终点运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．给出下面三个结论： ①当时，四边形是平行四边形； ②的最大面积为； ③当的面积为时，或． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 91．如图所示，在中，，，点是边上一动点，沿的路径移动，过点作于点，设，的面积为S，则下列能大致反映S与m函数关系的图象是（     ） A． B． C． D． 92．如图，矩形中，，动点P从点A出发，以的速度沿线段向点B运动，动点Q同时从点A出发，以的速度沿折线向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是时，的面积是，则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 93．如图1，在正方形中，是边上一点，动点从处出发沿向目的地运动，同时动点从处出发沿向目的地运动，它们同时到达终点．设为（单位：），的面积为（单位：），关于的函数图象如图2所示，当点在线段上运动时，该时段函数图象的最高点坐标为．下列选项错误的是（     ） A． B． C． D． 94．如图1，在中，，点D在上，．动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为t秒，正方形的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．则①当时，________；②________． 95．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，两点分别从，两点同时出发，分别到达点，后停止运动，那么当的面积取得最大值时，出发时间的值是_____． 96．如图1，在矩形中，点E在上，且．动点F从点B出发，沿着线段运动，连接，当时停止运动．过点E作，交矩形的边于点G，连接．设动点F的运动路程为x，线段与矩形的边围成的三角形的面积为S，S关于x的部分函数图象如图2所示，已知图象与y轴的交点为，则的长为_______；点F由点A向终点运动的过程中，S关于x的函数表达式为______． 1．喷泉是城市中一道美丽的风景．如图1，水花从垂直地面的水管的顶端处喷射出，其在空中的飞行轨迹可近似看作一条抛物线．以水管与地面的交点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．经测量，水管的高度是米，喷出最远的水花的运动轨迹为抛物线（如图2所示），水花在与水管的水平距离为1米时，达到最大高度2米，水花之后沿抛物线下落，最终落到地面上的点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若图1中喷出的水花的运动轨迹所在的抛物线群如图3所示，且，，，这些抛物线的顶点在同一条直线上，其中一条抛物线与水平直线相交于点，请求出的顶点坐标和的表达式； (3)若喷泉水花瀑布中所有抛物线均可表示为且与直线相交于点，经测算，当时，喷泉的观赏效果最佳，请求出此时抛物线中的取值范围． 2．如图1，在中，，点P从点A出发以的速度沿路线运动，点Q从点A出发以的速度沿运动．P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动．以，为边在的上方作平行四边形，设运动时间为，平行四边形的面积为（当点A，P，Q重合或在一条直线上时，不妨设）．探究S与t的关系． 【初步感知】 （1）当点P由点A运动到点C时， ①若， ； ②S关于t的函数解析式为 ； 【深入探究】 （2）当点P由点C运动到点B时，经探究发现S关于t的函数解析式为，其图象如图2所示． ①m的值为 ； ②求S关于t的函数解析式，并求出S的最大值； 【延伸探究】 （3）在（2）的条件下，当点P在上运动时记为，运动时间记为，平行四边形的面积记为；当点P在上运动时记为，运动时间记为，平行四边形的面积记为，当，且时，求的值． 3．根据以下素材，探索完成任务． 设计跳长绳方案 素材1：某校组织跳长绳比赛，要求如下： （1）每班需要报名跳绳同学8名，左右摇绳员各1名； （2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1．    素材2：某班进行赛前训练，发现： （1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为，绳子最高点为，摇绳同学的出手高度均为，如图2； （2）8名跳绳同学身高如表． 身高（） 1.60 1.70 1.75 人数 2 4 2        素材3：观察跳绳同学的姿态（如图3），发现： 当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的．    问题解决 任务1：确定长绳形状．如图4，以长绳触地点为原点建立直角坐标系，求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的表达式． 任务2：制定排列方案．以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持的间距．请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最外侧的同学． 任务3：确定安全距离，身高为的体育老师也想参与跳绳活动，当体育老师跳进大绳时，屈膝落地，若要保证跳绳正常进行（绳子超过头顶）体育老师与左侧摇绳员的水平距离应满足的范围是____________． 4．如图1是某海底世界时空隧道的截面图，图2是它的示意图，隧道截面可近似看作抛物线和长方形构成．长方形的长是5米，宽是1米，小磊以为原点，建立如图2平面直角坐标系．设抛物线解析式为，抛物线经过点． (1)求此抛物线的解析式； (2)为保障观赏效果，定期对玻璃隧道进行清洁，工人师傅搭建一木板，点正好在对称轴右边的抛物线上，在木板的中点处设立米的支撑杆，且，求出木板所在直线的解析式； (3)在（2）的条件下，工人师傅可以站在木板上进行清洁，他能刷到的最大高度是站立位置上方铅直高度米处．若工人师傅从点沿木板向上走2米，在此过程中，他能刷到正上方拋物线玻璃隧道的高度（米）范围是___________米． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数与实际问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、 图形问题 1 题型二、 拱桥问题 13 题型三、 利润问题 29 题型四、 增长率问题 44 题型五、 投球与喷水问题 48 题型六、 动点问题 70 B综合攻坚・能力跃升 题型一、图形问题 1．如图，有一张长，宽的矩形纸板，在它的四个角处分别裁去一个同样的小正方形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设裁去的小正方形边长为，该纸盒侧面积为，根据题意得，然后通过二次函数的性质即可求解． 【详解】解：设裁去的小正方形边长为，该纸盒侧面积为， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线， ∴当时，有最大值，为． 2．如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，，则花园最大面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，求得的取值范围，再利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：设，则， 墙长，， ，， 解得， 花园的面积， ∴当时，花园面积最大，最大面积为． 3．如图，利用一面墙，用40米长的篱笆围成一块矩形场地，如果墙长为25米，那么围成矩形场地的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练利用二次函数的性质是解题的关键． 设米，则米，表示出矩形场地的面积，利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：如图，设米，则米， ，墙长为25米， ， 解得， 令矩形场地的面积为， ， 所以当时，有最大值， 即围成矩形场地的最大面积是， 故选：B． 4．如图，正方形边长为分别为各边上的点且不与顶点重合，，设小正方形的面积为为x，则S关于x的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数性质是解题关键，设为x，则，根据得出二次函数表达式，根据二次函数性质得出结论． 【详解】解：∵正方形的四边相等，四个角都是直角，且， ， ∴． 设为x，则， 根据勾股定理，得 即（）， ∴所求函数是一个开口向上，对称轴是直线的抛物线， 故选：B． 5．如图，有一块矩形空地，学校规划在其中间的一块四边形空地上种花，其余的四块三角形空地上铺设草坪，其中点E，F，G，H分别在边，，，上，且，已知．有下列结论： ①铺设草坪的面积可以是； ②种花的面积的最大值为； ③的长有两个不同的值满足种花的面积为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，设，铺设草坪的面积为，种花的面积为，根据矩形的性质结合图形列出关于x的函数关系式，进而根据各选项逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：设，铺设草坪的面积为，种花的面积为， ∴， ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为450， ∴种花的面积的最大值为；故②正确 当，即， ∴， ∴， ∴铺设草坪的面积可以是；故①正确 当时，则， ∴ 解得， ∵， ∴， ∴的长只有一个值满足种花的面积为，故③错误； 综上分析可知：正确的结论有2个． 故选：C． 6．如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为．其中不正确结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键． 设，矩形菜园的面积为，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据的长不能超过，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可． 【详解】解：设，矩形菜园的面积为，根据题意得： ， ∵的长不能超过， ∴， ∴， ∴的长不可以为，故①错误； 当时，， 解得：， ∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，故②正确； ∵， ∴菜园面积的最大值为，故③正确． 故选：B 7．如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为，门宽为．若饲养室长为，占地面积为，则关于的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意表示出垂直于墙饲养室的宽的长度，通过长和宽的实际意义列不等式组求出的范围，再求出矩形面积即可． 本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确表示出饲养室的宽的长度是解题关键． 【详解】解：饲养室长为，则宽为， 由题意， 解得， 则占地面积． 故选：D． 8．为了节省材料，某工厂利用岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80米的材料围成一个由三块面积相等的小长方形组成的矩形区域（如图），若米，则下列4个结论：①米；②；③；④矩形的最大面积为300平方米．其中正确结论的个数为（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了求二次函数的最大值，用代数式表示，长方形的面积相等，且，根据图示可知，则，设，根据面积相等得，再根据面积相等得出a，x的关系，即可判断A，B，C，再根据得出二次函数讨论极值即可． 【详解】解：如图所示，材料总长为80米，设，且， ∵长方形的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴． 根据分析得， ∴． ∵用总长为80米的材料围成一个由三块面积相等的小长方形， ∴， 解得， ∴， ∴米． 所以①错误，不符合题意； 根据题意，设由①得， ∵. ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 所以②不正确，不符合题意； 根据题意，设由①的论证结果可知， ∴， 所以③正确，符合题意； 根据②可知 ∴， ∴长方形的面积是， ∴根据抛物线的顶点可知， ∴（平方米）， 所以结论④正确，符合题意． 正确的有2个． 故选：B． 9．如图，在一个直角三角形内部作一个矩形，其中和分别在两直角边上，如果设矩形的一边的长为，要使矩形面积最大，的取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，二次函数的应用，先证明，可得，然后根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：如图，设矩形的一边的长为， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴； ∴矩形的面积， ∵， ∴当时，面积有最大值． 故选：C． 10．某农户想要用栅栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，另外三边用栅栏围成，若栅栏的总长为10米，设长方形靠墙的一边长为x米，面积为y平方米，则y与x满足的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据实际问题列函数关系式，利用长方形面积等于长乘宽计算即可． 【详解】解：由题意得：平行墙的边长为， ∴面积， 故选：D． 11．如图，学校要在校园内建一个矩形的开心农场，其中一边紧靠围墙，且的长不能超过，其余三边用长的铁质栅栏围成．有下列结论： ①的长可以为； ②当农场的面积为时，满足条件的的长只有一个值； ③农场面积的最大值为． 其中，正确的是______（只需填序号）． 【答案】② 【分析】设边长为，则边长为，当时，解方程即可判断①；根据开心农场面积为，列出一元二次方程，解方程，即可判断②；设矩形菜园的面积为，根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质，结合的取值范围即可判断③． 【详解】解：设边长为，则边长为， 当时， 解得， 的长不能超过， ，故①不正确； 开心农场面积为， 解得， 又∵， ， 满足条件的的长只有一个值，故②正确； 由题意得，设矩形开心农场的面积为， 根据题意得，， ，， 当时，有最大值，最大值为不可能为，故③不正确； 综上所述，正确的是②． 12．如图所示，修建一个矩形猪舍，猪舍一面靠墙，墙长，另外三面用长的建筑材料围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括建筑材料）．所围矩形猪舍的边为___________时，猪舍面积最大（为整数） 【答案】9 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，设，猪舍的面积为，则，根据矩形面积计算公式可得，再求出x的取值范围，最后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设，猪舍的面积为，则， 由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵x为整数， ∴当时，y有最大值， ∴当时，猪舍面积最大， 故答案为：9． 13．如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围成的栅栏的总长是，花圃能围成的最大面积是． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用，掌握知识点是解题的关键． 设长为，，花圃的面积为，依题意得到 ，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设长为，，花圃的面积为，依题意，得 ， ∵时，函数图象开口向下，对称轴为． ∴当时，S取得最大值，最大值为： ． 综上，花圃能围成的最大面积是． 故答案为：． 14．如图，一块矩形土地由篱笆围着，并且由一条与边平行的篱笆分开．已知篱笆的总长为（篱笆的厚度忽略不计），当______m时，矩形土地的面积最大． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数函数的实际应用，设，求出的长度关系，然后求出四边形的面积关系式，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：设，则， ∴矩形的面积为， ∵，开口向下， ∴当时， S取得最大值为平方米， 故答案为． 15．如图、利用长为50m的篱笆及一面墙围一个矩形花圃（墙足够长）为了便于打理，决定在与墙平行的边上预留出宽为2m的出口．设边的长为，花圃的面积为，则与之间的函数关系式是________．    【答案】 【分析】根据矩形的面积公式用含x的代数式表示y即可． 【详解】解：由题意可得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，根据题意正确列出函数关系式是解题的关键． 题型二、拱桥问题 16．赛龙舟是中国端午节的习俗之一．某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分．如图所示建立平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度与到点的水平距离近似满足函数关系．据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．有下列结论： ①水面宽度； ②拱桥的最大高度是； ③若每条龙舟赛道宽度为，最多可设计龙舟赛道条． 其中，正确结论的个数有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，求出的值，可判断①正确，把解析式化为顶点式，可判定②正确，令，求出的值，可得水面的安全距离为，可得设计龙舟赛道数为，即可判定③正确；综上即可得答案． 【详解】解：∵竖直高度与到点的水平距离近似满足函数关系， ∴当时，， 解得：，， ∴水面宽度，故①正确； ∵， ∴拱桥的最大高度是，故②正确； ∵龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少， ∴通过拱桥时龙舟最高处到水面至少， 当时，， 解得：，， ∴水面的安全距离为， ∵每条龙舟赛道宽度为， ∴可设计龙舟赛道数为(个)， ∴最多可设计龙舟赛道条，故③正确． 综上所述：正确结论的个数有个． 17．如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为（        ）米． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用，求出抛物线当时的值即可得解． 【详解】解：根据题意，当时，得：， 解得：或． ∴水面宽度为：（米）． 故选：B． 18．如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷．在抛物线上取四点、、、，且线段，都与地面平行，抛物线最高点到的距离为，，，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线形的实际问题，建立恰当坐标系得出抛物线解析式是解决问题的关键； 如图建立平面直角坐标系，求出解析式，然后代入的横坐标即可． 【详解】解：如图建立坐标系： ∵抛物线最高点到的距离为，，， ∴， 设 将代入得， ∴ 即： 当时， 即点到的距离为：． 故选：C ． 19．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，则水面下降时，水面宽度为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，自变量的值的计算是关键． 根据题意建立平面直角坐标系，运用待定系数法得到解析式为，结合题意把代入计算即可求解． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系， ∴抛物线过， 设抛物线的解析式为， 把代入得，，即， 解得，， ∴二次函数解析式为， ∵水面下降，即， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， ∴， ∴水面宽度为， 故选：B ． 20．图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为了一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2．已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确地求出函数解析式是解题的关键．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出x的值，即可得的长． 【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， ， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ， 故选：A． 21．如图，有一个截面边缘为抛物线型的水泥门洞．门洞内的地面宽度为，两侧距地面高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为，则这个门洞内部顶端离地面的距离为（　　）     A． B．8 C． D． 【答案】D 【分析】建立直角坐标系，得到二次函数，门洞高度即为二次函数的顶点的纵坐标. 【详解】解：如图，以地面为x轴，门洞中点为O点，画出y轴，建立直角坐标系，    由题意可知各点坐标为，，， 设抛物线解析式为把B、D两点带入解析式， ∴，解得：， ∴解析式为，则， 所以这个门洞内部顶端离地面的距离为， 故选D. 【点睛】本题考查二次函数的简单应用，能够建立直角坐标系解出二次函数解析式是本题关键. 22．如图，是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在位置时，水面宽度为，此时水面到桥拱的距离是，则抛物线的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知，设抛物线解析式为，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：根据题意可知． 设抛物线解析式 ， 将代入， 得：， 解得， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，掌握利用待定系数法求函数解析式是解题关键． 23．某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）．有下列结论： ①； ②池底所在抛物线的解析式为； ③池塘最深处到水面CD的距离为1.8m； ④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半， 则最深处到水面的距离减少为原来的． 其中结论正确的是（    ） A．①② B．②④ C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】根据两点距离公式可计算AB长度，由图像可知抛物线的对称轴和点坐标，设出抛物线解析式，将已知点坐标代入即可得出抛物线方程，进而逐项判断即可． 【详解】①由题可知，AB=15－（﹣15）=30m，则①错误； ②对称轴为y轴，交y轴于点(0，﹣5)，设函数解析式为 ,将点(15,0)代入解析式得，解得，池底所在抛物线解析式为，则②正确； ③将代入解析式得 ，解得，则池塘最深处到水面CD的距离为m,则③错误； ④设原宽度为时最深处到水面的距离为m，宽度减少为原来的一半时距离为m，故④正确， 所以①、③错误，②、④正确， 选项B正确，符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线的图像与性质的实际应用，关键是结合图像设出适当的解析式，利用待定系数法求解． 24．如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O与水面的距离CO是2m，则当水位上升1.5m时，水面的宽度为（    ） A．0.4m B．0.6m C．0.8m D．1m 【答案】C 【分析】根据题意可建立平面直角坐标系，然后设函数关系式为，由题意可知，代入求解函数解析式，进而问题可求解． 【详解】解：建立如图所示的坐标系： 设函数关系式为，由题意得：， ∴， 解得：， ∴， 当y=-0.5时，则有， 解得：， ∴水面的宽度为0.8m； 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． 25．廊桥是我国古老的文化遗产，抛物线形的廊桥示意图如图所示．已知抛物线的函数表达式为，为增加安全性，在该抛物线上同一高度且水平距离为米的两处安装警示灯，则警示灯离水面的距离为______米． 【答案】 【分析】抛物线对称轴为轴，由，水平距离为8米，可得点横坐标，代入解析式即可求出点纵坐标，即所求距离． 【详解】解：抛物线关于轴对称，，在抛物线上同一高度且水平距离为米， 点的横坐标为， 将代入抛物线解析式，得， 警示灯离水面的距离为米． 26．卢沟桥如图①，“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一蝀分波夹镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为24米，若按如图②所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则主桥拱最高点到水中倒影的距离为_____米． 【答案】22 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，把代入求出k，根据镜面对称可得，即可求得结果． 【详解】解：∵约为24米， ∴， 把代入得：， 解得， ∴， ∴主桥拱最高点点坐标为， ∵P和关于x轴对称， ∴（米）， 即主桥拱最高点到水中倒影的距离为22米． 故答案为：22． 27．如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为米时，水面宽度为米；那么当水位上升米后，水面的宽度为___________米．（结果可带根号） 【答案】 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，如图所示（见详解），可知抛物线与轴的两个交点分别是，，且对称轴为，此时抛物线的最大值为，由此即可求出抛物线的解析式，当水位上升米时，求函数自变量的值，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系， ∴抛物线过点，，且顶点坐标为， 设抛物线的解析为，将顶点坐标代入得，，即， ∴，则抛物线的解析式为：， 当水位上升米，即时，， 整理得，，解方程得，，， ∴水面的宽度为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，理解和掌握待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图形的性质是解题的关键． 28．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米． 【答案】/ 【分析】根据已知得出直角坐标系，通过代入A点坐标（3，0），求出二次函数解析式，再根据把x=4代入抛物线解析式得出下降高度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，由题意可得：AO=OB=3米，C坐标为（0，2）， 通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，把点A点坐标（3，0）代入得， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为：； 当水面下降，水面宽为8米时，有 把代入解析式，得； ∴水面下降米； 故答案为：； 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键． 29．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在正常水位的情况下，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．则当水位下降m=________时，水面宽为5m？ 【答案】 【分析】以抛物线的顶点为原点建立坐标系，则可以设函数的解析式是y=ax2，然后求得水面与抛物线的交点坐标，利用待定系数法求解抛物线的解析式，再利用点的坐标特点即可求解． 【详解】解：如图，建立如下的坐标系： 水面与抛物线的交点坐标是（-2，-2），， 设函数的解析式是y=ax2， 则4a=-2， 解得， 则函数的解析式是． 当水面宽为5米时，把代入抛物线的解析式可得： （米）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，建立合适的平面直角坐标系，求得水面与抛物线的交点是解题的关键． 30．某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，如图，已知这座桥的跨度米，拱高米，且设计方案为抛物线型，抛物线的解析式为．现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面米，此货船能否顺利通过这座桥？请说明理由． 【答案】货船不能顺利通过这座桥，理由如下： 当时，即， 解得，． ，且， 货船不能顺利通过该桥． 【分析】根据题意，当时，可得方程，再解方程，即可得出结论． 【详解】略 31．如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是．经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图）． (1)你选择的方案是______（填“方案一”“方案二”或“方案三”），则B点坐标是______； (2)求出你所选方案中的抛物线的解析式； (3)因降暴雨水位上升，此时水面宽为多少？ 【答案】(1)方案一，；方案二，；方案三， (2)方案一，；方案二；方案三， (3) 【分析】（1）根据水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是，求出点坐标； （2）三种方案中抛物线开口都向下，故抛物线解析式二次项系数为负，根据题意先求出顶点坐标，设解析式为顶点式，再代入（1）中点B坐标，即可求出抛物线解析式； （3）任意选择三种方案中的一种，根据暴雨水位上升代入对应抛物线解析式，求解即可． 【详解】（1）解：分情况讨论： 选择方案一： 由题意得，; 选择方案二： 由题意得，; 选择方案三： 由对称性可知点与点关于轴对称，，， 又桥洞与水面的最大距离是，， ． （2）解：分情况讨论： 选择方案一：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为; 选择方案二：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为; 选择方案三：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为． （3）解：选择方案三中的解析式， ， 暴雨水位上升后，代入，得， 解得或， 水面宽为． 32．某城市建设调研小组发现，广州部分公交站台的遮阳棚在风雨天气下存在安全隐患与遮挡不足的问题．为优化设计，该小组考察了某遮阳棚的结构．以下为该小组调研报告的部分记录，请认真阅读，并解决问题． 发现问题确定目标 遮阳棚抗风加固 公交车安全停靠 模型抽象与图形表示 遮阳棚横截面示意图，棚顶可视为抛物线的一部分如图2所示． 公交车停靠示意图如图3所示（忽略公交车车顶的实际弧度、空调装置等微小起伏，假设车厢顶部在车辆全长范围内是完全平坦且水平的．） 条件与规范整理 如图4当风力较大时，需在棚内侧安装钢架（为线段）加固，且在棚顶与钢架之间安装一根垂直钢架（在棚顶，在上，轴）． 车身完全覆盖要求： 公交车需完全停入遮阳棚下方，即车辆整体（包括车厢最高点）均位于遮阳棚的横向覆盖范围内． 垂直安全间隙要求： 车厢最高点与棚顶之间需保持一定的安全间隙，以避免因车辆振动、风载或路面不平等因素发生碰撞． 实测数据采集 棚顶最高点到地面距离为4米，棚顶与立柱交点到地面距离为2米，、两点水平距离为12米． 已知车身长约8米，公交车车厢最高点距地面约米，车身宽度与站台停靠都匹配，不考虑宽度影响． 问题解决： (1)如图2，以地面为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式： (2)如图3，请通过计算说明钢架加固前该公交车能否完全停入遮阳棚正下方； (3)如图4，根据安全规范，垂直钢架的长度不低于米．请问钢架加固后遮阳棚是否存在安全隐患或遮挡不足的问题． 【答案】(1) (2)解：当时，， 解得或（舍去） ∵，且， ∴该公交车能够完全停入遮阳棚正下方； (3)钢架加固后遮阳棚不存在安全隐患或遮挡不足的问题 【分析】（1）建立平面直角坐标系，确定点的坐标，然后利用待定系数法求解； （2）当时，求出点的横坐标，然后根据车身长度进行比较即可； （3）求出直线的解析式，设，则，得出的最大值，然后根据临界点求值进行判断． 【详解】（1）解：根据题意得，，抛物线顶点坐标为， 假设抛物线解析式为， 将代入解析式得，， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：略； （3）解：设的解析式为， 将，代入解析式得， ， 解得， ∴的解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，的最大值为， ∴钢架加固后遮阳棚不存在安全隐患， 当时，， 解得， ∵， ∴不存在遮挡不足问题 ∴钢架加固后遮阳棚不存在安全隐患或遮挡不足的问题． 题型三、利润问题 33．将进货价格为40元的商品按单价45元售出时，能卖出150个，已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个，设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题关键是理解“单价每上涨1元，其销售量就减少5个”的含义．根据利润计算公式，每个商品的利润为售价减进货价，上涨元后每个商品的利润为元，销售数量因上涨元减少个，那么现在的销量为个，然后利用利润等于每个商品的利润乘以销售数量，列出式子即可． 【详解】解：设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元， 那么， 故选：B． 34．彝族年假期期间，某店销售特产苦荞饼，经调查发现每盒苦荞饼售价为20元时，日销售量为500盒，当每盒售价每下降1元时，日销售量会增加10盒．已知每盒苦荞饼的成本为10元，设每盒降价x元，商家每天的利润为y元，则y与x之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，审清题意、弄清数量关系是解题的关键． 由“”列出y与x之间的函数表达式即可． 【详解】解：由题知：日销售量为盒，每盒利润为元， 所以y与x之间的函数关系式为． 故选：D． 35．某商店购进某种商品，该商品的进价为40元/件．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300件，销售单价每降低1元，每天的销量增加20件．现商店决定降价销售，设每天的销量为件，销售单价为元，商店每天销售该商品获得的利润为元，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一次函数与二次函数的实际应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系并表示出来．根据“销售单价每降低1元，每天的销量增加20件”结合“当销售单价定为元时，每天可售出件”；即可表示出与之间的函数关系式，再表示出每天销售该商品获得的利润等于单件利润乘以销量即可求解． 【详解】解：由题可得： ， ． 故选：B． 36．市场调查表明：某种水果一周内的销售率y（销售率售出数量进货数量）与价格倍数x（价格倍数售出价格进货价格）的关系满足函数关系 （）．根据有关规定，该商品售价不得超过进货价格的2倍，同时，一周内未售出的水果直接废弃．某商场希望通过销售该种水果可获取的最大利润率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的应用，设这种水果的进货价格为，则售出价格为，进货数量为，则售出数量为，利润率为，根据“利润率出货价格进货价格售出数量进货价格进货数量进货价格进货数量”列出关于的函数解析式，利用二次函数的性质求得最值即可．解题的关键是熟练掌握利润率的计算公式，并根据利润率公式设出所需量及二次函数的性质． 【详解】解：设这种水果的进货价格为，则售出价格为，进货数量为，则售出数量为，利润率为， 则， ∵商品售价不得超过进货价格的2倍， ∴， ∵当时，利润率随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 故选：C． 37．某旅社有100张床位，当每床每晚收费10元时，客床可全部租出；若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位租出；若每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的方法变化下去，为了投资少且利润大，每床每晚应提高（    ） A．4元和6元 B．4元 C．6元 D．8元 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用．解题的关键是理解题意，找到等量关系．根据题意列出二次函数，根据二次函数的性质求出最大值． 【详解】解：设每床每晚收费应提高个元，获得利润为元， 取整数， 当或时，最大， 当时，每床收费提高元，床位最少，即投资最少． 为了投资少且利润大，每床每晚应提高6元． 故选C． 38．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（    ）元． A．50 B．90 C．80 D．70 【答案】D 【分析】本题考查二次函数解应用题，涉及二次函数图象与性质、二次函数最值等，根据题意，设降价元，每月获得最大利润为，得到，利用二次函数最值求法即可得到答案，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：设降价元，每月获得最大利润为，则 ， ， 抛物线开口向下，即当时，有最大值， 该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为元， 故选：D． 39．“直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某直播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．经调查发现每件售价99元时，日销售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元），则与之间的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元），则销售量为件，由此即可得出答案，理解题意，找准变量之间的关系是解此题的关键． 【详解】解：设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元）， 每件售价99元时，日销售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件， 每件电子产品售价为（元）时，销售量为件， 与之间的函数解析式为， 故选：C． 40．某种商品每天的销售利润元与单价元之间的函数关系式为，则这种商品每天的最大利润为（    ） A．50元 B．60元 C．40元 D．30元 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据二次函数解析式可知二次函数开口向下，则在对称轴处取得最大值，即60，据此可得答案． 【详解】解：∵某种商品每天的销售利润元与单价元之间的函数关系式为，， ∴当时，y有最大值，最大值为60， ∴这种商品每天的最大利润为60元， 故选B． 41．信阳毛尖又称豫毛峰，是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一．已知一批信阳毛尖每罐的进价为30元，售价定为50元/罐时，每天可销售60罐，为了促进销售，商家决定采取适当的降价措施，经调查发现，售价每降低2元，每天销量可增加20罐（销售单价不低于进价），则商家降价能获得的最大利润为_____元． 【答案】1690 【分析】设降价金额为元，根据“总利润=每罐利润×销售量”列出二次函数关系式，利用二次函数的性质求最大值即可． 【详解】解：设商家降价元，每天获得的利润为元， ∵ 每罐进价为元，原售价为元， ∴ 降价后每罐利润为元． ∵ 售价每降低元，销量增加罐，原销量为罐， ∴ 降价元后，销售量为罐， 又∵销售单价不低于进价， ∴， 解得， 总利润， ∵ ，二次函数开口向下，在顶点处取得最大值，顶点的横坐标为，满足， 将代入得， 因此商家降价能获得的最大利润为元． 42．道县某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千元降价x（元）之间满足一次函数关系（其图象如图所示），则这种干果每千克降价___________元时，可获得最大利润． 【答案】5 【分析】利用待定系数法可求出；设获得的利润为W元，根据总利润每千克的利润销售量列出W关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设， 由题意得，， ∴， ∴； 设获得的利润为W元， 则 ， ∵， ∴当时，W有最大值，最大值为2250， ∴这种干果每千克降价5元时，可获得最大利润． 43．某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需要对每个房间每天支出40元的各种费用．则宾馆获得的利润y（元）与房价x（元）（x为10的倍数）之间的函数解析式为______，宾馆利润最大利润是______元． 【答案】 10240 【分析】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．由题意得y 关于 x 的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】解：由题意得： ， ，抛物线开口向下， 当时， y 有最大值，为10240， 答：房间定价为360元时，利润最大，最大利润为10240元． 故答案为：，10240． 44．某服装店购进一批单价为50元的衬衫，如果按90元销售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种衬衫的销售价每降低1元，其销售量相应增加2件．当降价___________元时，该服装店的销售利润最大． 【答案】15 【分析】本题考查二次函数的实际应用，设降价元，总利润为元，利用总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数，利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】解：设降价元，总利润为元，由题意，得： ， 整理，得：， ∴当时，的值最大； 故答案为：15． 45．北京冬奥会推出的吉祥物“冰墩墩”“雪容融”深受人们的喜爱，销售火爆．某经销商以60元/个的价格购进了一批“冰墩墩”摆件，打算采取线下和线上两种方式销售，调查发现线下每周销售量y（个）与售价x（元/个）满足一次函数关系： 售价x（元/个） … 80 90 100 … 销量y（个） … 400 300 200 … 线下销售，每个摆件的利润不得高于进价的80%；线上售价为100元/个，供不应求．若该经销商共购进“冰墩墩”1000个，一周内全部销售完．合理分配线下和线上的销量，可使全部售完后获得的利润最大，最大利润是____________元（不计其它成本）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用和待定系数法求函数解析式，关键是设出与的函数表达式为然后用待定系数法求函数解析式即可，然后根据总利润线下销售利润线上销售利润列出函数解析式找最值． 【详解】 设与的函数表达式为， 则 ， 解得：， ∴与的函数表达式为 ， 当线下销量为)个时，线上销量为个, 设全部售完后获得的利润为元，根据题意得： ， ∵线下销售，每个摆件的利润不得高于进价的， ， 解得：， ∵，对称轴为， ∴当时，有最大值，最大值为元， 故答案为为：. 46．某件商品的销售利润y（元）与商品单价x（元）之间满足，不考虑其他因素，该商品的单价定为__________元时，销售一件该商品获得的利润最大，最大利润为__________元． 【答案】 3 2 【分析】根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】解：∵某件商品的销售利润y（元）与商品单价x（元）之间满足，， ∴该商品的单价定为3元时，销售一件该商品获得的利润最大，最大利润为2元， 故答案为：3；2． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 47．某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为______________元（利润=总销售额-总成本）．    【答案】121 【分析】利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润=单价商品利润×销售量”列出二次函数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值． 【详解】解：当时，设，把（10，20），（20，10）代入可得： ， 解得， ∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为， 设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元， ， ∵1<0， ∴当时，w有最大值为121， 故答案为：121． 【点睛】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握“利润=单价商品利润×销售量”的等量关系及二次函数的性质是解题关键． 48．春节贴春联是中国的传统习俗，在春节来临前，某超市购进一种春联，每副春联的进价是20元，并且规定每副春联的售价不少于25元，不超过38元．根据以往的销售经验，当每副春联的售价定为25元时，日销售量为250副，每副春联的售价每提高1元，日销售量减少10副．当每副春联的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大日销售利润是多少元？ 【答案】当每副春联的售价定为35元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元 【分析】设每副春联的售价为元，日销售利润为元，其中，根据题意列出关于的二次函数，结合二次函数的性质计算即可得出结果． 【详解】解：设每副春联的售价为元，日销售利润为元，其中， 由题意得， ∵，且， ∴当时，取得最大值为， 即当每副春联的售价定为35元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元． 49．某乡镇企业积极响应国家乡村全面振兴号召，依托本地特色资源，计划投资生产某种产品．投产第一年企业需要至少生产13万件产品，受产能限制，产量不超过24万件，并且生产的产品能全部售出．经调研，投产第一年该产品的总成本（万元）与产量（万件）之间近似满足二次函数关系，部分数据见下表： 产量（万件） … 15 18 20 … 总成本（万元） … 285 336 360 … （总利润=总销售额－总成本） (1)求投产第一年该产品的总成本与产量之间的函数关系式； (2)投产第一年，如果该产品每件售价为20元，生产该产品多少万件时，总利润最大？最大总利润是多少？ (3)投产第一年，如果该产品每件售价为元时，总利润会随着产量的增大而增大，则的最小值是多少？ 【答案】(1) (2)生产24万件时总利润最大，最大总利润是96万元 (3)m的最小值是24 【分析】（1）代入两组已知的产量与总成本的对应值，得到关于的二元一次方程组，解方程组求出二次函数的系数即可得到函数解析式； （2）根据总利润的计算公式列出利润关于产量的函数，结合二次函数的开口方向、对称轴与产量的取值范围，求出最大利润； （3）先列出总利润关于产量和售价的函数关系式，根据二次函数的单调性与对称轴的关系，结合产量的取值范围列不等式，求解得到的最小值． 【详解】（1）解：将和代入 得： 解得： 总成本与产量之间的函数关系式为． （2）设生产该产品万件时，总利润为万元，根据题意得： ． 抛物线开口向上，对称轴为直线， ， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 距离对称轴比距离对称轴远， 当时，取得最大值， ． 答：生产该产品24万件时总利润最大，最大总利润是96万元． （3）设生产该产品万件时，总利润为万元，根据题意得： 对称轴为直线． 总利润随着产量的增大而增大，且， 对称轴， 解得：． 的最小值为． 50．某水果批发商销售每箱进价为元的苹果，在确保每箱苹果的售价不低于元的情况下，物价部门规定，每箱苹果售价不高于元，经市场调查发现，平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系如图所示． (1)求平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并写出的取值范围； (2)求平均每天的销售利润（元）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并求出当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润；最大利润是多少元？ 【答案】(1)函数关系式为，的取值范围是． (2)函数关系式为，当每箱苹果售价为元时，可获得最大利润，最大利润为元． 【分析】（1）根据图像，平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间是一次函数关系，设函数解析式代入已知点求解即可，售价需满足不低于进价元，且不高于物价部门规定的元； （2）根据平均每天的销售利润（元）每箱苹果的利润平均每天的销售量（箱），将有关代数式代入公式中，可以得到平均每天的销售利润（元）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式为开口向下的二次函数，结合的取值范围和二次函数的对称轴即可确定的最大值． 【详解】（1）解：由图像可知，与是一次函数关系， 设函数解析式为， 已知图像上两点和， 代入解析式中可得 ， 解得， 函数关系式为． 根据题目条件，售价需不低于每箱进价元，且不高于物价部门规定的元， 的取值范围是． （2）根据利润的计算公式：平均每天的销售利润（元）每箱苹果的利润平均每天的销售量（箱），即． 将（1）中得到的代入利润公式，整理得， ， 这是一个开口向下的二次函数，其对称轴为． 的取值范围是， 该区间在对称轴左侧，随的增大而增大， 当时，取得最大值，（元）， 当每箱苹果售价为元时，可获得最大利润元． 51．某商场销售一种进价为每件25元的商品，售价为每件35元时，每天可售出50件；售价每上涨1元，每天的销售量就减少2件．设每件商品的售价为x元（且为整数），每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式； (2)当每件商品的售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当售价定为42元或43元时，每天利润最大，最大利润为612元 【分析】（1）利润涨价后销售每件获得的利润涨价后的销售量，据此列出函数关系式即可求解； （2）对称轴为直线，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：对称轴为直线， 因为x为整数，且两侧的整数为42和43，， 当时， （元）． 当时： （元）． 答：当售价定为42元或43元时，每天利润最大，最大利润为612元． 52．某县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发定价为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．设每千克降价元，每天销量为y千克． (1)直接写出与的函数关系式： (2)当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？ (3)若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？ 【答案】(1) (2)当降价为4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元 (3)43元 【分析】（1）根据“批发定价为48元/千克时，每天可销售500千克，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．”列出函数关系式，即可； （2）根据题意，列出函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可； （3）令（2）中，打得到关于x的方程，即可求解． 【详解】（1）解：与的函数关系式为； （2）解：设每天的利润为元， 由题意得： ，开口向下，有最大值，       时，最大为9800元， 答：当降价为4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元； （3）解：当时，， 整理得： 解得：， 让利于民，需要降价更多， 不合题意，舍去， 定价应为（元）， 答：若工厂每天的利润要达到9750元，则定价应为43元． 53．某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，销售单价定为25元时，月销售量为1050件；当销售单价每上涨1元，月销售量就减少50件．设销售单价为x（元），月销售量为y（件），月获利（月获利=月销售额月进价）为w（元）． (1)试写出y与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）； (2)试写出w与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；并求当销售单价为多少时，月获利最大，最大月获利为多少？ 【答案】(1) (2)，当销售单价为33元时，月获利最大，最大月获利为8450元 【分析】（1）根据月销售量销售单价上涨钱数，即可得出y与x之间的函数关系式； （2）根据月利润=单件利润×销售数量，即可得出w与x之间的函数关系式，配方后再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：根据题意得：． ∵， ∴当时，w取最大值，最大值为8450． ∴当销售单价为33元时，月获利最大，最大月获利为8450元． 54．某文具店经销甲、乙两种不同的笔记本，已知两种笔记本的进价之和为10元，每个笔记本的利润均为1元，小王同学买4本甲种笔记本和3本乙种笔记本共用了43元． (1)甲、乙两种笔记本的进价分别是多少元？ (2)该文具店购入这两种笔记本共1000本，花费不超过5200元，则购入甲种笔记本最多多少本？ (3)店主经统计发现平均每天可售出甲种笔记本300本和乙种笔记本150本．如果两种笔记本的售价各提高1元，则每天将少售出50本甲种笔记本和40本乙种笔记本．为使每天获取的利润更多，店主决定把两种笔记本的价格都提高x元，在不考虑其他因素的条件下，当x定为多少时，才能使该文具店每天销售甲、乙笔记本获取的利润最大？ 【答案】(1)甲种笔记本的进价是6元，乙种笔记本的进价是4元 (2)购入甲种笔记本最多600本 (3)当定为2时，才能使该文具店每天销售甲、乙笔记本获取的利润最大 【分析】（1）设甲种笔记本的进价是元，则乙种笔记本的进价是元，根据每个笔记本的利润均为1元，小王同学买4本甲种笔记本和3本乙种笔记本共用了43元，列出方程进行求解即可； （2）设购入甲种笔记本本，根据花费不超过5200元，列出不等式进行求解即可； （3）设把两种笔记本的价格都提高x元的总利润为W元，根据题意列出二次函数关系式，求最值即可． 【详解】（1）解：设甲种笔记本的进价是元，则乙种笔记本的进价是元． 由题意， 解得， ∴； 答∶甲种笔记本的进价是6元，乙种笔记本的进价是4元． （2）解：设购入甲种笔记本本， 则， 解得， 答∶购入甲种笔记本最多600本． （3）解：设把两种笔记本的价格都提高x元的总利润为W元． 则， ∵， ∴抛物线的开口向下， ∴当时，W最大， 即时，最大利润为元． 答∶当x定为2时，才能使该文具店每天销售甲、乙笔记本获取的利润最大． 55．国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，环保节能设备的产品供不应求．某公司购进了两种节能产品，其中种节能产品每件成本比种节能产品多万元；若购买相同数量的两种节能产品，种节能产品要花万元，种节能产品要花万元． (1)求两种节能产品每件的成本价； (2)公司将购进的两种节能产品进行销售，已知两种节能产品的每周销售数量（件）与每件产品售价（万元/件）都满足函数关系．若以同样价格出售两种节能产品，求这两种节能产品每周的总销售利润（万元）与每件产品售价（万元/件）之间的函数关系式：并说明这两种节能产品的售价为多少时，每周的总销售利润最大？最大总销售利润多少万元？ 【答案】(1)种节能产品每件的成本价为万元，B种节能产品每件的成本价为万元 (2)，当节能产品的售价为万元，每周的销售利润最大万元 【分析】（）设种节能产品每件的成本价为万元，种为万元，根据“万元买的数量与万元买的数量相等”列分式方程，求解并检验即可； （）根据利润公式列出总利润关于售价的表达式，化简为二次函数后配方成顶点式，利用二次函数性质，求出售价为万元时，每周销售利润最大为万元． 【详解】（1）解：设种节能产品每件的成本价为万元，种为万元， ，解： 经检验是原方程的解． 种节能产品每件的成本价为万元，种节能产品每件的成本价为万元． （2）解：， 即， ， ∵， ∴， 当时，最大为． 当节能产品的售价为万元，每周的销售利润最大万元． 题型四、增长率问题 56．为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】主要考查增长率问题，列函数关系式，正确理解题意是关键；一般用增长后的量=增长前的量增长率，如果设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，然后根据已知条件可得答案． 【详解】解：设该公司投放垃圾桶数量的月平均增长率为x， 依题意得第三个月投放垃圾桶个， 则 故选：A. 57．某新能源汽车配件公司四月份生产配件万个，经过连续两个月的增长，到六月份生产配件达到了万个，设每个月增长的百分率都是，则与的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的应用，设每个月增长的百分率都是，根据题意列出函数表达式即可，读懂题意，列出关系式是解题的关键． 【详解】解：设每个月增长的百分率都是，依题意得：， 故选：． 58．由于长期受新型冠状病毒的影响，核酸检测试剂需求量剧增，某医院去年一月份用量是8000枚，二、三两个月用量连续增长，若月平均增长率为x，则该医院三月份用核酸检测试剂的数量y（枚）与x的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用，设月平均增长率为x，根据题意列出函数关系式即可． 掌握增长率问题中增加量平均增长率原销售量，抓住公式列函数式是解题关键． 【详解】设月平均增长率为x， 根据题意得，． 故选：B． 59．某种商品的价格是元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格（单位：元）随每次降价的百分率的变化而变化，则关于的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意利用增长率公式表示出与的函数解析式进而判断即可. 【详解】解：根据题意得y=2（1-x）2， 所以y与x之间的函数解析式为y=2（1-x）2． 故选：B. 【点睛】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，注意掌握根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． 60．据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度GDP总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（　　） A．y＝2.4（1+2x） B．y＝2.4（1-x）2 C．y＝2.4（1+x）2 D．y＝2.4+2.4（1+x）+2.4（1+x）2 【答案】C 【分析】根据平均每个季度GDP增长的百分率为x，第二季度季度GDP总值约为2.4（1+x）元，第三季度GDP总值为2.4（1+x）2元，则函数解析式即可求得． 【详解】解：设平均每个季度GDP增长的百分率为x， 则y关于x的函数表达式是：y=2.4（1+x）2． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键． 61．某工厂第一年的利润为万元，第三年的利润万元与平均年增长率之间的函数关系式是______，自变量x的取值范围是______． 【答案】 （或） 【详解】解：由题意可知第一年的利润为万元； 第二年的利润为万元； 第三年的利润为万元， 则（或）； 由于利润呈增长状态，因此增长率为正，即． 62．某商场开展了家电惠民补贴活动，其中9月份投入资金20万元，设平均每月投入资金的增长率为x（），11月份的投入资金为y万元，则可列y关于x的函数表达式为______． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数的关系式的知识，从9月到11月经过两个月，每月增长率为x，因此11月资金是9月资金乘以的平方． 【详解】解：9月份投入资金为20万元，每月增长率为x，则10月份投入资金为万元，11月份投入资金为万元， 故． 故答案为：． 63．一台机器原价为万元，如果每年价格的下降率为，两年后这台机器的价格为万元，则关于的函数关系式为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，解题的关键是理解题意，掌握两年后价格原价． 根据题意列出函数解析式即可． 【详解】解：由题意得：两年后的价格为：， 故y与x的函数关系式是：． 故答案为：． 64．某工厂今年八月份医用防护服的产量是60万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，求十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据十月份医用防护服的产量等于八月份医用防护服的产量乘以（月平均增长率）的平方，即可得解． 【详解】解：根据题意得：y与x之间的关系应表示为． 十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为：． 65．中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐渐回温，我市某酒店有A、B两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住了120间，总营业收入28000元． （1）求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？ （2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低2a元，将B种房间房价下调a%，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量都比2月增加了a%，总营业收入在2月的基础上增加了a%，求a的值． 【答案】（1）80；（2）20． 【分析】（1）设A、B两种房间入住分别为x、y间，然后根据题目已知条件列方程组进行求解计算即可； （2）先根据已知条件算出A、B两种房间的入住间数，然后算出总营业收入，然后根据算出对比与2月的增长率，列式计算即可得到答案． 【详解】解：（1）设A、B两种房间入住分别为x、y间，由题意可知： 把①×200得 用②-③得：，解得 把代入①中，解得 故入住A房间的有80间． （2）由题意得： 下调后A房间的房价=，B房间的房价= 由题目已知条件和（1）中计算的结果知： 下调后A房间的入住间数=，B房间的入住间数= 故三月份的总收入= 又∵三月份比二月份总营业收入增加了 ∴ 即 解得：，（舍去） 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用问题，二次函数与增长率的问题，解题的关键在于能够根据已知条件找到等量关系进行列式计算． 题型五、投球与喷水问题 66．如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（     ） A． B．8 C． D．9 【答案】C 【分析】先求出抛物线的解析式，再求出它与轴的正半轴的交点的横坐标即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 又它与轴的交点坐标为， 所以， 解得：， 所以抛物线的解析式为， 当时，， 解得：，， 所以铅球落地点到出手点的时间为秒． 67．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球运动时间（单位：）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是；③当时，；④当时，．其中正确的有（    ） A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】由图象得，抛物线顶点坐标为，即可判断①②，然后利用待定系数法求出函数解析式，然后分别将和代入即可判断③④． 【详解】解：①由图象得，抛物线顶点坐标为 ∴小球抛出3秒时达到最高点，故①正确； ②小球从抛出到落地经过的路程应为该小球从上升到落下的长度，故，故②正确； ③设函数解析式为：， 把代入得，解得， 函数解析式为， 当时，，故③错误； ④当时，， 解得：，故④错误． 综上所述，其中正确的有①②． 68．如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数（）刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表： x 0 1 2 m 4 5 6 … y 0 6 8 n … 有下列结论： ①； ②当小球飞行的水平距离为2米时，小球距离斜坡的高度为6米； ③小球的落点A距离斜坡起点O的水平距离为7米； ④小球在飞行的过程中与斜坡的最大高度差为米． 其中，正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用待定系数法可求出二次函数解析式为，可判断①；②分别求出当时，两函数对应函数值，可判断②；联立得两函数解析式，求出x的值，可判断③；求出小球在飞行的过程中与斜坡的最大高度差与x的函数关系，再利用二次函数的性质，可判断④． 【详解】解：①根据小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知：抛物线过点， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为， 当时，， 解得：或（舍去）， ∴， 当时，，故①正确； ②对于，当时，， 对于，当时，， ∴当小球飞行的水平距离为2米时，小球距离斜坡的高度为米，故②错误； 联立得：， 解得：， ∴小球的落点A距离斜坡起点O的水平距离为7米，故③正确； 小球在飞行的过程中与斜坡的高度差， ∵， ∴当时，h的值最大，最大值为， 即小球在飞行的过程中与斜坡的最大高度差为米，故④错误； 综上所述，正确的有①③． 69．如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线（a为常数，）运动，其中x（单位：m）是铅球离初始位置的水平距离，y（单位：m）是铅球离地面的高度．若铅球在抛出时离地面的高度为，有下列结论： ①铅球运动的高度可以是； ②铅球掷出的水平距离为； ③当铅球离地面的高度为时，它离初始位置的水平距离为． 其中，正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】先将点代入，并求出关系式，再根据最高点判断①；然后将代入关系式，求出解判断②；接下来将代入关系式，求出解判断③即可． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为， 当时，， ∴铅球运动的高度可以是； 当时，， 解得， ∴铅球掷出的水平距离为； 当时，， 解得， ∴它离初始位置的水平距离是或． 所以正确的有①②共2个． 70．一位篮球运动员在距篮球框中心水平距离处起跳投篮，篮球沿抛物线运动．当球运动的水平距离为时，达到最大高度，随后准确落入篮球框．已知篮球框中心距地面，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（    ） A．抛物线表达式为 B．篮球框中心坐标是 C．抛物线顶点坐标是 D．篮球出手时离地面高度是 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用，对于A，设抛物线的表达式为，依题意可知图象经过的点的坐标，由此可得a的值，据此将得到的解析式与A选项对照，即可得到其正误；对于B、C，根据函数图象判断，即可得到其正误；对于D，设这次跳投时，球出手处离地面，将代入计算即可求得结论． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的函数关系式为． ∵， ∴篮球框中心在抛物线上，故选项B错误； ∴，解得， ∴此抛物线的解析式是，故选项A正确， ∴抛物线的顶点坐标是．故选项C错误； 设篮球出手时离地面的高度是， 当时，， 所以，篮球出手时离地面的高度是，故选项D错误． 故选：A． 71．水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（     ） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 【答案】B 【分析】根据关系式可知抛物线开口向下，再求出对称轴即可． 【详解】解：，， ∴当时，水火箭达到最高点． 72．广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为．水流在各个方向上沿抛物线路径落到水池．某方向上抛物线路径的形状如图所示，已知落点B到点O的距离为．建立如图所示的平面直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间满足函数关系，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际进行求解． 由题意可得，抛物线经过点和，把上述两个点坐标代入二次函数表达式，可求出a和c的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度． 【详解】解：由题意可得，抛物线经过点和， 把上述两个点坐标代入二次函数表达式得： ， 解得：， ∴函数表达式为：， ∵， ∴函数有最大值， ∴当时，y取得最大值，此时， 即水流喷出的最大高度为． 故选：B． 73．某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，把代入求出点坐标即可求解，求出点坐标是解题的关键． 【详解】解：把代入得， ， 解得，（不合，舍去）， ∴点， ∴， ∴， 故选：． 74．如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口A处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度与水平距离之间的关系如图2所示，点B为该水流的最高点，点C为该水流的落地点，且，垂足为点D，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式． 根据题意可得，设抛物线的表达式为．将代入，求出a的值，即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴， 设抛物线的表达式为． 将代入，得， 解得． 抛物线的表达式为． 令，则． 解得，（不合题意，舍去）． 的长为． 故选：D． 75．小明周末外出游玩时看到某公园有一圆形喷水池，如图1，简单测量得到如下数据：圆形喷水池直径为，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈拋物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，小明根据图示建立了平面直角坐标系，如图2，则的高度是（）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题主要考查了二次函数实际应用中的喷泉问题，解题的关键是根据题意得到点的坐标； 设解析式为由题意得到顶点坐标及与轴交点的坐标，代入求解即可得到抛物线解析式；令，代入求解即可得到答案； 【详解】选择图2中第一象限内的抛物线求其对应的函数关系式， 由题意，得抛物线的顶点坐标为， 设抛物线对应的函数关系式为6， 将点代入，得，解得， ∴抛物线对应的函数关系式为， 当时，， ∴点的纵坐标为； 则的高度是， 故选：B． 76．有一雕塑，从点向外喷水，喷出的水柱为抛物线．如图，以为原点建立平面直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点．已知雕塑高，距水平距离处为水柱最高点，落水点与雕塑之间的距离为，则喷出的水柱最大高度为___________． 【答案】6 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键． 根据题意得水柱形成抛物线的对称轴为直线，过点，，用待定系数法求出函数的解析式，即可得到喷出水柱的最大高度． 【详解】解：∵距水平距离处为水柱最高点， ∴抛物线的对称轴为直线， 设水柱所在抛物线的函数表达式为． 雕塑高， 点的坐标为． 落水点与雕塑之间的距离为， 点的坐标为， 解得 水柱所在抛物线的函数表达式为， ∵，开口向下，二次函数有最大值， 喷出的水柱最大高度为． 故答案为：． 77．某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为，则的长为___________． 【答案】18 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点，熟练掌握该知识点并准确计算是解题的关键．将代入，求得点的坐标，然后根据对称性，得到的长度，最后求得的长度即可． 【详解】解：将代入，得到， 解得，或（舍） ， ， 从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同， ， ， 故答案为：18． 78．如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高_______m时，水柱落点距离O点． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数 在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质 是解题关键． 由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高时，可设将代入解析式得出喷头高时，可设 将代入解析式得联立可求出和的值，设喷头高为时，水柱落点距点，则此时的解析式为将代入可求出． 【详解】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化， 当喷头高时，可设， 将代入解析式得出①； 喷头高时，可设； 将代入解析式得 ②； 联立可求出， 设喷头高为时，水柱落点距点， ∴此时的解析式为 将代入可得 解得 ， 故答案为：． 79．如图，羽毛球的运动路线可以看作是一条抛物线，若不考虑外力因素，羽毛球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系：，则羽毛球飞出的水平距离为______米． 【答案】5 【分析】根据羽毛球飞出的水平距离即为抛物线与x轴正半轴交点到原点的距离求出即可． 【详解】解：当时，， 解得（舍去），， ∴羽毛球飞出的水平距离为5米． 80．2026年6月11日晚，“吴越杯”足球赛决赛，金华队对阵温州队．金华队在第83分钟时一记大力抽射，扳平比分．最终点球以战胜温州队，获得冠军．如图，据球迷目测，该球员在距离球门24米处射门，当球飞出14米远处，达到最高点，最终在球门离地面1.2米高处入网．这条抛物线的表达式为_________． 【答案】 【分析】先求出点的横坐标为，设这条抛物线的表达式为，再利用待定系数法计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：点的横坐标为， 设这条抛物线的表达式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴． 81．投掷铅球时，铅球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分．如图，某人掷铅球时，铅球距地面的高度与距投掷点的水平距离之间的函数表达式为． (1)当投掷的距离为时，求的值； (2)当时，铅球处于下落状态，求的取值范围； (3)当时，铅球距地面高度的最大值与最小值之差为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据可知当投掷的距离为时，铅球落地，即时，，然后将点代入二次函数解析式即可求出a的值． （2）由题意可知抛物线对称轴直线在的左侧，且当时，，然后列出不等式组求解即可． （3）根据函数图象，分三种情况求解，即对称轴在4的右侧；对称轴在2的左侧；对称轴在2和4之间，然后结合二次函数的图象和性质分别求出最大值和最小值，结合已知条件列出方程求解并进行取舍即可得出答案. 【详解】（1）解：由题意可知，当投掷的距离为时，铅球落地，即时，， 将点代入，得： ， 解得． （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴直线为， ∵当时，铅球处于下落状态， ∴抛物线的对称轴直线，且当时，， 解得：． （3）解：， ∴抛物线的对称轴直线为， 分三种情况： （1）当对称轴时，即，当时，y随着x的增大而增大， 即当时，， 当时，， 根据题意可知：， 解得， （2）当对称轴时，即，在时，y随着x的增大而减小， 此时即当时，， 当时，， 根据题意可知：， 解得，（舍去） （3）当时，即， 当时离对称轴直线较时离对称轴直线远时， 则当时，， 即当时，， 根据题意可知：， 解得(舍去)或． 当时离对称轴直线较时离对称轴直线近时， 则当时， 当时，， 根据题意可知：， 解得(舍)或（舍）． 综上：或． 82．如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点和点处，测得距离为，若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线的一部分． (1)求，的值． (2)小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，求的整数值． 【答案】(1)， (2)的整数值为， 【分析】（1）待定系数法求出抛物线表达式即可求出的值，再利用，求出函数值即可求出的值． （2）根据题意确定的坐标范围是，代入坐标求出的取值范围，根据为整数要求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 将代入抛物线，得 ， 解得． ∴抛物线＋2， ∴时，， ∴． （2）解：∵小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包， ∴此时，点的坐标范围是． 当抛物线经过点时， ， 解得 当抛物线经过点时， ， 解得 ∴ ∵为整数， ∴符合条件的的整数值为，． 83．发石车（图1）是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车位于点O处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，点B与点O的水平距离为28米，垂直距离为6米．以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线近似看作抛物线． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为10米，求函数表达式（不写x的范围）； (2)石块能否飞越防御墙？请说明理由． 【答案】(1) (2)石块能飞越防御墙； 理由如下：由题意知，点的坐标为， ； 当时，， 石块能飞越防御墙． 【分析】（1）由题意知，函数的最大值为10，即；再把原点坐标代入，即可求得函数解析式； （2）确定点C的坐标，求出函数取点C的横坐标时的函数值，与点C的纵坐标比较，若大于点C的纵坐标，则能飞越，否则不能； 【详解】（1）解：由题意得，函数的最大值为10，即， 将点代入抛物线，得， 解得， 此抛物线的表达式； （2）略 84．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一 ．记运动员在该项目的运动过程中的某个位置与起跳点的水平距离为x（单位：m），竖直高度为y（单位：m），下面记录了甲运动员起跳后的运动过程中的七组数据 ： x/m 0 10 20 30 40 50 60 y/m 54.0 57.8 57.6 53.4 45.2 33.0 16.8 下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)为观察y与x之间的关系，建立坐标系，以x为横坐标，y为纵坐标，描出表中数据对应的7个点，并用平滑的曲线连接它们； (2)观察发现，（1）中的曲线可以看作是 的一部分（填“抛物线”或“双曲线”），结合图象，可推断出水平距离约为 m（结果保留小数点后一位）时，甲运动员起跳后达到最高点； (3)乙运动员在此跳台进行训练，若乙运动员在运动过程中的最高点的竖直高度达到，则乙运动员运动中的最高点比甲运动员运动中的最高点 （填写“高”或“低”）约 m （结果保留小数点后一位）． 【答案】(1)平滑的曲线连接作图如下： (2)抛物线；14.5 (3)高； 【分析】（1）根据题意画图即可； （2）根据图表求解即可； （3）求出抛物线解析式即可求解． 【详解】（1）解：略； （2）解：根据所学函数，（1）中的曲线可以看作是抛物线的一部分； 设该抛物线的解析式为， 将代入解析式中，得， 解得， 即， 开口向下，当时，y最大， （3）解：当时，y最大， 且最大为， ∴； ∵乙运动员在运动过程中的最高点的竖直高度达到，甲运动员的最高点的竖直高度大约为， ∴乙运动员运动中的最高点比甲运动员运动中的最高点高，高． 85．某市消防中队引进一种新型用于高层消防的举高喷射消防车，为了熟练掌握其性能，在某广场进行了一次消防演练．如图所示，打开云梯后，消防车喷水口离地面的高度为，水流落地点为点，喷出的水流呈抛物线型．以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（喷水装置和水流粗细忽略不计）已知，，从处喷出的水流高度与水平距离之间的关系为． (1)求，的值； (2)在水压和喷口方向不变的情况下，此时水流高度能达到的最大高度是多少米？ (3)点在点正前方米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在处的水流高度达到米，则消防车从点沿方向应至少前进多少米？ 【答案】(1)， (2)水流高度能达到的最大高度是米 (3)消防车从点沿方向应至少前进米 【分析】（1）根据已知数据确定点、，再利用待定系数法求解即可； （2）将抛物线表达式转化为顶点式，即可得到答案； （3）先求出当时，，，再由平移即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 将和代入中，得， 解得； （2）解：由（1）知抛物线的表达式为：， 将表达式转化为顶点式为：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流高度能达到的最大高度是米； （3）解：令，即，整理得：， 解得：，， ∵点在点正前方米处， ∴， ∴至少需前进（米）， ∴消防车从点沿方向应至少前进米. 86．其小组准备合作制作出一个水流装置，下面是制作装置的活动过程： 活动目的 制作简易水流装置 设计方案 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径．从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从B处流出且呈抛物线型．以点O为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，水流最终落到x轴上的点M处． 示意图 已知 轴，，，点B为水流抛物线的顶点，点A、B、O、E、M在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为 任务一 求水流抛物线的函数表达式； 任务二 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在M处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 请根据活动过程完成任务一和任务二． 【答案】任务一：水流抛物线的函数表达式为； 任务二： 圆柱形水杯最左端到点O的距离是， 当时，． ， ∴水流能流到圆柱形水杯内． 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法，函数值的计算是关键． 任务一：根据题意抛物线的对称轴为：，则，，运用待定系数法即可求解； 任务二：圆柱形水杯最左端到点O的距离是，求出当时的值，进而判断即可. 【详解】解：任务一： 轴，，点B为水流抛物线的顶点， ∴抛物线的对称轴为：． ． ． 把点代入抛物线得： ， 把代入得： ． 解得：． ． ∴水流抛物线的函数表达式为：． 任务二：略 87．如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线．图是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为米时，达到最大高度米，现将喷灌架置于坡地底部点处，草坡上距离的水平距离为米处有一棵高度为米的小树，垂直水平地面且点到水平地面的距离为米． (1)计算说明水流能否浇灌到小树后面的草地． (2)记水流的高度为，斜坡的高度为，求的最大值． 【答案】(1)能浇灌到小树后面的草坪 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的顶点式、解析式的求解以及二次函数最值的求法是解题的关键． （1）先根据抛物线顶点式设出表达式，代入已知点求出解析式，再代入求出水流高度，与小树高度比较判断能否浇灌． （2）先求出斜坡高度的表达式，再求出的表达式，根据二次函数性质求最大值． 【详解】（1）解：由题可知：抛物线的顶点为，设水流形成的抛物线为， 将点代入可得 解得， ∴抛物线为， 当时， ， 答：能浇灌到小树后面的草坪； （2）解：由题可知点坐标为，则直线为， ， ， 当时，的最大值为； 答：的最大值为； 88．某小区考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头（如图1）．如图2，已知车棚建在，两面墙之间，为水平地面，，，消防喷淋头安装在距离地面米高的棚顶上（），其到墙面的水平距离为米，喷淋头喷洒的最外层水柱的横截面可近似看作抛物线，其顶点为，且该水柱喷射到墙面上的点处．米，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．    (1)求最外层水柱横截面所在抛物线的解析式； (2)若在处有一吊灯，吊灯遇水会发生触电危险（即点位于图中抛物线下方或恰好在抛物线上时，会有触电危险），则此吊灯在消防喷淋头喷洒时是否有触电危险？请判断并说明理由． 【答案】(1)； (2) 解：此吊灯在消防喷淋头喷洒时有触电危险； 理由如下： 将代入， 可得：， ， 消防喷淋头喷洒时有触电危险． 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质． （1）根据消防喷淋头安装在距离地面米高的棚顶上，其到墙面的水平距离为米，可知顶点的坐标为，根据米，可知点的坐标为，设抛物线的解析式为，用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）求出当时消防喷淋头的高度是米，超过了吊灯的高度，所以有触电的危险． 【详解】（1）解：由题意得：顶点的坐标为，点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入， 可得：， 解得：， 则抛物线的解析式为 整理可得：； （2）略 题型六、动点问题 89．如图，水平放置的边长为的正方形，边长为的正方形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，现将正方形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止．在这个运动过程中，正方形与正方形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、交于点，正方形的边与正方形交于点、，交于点，分四种情况讨论，分别求出重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系表达式，进而得到对应的函数图象，即可得解． 【详解】解：如图，连接、交于点，正方形的边与正方形交于点、，交于点， 边长为的正方形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合， ，，，垂直平分， ， ①当时，叠部分的面积为，此时， ， ， ， ， ； ②当时，叠部分的面积为，此时， 同理可得，， ， 即当时，有最大值为2； ③当时，叠部分的面积为，此时， 同理可得，， ； ④当时，叠部分的面积为，此时， 同理可得，， ， 综上可知，当时，图象为开口向上的抛物线；当时，图象为开口向下的抛物线，且有最大值为2；当时，图象为开口向下的抛物线；当时，图象为开口向上的抛物线， 只有B选项符合题意． 90．矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边、边向终点运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．给出下面三个结论： ①当时，四边形是平行四边形； ②的最大面积为； ③当的面积为时，或． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】①利用三角形面积公式计算即可判断；②分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式，再利用二次函数的性质即可判断；③同②分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式计算即可判断． 【详解】解：①当时，如图2， ，， ∴， ∴， ∵矩形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形，①正确； ②当点在上，点在上，此时时，如图1， ，， ∴当时，的最大面积为； 当点在上，点在上，此时时，如图3， ，，， ∴当时，的最大面积为； 当点在上，点在上，此时时，如图4， ，，，， ∴ ， ∵，当时，随的增大而减少， ∴不存在最大值， 综上，的最大面积为，②正确； ③当点在上，点在上，此时时， 又②可知：，， 由题意得， ∴（负值已舍）； 当点在上，点在上，此时时， 由②可知：， 由题意得， ∴（不符合题意，舍去）； 当点在上，点在上，此时时， ， 由题意得， ∴（不符合题意，舍去）或； 综上，当的面积为时，或，③正确． 91．如图所示，在中，，，点是边上一动点，沿的路径移动，过点作于点，设，的面积为S，则下列能大致反映S与m函数关系的图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分两种情况分类讨论：当时，利用等腰直角三角形的性质得出与的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分；当时，利用三角形面积公式得出y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， 过点C作与点H， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向上， 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， 故选项B符合题意． 92．如图，矩形中，，动点P从点A出发，以的速度沿线段向点B运动，动点Q同时从点A出发，以的速度沿折线向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是时，的面积是，则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先理解题意，算出以及点在，，线段上的时间，然后分别讨论点在上运动的情况，然后根据面积公式列式，即可求解． 【详解】解：∵矩形中，， ∴， ∵动点P从点A出发，以的速度沿线段向点B运动，动点Q同时从点A出发，以的速度沿折线向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止 ∴ ∵设点P的运动时间是时，的面积是， ∴①当点在上运动时，即： ， 这是开口方向向上的二次函数； ∴②当点在上运动时，即： ； 这是一次函数； ∴③当点在上运动时，即： ， 这是开口方向向下的二次函数； 综上分析可知，选项A中的函数图象符合题意． 93．如图1，在正方形中，是边上一点，动点从处出发沿向目的地运动，同时动点从处出发沿向目的地运动，它们同时到达终点．设为（单位：），的面积为（单位：），关于的函数图象如图2所示，当点在线段上运动时，该时段函数图象的最高点坐标为．下列选项错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设正方形边长为，根据动点从到的路程为、动点从沿到的路程为且二者同时到达终点，得出的速度是的倍，即的运动路程为；再分三段讨论的运动位置：当在上运动时，写出的面积表达式，代入、求出的长度，即可判断选项；当在上运动时，写出对应的面积表达式，代入、和已求得的，求出正方形边长，即可判断选项B；当在上运动时，此时在线段上，写出面积的二次函数表达式并化为顶点式，得到顶点坐标即该时段函数图象的最高点，即可判断选项C和D． 【详解】解：设正方形边长为，则动点从到的路程为，动点从沿到的路程为， ∵二者同时到达终点， ∴点的速度是点的倍，即的运动路程为， 当在上运动（即）时，的纵坐标为， 的面积， 将，代入，得 ， 解得， ∴选项A正确，该选项不符合题意； 当在上运动（即）时，的纵坐标为， 的面积， 将，，代入，得 ， 解得，即正方形边长， ∴选项B正确，该选项不符合题意； 当在上运动（即）时，的纵坐标为， 此时在线段上，， 的面积， 这是开口向下的二次函数，顶点坐标为， ∴，， ∴选项C正确，该选项不符合题意； 选项D错误，该选项符合题意． 94．如图1，在中，，点D在上，．动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为t秒，正方形的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．则①当时，________；②________． 【答案】 3 11 【分析】先由函数图象可得当点运动到点时，，由此求出，当时，点的运动路程为1，即此时点在上，求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求出，当点在上时，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，可设关于的函数解析式为，利用待定系数法求出，当时，． 【详解】解：由函数图象可得当点运动到点时，，， ∵， ， ∴, ∴， 当时，，此时点在上， ∴， ∴； 当点在上时， 由图可知，对应的二次函数的顶点坐标为， ∴设， 把代入，得, 解得，， ∴， 当时， ， 即． 95．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，两点分别从，两点同时出发，分别到达点，后停止运动，那么当的面积取得最大值时，出发时间的值是_____． 【答案】3 【分析】本题主要考查二次函数应用—动点问题，二次函数图象与性质等知识．根据题意得到，，则，由三角形的面积公式可得，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：设运动时间为， 根据题意有：，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故S关于t的函数解析式为； ∵， ∵， ∴当时，的面积S有最大值． 故答案为：3． 96．如图1，在矩形中，点E在上，且．动点F从点B出发，沿着线段运动，连接，当时停止运动．过点E作，交矩形的边于点G，连接．设动点F的运动路程为x，线段与矩形的边围成的三角形的面积为S，S关于x的部分函数图象如图2所示，已知图象与y轴的交点为，则的长为_______；点F由点A向终点运动的过程中，S关于x的函数表达式为______． 【答案】 ． 【分析】本题属于二次函数动点问题综合，考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 依据抛物线与轴的交点坐标为，得到时，，进而推导出，当点与点重合时，点与点重合时，利用勾股定理求得，由得，解得；过点作于点，利用，得，求得，．从而得到． 【详解】解：抛物线与轴的交点的坐标为， 即当时，， 当时，点与点重合，此时线段与矩形的边围成的三角形为，如图， ，． ； 当点与点重合时，点与点重合，如图， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴得 ∴，即， ； 如图，过点作于点， ∴， 设动点F的运动路程为x， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ， ． ； ∵时，停止运动， ∴点F由点A向终点运动，此时的取值范围为：， 故答案为： 4；． 1．喷泉是城市中一道美丽的风景．如图1，水花从垂直地面的水管的顶端处喷射出，其在空中的飞行轨迹可近似看作一条抛物线．以水管与地面的交点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．经测量，水管的高度是米，喷出最远的水花的运动轨迹为抛物线（如图2所示），水花在与水管的水平距离为1米时，达到最大高度2米，水花之后沿抛物线下落，最终落到地面上的点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若图1中喷出的水花的运动轨迹所在的抛物线群如图3所示，且，，，这些抛物线的顶点在同一条直线上，其中一条抛物线与水平直线相交于点，请求出的顶点坐标和的表达式； (3)若喷泉水花瀑布中所有抛物线均可表示为且与直线相交于点，经测算，当时，喷泉的观赏效果最佳，请求出此时抛物线中的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）由题意可知，，顶点坐标为，再利用待定系数法求解； （2）利用配方法求出的顶点坐标，再设直线的表达式，利用待定系数法求解； （3）先求出点、的坐标，再将抛物线顶点坐标代入直线，得出，则，再列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将点代入，得， 解得：， 抛物线的函数表达式为； （2）解：, 的顶点坐标为， 设直线的表达式为， ，，，这些抛物线的顶点在同一条直线上，且，的顶点坐标分别为，， ，解得：， 的表达式为； （3）解：令，则， 解得：（舍），， ， 令，则， 解得：（舍），， ， ， 抛物线顶点坐标为 由（2）可知，顶点所在的直线的表达式为， ， ， 解得：或， 当时，抛物线开口向下，顶点在，不符合题意， ， ， ， ， 解得：， 即当喷泉的观赏效果最佳时，抛物线中的取值范围为． 2．如图1，在中，，点P从点A出发以的速度沿路线运动，点Q从点A出发以的速度沿运动．P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动．以，为边在的上方作平行四边形，设运动时间为，平行四边形的面积为（当点A，P，Q重合或在一条直线上时，不妨设）．探究S与t的关系． 【初步感知】 （1）当点P由点A运动到点C时， ①若， ； ②S关于t的函数解析式为 ； 【深入探究】 （2）当点P由点C运动到点B时，经探究发现S关于t的函数解析式为，其图象如图2所示． ①m的值为 ； ②求S关于t的函数解析式，并求出S的最大值； 【延伸探究】 （3）在（2）的条件下，当点P在上运动时记为，运动时间记为，平行四边形的面积记为；当点P在上运动时记为，运动时间记为，平行四边形的面积记为，当，且时，求的值． 【答案】（1）①1；②；（2）①16；②（），最大值为；（3） 【分析】（1）①作于点，求出的长，根据平行四边形的性质，求出面积即可；②同①法计算即可； （2）①把代入（1）②中的解析式，计算即可；②待定系数法求出函数解析式即可； （3）根据当时，，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：（1）①点P从点A出发以的速度沿路线运动，点Q从点A出发以的速度沿运动．设运动时间为， 当时，，， 作于点E，如图1，    ∵， ∴， ∴平行四边形的面积为：； ②由题意，得：，， ∴， ∴； （2）①由图象可知，当时，此时点P恰好运动到点C， 由（1）②可知：， 故； ②由图象和①可知，抛物线过，， 将两点坐标分别代入，得：， 解得， ∴S关于t的函数解析式为（）； 当时，S取得最大值，最大值为； （3）由题图2可知，点P与点C重合时，，点P与点B重合时，， ∴，， 由题意可知，， ∴， 当时，则：， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴，， 当时，， ∴当时，的值为． 3．根据以下素材，探索完成任务． 设计跳长绳方案 素材1：某校组织跳长绳比赛，要求如下： （1）每班需要报名跳绳同学8名，左右摇绳员各1名； （2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1．    素材2：某班进行赛前训练，发现： （1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为，绳子最高点为，摇绳同学的出手高度均为，如图2； （2）8名跳绳同学身高如表． 身高（） 1.60 1.70 1.75 人数 2 4 2        素材3：观察跳绳同学的姿态（如图3），发现： 当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的．    问题解决 任务1：确定长绳形状．如图4，以长绳触地点为原点建立直角坐标系，求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的表达式． 任务2：制定排列方案．以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持的间距．请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最外侧的同学． 任务3：确定安全距离，身高为的体育老师也想参与跳绳活动，当体育老师跳进大绳时，屈膝落地，若要保证跳绳正常进行（绳子超过头顶）体育老师与左侧摇绳员的水平距离应满足的范围是____________． 【答案】任务1：；任务2：绳子在最高点时，长绳不会触碰到最外侧的同学；任务3： 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，掌握相关知识是解题的关键． 任务1：按照题意建立的平面直角坐标系，易得抛物线的对称轴为轴，与轴交于点，并且经过点，设出相应的函数解析式，进而把点代入即可求得长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式； 任务2：8个同学，按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持的间距，易得最外侧同学所在的横坐标，代入（1）中得到的解析式，可得最外侧同学所在的地方抛物线的高度，计算出最外侧同学屈膝后的身高，与抛物线的高度比较即可判断绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最外侧的同学； 任务3：由题意得身高为的体育老师屈膝落地时高度为，代入抛物线解析式可得对应的横坐标，即可求得体育老师与左侧摇绳员的水平距离应满足的范围． 【详解】解：任务1：由题意设抛物线的表达式为， 把代入得，， 解得， ∴抛物线的表达式为． 任务2：由题意得，最外侧的同学距中心， 当时，， ∵， ∴绳子在最高点时，长绳不会触碰到最外侧的同学． 任务3：∵， 当时，则， 解得， ∴体育老师与左侧摇绳员的水平距离应满足的范围是． 故答案为：． 4．如图1是某海底世界时空隧道的截面图，图2是它的示意图，隧道截面可近似看作抛物线和长方形构成．长方形的长是5米，宽是1米，小磊以为原点，建立如图2平面直角坐标系．设抛物线解析式为，抛物线经过点． (1)求此抛物线的解析式； (2)为保障观赏效果，定期对玻璃隧道进行清洁，工人师傅搭建一木板，点正好在对称轴右边的抛物线上，在木板的中点处设立米的支撑杆，且，求出木板所在直线的解析式； (3)在（2）的条件下，工人师傅可以站在木板上进行清洁，他能刷到的最大高度是站立位置上方铅直高度米处．若工人师傅从点沿木板向上走2米，在此过程中，他能刷到正上方拋物线玻璃隧道的高度（米）范围是___________米． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）设，根据的中点，得到， 由，且米，得到，确定t的值，确定G的坐标，待定系数法求解析式即可； （3）过点M作轴，垂足为点E，交抛物线于点Q，根据题意，得，故，确定工人工作时站立的横坐标范围是；过点Q作，设的解析式为，根据题意，得， 解得，故直线与抛物线有两个交点，故点P在抛物线上，解答即可． 本题考查了待定系数法，中点坐标公式，解方程，求不等式的解集，抛物线的性质，熟练掌握待定系数法，抛物线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：长方形的长是5米，宽是1米，小磊以为原点， 设抛物线解析式为，抛物线经过点， 故即， 又长方形的长是5米，宽是1米， 故抛物线经过，， 故即， 解得，， 故抛物线的解析式为． （2）解：点G是对称轴右侧抛物线上一点， 不妨设， 又的中点为点， 故， 由，且米， 故， 整理，得， 解得， 又的对称轴是直线， 故舍去， 故， 故， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为． （3）解：过点M作轴，垂足为点E，交抛物线于点Q， 根据题意，得， 当时，， 故， 根据题意，得， 解得或（舍去）， 故工人工作时站立的横坐标范围是； 过点Q作， 设的解析式为， 根据题意，得， 整理，得, 解得， 故直线与抛物线有两个交点， 故点P在抛物线上， 故时，，， 故， 过点P作轴，垂足为点F，交直线于点H， 此时，,符合题意， 此时他能刷到正上方拋物线玻璃隧道的高度（米）范围是米． 当时，此时他能刷到正上方拋物线玻璃隧道的高度（米）大于米，不符合题意． 故他能刷到正上方拋物线玻璃隧道的高度（米）范围是米． 故答案为：． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $