专题07 二次函数的综合题专训之等腰三角形、直角三角形存在性问题（3大题型）（专项训练）数学新教材鲁教版五四制九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数与三角形存在性的综合应用，构建“坐标设参—分类讨论—代数化求解—几何验证”的系统性方法体系，强化数形结合与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等腰三角形存在性|4题|参数设点+距离公式+分类讨论（两腰已知/一动一静/两动边）|二次函数解析式→关键坐标→等腰条件代数化→验根| |直角三角形存在性|4题|勾股定理/斜率乘积-1+直角顶点分类（∠A/∠B/∠P=90°）|抛物线定点→动点坐标→直角条件方程化→定义域验证| |等腰直角三角形存在性|4题|直角（勾股/斜率）+等腰（距离相等）联立方程+几何构造|前两类方法融合→“直角+等腰”双重条件→方程求解与图形验证|

专题07 二次函数的综合题专训之等腰三角形、直角三角形存在性问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二次函数的综合题专训之等腰三角形存在性问题 1 题型二、二次函数的综合题专训之直角三角形存在性问题 8 题型三、二次函数的综合题专训之等腰直角三角形存在性问题 18 B综合攻坚・能力跃升 题型一、二次函数的综合题专训之等腰三角形存在性问题 1.解题思路：先设动点坐标（含参数），结合二次函数表达式确定顶点、交点等关键坐标；再分三种情况（两腰为已知边、一动一静边、两动边）讨论等腰三角形构成。 2.解题技巧：用两点间距离公式将边长转化为含参数的代数式，简化计算；利用二次函数对称性减少分类，结合图形范围验根防漏解。 3.解题方法：以代数方程法为主，列边长相等的方程求解参数；辅以几何法（如垂直平分线性质）快速定位可能点，最后结合函数定义域确定有效解。 1．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于C点，已知点A、B的坐标分别是、． (1)求该抛物线的解析式； (2)在x轴上是否存在一点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，运用分类讨论思想是解题的关键； （1）由抛物线与x轴的交点可设交点式，再对比原解析式，即可得解； （2）根据勾股定理求出，再根据等腰三角形的性质，分类讨论，即可得解． 【详解】（1）解：抛物线与x轴相交于、两点， 设抛物线的解析式为，即， ，， 解得，， 抛物线的解析式为； （2）解：存在．理由如下： 连接，如图， 当时， ， ， ， ， ， ， 当时， ， ， 点坐标为； 当时， 若点在B点左侧，点坐标为，若点在B点右侧，点坐标为， 综上所述，满足条件的P点坐标为或或． 2．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）已知点在抛物线上． (1)求m的值； (2)在x轴上是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点P的坐标为或或或 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形性质，分类讨论，熟练掌握是解题的关键．分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准进行分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的解答。（1）可将点代入抛物线中，可得到m的值；（2）假设存在点P，接下来根据是等腰三角形分情况讨论即可求解. 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴． （2）解：存在． ∵， ∴． ∴． ∵是等腰三角形， ∴当时， ∴． 当时， ∵点A在第一象限平分线上， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 当时，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴点P的坐标为或或或． 3．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，一次函数与x轴、y轴分别交于A、C两点，二次函数的图象经过A、C两点，与x轴交于另一点B，其对称轴为直线 (1)求该二次函数表达式； (2)在对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点P的坐标为：或或或或 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，等腰三角形的性质，两点之间距离公式，分类讨论是本题求解的关键． （1）分别求出点，点的坐标，根据对称轴求出另一交点，再根据交点式得出答案； （2）分、、三种情况，利用线段长度相等，列出等式求解即可． 【详解】（1）解：对于，当时，，即点， 令，则，即点. ∵抛物线的对称轴为直线，则点， 设二次函数表达式为：， ∵抛物线过点， 则， 解得：， 故抛物线的表达式为：； （2）解：存在，理由： 根据题意对称轴，设点， 由点A、C、P的坐标得：，，， 当时，则， 解得：， 即点P的坐标为：或； 当时，则， 解得：， 即点； 当时，则， 解得：， 即点P的坐标为：或． 综上，点P的坐标为：或或或或． 4．（25-26九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)第一象限内的抛物线上有一动点，使的面积最大，求点的坐标和面积的最大值； (3)对称轴与轴交于点，在对称轴上找一点，使是等腰三角形，直接写出满足条件的所有点的坐标． 【答案】(1) (2)点坐标为， (3) 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）如图，过点P作轴交于点E，先用含m的解析式表示出，再利用二次函数的性质即可得解； （3）分①当时，②当时，③当时，三种情况讨论，即可求解；熟练掌握二次函数的图象和性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】（1）解： ∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， 将代入， 得， 由①②得，，， ∴抛物线的解析式为； （2）解： 令， 得， ∴，， ∴， 令，得， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点P作轴交于点E， 设P点坐标为，则，， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴， ∴此时P点坐标为； （3）解： ∵对称轴与x轴交于点N， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ①当时， 如图所示有，， ②当时， 过点C作，则， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ③当时， 由四边形为矩形知， ， 设， 则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：点M的坐标为，，，． 题型二、二次函数的综合题专训之直角三角形存在性问题 1.解题思路：先确定抛物线与坐标轴交点等定点（如A、B），设抛物线上动点P(x,y)，分∠A=90°、∠B=90°、∠P=90°三类讨论直角顶点。 2.解题技巧：用勾股定理（PA²+PB²=AB²等）或斜率乘积为-1（垂直）列方程，借抛物线表达式消y，结合x范围验根。 3.解题方法：代数法为主，列坐标方程求解；辅以几何法（过A、B作垂线交抛物线得P），结合图形验证直角合理性。 5．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图，已知抛物线与y轴正半轴交于点A，顶点为B，连接，其中 (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线上一点，当是以为直角边的直角三角形时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解答本题的关键是熟练运用分类讨论思想解决问题． 由为等腰直角三角形推导出，，进而得到抛物线解析式； 设，首先求得、、；当和时，分别由勾股定理解得p的值，即可得解． 【详解】（1）解：抛物线， ，， 为等腰直角三角形，， ， ， ， 抛物线的解析式为； （2）解：设， 由（1）知，， ， ； ； 分两种情况讨论： ①当为直角三角形，且时，则， ， 设，则方程可化为： ， 又， ， 代入可得： ， ， ， ， 将代入得： ， ，即， 解得或， 当时，点P与点B重合，不符合题意，舍去；当时，， ， ②当为直角三角形，且时，则， 即： 同样设，可得， 代入可得：， ， ， ， 将代入得： ， ，即， 解得或， 当时，点P与点A重合，不符合题意，舍去；当时，， 综上，点P的坐标为或． 6．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式 (2)第一象限内的抛物线上有一动点，使的面积最大，求点的坐标和面积的最大值． (3)对称轴与轴交于点，在对称轴上找一点，使为直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)，面积的最大值为； (3)或 【分析】（1）由抛物线的对称性质可求得点B的坐标为，则可得抛物线解析式为，展开后比较常数项即可求得a的值，从而求解； （2）过点P作轴于点E，交于点F，先求出直线的解析式，设，则可得点F的坐标，从而求得，由可得关于m的二次函数，利用二次函数的性质即可求解； （3）分两种情况：当时；当时，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，，两点关于对称轴对称，且， ∴， 则得， 展开得：， ∴， ∴， 即抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点P作轴于点E，交于点F， 在中，令，得， 即， 设直线的解析式为， 把B、C两点的坐标分别代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，其中，则可得点F的坐标为， ∴， ∵ ， ， 当时，取得最大值， 则， ∴此时点P的坐标为； （3）解：①当时； 此时点M与点C的纵坐标相同， ∴； ②当时，如图， 设，其中， ∴，， ∵， ∴由勾股定理得：， 即， 解得：， 故， 综上，点M的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，勾股定理等知识，掌握二次函数的图象与性质是关键． 7．（25-26九年级上·天津蓟州·阶段练习）已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)设点M在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点M的坐标． 【答案】(1)， (2)存在，点P坐标为 (3)当是直角三角形时，点M的坐标为或或或 【分析】（1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再将抛物线的一般式转化为顶点式进而求出抛物线的顶点； （2）设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用抛物线顶点式可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标； （3）设点M的坐标为，则，，，分、、三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标． 【详解】（1）解：由题意知，将，代入中， 得，解得：， ∴抛物线的解析式为， 将抛物线的一般解析式转化为顶点式为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为． （2）解：存在， 如图，设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为， 当时，有， 解得：，， ∴点B的坐标为， ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为， 将、代入中， 得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∵当时，， ∴当周长最小时，点P的坐标为． （3）解：如图，设点M的坐标为， 由勾股定理得，， ， ， 此时分三种情况考虑： ①当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， ②当时，有，即， 解得：，， ∴点M的坐标为或， ③当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， 综上所述，当是直角三角形时，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了抛物线的解析式求解、求抛物线的顶点坐标、动点最值问题求解对称轴上点的坐标、勾股定理及直角三角形的性质应用． 8．（25-26九年级上·天津·期中）已知，抛物线经过点和，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)是直线上方抛物线上的一个动点（不与点B，C重合，过点作直线轴于点，交直线BC于点．当时，求点的坐标； (3)设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)，顶点坐标为； (2)当时，求点的坐标； (3)当是直角三角形时，点M的坐标为或或或 【分析】（1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再将抛物线的一般式转化为顶点式进而求出抛物线的顶点； （2）设点，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，得到点，点，利用，列式计算即可求出点P的坐标； （3）设点M的坐标为，则，，，分、、三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标． 【详解】（1）解：由题意知，将，代入中， 得，解得：， ∴抛物线的解析式为， 将抛物线的一般解析式转化为顶点式为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：如图，设点， 当时，有， 解得：，， ∴点B的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入中， 得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∵轴于点，交直线BC于点， ∴点，点， ∵，即， ∴， 整理得， 解得或， 当时，， 当时，，（舍去） ∴当时，求点的坐标； （3）解：如图，设点M的坐标为， 由勾股定理得，， ， ， 此时分三种情况考虑： ①当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， ②当时，有，即， 解得：，， ∴点M的坐标为或， ③当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， 综上所述，当是直角三角形时，点M的坐标为或或或． 题型三、二次函数的综合题专训之等腰直角三角形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P，分∠A、∠B、∠P为直角顶点三类，每类需满足“直角”+“两直角边相等”。 2.解题技巧：用坐标表边长，结合勾股定理（直角）与距离相等（等腰）列方程，借抛物线消y；利用斜率（垂直时积为-1）简化计算，结合图形限x范围。 3.解题方法：代数法联立直角与等腰方程求解；几何法构造全等（如过P作横纵垂线，使直角边等长），验证交点合理性。 9．（2025·黑龙江鸡西·二模）如图，抛物线与轴相交于点和点．    (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上有一点，过点作轴的垂线交轴于点，若是等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)点的坐标为或 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意可得，设，则，，解方程即可求解． 【详解】（1）把，代入，得 解得                       ∴抛物线的解析式为． （2）设． ∴，． ∵是等腰直角三角形， ∴． 当时，解得（舍去），， 则点的坐标为；            当时，解得（舍去），， 则点的坐标为．         ∴点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数求二次函数解析式，等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 10．（2025·陕西·一模）二次函数的图象交x轴于两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，过点M作轴交直线于点N，交抛物线于点D，连接，设运动的时间为t秒． (1)求二次函数的表达式； (2)在直线上存在一点P，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数与几何的综合题，待定系数法求二次函数表达式，根据等腰直角三角形求点的坐标，解题的关键是根据点的坐标求出函数解析式，同时根据解析式将点表示出来，列出方程进行计算． （1）将、两点的坐标代入二次函数解析式中，求出系数与即可； （2）由的值得出的坐标，因此设，由勾股定理可得，，根据题意，所以，得出的坐标为，再利用勾股定理列出方程，解得或，代入求值即得出答案． 【详解】（1）解：将 ， 代入中， 得： ， 解得： ． 二次函数的表达式为； （2）解：∵， ∴， ． 对于，当， ∴， ∴， 设， 则，． ， ， ， ． ， ∴， ， 将代入整理得：， 解得：或． 将或分别代入中， 或． 11．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，抛物线的对称轴为直线，且与x轴相交于，B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线L的表达式； (2)将抛物线L向左或向右平移m（）个单位长度，得到抛物线，与轴交于，两点（点在点的左侧），与y轴交于点，当为等腰直角三角形时，求m的值． 【答案】(1)抛物线L的表达式为 (2)m的值为2或4 【分析】本题考查待定系数法，二次函数的图象及性质，二次函数图象的平移，等腰三角形的判定． （1）根据抛物线L的对称轴可得，从而求出b的值，把点代入，即可求出c的值，从而解答； （2）由可知当为等腰直角三角形时，只需．分两种情况讨论：①将抛物线L向右平移m（）个单位长度后得到抛物线的表达式为，得到．由可得，求解即可；②将抛物线L向左平移m（）个单位长度后得到抛物线，同①思路即可解答． 【详解】（1）∵抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， ∴． 将点代入中，得，解得 ∴抛物线L的表达式为； （2）∵， ∴当为等腰直角三角形时，只需． ∵抛物线L的对称轴为直线，， ∴． 由（1）得， 分两种情况讨论： ①将抛物线L向右平移m（）个单位长度后得到抛物线的表达式为， ∴． ∵ ∴ 当时，解得或（舍去）； 当时，解得或（舍去）， ∴m的值为2或4； ②将抛物线L向左平移m（）个单位长度后得到抛物线的表达式为， ∴． ∵ ∴ 当时，解得（舍去）或； 当时，解得（舍去）或； 当时，点，均与点O重合， 此时不存在为等腰直角三角形． 综上所述，m的值为2或4． 12．（24-25九年级上·广东云浮·期中）如图，抛物线与x轴相交于两点，与y轴交于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点M，使的周长值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在抛物线上有一点P，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)存在， (3)点P的坐标为或 【分析】（1）把A，B两点坐标代入抛物线的解析式，构建方程组求出b，c的值即可；． （2）点B是点A关于抛物线对称轴的对称点，在抛物线的对称轴上有一点M，要使的值最小，则点M就是与抛物线对称轴的交点，利用待定系数法求出直线的解析式，把抛物线对称轴代入即可得到点M的坐标； （3）设，得，由两点间距离公式得，由列方程求解即可 【详解】（1）将分别代入，得 解得 所以抛物线的解析式为． （2）存在． 因为点A，B关于对称轴对称，连接交对称轴于点M，此时的值最小，即的周长值最小． 令，得，所以． 设直线的函数解析式为． 将代入，得 解得 所以直线的函数解析式为． 因为抛物线的对称轴为， 当时，， 所以． （3）因为轴于点Q，所以． 因为是等腰直角三角形，所以． 因为点P在抛物线上，所以设，则． 所以． 所以，即或． 整理，得或． 当时，解得或（舍去），此时； 当时，解得或（舍去），此时． 综上，点P的坐标为或 一、解答题 1．（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）已知：抛物线开口向上，顶点为A，与y轴交于B点，． (1)求点A、点B的坐标． (2)在抛物线上是否存在一点C，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出C点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)点的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数综合—特殊三角形问题、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）将解析式化为顶点式可得，再结合抛物线开口向上，与y轴交于B点，即可得解； （2）求出抛物线的解析式为，设，则，，再由勾股定理分情况计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点为， ∴， ∵抛物线开口向上，与y轴交于B点，， ∴，当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得：，，， ∴，， ∴抛物线的解析式为， 设，则，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴当时，，即， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时，即； 当时，，即， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时，即； 综上所述，点的坐标为或． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点，直线与抛物线交于B，C两点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)若是以为腰的等腰三角形，求点B的坐标． 【答案】(1) (2)点B的坐标为或或 【分析】本题考查了利用待定系数法求解函数解析式，以及二次函数与等腰三角形的综合应用. 用待定系数法将两点代入表达式，求出未知系数a，c的值. 设，考虑等腰三角形存在的两种可能情况，利用等腰三角形的性质两腰相等建立等式求解B点坐标. 【详解】（1）解：抛物线经过点，且与y轴交于点. 解得 ∴抛物线的函数解析式为． （2）解：设． 是以为腰的等腰三角形，∴分以下两种情况讨论： ①当时，点B和点P关于y轴对称． ； ②当时，， ， 整理，得， 解得． 当时，； . 当时，． . 综上所述，点B的坐标为或或． 3．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A、，抛物线经过点B，且与直线的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或或或 【分析】（1）将点C的坐标代入得，，故点，将点B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）分是斜边、是斜边、是斜边三种情况，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：将点C的坐标代入得，， 故点； 将点B、C的坐标代入抛物线的表达式得， 解得， 故抛物线得表达式为； （2）解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， 设点， 而点B、C的坐标分别为、， 则，， 同理， 当是斜边时，则 解得； 当是斜边时，同理可得， 当是斜边时，的中点坐标为，， 则， 解得， 故点P的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质，勾股定理的运用等，其中对于问题（2），要注意分类求解，避免遗漏． 4．（24-25九年级上·黑龙江·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于点、点，与轴交于点，其中． (1)求二次函数的解析式； (2)若点在二次函数图象上，且，求点的坐标； (3)若M是抛物线对称轴上一点，ACM是等腰三角形，直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或或 (3)点M的坐标为或或或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先根据，得出，根据，求出，得出，代入二次函数解析式，进而求出点的坐标即可； （3）先求出抛物线的对称轴为直线，设点M的坐标为，得出，，，分三种情况：当时，当时，当时，分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：依题意，把，代入中， 得， ， 二次函数解析式为； （2）解：∵， ， ， ， 即 ， ， 当时， 解得：， 即； 当时， 解得或， 即或； 综上所述，点的坐标为或或． （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴设点M的坐标为， ∵，， ∴， ， ， 当时，， 即， 解得：， 此时点M坐标为：； 当时，， 即， 解得：， 此时点M坐标为：或； 当时，， 即， 解得：， 此时点M坐标为：或； 综上分析可知：点M的坐标为或或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，两点间距离公式，等腰三角形的定义，三角形面积计算，灵活运用所学知识是解题的关键． 5．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，已知抛物线经过三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的表达式； (2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A，B的距离之和最短时，求点P的坐标； (3)点M也是直线l上的一个动点，且为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或． 【分析】（1）直接将三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可； （2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知，直线l与x轴的交点，即为符合条件的P点； （3）由于的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①、②、③；可先设出点的坐标，然后用点纵坐标表示的三边长，再按上面的三种情况列式求解． 【详解】（1）解：将代入抛物线中， 得：， 解得：， 故抛物线的解析式：． （2）解：当P点在x轴上，P、A、B三点在一条直线上时，点P到点A、点B的距离之和最短， 此时， 故； （3）解：如图所示：抛物线的对称轴为：， 设， 已知， 则：； ①若，则， 得：，解得：， ②若，则， 得：，解得：； ③若，则， 得：，解得：； 当时，三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去； 综上可知，符合条件的点，且坐标为或或或． 【点睛】此题主要考查了二次函数综合题涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定、勾股定理、解方程等知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解． 6．（24-25九年级上·新疆伊犁·期末）如图，已知抛物线经过两点 (1)求、的值． (2)若点为抛物线上一动点，的面积为10时，求点的坐标． (3)设点为抛物线的对称轴上的一个动点，直接写出使为直角三角形的点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)点的坐标为或或或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到直角三角形的性质、面积的计算，分类求解是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）求得，由三角形面积求出，经过判断得，解方程，即可求解； （3）分点B、P、C为直角顶点，三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得： ， 解得，； （2）解：由（1）知，， 设点， ， ， 的面积为10， ， 当时，，即 ∵，此方程无实数根． ∴ 当时，， 解得，， 或 （3）解：抛物线解析式为， 抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴, 设， ， ， ， 当时，则， ， 解得：， 点的坐标为或； 当时，则， ， 解得：， 点的坐标为； 当时，则， ， 解得：， 点的坐标为； 综上所述，存在这样的点，使得为直角三角形，点的坐标为或或或． 7．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、B两点，其顶点为，直线与x轴交于点D，与y轴交于点C，点P是x轴下方的抛物线上一动点，过P点作轴于点F，交直线于点E，设点P的横坐标为m． (1)请直接写出抛物线的解析式； (2)若，求m的值； (3)连接，是否存在点P，使是以为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)1或 (3)存在， 【分析】（1）根据抛物线顶点坐标，设抛物线的解析式为，把点A的坐标代入，可得抛物线的解析式； （2）根据抛物线解析式与直线解析式表示出点P、E的坐标，然后表示出，再列出绝对值方程，然后求解即可； （3）根据等腰三角形的性质，可得点C在线段的垂直平分线上，即线段的中点的纵坐标为，再列出关于m的方程，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴可设抛物线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 解得：， ∴点， ∵P在x轴下方， ∴， 设点P的横坐标是m，则， ∴， ∵， ∴， 若， 解得：或5（舍去）； 若， 解得：或（舍去）； 综上所述，或1； （3）解：存在， ∵直线与y轴交于点C，与x轴交于点D， ∴点， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴点C在线段的垂直平分线上， 即线段的中点的纵坐标为， 根据题意得：， ∴， 解得：． 【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 8．（24-25九年级上·青海海东·期末）如图，二次函数的图象和轴交点，，和轴交点．      (1)求这个二次函数的解析式； (2)求这个二次函数的顶点的坐标； (3)该二次函数图象对称轴上是否存在点，使是以为斜边的直角三角形，若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质、勾股定理，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）设二次函数的解析式为，根据待定系数法即可得出二次函数解析式； （2）将二次函数解析式转化为顶点式，即可得出顶点坐标； （3）设点的坐标为，分别表示出，，，再利用勾股定理求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为， ∵图象经过，， ， ∴， 解得， ∴这个二次函数的解析式为； （2）， ∴这个二次函数的顶点的坐标为； （3）由（2）知该二次函数的对称轴为， 设点的坐标为， ，，， 当是以为斜边的直角三角形，则， 即， 解得，， ∴存在满足条件的点，坐标为或． 9．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，抛物线经过点和，顶点为D． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)连接，判断的形状； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在一点E，使得为等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)直角三角形 (3)存在，E的坐标为或 【分析】 本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，直角三角形及等腰直角三角形的性质及判定等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）用待定系数法可得抛物线的解析式；直线的解析式； （2）由二次函数表达式求出顶点，即可得，故是直角三角形； （3）设，可得，分三种情况：①若为斜边，则，此时，不符合题意；②若为斜边，，此时，为等腰直角三角形，；③若为斜边，可得或，即知． 【详解】（1）解：由抛物线经过点设解析式为， 把代入得， 解得， ∴； ∴抛物线的解析式为； 设直线的解析式为，将代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）是直角三角形，理由如下： ∵， ∴顶点， ∵， ∴，，， ∴， ∴，即是直角三角形； （3）存在一点E，使得为等腰直角三角形，理由如下： ∵， ∴抛物线的对称轴是直线， 设， ∵， ∴， ①若为斜边，则， 解得， 此时，不符合题意； ②若为斜边，， 解得， 此时， ∴为等腰直角三角形， 即满足条件，； ③若为斜边，则， 解得或， 当时，，此时为等腰直角三角形， ∴满足条件，， 当时，不符合题意； 综上所述，E的坐标为或． 10．（2025九年级上·浙江·专题练习）已知如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点E是抛物线上的第一象限的点，求的最大值，并求取得最大值时x的值； (3)如图2，在抛物线上是否存在一点P，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)时，取得最大值4 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）待定系数法求解可得； （2）作轴，设点，表示出、、的长，根据列出函数解析式并配方成顶点式，从而得出最值情况； （3）若要使是以为斜边的等腰直角三角形，则点P在线段的中垂线上，据此可先求出线段中垂线的解析式，结合二次函数解析式从而求得中垂线与抛物线的交点坐标，再根据勾股定理逆定理判断此时的交点能否使是以为斜边的直角三角形，从而得出答案． 【详解】（1）解：将点，代入， 得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）解：如图1，过点E作轴于点D， 设点， 则，，， ∴ ， 则当时，取得最大值4； （3）解：不存在， 如图2，设的中垂线交轴于点， ∵点，， ∴，，， ∵的中垂线交于点， ∴，设，则， 由勾股定理得， 解得， ∴点的坐标为， ∵点，， ∴的中点F的坐标为， 设所在直线解析式为， 将点，代入，得：， 解得：， ∴所在直线解析式为， 由得或， 若点P坐标为， ∵ ，， ∴，即不是等腰直角三角形，舍去； 若点P坐标为， ∵ ，， ∴，即不是等腰直角三角形，舍去； 综上，这样的点P不存在． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合运用，熟练掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及线段中点公式、勾股定理逆定理是解题的关键． 11．（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点．直线经过，两点，点是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在下方运动时，求面积的最大值； (3)若点为直线上一点，作点关于轴的对称点连接当是直角三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)面积的最大值为 (3)当是直角三角形时，或 【分析】（1）先求出，两点坐标，再代入抛物线解析式中，即可求出解析式； （2）过点P作轴交BC于点G，设，则)，表示长，进而表示面积求最大值； （3）先求得，根据勾股定理分别表示出，根据是直角三角形时，分类讨论，即可求解． 【详解】（1）对于直线，令则， ， 令则， ， ， 将点，坐标代入抛物线，得 ， ， 抛物线的解析式为：； （2）解：过点P作轴交于点G， 设，则)， ， ， 当时，的值最大，最大值为； （3）解：对应， 当时，，解得： ∴， ∵是关于轴的对称点 ∴， 如图所示， 设， ∵，， ∴，， 当时， ∴ 解得：（舍去）或，则 当时， ∴ 解得：，则 综上所述，当是直角三角形时，或． 【点睛】本题考查一次函数的应用，二次函数的解析式，轴对称的性质，勾股定理；三角形的面积等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用数形结合的思想考虑问题． 12．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图①，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线与y轴交于点，与x轴正半轴交于点，设M是点C，D间抛物线上的一点（包括端点）．其横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)当m为何值时，面积S取得最大值？请说明理由； (3)如图②，连接，抛物线上是否存在点Q，使得是以为底的等腰三角形，如果存在，请求出点Q的坐标，不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)2，理由见解析 (3)存在，或 【分析】本题主要考查了二次函数综合题，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）如图所示，连接，过点M作轴交于E，过点M作分别交直线于G、F，先求出直线的解析式，进而得到，则点M在运动过程中的长保持不变，故要使的面积最大，则最大，即要使最大，进一步推出当最大时，最大，即此时的面积最大，求出，则，再用m表示出，然后结合二次函数的性质求解即可； （3）设，根据勾股定理得到，根据等腰三角形的性质得到，列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：把，代入抛物线解析式中得：， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：当m为2时，的面积最大，理由如下： 如图，连接，过点M作轴交于E，过点M作分别交直线于G、F， 设直线的解析式为， 把，代入得∶ ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵直线的解析式为， ∴， ∵， ∴， ∴点M在运动过程中的长保持不变，要使的面积最大，则最大，即要使最大， ∵， ∴当最大时，最大，即此时的面积最大， ∵点M的横坐标为m， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大，即此时的面积最大； （3）解：设， ∴， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴点Q的坐标为或． 13．（24-25九年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）综合与探究： 如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B，与x轴的另一个交点为点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是第二象限内抛物线上一动点，连接，求四边形面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点G，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，，，， 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、两点之间线段最短、勾股定理、等腰三角形的判定、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． （1）由一次函数解析式确定，再由待定系数法确定二次函数解析式即可； （2）根据题意得出∴，设点P的横坐标为，得出，，，作轴于点，交于点，然后表示出，利用二次函数的性质求解即可； （3）根据题意得出对称轴为， 设，根据等腰三角形的性质及勾股定理分情况求解即可． 【详解】（1）解：直线，当时，， 当时，， 解得， ， 抛物线经过点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：对于， 又∵， ∴， ∴， 设点P的横坐标为， ，，， 如图2，作轴于点，交于点，   ， ∴， 即， ∴当时，取得最大值为， ， ∴四边形面积的最大值为：； （3）解：存在， ∵, ∴对称轴为， ∵点G在对称轴上， ∴设， ∵， ∴，，， ∵是等腰三角形， ∴当时，， 解得：， ∴点G的坐标为或； ∴当时，， 解得：， ∴点G的坐标为或； ∴当时，， 解得：， ∴点G的坐标为； 综上可得，点G的坐标为，，，，． 14．（24-25九年级下·广东惠州·开学考试）如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与y轴交于点，与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作轴，交于点D． (1)求该抛物线的函数关系式； (2)若点D的横坐标为2，求的周长； (3)当是直角三角形时，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)的周长为； (3)点坐标为，． 【分析】（1）根据顶点坐标设出顶点式，再将点坐标代入即可． （2）先求出直线的表达式，再由点D的横坐标为2，求出纵坐标，再用两点间的距离公式求出的长即可求解； （3）由于轴，所以，若是直角三角形，可考虑两种情况∶ ①以点为直角顶点时，此时，此时点位于轴上(即与点重合)，由此可求出点的坐标； ②以点为直角顶点时，易知，则，所以平分，那么此时关于轴对称，然后设的横坐标，根据抛物线和直线的解析式表示出的纵坐标，由于两点关于轴对称，则纵坐标互为相反数．可据此求出点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线的顶点为， 可设顶点式为， 将代入顶点式， 得， 解得：， ， 即； （2）解：令，得， 解得，， 点在点的右边， ，， ， 设直线的函数关系式为， 将，代入上式， 得， 解得， 直线的函数关系式为， 在直线上， 时，， ， ， 的周长； （3）解：分两种情况： ①当点为直角顶点时，点与点重合（如图）， ， ； ②当点为的直角顶点时（如图）， ，， ， 当时，， 平分， 又轴， ， 关于轴对称， 在直线上，在上， 设，， ， 即， 解得，（舍）， 当时，， 的坐标为（抛物线顶点）， 综上所述，点坐标为：，． 【点睛】此题主要考查了二次函数解析式的确定，直角三角形的判定等重要知识，会用分类讨论、数形结合的数学思想分析问题是解题的关键． 15．（2025·四川南充·二模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于和两点，与轴相交于，且顶点，是抛物线上一动点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，连接，若，求的坐标； (3)如图2，过作交抛物线于，以、、为顶点的三角形是否存在直角三角形，若存在，求出的坐标；若不存在，通过计算说明． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据图象顶点为点，设抛物线解析式为，再代入求出即可解答； （2）将以为旋转中心顺时针旋转对应点，连接交抛物线于，过作轴，且，则，求出，，证明，求出，求出的直线解析式，联立即可求解． （3）分为①当时，②当时，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象顶点为点， 故设抛物线解析式为， ∵抛物线图象经过， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为， 即； （2）解：将以为旋转中心顺时针旋转对应点，连接交抛物线于，过作轴，且， ， 令，解得：， ， 当时，， ， ∵， ∴在和中 ， ∴， ∴， ， 设的直线解析式为， ∴， 解得：， ∴的直线解析式为， ∴， 整理的， 解得：， 当时，， ∴； （3）解：①当时， 设的直线方程为， 设的直线方程为， ∴， 整理得， ∴， ∴， ， ∴， 整理得， ∴， ∴， ∴， ， ∴直线与轴夹角的正切值直线与轴夹角的正切值的倒数， ∴，即， ， ∴， 即， ∵， 设的直线解析式为， ， 整理得：， ， ∴， 解得：， ∴的直线解析式为， ∴， 整理得， 解得：， ∵当在的左侧时， ， ， ， ∵当在的右侧时， ， ； ②由（1）知，顶点， ， ， ， ， ∴此时为直角三角形，即， 若，此时与重合，与题意不合，应舍去． 综上，或时，以为顶点的三角形是直角三角形． 【点睛】该题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，二次函数解析式求解，全等三角形的性质和判定，勾股定理，一次函数解析式，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是运用分类讨论思想解决问题． 16．（24-25九年级上·广西钦州·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线所对应的函数关系式； (2)E是线段上的一个动点（与点B、C不重合），过点E作轴于点D，交抛物线于点F． ①求的边上的高的最大值； ②在这条抛物线上是否存在点F，使得以F、E、C为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，说明理由； 【答案】(1) (2)①；②存在，，． 【分析】（1）根据抛物线与x轴交于，两点，设函数解析式为，再将点代入求解即可． （2）①求出直线的解析式为：，求出，设的边上的高为，设点E为，则，在中，，即可求出答案；②分和两种情况进行求解即可； 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴设该抛物线的解析式为：． ∵过点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为：． （2）①设直线的解析式为：， 把点，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为：． ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的边上的高为，如图， 设点E为，则， 则， 在中，， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； ②存在． ∵ ∴只能是以F、C为直角顶点的等腰三角形． 当时， ∵轴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴点F的纵坐标为3，把代入， 得， 解得，（舍去）， 当时，， ∴． 当时，如图：作于点G， 则， ∴， 解得，（舍去）， 当时，， ∴． 综上所述，符合条件的点F的坐标为，． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定和性质，二次函数求最值，解直角三角形等知识，解题关键是在求等腰直角三角形的存在性时，注意分类讨论的思想的运用，要把所有符合条件的点求全． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07二次函数的综合题专训之等腰三角形、直角三角形存在性问 题 目录 A题型建模·专项突破 题型一、二次函数的综合题专训之等腰三角形存在性问题.1 题型二、二次函数的综合题专训之直角三角形存在性问题… .8 题型三、二次函数的综合题专训之等腰直角三角形存在性问题。 .18 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、二次函数的综合题专训之等腰三角形存在性问题 1.解题思路：先设动点坐标（含参数），结合二次函数表达式确定顶点、交点等关键坐标：再分三种情况 (两腰为已知边、一动一静边、两动边)讨论等腰三角形构成。 2解题技巧：用两点间距离公式将边长转化为含参数的代数式，简化计算：利用二次函数对称性减少分类， 结合图形范围验根防漏解。 3.解题方法：以代数方程法为主，列边长相等的方程求解参数：辅以几何法（如垂直平分线性质）快速定 位可能点，最后结合函数定义域确定有效解。 1.（24-25九年级上广东东莞期末)如图，已知抛物线y=r2-x x+C与x轴相交于A,B两点，与y轴 相交于C点，已知点A、B的坐标分别是A(-1,0)、B(4,0) (1)求该抛物线的解析式： (2)在x轴上是否存在一点P,使△PBC是以BC为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若 不存在，请说明理由， 2.(25-26九年级上安徽阶段练习)已知点A(1,m)在抛物线y=x2上 1/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求m的值： (2)在x轴上是否存在点P,使得△OAP是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 3.(2025九年级下全国专题练习)如图，一次函数y=--2与x轴、y轴分别交于A、C两点，二次 2 函数y=a心2+bx+c的图象经过A、C两点，与x轴交于另一点A,其对称轴为直线=} 2 (1)求该二次函数表达式： (2)在对称轴上是否存在点P,使△PAC为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由」 4.(25-26九年级上江西南昌阶段练习)如图，抛物线y=ax2+br+3(a≠0)与x轴交于4，B两点，与y 轴交于点C.已知点A的坐标是(-1,0)，抛物线的对称轴是直线x=1. 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)第一象限内的抛物线上有一动点P,使△BCP的面积最大，求点P的坐标和△BCP面积的最大值； (3)对称轴与x轴交于点N,在对称轴上找一点M,使△MNC是等腰三角形，直接写出满足条件的所有点 M的坐标 题型二、二次函数的综合题专训之直角三角形存在性问题 1.解题思路：先确定抛物线与坐标轴交点等定点（如A、B),设抛物线上动点Px,),分∠A=90°、 ∠B=90°、∠P=90°三类讨论直角顶点。 2.解题技巧：用勾股定理(PA2+PB2=AB2等)或斜率乘积为-1（垂直）列方程，借抛物线表达式消y,结 合x范围验根。 2/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3解题方法：代数法为主，列坐标方程求解：辅以几何法（过A、B作垂线交抛物线得P),结合图形验证 直角合理性。 5.(25-26九年级上：广东广州阶段练习)如图，已知抛物线y=a(x-2)与y轴正半轴交于点A,顶点为 B,连接AB,其中OA=OB. B (1)求抛物线的解析式； (2②)若点P是抛物线上一点，当△ABP是以AB为直角边的直角三角形时，求点P的坐标， 6.(25-26九年级上·上海浦东新期中)如图，抛物线y=r2+br+3(a≠0)与x轴交于A,B两点，与y 轴交于点C.已知点A的坐标是(-1,0)，抛物线的对称轴是直线x=1. VA B 备用图 (1)求抛物线的解析式 (2)第一象限内的抛物线上有一动点P,使△BCP的面积最大，求点P的坐标和△BCP面积的最大值. (3)对称轴与x轴交于点N,在对称轴上找一点M,使△MNC为直角三角形，求点M的坐标 7.(25-26九年级上天津蓟州阶段练习)己知，抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-1,0)和C(0,3). 6 备用图 (1)求抛物线的解析式及顶点坐标： (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PAC的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在， 请说明理由； 3/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，求点M的坐标。 8.(25-26九年级上天津期中)己知，抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-1,0)和C(0,3),与x轴的另一个 交点为B 备用图 (1)求抛物线的解析式及顶点坐标： (2)P是直线BC上方抛物线上的一个动点（不与点B,C重合，过点P作直线PD⊥x轴于点D,交直线BC 于点E.当PE=2ED时，求点P的坐标： (3)设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，求点M的坐标. 题型三、二次函数的综合题专训之等腰直角三角形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B),设动点P,分∠A、∠B、∠P为直角顶点三类，每类需满足 “直角”+“两直角边相等”。 2.解题技巧：用坐标表边长，结合勾股定理（直角）与距离相等（等腰）列方程，借抛物线消y:利用斜率 (垂直时积为1)简化计算，结合图形限x范围。 3解题方法：代数法联立直角与等腰方程求解：几何法构造全等（如过P作横纵垂线，使直角边等长）， 验证交点合理性。 9.(2025·黑龙江鸡西二模)如图，抛物线y=x+br+C与x轴相交于点A(-L,0)和点B(2,0) A\O (1)求抛物线的解析式： (②)在抛物线上有一点P,过点P作x轴的垂线交x轴于点Q,若△AP№是等腰直角三角形，求点P的坐标， 10.(2025陕西一模)二次函数y=a2+br+2的图象交x轴于A(-l,0),B(4,0)两点，交y轴于点C,动 4/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N,交 抛物线于点D,连接AC,设运动的时间为t秒 D B (1)求二次函数y=ar2+br+2的表达式； (2)在直线MN上存在一点P,当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点P的坐标 11.(2025陕西咸阳模拟预测)如图，抛物线L:y=+bx+c的对称轴为直线x=-1,且与x轴相交于 A(-3,0),B两点，与y轴交于点C. A (1)求抛物线L的表达式： (2)将抛物线L向左或向右平移(m>0)个单位长度，得到抛物线L',L'与轴交于A',B两点（点A在 点B的左侧)，与y轴交于点C,当△OB'C'为等腰直角三角形时，求m的值. 12.(24-25九年级上广东云浮期中)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A(-1,0),B(2,0)两点，与 y轴交于点C. VA B (1)求抛物线的解析式： 5/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)抛物线的对称轴上是否存在一点M,使△ACM的周长值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在， 请说明理由 (3)在抛物线上有一点P,过点P作x轴的垂线交x轴于点Q,若△APQ是等腰直角三角形，求点P的坐标， B 综合攻坚·能力跃升 一、解答题 1.(24-25九年级上·上海崇明阶段练习)已知：抛物线y=x2-4ax+4a开口向上，顶点为A,与y轴交 于B点，OB=2OA (I)求点A、点B的坐标 (2)在抛物线上是否存在一点C,使△ABC是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出C点坐标：若不 存在，请说明理由 2.(25-26九年级上全国课后作业)如图，在平面直角坐标系xOy中，己知抛物线y=a+C经过点 P(4,-3),与y轴交于点A(0,),直线y=ax(k≠0)与抛物线交于B,C两点. (1)求抛物线的函数解析式. (2)若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求点B的坐标. 3。（2025九年级上浙江专题练习)如图1，在平面直角坐标系中，直线y=: =4x+1分别与x轴，y轴交于 点A、B(0,1),抛物线y= 3 x+bx+c经过点B,且与直线y=4x+1的另一个交点为C(4,m) 2 6/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B A G齐O 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得△BCP为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不 存在，请说明理由， 4.(24-25九年级上黑龙江阶段练习)如图，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于点A、点B,与 y轴交于点C,其中A(3,0),C(0,3) (1)求二次函数的解析式： (2)若点P在二次函数图象上，且S△4OP=6,求点P的坐标： (3)若M是抛物线对称轴上一点，△ACM是等腰三角形，直接写出点M的坐标。 5.(2425九年级下·贵州贵阳阶段练习)如图，已知抛物线y=ar2+br+C(a≠0)经过 A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)三点，直线1是抛物线的对称轴. VA (1)求抛物线的表达式： (2)设点P是直线1上的一个动点，当点P到点A,B的距离之和最短时，求点P的坐标； (3)点M也是直线I上的一个动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标. 6.(2425九年级上新疆伊犁期末)如图，已知抛物线y=ar°+bx+3(a≠0)经过A,0),B(-3,0)两点 7/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 备用图 (1)求a、b的值. (2)若点D为抛物线上一动点，△ABD的面积为10时，求点D的坐标. (3)设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形的点P的坐标. 7.(2025九年级上·浙江·专题练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于 A(-1,O)、B两点，其顶点为(L,-4),直线y=x-2与x轴交于点D,与y轴交于点C,点P是x轴下方的抛 物线上一动点，过P点作PF⊥x轴于点F,交直线CD于点E,设点P的横坐标为. B (1)请直接写出抛物线的解析式； (2)若PE=3EF,求m的值： (3)连接PC,是否存在点P,使△PCE是以PE为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存 在，请说明理由 8.(24-25九年级上青海海东期末)如图，二次函数的图象和x轴交点A,0),B(3,0),和y轴交点 C(0,3). y个 3 2 1 A B 02月4主 D (1)求这个二次函数的解析式： (2)求这个二次函数的顶点D的坐标： 8112 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)该二次函数图象对称轴上是否存在点P,使△PAC是以AC为斜边的直角三角形，若存在，求出P的坐 标，若不存在，请说明理由 9.(2025九年级上浙江专题练习)如图，抛物线经过点A(1,0),B(3,0)和C(2,3),顶点为D. (1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式： (2)连接AD,CD,判断△ACD的形状： (3)在抛物线的对称轴上，是否存在一点E,使得△CDE为等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的 点E的坐标：若不存在，请说明理由 10.(2025九年级上·浙江·专题练习)已知如图，在平面直角坐标系x0中，二次函数y= -Ix+bx+c 2 的图象经过点A(4,0),C(0,2) 图1 图2 (1)求抛物线的表达式： (2)如图1，点E是抛物线上的第一象限的点，求S4ce的最大值，并求S4C取得最大值时x的值： (3)如图2，在抛物线上是否存在一点P,使△ACP是以AC为斜边的等腰直角三角形？若存在，求点P的 坐标，若不存在请说明理由 11.(24-25九年级上·江西南昌期中)如图，抛物线y=x+bx+C与x轴交于A,B两点（点A在点B左 边)，与y轴交于点C.直线y=x-3经过B,C两点，点P是抛物线上一动点. 9112 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在BC下方运动时，求△BCP面积的最大值： (3)若点F为直线BC上一点，作点A关于y轴的对称点A,连接AC,AF,当△FAC是直角三角形时，直接 写出点F的坐标. 12.(2025九年级上浙江专题练习)如图①，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于A,B两点，抛物线 y=-x2-bx+c与y轴交于点C(0,4),与x轴正半轴交于点D(4,0),设M是点C,D间抛物线上的一点 (包括端点).其横坐标为. D D 图① 图② (1)求抛物线的解析式： (2)当为何值时，△MAB面积S取得最大值？请说明理由： (3)如图②，连接CD,抛物线上是否存在点Q,使得△CDQ是以CD为底的等腰三角形，如果存在，请求出 点Q的坐标，不存在，请说明理由 13.(24-25九年级下·黑龙江齐齐哈尔阶段练习)综合与探究： 如图，直线y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=-x+bx+c经过点A,B,与x轴的另一 个交点为点C. 10/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 备用图 (1)求抛物线的解析式： (②)点P是第二象限内抛物线上一动点，连接PA,PB,求四边形AOBP面积的最大值： (3)在抛物线的对称轴上是否存在点G,使△ABG是等腰三角形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存 在，请说明理由 14.(24-25九年级下广东惠州开学考试)如图，已知抛物线y=ar+br+c(a≠0)的顶点坐标为2(2，-l), 且与y轴交于点C(0,3),与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D. B B 0 (1)求该抛物线的函数关系式： (2)若点D的横坐标为2，求△ABD的周长； (3)当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标. 15.(2025四川南充·二模)在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A和B(1,0)两点，与y轴相 交于C,且顶点D(-1,4),P是抛物线上一动点. 11/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B 图1 图2 (1)求二次函数的解析式： (2)如图1，连接BC,若∠PBC=45°，求P的坐标： (3)如图2，过P作P№∥AC交抛物线于D,以P、Q、D为顶点的三角形是否存在直角三角形，若存在， 求出P的坐标；若不存在，通过计算说明. 16.(24-25九年级上广西钦州阶段练习)如图，己知抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴 交于点C(0,3). E D B衣 (1)求该抛物线所对应的函数关系式： (②)E是线段BC上的一个动点（与点B、C不重合），过点E作ED⊥x轴于点D,交抛物线于点F ①求△CEF的边CE上的高的最大值； ②在这条抛物线上是否存在点F,使得以F、卫、C为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出所 有符合条件的点F的坐标；若不存在，说明理由： 12/12