专题03 直线方程最值问题六种考法（压轴题专项训练）数学苏教版高二选择性必修第一册

**基本信息** 以“通法+题型+挑战”构建直线方程最值问题突破体系，提炼七大核心与两条底线原则，实现方法迁移与思维进阶。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1|对称性（点线/线点/线线）、光学性质、距离和差|以直线方程为基，融合几何性质与代数运算| |题型归纳|6题型（斜率/点线距离等），每题型1典例+3变式|数形结合、定点分析、对称转化、跨章融合|从基础计算到综合应用，形成“特征-方法-变式”链条| |压轴挑战|14题|复杂情境下最值模型构建|对接高考新定义与跨章综合，提升创新意识与推理能力|

专题03 直线方程最值问题六种考法 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、斜率最值问题 题型二、点到直线最值问题 题型三、平行直线最值问题 题型四、两线段和与差的最值问题 题型五、与其他章节融合 题型六、直线方程新定义问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 直线方程“对称性”问题是高中数学核心重难点，所有题型均围绕点关于直线对称、直线关于点对称 、直线关于直线对称、路程以及光学性质、求距离和的最值问题、求距离差的最值问题、与其他章节融合七大核心展开，解题贯穿两条底线原则： 一是点关于直线对称、直线关于点对称以及直线关于直线对称常常利用垂直关系以及中点坐标公式求解；二是涉及到最短距离，可以利用“光学性质”：光走的路径最短，借助对称性来求解，所有参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、斜率最值问题 典例1 已知点A在直线上，点B在直线上，线段AB的中点为，且满足，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出点的坐标和中点，用表示出坐标，将坐标代入对应直线方程即可得到的表达式， 联立得到表达式代入求解即可. 【解析】解：设，，则 ， 的中点为， ， 分别在直线和， ，， ，即. ，即 ， 又，，即 ， 所以，即 ， 所以， 解得. 故选：A. 题型模版 1.特征：（1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；（2）问题可转化为研究含参直线过定点与线段相交的斜率、倾斜角的范围，数形结合即得解 2.方法：（1）数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定斜率范围；函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可． （2）法一：联立直线方程求交点，根据所在象限求斜率范围，进而确定倾斜角范围；法二：确定直线位于第一象限部分的端点，结合直线l与其交点在第一象限，数形结合确定倾斜角范围. 变式1-1已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线的斜率的取值范围，利用直线倾斜角与斜率的关系可得出直线的倾斜角的取值范围. 【解析】直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，则， 又因为，故. 故选：D. 变式1-2已知，若点在线段上，则的最小值为（  ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两点连线的斜率公式知表示点和点连线的斜率，再数形结合，即可求出结果. 【解析】如图，因为表示点和点连线的斜率， 又，所以，， 由图知，的最小值为，    故选：C. 变式1-3已知坐标平面内三点，，，若D为的AB边上一动点，则直线CD的倾斜角的取值范围为____________. 【答案】 【分析】数形结合，利用两点式斜率公式，根据斜率与倾斜角变化的规律分析求解即可. 【解析】（1）由，得， 因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是，所以直线AC的倾斜角为. （2）如图，当直线CD绕点C由CA逆时针转到CB时，直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，    此时由增大到，又，， 所以的取值范围为， 即直线CD的倾斜角的取值范围为. 故答案为： 类型二、点到直线最值问题 典例2 当点到直线l：的距离最大时，实数的值为（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】先求得直线过的定点，再由点P与定点的连线与直线垂直求解. 【解析】直线l：， 整理得， 由，可得， 故直线恒过点， 点到的距离， 故； 直线l：的斜率， 故，解得 故选：B. 题型模版 1.特征：点到动直线（过定点型）距离最大值，就是两点之间的距离 2.方法：根据直线的方程确定直线过的定点，再根据已知点和动直线的位置关系分情况讨论点与直线距离的最值，从而确定其取值范围. 变式2-1对任意的实数，求点到直线的距离的取值范围为______． 【答案】 【解析】由题意，直线，即 ， 所以 ，解得 ， 所以直线过定点， 当垂直直线时，取得最大值 ， 当直线过点时，取得最小值， ∴的取值范围 . 故答案为：． 变式2-2已知点和直线，则点P到直线l的距离的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求得直线的定点，进而求得点P到直线l的最大距离，然后检验点是否可能在直线上即可 【解析】可化为： 设直线的定点为，点P到直线l的距离为，则有： 可得：为直线的定点 则有：，此时为点P到直线l的最大距离 若在直线上，则有：，即 可得：不可能在直线上，则有： 综上可得： 故答案为： 变式2-3已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值范围是______． 【答案】 【解析】联立两条直线的方程， 解得交点的坐标为， ∴， 由，故得的取值范围是, 故答案为： 题型三、平行直线最值问题 典例3 直线与直线上各有一动点、，那么最小值为（　　） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线方程得出两直线的斜率相等，从而得出两直线平行，则的最小值即为两直线间的距离，再利用两平行直线间的距离公式计算求解． 【解析】 直线，， 直线，即，， ，显然两直线不重合， ，即最小值即为两直线间的距离， 由两平行直线间的距离公式可得，即最小值为1． 故选：B． 题型模版 1.特征：两平行直线上动点之间的距离最小值可转化为求平行直线之间的距离。 2.方法：（1）根据动直线的方程确定所过的定点，再根据已知点和动直线的位置关系分析两平行直线之间距离的最值，从而确定其取值范围；（2）两平行直线上动点之间的距离最小值可转化为求平行直线之间的距离. 变式3-1已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意确定点在直线上，点在直线上，将的最小值转化为两平行线间距离的平方，即可求得答案. 【解析】由题意知实数满足， 则， 故点在直线上，点在直线上， 而表示点和点之间的距离的平方， 故的最小值为两平行线和间距离的平方， 最小值为， 故选：B. 变式3-2已知两条平行直线，，当之间的距离最大时，（　　） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】求出直线所过定点确定最大距离，进而求出值. 【解析】直线， 由，得，则直线过定点， 直线， 由，得，则直线过定点， 因此直线之间的距离最大为， 此时，而直线斜率， 则，所以. 故选：C 变式3-3已知两条直线，，且，当两平行线距离最大时，___________ 【答案】5 【分析】求出恒过的定点，故，距离的最大值为，所以，求解即得出答案. 【解析】，由， 解得，故过定点． ，由， 解得，故过定点， 故，距离的最大值为． 此时，，则，， 解得，故． 故答案为：5 题型四、两线段和与差的最值问题 典例4 已知点M，N分别在直线：与直线：，且，点，，则|的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则直线的方程为， 由， 所以， 设， 则表示直线上的点与连线的距离之和， 所以的最小值为. 故选：C 题型模版 1.特征：1、点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 2、点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到). 3、点在直线异侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 2.方法：(1)定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短； (2)定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短 变式4-1在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，点C的坐标为（），则的最小值是（　　） A．6 B． C． D．5 【答案】C 【分析】求出点所在直线方程，再求关于直线的对称点，转化为求的最小值即可得解. 【解析】如图，    ， 在直线上， 设点A关于直线的对称点为A'，则所在直线为， 代入点 ，可得，解得， 故所在直线为， 联立，解得， 故直线与直线交点， 则点关于直线的对称点的坐标为， ， 因为， 所以的最小值是， 故选：C. 变式4-2著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】y可看作x轴上一点到点与点的距离之和，可知当A，P，B三点共线时取得最小值可得答案. 【解析】， 则y可看作x轴上一点到点与点的距离之和， 即，则可知当A，P，B三点共线时，取得最小值， 即． 故选：A. 变式4-3（多选）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（　　） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 【答案】AC 【分析】应用点关于直线对称，结合饮马模型求的最小值，利用三角形的三边关系及点线位置关系求的最值，即可得答案. 【解析】令是关于的对称点，则， 所以，即，为与的交点， 如下图，则， 当且仅当共线且在线段上时取等号，即的最小值为12； 由图知（直线与直线的交点离点更近），即， 当且仅当共线且在射线上时取最小值，但无最大值，即最小值是，为. 故选：AC 题型五、与其他章节融合 典例5 若函数，且a＞b＞c＞0，则、、的大小关系是（　　） A．＞＞ B．＞＞ C．＞＞ D．＞＞ 【答案】B 【分析】把,,分别看作函数图象上的点与原点连线的斜率，对照图象可得答案． 【解析】 由题意可得，,,分别看作函数图象上的点与原点连线的斜率，结合图象可知当时，>>． 故选：B 题型模版 1.特征：根据直线的斜率、倾斜角与三角函数、平面向量等章节融合，进而根据平面向量、三角函数以及三角恒等变换可求解. 2.方法：根据三角函数的单调性以及三角恒等变换公式转换与化归求参数值 变式5-1在中，，角为锐角，且向量在向量上的投影向量的模是3，则 ；若，则函数的最小值为 . 【答案】； 【解析】由向量在向量上的投影向量为， 得向量在向量上的投影向量的模为，所以， 又因角为锐角，所以， 如图，以点为原点，建立平面直角坐标系， 则， 在上取，使得，则， 在上取点使得， 则， 直线的方程为，设点关于直线的对称点， 则，解得，所以， 则，当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 变式5-2在平面直角坐标系xOy(O为坐标原点)中，不过原点的两直线，的交点为P，过点O分别向直线，引垂线，垂足分别为M，N，则四边形OMPN面积的最大值为（　　） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】由、的方程可得它们都过定点，，然后可得四边形OMPN为矩形，且，然后可求出答案. 【解析】将直线的方程变形得，由，得，则直线过定点，同理可知，直线过定点，  所以，直线和直线的交点P的坐标为，易知，直线，如图所示， 易知，四边形OMPN为矩形，且，设，，则， 四边形OMPN的面积为， 当且仅当，即当时，等号成立，因此，四边形OMPN面积的最大值为， 故选：D 变式5-3已知函数，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意作图，利用斜率的计算公式，可得答案. 【解析】因为，图象如下图，，   ， 表示函数上一点与连线斜率的倍， ，， 由图可知：或， 所以或， 则的取值范围为. 故选：D. 题型六、直线方程新定义问题 典例6 出租车几何学是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创立的．在出租车几何学中，点还是形如的有序实数对，直线还是满足的所有组成的图形，角度大小的定义也和原来一样，对于直角坐标系内任意两点定义它们之间的一种“距离”（“直角距离”）：．请解决以下问题： (1)求线段上一点到原点的“距离”； (2)求所有到定点的“距离”均为2的动点围成的图形的周长； (3)在“欧式几何学”中有如下两个与“距离”有关的正确结论： ①平面上任意三点A，B，C，； ②平面上不在一直线上任意三点A，B，C，若；则是以为直角三角形. 上述结论对于“出租车几何学”中的直角距离是否还正确，并说明理由． 【答案】(1)2； (2) (3)①设， 则，，， 根据绝对值三角不等式可知，， 同理， 故， 故成立，故①正确； ②设， 则，， ， ，， ， 满足，但，故②错误. 综上所述：①正确，②错误. 【分析】（1）根据“直角距离”的定义直接求解即可； （2）设点到定点的“距离”为2，再根据定义：任意两点间的“距离”，分四种情况求解即可； （3）直接证明或举出反例判断即可. 【解析】（1）易得线段上一点到原点的“距离”为： . （2）设点到定点的“距离”为2， 则①当时，， 此时为线段， ②当时，， 此时为线段， ③当时，， 此时为线段， ④当时，， 此时为线段， 易得围成的图形的形状为以，为顶点的正方形， 故周长为. （3）略 题型模版 1.特征：通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的 2.方法：解决圆锥曲线新定义问题 （1）精准解读新定义，提炼核心特征。将题目给出的新定义（如距离关系、斜率条件等）转化为数学表达式，抓住定义中的关键约束（如定点、定长、比例关系）。 （2）数形结合转化问题。根据新定义画出示意图，直观分析动点的轨迹或满足的几何条件，将抽象的定义转化为具体的坐标关系或代数方程。 （3）联立方程规范求解。将新定义转化的表达式与斜率、距离公式等工具计算，验证结果是否符合新定义的范围约束，确保解题过程紧扣定义，不偏离核心条件。 变式6-1设平面点集包含于，若按照某对应法则，使得中每一点都有唯一的实数与之对应，则称为在上的二元函数，且称为的定义域，对应的值为在点的函数值，记作，若二元函数，其中，，则二元函数的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】二元函数的几何意义是动点到定点距离的和，结合三点确定的线段和差关系即可得解. 【解析】依题意，因，，则点在由直线围成的矩形ABCD区域内(含边界)，如图， 而表示动点到定点距离的和，在矩形ABCD及内部任取点P， 连接PO，PA，PQ，PC，AC，于是有，当且仅当点P在线段OQ上时取“=”，，当且仅当点P在线段AC上时取“=”， 于是得，当且仅当点P是线段OQ与AC的交点时取“=”， 显然直线AC：与y轴交点在线段OQ上，即当点时，， 所以二元函数的最小值为7. 故选：C 变式6-2人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为 (1)若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)已知，、，，若，，求M、P之间的曼哈顿距离. 【答案】(1)，余弦距离为； (2). 【分析】（1）根据题设中距离的定义求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离即可； （2）根据已知可得、，再结合及正余弦和差公式、平方关系求得、，进而求出M、P的坐标，再由曼哈顿距离的定义求结果. 【解析】（1）由题设定义知：， ，则余弦距离为； （2），又，则， ，则， 所以，结合，， 所以，可得或， 由，即，故，则， ， ， 所以，，则 变式6-3现代城市大多是棋盘式布局，许多城市的道路几乎都是东西和南北走向．在这样的城市中，我们说的两点间的距离往往不是指两点间的直线距离，而是实际路程，也叫“直角距离”．如图，在平面直角坐标系内，我们定义，两点间的“直角距离”为． (1)求到定点的“直角距离”为2的点的轨迹方程，并写出所有满足条件的“格点”的坐标（格点是指横、纵坐标均为整数的点）． (2)求到两定点，的“直角距离”和为定值的动点的轨迹方程，并在平面直角坐标系内作出该动点的轨迹．（在以下三个条件中任选一个作答，多答不计分） ①，，；②，，；③，，． 【答案】(1)，，，，，，，，． (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意可得轨迹方程为，进而分析格点； （2）根据题意求轨迹方程，分析其对称性，分类讨论去绝对值化简轨迹方程，进而可得轨迹. 【解析】（1）到定点的“直角距离”为2的点的轨迹方程为， 因为，则，解得， 令，则，解得； 令，则，解得； 令，则，解得； 令，则，解得； 令，则，解得； 综上所述：满足条件的格点为，，，，，，，． （2）若选择条件①：该动点的轨迹方程为． 用替换，方程不变，可知轨迹关于y轴对称； 用替换，方程不变，可知轨迹关于x轴对称； 当，时，轨迹方程为； 当，时，轨迹方程为； 根据对称性作图，如图所示． 若选择条件②，该动点的轨迹方程为． 用替换，方程不变，可知轨迹关于y轴对称； 用替换，方程不变，可知轨迹关于x轴对称； 当，时，轨迹方程为； 当，时，轨迹方程为； 根据对称性作图，如图所示． 若选择条件③，该动点的轨迹方程为． 用替换，方程不变，可知轨迹关于y轴对称； 用替换，方程不变，可知轨迹关于x轴对称； 当，时，轨迹方程为； 当，时，轨迹方程为； 当，时，轨迹方程为． 根据对称性作图，如图所示． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即可求得结果. 【解析】由可知直线过定点，设， 当直线与垂直时，点到直线距离最大， 即为. 故选：B. 2．点在函数的图象上，当，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把转化为与点所成直线的斜率，作出函数在部分图象上的动点，结合斜率公式，即可求解. 【解析】由表示与点所成直线的斜率， 又由是在部分图象上的动点， 如图所示：可得，则， 所以，即的取值范围为. 故选：A. 3．已知点，，直线，在直线l上找一点P使得最小，则这个最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设A关于直线的对称点的坐标为， 则， ∴最小． 故选：B 4．设为动点到直线的距离，则的最大值为（　　） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】由距离公式及辅助角公式计算可得. 【解析】点到直线的距离, 因为,则, 所以当时. 故选：C 5．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离，结合上述观点，可得的最小值为（　　） A．5 B． C． D． 【答案】B 【解析】， 则可看作轴上一点到点与点的距离之和，即， 则可知当三点共线时，取得最小值， 即. 故选：B. 6．已知直线过定点，直线过定点与的交点为，则面积的最大值为(   ) A． B． C．5 D．10 【答案】C 【分析】先求定点，然后判断两个直线的位置关系，然后计算面积，利用基本不等式判断即可. 【解析】由题可知，,直线， 所以,， 所以， 所以的面积为， 当且仅当时等号成立. 故选：C 7．（多选）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（ ） A. 若点，则 B. 若点，则在轴上存在点，使得 C. 若点，点在直线上，则的最小值是3 D. 若点在上，点在直线上，则的值可能是4 【答案】ACD 【分析】利用“曼哈顿距离”的定义计算判断AD；结合绝对值的意义判断B；作出图形，借助几何意义求解判断C. 【解析】对于A，由曼哈顿距离的定义知，A正确； 对于B，设，则，B错误； 对于C，作轴，交直线于，过作，垂足为，如图①所示： 由曼哈顿距离的定义可知，而点， 当不与重合时，由直线的斜率为，得， 则；当与重合时，， 于是，因此，C正确． 对于D，如图②所示，取，，则，D正确． 故选：ACD 8．（多选）已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法正确的是（　　） A．点的坐标为 B． C． D．的最大值为5 【答案】ABC 【分析】根据定点判断方法、直线垂直关系、勾股定理、三角函数辅助角求最值即可得解. 【解析】因为可以转化为， 故直线恒过定点A，故A选项正确； 又因为：即恒过定点B， 由 和 , 满足 ， 所以 , 可得 , 故B选项正确； 所以 , 故C选项正确; 因为 , 设为锐角, 则, 所以, 所以当 时, 取最大值 , 故选项D错误. 故选：ABC. 9．已知实数，满足方程，当时，的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意作图，利用斜率的计算公式，可得答案. 【解析】由方程，令，解得，令，解得，设， 由表示的是点与点所连直线的斜率，则问题等价于过点与线段相交的直线的斜率的取值范围，作图如下： 则直线的斜率，直线的斜率，即， 故答案为： 10．当实数k变化时，直线到直线的距离的最大值是______. 【答案】 【解析】由可得过定点，由可得过定点. 又两直线斜率相等，可知两直线平行且垂直于时，距离最大，最大值即为两点间的距离. 故答案为：. 11．已知函数，且，则，，的大小关系为 （用“＞”连接）． 【答案】 【分析】由题意作图，利用斜率的计算公式，可得答案. 【解析】由题意可知：的几何意义为点和点连线所在直线的斜率． 如图所示，， 分别为图中直线①，直线②，直线③的斜率， 根据图像知， 故答案为： 12．矩形OABC中，为坐标原点，，光线从OA边上一点发出，到AB边上的点，被AB反射到BC上的点，再被BC反射到OC上的点，最后被OC反射到轴上的点，若，则与轴倾斜角的正切值的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据图形刻画倾斜角与角的正切公式来计算 【解析】设与轴倾斜角为，由题意可知，， 所以，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以，所以， 故答案为：. 13.已知，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P（P与A，B不重合），则的最大值为_____________；的最大值为_____________． 【答案】 ①. ## ②. 【分析】根据直线方程确定，利用勾股定理得到，结合基本不等式即可求出的最大值，再利用三角函数即可求出的最大值. 【解析】可以转化为，故直线恒过定点A， ：，即，恒过定点B， 由 和 ：，满足 ， 所以 , 可得 , 所以 , 且，故，当且仅当时，等号成立； 因为，设为锐角，则， 所以， 所以当 时, 取最大值 . 故答案为：； 14．如图，已知，，，直线. (1)求直线l经过的定点坐标； (2)若直线l等分的面积，求直线l的方程； (3)若，点E､F分别在线段BC和AC上，上，求的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）将直线变形为，由恒等式可得方程组，从而求得直线所过的定点； （2）根据条件确定直线l所过的定点在直线AB上，设出直线l与AC交点D，由确定D点位置，从而求出D点坐标，代入直线l的方程可求解方程； （3）由可得有，设，可确定，由向量共线可得出F点坐标，表示出,利用二次函数的图象与性质即可求得其取值范围. 【解析】（1）解：直线可化为， 联立，解得，故直线l经过的定点坐标为； （2）解：因为，，，所以有， 由题可得直线AB方程为，故直线l经过的定点在直线AB上， 所以，设直线l与AC交于点D，所以有， 即， 所以，设， 所以，即， 所以，，所以， 将D点坐标代入直线l的方程，解得， 所以直线l的方程为：； （3）解：由（2）可知为等边三角形， 所以，， 而，，，所以有， 设，则，所以， 因为F在AC上，设， 所以，即，解得，， 所以， 所以，， 故， 因为，所以. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 直线方程最值问题六种考法 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、斜率最值问题 题型二、点到直线最值问题 题型三、平行直线最值问题 题型四、两线段和与差的最值问题 题型五、与其他章节融合 题型六、直线方程新定义问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 直线方程“对称性”问题是高中数学核心重难点，所有题型均围绕点关于直线对称、直线关于点对称 、直线关于直线对称、路程以及光学性质、求距离和的最值问题、求距离差的最值问题、与其他章节融合七大核心展开，解题贯穿两条底线原则： 一是点关于直线对称、直线关于点对称以及直线关于直线对称常常利用垂直关系以及中点坐标公式求解；二是涉及到最短距离，可以利用“光学性质”：光走的路径最短，借助对称性来求解，所有参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、斜率最值问题 典例1 已知点A在直线上，点B在直线上，线段AB的中点为，且满足，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：（1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；（2）问题可转化为研究含参直线过定点与线段相交的斜率、倾斜角的范围，数形结合即得解 2.方法：（1）数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定斜率范围；函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可． （2）法一：联立直线方程求交点，根据所在象限求斜率范围，进而确定倾斜角范围；法二：确定直线位于第一象限部分的端点，结合直线l与其交点在第一象限，数形结合确定倾斜角范围. 变式1-1已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（　　） A． B． C． D． 变式1-2已知，若点在线段上，则的最小值为（  ） A．1 B． C． D． 变式1-3已知坐标平面内三点，，，若D为的AB边上一动点，则直线CD的倾斜角的取值范围为____________. 类型二、点到直线最值问题 典例2 当点到直线l：的距离最大时，实数的值为（ ） A． B．1 C． D．2 题型模版 1.特征：点到动直线（过定点型）距离最大值，就是两点之间的距离 2.方法：根据直线的方程确定直线过的定点，再根据已知点和动直线的位置关系分情况讨论点与直线距离的最值，从而确定其取值范围. 变式2-1对任意的实数，求点到直线的距离的取值范围为______． 变式2-2已知点和直线，则点P到直线l的距离的取值范围是 ． 变式2-3已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值范围是______． 题型三、平行直线最值问题 典例3 直线与直线上各有一动点、，那么最小值为（　　） A．0 B．1 C． D． 题型模版 1.特征：两平行直线上动点之间的距离最小值可转化为求平行直线之间的距离。 2.方法：（1）根据动直线的方程确定所过的定点，再根据已知点和动直线的位置关系分析两平行直线之间距离的最值，从而确定其取值范围；（2）两平行直线上动点之间的距离最小值可转化为求平行直线之间的距离. 变式3-1已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式3-2已知两条平行直线，，当之间的距离最大时，（　　） A． B． C．2 D． 变式3-3已知两条直线，，且，当两平行线距离最大时，___________ 题型四、两线段和与差的最值问题 典例4 已知点M，N分别在直线：与直线：，且，点，，则|的最小值为（　　） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：1、点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 2、点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到). 3、点在直线异侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 2.方法：(1)定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短； (2)定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短 变式4-1在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，点C的坐标为（），则的最小值是（　　） A．6 B． C． D．5 变式4-2著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式4-3（多选）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（　　） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 题型五、与其他章节融合 典例5 若函数，且a＞b＞c＞0，则、、的大小关系是（　　） A．＞＞ B．＞＞ C．＞＞ D．＞＞ 题型模版 1.特征：根据直线的斜率、倾斜角与三角函数、平面向量等章节融合，进而根据平面向量、三角函数以及三角恒等变换可求解. 2.方法：根据三角函数的单调性以及三角恒等变换公式转换与化归求参数值 变式5-1在中，，角为锐角，且向量在向量上的投影向量的模是3，则 ；若，则函数的最小值为 . 变式5-2在平面直角坐标系xOy(O为坐标原点)中，不过原点的两直线，的交点为P，过点O分别向直线，引垂线，垂足分别为M，N，则四边形OMPN面积的最大值为（　　） A．3 B． C．5 D． 变式5-3已知函数，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 题型六、直线方程新定义问题 典例6 出租车几何学是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创立的．在出租车几何学中，点还是形如的有序实数对，直线还是满足的所有组成的图形，角度大小的定义也和原来一样，对于直角坐标系内任意两点定义它们之间的一种“距离”（“直角距离”）：．请解决以下问题： (1)求线段上一点到原点的“距离”； (2)求所有到定点的“距离”均为2的动点围成的图形的周长； (3)在“欧式几何学”中有如下两个与“距离”有关的正确结论： ①平面上任意三点A，B，C，； ②平面上不在一直线上任意三点A，B，C，若；则是以为直角三角形. 上述结论对于“出租车几何学”中的直角距离是否还正确，并说明理由． 题型模版 1.特征：通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的 2.方法：解决圆锥曲线新定义问题 （1）精准解读新定义，提炼核心特征。将题目给出的新定义（如距离关系、斜率条件等）转化为数学表达式，抓住定义中的关键约束（如定点、定长、比例关系）。 （2）数形结合转化问题。根据新定义画出示意图，直观分析动点的轨迹或满足的几何条件，将抽象的定义转化为具体的坐标关系或代数方程。 （3）联立方程规范求解。将新定义转化的表达式与斜率、距离公式等工具计算，验证结果是否符合新定义的范围约束，确保解题过程紧扣定义，不偏离核心条件。 变式6-1设平面点集包含于，若按照某对应法则，使得中每一点都有唯一的实数与之对应，则称为在上的二元函数，且称为的定义域，对应的值为在点的函数值，记作，若二元函数，其中，，则二元函数的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 变式6-2人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为 (1)若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)已知，、，，若，，求M、P之间的曼哈顿距离. 变式6-3现代城市大多是棋盘式布局，许多城市的道路几乎都是东西和南北走向．在这样的城市中，我们说的两点间的距离往往不是指两点间的直线距离，而是实际路程，也叫“直角距离”．如图，在平面直角坐标系内，我们定义，两点间的“直角距离”为． (1)求到定点的“直角距离”为2的点的轨迹方程，并写出所有满足条件的“格点”的坐标（格点是指横、纵坐标均为整数的点）． (2)求到两定点，的“直角距离”和为定值的动点的轨迹方程，并在平面直角坐标系内作出该动点的轨迹．（在以下三个条件中任选一个作答，多答不计分） ①，，；②，，；③，，． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（　　） A．1 B． C． D．2 2．点在函数的图象上，当，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 3．已知点，，直线，在直线l上找一点P使得最小，则这个最小值为（　　） A． B． C． D． 4．设为动点到直线的距离，则的最大值为（　　） A． B． C． D．3 5．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离，结合上述观点，可得的最小值为（　　） A．5 B． C． D． 6．已知直线过定点，直线过定点与的交点为，则面积的最大值为(   ) A． B． C．5 D．10 7．（多选）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（ ） A. 若点，则 B. 若点，则在轴上存在点，使得 C. 若点，点在直线上，则的最小值是3 D. 若点在上，点在直线上，则的值可能是4 8．（多选）已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法正确的是（　　） A．点的坐标为 B． C． D．的最大值为5 9．已知实数，满足方程，当时，的取值范围为 . 10．当实数k变化时，直线到直线的距离的最大值是______. 11．已知函数，且，则，，的大小关系为 （用“＞”连接）． 12．矩形OABC中，为坐标原点，，光线从OA边上一点发出，到AB边上的点，被AB反射到BC上的点，再被BC反射到OC上的点，最后被OC反射到轴上的点，若，则与轴倾斜角的正切值的取值范围是 . 13.已知，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P（P与A，B不重合），则的最大值为_____________；的最大值为_____________． 14．如图，已知，，，直线. (1)求直线l经过的定点坐标； (2)若直线l等分的面积，求直线l的方程； (3)若，点E､F分别在线段BC和AC上，上，求的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $