专题05 数列（期中真题汇编，江苏专用）高二数学上学期

**基本信息** 数列专题期中试题汇编，精选江苏多地期中真题，覆盖数列概念、等差与等比数列三大高频考点，基础题与综合题梯度分布，突出数学思维与创新应用。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|约10题|数列概念、等差等比基本量计算|如等差数列项数奇偶性求和、等比数列前n项积最值| |多选|约5题|等差等比性质、数列单调性|如判断等比数列组合数列类型、等差数列前n项和最值| |填空|约4题|前n项和与通项关系、新定义应用|如集合中等差数列元素和、操作后等比数列半径| |解答|约7题|递推关系、数列求和、不等式恒成立|如“整有界数列”新定义证明、几何情境下等比数列面积总和|

专题05 数列 3大高频考点概览 考点01 数列的概念 考点02 等差数列 考点03 等比数列 考点01 数列的概念 1．（25-26学年高二上·江苏宿迁沭阳县·期中）数列的通项公式可以为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据题意逐一检验选项即可. 【详解】 对于选项A：令，可得，不合题意； 对于选项B：代入检验均可，符合题意； 对于选项C：令，可得，不合题意； 对于选项D：令，可得，不合题意； 故选：B. 2．（25-26学年高二上·江苏苏州常熟·期中）在数列中，，，，若的前项和为，则（       ） A. 4052 B. 4053 C. 4054 D. 4055 【答案】A 【分析】 根据题意分析可知，数列的一个周期为3，结合周期性运算求解即可. 【详解】 因为，，， 令，则，即， 且，可得， 可知数列的一个周期为3， 所以. 故选：A. 3．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）已知数列满足，则的值为（       ） A.  B.  C.  D. 2 【答案】B 【分析】 根据题意，求得，得到数列是周期为3的周期数列，结合，即可求解. 【详解】 因为数列满足， 可得，，，…， 可得数列是周期为3的周期数列，所以. 故选：B. 4．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）（多选）已知数列满足，，其前项和为，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】ABD 【分析】 对于A，根据递推式计算即可；对于B，由题可得，再根据即可推导；对于C，可举例判断；对于D，由题知，，再利用累加法即可求解． 【详解】 ，，，，，故A正确； 对于B，由， ，故B正确 对于C，当时，，而，，故C错误. 因为，， 即，，…， 累加得 ，故D正确. 故选：ABD. 5．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）已知数列满足，，则的值为　　　　　　　　　　　. 【答案】29 【分析】 由已知可得，可得是等差数列，可求得. 【详解】 由，可得，两式相减， 是首项为1，公差为4的等差数列， . 故答案为：. 6．（25-26学年高二上·江苏苏州常熟·期中）已知数列的前项和为，点在曲线上. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）利用与关系即可求得通项公式； （2）由（1）可得，采用裂项相消法可求得结果. 【详解】（1）点在直线上，. 当时，， 当时，， 验证可知时也成立， . （2）由（1）知：， . 【点睛】本题考查利用与关系求解数列的通项公式、裂项相消法求解数列的前项和的问题；关键是能够将数列的通项进行准确裂项，进而前后相消求得数列的前项和. 7．（25-26学年高二上·江苏宿迁沭阳县·期中）已知数列{bn}的前n项和，n∈N*． （1）求数列{bn}的通项公式； （2）记，求数列{cn}的前n项和Sn； （3）在（2）的条件下，记，若对任意正整数n，不等式恒成立，求整数m的最大值． 【答案】(1) bn＝3n﹣2，n∈N*．(2)； (3) 最大值为11． 【分析】（1）利用 ，求得数列的通项公式. （2）利用裂项求和法求得数列的前项和. （3）由（2）求得的表达式，记不等式左边为，利用差比较法判断出的单调性，进而求得的最小值，由此列不等式求得的取值范围，进而求得整数的最大值. 【详解】（1）∵数列{bn}的前n项和，n∈N*． ∴① 当n＝1时，b1＝T1＝1； ② 当n≥2时，bn＝Tn﹣Tn﹣1＝3n﹣2； ∴bn＝3n﹣2，n∈N*． （2）由（1）可得：； ∴Sn＝c1+c2+…+cn， ， ， ； （3）由（2）可知：n； ∴； 设f（n）； 则f（n+1）﹣f（n）＝（）﹣（） 0； 所以f（n+1）＞f（n），故f（n）的最小值为f（1）； ∵对任意正整数n，不等式恒成立， ∴恒成立，即m＜12； 故整数m的最大值为11． 【点睛】本小题主要考查已知求，考查裂项求和法，考查数列单调性的判断方法，考查不等式恒成立问题的求解，属于中档题. 8．（25-26学年高二上·江苏苏州常熟·期中）若存在正整数，使得对任意，都有，则称数列为“整有界数列”. （1）已知，数列的前项和为，分别判断和是否为“整有界数列”，并说明理由； （2）已知数列中，，，. （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）若是数列的前项和，求证：是“整有界数列”，并求的最小值. 【答案】（1） 数列和都为“整有界数列”，理由如下： 因为，则， 当时，， 当时，， 所以取，对任意，都有成立，因此数列为“整有界数列”. 又， 所以是以1为首项，为公比的等比数列， 所以，则， 当n为奇数时，， 当n为偶数时，， 所以取，对任意，都有成立，因此数列为“整有界数列”.     （2）（ⅰ）； （ⅱ）证明：由（ⅰ）得， 当时，，当时，， 当时，增速快于，所以，即， 所以对于任意，， 所以， 所以， 所以， 而， 故结合题意可知正整数的取值需大于等于12， 所以取即为M的最小值，对于任意，， 所以是“整有界数列”.      【分析】 （1）由题意可得，根据其单调递减，所以取M=1，对任意，都有成立，因此数列为“整有界数列”.根据等比数列求和公式，可得，分别讨论n为奇数和偶数两种情况，结合条件，分析即可答案. （2）（ⅰ）将条件变形为，根据等比数列的定义，可证是以2为首项，2为公比的等比数列，可得，根据累加法，化简整理，即可得答案.（ⅱ）分析可得，则，根据求和公式，代入计算，可得，结合题意，分析即可得答案. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： （ⅰ）因为， 所以，则 又， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，即， 则， 各式相加可得， 则，， 所以，又满足上式， 所以. （ⅱ）略 9．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）已知数列的第项是由个1构成的位数，如：，，，…数列的第项是由1或2构成的所有位数的和，如：，，，… （1）求数列的通项公式及其前项和； （2）试求出，并直接写出数列的一个通项公式（无需说明理由）； （3）求满足不等式的正整数的最小值.（参考数据：，） 【答案】（1），；     （2），     （3）7      【分析】 （1）依题意可得，从而得到，即可求出的通项公式，再由分组求和法计算可得； （2）依题意是由个位数相加，其个位上的数字和为， 十位上的数字和为，，第位上的数字和为，即可求出，再由，求出的通项公式； （3）由（1）（2）可得，再结合指数函数的性质计算可得. (1) 小问详解： 依题意， 所以，又， 所以数列为常数列，， ， ； (2) 小问详解： 依题意是由个位数相加，其个位上的数字和为， 十位上的数字和为，，第位上的数字和为， 又，，， 所以， ， 所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即； (3) 小问详解： 由，即，， 即，所以， 又在定义域上单调递增，且，， 所以的最小值为. 考点02 等差数列 1．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）在等差数列中，若，则的值为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 由等差数列等差中项的性质直接求解即可． 【详解】 在等差数列中，． 故选：C． 2．（25-26学年高二上·江苏苏州常熟·期中）（多选）已知等差数列满足，数列满足（），数列和的前项和分别为和，则（       ） A. 为递减数列 B. 当时，取得最大值 C. 没有最大项 D. 当时，取得最大值 【答案】ABD 【分析】 利用等差数列的通项公式，可得到，并确定，可判断A，再利用求和公式并代入，得到二次函数可判断B，利用的通项公式可讨论正负取值，并结合函数单调性，可判断CD. 【详解】 设等差数列的公差为，则由， 可得， 再由， 所以有，即为递减数列，故A正确； 因为， 由于开口向下，对称轴为，因为为正整数，所以当时，取得最大值，故B正确； 由 ， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 因为， 所以当时，取得最大值，故D正确； 令，则构造 所以函数在上单调递增， 即当时，数列单调递增，此时是最大值， 而，即， 结合当或时，，所以是数列的最大项，故C错误； 故选：ABD. 3．（25-26学年高二上·江苏南通如皋·期中）已知等差数列的前项和为，若，则（       ） A. 24 B. 30 C. 60 D. 120 【答案】C 【分析】 由等差数列的性质及前项和求解. 【详解】 因为，所以， 所以. 故选：C. 4．（25-26学年高二上·江苏宿迁沭阳县·期中）已知数列{an}是等差数列，若a9+3a11＜0，a10•a11＜0，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n＝（     ） A. 20 B. 17 C. 19 D. 21 【答案】C 【分析】 由条件求得﹣9d a1 ﹣9.5d，d 0.令 Sn0，且 Sn+1 0，可得 ，且 n.再由﹣9d a1 ﹣9.5d，可得 ，故有19 n 19，从而得到n的值. 【详解】 解：∵数列{an}是等差数列，若a9+3a11 0，设公差为d，则有4a1+38d 0，即2a1+19d 0， 故有（a1+9d）+（a1+10d）＝a10+a11 0，且a1 ﹣9.5d. 再由前n项和Sn有最大值，可得数列为递减数列，公差d 0. 结合a10•a11 0，可得a10＝a1+9d0，a11＝a1+10d 0，故﹣9d a1 ﹣10d. 综上可得﹣9d a1 ﹣9.5d. 令 Sn0，且 Sn+1 0，可得，且 （n+1）a10. 化简可得 a1d0，且a1d 0.即 ，且 n. 再由﹣9d a1 ﹣9.5d，可得 ，∴19 n 19，∴n＝19， 故选：C. 5．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（       ） A. 10 B. 19 C. 21 D. 29 【答案】B 【分析】 设项数为，则，再利用等差中项的性质和等差数列的求和公式化简，然后计算可得. 【详解】 设项数为， 则， . 此数列共有19项. 故选：B 6．（25-26学年高二上·江苏苏州常熟·期中）已知一个无穷等差数列中有三项：13，31，58，则下列各数中一定是该数列中的一个项的是（       ） A. 2020 B. 2022 C. 2023 D. 2025 【答案】A 【分析】 利用待定系数法求出等差数列的通项公式，根据通项公式的特征对每个选项进行分析得出答案. 【详解】 设该等差数列为，其公差为， 设13､31､58分别为该数列中的，且， 不妨设. 则，，， 所以，， 将两式相除可得，设 ，，则 ， 将 分别代入，，可得， 则，其中， 所以. 选项A. ， 因为，，所以，所以本选项符合题意； 选项B. ，当不是的倍数时，不是正整数，所以本选项不一定是该数列中的项，因此不符合题意； 选项C. ，当不是的倍数时，不是正整数，所以本选项不一定是该数列中的项，因此不符合题意； 选项D. ，当不是的倍数时，不是正整数，所以本选项不一定是该数列中的项，因此不符合题意； 故选：A 7．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）记数列的前项和为，满足.记数列的前项和为，满足，，. （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）利用，的关系可求得；，可得递推关系，进而可得，可求通项公式； （2）利用错位相减法可求得. (1) 小问详解： ，当时， 数列是首项为2，公比为2的等比数列， 由得， 整理得① ，② ②-① 得，即 即数列是等差数列，，，， (2) 小问详解： ， ， 两式相减， 即数列的前项和. 8．（25-26学年高二上·江苏苏州常熟·期中）已知集合，，则集合中所有元素的和为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 先分别求出集合和集合的元素，再找出它们的交集，最后根据等差数列求和即可. 【详解】 对于集合，是正奇数，又，，最大为，此时， , 对于集合，又，，最大为，此时， , 设，则，可得，即，必须是的倍数， 设，则，又，即，解得，最大为， , 这是一个首项为，公差为，项数为的等差数列， 则集合中所有元素的和为. 故答案为： 考点03 等比数列 1．（25-26学年高二上·江苏苏州常熟·期中）在等比数列中，，，则（       ） A. 48 B. 72 C. 96 D. 192 【答案】C 【分析】 设等比数列的公比为，结合等比数列性质运算求解即可. 【详解】 设等比数列的公比为， 则，可得， 所以. 故选：C 2．（25-26学年高二上·江苏南通如皋·期中）设数列是公比为的等比数列，．若数列的连续四项构成集合，则的值为（       ） A.  B.  C. 3 D. 9 【答案】B 【分析】 由题意可知将四个数按照绝对值从小到大排列就可得到数列的各项，从而可求出公比 【详解】 因为数列是公比为q的等比数列，，且数列的连续四项构成集合， 则数列的连续四项为递增数列，为3，9，27，81， 可知数列的连续四项为，所以公比. 故选：B. 3．（25-26学年高二上·江苏苏州常熟·期中）（多选）设，是两个公比不相等的等比数列，则下列数列中一定是等比数列的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】CD 【分析】 根据等比数列的定义与等比中项逐一判断即可. 【详解】 设等比数列，是两个公比分别为，且 对于A，因为， ， 因,则，故不是等比数列，即A错误； 对于B，因为， ， 与A同理，，故不是等比数列，即B错误； 对于C，因为， ，是一个常数，所以是等比数列，故C正确. 对于D，因为，，是一个常数， 所以是等比数列，故D正确. 故选：CD. 4．（25-26学年高二上·江苏南通如皋·期中）（多选）已知等比数列的前项和，数列的前项积为，则（       ） A.  B.  C.  D. 数列是等差数列 【答案】AC 【分析】 根据之间的关系，结合等比数列的定义、等差数列的定义和前项和公式逐一判断即可. 【详解】 对于A：由， 由，因为是等比数列，所以有，因此本选项正确； 对于B：由上可知：，所以本选项不正确； 对于C：，所以本选项正确； 对于D：因为常数 ， 所以数列不是等差数列，因此本选项不正确， 故选：AC 5．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）已知等比数列的首项为64，公比为，记为数列的前项积，则当时正整数的最大值为（       ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】A 【分析】 利用等比数列的通项公式求出，再结合数列的单调性分析时正整数的取值. 【详解】 由题意，，， ，，， 当时正整数的最大值为12. 故选A. 6．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）（多选）正实数，，不全相等（       ） A. 若，，是等差数列，则，，也是等差数列 B. 若，，是等比数列，则，，也是等比数列 C. 若，，是等差数列，则，，也是等差数列 D. 若，，是等比数列，则，，也是等比数列 【答案】BD 【分析】 利用赋值法可判断AC；利用等比中项法可判断BD. 【详解】 对于A，取，则，， 所以，，不成等差数列，故A错误； 对于B，若，，是等比数列，则，所以， 所以，，是等比数列，故B正确； 对于C，取，则， 又，故，，不是等差数列，故C错误； 对于D，若，，是等比数列，则， 又，所以，，是等比数列，故D正确. 故选：BD. 7．（25-26学年高二上·江苏南通如皋·期中）等比数列的前项和为，若，则的公比　　　　　　． 【答案】或 【分析】 根据等比数列前项和公式进行求解即可. 【详解】 当时，显然成立， 当时， ，（舍去）， 故答案为：或 8．（25-26学年高二上·江苏南通如皋·期中）已知等差数列的前n项和为，是公比大于1的等比数列， （1）求和的通项公式； （2）设求数列的前n项和. 【答案】（1）；     （2）      【分析】 （1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，根据题意建立方程组，求解即可； （2）利用分组求和法结合等差数列和等比数列的求和公式求解即可. (1) 小问详解： 设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，且． 依题意得，得，故， 又 ，消去可得，则（舍）或． 则，故． (2) 小问详解： 因为，所以， 则. 9．（25-26学年高二上·江苏宿迁沭阳县·期中）已知函数，给出三个条件：①；②；③.从中选出一个能使数列成等比数列的条件，在这个条件下，数列的前n项和　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由给定的函数关系，利用对数定义求出，再判断出等比数列即可作答. 【详解】 因函数， 条件① ，，则有，而不是常数，即数列不是等比数列； 条件③ ，，则有，而不是常数，即数列不是等比数列； 条件② ，，则有，是常数，即数列是等比数列，其首项为1，公比2， 所以. 故答案为： 10．（25-26学年高二上·江苏南通如皋·期中）已知数列的前项和为，，设． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前项和； （3）若数列的前项和为，求证：． 【答案】（1） 由， ，得， 因为， 所以数列是等比数列；     （2）；     （3） ， .      【分析】 （1）根据之间的关系，结合等比数列的定义进行运算证明即可. （2）根据（1）的结论，结合错位相减法进行求解即可； （3）运用裂项相消法进行运算证明即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由， 由（1）可知数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 因为， 所以， ， ，得， ； (3) 小问详解： 略 11．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）如图，在一个大圆中放入两个半径之比为1：2的小圆，使得两小圆外切，且它们均内切于大圆，且三个切点共线，记为一次操作.之后的每次操作，都在前一次放入的较大的圆中进行上述操作，现有一个半径为1的大圆，则4次操作后图中最小的圆的半径为　　　　　　　　　　　，次操作后图中所有圆的面积总和为　　　　　　　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 由题意可知小圆半径是首项为，公比为等比数列；大圆半径是首项为，公比为等比数列，结合等比数列前项和公式计算即可求解. 【详解】 次操作后，小圆的半径依次为， 大圆的半径依次为， 所以小圆半径是首项为，公比为等比数列， 大圆半径是首项为，公比为等比数列， 4次操作后图中最小的圆的半径为； 次操作后，小圆面积和为： ， 大圆面积和为： 所以大圆与小圆面积和为， 则所有圆的面积总和为. 故答案为： 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 数列 3大高频考点概览 考点01 数列的概念 考点02 等差数列 考点03 等比数列 考点01 数列的概念 1．（25-26学年高二上·江苏宿迁沭阳县·期中）数列的通项公式可以为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·江苏苏州常熟·期中）在数列中，，，，若的前项和为，则（       ） A. 4052 B. 4053 C. 4054 D. 4055 3．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）已知数列满足，则的值为（       ） A.  B.  C.  D. 2 4．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）（多选）已知数列满足，，其前项和为，则（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）已知数列满足，，则的值为　　　　　　　　　　　. 6．（25-26学年高二上·江苏苏州常熟·期中）已知数列的前项和为，点在曲线上. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为. 7．（25-26学年高二上·江苏宿迁沭阳县·期中）已知数列{bn}的前n项和，n∈N*． （1）求数列{bn}的通项公式； （2）记，求数列{cn}的前n项和Sn； （3）在（2）的条件下，记，若对任意正整数n，不等式恒成立，求整数m的最大值． 8．（25-26学年高二上·江苏苏州常熟·期中）若存在正整数，使得对任意，都有，则称数列为“整有界数列”. （1）已知，数列的前项和为，分别判断和是否为“整有界数列”，并说明理由； （2）已知数列中，，，. （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）若是数列的前项和，求证：是“整有界数列”，并求的最小值. 9．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）已知数列的第项是由个1构成的位数，如：，，，…数列的第项是由1或2构成的所有位数的和，如：，，，… （1）求数列的通项公式及其前项和； （2）试求出，并直接写出数列的一个通项公式（无需说明理由）； （3）求满足不等式的正整数的最小值.（参考数据：，） 考点02 等差数列 1．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）在等差数列中，若，则的值为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2．（25-26学年高二上·江苏苏州常熟·期中）（多选）已知等差数列满足，数列满足（），数列和的前项和分别为和，则（       ） A. 为递减数列 B. 当时，取得最大值 C. 没有最大项 D. 当时，取得最大值 3．（25-26学年高二上·江苏南通如皋·期中）已知等差数列的前项和为，若，则（       ） A. 24 B. 30 C. 60 D. 120 4．（25-26学年高二上·江苏宿迁沭阳县·期中）已知数列{an}是等差数列，若a9+3a11＜0，a10•a11＜0，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n＝（     ） A. 20 B. 17 C. 19 D. 21 5．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（       ） A. 10 B. 19 C. 21 D. 29 6．（25-26学年高二上·江苏苏州常熟·期中）已知一个无穷等差数列中有三项：13，31，58，则下列各数中一定是该数列中的一个项的是（       ） A. 2020 B. 2022 C. 2023 D. 2025 7．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）记数列的前项和为，满足.记数列的前项和为，满足，，. （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前项和. 8．（25-26学年高二上·江苏苏州常熟·期中）已知集合，，则集合中所有元素的和为　　　　　　　　　　. 考点03 等比数列 1．（25-26学年高二上·江苏苏州常熟·期中）在等比数列中，，，则（       ） A. 48 B. 72 C. 96 D. 192 2．（25-26学年高二上·江苏南通如皋·期中）设数列是公比为的等比数列，．若数列的连续四项构成集合，则的值为（       ） A.  B.  C. 3 D. 9 3．（25-26学年高二上·江苏苏州常熟·期中）（多选）设，是两个公比不相等的等比数列，则下列数列中一定是等比数列的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·江苏南通如皋·期中）（多选）已知等比数列的前项和，数列的前项积为，则（       ） A.  B.  C.  D. 数列是等差数列 5．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）已知等比数列的首项为64，公比为，记为数列的前项积，则当时正整数的最大值为（       ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 6．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）（多选）正实数，，不全相等（       ） A. 若，，是等差数列，则，，也是等差数列 B. 若，，是等比数列，则，，也是等比数列 C. 若，，是等差数列，则，，也是等差数列 D. 若，，是等比数列，则，，也是等比数列 7．（25-26学年高二上·江苏南通如皋·期中）等比数列的前项和为，若，则的公比　　　　　　． 8．（25-26学年高二上·江苏南通如皋·期中）已知等差数列的前n项和为，是公比大于1的等比数列， （1）求和的通项公式； （2）设求数列的前n项和. 9．（25-26学年高二上·江苏宿迁沭阳县·期中）已知函数，给出三个条件：①；②；③.从中选出一个能使数列成等比数列的条件，在这个条件下，数列的前n项和　　　　　　　　　. 10．（25-26学年高二上·江苏南通如皋·期中）已知数列的前项和为，，设． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前项和； （3）若数列的前项和为，求证：． 11．（25-26学年高二上·江苏苏州·期中）如图，在一个大圆中放入两个半径之比为1：2的小圆，使得两小圆外切，且它们均内切于大圆，且三个切点共线，记为一次操作.之后的每次操作，都在前一次放入的较大的圆中进行上述操作，现有一个半径为1的大圆，则4次操作后图中最小的圆的半径为　　　　　　　　　　　，次操作后图中所有圆的面积总和为　　　　　　　　　　　. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 数列 考点01 数列的概念 考点02 等差数列 考点03 等比数列 考点01 数列的概念 1．B 2．A 3．B 4．ABD 5．【答案】29 【分析】 由已知可得，可得是等差数列，可求得. 【详解】 由，可得，两式相减， 是首项为1，公差为4的等差数列， . 故答案为：. 6．【答案】（1）（2） 【分析】（1）利用与关系即可求得通项公式； （2）由（1）可得，采用裂项相消法可求得结果. 【详解】（1）点在直线上，. 当时，， 当时，， 验证可知时也成立， . （2）由（1）知：， . 【点睛】本题考查利用与关系求解数列的通项公式、裂项相消法求解数列的前项和的问题；关键是能够将数列的通项进行准确裂项，进而前后相消求得数列的前项和. 7．【答案】(1) bn＝3n﹣2，n∈N*．(2)； (3) 最大值为11． 【分析】（1）利用 ，求得数列的通项公式. （2）利用裂项求和法求得数列的前项和. （3）由（2）求得的表达式，记不等式左边为，利用差比较法判断出的单调性，进而求得的最小值，由此列不等式求得的取值范围，进而求得整数的最大值. 【详解】（1）∵数列{bn}的前n项和，n∈N*． ∴① 当n＝1时，b1＝T1＝1； ② 当n≥2时，bn＝Tn﹣Tn﹣1＝3n﹣2； ∴bn＝3n﹣2，n∈N*． （2）由（1）可得：； ∴Sn＝c1+c2+…+cn， ， ， ； （3）由（2）可知：n； ∴； 设f（n）； 则f（n+1）﹣f（n）＝（）﹣（） 0； 所以f（n+1）＞f（n），故f（n）的最小值为f（1）； ∵对任意正整数n，不等式恒成立， ∴恒成立，即m＜12； 故整数m的最大值为11． 【点睛】本小题主要考查已知求，考查裂项求和法，考查数列单调性的判断方法，考查不等式恒成立问题的求解，属于中档题. 8．【答案】（1） 数列和都为“整有界数列”，理由如下： 因为，则， 当时，， 当时，， 所以取，对任意，都有成立，因此数列为“整有界数列”. 又， 所以是以1为首项，为公比的等比数列， 所以，则， 当n为奇数时，， 当n为偶数时，， 所以取，对任意，都有成立，因此数列为“整有界数列”.     （2）（ⅰ）； （ⅱ）证明：由（ⅰ）得， 当时，，当时，， 当时，增速快于，所以，即， 所以对于任意，， 所以， 所以， 所以， 而， 故结合题意可知正整数的取值需大于等于12， 所以取即为M的最小值，对于任意，， 所以是“整有界数列”.      【分析】 （1）由题意可得，根据其单调递减，所以取M=1，对任意，都有成立，因此数列为“整有界数列”.根据等比数列求和公式，可得，分别讨论n为奇数和偶数两种情况，结合条件，分析即可答案. （2）（ⅰ）将条件变形为，根据等比数列的定义，可证是以2为首项，2为公比的等比数列，可得，根据累加法，化简整理，即可得答案.（ⅱ）分析可得，则，根据求和公式，代入计算，可得，结合题意，分析即可得答案. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： （ⅰ）因为， 所以，则 又， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，即， 则， 各式相加可得， 则，， 所以，又满足上式， 所以. （ⅱ）略 9．【答案】（1），；     （2），     （3）7      【分析】 （1）依题意可得，从而得到，即可求出的通项公式，再由分组求和法计算可得； （2）依题意是由个位数相加，其个位上的数字和为， 十位上的数字和为，，第位上的数字和为，即可求出，再由，求出的通项公式； （3）由（1）（2）可得，再结合指数函数的性质计算可得. (1) 小问详解： 依题意， 所以，又， 所以数列为常数列，， ， ； (2) 小问详解： 依题意是由个位数相加，其个位上的数字和为， 十位上的数字和为，，第位上的数字和为， 又，，， 所以， ， 所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即； (3) 小问详解： 由，即，， 即，所以， 又在定义域上单调递增，且，， 所以的最小值为. 考点02 等差数列 1．C 2．ABD 3．C 4．C 5．B 6．A 7．【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）利用，的关系可求得；，可得递推关系，进而可得，可求通项公式； （2）利用错位相减法可求得. (1) 小问详解： ，当时， 数列是首项为2，公比为2的等比数列， 由得， 整理得① ，② ②-① 得，即 即数列是等差数列，，，， (2) 小问详解： ， ， 两式相减， 即数列的前项和. 8．【答案】 【分析】 先分别求出集合和集合的元素，再找出它们的交集，最后根据等差数列求和即可. 【详解】 对于集合，是正奇数，又，，最大为，此时， , 对于集合，又，，最大为，此时， , 设，则，可得，即，必须是的倍数， 设，则，又，即，解得，最大为， , 这是一个首项为，公差为，项数为的等差数列， 则集合中所有元素的和为. 故答案为： 考点03 等比数列 1．C 2．B 3．CD 4．AC 5．A 6．BD 7．【答案】或 【分析】 根据等比数列前项和公式进行求解即可. 【详解】 当时，显然成立， 当时， ，（舍去）， 故答案为：或 8．【答案】（1）；     （2）      【分析】 （1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，根据题意建立方程组，求解即可； （2）利用分组求和法结合等差数列和等比数列的求和公式求解即可. (1) 小问详解： 设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，且． 依题意得，得，故， 又 ，消去可得，则（舍）或． 则，故． (2) 小问详解： 因为，所以， 则. 9．【答案】 【分析】 由给定的函数关系，利用对数定义求出，再判断出等比数列即可作答. 【详解】 因函数， 条件① ，，则有，而不是常数，即数列不是等比数列； 条件③ ，，则有，而不是常数，即数列不是等比数列； 条件② ，，则有，是常数，即数列是等比数列，其首项为1，公比2， 所以. 故答案为： 10．【答案】（1） 由， ，得， 因为， 所以数列是等比数列；     （2）；     （3） ， .      【分析】 （1）根据之间的关系，结合等比数列的定义进行运算证明即可. （2）根据（1）的结论，结合错位相减法进行求解即可； （3）运用裂项相消法进行运算证明即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由， 由（1）可知数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 因为， 所以， ， ，得， ； (3) 小问详解： 略 11．【答案】①     ② 【分析】 由题意可知小圆半径是首项为，公比为等比数列；大圆半径是首项为，公比为等比数列，结合等比数列前项和公式计算即可求解. 【详解】 次操作后，小圆的半径依次为， 大圆的半径依次为， 所以小圆半径是首项为，公比为等比数列， 大圆半径是首项为，公比为等比数列， 4次操作后图中最小的圆的半径为； 次操作后，小圆面积和为： ， 大圆面积和为： 所以大圆与小圆面积和为， 则所有圆的面积总和为. 故答案为： 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $