第26章 二次函数 专题练 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 以二次函数为核心，系统整合与特殊三角形、四边形及几何变换的综合应用，通过分类讨论、几何性质转化等方法构建解题体系，体现“性质-应用-变换”的知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次函数与特殊三角形|7题（含3道综合题）|等腰三角形腰分类、直角三角形直角顶点分类、等腰直角三角形全等转化|二次函数性质→三角形判定条件→坐标关系建立| |二次函数与特殊四边形|7题（含4道综合题）|平行四边形对边关系、矩形邻边垂直、菱形四边相等、正方形全等判定|函数图象→四边形性质→存在性问题论证| |二次函数与几何变换|10题（含3道综合题）|平移“左加右减”、轴对称坐标关系、旋转中心对称变换|函数解析式→变换规律→新图象性质推导|

第26章 二次函数专题练 专题1 二次函数与特殊三角形 类型一 二次函数与等腰三角形 1.抛物线 与x轴交于A，B两点(点A在点B 左侧)，与y轴交于点C，在 y轴上找一点P，使得△PAC是以AC 为腰的等腰三角形，则点 P 的坐标为 . 2.已知抛物线 与直线y=-x+3相交于A，B两点，在抛物线的对称轴上找一点Q，使△ABQ是等腰三角形，则点 Q的坐标为 . 3.(2025·宿迁模拟)如图,抛物线 与x轴交于点A(1,0)和B(3,0),与 y轴交于点C，D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E. (1)求抛物线的函数解析式. (2)如图①，在抛物线的对称轴DE上求作一点M，使△AMC的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值. (3)如图②，P是x轴上的动点，过点 P 作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC 于点F，G.设点P 的横坐标为m，是否存在点 P，使△FCG是以FG为腰的等腰三角形?若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由. 类型二 二次函数与直角三角形 4.抛物线 与x轴交于A，B两点(点A在点B 左侧)，与y轴交于点C.在坐标轴上存在点 N，使得△BCN为直角三角形，则点 N的坐标为 . 5.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 的顶点为 P.直线l过点M(0,m)(m≥-3)，且平行于x轴，与抛物线L₁交于A，B两点(点B在点A 的右侧).将抛物线L₁沿直线l翻折得到抛物线L₂,抛物线L₂交y轴于点C,顶点为D.连接BC,CD,DB,若△BCD为直角三角形，求此时L₂所对应的函数解析式. 类型三 二次函数与等腰直角三角形 6.抛物线 与x轴交于A(1，0)，B两点，点P在抛物线的对称轴上，若线段 PA绕点 P 逆时针旋转90°后，点A 的对应点 A'恰好落在此抛物线上，则点 P 的坐标为 . 7.如图，抛物线 交x轴于A,B两点,交y轴于点C.直线y= kx-5经过B,C两点,若点 A(1,0),B(-5,0),P是抛物线上的一个动点(不与点A,B重合). (1)求抛物线的函数解析式. (2)过点 P作直线PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E,当PE=3ED时,求点 P 的坐标. (3)若F是直线BC上的一个动点，请判断在点 B右侧的抛物线上是否存在点 P，使△AFP是以PF 为斜边的等腰直角三角形.若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. 专题2 二次函数与特殊四边形 1.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 与直线y=x-3交于A，B两点，抛物线的顶点为C.设直线AB与抛物线的对称轴交于点E，在射线 EB上存在一点M，过点M作x轴的垂线交抛物线于点 N，若点 M，N，C，E是平行四边形的四个顶点，则点 M的坐标为 . 2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过x轴上的点A，直线AB 与抛物线在第一象限交于点B(2，6).若以点A，O，B，N为顶点的四边形是平行四边形，则点 N的坐标是 ” 3.如图，二次函数 的图象经过B(0,4),C(4,0)两点,顶点为 D.在直线CD上有点E，作EF⊥x轴于点 F，当以点O，B，E，F为顶点的四边形是矩形时，点E的坐标为 . 4.如图，抛物线 交x轴于A，B两点(点A在点B 的左侧)，交y轴于点C，直线y=x-5 经过点B,C.过点A 的直线交直线BC于点M.当AM⊥BC时,过抛物线上一动点 P(不与点B，C重合)，作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则点 P 的横坐标为 . 5.(2025·金湖模拟)如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，3)，点A 在原点的左侧，点B的坐标为(3，0)，P 是抛物线上一个动点，且在直线 BC 的上方. (1)求这个二次函数的解析式. (2)连接PO,PC,并把△POC沿CO 翻折,得到四边形 POP'C,那么是否存在点 P,使四边形POP'C为菱形?若存在，请求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. 6.(2025·博山区模拟)如图，抛物线 与x轴交于点A(3,0),B(1,0),与y轴交于点C,且OA=OC. (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图，在直线AC上方的抛物线上存在一点M，使得 求出点 M 的坐标； (3)若P 是该抛物线上位于直线AC 下方的一动点，从点C沿抛物线向点A 运动(点P 与点A不重合)，点D在抛物线的对称轴上，Q是平面内任意一点，当B，P，D，Q四点构成的四边形为正方形时，请直接写出点 Q的坐标. 7.(2025·崇川区期末)已知二次函数 (m为常数，且：m≠0). (1)当m=1时，求该二次函数的图象的顶点坐标； (2)直线y=2x+b与该二次函数的图象交于 两点，若当m>0时，有 求b的取值范围； (3)顺次连接A(-2,0),B(8,0),C(8,12),D(-2,12),D(-2,12),，得到矩形ABCD，若该二次函数的图象与矩形ABCD有三个公共点，请直接写出m的取值范围. 专题3 二次函数与几何变换 类型一 二次函数与平移 1.(2025·平谷区期末)在平面直角坐标系中，将抛物线 先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后所得到的抛物线的函数解析式为 ( ) A. B. C. D. 2.(2025·西城区期末)将抛物线 平移得到抛物线 下列平移过程正确的是 ( ) A.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 C.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 3.(2025·新吴区二模)在平面直角坐标系中，将抛物线 向上(下)或向左(右)平移a个单位长度，使平移后的抛物线恰好经过原点，则|a|的最小值为 ( ) A. B. C. D.4 4.(2025·惠州模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过平移得到抛物线 其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 . 类型二 二次函数与轴对称 5.抛物线 关于x轴对称的抛物线的函数解析式是 ( ) A. B. C. D. 6.(2025·连云港模拟)已知抛物线 与抛物线 关于直线x=—1对称,当—6≤x≤—3时,抛物线 的最大值为 ( ) A.6 B.12 C.21 D.42 7.已知二次函数y=m(x-1)(x-4)的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，顶点为C，将该二次函数的图象关于x轴翻折，所得图象的顶点为 D.若四边形ACBD为正方形，则m的值为 . 8.在平面直角坐标系xOy中，以A为顶点的抛物线 与直线 y=k(x+1)有两个公共点M,N,其中,点M在x轴上.直线y=k(x+1)与y轴交于点B,点 B关于点A 的对称点为C. (1)用含k的式子分别表示点B,N的坐标:B ,N ; (2)如图,当k>0时,连接CM,CN.求证:CO平分∠MCN; (3)若函数 的图象记为W₁，将W₁沿直线x=k翻折后的图象记为W₂，当W₁，W₂两部分组成的图象与线段MB恰有一个公共点时，请确定k的取值范围. 类型三 二次函数与旋转 9.将抛物线y=(x-3)(x-5)先绕原点O旋转 ，再向右平移2个单位长度，所得抛物线的函数解析式为 ( ) A. B. C. D. 10.如图①，抛物线的顶点坐标为(0，1)且经过点A(1，2)，直线 经过点 与y轴的交点为C. (1)求抛物线的函数解析式及n的值； (2)将直线 BC绕原点O逆时针旋转45°，求旋转后直线的函数解析式； (3)如图②，将抛物线绕原点O顺时针旋转45°得到新抛物线，新抛物线与直线BC交于点M，N，点M在点 N 的上方，求点 N的坐标. 专题1 二次函数与特殊三角形 或(0,2) 或(1,1) 3.解：(1)已知抛物线 与x轴交于点A(1，0)和B(3,0), 解得 ∴抛物线的函数解析式为 (2)如答图,连接BC交DE 于点 M,此时MA+MC的值最小， 又∵AC的长是定值，所以此时△AMC的周长最小. 在 中,令x=0,则y=-3, ∴C(0,-3),∴OB=OC=3,OA=1, ∴此时△AMC的周长为AC+AM+MC=AC+BC= 抛物线的对称轴为直线 由 B(3,0),C(0,-3),得直线 BC的函数解析式为y=x-3, 当x=2时,y=2-3=-1,∴M(2,-1). (3)存在点 P，使△FCG是以FG 为腰的等腰三角形. ∵点P 的横坐标为m， ∴点. 点G(m,m-3), 则 当FG=FC时,则( 解得m=0(舍去)或m=4; 当FG=CG时,则( 解得m=0(舍去)或 综上，存在点 P，使△FCG是以FG为腰的等腰三角形，m=4或: 或 4.(-5,0)或(0,-5)或(0,0) 5.解:由题意知抛物线L₁的顶点P(1,-4)与L₂的顶点 D关于直线y=m对称， ∴D(1,2m+4),抛物线 ∴C(0,2m+3). ①当∠BCD=90°时,如答图①,过点 D作DN⊥y轴于点 N. ∵D(1,2m+4),∴N(0,2m+4). ∵C(0,2m+3),∴DN=NC=1,∴∠DCN=45°. ∵∠BCD=90°,∴∠BCE=45°. ∵当m=-3时，点C，E重合，此种情况不满足题意，∴m≠-3. ∵直线l∥x轴,∴∠BEC=90°, ∴∠CBE=∠BCE=45°, ∴BE=CE=(2m+3)-m=m+3,∴B(m+3,m). ∵点B在抛物线y=x²-2x-3上, ∴m=0或m=-3(舍去), ②当∠BDC=90°时,如答图②,过点 D作DN⊥y轴于点N,过点 B作BT⊥ND交ND的延长线于点 T. 同理BT=DT,∵D(1,2m+4), ∴B(m+5,m). ∵点B在抛物线 上， 解得m=-3或m=-4, ∵m≥-3,∴m=-3,此时,B(2,-3),C(0,-3),符合题意， ③易知,当∠DBC=90°时,此种情况不存在. 综上所述，L₂所对应的函数解析式为 或 6.(-1,1)或(-1,-2) 7.解:(1)∵抛物线 交x轴于A(1,0),B(-5,0)两点, 解得 中,当x=0时,y=-5,∴C(0,-5).设直线 BC的函数解析式为y=kx-5， ∵B(-5,0),∴-5k-5=0, ∴k=-1,∴y=-x-5. 设 则E(x,-x-5), 当x<-5时, DE=-x-5, ∵PE=3ED, 解得x=-3或x=-5,都不合题意,∴点 P 不存在. 当-5<x<0时, 5x,DE=x+5, 解得x=-3或x=-5(舍去), 当0<x<1时,PE<DE,点 P 不存在; 当x>1时, DE=x+5,∴x²+5x=3(x+5), 解得x=3或x=-5(舍去), 故点 P的坐标为(-3,-8)或(3,16). (3)存在.如答图①,分别过点 F,P 作FG⊥x轴于点 G,PH⊥x轴于点 H, 则∠AGF=∠AHP=90°. ∵△AFP 是以PF 为斜边的等腰直角三角形， ∴AF=AP,∠PAF=90°, ∴∠FAG+∠PAH=∠APH+∠PAH=90°, ∴∠FAG=∠APH,∴△AFG≌△PAH(AAS), ∴AH=FG,PH=AG. 设 当-5<m<1时,AH=1-m,PH=-m²-4m+5, ∴FG=1-m,∴-x-5=1-m, ∴x=m-6,∴F(m-6,1-m), ∴AG=1-(m-6)=7-m, 解得m=-1或m=-2, ∴点 P 的坐标为(-1,-8)或(-2,-9); 如答图②,当m>1时,AH=m-1,PH=m²+4m-5, ∴FG=m-1,∴-x-5=m-1, ∴x=-m-4,∴F(-m-4,m-1), ∴AG=1-(-m-4)=m+5, 解得m=2或m=-5(舍去), ∴点 P 的坐标为(2,7). 综上,点 P 的坐标为(-1,-8)或(-2,-9)或(2,7). 专题2 二次函数与特殊四边形 1.(2,-1)或 2.(6,6)或(-2,6)或(-6,-6) 3.(\frac{4}{3},4) 4.4 或 或 5.解:(1)把B(3,0),C(0,3)代入. 得 解得 ∴二次函数的解析式为 (2)存在点 P,使四边形 POP'C 为菱形,设 ,若四边形POP'C 是菱形,则.PC=PO,如答图,连接PP'交CO于点E,则PE ⊥CO, 解得 (不合题意，舍去)，∴点P的坐标为 6.解:(1)∵A(3,0),OA=OC,∴C(0,3),将A(3,0),B(1,0),C(0,3)代入 得 解得 ∴抛物线的函数解析式为 (2)设直线AC的函数解析式为.y= mx+n, 将点A，C的坐标分别代入，得 解得 ∴直线AC的函数解析式为y=-x+3. 如答图①,过点M作MN∥y轴,交AC于点N,设 则N(a,-a+3), 即 解得a=4或a=-1, ∴点 M的坐标为(4,3)或(-1,8). ∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为(2，-1). 如答图②,过点 P 作PG⊥对称轴于点G,作PF⊥x轴于点F,过点 Q作QJ⊥x轴于点J, ∴∠PFB=∠PGD=90°=∠FPG. 设. D(2,t), ∵四边形 PBQD是正方形， ∴∠BPD=90°,PB=PD, ∴∠BPF=90°-∠BPG=∠GPD. 在△DPG和△BPF中, ∴△DPG≌△BPF(AAS),∴DG=BF,PG=PF, 解得 (舍去), 同理可得 如 答图③，过点 P作PF⊥x轴于点F，PG⊥对称轴于点G,过点 Q作QJ⊥x轴于点J, 同理可得△PBF≌△PDG, ∴PF=PG,BF=DG, 解得 (舍去)或 同理可得 如答图④，当P 为抛物线的顶点(2，-1)，点Q，A重合时，记对称轴与x轴的交点为 H， 此时D(2,1),Q(3,0), ∴HB=HQ=HP=HD,且DP⊥AB, 此时四边形 PBDQ是正方形,∴Q(3,0); 如答图⑤，当P 为抛物线的顶点(2，-1)，D为对称轴与x轴的交点， 此时,D(2,0),P(2,-1),∴Q(1,-1); 如答图⑥,过点 P作PF⊥x轴于点 F,易证△PFB≌△BED,∴PF=BE, 解得 或x=2+(舍去), 易得 如答图⑦,过点 P 作 PG⊥对称轴于点 G,过点 B 作BF⊥PG交GP 的延长线于点F,易证△BFP≌△PGD, ∴PF=DG,BF=PG, 解得 或 (舍去), 易得 综上 所 述，点Q 的 坐 标为 或 或(3,0)或(1,-1)或( 或 7.解:(1)当m=1时, ∴该二次函数的图象的顶点坐标为(-2，0). (2)联立,得 整理，得 则 ∵m>0,∴b>4. ∴抛物线的顶点坐标为 当m>0时, 当x=-2时， ∴抛物线 始终经过点A(-2,0). 当 即m=1时 此时，抛物线的顶点坐标为(-2，0)，抛物线与矩形ABCD有2个公共点，如答图①， 当0<m<1时，该抛物线与矩形ABCD有2个公共点，如答图②； 当m>1时，抛物线 与矩形ABCD恰好有3个公共点，如答图③. 当m<0时，当抛物线 经过点C(8,12)时, 解得m= 此时抛物线 与矩形 ABCD恰好有3个公共点，如答图④； 当 时， 当 时，抛物线过点(8，30\sqrt{3}-40), 此时抛物线 与矩形ABCD恰好有3个公共点，如答图⑤， 当 时，抛物线过点 此时抛物线与矩形ABCD有2个交点，不符合题意，舍去. 综上所述，该二次函数的图象与矩形ABCD有三个公共点时，m的取值范围为m>1或 或 m= 专题3 二次函数与几何变换 1. D 2. D 3. C 4.4 5. D 6. A 8.(1)(0,k) (2)证明：设抛物线与x轴的另一交点为D. 由 解得 ∴抛物线与x轴的交点为M(-1,0),D(1,0), ∴CM=CD. ∵CO⊥MD,∴∠MCO=∠DCO. 由(1)得B(0,k),N(k+1,k²+2k), ∵点B关于点A 的对称点为C,A(0,-1), ∴C(0,-2-k). 设直线CN的函数解析式为y= mx-2-k, ∴m(k+1)=(k+1)(k+2). ∵k>0,∴k+1>0,∴m=k+2, 故直线CN的函数解析式为y=(k+2)x-(k+2)=(k+2)(x-1), ∴不论k为何值,直线CN过定点(1,0), ∴点 D(1,0)在直线CN上,∴CO平分.MCN. (3)解：设图象W₁上的任意一点 点 P 在图象W₂上的对应点Q(m,n). 根据题意，得 解得a=2k-m, 即图象W₂的函数解析式为y=(2k-x)²-1. 当k≥0时,若图象 W₂经过点B,如答图①,则W₁,W₂两部分组成的图象与线段MB 有唯一交点， ∴点B(0,k)满足 解得 或 (舍去); 若图象W₂经过点M，如答图②，则W₁，W₂两部分组成的图象与线段MB有唯一交点， ∴M(-1,0)满足 解得k=0或k=-1(舍去), 当k<0时,若-1<k<0,则W₁,W₂两部分组成的图象与线段 MB 没有交点，不符合题意； 如答图③，若k=-1，则W₁，W₂两部分组成的图象与线段MB有M，B两个交点，不符合题意； 若-2<k<-1，则图象W₁与线段MB有两个交点，不符合题意； 如答图④，若k≤-2，则图象 W₁与线段MB有一个交点，联立 得 由△>0,知k≠-2,∴k<-2. 综上所述，k的取值范围是k<-2或 9. A 10.解：(1)设抛物线的函数解析式为 将A(1,2)代入,得2=a+1,解得a=1,故抛物线的函数解析式为 将 代入 得 (2)由(1)知点 B的横坐标和纵坐标相同,BO=4,故点 B绕点O逆时针旋转45°落在y轴上，且对应点为B'(0,4). 同理点 绕点O逆时针旋转45°，对应点为C'(4,-4). 设直线B'C'的函数解析式为y= kx+b, 则 解得 故旋转后直线的函数解析式为 y=-2x+4. (3)如答图，作直线y=-2x+4交抛物线于点 N'， 则抛物线 和直线y=-2x+4绕原点O顺时针旋转45°得到新曲线和直线 联立 解得 或 (舍去),故点 N'(1,2). 设点 由题意，得(ON=ON', 即 解得 (不合题意的值已舍去)，故点 N的坐标为 学科网（北京）股份有限公司 $