专题03 圆与方程（期中真题汇编，江苏专用）高二数学上学期

**基本信息** 江苏多地高二期中试题汇编，聚焦圆的方程及位置关系，覆盖基础与综合应用，适配期中复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|约40题|圆的标准/一般方程、直线与圆位置关系|基础题（点与圆位置判断）、多选题（如矩形与圆综合题）| |填空题|约10题|弦长计算、轨迹方程|结合几何性质（如圆心在定直线上的圆方程）| |解答题|约12题|外接圆方程、切线方程、存在性问题|分层设计，从方程求解到实际应用（如机器人追踪情境），融入向量、复数知识|

专题03 圆与方程 2大高频考点概览 考点01 圆的方程 考点02 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 圆的方程 1．（25-26学年高二上·江苏期中学·期中）已知在圆：外，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C. 或 D.  2．（25-26学年高二上·江苏苏州常熟·期中）若四点，，，在同一个圆上，则实数的值为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·江苏宿迁泗阳县·期中）已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是，，则这个圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·江苏连云港灌南县·期中）过点，，的圆的标准方程为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·江苏淮安·期中）已知的三个顶点分别为，则的外接圆方程是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·江苏扬州邗江区·期中）圆心在轴上，且经过点的圆的标准方程为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·江苏南通·期中）若方程：表示圆，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·江苏常州金坛区·期中）如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F>0）所表示的曲线关于y＝x对称，则必有 A. D＝E B. D＝F C. F＝E D. D＝E＝F 9．（25-26学年高二上·江苏连云港海州区·期中）已知点在圆外，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·江苏南通·期中）已知直线和圆交于两点，设线段的中点为为坐标原点，则的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·江苏期中学·期中）（多选）已知，，，且四边形是矩形，则（     ） A. 直线的斜率为 B. 直线的方程为 C. 四边形的面积为6 D. 以为直径的圆的方程为 12．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）已知点是圆上的动点，点，则的最大值是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·江苏扬州邗江区·期中）若圆的半径为2，则　　　　　　． 14．（25-26学年高二上·江苏南通如皋·期中）已知圆的圆心在直线上，且圆与轴的交点分别为，，则圆的方程为　　　　　　． 15．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）已知的三个顶点分别是，，. （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求的外接圆的方程. 16．（25-26学年高二上·江苏南通·期中）已知的三个顶点为. （1）求边上的中线的长； （2）求的外接圆方程. 17．（25-26学年高二上·江苏期中学·期中）复数满足，则的最大值为　　　　　　　　. 18．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）已知圆，点是圆上一动点，点是平面直角坐标系中一点，动点满足. （1）若，点的坐标为，求动点的轨迹方程； （2）若，点为圆上的动点.试问：是否存在定点恒在动点的轨迹上？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若，，记为动点在时轨迹的面积，求满足对任意恒成立的最小正整数. 考点02 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．（25-26学年高二上·江苏连云港灌云县·期中）两圆与的公切线条数为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2．（25-26学年高二上·江苏南通如东县·期中）若实数满足，则的最大值是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·江苏宿迁泗阳县·期中）圆被直线所截的弦长为（       ） A. 2 B.  C. 3 D.  4．（25-26学年高二上·江苏宿迁泗阳县·期中）圆：与圆：的位置关系是（       ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 5．（25-26学年高二上·江苏连云港灌南县·期中）若圆与轴相切，则这个圆截轴所得的弦长为（       ） A. 4 B.  C. 8 D.  6．（25-26学年高二上·江苏连云港赣榆区·期中）过圆上一点作圆的切线，则的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·江苏连云港赣榆区·期中）已知两圆，相交于两点，则直线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·江苏淮安·期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已经,,动点满足,则动点轨迹与圆的位置关系是（       ） A. 相交 B. 相离 C. 内切 D. 外切 9．（25-26学年高二上·江苏连云港海州区·期中）圆与圆交于两点，则直线的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）过三点，，的圆交轴于，两点，则（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·江苏常州金坛区·期中）设为实数，若直线：与圆相切，则点与圆的位置关系是（       ） A. 在圆外 B. 在圆上 C. 在圆内 D. 不能确定 12．（25-26学年高二上·江苏苏州常熟·期中）已知直线与圆相离，若关于对称的圆被轴截得的弦长为2，则实数的值是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·江苏南通如皋·期中）若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高二上·江苏宿迁沭阳县·期中）已知，是圆上两点，且，若直线上存在点使得\vec {OM}+\vec {ON}=\vec {OP}，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高二上·江苏宿迁沭阳县·期中）已知点在圆上，点，则满足\vec {AP}\cdot \vec {BP}=6的点的个数为（       ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 16．（25-26学年高二上·江苏连云港东海县·期中）直线被圆截得的弦长小于，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高二上·江苏连云港东海县·期中）圆：与圆：公切线的条数是（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 18．（25-26学年高二上·江苏连云港赣榆区·期中）在平面直角坐标系中，点，点到直线的距离为，且，则符合要求的点的个数为（       ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 19．（25-26学年高二上·江苏连云港赣榆区·期中）（多选）已知直线，圆，则下列说法中正确的是（       ） A. 圆的圆心为，半径为2 B. 若直线与圆有2个交点，则的取值范围为 C. 若直线与直线交于点，则点的轨迹与圆有1个公共点 D. 若圆上恰有一点到直线的距离为1，则的值为 20．（25-26学年高二上·江苏扬州邗江区·期中）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A. 外离 B. 外切 C. 内切 D. 相交 21．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）（多选）已知直线，圆（       ） A. 对任意实数，直线恒过定点 B. 对任意实数，直线与圆相交，且被圆截得弦的长度最小值是4 C. 存在实数，使得直线分圆所得弧长之比为 D. 存在实数，使得圆上有3个点到直线的距离为1 22．（25-26学年高二上·江苏连云港海州区·期中）已知圆，，是圆上的两个动点，且，则的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年高二上·江苏连云港海州区·期中）若直线与曲线只有一个公共点，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年高二上·江苏南京·期中）若圆上存在点，其关于轴的对称点在圆上，则的取值范围为（　　） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年高二上·江苏南通·期中）（多选）已知圆与圆，则（       ） A. 圆心距 B. 两圆的公共弦所在直线的方程为 C. 两圆的公共弦长为 D. 直线是两圆的一条公切线 26．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）已知直线与相交于点P，点Q在圆上，则（       ）． A. 有最大值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最小值 27．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）（多选）已知圆：，直线：，则（       ） A. 直线与圆的轨迹一定相交 B. 直线与圆交于两点，则的最大值为 C. 圆上点到直线距离的最大值为 D. 当时，则圆上存在四个点到直线的距离为1. 28．（25-26学年高二上·江苏期中学·期中）已知圆：的切线与圆：交于，两点，则面积的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  29．（25-26学年高二上·江苏期中学·期中）已知圆：与圆：相交于，两点，则弦的长度为（     ） A.  B.  C.  D.  30．（25-26学年高二上·江苏连云港灌云县·期中）（多选）已知点P在圆上，点，，，则（       ） A.  B. 当面积最大时， C. 当最小时， D. 当最大时， 31．（25-26学年高二上·江苏苏州常熟·期中）（多选）已知直线与圆，则下列说法正确的是（       ） A. 直线与圆始终相交 B. 若直线与圆相交于，两点，则最小时， C. 圆上一点到直线的最大距离为 D. 若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则 32．（25-26学年高二上·江苏南通如皋·期中）（多选）已知点，，动点满足，在圆上，则下列结论正确的是（       ） A. 点的轨迹方程为 B. 的最大值为6 C. 的取值范围是 D. 过点作圆的两条切线，切点分别为，，则存在点，使得 33．（25-26学年高二上·江苏宿迁沭阳县·期中）（多选）已知为坐标原点，过点的直线与圆交于，不同的两点，分别作圆在点，处的切线，两条切线相交于点，则下列选项正确的有（       ） A. 当时， B. 当直线的斜率为时，的面积为 C. 当时，的外接圆半径为 D. 当时， 34．（25-26学年高二上·江苏连云港灌南县·期中）（多选）已知圆，直线，则下列结论正确的是（       ） A. 直线恒过定点 B. 当时，圆上有四个点到直线的距离都等于1 C. 圆与曲线恰有三条公切线，则 D. 当时，直线上动点向圆引两条切线，其中为切点，为线段AB的中点，则存在定点，使得恒为. 35．（25-26学年高二上·江苏连云港东海县·期中）（多选）已知圆：，直线：（），则下列结论正确的是（     ） A. 直线恒过定点 B. 点为圆上一动点，则到直线距离的最大值为5 C. 当时，圆上恰有两个点到直线的距离都等于 D. 直线上存在点，使过点所作的圆的两条切线相互垂直，则 36．（25-26学年高二上·江苏扬州邗江区·期中）（多选）已知圆，下列说法正确的是（       ） A. 若过点的直线与圆交于，两点，则的取值范围为 B. 圆上有4个点到直线的距离为 C. 若圆与圆没有公切线，则的取值范围为 D. 过直线上任意一点作圆的切线，切点为，，则直线必过定点 37．（25-26学年高二上·江苏连云港东海县·期中）过点与圆相切的直线方程为　　　　　　　　　　　　　　 38．（25-26学年高二上·江苏淮安·期中）经过点作圆的切线，则切线的方程为　　　　　　　　　　. 39．（25-26学年高二上·江苏南通·期中）过点作圆的切线，则切线长为　　　　　　　　　　. 40．（25-26学年高二上·江苏苏州常熟·期中）已知点和圆. （1）求过点的圆的切线方程； （2）已知圆经过点和点，且在直线上，求圆的方程. 41．（25-26学年高二上·江苏南通如东县·期中）已知过点的直线与圆交于，两点，且，则的面积是　　　　　　　　　　　　　　　． 42．（25-26学年高二上·江苏南通如东县·期中）若圆过两点，，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆的交于，两点，且，求直线的方程． 43．（25-26学年高二上·江苏宿迁泗阳县·期中）已知直线，圆，圆与圆相外切，且与直线相切于点. （1）求实数的值； （2）求过点且被圆所截的弦长最长的直线方程； （3）求圆的标准方程. 44．（25-26学年高二上·江苏连云港灌南县·期中）已知圆． （1）若直线经过点,且与圆相切,求直线的方程； （2）设点,点在圆上,为线段的中点,求的轨迹的长度． 45．（25-26学年高二上·江苏连云港东海县·期中）已知圆：（为实数）． （1）若直线被圆截得的弦长为，求的值； （2）若过点的圆与圆相切于点，求圆的标准方程． 46．（25-26学年高二上·江苏连云港赣榆区·期中）已知圆过两点，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程． 47．（25-26学年高二上·江苏淮安·期中）已知圆C的圆心在直线上，且圆C与直线l：相切于点. （Ⅰ）求圆C的标准方程； （Ⅱ）若直线过点且被圆C所截得弦长为2，求直线的方程. 48．（25-26学年高二上·江苏扬州邗江区·期中）已知圆. （1）直线过点，且与圆相切，求直线的方程； （2）设直线与圆相交于，两点，点为圆上的一动点，求的面积S的最大值. 49．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）已知圆，圆. （1）判断并证明圆，圆的位置关系； （2）若两圆与相交于，两点，满足，则称圆与圆正交.现有动圆与圆，圆均正交，自引动圆的切线.求证：切线长是定值. 50．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）过点的直线与圆相交于，两点，且.请写出满足要求的一条直线的方程：　　　　　　　　　　　. 51．（25-26学年高二上·江苏连云港海州区·期中）已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切. （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆相交于两个不同的点，且满足\vec {CM}\cdot \vec {CN}\leq 2，求实数的取值范围. 52．（25-26学年高二上·江苏南京·期中）已知圆的圆心在直线上，且圆与轴的交点分别为． （1）求圆的方程； （2）过点的直线交圆于另一点，连接．若，求直线的方程． 53．（25-26学年高二上·江苏期中学·期中）在人工智能实验室中，一个追踪机器人从点出发，发现一个目标机器人在点处正欲逃跑.追踪机器人最大速度是目标机器人最大速度的2倍.假设两个机器人均按直线方向以最大速度移动.    （1）若追踪机器人在点处成功拦截目标机器人，求点的轨迹方程； （2）问：无论目标机器人沿何方向逃跑，追踪机器人是否总能在安全区（的区域）内成功拦截?并说明理由. 54．（25-26学年高二上·江苏连云港灌云县·期中）过点作圆的两条切线，切点分别为M，N，则　　　　　　　　． 55．（25-26学年高二上·江苏连云港灌云县·期中）已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点. （1）求圆的方程； （2）若圆与直线交于两点，_____________，求的值. 从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：；条件②：；条件③：\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=-\frac{1}{2}. 56．（25-26学年高二上·江苏苏州常熟·期中）已知圆和圆，点. （1）若圆与圆内切，求的值； （2）若圆上存在点，使，求的取值范围； （3）过点作两条斜率之积为的直线，分别交圆于点，和，，设线段，的中点分别为，，求证：直线恒过一个定点. 57．（25-26学年高二上·江苏苏州常熟·期中）在平面直角坐标系中，圆，若曲线上有且仅有两个点，过点作圆的两条切线，，为切点，满足，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　. 58．（25-26学年高二上·江苏宿迁泗阳县·期中）已知，两点，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围为　　　　　　　　　　　　. 59．（25-26学年高二上·江苏宿迁沭阳县·期中）设圆满足：①截轴所得弦长为2；②被轴分成两段圆弧，其弧长的比为，假设圆心为，其坐标． （1）请求出之间满足的等量关系； （2）在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线的距离最小的圆的方程． 60．（25-26学年高二上·江苏南通·期中）已知曲线. （1）求曲线围成的平面图形的面积； （2）若是曲线上的两个动点，求的最大值； （3）是否存在直线与曲线至少有三个不同的公共点？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 61．（25-26学年高二上·江苏常州金坛区·期中）直线与圆交于两点，若，则实数的值为　　　　　　　　　　． 62．（25-26学年高二上·江苏常州金坛区·期中）已知圆和圆. （1）若圆与圆相交，求的取值范围； （2）若直线与圆交于，两点，且\vec {OP}\cdot \vec {OQ}=4，求实数的值； （3）若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆与方程 2大高频考点概览 考点01 圆的方程 考点02 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 圆的方程 1．（25-26学年高二上·江苏期中学·期中）已知在圆：外，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C. 或 D.  【答案】A 【分析】 先将圆方程化为标准式，分别根据圆的存在性和点在圆外的条件列不等式，求解后取交集得到的取值范围. 【详解】 将圆的方程化为标准式. 因为圆存在，所以，即. 点在圆外，圆心为，点到圆心的距离的平方为， 半径的平方为，故，解得. 综上，. 故选：A 2．（25-26学年高二上·江苏苏州常熟·期中）若四点，，，在同一个圆上，则实数的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据点在圆上，利用待定系数法可得圆的一般方程，再根据点在圆上，可得解. 【详解】 设圆的方程为，， 又，，在圆上， 则 ，解得 ， 即圆的方程为， 又点在圆上， 则，解得或（舍）， 故选：D. 3．（25-26学年高二上·江苏宿迁泗阳县·期中）已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是，，则这个圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 依题意可得，两点的中点坐标即为圆心，两点间的距离即为圆的直径，从而求出圆的标准方程，再化为一般式方程. 【详解】 由题意可知该圆的圆心为，圆的直径为，则半径为， 所以圆的方程为，即. 故选：B． 4．（25-26学年高二上·江苏连云港灌南县·期中）过点，，的圆的标准方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 在直角坐标系内画出三角形，利用数形思想，结合两直线垂直的判定方法判定该三角形的形状，再利用直角三角形外接圆的性质，再结合圆的标准方程进行求解即可. 【详解】 由如图，已知，，所以， 故该圆的圆心是的中点； 半径为， 所以圆的标准方程为， 故选：C 5．（25-26学年高二上·江苏淮安·期中）已知的三个顶点分别为，则的外接圆方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用待定系数法、配方法进行求解即可. 【详解】 设的外接圆方程为， 因为的三个顶点分别为， 所以有 ， 配方得， 故选：C 6．（25-26学年高二上·江苏扬州邗江区·期中）圆心在轴上，且经过点的圆的标准方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 设出圆的标准方程，代入点的坐标，建立方程求解参数即可. 【详解】 设该圆的标准方程为， 将代入方程，可得 ，解得 ， 得到圆的标准方程为，故C正确. 故选：C 7．（25-26学年高二上·江苏南通·期中）若方程：表示圆，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据二元二次方程表示圆的条件，列出不等式，解之即可. 【详解】 因为方程：表示圆， 则有，解得：， 故选：B. 8．（25-26学年高二上·江苏常州金坛区·期中）如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F>0）所表示的曲线关于y＝x对称，则必有 A. D＝E B. D＝F C. F＝E D. D＝E＝F 【答案】A 【详解】由题知圆心（ , ）在直线y＝x上，即 ＝ ， ∴D＝E.故选A. 考点：圆的一般方程. 9．（25-26学年高二上·江苏连云港海州区·期中）已知点在圆外，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 将圆化成标准形式，确定圆心和半径，结合点在圆外及两点距离公式列不等式求参数范围. 【详解】 由圆，则圆， 所以，半径为，且或， 由点在圆外，则， 所以，可得， 综上，或. 故选：D 10．（25-26学年高二上·江苏南通·期中）已知直线和圆交于两点，设线段的中点为为坐标原点，则的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 易知直线l过定点，且点在圆内，结合垂直于，可得动点的轨迹方程为，由此容易得出的最大值． 【详解】 将圆的方程化为标准方程为，则圆心为， 直线，易知直线恒过定点 又,所以点在圆内，如图所示：    由于垂直于，则点的轨迹为以为直径的圆， 线段的中点坐标为，， 所以动点的轨迹方程为， 又，， 可得， 即的取值范围为， 所以的最大值为. 故选：D 11．（25-26学年高二上·江苏期中学·期中）（多选）已知，，，且四边形是矩形，则（     ） A. 直线的斜率为 B. 直线的方程为 C. 四边形的面积为6 D. 以为直径的圆的方程为 【答案】ABD 【分析】 利用两点斜率公式计算斜率求解判断A；结合矩形对边平行及两点式斜率公式求得直线的斜率，然后代入点斜式直线方程并化简即可判断B；利用两点距离公式求出，即可求解矩形面积判断C；根据矩形性质转化为求以为直径的圆的方程，求出圆心和半径，即可求解圆的方程判断D. 【详解】 对于A，因为，，所以直线的斜率为，正确； 对于B，由，得直线的斜率为，所以直线的斜率为1， 又，所以直线的方程为即，正确； 对于C，因为，，，所以，， 所以矩形的面积为，错误； 对于D，根据矩形性质可知，以为直径的圆也是以为直径的圆， 则圆心为AC中点即，半径为， 所以所求圆的方程为，即，正确. 故选：ABD 12．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）已知点是圆上的动点，点，则的最大值是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 法一根据几何意义并结合正弦定理直接求解；法二，再根据余弦定理并结合基本不等式得即可求解；法三设，则，结合为锐角，即可得到的最大值即可． 【详解】 法一：如图，设过，，三点的圆的半径为， 则，又， 所以，则是锐角，可得， 故取最大，最大， 则时，取得最小值，此时， 而是锐角，此时， 法二：如图，结合圆的性质设， 则由余弦定理得， 由基本不等式得， 当且仅当，即时取等， 故， 则的最大值是； 法三：设，由正弦定理得， 即，则， 因为，所以， 故为锐角，得到的最大值为． 故选：B． 13．（25-26学年高二上·江苏扬州邗江区·期中）若圆的半径为2，则　　　　　　． 【答案】1 【分析】 将圆的方程配方后，结合题意列出方程，求解即得. 【详解】 由经配方，可得：， 因圆的半径为2，故，解得. 故答案为：1. 14．（25-26学年高二上·江苏南通如皋·期中）已知圆的圆心在直线上，且圆与轴的交点分别为，，则圆的方程为　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用待定系数法进行求解即可. 【详解】 设圆的方程为，圆心坐标为， 因为圆的圆心在直线上， 所以， 因为圆与轴的交点分别为，， 所以 ， 所以有， 所以圆的方程为. 故答案为： 15．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）已知的三个顶点分别是，，. （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求的外接圆的方程. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求出边的中点坐标，再根据直线两点间的斜率公式得到中线斜率，使用点斜式写出直线方程；（2）设圆的一般方程，代入顶点坐标即可求出外接圆的方程. 【详解】 （1）线段中点为，则边中线的斜率为， 所以边上的中线所在直线方程为化简得， （2）设外接圆一般方程为，代入三点坐标得， 解得 ， 即的外接圆方程为， 即. 16．（25-26学年高二上·江苏南通·期中）已知的三个顶点为. （1）求边上的中线的长； （2）求的外接圆方程. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用中点坐标公式得到中点坐标，再利用两点间距离公式求解长度即可. （2）设出外接圆的方程，代入点的坐标，进而求解参数得到方程即可. (1) 小问详解： 由中点坐标公式得的中点， 由两点间距离公式得. (2) 小问详解： 设三角形外接圆方程为， 因为点在所求的圆上，可得 ，解得 ， 则外接圆的方程为. 17．（25-26学年高二上·江苏期中学·期中）复数满足，则的最大值为　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 设复数，确定复数z对应的点在圆上，结合的几何意义以及圆的性质，即可求得答案. 【详解】 设复数，则， 即复数z对应的点在圆上， 而表示的是z对应的点和复数对应的点之间的距离， 则的最大值即为圆上的点和点之间的距离的最大值， 由于，即在圆外， 则圆上的点和点之间的距离的最大值为， 即的最大值为， 故答案为： 18．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）已知圆，点是圆上一动点，点是平面直角坐标系中一点，动点满足. （1）若，点的坐标为，求动点的轨迹方程； （2）若，点为圆上的动点.试问：是否存在定点恒在动点的轨迹上？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若，，记为动点在时轨迹的面积，求满足对任意恒成立的最小正整数. 【答案】（1）     （2）存在，     （3）2      【分析】 （1）设，再根据，得到代入圆即可求轨迹方程； （2）设，，则，再代入得到的轨迹方程即可证明； （3）设，，则，进而得到的轨迹方程且，再根据进行放缩求和即可． (1) 小问详解： ，设，则 代入圆得：，即 即动点的轨迹方程为：； (2) 小问详解： ，设，，则 ，分别在圆和圆上，则 整理可得的轨迹方程为. 显然恒过定点，故； (3) 小问详解： 时，，设，，则 代入圆得： 即的轨迹方程为：，则 ，则，故 时，，故 所以，因此最小正整数的值为2． 考点02 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．（25-26学年高二上·江苏连云港灌云县·期中）两圆与的公切线条数为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【详解】根据两圆的标准方程，可得它们的圆心坐标和半径大小，从而得到两圆的圆心距等于，恰好等于两圆的半径之和，由此可得两圆位置关系是外切，进而求出结果． 【详解】 由题意，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为； 所以，且，所以， 所以两圆外切，此时两圆有且仅有3条公切线． 故选:C． 【点睛】 本题主要考查了两圆的位置关系，以及对圆的标准方程的认识，属于基础题． 2．（25-26学年高二上·江苏南通如东县·期中）若实数满足，则的最大值是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用数形结合的思想，将问题转化为求直线在轴上的截距的最值问题，计算即可. 【详解】 易知表示圆心为坐标原点，半径为2的圆， 设，即，为该直线在纵轴上的截距， 当直线与圆相切时，截距可取到最值， 此时原点到直线的距离为， 所以的最大值为. 故选：B 3．（25-26学年高二上·江苏宿迁泗阳县·期中）圆被直线所截的弦长为（       ） A. 2 B.  C. 3 D.  【答案】D 【分析】 首先把圆的一般方程变形为标准方程，求出圆心坐标和半径，圆心到直线的距离，最后利用弦长公式即可求解. 【详解】 方程可变形为，圆心为，半径， 圆心到直线的距离，所以弦长 . 故选：D 4．（25-26学年高二上·江苏宿迁泗阳县·期中）圆：与圆：的位置关系是（       ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】C 【分析】 将两圆方程写成标准式，计算出两圆圆心距，利用几何法可判断出两圆的位置关系. 【详解】 圆：的标准方程为，圆心为，半径为， 圆：的标准方程为，圆心为，半径为， 所以两圆圆心距为，所以， 因此两圆的位置关系为相交. 故选：C. 5．（25-26学年高二上·江苏连云港灌南县·期中）若圆与轴相切，则这个圆截轴所得的弦长为（       ） A. 4 B.  C. 8 D.  【答案】C 【分析】 根据题意，求得，结合圆的弦长公式，即可求解. 【详解】 由圆，可得圆的圆心坐标为，半径为， 因为圆与轴相切，所以， 所以截轴所得弦长为. 故选：C. 6．（25-26学年高二上·江苏连云港赣榆区·期中）过圆上一点作圆的切线，则的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用切线与切点和圆心所在直线垂直，根据直线垂直的条件得到切线的斜率，进而利用点斜式写出切线的方程. 【详解】 圆的圆心为，则直线的斜率为， 因为过圆上一点的切线与该点和圆心所在的直线垂直，即， 所以，则切线的斜率为, 所以直线的方程为,即. 故选：D 7．（25-26学年高二上·江苏连云港赣榆区·期中）已知两圆，相交于两点，则直线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由圆与圆的位置关系的判断可得两圆相交，从而两圆方程作差即可得到直线方程. 【详解】 由两圆方程可得圆心分别为，，半径分别为，， 圆心距，，两圆相交， 两圆方程作差得：，即， 直线的方程为：. 故选：C. 8．（25-26学年高二上·江苏淮安·期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已经,,动点满足,则动点轨迹与圆的位置关系是（       ） A. 相交 B. 相离 C. 内切 D. 外切 【答案】D 【分析】 求阿波罗尼斯圆后判断两圆的位置关系. 【详解】 由已知动点满足，得 即动点轨迹为圆：， ，两圆外切. 故选: D. 9．（25-26学年高二上·江苏连云港海州区·期中）圆与圆交于两点，则直线的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由两圆方程相减即可求解； 【详解】 ① ，② ，. ②−① 化简可得， 方程为， 故选：A． 10．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）过三点，，的圆交轴于，两点，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 设圆的方程为，代入点的坐标，求出，，，则圆的方程可得，令，即可得出结果． 【详解】 设圆的方程为， 则 ，，， ∴， 令，可得，  ，  ． 故选：D． 11．（25-26学年高二上·江苏常州金坛区·期中）设为实数，若直线：与圆相切，则点与圆的位置关系是（       ） A. 在圆外 B. 在圆上 C. 在圆内 D. 不能确定 【答案】B 【分析】 由直线与圆相切，可得，由此即可判断出答案. 【详解】 因为：与圆相切, 所以, 所以点在圆上. 故选：B. 12．（25-26学年高二上·江苏苏州常熟·期中）已知直线与圆相离，若关于对称的圆被轴截得的弦长为2，则实数的值是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据直线l与圆C相离，可得m的范围，根据点关于直线的对称点的求法，可求得圆心C的对称点的坐标，根据题意，结合弦长公式，计算求解，讨论分析，即可得答案. 【详解】 由题意，圆C的圆心为，半径， 因为直线l与圆C相离， 所以圆心C到直线l的距离，即， 解得或， 设圆心C关于直线l的对称点坐标为， 则 ，解得 ，即对称点坐标为， 因为关于对称的圆被轴截得的弦长为2， 且对称的圆心到x轴的距离为，对称圆的半径为， 所以，解得，则， 当时，解得，不符合题意； 当时，解得，符合题意. 所以实数的值是. 故选：C 13．（25-26学年高二上·江苏南通如皋·期中）若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据直线和半圆的位置关系进行求解即可. 【详解】 ， 问题方程有两个不相等的实根，可以转化为函数的图象与直线有两个不同的交点，如图所示： 半圆的圆心为，半径为， 点到直线的距离为，或舍去， 函数的图象与直线有两个不同的交点， 只需. 故选：D 14．（25-26学年高二上·江苏宿迁沭阳县·期中）已知，是圆上两点，且，若直线上存在点使得\vec {OM}+\vec {ON}=\vec {OP}，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先根据\vec {OM}+\vec {ON}=\vec {OP}，确定点轨迹，再由点轨迹与直线有公共点求参数的取值范围. 【详解】 由题意可知:圆的圆心为，半径， 设中点为，则\vec {OM}+\vec {ON}=2\vec {OQ}，且\vec {OM}+\vec {ON}=\vec {OP}，可得\vec {OP}=2\vec {OQ}， 又因为，可知为等腰直角三角形， 则，可得， 故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆， 因为直线上存在点使得\vec {OM}+\vec {ON}=\vec {OP}， 即直线与圆有交点， 即圆心到直线的距离，解得或.    故选：A 15．（25-26学年高二上·江苏宿迁沭阳县·期中）已知点在圆上，点，则满足\vec {AP}\cdot \vec {BP}=6的点的个数为（       ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【分析】 通过\vec {AP}\cdot \vec {BP}=6确定点轨迹，再由两圆位置关系即可求解. 【详解】 设点，则\vec {AP}=\left(x+1,y-2\right),\vec {BP}=\left(x+2,y-2\right)， 得\vec {AP}\cdot \vec {BP}=\left(x+1\right)\left(x+2\right)+(y-2)^{2}=x^{2}+y^{2}+3x-4y+6=6， 即， 故点的轨迹为一个圆心为､半径为的圆， 又点在圆上， 两圆的圆心距为，半径和为，半径差为， 有，所以两圆相交，满足这样的点有2个. 故选：B. 16．（25-26学年高二上·江苏连云港东海县·期中）直线被圆截得的弦长小于，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 将圆的方程化为标准方程得圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式结合弦长公式即可求解. 【详解】 由题意有：， 所以圆心为，半径为， 由圆心到直线的距离为， 设直线与圆相交与两点， 所以， 所以 ， 所以，即， 故选：B. 17．（25-26学年高二上·江苏连云港东海县·期中）圆：与圆：公切线的条数是（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 计算圆心距，利用圆心距与半径的关系，判断两圆的位置关系，进而求解. 【详解】 由圆：，所以圆心，半径， 又由圆：得，所以圆心，半径， 所以，， 所以， 所以圆与圆外切，所以圆与圆有3条公切线， 故选：C. 18．（25-26学年高二上·江苏连云港赣榆区·期中）在平面直角坐标系中，点，点到直线的距离为，且，则符合要求的点的个数为（       ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【分析】 根据可求得点的轨迹为圆，根据直线过圆心且点到直线距离小于半径可确定符合要求的点的个数. 【详解】 ，，且， ，整理可得：， 即点轨迹为以为圆心，半径的圆， 直线过圆心，且， 圆上到直线距离为的点有个. 故选：D. 19．（25-26学年高二上·江苏连云港赣榆区·期中）（多选）已知直线，圆，则下列说法中正确的是（       ） A. 圆的圆心为，半径为2 B. 若直线与圆有2个交点，则的取值范围为 C. 若直线与直线交于点，则点的轨迹与圆有1个公共点 D. 若圆上恰有一点到直线的距离为1，则的值为 【答案】ABD 【分析】 将圆的一般方程化为标准方程，可判断A的正误；根据直线与圆有2个交点，可得圆心到直线的距离，根据点到直线距离公式，化简计算，即可判断B的正误；根据直线恒过的定点及两直线的位置关系，可求出M的轨迹为圆，求出圆心距，即可判断C的正误；根据点到直线的距离公式，计算求解，可判断D的正误. 【详解】 选项A：圆，标准方程为， 所以圆心为，半径为2，故A正确； 选项B：若直线与圆有2个交点，则圆心到直线的距离， 解得，则的取值范围为，故B正确； 选项C：由题意，，恒过定点， 恒过定点， 因为，所以直线与直线垂直， 所以交点M轨迹是以和为直径端点的圆， 则圆心为，半径， 所以两圆圆心距为， 所以两圆相交，有2个公共点，故C错误； 选项D：因为圆上恰有一点到直线的距离为1， 所以圆心到直线的距离， 所以，解得，故D正确. 故选：ABD 20．（25-26学年高二上·江苏扬州邗江区·期中）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A. 外离 B. 外切 C. 内切 D. 相交 【答案】D 【分析】 先求出圆心及半径，再应用圆心间距离与半径和及半径差的关系判断圆与圆的位置关系. 【详解】 圆的面积被直线平分， 所以在直线上，所以， 所以圆心，半径， 圆，圆心，半径， ， 则圆与圆的位置关系是相交. 故选：D. 21．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）（多选）已知直线，圆（       ） A. 对任意实数，直线恒过定点 B. 对任意实数，直线与圆相交，且被圆截得弦的长度最小值是4 C. 存在实数，使得直线分圆所得弧长之比为 D. 存在实数，使得圆上有3个点到直线的距离为1 【答案】ACD 【分析】 将直线化为，即可求出直线恒过的定点，判断A；判断直线过的定点在圆内，结合额圆的结合性质以及弦长公式可判断B；由题意可确定劣弧所对圆心角为，求出此时弦长，结合B的分析可判断C；由题意可得圆心到直线距离为，结合圆心到直线的距离，比较大小，即可判断D. 【详解】 直线即， 令 ，解得 ， 所以直线过定点，故A正确； ，故定点在圆内，直线与圆相交， 设，由圆的几何性质，当直线与垂直时，弦长最小， ，则最小弦长为，故B错误 对于C，若直线分圆所得弧长之比为1:3，则劣弧所对圆心角为， 此时弦长为，而，故这样的直线是存在的， 存在实数满足条件，故C正确 对于D，圆半径为，若圆上有3个点到直线的距离为1， 则圆心到直线距离为，圆心到直线的距离， 而，存在实数满足条件，故D正确 故选：ACD. 22．（25-26学年高二上·江苏连云港海州区·期中）已知圆，，是圆上的两个动点，且，则的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 设线段的中点为，根据垂径定理得出点的轨迹方程，再利用点到直线的距离公式将目标转化为求点到直线的距离的倍，进而求圆上的动点到定直线的距离的最值问题即可. 【详解】 如图， 圆，圆心为点，半径为， 设线段的中点为，得， 因，则， 所以点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，其方程为， 因、可分别看作点到直线的距离， 则可分别看作点到直线的距离的倍， 又点到直线的距离为， 则点到直线的距离的最大值为， 则的最大值为， 则的最大值为 故选：D 23．（25-26学年高二上·江苏连云港海州区·期中）若直线与曲线只有一个公共点，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由题意作图，结合图象求得边界线得方程，可得答案. 【详解】 由曲线，整理可得， 则曲线为圆心、半径的圆的上半部分，如下图： 由图可得直线与圆相切，则，解得， 由图可得直线的方程为；； 由图可得直线过，可得方程； 由图可得直线过，可得方程. 由图可得. 故选：A. 24．（25-26学年高二上·江苏南京·期中）若圆上存在点，其关于轴的对称点在圆上，则的取值范围为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 求出圆关于轴的对称圆的方程，与圆的圆心距为，即，即可得到答案. 【详解】 圆关于轴的对称圆为圆，其方程为， 根据题意，圆与圆有交点，又圆与圆的圆心距为， 要满足题意，只需，解得      故选：A. 25．（25-26学年高二上·江苏南通·期中）（多选）已知圆与圆，则（       ） A. 圆心距 B. 两圆的公共弦所在直线的方程为 C. 两圆的公共弦长为 D. 直线是两圆的一条公切线 【答案】ABD 【分析】 根据圆的方程确定圆心坐标后计算圆心距，可得A;两圆方程相减得出公共弦所在直线方程，再在其中一个圆中计算公共弦弦长可判断B,C;计算两个圆到给定直线的距离是否分别等于各自半径，可判断D. 【详解】 根据两圆方程，可知圆的圆心坐标,半径,圆的圆心坐标,半径. 对于A：,故A正确； 对于B：由A可知，,因此两圆相交.两圆的公共弦所在直线方程可由两圆方程相减得到，即将减去, 得到,整理化简得,故B正确； 对于C：两圆相交，存在公共弦，在其中一个圆中计算该弦长即可.圆心到公共弦的距离,故弦长,故C错误； 对于D：圆心到直线的距离,圆心到直线的距离,故直线是两圆的一条公切线，故D正确. 故选：ABD. 26．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）已知直线与相交于点P，点Q在圆上，则（       ）． A. 有最大值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最小值 【答案】A 【分析】 先求出两直线所过的定点，进而确定交点的位置，再结合圆的性质求出的最值. 【详解】 对于直线，可变形为. 令 ，解得 ，所以直线恒过定点. 对于直线，可变形为. 令 ，解得 ，所以直线恒过定点. 因为，所以，已知，，则中点坐标为. ，所以半径. 则点的轨迹是以AB为直径的圆的一部分，故点P的轨迹为， 已知圆的圆心，半径，则圆心与点轨迹圆的圆心的距离为. 的最大值为圆心加上两圆半径，即. 由于轨迹不包含点，故不存在最小值. 故选：A． 27．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）（多选）已知圆：，直线：，则（       ） A. 直线与圆的轨迹一定相交 B. 直线与圆交于两点，则的最大值为 C. 圆上点到直线距离的最大值为 D. 当时，则圆上存在四个点到直线的距离为1. 【答案】AD 【分析】 确定直线过定点，点在圆内，A正确，当时，最大，计算得到B错误，最大值为，C错误，确定直线过圆心，，D正确，得到答案. 【详解】 圆：，圆心，半径， 直线过定点，， 对选项A：，点在圆内，故直线与圆一定相交，正确； 对选项B：当过圆心时，最大为，错误； 对选项C：圆上点到直线距离的最大值为，错误； 对选项D：直线：，圆心在直线上，， 故圆上存在四个点到直线的距离为1，正确； 故选：AD 28．（25-26学年高二上·江苏期中学·期中）已知圆：的切线与圆：交于，两点，则面积的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 面积的大小与线段的长度有关，要求面积的取值范围，只需求出的范围，即可求解． 【详解】 圆的切线交圆于，两点，则面积为（为圆的半径）， 圆：的半径为，是圆：的一条弦， 圆：的圆心为，半径为， 圆心到的距离最小时，最大，圆心到的距离最大时，最小，如图： 的最小值为，的最大值为， 面积的最小值为，面积的最大值为. 因此，面积的取值范围是. 故选：A. 29．（25-26学年高二上·江苏期中学·期中）已知圆：与圆：相交于，两点，则弦的长度为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先求出圆圆心坐标、半径，再求出直线的方程，再结合弦长公式即可求解. 【详解】 圆：即圆：，圆心坐标、半径依次为， 圆：与圆：方程相减得，，即， 圆心到直线的距离为， 所以. 故选：B. 30．（25-26学年高二上·江苏连云港灌云县·期中）（多选）已知点P在圆上，点，，，则（       ） A.  B. 当面积最大时， C. 当最小时， D. 当最大时， 【答案】ACD 【分析】 根据两点间的距离、三角形的面积、角的大小等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】 设，则， ， ， 所以，A选项正确. ， 当，时，面积最大， 对应，所以B选项错误. 对于CD选项，只需过点的直线与圆相切即可， 而，则当与圆相切时，， 所以CD选项正确. 故选：ACD 31．（25-26学年高二上·江苏苏州常熟·期中）（多选）已知直线与圆，则下列说法正确的是（       ） A. 直线与圆始终相交 B. 若直线与圆相交于，两点，则最小时， C. 圆上一点到直线的最大距离为 D. 若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则 【答案】ACD 【分析】 对A，求出直线过定点，判断出定点在圆内，A正确；对B，当定点与圆心连线与直线垂直时最小，由垂直关系求斜率，进而得到；对C，先得到，进而求出最大值为；对D，先得到，从而得到不等式，求出答案. 【详解】 由直线可知该直线过定点， 圆可化为， 圆心，半径. 对于A：因为，所以定点在圆内， 所以直线与圆始终相交，A正确； 对于B：由弦长公式，其中为圆心到直线的距离， 因为，所以当时，最大，最小， 因为，所以此时直线的斜率为，所以，B错误； 对于C：圆上一点到直线的最大距离为圆心到直线的距离与圆半径的和， 由前面分析知，所以最大距离为，C正确； 对于D：若圆上到直线的距离为的点有且仅有个， 由A知，直线与圆始终相交，所以， 即，整理得，解得，D正确； 故选：ACD. 32．（25-26学年高二上·江苏南通如皋·期中）（多选）已知点，，动点满足，在圆上，则下列结论正确的是（       ） A. 点的轨迹方程为 B. 的最大值为6 C. 的取值范围是 D. 过点作圆的两条切线，切点分别为，，则存在点，使得 【答案】ACD 【分析】 先由点到点的距离将其表示为关于的方程，再化简便可得到点的轨迹方程判断A；转化为动点到定点距离的平方加1，当到圆上的距离最大时有最大值判B； 为两个定圆上两点间的距离，最大值为圆心距加两个圆的半径，最小值为圆心距减去两个圆的半径；当时，四边形为正方形，判断存在点. 【详解】 因为，所以 化简得到，点的轨迹方程为，选项A正确； ，几何意义为点到定点距离的平方加1， 因为点在圆上，圆心为 ，半径 ， 到圆心距离为 ，则到圆上的最大距离为 所以最大值为，选项B错误； 圆，圆心为 ,半径 ； 两圆心距为 ; 则的最小距离为； 的最大距离为； 所以范围是，选项C正确； 当时，四边形为正方形，故时，因为点到的最小距离为，则存在点，，选项D正确. 故选：ACD 33．（25-26学年高二上·江苏宿迁沭阳县·期中）（多选）已知为坐标原点，过点的直线与圆交于，不同的两点，分别作圆在点，处的切线，两条切线相交于点，则下列选项正确的有（       ） A. 当时， B. 当直线的斜率为时，的面积为 C. 当时，的外接圆半径为 D. 当时， 【答案】AB 【分析】 依题意可设直线的方程为，当时，得到，从而根据勾股定理求出，再根据等面积法即可求出的值，进而根据斜率与倾斜角的关系即可求出来判断A；当直线的斜率为时，先求出圆心到直线的距离，再根据勾股定理求出，进而即可求出来判断B；当时，设，依题意可得，，，四点共圆，且以为直径，再根据圆与圆的关系即可得到直线的方程，从而即可得到点的轨迹方程，再根据即可求出点的坐标，进而即可求出的外接圆半径来判断C；当时，结合选项C有，根据正切函数的定义即可求出，从而求出，，进而根据等面积法即可求出来判断D． 【详解】 依题意可得直线的斜率存在，设直线的方程为，圆心到直线的距离为，则， 对于选项A，由，， 则当时，，所以， 所以，即，解得， 则，所以，故A正确； 对于选项B，当直线的斜率为时，即直线的方程为， 则 ，则，所以，故B正确； 对于选项C，设，由，，所以，，，四点共圆，且以为直径， 则该圆的方程为，即， 联立 ，整理得直线的方程为， 又点在直线上，则，解得，即点的轨迹方程为， 又当时，即，解得， 所以，即的外接圆半径为，故C错误；    对于选项D，结合选项C有，则当时，有， 又，则， 所以，所以， 又，即， 得，故D错误．    故选：AB． 34．（25-26学年高二上·江苏连云港灌南县·期中）（多选）已知圆，直线，则下列结论正确的是（       ） A. 直线恒过定点 B. 当时，圆上有四个点到直线的距离都等于1 C. 圆与曲线恰有三条公切线，则 D. 当时，直线上动点向圆引两条切线，其中为切点，为线段AB的中点，则存在定点，使得恒为. 【答案】BCD 【分析】 求出直线恒过的定点判断A；求出圆心到距离判断B；利用两圆位置关系求出参数判断C；求出弦所过定点，结合圆的性质求解判断D. 【详解】 对于A，直线，由 ，得直线过定点，A错误； 对于B，当时，直线，则圆心到直线的距离为， 而圆的半径为2，因此圆上有4个点到直线的距离都等于1，B正确； 对于C，曲线，当时，该曲线是以点为圆心， 半径为的圆，由圆与该圆有3条公切线，得两圆外切， 则，解得，C正确； 对于D，当时，直线的方程为，设，显然点共圆， 该圆的直径为线段，方程为， 整理得，与圆的方程相减得直线方程， 即，由 ，得直线过定点， 由为线段AB的中点，得，取中点，则， 因此存在定点，使得恒为，D正确. 故选：BCD 35．（25-26学年高二上·江苏连云港东海县·期中）（多选）已知圆：，直线：（），则下列结论正确的是（     ） A. 直线恒过定点 B. 点为圆上一动点，则到直线距离的最大值为5 C. 当时，圆上恰有两个点到直线的距离都等于 D. 直线上存在点，使过点所作的圆的两条切线相互垂直，则 【答案】AD 【分析】 将直线方程变形求解定点判断A；先求出圆心到直线的距离，然后求解范围，利用直线与圆的位置关系求解距离范围判断B；利用圆心到直线的距离判断C；设，由圆的性质得，即，根据判别式法求得参数范围即可判断D. 【详解】 对于A，直线，即， 由 解得，所以直线恒过定点，A正确； 对于B，圆的圆心为，半径为2， 圆心到直线的距离为， 当时，，当时，，所以， 则圆上一动点到直线距离的最大值，故B错误； 对于C，当时，， 圆心到直线的距离为， 因为，所以圆上恰有4个点到直线的距离都等于，所以C错误； 对于D，设，因为过点所作的圆的两条切线相互垂直， 所以由圆的性质可知两切点与两点形成正方形，且边长为2， 则，平方化简得， 根据点P的存在性可知方程有解， 所以，整理得，解得， 即，所以D正确. 故选：AD 36．（25-26学年高二上·江苏扬州邗江区·期中）（多选）已知圆，下列说法正确的是（       ） A. 若过点的直线与圆交于，两点，则的取值范围为 B. 圆上有4个点到直线的距离为 C. 若圆与圆没有公切线，则的取值范围为 D. 过直线上任意一点作圆的切线，切点为，，则直线必过定点 【答案】AB 【分析】 根据点与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系，从而确定弦长的取值范围，判断选项A；先计算圆心到直线的距离，再结合圆的半径判断圆上到直线距离为特定值的点的个数；根据没有公切线的条件，结合两圆的半径和圆心距的关系确定的取值范围，判断选项C；利用圆的切点弦方程，结合直线方程求出直线所过定点，判断选项D． 【详解】 圆的方程为，该圆的圆心为，半径． 选项A：， 点在圆内，则圆心到过点的直线的距离， ，故A正确；    选项B：圆心到直线的距离， 又圆的半径为3， 圆上有4个点到直线的距离为，故B正确； 选项C：圆的圆心为，半径为， ，圆与圆没有公切线，两圆内含， ，即 ，解得16， 的取值范围为，故C错误； 选项D：设，则以为直径的圆为， 整理得， 直线为圆与圆的公共弦所在的直线，联立两圆方程 ，得， 整理得， 令 ，解得 ， 直线必过定点，故D错误．    故选：． 37．（25-26学年高二上·江苏连云港东海县·期中）过点与圆相切的直线方程为　　　　　　　　　　　　　　 【答案】 【详解】点满足圆的方程，所以点为切点， 圆的圆心为(0,0)，切点和圆心连线的斜率为：， 所以切线斜率为-1. 方程为：. 故答案为. 38．（25-26学年高二上·江苏淮安·期中）经过点作圆的切线，则切线的方程为　　　　　　　　　　. 【答案】或 【分析】 结合切线性质，分切线斜率不存在与切线斜率存在进行讨论即可得. 【详解】 当切线斜率不存在时，，此时点到直线的距离为， 故是圆的切线，符合； 当切线斜率存在时，设，即， 则有，化简得，即， 故，即； 综上所述：切线的方程为或. 故答案为：或. 39．（25-26学年高二上·江苏南通·期中）过点作圆的切线，则切线长为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 把圆的一般方程变形为圆的标准方程得出圆心坐标和半径，再根据勾股定理求解即可. 【详解】 方程可化为，圆心，半径， 所以切线长为. 故答案为： 40．（25-26学年高二上·江苏苏州常熟·期中）已知点和圆. （1）求过点的圆的切线方程； （2）已知圆经过点和点，且在直线上，求圆的方程. 【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）根据题意，分切线的斜率存在与不存在两种情况进行讨论，利用点到直线的距离等于半径可求出切线的斜率，进而求出切线的方程. （2）根据圆心在直线上，并且圆心到的距离相等联立方程，从而求得圆心和半径即可. (1) 小问详解： 当不存在时，即，此时圆心到直线的距离等于半径，符合题意； 当存在时，设过点的切线方程为，即， 圆心到直线的距离为，解得， 切线方程为 综上所述：切线方程为或 (2) 小问详解： 圆心在直线上，且圆心到,距离都为半径 ，解得 圆心到的距离为 圆的方程为. 41．（25-26学年高二上·江苏南通如东县·期中）已知过点的直线与圆交于，两点，且，则的面积是　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 设的中点为，，弦心距为，由和根据勾股定理列式求解，再根据三角形的面积公式求解即可. 【详解】 ，所以在圆内， 设的中点为， 设，因为， 所以， 设圆心到直线的距离为，所以， 又， 解得，则，， 所以的面积是. 故答案为：4. 42．（25-26学年高二上·江苏南通如东县·期中）若圆过两点，，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆的交于，两点，且，求直线的方程． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）设，利用求得点的坐标，进而求得圆的半径，得解； （2）由题意根据弦长公式求得弦心距，分直线的斜率不存在、存在两种情况讨论，求得直线的方程． (1) 小问详解： 因为圆心在直线上，所以设. 因为圆过两点，，所以， 所以，所以. 因为，所以圆的半径为5， 所以圆的标准方程为. (2) 小问详解： 设圆心到直线的距离为，则，所以. 当直线的斜率不存在时，直线的方程，此时，符合题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程， 所以，所以， 所以，直线的方程. 综上可得：直线的方程或. 43．（25-26学年高二上·江苏宿迁泗阳县·期中）已知直线，圆，圆与圆相外切，且与直线相切于点. （1）求实数的值； （2）求过点且被圆所截的弦长最长的直线方程； （3）求圆的标准方程. 【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 （1）将点代入直线方程可直接求得结果； （2）根据最长弦为圆的直径可知所求直线过圆心，进而得到直线斜率，结合直线点斜式可求得直线方程； （3）设圆心，根据直线与直线垂直可求得关系，根据两圆外切和可构造方程求得圆心坐标和半径，由此可得圆的方程. (1) 小问详解： 圆与直线相切于点，则点在直线上， ，解得：. (2) 小问详解： 圆的圆心为， 过点且被圆所截的弦长最长的直线过圆心， ，所求直线方程为：，即. (3) 小问详解： 设圆的圆心，半径为， 直线与圆相切，，即， ， 圆与圆外切，且点在圆上， ， 当时，，， 解得：，，，圆的标准方程为：； 当时，，， 解得：，，，圆的标准方程为：； 综上所述：圆的标准方程为或. 44．（25-26学年高二上·江苏连云港灌南县·期中）已知圆． （1）若直线经过点,且与圆相切,求直线的方程； （2）设点,点在圆上,为线段的中点,求的轨迹的长度． 【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）易判断点A在圆,因此切线方程有两条,分直线的斜率不存在和直线斜率存在讨论即可； （2）利用相关点法求出的轨迹方程，进而可求的轨迹的长度. (1) 小问详解： 圆C的标准方程为: , 点在圆外, 故过点A且与圆C相切的直线有2条， ①当直线的斜率不存在时, 圆心到直线的距离 直线与圆C相切. (2)当直线的斜率存在时,可设直线,即 圆心C到直线的距离, 由题意,解得, 此时,即, 终上所述,直线的方程为或. (2) 小问详解： 设因为为的中点, 所以 , 点E在圆C上 , 即， 即， 所以点的轨迹是以为圆心,为半径的圆, 的轨迹的长度为. 45．（25-26学年高二上·江苏连云港东海县·期中）已知圆：（为实数）． （1）若直线被圆截得的弦长为，求的值； （2）若过点的圆与圆相切于点，求圆的标准方程． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据圆的方程得到圆心坐标，然后利用距离公式得到圆心到直线的距离，再利用勾股定理得到半径，最后列方程求即可； （2）根据相切得到圆心在直线上，在的中垂线上，然后联立方程得到圆心坐标，再计算半径，写标准方程即可. (1) 小问详解： 由题意得圆：（为实数）． 圆的圆心，则到直线的距离， 所以圆的半径，则，解得. (2) 小问详解： 因为圆与圆相切， 所以圆的圆心在直线上，直线的方程为①， 因为圆与圆相切于点，所以为圆上的点，圆圆心在的中垂线上， ，中点坐标为，所以的中垂线方程为②， 联立① ②得 ，所以圆圆心为，半径， 所以圆得标准方程为. 46．（25-26学年高二上·江苏连云港赣榆区·期中）已知圆过两点，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）求出的中垂线方程，求出圆心方程和半径，求出标准方程； （2）根据斜率不存在和存在进行求解方程. (1) 小问详解： 根据题意得,的中点坐标， 则的中垂线方程，即， 由圆心在直线， 故 ，解得 ，半径， 故圆的标准方程 (2) 小问详解： 依题意，圆心到直线的距离为， 若直线的斜率不存在，圆心到直线 当斜率存在时，设，故，则， 直线方程为. 故直线方程为或. 47．（25-26学年高二上·江苏淮安·期中）已知圆C的圆心在直线上，且圆C与直线l：相切于点. （Ⅰ）求圆C的标准方程； （Ⅱ）若直线过点且被圆C所截得弦长为2，求直线的方程. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或 【详解】（Ⅰ）由题可设圆心,利用圆心到直线距离等半径即可求解（Ⅱ）由平面几何性质可得圆心到直线距离，分斜率存在不存在两种情况，设直线方程利用点到直线距离求解即可. 【详解】（Ⅰ）由题可设圆心，显然则，解得：， 所以圆心的坐标 ， ； 所以圆的标准方程为： . （Ⅱ）当直线的斜率存在时，可设直线的方程：，即：. 由题得： ，解得： ， 所求直线的方程为： . 当直线的斜率不存在时，直线，满足题意； 故所求直线的方程为：或. 【点睛】本题主要考查了圆的标准方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离，分类讨论，属于中档题. 48．（25-26学年高二上·江苏扬州邗江区·期中）已知圆. （1）直线过点，且与圆相切，求直线的方程； （2）设直线与圆相交于，两点，点为圆上的一动点，求的面积S的最大值. 【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）分类讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式运算求解； （2）根据垂径定理求弦长，结合圆的性质求面积最大值. (1) 小问详解： 由题意得，圆的半径， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由直线与圆相切，得，解得， 所以直线的方程为； 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，显然与圆相切； 综上，直线的方程为或. (2) 小问详解： 由题意得圆心到直线的距离， 所以， 点到直线的距离的最大值为， 则的面积的最大值. 49．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）已知圆，圆. （1）判断并证明圆，圆的位置关系； （2）若两圆与相交于，两点，满足，则称圆与圆正交.现有动圆与圆，圆均正交，自引动圆的切线.求证：切线长是定值. 【答案】（1） 两圆内含. 证明：因为圆圆心，半径，圆圆心，半径， 圆心距，所以两圆内含.     （2） 证明：设动圆圆心，半径为，动圆与圆交于，两点，由题意有， 所以，即， 动圆与圆交于，两点， 同理可得，即，故， 则有整理得，即圆心， 所以半径， 自引动圆的切线，切线长， 所以切线长是定值. 【分析】 （1）求出圆心距即可判断两圆的位置关系. （2）设出动圆的圆心和半径，根据 “两圆正交” 的定义，分别列出动圆与圆，圆正交的方程； 联立方程，消去半径，推导出圆心的轨迹方程；利用切线长公式，结合圆心轨迹方程，计算从引动圆的切线，即可证明其为定值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 50．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）过点的直线与圆相交于，两点，且.请写出满足要求的一条直线的方程：　　　　　　　　　　　. 【答案】或.（写出其中一个即可） 【分析】 讨论直线的斜率是否存在，斜率存在时，设出直线方程，结合弦长公式即可求出直线斜率，即可得答案. 【详解】 由题意知过点的直线与圆相交于，两点， 当直线的斜率不存在时，直线方程为，代入中， 可得，即坐标为，此时，符合题意； 当直线的斜率存在时，设方程为，即， 设圆心O到直线l的距离为d，则， 由，圆的半径可得，即，解得， 故，解得， 故直线l的方程为，即， 故答案为：或.（写出其中一个即可） 51．（25-26学年高二上·江苏连云港海州区·期中）已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切. （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆相交于两个不同的点，且满足\vec {CM}\cdot \vec {CN}\leq 2，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）假设圆心坐标和半径，可得圆方程为，结合圆上的点，直线与圆相切可构造方程组求得的值，进而得到圆标准方程； （2）将直线方程与圆的方程联立，由可得的一个范围及韦达定理的结论，根据向量数量积的坐标运算，结合韦达定理可构造不等式求得的范围，进而确定最终结果. (1) 小问详解： 解：由题意可设圆的圆心，半径为， 则圆的方程为：， 圆过点，， 又圆与直线相切，， 由 得： ， 圆的标准方程为：. (2) 小问详解： 解：设，. 由 得：， ，解得：； ，， \because \vec {CM}=\left(x_{1},y_{1}\right)，\vec {CN}=\left(x_{2},y_{2}\right)， \therefore \vec {CM}\cdot \vec {CN}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=x_{1}x_{2}+k^{2}\left(x_{1}+3\right)\left(x_{2}+3\right)， ，解得：； 综上所述：实数的取值范围为. 52．（25-26学年高二上·江苏南京·期中）已知圆的圆心在直线上，且圆与轴的交点分别为． （1）求圆的方程； （2）过点的直线交圆于另一点，连接．若，求直线的方程． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）首先求出的中垂线方程为，联立 ，再求半径即可得到答案. （2）首先根据，得到在线段的中垂线上，从而得到，即可得到答案. (1) 小问详解： ，则的中垂线方程为， ，. 则圆 (2) 小问详解： 如图所示： 因为，所以在线段的中垂线上， 又因为线段的中垂线过，， 则，，整理得： 53．（25-26学年高二上·江苏期中学·期中）在人工智能实验室中，一个追踪机器人从点出发，发现一个目标机器人在点处正欲逃跑.追踪机器人最大速度是目标机器人最大速度的2倍.假设两个机器人均按直线方向以最大速度移动.    （1）若追踪机器人在点处成功拦截目标机器人，求点的轨迹方程； （2）问：无论目标机器人沿何方向逃跑，追踪机器人是否总能在安全区（的区域）内成功拦截?并说明理由. 【答案】（1）     （2） 点的轨迹圆的圆心为，半径， 因为圆心到的距离， 所以点的轨迹圆与相交， 则相遇点会出现在安全区外， 故追踪机器人不会总能在安全区内成功拦截.      【分析】 （1）设追踪机器人在点处拦截目标机器人，根据追踪机器人与目标机器人速度之比为列出方程即可得解； （2）判断点的轨迹圆与直线的位置关系即可得出结论. (1) 小问详解： 设追踪机器人在点处拦截目标机器人， 因为追踪机器人与目标机器人速度之比为， 所以相遇时， 所以， 即两机器人相遇点的轨迹方程为； (2) 小问详解： 略 54．（25-26学年高二上·江苏连云港灌云县·期中）过点作圆的两条切线，切点分别为M，N，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据题意作出图像，利用两点距离公式求得，再在与中利用正弦函数的定义求得，进而求得. 【详解】 依题意，连结，记为的交点， 因为与圆相切，所以，，，是的中点， 因为，，所以， 又，所以在中，，， 故在中，， 所以. 故答案为：. 55．（25-26学年高二上·江苏连云港灌云县·期中）已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点. （1）求圆的方程； （2）若圆与直线交于两点，_____________，求的值. 从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：；条件②：；条件③：\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=-\frac{1}{2}. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设圆心坐标为，半径为，由，，求出圆心坐标和半径得圆方程； （2）选① ，由等腰三角形求得圆心到直线的距离，再由点到直线距离公式得参数值； 选② ，由等腰三角形求得圆心到直线的距离，再由点到直线距离公式得参数值； 选③ ，由数量积的定义求得，然后同选① 求解． (1) 小问详解： 设圆心坐标为，半径为， 因为圆心在直线 上，所以. 又圆与轴相切于点，所以， 所以圆的圆心坐标为，则圆的方程为； (2) 小问详解： 如果选择条件① ，因为，， 所以圆心到直线的距离， 则，解得， 如果选择条件② ，因为，， 由垂径定理可知圆心到直线的距离． 则，解得， 如果选择条件③ ，因为\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=-\frac{1}{2}，所以\left| \overrightarrow{CA} \right|\cdot \left| \overrightarrow{CB} \right|\cdot \cos \angle ACB=-\frac{1}{2}， 得，又， 所以圆心到直线的距离 ， 则，解得． 56．（25-26学年高二上·江苏苏州常熟·期中）已知圆和圆，点. （1）若圆与圆内切，求的值； （2）若圆上存在点，使，求的取值范围； （3）过点作两条斜率之积为的直线，分别交圆于点，和，，设线段，的中点分别为，，求证：直线恒过一个定点. 【答案】（1）     （2）      （3） 设，则， 联立 得：， 设，， ，， 以替换可得：，， ， 直线的方程为，即：， 当时，， 直线过定点.      【分析】 （1）根据两圆内切的条件列出方程求解； （2）由条件化简可得的轨迹方程，然后根据两圆有公共点，利用圆心距与半径之间的关系列出不等式求解即可； （3）设，联立圆的方程，由根与系数的关系可得弦中点的坐标，同理得出点坐标，求出直线的方程，即可得证. (1) 小问详解： 因为圆与圆内切， 所以，即， 解得. (2) 小问详解： 设， 由，可得， 化简可得， 即点的轨迹是圆心为，半径为的圆， 由题意，圆与圆有公共点， 则，即， 解得. (3) 小问详解： 略 57．（25-26学年高二上·江苏苏州常熟·期中）在平面直角坐标系中，圆，若曲线上有且仅有两个点，过点作圆的两条切线，，为切点，满足，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由所给条件可转化为曲线与圆有且仅有两个交点即可，利用圆心到射线的距离及数形结合即可求解. 【详解】 连接，    因为，所以， 所以， 即的轨迹方程为， 又曲线恒过点， 当时，曲线为上图所示折线， 由题意，此时折线与圆有且仅有两个交点即可， 所以圆心到射线的距离， 且圆心到射线的距离， 化简可得且， 解不等式可得且，所以； 同理，当时，折线开口向下，与圆无交点，不符合题意； 当时，曲线为，与圆无交点，不符合题意. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 58．（25-26学年高二上·江苏宿迁泗阳县·期中）已知，两点，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围为　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 首先求出点的轨迹，问题转化为直线与圆有交点，利用直线与圆的位置关系列式即可求解. 【详解】 设点，则由可得， 整理得，圆心为，半径， 由题意可知直线与圆有交点， 则圆心到直线的距离，解得或， 所以的取值范围为. 故答案为： 59．（25-26学年高二上·江苏宿迁沭阳县·期中）设圆满足：①截轴所得弦长为2；②被轴分成两段圆弧，其弧长的比为，假设圆心为，其坐标． （1）请求出之间满足的等量关系； （2）在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线的距离最小的圆的方程． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）设圆的半径为，利用坐标轴截圆的弦长计算即可； （2）利用点到直线的距离公式结合第一问，根据基本不等式计算即可. (1) 小问详解： 设圆的圆心为，半径为，则点到轴，轴的距离分别为，． 圆截轴所得劣弧对的圆心角为90°，即圆截轴所得的弦长为， 故， 又圆截轴所得的弦长为2， 所以有． 从而得． (2) 小问详解： 点到直线的距离为， 所以， 当且仅当时上式等号成立，此时，从而取得最小值． 由此有 ， 解得 或 由于知． 所求圆的方程是或． 60．（25-26学年高二上·江苏南通·期中）已知曲线. （1）求曲线围成的平面图形的面积； （2）若是曲线上的两个动点，求的最大值； （3）是否存在直线与曲线至少有三个不同的公共点？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）     （2）     （3）不存在，理由如下： 当时，研究直线与曲线在第一象限的公共点. 联立 ，得（*）. 因为， 所以方程（*）只有一个正根，则直线与曲线在第一象限只有一个公共点. 同理，直线与曲线在第三象限也只有一个公共点. 因此，当时，直线与曲线只有两个公共点. 当时， 一方面，直线与曲线在第二象限的部分至多两个公共点. 另一方面，由 ，得（*）. 因为， 所以方程（*）无正根，即直线与曲线在第一象限无公共点. 同理，直线与曲线在第三象限无公共点. 所以当时，直线与曲线至多两个公共点. 所以时，直线与曲线至多两个公共点. 由对称性可知，时，直线与曲线也至多两个公共点. 综上，不存在直线与曲线至少有三个不同的公共点.      【分析】 （1）根据对称性，由三角形面积及扇形面积公式计算即可求解； （2）分都在第一象限（或坐标轴正半轴），不妨在第一象限（或坐标轴正半轴），在第二象限（或轴负半轴）时，不妨在第一象限（或坐标轴正半轴），在第三象限（或坐标轴负半轴）时，三种情况求解即可； （3）根据对称性，分，两种情况，讨论求解即可. (1) 小问详解： 曲线既关于两坐标轴成轴对称，又关于原点成中心对称. 当时，曲线方程为. 记圆心为，与轴分别交于两点， 则，过点作， 则， 所以， 所以. 所以， 所以，同理. 由对称性可知，曲线围成的平面图形的面积 . (2) 小问详解： 记曲线在第一象限的圆心为，第二象限的圆心为， 第三象限的圆心为､第四象限的圆心为. 情况1：不妨都在第一象限（或坐标轴正半轴），. 情况2：不妨在第一象限（或坐标轴正半轴），在第二象限（或轴负半轴）时， （当且仅当四点共线时等号成立），此时最大值为6. 情况不妨在第一象限（或坐标轴正半轴），在第三象限（或坐标轴负半轴）时， （当且仅当四点共线时 等号成立），此时最大值为. 综上，根据对称性可知最大值为. (3) 小问详解： 略 61．（25-26学年高二上·江苏常州金坛区·期中）直线与圆交于两点，若，则实数的值为　　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 先把圆化为标准形式求出圆心和半径，再根据直线与圆的位置关系结合点到直线距离公式构造方程求出实数． 【详解】 圆的标准方程为， 圆心，半径， 直线，化成一般式方程为：， 设点为中点，则，直线与圆的位置关系如下图所示： 所以，，， 圆心到直线的距离， 化简得， 解得或． 故答案为：或 62．（25-26学年高二上·江苏常州金坛区·期中）已知圆和圆. （1）若圆与圆相交，求的取值范围； （2）若直线与圆交于，两点，且\vec {OP}\cdot \vec {OQ}=4，求实数的值； （3）若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标. 【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 （1）由圆的一般方程得到圆的标准方程进而得到圆心和半径，根据两圆相交得到，进而得到的取值范围； （2）设，，联立圆与直线的方程，由有两个交点得到的取值范围，由韦达定理得到和，代入\vec {OP}\cdot \vec {OQ}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=4，解出的值； （3）设，由分别写出与的方程，根据弦长和半径相等得到圆心到直线的距离相等，再根据有无数多条直线，得到关于的方程有无数多组解，从而解出，即得到的坐标. (1) 小问详解： 圆的标准方程为，则圆心，， 圆的标准方程为，则圆心， ， 圆与圆相交，，即，解得， 的取值范围. (2) 小问详解： 已知直线与圆交于，两点，设，， 联立 ，得， 所以 ，得 \because \vec {OP}\cdot \vec {OQ}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=\left(1+k^{2}\right)x_{1}\cdot x_{2}+k\left(x_{1}+x_{2}\right)+1=\frac{-6k}{1+k^{2}}+6=4， 解得，因为，所以. (3) 小问详解： 设点坐标为，直线、的方程分别为：，， 即：，， 因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等且两圆半径相等， 由垂径定理得，圆心到直线与直线的距离相等． 故有：， 化简得：或， 因为存在过点的无穷多对互相垂直的直线和， 所以关于的方程有无穷多解，从而有 或 ， 解得 或 ， 所以点P坐标为或． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆与方程 考点01 圆的方程 考点02 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 圆的方程 1．A 2．D 3．B 4．C 5．C 6．C 7．B 8．A 9．D 10．D 11．ABD 12．B 13．【答案】1 【分析】 将圆的方程配方后，结合题意列出方程，求解即得. 【详解】 由经配方，可得：， 因圆的半径为2，故，解得. 故答案为：1. 14．【答案】 【分析】 利用待定系数法进行求解即可. 【详解】 设圆的方程为，圆心坐标为， 因为圆的圆心在直线上， 所以， 因为圆与轴的交点分别为，， 所以 ， 所以有， 所以圆的方程为. 故答案为： 15．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求出边的中点坐标，再根据直线两点间的斜率公式得到中线斜率，使用点斜式写出直线方程；（2）设圆的一般方程，代入顶点坐标即可求出外接圆的方程. 【详解】 （1）线段中点为，则边中线的斜率为， 所以边上的中线所在直线方程为化简得， （2）设外接圆一般方程为，代入三点坐标得， 解得 ， 即的外接圆方程为， 即. 16．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用中点坐标公式得到中点坐标，再利用两点间距离公式求解长度即可. （2）设出外接圆的方程，代入点的坐标，进而求解参数得到方程即可. (1) 小问详解： 由中点坐标公式得的中点， 由两点间距离公式得. (2) 小问详解： 设三角形外接圆方程为， 因为点在所求的圆上，可得 ，解得 ， 则外接圆的方程为. 17．【答案】 【分析】 设复数，确定复数z对应的点在圆上，结合的几何意义以及圆的性质，即可求得答案. 【详解】 设复数，则， 即复数z对应的点在圆上， 而表示的是z对应的点和复数对应的点之间的距离， 则的最大值即为圆上的点和点之间的距离的最大值， 由于，即在圆外， 则圆上的点和点之间的距离的最大值为， 即的最大值为， 故答案为： 18．【答案】（1）     （2）存在，     （3）2      【分析】 （1）设，再根据，得到代入圆即可求轨迹方程； （2）设，，则，再代入得到的轨迹方程即可证明； （3）设，，则，进而得到的轨迹方程且，再根据进行放缩求和即可． (1) 小问详解： ，设，则 代入圆得：，即 即动点的轨迹方程为：； (2) 小问详解： ，设，，则 ，分别在圆和圆上，则 整理可得的轨迹方程为. 显然恒过定点，故； (3) 小问详解： 时，，设，，则 代入圆得： 即的轨迹方程为：，则 ，则，故 时，，故 所以，因此最小正整数的值为2． 考点02 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．C 2．B 3．D 4．C 5．C 6．D 7．C 8．D 9．A 10．D 11．B 12．C 13．D 14．A 15．B 16．B 17．C 18．D 19．ABD 20．D 21．ACD 22．D 23．A 24．A 25．ABD 26．A 27．AD 28．A 29．B 30．ACD 31．ACD 32．ACD 33．AB 34．BCD 35．AD 36．AB 37．【答案】 【详解】点满足圆的方程，所以点为切点， 圆的圆心为(0,0)，切点和圆心连线的斜率为：， 所以切线斜率为-1. 方程为：. 故答案为. 38．【答案】或 【分析】 结合切线性质，分切线斜率不存在与切线斜率存在进行讨论即可得. 【详解】 当切线斜率不存在时，，此时点到直线的距离为， 故是圆的切线，符合； 当切线斜率存在时，设，即， 则有，化简得，即， 故，即； 综上所述：切线的方程为或. 故答案为：或. 39．【答案】 【分析】 把圆的一般方程变形为圆的标准方程得出圆心坐标和半径，再根据勾股定理求解即可. 【详解】 方程可化为，圆心，半径， 所以切线长为. 故答案为： 40．【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）根据题意，分切线的斜率存在与不存在两种情况进行讨论，利用点到直线的距离等于半径可求出切线的斜率，进而求出切线的方程. （2）根据圆心在直线上，并且圆心到的距离相等联立方程，从而求得圆心和半径即可. (1) 小问详解： 当不存在时，即，此时圆心到直线的距离等于半径，符合题意； 当存在时，设过点的切线方程为，即， 圆心到直线的距离为，解得， 切线方程为 综上所述：切线方程为或 (2) 小问详解： 圆心在直线上，且圆心到,距离都为半径 ，解得 圆心到的距离为 圆的方程为. 41．【答案】4 【分析】 设的中点为，，弦心距为，由和根据勾股定理列式求解，再根据三角形的面积公式求解即可. 【详解】 ，所以在圆内， 设的中点为， 设，因为， 所以， 设圆心到直线的距离为，所以， 又， 解得，则，， 所以的面积是. 故答案为：4. 42．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）设，利用求得点的坐标，进而求得圆的半径，得解； （2）由题意根据弦长公式求得弦心距，分直线的斜率不存在、存在两种情况讨论，求得直线的方程． (1) 小问详解： 因为圆心在直线上，所以设. 因为圆过两点，，所以， 所以，所以. 因为，所以圆的半径为5， 所以圆的标准方程为. (2) 小问详解： 设圆心到直线的距离为，则，所以. 当直线的斜率不存在时，直线的方程，此时，符合题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程， 所以，所以， 所以，直线的方程. 综上可得：直线的方程或. 43．【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 （1）将点代入直线方程可直接求得结果； （2）根据最长弦为圆的直径可知所求直线过圆心，进而得到直线斜率，结合直线点斜式可求得直线方程； （3）设圆心，根据直线与直线垂直可求得关系，根据两圆外切和可构造方程求得圆心坐标和半径，由此可得圆的方程. (1) 小问详解： 圆与直线相切于点，则点在直线上， ，解得：. (2) 小问详解： 圆的圆心为， 过点且被圆所截的弦长最长的直线过圆心， ，所求直线方程为：，即. (3) 小问详解： 设圆的圆心，半径为， 直线与圆相切，，即， ， 圆与圆外切，且点在圆上， ， 当时，，， 解得：，，，圆的标准方程为：； 当时，，， 解得：，，，圆的标准方程为：； 综上所述：圆的标准方程为或. 44．【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）易判断点A在圆,因此切线方程有两条,分直线的斜率不存在和直线斜率存在讨论即可； （2）利用相关点法求出的轨迹方程，进而可求的轨迹的长度. (1) 小问详解： 圆C的标准方程为: , 点在圆外, 故过点A且与圆C相切的直线有2条， ①当直线的斜率不存在时, 圆心到直线的距离 直线与圆C相切. (2)当直线的斜率存在时,可设直线,即 圆心C到直线的距离, 由题意,解得, 此时,即, 终上所述,直线的方程为或. (2) 小问详解： 设因为为的中点, 所以 , 点E在圆C上 , 即， 即， 所以点的轨迹是以为圆心,为半径的圆, 的轨迹的长度为. 45．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据圆的方程得到圆心坐标，然后利用距离公式得到圆心到直线的距离，再利用勾股定理得到半径，最后列方程求即可； （2）根据相切得到圆心在直线上，在的中垂线上，然后联立方程得到圆心坐标，再计算半径，写标准方程即可. (1) 小问详解： 由题意得圆：（为实数）． 圆的圆心，则到直线的距离， 所以圆的半径，则，解得. (2) 小问详解： 因为圆与圆相切， 所以圆的圆心在直线上，直线的方程为①， 因为圆与圆相切于点，所以为圆上的点，圆圆心在的中垂线上， ，中点坐标为，所以的中垂线方程为②， 联立① ②得 ，所以圆圆心为，半径， 所以圆得标准方程为. 46．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）求出的中垂线方程，求出圆心方程和半径，求出标准方程； （2）根据斜率不存在和存在进行求解方程. (1) 小问详解： 根据题意得,的中点坐标， 则的中垂线方程，即， 由圆心在直线， 故 ，解得 ，半径， 故圆的标准方程 (2) 小问详解： 依题意，圆心到直线的距离为， 若直线的斜率不存在，圆心到直线 当斜率存在时，设，故，则， 直线方程为. 故直线方程为或. 47．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或 【详解】（Ⅰ）由题可设圆心,利用圆心到直线距离等半径即可求解（Ⅱ）由平面几何性质可得圆心到直线距离，分斜率存在不存在两种情况，设直线方程利用点到直线距离求解即可. 【详解】（Ⅰ）由题可设圆心，显然则，解得：， 所以圆心的坐标 ， ； 所以圆的标准方程为： . （Ⅱ）当直线的斜率存在时，可设直线的方程：，即：. 由题得： ，解得： ， 所求直线的方程为： . 当直线的斜率不存在时，直线，满足题意； 故所求直线的方程为：或. 【点睛】本题主要考查了圆的标准方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离，分类讨论，属于中档题. 48．【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）分类讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式运算求解； （2）根据垂径定理求弦长，结合圆的性质求面积最大值. (1) 小问详解： 由题意得，圆的半径， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由直线与圆相切，得，解得， 所以直线的方程为； 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，显然与圆相切； 综上，直线的方程为或. (2) 小问详解： 由题意得圆心到直线的距离， 所以， 点到直线的距离的最大值为， 则的面积的最大值. 49．【答案】（1） 两圆内含. 证明：因为圆圆心，半径，圆圆心，半径， 圆心距，所以两圆内含.     （2） 证明：设动圆圆心，半径为，动圆与圆交于，两点，由题意有， 所以，即， 动圆与圆交于，两点， 同理可得，即，故， 则有整理得，即圆心， 所以半径， 自引动圆的切线，切线长， 所以切线长是定值. 【分析】 （1）求出圆心距即可判断两圆的位置关系. （2）设出动圆的圆心和半径，根据 “两圆正交” 的定义，分别列出动圆与圆，圆正交的方程； 联立方程，消去半径，推导出圆心的轨迹方程；利用切线长公式，结合圆心轨迹方程，计算从引动圆的切线，即可证明其为定值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 50．【答案】或.（写出其中一个即可） 【分析】 讨论直线的斜率是否存在，斜率存在时，设出直线方程，结合弦长公式即可求出直线斜率，即可得答案. 【详解】 由题意知过点的直线与圆相交于，两点， 当直线的斜率不存在时，直线方程为，代入中， 可得，即坐标为，此时，符合题意； 当直线的斜率存在时，设方程为，即， 设圆心O到直线l的距离为d，则， 由，圆的半径可得，即，解得， 故，解得， 故直线l的方程为，即， 故答案为：或.（写出其中一个即可） 51．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）假设圆心坐标和半径，可得圆方程为，结合圆上的点，直线与圆相切可构造方程组求得的值，进而得到圆标准方程； （2）将直线方程与圆的方程联立，由可得的一个范围及韦达定理的结论，根据向量数量积的坐标运算，结合韦达定理可构造不等式求得的范围，进而确定最终结果. (1) 小问详解： 解：由题意可设圆的圆心，半径为， 则圆的方程为：， 圆过点，， 又圆与直线相切，， 由 得： ， 圆的标准方程为：. (2) 小问详解： 解：设，. 由 得：， ，解得：； ，， \because \vec {CM}=\left(x_{1},y_{1}\right)，\vec {CN}=\left(x_{2},y_{2}\right)， \therefore \vec {CM}\cdot \vec {CN}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=x_{1}x_{2}+k^{2}\left(x_{1}+3\right)\left(x_{2}+3\right)， ，解得：； 综上所述：实数的取值范围为. 52．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）首先求出的中垂线方程为，联立 ，再求半径即可得到答案. （2）首先根据，得到在线段的中垂线上，从而得到，即可得到答案. (1) 小问详解： ，则的中垂线方程为， ，. 则圆 (2) 小问详解： 如图所示： 因为，所以在线段的中垂线上， 又因为线段的中垂线过，， 则，，整理得： 53．【答案】（1）     （2） 点的轨迹圆的圆心为，半径， 因为圆心到的距离， 所以点的轨迹圆与相交， 则相遇点会出现在安全区外， 故追踪机器人不会总能在安全区内成功拦截.      【分析】 （1）设追踪机器人在点处拦截目标机器人，根据追踪机器人与目标机器人速度之比为列出方程即可得解； （2）判断点的轨迹圆与直线的位置关系即可得出结论. (1) 小问详解： 设追踪机器人在点处拦截目标机器人， 因为追踪机器人与目标机器人速度之比为， 所以相遇时， 所以， 即两机器人相遇点的轨迹方程为； (2) 小问详解： 略 54．【答案】 【分析】 根据题意作出图像，利用两点距离公式求得，再在与中利用正弦函数的定义求得，进而求得. 【详解】 依题意，连结，记为的交点， 因为与圆相切，所以，，，是的中点， 因为，，所以， 又，所以在中，，， 故在中，， 所以. 故答案为：. 55．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设圆心坐标为，半径为，由，，求出圆心坐标和半径得圆方程； （2）选① ，由等腰三角形求得圆心到直线的距离，再由点到直线距离公式得参数值； 选② ，由等腰三角形求得圆心到直线的距离，再由点到直线距离公式得参数值； 选③ ，由数量积的定义求得，然后同选① 求解． (1) 小问详解： 设圆心坐标为，半径为， 因为圆心在直线 上，所以. 又圆与轴相切于点，所以， 所以圆的圆心坐标为，则圆的方程为； (2) 小问详解： 如果选择条件① ，因为，， 所以圆心到直线的距离， 则，解得， 如果选择条件② ，因为，， 由垂径定理可知圆心到直线的距离． 则，解得， 如果选择条件③ ，因为\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=-\frac{1}{2}，所以\left| \overrightarrow{CA} \right|\cdot \left| \overrightarrow{CB} \right|\cdot \cos \angle ACB=-\frac{1}{2}， 得，又， 所以圆心到直线的距离 ， 则，解得． 56．【答案】（1）     （2）      （3） 设，则， 联立 得：， 设，， ，， 以替换可得：，， ， 直线的方程为，即：， 当时，， 直线过定点.      【分析】 （1）根据两圆内切的条件列出方程求解； （2）由条件化简可得的轨迹方程，然后根据两圆有公共点，利用圆心距与半径之间的关系列出不等式求解即可； （3）设，联立圆的方程，由根与系数的关系可得弦中点的坐标，同理得出点坐标，求出直线的方程，即可得证. (1) 小问详解： 因为圆与圆内切， 所以，即， 解得. (2) 小问详解： 设， 由，可得， 化简可得， 即点的轨迹是圆心为，半径为的圆， 由题意，圆与圆有公共点， 则，即， 解得. (3) 小问详解： 略 57．【答案】 【分析】 由所给条件可转化为曲线与圆有且仅有两个交点即可，利用圆心到射线的距离及数形结合即可求解. 【详解】 连接，    因为，所以， 所以， 即的轨迹方程为， 又曲线恒过点， 当时，曲线为上图所示折线， 由题意，此时折线与圆有且仅有两个交点即可， 所以圆心到射线的距离， 且圆心到射线的距离， 化简可得且， 解不等式可得且，所以； 同理，当时，折线开口向下，与圆无交点，不符合题意； 当时，曲线为，与圆无交点，不符合题意. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 58．【答案】 【分析】 首先求出点的轨迹，问题转化为直线与圆有交点，利用直线与圆的位置关系列式即可求解. 【详解】 设点，则由可得， 整理得，圆心为，半径， 由题意可知直线与圆有交点， 则圆心到直线的距离，解得或， 所以的取值范围为. 故答案为： 59．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）设圆的半径为，利用坐标轴截圆的弦长计算即可； （2）利用点到直线的距离公式结合第一问，根据基本不等式计算即可. (1) 小问详解： 设圆的圆心为，半径为，则点到轴，轴的距离分别为，． 圆截轴所得劣弧对的圆心角为90°，即圆截轴所得的弦长为， 故， 又圆截轴所得的弦长为2， 所以有． 从而得． (2) 小问详解： 点到直线的距离为， 所以， 当且仅当时上式等号成立，此时，从而取得最小值． 由此有 ， 解得 或 由于知． 所求圆的方程是或． 60．【答案】（1）     （2）     （3）不存在，理由如下： 当时，研究直线与曲线在第一象限的公共点. 联立 ，得（*）. 因为， 所以方程（*）只有一个正根，则直线与曲线在第一象限只有一个公共点. 同理，直线与曲线在第三象限也只有一个公共点. 因此，当时，直线与曲线只有两个公共点. 当时， 一方面，直线与曲线在第二象限的部分至多两个公共点. 另一方面，由 ，得（*）. 因为， 所以方程（*）无正根，即直线与曲线在第一象限无公共点. 同理，直线与曲线在第三象限无公共点. 所以当时，直线与曲线至多两个公共点. 所以时，直线与曲线至多两个公共点. 由对称性可知，时，直线与曲线也至多两个公共点. 综上，不存在直线与曲线至少有三个不同的公共点.      【分析】 （1）根据对称性，由三角形面积及扇形面积公式计算即可求解； （2）分都在第一象限（或坐标轴正半轴），不妨在第一象限（或坐标轴正半轴），在第二象限（或轴负半轴）时，不妨在第一象限（或坐标轴正半轴），在第三象限（或坐标轴负半轴）时，三种情况求解即可； （3）根据对称性，分，两种情况，讨论求解即可. (1) 小问详解： 曲线既关于两坐标轴成轴对称，又关于原点成中心对称. 当时，曲线方程为. 记圆心为，与轴分别交于两点， 则，过点作， 则， 所以， 所以. 所以， 所以，同理. 由对称性可知，曲线围成的平面图形的面积 . (2) 小问详解： 记曲线在第一象限的圆心为，第二象限的圆心为， 第三象限的圆心为､第四象限的圆心为. 情况1：不妨都在第一象限（或坐标轴正半轴），. 情况2：不妨在第一象限（或坐标轴正半轴），在第二象限（或轴负半轴）时， （当且仅当四点共线时等号成立），此时最大值为6. 情况不妨在第一象限（或坐标轴正半轴），在第三象限（或坐标轴负半轴）时， （当且仅当四点共线时 等号成立），此时最大值为. 综上，根据对称性可知最大值为. (3) 小问详解： 略 61．【答案】或 【分析】 先把圆化为标准形式求出圆心和半径，再根据直线与圆的位置关系结合点到直线距离公式构造方程求出实数． 【详解】 圆的标准方程为， 圆心，半径， 直线，化成一般式方程为：， 设点为中点，则，直线与圆的位置关系如下图所示： 所以，，， 圆心到直线的距离， 化简得， 解得或． 故答案为：或 62．【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 （1）由圆的一般方程得到圆的标准方程进而得到圆心和半径，根据两圆相交得到，进而得到的取值范围； （2）设，，联立圆与直线的方程，由有两个交点得到的取值范围，由韦达定理得到和，代入\vec {OP}\cdot \vec {OQ}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=4，解出的值； （3）设，由分别写出与的方程，根据弦长和半径相等得到圆心到直线的距离相等，再根据有无数多条直线，得到关于的方程有无数多组解，从而解出，即得到的坐标. (1) 小问详解： 圆的标准方程为，则圆心，， 圆的标准方程为，则圆心， ， 圆与圆相交，，即，解得， 的取值范围. (2) 小问详解： 已知直线与圆交于，两点，设，， 联立 ，得， 所以 ，得 \because \vec {OP}\cdot \vec {OQ}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=\left(1+k^{2}\right)x_{1}\cdot x_{2}+k\left(x_{1}+x_{2}\right)+1=\frac{-6k}{1+k^{2}}+6=4， 解得，因为，所以. (3) 小问详解： 设点坐标为，直线、的方程分别为：，， 即：，， 因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等且两圆半径相等， 由垂径定理得，圆心到直线与直线的距离相等． 故有：， 化简得：或， 因为存在过点的无穷多对互相垂直的直线和， 所以关于的方程有无穷多解，从而有 或 ， 解得 或 ， 所以点P坐标为或． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $