专题04 圆锥曲线与方程（期中真题汇编，江苏专用）高二数学上学期

**基本信息** 汇集江苏多地高二期中真题，聚焦椭圆、双曲线、抛物线三大考点，通过行星轨道、阿基米德面积公式等情境，融合定义、离心率、几何性质与综合应用，适配期中复习与能力提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择（含多选）|42|椭圆定义/离心率、双曲线渐近线、抛物线焦点|结合行星运行轨道（椭圆）、阿基米德原理（椭圆面积）等情境| |填空|6|椭圆方程、双曲线离心率、抛物线准线|注重概念辨析，如椭圆焦距与参数关系| |解答|14|椭圆与圆综合、双曲线渐近线应用、抛物线切线|强调逻辑推理，如椭圆焦点三角形面积、抛物线焦点弦问题|

专题04 圆锥曲线与方程 3大高频考点概览 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 考点01 椭圆 1．（25-26学年高二上·江苏南通如东县·期中）椭圆的长轴长是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·江苏苏州常熟·期中）已知某太阳系行星运行的轨道是长轴长为，离心率为的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，则该行星到太阳的最大距离是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·江苏南通如东县·期中）地球运行的轨道是长半轴长为 km，离心率为0.02的椭圆，太阳在这个椭圆的一个焦点上，则地球到太阳的最近距离（     ） A.  km B.  km C.  km D.  km 4．（25-26学年高二上·江苏宿迁沭阳县·期中）若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（       ） A. (0，＋∞) B. (0，2) C. (1，＋∞) D. (0，1) 5．（25-26学年高二上·江苏连云港东海县·期中）已知离心率为的椭圆与双曲线的焦点相同，则该椭圆的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·江苏淮安·期中）已知曲线的方程为：，点是曲线上的两个动点，则的最大值为（       ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 7．（25-26学年高二上·江苏淮安·期中）若椭圆的焦距为，则实数的值为（       ） A. 24 B. 9 C. 1 D. 9或1 8．（25-26学年高二上·江苏扬州邗江区·期中）中心为原点，焦点在x轴上，且长轴长与短轴长之比为2：1，焦距为4的椭圆方程为（　　） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·江苏南京·期中）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（　　） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·江苏常州金坛区·期中）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知在平面直角坐标系中，椭圆的面积为，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·江苏期中学·期中）古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到：椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆的中心为原点，焦点，均在轴上，其面积为，若椭圆上一点满足，则椭圆的标准方程为（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·江苏宿迁泗阳县·期中）（多选）动点在左右焦点分别为，的椭圆上，下列结论正确的有（       ） A. 的周长为8 B. 的面积的最大值为 C. 动点，则为定值 D. 线段的长度可以是 13．（25-26学年高二上·江苏宿迁泗阳县·期中）椭圆的离心率的范围为，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高二上·江苏南通如皋·期中）（多选）已知圆锥曲线的离心率为，，分别为曲线的左，右焦点，为曲线上一点，则下列结论正确的是（       ） A.  B. 的周长为12 C. 面积的最大值为4 D. \vec {PF_{1}}\cdot \vec {PF_{2}}的取值范围是 15．（25-26学年高二上·江苏宿迁沭阳县·期中）已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高二上·江苏宿迁沭阳县·期中）已知圆的方程为，直线为圆的切线，记两点到直线的距离分别为，动点满足，，则动点的轨迹方程为（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高二上·江苏连云港灌南县·期中）已知为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点，过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，若等于的最小值的3倍，则C的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高二上·江苏连云港灌南县·期中）（多选）已知椭圆的左､右焦点分别为，过且斜率为的直线与椭圆交于两点.若\vec {AF_{1}}\cdot \vec {AF_{2}}=0，且\left| \vec {AF_{1}}\right| =\left| \vec {AF_{2}}\right|，则下列说法正确的是（       ） A. 椭圆的离心率 B.  C. \vec {AF_{1}}=3\vec {F_{1}B} D. 的面积为 19．（25-26学年高二上·江苏连云港东海县·期中）已知椭圆的左顶点为，动点与点的距离是它与坐标原点距离的倍，则与椭圆上点的距离最大值为（     ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年高二上·江苏淮安·期中）（多选）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经该椭圆反射后，反射光线经过另一个焦点.已知椭圆的左､右焦点分别为，且，一条光线从出发，经过椭圆的若干次反射，第二次经过点时光线走过的路程为，则该椭圆的离心率可能为（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年高二上·江苏扬州邗江区·期中）（多选）椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，则（     ） A. 的最大值为2 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆上存在点，使得\vec {PF_{1}}\cdot \vec {PF_{2}}=0 D. 的最小值为2 22．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆，直线不经过点，且斜率为.若与交于两个不同点且直线的倾斜角分别为，则（       ） A. 1 B.  C.  D.  23．（25-26学年高二上·江苏常州金坛区·期中）已知为椭圆的右焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最大值为（       ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 24．（25-26学年高二上·江苏连云港灌云县·期中）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，且．若，则C的离心率的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年高二上·江苏连云港灌云县·期中）一动圆与圆外切，与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是（     ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 26．（25-26学年高二上·江苏宿迁泗阳县·期中）（多选）已知圆，直线，为实数，则（       ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆有两个交点 C. 圆心到直线的距离的最大值为 D. ，分别是圆和椭圆上的动点，则的最大值为 27．（25-26学年高二上·江苏南通如皋·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与在第一象限相交于点．若直线的斜率为，的面积为4，则椭圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  28．（25-26学年高二上·江苏宿迁沭阳县·期中）（多选）已知椭圆的左、右顶点分别为，，左、右焦点为，，为椭圆上异于，的一点，过点且垂直于轴的直线与椭圆的另一个交点为，则（          ） A. 存在点，使 B. 的最大值为4 C. \overline{F_{1}M}\cdot \vec {F_{1}N}的最小值为 D. 当点在椭圆上运动时，的内心的轨迹方程为 29．（25-26学年高二上·江苏连云港海州区·期中）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，抛物线：（），椭圆与抛物线相交于不同的两点A，B，且四边形的外接圆直径为，若，则椭圆的离心率的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  30．（25-26学年高二上·江苏常州金坛区·期中）（多选）2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆.返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点.若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则（       ） A. 椭圆的离心率为 B. 线段长度的取值范围是 C. 面积的最小值是2 D. 的周长为 31．（25-26学年高二上·江苏期中学·期中）（多选）已知左、右焦点分别为，的椭圆上有一动点（异于长轴端点，），则下列说法正确的是（     ） A. 的取值范围为 B. 射线与椭圆交于点，则的最小值为 C. 椭圆上存在4个不同的点，使得为直角三角形 D. 直线，的斜率之积为 32．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）焦点在x轴上，焦距等于4，并且经过的椭圆的标准方程为　　　　　　． 33．（25-26学年高二上·江苏苏州常熟·期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　. 34．（25-26学年高二上·江苏连云港赣榆区·期中）已知椭圆的两个焦点为，短轴长为，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）请结合距离公式证明：． 35．（25-26学年高二上·江苏连云港海州区·期中）已知，方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是　　　　　　　　． 36．（25-26学年高二上·江苏南京·期中）已知椭圆的左、右顶点分别为．若过点且斜率为的直线与交于另一点，则的面积为　　　　　　　　　　　． 37．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程. 38．（25-26学年高二上·江苏苏州常熟·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为4，过的直线交椭圆于，两点，的周长是. （1）求的方程； （2）若内切圆的半径为，求的方程. 39．（25-26学年高二上·江苏南通如东县·期中）若椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，． （1）求椭圆的方程； （2）若椭圆上的点满足，求的面积； （3）已知点，延长交椭圆于点，求点的坐标． 40．（25-26学年高二上·江苏宿迁泗阳县·期中）椭圆的一个焦点坐标为，短轴长为2，则椭圆的离心率为　　　　　　　　　　　　. 41．（25-26学年高二上·江苏南通如皋·期中）已知点，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，记点的轨迹方程为曲线． （1）求曲线的方程； （2）直线与曲线交于，两点，求线段的长． 42．（25-26学年高二上·江苏宿迁沭阳县·期中）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，． （1）求的方程； （2）设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：． 43．（25-26学年高二上·江苏连云港赣榆区·期中）已知椭圆，过点的直线与椭圆交于两点，以线段，为邻边作平行四边形（为坐标原点），若点在椭圆上，则直线的斜率为　　　　　　　　　　． 44．（25-26学年高二上·江苏扬州邗江区·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为　　　　　　. 45．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）如图，圆是圆内一个定点，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）设曲线与轴从左到右的交点为点，点为曲线上异于的动点，设交直线于点，连结交曲线于点，直线的斜率分别为． （ⅰ）求证：为定值； （ⅱ）证明：直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标． 46．（25-26学年高二上·江苏常州金坛区·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点，动点满足：直线与直线的斜率之积是. （1）求动点的轨迹的方程； （2）直线与（1）中轨迹相交于两点，且为的中点，求弦长. 47．（25-26学年高二上·江苏宿迁泗阳县·期中）已知椭圆的上顶点为，点为椭圆的右焦点，点在椭圆上，（为坐标原点）. （1）求的方程； （2）过点作直线交于，两点，为坐标原点. ①若4\vec {OB}=3\vec {OA}+\vec {OM}，求直线的斜率； ②若点为线段的中点，过点作直线的垂线，垂足为，设直线的斜率为，直线的斜率为，证明：. 48．（25-26学年高二上·江苏南通如皋·期中）从椭圆上一点引出以短轴为直径的圆的两条切线，切点分别为，，直线与轴、轴分别相交于点，，则　　　　　　． 49．（25-26学年高二上·江苏宿迁沭阳县·期中）已知曲线上任意一点满足. （1）求曲线的方程； （2）曲线上三个不同的动点P，E，F满足PE与PF的倾斜角互补，且P不与曲线的顶点重合，过点P且垂直于x轴的直线与曲线的另一个交点为Q，记线段EF的中点为H，O为坐标原点，求证：Q，H，O三点共线. 50．（25-26学年高二上·江苏宿迁沭阳县·期中）过椭圆的中心的直线分别交椭圆于、两点，的垂直平分线交椭圆于点，过点分别作于，于，则四边形的面积的取值范围为　　　　　　 51．（25-26学年高二上·江苏连云港灌南县·期中）已知椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点，若设且则椭圆离心率的取值范围是　 　. 52．（25-26学年高二上·江苏连云港灌南县·期中）在平面直角坐标系中，斜率为且不过原点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点. （1）求的最小值. （2）若， ①求证：直线过定点；并写出该定点坐标. ②点能否关于轴对称？若能，求出此时外接圆的方程；若不能，请说明理由. 53．（25-26学年高二上·江苏连云港东海县·期中）已知点，分别为椭圆的左、右焦点，点，在椭圆上．若\vec {F_{1}A}=3\vec {F_{2}B}，则\left| \vec {F_{1}A}\right| =　　　　　　 54．（25-26学年高二上·江苏连云港东海县·期中）在直角坐标系中，椭圆的左，右顶点分别为，点为椭圆上异于的一个动点，直线分别与直线相交于两点，以为直径的圆与轴交于两点．直线与直线斜率分别记为，． （1）求证：为定值； （2）求四边形面积的最小值． 55．（25-26学年高二上·江苏淮安·期中）已知圆的圆心为，圆的圆心为，动圆与圆外切，与圆内切，记动圆圆心的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）从曲线上一点向圆引切线，为切点，为坐标原点，且，求的面积． 56．（25-26学年高二上·江苏淮安·期中）如图，在平面直角坐标系中，设点是椭圆C：上一点，从原点O向圆作两条切线，分别与椭圆C交于点，直线的斜率分别记为.    （1）若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程； （2）若，求证：； （3）在（2）的情况下，求的最大值. 57．（25-26学年高二上·江苏扬州邗江区·期中）如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. （1）求椭圆的方程； （2）若，求MN的方程； （3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 58．（25-26学年高二上·江苏连云港海州区·期中）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分. 59．（25-26学年高二上·江苏期中学·期中）椭圆：的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，且，若内切圆的半径，则椭圆的离心率为　　　　　　　　. 60．（25-26学年高二上·江苏期中学·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，射线与椭圆交于点，的周长为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线过点且与椭圆只有一个公共点，求直线的方程； （3）过点作斜率为，的两条直线分别与椭圆交于，两点，且，证明：直线过定点. 61．（25-26学年高二上·江苏连云港灌云县·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，M为C上任意一点，N为圆上任意一点，则的最小值为　　　　　　　　　　． 62．（25-26学年高二上·江苏连云港灌云县·期中）已知椭圆的左、右顶点为，，焦距为.为坐标原点，过点、的圆交直线于、两点，直线、分别交椭圆于、. （1）求椭圆的方程； （2）记直线，的斜率分别为、，求的值； （3）证明：直线过定点，并求该定点坐标. 63．（25-26学年高二上·江苏南京·期中）已知为坐标原点，椭圆过点，离心率为．过点且与坐标轴不垂直的直线交于点． （1）求的方程； （2）当时，求的方程； （3）设直线与直线交于点，记直线，的斜率分别为，试探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 考点02 双曲线 1．（25-26学年高二上·江苏连云港赣榆区·期中）双曲线的渐近线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·江苏扬州邗江区·期中）双曲线的渐近线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·江苏南通如东县·期中）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·江苏宿迁泗阳县·期中）若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则双曲线的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·江苏南通如皋·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（       ） A.  B. 2 C.  D.  6．（25-26学年高二上·江苏连云港灌南县·期中）若双曲线C：的一条渐近线平行于直线，则C的虚轴长为（       ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 7．（25-26学年高二上·江苏连云港灌南县·期中）已知双曲线的焦距为6，则实数等于（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）（多选）已知曲线，下列说法正确的是（       ） A. 若，则曲线C为椭圆 B. 若，则曲线C为双曲线 C. 若曲线C为椭圆，则其长轴长一定大于2 D. 若曲线C为焦点在x轴上的双曲线，则其离心率小于大于1 9．（25-26学年高二上·江苏常州金坛区·期中）双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于6，则它到另一个焦点的距离为（       ） A. 2 B. 4 C. 9 D. 14 10．（25-26学年高二上·江苏常州金坛区·期中）若圆锥曲线的离心率为，则实数的值为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·江苏连云港灌云县·期中）曲线与直线的公共点的个数为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·江苏连云港灌云县·期中）（多选）已知双曲线过点且渐近线方程为，则下列结论正确的是（       ） A. 双曲线的方程为 B. 双曲线的离心率为 C. 曲线经过双曲线的一个焦点 D. 焦点到渐近线的距离为1 13．（25-26学年高二上·江苏南通如东县·期中）已知双曲线的左顶点为，直线与双曲线交于点，，若直线与的斜率之积是，则双曲线的离心率是（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高二上·江苏宿迁泗阳县·期中）双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与轴相交于点，与双曲线在第一象限内的交点为，若，，则双曲线的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高二上·江苏连云港东海县·期中）已知、为双曲线（，）上关于坐标原点对称的两点，点为双曲线的右焦点，且，，则双曲线的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高二上·江苏连云港赣榆区·期中）已知是双曲线右支上的一点，是的右焦点，点关于原点的对称点为，延长交于点，且\vec {MF}\cdot \vec {FN}=0,\frac{\left| MF\right| }{\left| FN\right| }=3，则的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高二上·江苏淮安·期中）（多选）已知，关于曲线，下列说法正确的是（       ） A. 曲线可能是直线 B. 曲线可能是椭圆 C. 曲线可能是圆 D. 曲线可能是双曲线 18．（25-26学年高二上·江苏扬州邗江区·期中）从某个角度观察篮球（如图1）可以得到一个对称的平面图形（如图2），篮球的外轮廓为圆，将篮球的表面粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，且，则该双曲线的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高二上·江苏连云港海州区·期中）若双曲线的焦距为4，直线与交于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（     ） A.  B.  C. 1 D. 2 20．（25-26学年高二上·江苏连云港海州区·期中）（多选）已知双曲线左，右焦点分别为，过的直线交双曲线的右支于两点，在第一象限，在第四象限，则（       ） A. 该双曲线的渐近线方程为 B. 若\vec {PF_{1}}\cdot \vec {PF_{2}}\leq 0，则到轴的最大距离为 C. 若，则的周长为20 D. 点到两条渐近线的距离之积为 21．（25-26学年高二上·江苏南京·期中）（多选）已知点，动点满足：，记点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（　　） A. 曲线的方程为 B. 曲线与直线没有公共点 C. 点到点距离的最小值为 D. 过点且倾斜角为45°的直线与交于两点，则的周长为 22．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）双曲线两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率e为（     ） A.  B. 2 C.  D.  23．（25-26学年高二上·江苏期中学·期中）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，是双曲线的一个顶点.以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，且，则双曲线的渐近线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年高二上·江苏连云港灌云县·期中）已知、是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则双曲线C的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年高二上·江苏连云港东海县·期中）（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上异于顶点的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为、，则下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D. 内切圆的圆心在直线上 26．（25-26学年高二上·江苏淮安·期中）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  27．（25-26学年高二上·江苏南京·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，点是右支上一点，．若点到直线的距离为，则的离心率为（　　） A.  B.  C. 2 D.  28．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）（多选）已知点，曲线，则下列说法正确的是（       ） A. 曲线上存在点，使得 B. 直线与曲线没有交点 C. 若过点的直线与曲线有三个不同的交点，则直线的斜率的取值范围是 D. 点是曲线上在第三象限内的一点，过点向直线与直线作垂线，垂足分别为，则 29．（25-26学年高二上·江苏期中学·期中）（多选）高邮融合历史与现代，将“好事成双”提炼为文旅品牌.邮城一位数学老师设计了“双核”曲线，其方程为.对于曲线，下列说法正确的是（     ） A. 当且仅当时，直线与曲线有唯一公共点 B. 曲线上存在唯一的点，使得点到与到的距离之差为8 C. 曲线所围成的封闭曲线面积小于 D. 若曲线上恰好存在4个不同点到直线的距离为1，则实数的取值范围为 30．（25-26学年高二上·江苏连云港赣榆区·期中）若方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为　　　　　　　　　　． 31．（25-26学年高二上·江苏连云港赣榆区·期中）已知双曲线的右顶点为，实轴长为4，过双曲线的左焦点作直线，当直线与轴垂直时，直线与双曲线的两个交点分别为，此时为等腰直角三角形． （1）求双曲线的标准方程； （2）当直线与双曲线的渐近线平行时，求直线与双曲线的交点坐标． 32．（25-26学年高二上·江苏期中学·期中）与双曲线：有相同焦点，且过点的双曲线的标准方程为　　　　　　　　. 33．（25-26学年高二上·江苏南通如东县·期中）在平面直角坐标系中，已知双曲线C的中心为坐标原点，焦点，在坐标轴上，且过点和．过点的直线与C的交于M，N两点． （1）求双曲线C的标准方程； （2）若，求； （3）证明：． 34．（25-26学年高二上·江苏宿迁泗阳县·期中）设双曲线的半焦距为，直线过，两点，原点到直线的距离为. （1）求双曲线的离心率； （2）点在双曲线上，直线与双曲线相交于，两点，请问是否存在以为直径的圆经过坐标原点，若存在请说明理由，并求出实数的值. 35．（25-26学年高二上·江苏淮安·期中）已知是双曲线的左､右焦点，点是左支上的一点，若为等腰三角形，且，则双曲线的离心率为　　　　　　　　　　. 36．（25-26学年高二上·江苏淮安·期中）已知双曲线的焦点为，且双曲线上的点到两个焦点距离之差的绝对值为2. （1）求双曲线的标准方程； （2）若直线与双曲线相交于两点，且，求实数的值. 37．（25-26学年高二上·江苏扬州邗江区·期中）已知双曲线：的离心率为，实轴长为4. （1）求双曲线的方程； （2）若直线：与C的右支交于A，B两点，为坐标原点. （i）求的取值范围； （ⅱ）若直线与轴交于点，且，求的面积. 38．（25-26学年高二上·江苏连云港海州区·期中）已知为双曲线的左焦点，过点作直线与双曲线左支交于，两点，点是双曲线上点关于原点的对称点.若以为直径的圆过点，且，则双曲线的离心率为　　　　　. 39．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）已知点，双曲线的左顶点为，左､右焦点分别为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直. （1）求双曲线的离心率； （2）设点在双曲线上，且\vec {MF_{1}}\cdot \vec {MF_{2}}=0，求点到轴的距离； （3）过且斜率为的直线与双曲线交于两点，求线段的长度. 40．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的最大值为　　　　　　　　　　． 41．（25-26学年高二上·江苏南通如皋·期中）已知双曲线：的实轴长为2，离心率为2，，分别为左，右顶点，，分别为左，右焦点． （1）求双曲线的方程； （2）若过的直线与双曲线右支交于，两点，直线与直线交于点． ①证明：点在定直线上； ②若，求直线的方程． 42．（25-26学年高二上·江苏连云港东海县·期中）已知双曲线（，）的左焦点到渐近线的距离为，焦距为4，右顶点为，为上一点，且直线的斜率为． （1）求双曲线的标准方程； （2）过点的直线与双曲线相切于点，求证：平分． 43．（25-26学年高二上·江苏连云港海州区·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为. （1）求双曲线的方程； （2）过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点． （i）记直线，的斜率分别为，，证明：是定值； （ii）设G为直线和的交点，记，的面积分别为，，求的最小值． 44．（25-26学年高二上·江苏常州金坛区·期中）已知双曲线的中心点为，其中为左､右焦点，，为左､右顶点，且离心率为上一动点. （1）求证：； （2）设直线的斜率分别为，求证：为定值； （3）若双曲线的顶点为和，且的最大内角为120°，求点的坐标. 45．（25-26学年高二上·江苏常州金坛区·期中）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是　　　　　　　　　　. 46．（25-26学年高二上·江苏期中学·期中）已知双曲线：，过右焦点作直线交双曲线的右支于，两点，交两条渐近线于，两点，点，在第一象限，为坐标原点. （1）证明：点到两条渐近线的距离之积为定值； （2）求面积的最小值； （3）记，，的面积分别为，，，求的取值范围. 47．（25-26学年高二上·江苏连云港灌南县·期中）已知双曲线的离心率为，且双曲线的一个焦点到其一条渐近线的距离为1. （1）求双曲线的方程； （2）设点为双曲线的左顶点，过点的直线与的右支交于两点，且直线与轴分别交于两点，记四边形的面积为，三角形面积为，求的取值范围. 48．（25-26学年高二上·江苏连云港灌云县·期中）平面直角坐标系中，为动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限，且，记动点的轨迹为. （1）求的方程； （2）已知点，，设点与点关于原点对称，的角平分线为直线，过点作的垂线，垂足为，交于另一点，求的最大值. 考点03 抛物线 1．（25-26学年高二上·江苏南通如皋·期中）抛物线的焦点到准线的距离为（       ） A.  B. 1 C. 2 D. 4 2．（25-26学年高二上·江苏连云港东海县·期中）设抛物线：的焦点为，点在上，则（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）抛物线的焦点是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·江苏连云港灌云县·期中）抛物线的焦点到准线的距离是（       ）. A.  B.  C. 2 D. 4 5．（25-26学年高二上·江苏连云港灌南县·期中）已知抛物线方程，则该抛物线的焦点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·江苏连云港赣榆区·期中）有一抛物线形拱桥，当水面离拱顶2米时，水面宽8米．若水面下降1米，水面宽度增加了（       ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 4米 7．（25-26学年高二上·江苏连云港海州区·期中）抛物线方程为，则此抛物线的准线为（　　） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·江苏南通如东县·期中）已知圆，直线，则与直线相切且与圆外切的圆的圆心的轨迹方程是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·江苏南通如东县·期中）（多选）设为坐标原点，过抛物线的焦点作斜率为的直线与交于、两点，为的准线，、在直线上的射影分别为，.则 （     ） A.  B. 的面积是 C. 直线与以为直径的圆相切 D. 是直角三角形 10．（25-26学年高二上·江苏连云港东海县·期中）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，，为上两点，．则的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·江苏扬州邗江区·期中）已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在抛物线C上，垂直l于点Q，与y轴交于点T，O为坐标原点，且，则（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12．（25-26学年高二上·江苏连云港海州区·期中）（多选）下列说法中，正确的命题是（       ） A. “”是“直线与直线平行”的充要条件 B. 圆圆外切 C. 抛物线上一点到其焦点距离为2 D. 双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为 13．（25-26学年高二上·江苏连云港海州区·期中）（多选）过抛物线：（）的焦点的直线交于，两点，其中是的中点，点到轴的距离的最小值为，为坐标原点，则下列命题正确的是（     ） A.  B.  C.  D. 点的轨迹方程是 14．（25-26学年高二上·江苏南京·期中）若直线与抛物线：交于，两点，且线段中点的横坐标为2，则直线的斜率为（　　） A. -1 B.  C. 1 D. 2 15．（25-26学年高二上·江苏连云港灌云县·期中）设抛物线的焦点为F，斜率不为0的直线l过点，过F作l的垂线，垂足为P，Q是C上的一个动点，则的最小值为（       ） A.  B. 6 C.  D. 7 16．（25-26学年高二上·江苏连云港赣榆区·期中）（多选）已知抛物线的焦点为，准线过点，直线与交于两点，弦的中点为，过分别作准线的垂线，垂足分别为，则（       ） A.  B. 若点在抛物线上，则点到准线的距离为3 C. 若直线过焦点，则 D. 若的面积是的面积的2倍，则点的轨迹方程为 17．（25-26学年高二上·江苏常州金坛区·期中）（多选）已知抛物线的焦点为为其上一动点，则（       ） A. 当时， B. 当时，抛物线在点处的切线方程为 C. 以为圆心且与轴相切的圆与抛物线有且只有一个公共点 D. 经点发出平行于轴的光线经过抛物线上点反射穿过焦点后交抛物线于点 ，则的面积为 18．（25-26学年高二上·江苏连云港灌云县·期中）（多选）拋物线的焦点为，过的直线交拋物线于两点，点在拋物线上，则下列结论中正确的是（       ） A. 若，则的最小值为4 B. 当\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}时， C. 若，则的取值范围为 D. 在直线上存在点，使得 19．（25-26学年高二上·江苏连云港灌南县·期中）已知抛物线的焦点为F，点F到抛物线准线距离为4． （1）求抛物线E的标准方程； （2）已知的三个顶点都在抛物线E上，顶点，重心恰好是抛物线E的焦点F．求所在的直线方程． 20．（25-26学年高二上·江苏扬州邗江区·期中）抛物线过点，则点P到抛物线准线的距离为　　　　　　　　　　　． 21．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）（1）已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，求抛物线的方程； （2）求与双曲线有公共渐近线，且经过点的双曲线的标准方程． 22．（25-26学年高二上·江苏南通如皋·期中）过定点的直线与圆交于，两点，，点为抛物线上一动点． （1）求直线的方程； （2）设为圆上一点，求的最小值． 23．（25-26学年高二上·江苏扬州邗江区·期中）已知点是抛物线C：上的点，F为抛物线的焦点，且，过焦点F的直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B. （1）求抛物线C的方程； （2）若，求直线l的斜率. 24．（25-26学年高二上·江苏连云港海州区·期中）已知抛物线的焦点是椭圆的一个顶点.直线与交于，两点，且点为线段的中点. （1）求抛物线的标准方程； （2）若为坐标原点，求的面积. 25．（25-26学年高二上·江苏南京·期中）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，准线为是上的动点．当轴时，的面积为1． （1）求的方程； （2）设过且与直线垂直的直线交于点（不在轴上），直线交轴于点，记． ①求的值； ②证明：平分． 26．（25-26学年高二上·江苏连云港灌云县·期中）已知抛物线和圆，倾斜角为45°的直线过的焦点且与相切． （1）求p的值： （2）点M在的准线上，动点A在上，在A点处的切线l2交y轴于点B，设\vec {MN}=\vec {MA}+\vec {MB}，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程． 27．（25-26学年高二上·江苏连云港灌云县·期中）已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，于点．若是锐角三角形，则的取值范围是　　　　　　． 28．（25-26学年高二上·江苏南通如东县·期中）早在一千多年之前，我国已经把溢流孔用于造桥技术，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击．现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔的轮廓线均为抛物线的一部分，且4个溢流孔的轮廓线相同．结合下图，根据图上尺寸，建立平面直角坐标系，则桥拱的轮廓线所在的抛物线方程为　　　　　　　　　　　　　　　，B，C两点的横坐标之差为　　　　　　　　　　　　　　　． 29．（25-26学年高二上·江苏南通如东县·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，．连接，并延长，分别交抛物线于点，，且． （1）求的值； （2）求面积的最小值； （3）求证：直线过定点． 30．（25-26学年高二上·江苏连云港东海县·期中）在直角坐标系中，点到直线的距离比到点的距离大1，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）过的直线交曲线于两点，过与直线垂直的直线交曲线于，两点，其中在轴上方，，分别为，的中点． 求证：（ⅰ）直线过定点； （ⅱ）直线，的交点在定直线上． 31．（25-26学年高二上·江苏连云港赣榆区·期中）已知抛物线的顶点到焦点的距离为，点，过点的直线与抛物线交于两点，直线与抛物线的另一交点分别为．记的面积分别为． （1）求抛物线的方程； （2）若过原点的一条直线与圆相切，且与抛物线的另一交点为，求的值； （3）请问是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由． 32．（25-26学年高二上·江苏常州金坛区·期中）已知抛物线上存在不同的两点（异于原点）. （1）若且，求直线的方程； （2）若以为直径的圆经过原点，求线段的最小值. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆锥曲线与方程 3大高频考点概览 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 考点01 椭圆 1．（25-26学年高二上·江苏南通如东县·期中）椭圆的长轴长是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 求出的值，即可得出椭圆的长轴长. 【详解】 椭圆的标准方程为，则，故椭圆的长轴长为. 故选：D. 2．（25-26学年高二上·江苏苏州常熟·期中）已知某太阳系行星运行的轨道是长轴长为，离心率为的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，则该行星到太阳的最大距离是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先由椭圆的定义得到，再由椭圆的性质得到最大距离即可. 【详解】 由椭圆的定义可知， 离心率， 因为太阳在这个椭圆的一个焦点上， 则该行星到太阳的最大距离是. 故选：B. 3．（25-26学年高二上·江苏南通如东县·期中）地球运行的轨道是长半轴长为 km，离心率为0.02的椭圆，太阳在这个椭圆的一个焦点上，则地球到太阳的最近距离（     ） A.  km B.  km C.  km D.  km 【答案】A 【分析】 由题意求出，得到，得到答案. 【详解】 由题意得，由离心率可得， 所以，则地球到太阳的最近距离为 km. 故选：A 4．（25-26学年高二上·江苏宿迁沭阳县·期中）若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（       ） A. (0，＋∞) B. (0，2) C. (1，＋∞) D. (0，1) 【答案】D 【分析】 要利用条件椭圆焦点在轴上，应将椭圆的方程化为标准方程，由椭圆的焦点在轴上，可得，进而可解得实数的取值范围． 【详解】 因为方程，即 表示焦点在轴上的椭圆， 所以 ，即 ， 所以实数的取值范围是． 故选：D． 【点睛】 本题考查椭圆的标准方程，要判断椭圆焦点的位置，应将椭圆的方程化为标准方程．对于椭圆，① 表示焦点在x轴上的椭圆；② 表示焦点在y轴上的椭圆．；③ 表示椭圆． 【详解】 5．（25-26学年高二上·江苏连云港东海县·期中）已知离心率为的椭圆与双曲线的焦点相同，则该椭圆的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由题意设椭圆的方程为：，利用离心率为得，进而得，利用椭圆与双曲线的焦点相同即可求解. 【详解】 由题意设椭圆的方程为：， 所以，又， 又由椭圆与双曲线的焦点相同， 所以， 所以， 所以椭圆的方程为：， 故选：A. 6．（25-26学年高二上·江苏淮安·期中）已知曲线的方程为：，点是曲线上的两个动点，则的最大值为（       ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【分析】 利用椭圆定义及其性质计算即可得. 【详解】 由， 可得点到与的距离之和为，又， 由椭圆定义可知，曲线为以、为焦点，为长轴长的椭圆， 由椭圆中长轴为最长弦，故的最大值为. 故选：C. 7．（25-26学年高二上·江苏淮安·期中）若椭圆的焦距为，则实数的值为（       ） A. 24 B. 9 C. 1 D. 9或1 【答案】B 【分析】 由椭圆定义可得范围，再利用焦距定义分类讨论即可得. 【详解】 由题意可得 ，即或； 当时，有，解得； 当时，有，解得，不符，故舍去， 综上可得. 故选：B. 8．（25-26学年高二上·江苏扬州邗江区·期中）中心为原点，焦点在x轴上，且长轴长与短轴长之比为2：1，焦距为4的椭圆方程为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据长短轴的比值可得，再由以及，可求得椭圆方程. 【详解】 由题意可得，即， 又，即， 联立并代入可得， 解得 所以椭圆方程为. 故选：B 9．（25-26学年高二上·江苏南京·期中）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据焦点在轴上的椭圆标准方程的特征，可得到关于的不等式，即可求得结果. 【详解】 根据题意，方程表示焦点在轴上的椭圆. 则必有 ，解可得：. 即m的取值范围是. 故选：A. 10．（25-26学年高二上·江苏常州金坛区·期中）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知在平面直角坐标系中，椭圆的面积为，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由椭圆面积公式求得关于的关系式，结合等边三角形性质可得的基本关系，联立方程即可求解. 【详解】 由椭圆面积公式可得，当时，① ，如图，当为等边三角形时，② ，联立① ② 得：，故椭圆的方程为. 故选：B 11．（25-26学年高二上·江苏期中学·期中）古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到：椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆的中心为原点，焦点，均在轴上，其面积为，若椭圆上一点满足，则椭圆的标准方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先根据焦点位置确定椭圆标准方程形式，再利用椭圆定义求，结合面积公式求，进而得到标准方程. 【详解】 因为椭圆的中心为原点，焦点均在轴上，故其标准方程为. 由椭圆定义，，得. 又椭圆面积为，由题知，即，解得， 故，， 因此椭圆的标准方程为. 故选：D 12．（25-26学年高二上·江苏宿迁泗阳县·期中）（多选）动点在左右焦点分别为，的椭圆上，下列结论正确的有（       ） A. 的周长为8 B. 的面积的最大值为 C. 动点，则为定值 D. 线段的长度可以是 【答案】BCD 【分析】 根据椭圆的定义可判断A，当为短轴顶点时可判断B，由两点间距离公式结合点满足椭圆方程可判断C；根据的取值范围可判断D. 【详解】 由题意，因为，所以的周长为，故A错误； 当为短轴顶点时，的面积的最大值为，故B正确. ，由点在椭圆上可得，若动点， 则，所以，故C正确； 因为，所以线段的长度可以是 . 故选：BCD 13．（25-26学年高二上·江苏宿迁泗阳县·期中）椭圆的离心率的范围为，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 对分类讨论，确定焦点的位置，求椭圆的离心率，从而可求实数的取值范围. 【详解】 由椭圆方程， 当时，椭圆焦点在轴上，，，， 所以，解得； 当时，椭圆焦点在轴上，，，， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 故选：D. 14．（25-26学年高二上·江苏南通如皋·期中）（多选）已知圆锥曲线的离心率为，，分别为曲线的左，右焦点，为曲线上一点，则下列结论正确的是（       ） A.  B. 的周长为12 C. 面积的最大值为4 D. \vec {PF_{1}}\cdot \vec {PF_{2}}的取值范围是 【答案】ABD 【分析】 由曲线的轨迹为椭圆，得到，求得，可判定A正确；根据椭圆的定义，求得的周长，可判定B正确；根据，结合椭圆的性质，可判定C错误；设点的坐标为，求得\vec {PF_{1}}\cdot \vec {PF_{2}}=\frac{1}{4}m^{2}+8，结合椭圆的性质，可判定D正确. 【详解】 对于A,由圆锥曲线的离心率为，则曲线的轨迹为椭圆， 可得，则， 则可得，解得，，所以A正确； 对于B，由A得椭圆的方程为，可得， 又由椭圆的定义，可得的周长为，所以B正确； 对于 C，由面积为，因为， 所以当点为短轴的端点时，面积取得最大值， 可得面积的最大值为，所以C错误； 对于D，设点的坐标为，其中，则，所以， 因为，可得\vec {PF_{1}}=\left(-2-m,-n\right),\vec {PF_{2}}=\left(2-m,-n\right)， 则\vec {PF_{1}}\cdot \vec {PF_{2}}=\left(-2-m,-n\right)\cdot \left(2-m,-n\right)=m^{2}+n^{2}-4=\frac{1}{4}m^{2}+8， 因为，可得，即\vec {PF_{1}}\cdot \vec {PF_{2}}取值范围为，所以D正确. 故选：ABD. 15．（25-26学年高二上·江苏宿迁沭阳县·期中）已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 A.  B.  C.  D.  【答案】C 【详解】设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为．因为\vec {MF_{1}}\cdot \vec {MF_{2}}=0所以点M的轨迹为以原点为圆心，半径为的圆．与因为点M在椭圆的内部，所以，所以，所以 ，所以 ，故选C． 【点睛】求离心率的值或范围就是找的值或关系．由\vec {MF_{1}}\cdot \vec {MF_{2}}=0想到点M的轨迹为以原点为圆心，半径为的圆．再由点M在椭圆的内部，可得，因为 ．所以由得，由关系求离心率的范围． 16．（25-26学年高二上·江苏宿迁沭阳县·期中）已知圆的方程为，直线为圆的切线，记两点到直线的距离分别为，动点满足，，则动点的轨迹方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由图可得，即，所以动点的轨迹为椭圆，设椭圆的标准方程，求出其中的参数即可得到动点的轨迹方程. 【详解】 如图，分别过点做直线的垂线，垂足分别为， 则，，切点为    因为，所以是的中点，, 所以是梯形的中位线，所以， 又因为圆的方程为，， 所以，所以， 即， 所以动点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 设椭圆的方程为， 则， 所以，， 所以动点的轨迹方程为. 故选：B 17．（25-26学年高二上·江苏连云港灌南县·期中）已知为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点，过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，若等于的最小值的3倍，则C的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据椭圆的性质以及通径，可得，，再根据已知列式，结合椭圆的关系，求出离心率即可. 【详解】 为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点， 由椭圆的性质，可得. 过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点， . 等于的最小值的3倍， . 椭圆中， ，即， 则. ， ，解得或（舍）. 故选：B. 18．（25-26学年高二上·江苏连云港灌南县·期中）（多选）已知椭圆的左､右焦点分别为，过且斜率为的直线与椭圆交于两点.若\vec {AF_{1}}\cdot \vec {AF_{2}}=0，且\left| \vec {AF_{1}}\right| =\left| \vec {AF_{2}}\right|，则下列说法正确的是（       ） A. 椭圆的离心率 B.  C. \vec {AF_{1}}=3\vec {F_{1}B} D. 的面积为 【答案】AC 【分析】 根据题意，得到点为椭圆短轴的端点，且，在直角中，结合勾股定理，得到即，可得判定A正确；根据点为椭圆短轴的上端点或下端点，取得直线的斜率，可得判定B错误；不妨设为椭圆短轴的上端点是，得到直线的方程，联立方程组，求得，可判定C正确；结合，可判定D不正确. 【详解】 对于A，因为\left| \vec {AF_{1}}\right| =\left| \vec {AF_{2}}\right|，则点为椭圆短轴的端点， 又因为\vec {AF_{1}}\cdot \vec {AF_{2}}=0，可得\vec {AF_{1}}\bot \vec {AF_{2}}，即， 在直角中，，可得， 即，可得，所以A正确； 对于B，当为椭圆短轴的上端点是，由，且， 可得，所以直线的斜率为； 当当为椭圆短轴的上端点是，由，且， 可得，所以直线的斜率为， 综上可得，直线的斜率为，所以B错误； 对于C，不妨设为椭圆短轴的上端点是，即， 此时直线的斜率为，直线的方程为， 联立方程组 ，可得， 设，则，所以， 因为，可得，所以， 所以\frac{\left| \vec {AF_{1}}\right| }{\left| \vec {F_{1}B}\right| }=\frac{\left| x_{{F_{1}}}-x_{A}\right| }{\left| x_{B}-x_{{F_{1}}}\right| }=\frac{\left| c-0\right| }{\left| -\frac{4}{3}b+c\right| }=\frac{c}{\frac{c}{3}}=3，所以\vec {AF_{1}}=3\vec {F_{1}B}，所以C正确； 对于D，由的面积为， 又由，所以D不正确. 故选：AC. 19．（25-26学年高二上·江苏连云港东海县·期中）已知椭圆的左顶点为，动点与点的距离是它与坐标原点距离的倍，则与椭圆上点的距离最大值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据列等式得到动点的轨迹方程，然后结合几何知识得到当在延长线于圆的交点时距离最大，然后计算的最大值即可. 【详解】    由题意得，设， ，即，所以， 整理得， 所以动点在圆心，半径的圆上， 由题意可知，与椭圆上点距离最大时，椭圆上的点要在圆外，设这个点为， 此时最大值 ，所以当最大时最大， 设，则，， 所以当时最大，为， 所以. 故选：D. 20．（25-26学年高二上·江苏淮安·期中）（多选）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经该椭圆反射后，反射光线经过另一个焦点.已知椭圆的左､右焦点分别为，且，一条光线从出发，经过椭圆的若干次反射，第二次经过点时光线走过的路程为，则该椭圆的离心率可能为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】ABD 【分析】 根据椭圆长轴与短轴以及其定义，可得答案. 【详解】 设椭圆的长轴长为； 若光线从沿长轴向左射出，则第二次经过时， 光走过的路程为，所以， 即，故； 若光线从沿长轴向右射出，则第二次经过时， 光走过的路程为，所以， 即，故； 若光线从沿其他方向射出，则第二次经过时， 光走过的路程为，所以，故.    故选：ABD. 21．（25-26学年高二上·江苏扬州邗江区·期中）（多选）椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，则（     ） A. 的最大值为2 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆上存在点，使得\vec {PF_{1}}\cdot \vec {PF_{2}}=0 D. 的最小值为2 【答案】ACD 【分析】 由椭圆的定义，得到，结合基本不等式，可判定A正确；利用离心率的定义，可判定B错误；取椭圆的上顶点，利用向量的数量积的坐标计算公式，可判定C正确；设，求得，结合二次函数的性质，可判定D正确. 【详解】 由椭圆，可得，则， 对于A，点是椭圆上一点，则， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为，所以A正确； 对于B，由椭圆离心率的定义，可得，所以B不正确； 对于C，取椭圆的上顶点，且， 可得\vec {PF_{1}}=\left(-1,-1\right),\vec {PF_{2}}=\left(1,-1\right)，则\vec {PF_{1}}\cdot \vec {PF_{2}}=1-1=0， 所以椭圆存在点，使得\vec {PF_{1}}\cdot \vec {PF_{2}}=0，所以C正确； 对于D中，由椭圆，可得，且， 设，其中，则， 所以 ， 当时，取得最小值，最小值为，所以D正确. 故选：ACD. 22．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆，直线不经过点，且斜率为.若与交于两个不同点且直线的倾斜角分别为，则（       ） A. 1 B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 设直线，，，联立椭圆并应用韦达定理得，，设直线与的斜率分别为，应用斜率的两点式得，即有，即可得. 【详解】 设直线，，，    由 ，得， 由 ，解得或， 则，， 依题意，因为恰好在椭圆上，所以与的斜率一定存在，所以，， 设直线与的斜率分别为，因为，， 所以． 又，， 所以 ， 又，，即， 则，所以. 故选：B 23．（25-26学年高二上·江苏常州金坛区·期中）已知为椭圆的右焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最大值为（       ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【分析】 利用数形结合，结合椭圆的定义，转化为三点共线问题，即可求解. 【详解】 由条件可知椭圆中，，圆的圆心，半径， 设椭圆的左焦点为，， ， 如图，当点三点共线时，最小，最小值是， 所以的最小值是， 所以的最大值是. 故选：B 24．（25-26学年高二上·江苏连云港灌云县·期中）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，且．若，则C的离心率的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据题意延长交椭圆另一交点为，由条件结合椭圆性质可知，再通过通径的性质有即可得解. 【详解】 由点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点， 延长交椭圆另一交点为， 由再结合椭圆的对称性， 易知， 所以， 由椭圆过焦点的弦通径最短， 所以当垂直 轴时，最短， 所以， 所以， 解得. 故选：C 25．（25-26学年高二上·江苏连云港灌云县·期中）一动圆与圆外切，与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是（     ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】B 【分析】 先把两圆方程化成标准方程，得出圆心和半径，设出动圆圆心坐标，根据两圆相切的性质推导出满足的关系式后即可求解. 【详解】 由可得，，圆心为，半径； 由可得，圆心为，半径. 设动圆的圆心为，半径为， 由于动圆和外切，根据两圆外切的性质，， 由于动圆和内切，根据两圆内切的性质，， 于是， 即动点到的距离之和是，且大于两定点间距离， 根据椭圆的定义，动圆圆心的轨迹是椭圆. 故选：B 26．（25-26学年高二上·江苏宿迁泗阳县·期中）（多选）已知圆，直线，为实数，则（       ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆有两个交点 C. 圆心到直线的距离的最大值为 D. ，分别是圆和椭圆上的动点，则的最大值为 【答案】BCD 【分析】 选项A，将整理成，则有 ，计算得解；选项B，由直线恒过定点，求出点到圆心的距离， 判断与圆的半径的大小关系得解；选项C，圆心到直线的距离取最大值时，此时直线与直线垂直，从而得到最大值为；选项D，圆上的点到椭圆上点的最远距离为圆心到椭圆的最大距离加上半径，，设，求出，利用二次函数求最值即可得解. 【详解】 选项A，，， ， ，直线恒过定点，选项A错误； 选项B，直线恒过定点， ，圆心， 点到圆心的距离为， 又圆的半径为，，在圆内，过圆内点的直线必与圆相交，选项B正确； 选项C，圆心到直线的距离取最大值时，直线与直线垂直，则最大值为，故选项C正确； 选项D，圆上的点到椭圆上点的最远距离为圆心到椭圆上点的最大距离加上半径， ，设， ， 设，当时，取最大值，且最大值为， 的最大值为，的最大值为，故选项D正确. 故选：BCD. 27．（25-26学年高二上·江苏南通如皋·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与在第一象限相交于点．若直线的斜率为，的面积为4，则椭圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 首先判断是直角三角形，利用斜率的几何意义，找到与的数量关系，再结合的面积为，列方程，求出与长度，再由椭圆的定义得，，，最终求出椭圆的方程. 【详解】 因为以为直径的圆与椭圆在第一象限相交于点，所以，即是直角三角形，已知直线的斜率为，即， 在中，设，则， 由勾股定理可得 因为的面积为，根据三角形面积公式，即 解得，，所以 ，所以，，； 根据椭圆的定义：，所以； 又因为，所以； 根据得：； 所以椭圆的方程为. 故选：. 28．（25-26学年高二上·江苏宿迁沭阳县·期中）（多选）已知椭圆的左、右顶点分别为，，左、右焦点为，，为椭圆上异于，的一点，过点且垂直于轴的直线与椭圆的另一个交点为，则（          ） A. 存在点，使 B. 的最大值为4 C. \overline{F_{1}M}\cdot \vec {F_{1}N}的最小值为 D. 当点在椭圆上运动时，的内心的轨迹方程为 【答案】BCD 【分析】 应用\vec {MF_{1}}\cdot \vec {MF_{2}}的符号判断范围即可判断A的正误；由，应用基本不等式即可判断； 求出\overline{F_{1}M}\cdot \vec {F_{1}N}应用的范围求最值即可；应用内切圆的面积和内切圆的切线性质可得到与，代入原椭圆方程即可求得. 【详解】 解：设点，其中，由椭圆，可知，， 所以\vec {MF_{1}}\cdot \vec {MF_{2}}=\left(-1-x\right)\left(1-x\right)+\left(-y\right)\left(-y\right)=x^{2}-1+y^{2}， 又因为，所以\vec {MF_{1}}\cdot \vec {MF_{2}}=\frac{1}{4}x^{2}+2> 0 ， 所以\cos \left\langle \vec {MF_{1}},\vec {MF_{2}}\right\rangle > 0，所以，故A错误； 因为，所以， （当时等号成立），故B正确； 依题意点，所以\overline{F_{1}M}\cdot \vec {F_{1}N}=(x+1)^{2}-y^{2}， 将代入可得\overline{F_{1}M}\cdot \vec {F_{1}N}=\frac{7}{4}x^{2}+2x-2=\frac{7}{4}\left(x+\frac{4}{7}\right)^{2}-\frac{18}{7}， 因为，所以当时，\overline{F_{1}M}\cdot \vec {F_{1}N}取得最小值，故C正确； 设的内心，点， 设的内切圆分别与,，相切于点(如图所示)， 因为， 即， 所以，又因为同号，所以. 由内切圆的性质可知，，， 所以， 所以，即， 将代入可得： 又因为，所以， 因为同号，所以. 将与代入可得， 又因为，所以，故D正确. 故选：BCD 29．（25-26学年高二上·江苏连云港海州区·期中）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，抛物线：（），椭圆与抛物线相交于不同的两点A，B，且四边形的外接圆直径为，若，则椭圆的离心率的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先利用椭圆与抛物线的对称性分析得四边形的外接圆就是的外接圆，再在中利用正弦定理求得，再利用椭圆中焦点三角形的性质结合题设条件得到的取值范围，再利用和结合三角恒等变换公式弦切互化分析即可求解. 【详解】 如图，由椭圆与抛物线的对称性，知点关于轴对称，四边形是等腰梯形或矩形， 易知四边形的外接圆就是的外接圆， 设四边形的外接圆半径为R，在中， 由正弦定理， 记椭圆的上顶点为M，，则由焦点三角性质可知， 又，所以，，所以， 所以， 所以，即，即， 又，所以，即，所以， 所以，即， 则椭圆的离心率的取值范围是. 故选：C 30．（25-26学年高二上·江苏常州金坛区·期中）（多选）2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆.返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点.若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则（       ） A. 椭圆的离心率为 B. 线段长度的取值范围是 C. 面积的最小值是2 D. 的周长为 【答案】ABD 【分析】 由题意易知，上半椭圆的方程为，下半圆的方程为，由此即可求出椭圆的离心率为；由椭圆的性质易知，结合，即可求得线段长度的取值范围是；当直线斜率不存在时，三点共线，由此可判断出面积无最小值；由椭圆的定义易知，结合的周长为即可判断D. 【详解】 设上半椭圆的方程为 ， 因为半圆的圆心在原点，且过椭圆的焦点 ， 所以半圆的半径，即椭圆的短轴长 ，故。 因为椭圆的焦点为，所以， 又，. 因此上半椭圆的方程为，下半圆的方程为. 所以椭圆的离心率 ，A正确； 设，则 则 ， 所以，故， 又因为, 所以，B正确； 很明显，当直线斜率不存在时，三点共线， 所以面积无最小值.C错误. 由题意知，,即点也是椭圆的焦点， 由椭圆的定义可知:， 所以的周长为，D正确. 故选：ABD. 31．（25-26学年高二上·江苏期中学·期中）（多选）已知左、右焦点分别为，的椭圆上有一动点（异于长轴端点，），则下列说法正确的是（     ） A. 的取值范围为 B. 射线与椭圆交于点，则的最小值为 C. 椭圆上存在4个不同的点，使得为直角三角形 D. 直线，的斜率之积为 【答案】AC 【分析】 根据椭圆的性质计算判断AB，根据直角顶点的位置分类讨论可判断C，结合直线的斜率公式计算可判断D. 【详解】 对于A，椭圆，， 根据椭圆的性质，的取值范围为， 点异于长轴端点，，所以的取值范围为，A正确. 对于B，根据焦点弦中通径最短可得，的最小值为，B错误. 对于C，当轴时，，此时为直角. 当轴时，，此时为直角. 当，即时，设，由， \vec {F_{1}P}=\left(x+1,y\right)，\vec {F_{2}P}=\left(x-1,y\right)， 因为\vec {F_{1}P}\cdot \vec {F_{2}P}=\left(x-1\right)\left(x+1\right)+y^{2}=x^{2}-1+y^{2}=x^{2}-1+3-\frac{3}{4}x^{2}=\frac{1}{4}x^{2}+2=0，无解， 综上可知，椭圆上存在4个不同的点，使得为直角三角形，C正确. 对于D，设，，D错误. 故选：AC. 32．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）焦点在x轴上，焦距等于4，并且经过的椭圆的标准方程为　　　　　　． 【答案】 【分析】 由题意，设椭圆的标准方程为，然后列出关于的方程组，求解方程组即可得答案. 【详解】 解：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为， 由题意，有 ，解得， 所以椭圆的标准方程为， 故答案为：. 33．（25-26学年高二上·江苏苏州常熟·期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 把给定方程化成标准形式，再利用椭圆的特征列式求解即得. 【详解】 椭圆方程化为， 依题意，，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 34．（25-26学年高二上·江苏连云港赣榆区·期中）已知椭圆的两个焦点为，短轴长为，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）请结合距离公式证明：． 【答案】（1）     （2） 因为点在椭圆上， 所以，即，即， 则 ， 又∵， ∴.      【分析】 （1）根据焦点和短轴长，可以求出和，再结合即可求得椭圆的标准方程； （2）由点到点的距离列出，结合椭圆方程化简代数式即可得证. (1) 小问详解： 因为，短轴长为， 所以，，即， 所以， 所以椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： 略 35．（25-26学年高二上·江苏连云港海州区·期中）已知，方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由方程表示椭圆的性质列不等式组可得. 【详解】 由题意可得 ，解得. 故答案为：. 36．（25-26学年高二上·江苏南京·期中）已知椭圆的左、右顶点分别为．若过点且斜率为的直线与交于另一点，则的面积为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 首先根据题意得到直线，与椭圆联立得到，，再求面积即可. 【详解】 由题知：，则， ，则，解得， 将代入得到， 所以的面积为. 故答案为： 37．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）由长轴长可得，再根据离心率可得，再求，即可得到方程； （2）方法一、根据题意，直线斜率为0时，得到不符合题意，当直线斜率不为0时，设，联立曲线得到 ，再根据求解即可；方法二、直线斜率不存在时，，不符合题意，当直线斜率存在时，设，联立曲线得到 ，再根据求解即可. (1) 小问详解： 由题可知，，， 又，且，解得，， 则椭圆的方程为. (2) 小问详解： 法一：① 当直线斜率为0时，， 不符合题意. ② 当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立 ，得，， 设，则 . 由题意，， 即，解得. 故直线的方程为：或. 法二：① 当直线斜率不存在时，，不符合题意. ② 设直线方程为， 联立 ，得，， 设，则 ， 由，得， 即，解得. 故直线的方程为或. 38．（25-26学年高二上·江苏苏州常熟·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为4，过的直线交椭圆于，两点，的周长是. （1）求的方程； （2）若内切圆的半径为，求的方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据焦距，求出c值，根据的周长，求出a值，根据a，b，c的关系，求出，代入即可得答案. （2）由题意，设l程为，与椭圆C联立，根据韦达定理，可得，的表达式，进而可得表达式，即可求出的面积，根据内切圆的半径及其周长，可求出的面积，列出等式，可求出m值，即可得答案. (1) 小问详解： 因为焦距为4，所以，解得， 因为的周长为，解得， 所以， 所以的方程为. (2) 小问详解： 由题意，直线l不与x轴重合，由直线l过点，设其方程为， 与椭圆C联立 ，可得， ， ， 所以， 所以， 又内切圆的半径为，且的周长是， 所以， 所以，即， 解得或， 所以的方程为或，即或. 39．（25-26学年高二上·江苏南通如东县·期中）若椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，． （1）求椭圆的方程； （2）若椭圆上的点满足，求的面积； （3）已知点，延长交椭圆于点，求点的坐标． 【答案】（1）     （2）9     （3）      【分析】 （1）根据题意得，结合离心率即可求解； （2）根据题意，，解出即可求解； （3）直线的方程为，再联立求解即可． (1) 小问详解： 设椭圆的焦距为，因为椭圆的左右焦点分别为，，则， 因为离心率为，所以，所以， 因为，所以， 所以椭圆的方程是； (2) 小问详解： 因为点在椭圆上，， 所以， 因为，所以， 所以，所以的面积为； (3) 小问详解： 因为，， 所以直线的方程为，即， 由 得， 所以，所以， 所以，所以． 40．（25-26学年高二上·江苏宿迁泗阳县·期中）椭圆的一个焦点坐标为，短轴长为2，则椭圆的离心率为　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由题意可求出，然后再求出，最后由离心率公式即可求解. 【详解】 由题意可知，，所以，离心率. 故答案为： 41．（25-26学年高二上·江苏南通如皋·期中）已知点，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，记点的轨迹方程为曲线． （1）求曲线的方程； （2）直线与曲线交于，两点，求线段的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据斜率之积是，列出方程并求解即可； （2）联立直线和椭圆，然后由韦达定理可得，进而根据弦长公式进行求解即可. (1) 小问详解： 设点，则直线的斜率为，直线的斜率为， 根据题意有：，化简得， 由于时斜率不存在，故曲线的方程为. (2) 小问详解： 设，， 联立 ，消去并整理得， ， 所以， ， 直线斜率为1，弦长公式为， 因此 42．（25-26学年高二上·江苏宿迁沭阳县·期中）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，． （1）求的方程； （2）设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：． 【答案】（1）     （2） 因为椭圆的方程为，所以， 因为为第一象限上的动点，设，则，           易得，则直线的方程为， ，则直线的方程为， 联立 ，解得 ，即， 而，则直线的方程为， 令，则，解得，即， 又，则，， 所以 ， 又，即， 显然，与不重合，所以.      【分析】 （1）结合题意得到，，再结合，解之即可； （2）依题意求得直线、与的方程，从而求得点的坐标，进而求得，再根据题意求得，得到，由此得解. (1) 小问详解： 依题意，得，则， 又分别为椭圆上下顶点，，所以，即， 所以，即，则， 所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： 略 43．（25-26学年高二上·江苏连云港赣榆区·期中）已知椭圆，过点的直线与椭圆交于两点，以线段，为邻边作平行四边形（为坐标原点），若点在椭圆上，则直线的斜率为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 设直线的方程，然后与椭圆联立，再利用平行四边形的性质得到点坐标，最后将点坐标代入椭圆方程求解直线的斜率即可. 【详解】 由题意可知直线l的斜率存在，设直线的斜率为， 直线过点，直线的方程为， 联立直线和椭圆 ，得， 需满足，解得或， 设，根据韦达定理，得，， 又四边形为平行四边形， \therefore \vec {OP}=\vec {OM}+\vec {ON}=\left(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}\right)， 又，， 将点坐标代入椭圆方程，得， 化简得，代入， 得，解得，符合题意， 故答案为：. 44．（25-26学年高二上·江苏扬州邗江区·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据椭圆定义可将转化为，再根据可得的最小值为，结合两点间距离公式即得答案. 【详解】 由为椭圆上任意一点，则 又为圆上任意一点，则（当且仅当M、N、E共线时取等号）， ∴， 当且仅当M、N、E、共线时等号成立. ∵，，则， ∴的最小值为． 故答案为：． 45．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）如图，圆是圆内一个定点，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）设曲线与轴从左到右的交点为点，点为曲线上异于的动点，设交直线于点，连结交曲线于点，直线的斜率分别为． （ⅰ）求证：为定值； （ⅱ）证明：直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标． 【答案】（1）     （2）；      【分析】 (1)根据椭圆的定义，可以判断出动点N的轨迹为椭圆，利用椭圆的定义求，从而求得轨迹方程. （2）（i）设，，，将分别用含式子表示，然后利用消去，最后即可得出定值； （ii）令直线PQ的方程为，与椭圆方程联立，应用韦达定理，借助（i）的结论，得到关于的方程，解方程即可求得的值，即定点坐标. (1) 小问详解： 由题意可知，， 由椭圆定义可得，点N的轨迹是以E， F为焦点的椭圆， 且长轴长，焦距， 所以， 因此曲线C方程为. (2) 小问详解： （ⅰ）设，，， 由题可知，，如下图所示， 则，， 而，于是， 所以， 又，则， 因此为定值； （ⅱ）由题意可知，直线PQ不可能与轴平行， 设直线PQ的方程为，，，知， 由 ，得， ，得 所以 由（i）可知，， 即， 将代入化简得，化简得解得舍或， 所以直线PQ的方程为， 因此直线PQ经过定点 46．（25-26学年高二上·江苏常州金坛区·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点，动点满足：直线与直线的斜率之积是. （1）求动点的轨迹的方程； （2）直线与（1）中轨迹相交于两点，且为的中点，求弦长. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）借助斜率公式计算后化简即可得； （2）设出直线方程及两交点坐标，联立直线方程与曲线方程，消去可得与两交点横坐标有关韦达定理，再借助点为中点，代入计算后结合弦长公式即可得. (1) 小问详解： 依题意，，化简得， 故动点的轨迹的方程为； (2) 小问详解： 若直线斜率不存在，则中点纵坐标为，不合题意； 故直线斜率存在，设，、， 联立 ，消去，有， ， 即，，， 由为的中点，则，化简得， 且有，则，整理得，解得， 则，故，， 则. 47．（25-26学年高二上·江苏宿迁泗阳县·期中）已知椭圆的上顶点为，点为椭圆的右焦点，点在椭圆上，（为坐标原点）. （1）求的方程； （2）过点作直线交于，两点，为坐标原点. ①若4\vec {OB}=3\vec {OA}+\vec {OM}，求直线的斜率； ②若点为线段的中点，过点作直线的垂线，垂足为，设直线的斜率为，直线的斜率为，证明：. 【答案】（1）     （2）①； ② 如图，因，点N为线段的中点，则， 依题意，，则直线的斜率为， 直线的斜率为， 则， 将（*）代入，可得， 所以． 【分析】 （1）利用椭圆性质和经过的点坐标，联立方程组，求得，即得椭圆方程； （2）① 由题知直线的斜率不为0，设，与椭圆方程联立，设，求得韦达定理，推得，由4\vec {OB}=3\vec {OA}+\vec {OM}得到，将其与韦达定理联立，解得，即得直线斜率；② 依题意，求得，，计算，消元后将（*）代入化简，即得，故得结论. (1) 小问详解： 根据题意，在中，则①， 椭圆经过点，则② ， 再结合，可得， 则椭圆E的标准方程为； (2) 小问详解： ① 当直线的斜率为0时，可取因，显然不满足4\vec {OB}=3\vec {OA}+\vec {OM}， 故可设直线，代入椭圆方程，消去， 可得， 由，解得或， 设，则 ，则，（*） 由4\vec {OB}=3\vec {OA}+\vec {OM}可得，即得， 将其代入①，可得， 代入②，可得，解得， 故直线的斜率为； ② 略 48．（25-26学年高二上·江苏南通如皋·期中）从椭圆上一点引出以短轴为直径的圆的两条切线，切点分别为，，直线与轴、轴分别相交于点，，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 设，根据题意得到切线的方程，进而分析得直线的方程，从而求得点的坐标，再结合椭圆方程即可得解. 【详解】 由椭圆方程可知：，圆的方程为， 设， 在切线上任取一点，则\vec {AE}=\left(x-x_{1},y-y_{1}\right)，\vec {OA}=\left(x_{1},y_{1}\right)， 因为，可得\vec {AE}\cdot \vec {OA}=\left(x-x_{1}\right)x_{1}+\left(y-y_{1}\right)y_{1}=\left(x_{1}x+y_{1}y\right)-\left({x}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}\right)=0， 即，且，可得， 所以切线的方程为， 同理可得：切线的方程为， 因为点在切线上，则，， 所以直线的方程为， 则，可得， 因为点在椭圆上，可得， 所以. 故答案为：. 49．（25-26学年高二上·江苏宿迁沭阳县·期中）已知曲线上任意一点满足. （1）求曲线的方程； （2）曲线上三个不同的动点P，E，F满足PE与PF的倾斜角互补，且P不与曲线的顶点重合，过点P且垂直于x轴的直线与曲线的另一个交点为Q，记线段EF的中点为H，O为坐标原点，求证：Q，H，O三点共线. 【答案】（1）     （2） 证明：设，，，， 由题意知，，且， 联立方程组 ，可得，则， 所以， 又由，所以， 设直线的方程为，则直线的方程为 将的方程代入，可得， 整理得，① 因为是方程① 的一个实根，可得，② 将的方程代入，可得， 整理得，③ ， 因为是方程③ 的一个实根，因此，④ ， ②-④ 得，⑤ ， ②+④ 得，⑥ ， 因此，⑦ 将⑤ ⑥ 代入⑦ 式可得，⑧ 因为，所以，⑨ 将⑨ 代入⑧ 式中，可得， 又因为，可得，所以, 即三点共线． 【分析】 根据题意，利用椭圆的定义判断出T的轨迹，由此可求曲线C的方程； 设出P，E，F，H的坐标，先根据点差法得到，的关系，然后通过联立PE，PF与椭圆方程可得，的表示，根据斜率计算公式化简并结合P在椭圆上得到关于，的表示，再分析关于，的表示，得到与的关系，从而可知和的关系，由此可完成证明． (1) 小问详解： 解：设，由， 可得，且，所以， 所以点的轨迹是以和为焦点的椭圆，且， 可得，则，所以曲线的方程为 (2) 小问详解： 略 50．（25-26学年高二上·江苏宿迁沭阳县·期中）过椭圆的中心的直线分别交椭圆于、两点，的垂直平分线交椭圆于点，过点分别作于，于，则四边形的面积的取值范围为　　　　　　 【答案】． 【分析】 由对称性求得，设直线的方程为，代入椭圆方程求得点坐标，由垂直得点坐标，代入上式，变形后可求得范围．可先讨论斜率不存在或斜率为0时情形，然后再求解一般情形，从而得出结论． 【详解】 由已知， （1）若直线斜率不存在，如图1， ，， ，， ， 所以，    （2）若直线的斜率为0，如图2， ，， ， 所以，    （3）若直线的斜率存在且不为0，如图3， 由已知是的垂直一部分线，则，分别是边上的高，则，， 所以，， 设直线的方程为，， 由 ，得，，取，即， 直线的方程为，同理可得， ，，， 直角中，，， ， 因为，所以，，，即， 所以，    综上，， 故答案为：． 【点睛】 方法点睛：本题考查直线与椭圆相交问题，考查其中的面积问题，解题关键是求出面积，一般设出直线方程，求得椭圆与直线的交点坐标如题中点（直线过原点，交点坐标容易求得，否则需要用韦达定理），利用垂直得出另一点的坐标（注意类比，减少计算量），根据直角三角形把面积表示为所设参数的表达式，利用不等式知识得范围．解题时需对特殊情形进行讨论，如斜率不存在，或斜率为0（垂直直线的斜率不存在）． 51．（25-26学年高二上·江苏连云港灌南县·期中）已知椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点，若设且则椭圆离心率的取值范围是　 　. 【答案】 【详解】∵B和A关于原点对称，∴B也在椭圆上． 设左焦点为，根据椭圆定义：|AF|+|A|=2a 又∵|BF|=|A|     ∴|AF|+|BF|=2a   ……① O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c 又|AF|=2csinα     ……② |BF|=2ccosα       ……③ 将② ③代入①   2csinα+2ccosα=2a ∴，即， ∵， ∴)≤1，故椭圆离心率的取值范围为 52．（25-26学年高二上·江苏连云港灌南县·期中）在平面直角坐标系中，斜率为且不过原点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点. （1）求的最小值. （2）若， ①求证：直线过定点；并写出该定点坐标. ②点能否关于轴对称？若能，求出此时外接圆的方程；若不能，请说明理由. 【答案】（1）     （2） ① 因为，所以. 又三点共线，且同号，所以，即， 由（1）知射线的方程为. 由 ，得 由（1）知.所以，化简得， 从而直线的方程为，所以直线过定点. ② 能，方程为，理由如下： 由① 得. 若点关于轴对称，则， 代入，整理得， 从而有 ，解得（舍去）或， 由，所以， 此时点关于轴对称. 又由（1）可得，所以. 由于三角形外接圆的圆心在轴上，可设三角形外接圆的圆心坐标为， 所以，解得，故外接圆的半径， 所以三角形外接圆的方程为. 【分析】 （1）设直线的方程为，联立直线和椭圆方程，消去，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理，求出点的坐标和所在直线方程，求点的坐标，利用基本不等式即可求得的最小值； （2）① 由转化为，联立方程组求得点得坐标，结合（1）可得，代回得证；② 利用点关于轴对称，写出点的坐标，求出的外接圆的圆心坐标和半径，从而求出的外接圆方程． (1) 小问详解： 设直线的方程为，由题设可得. 由 ，得， 则，整理得. 设，从而，故. 由于为线段的中点，因此， 此时，所以直线的方程为. 又点在射线上，所以，即， 所以，当且仅当时取等号. 又，整理得，从而. 因此，当且时，取得最小值2. (2) 小问详解： ① 略 ② 略 53．（25-26学年高二上·江苏连云港东海县·期中）已知点，分别为椭圆的左、右焦点，点，在椭圆上．若\vec {F_{1}A}=3\vec {F_{2}B}，则\left| \vec {F_{1}A}\right| =　　　　　　 【答案】 【分析】 由\vec {F_{1}A}=3\vec {F_{2}B}得，设，，得，，利用椭圆的定义得，，最后利用余弦定理求解，进而求解. 【详解】 由题意有：，， 由\vec {F_{1}A}=3\vec {F_{2}B}，所以，设，， 所以，， 由椭圆的定义有：， 所以，， 在中，由余弦定理有① ， 在中，由余弦定理有② ， 由① ② 解得：，所以\left| \vec {F_{1}A}\right| =3m=3\times \frac{2\sqrt{3}}{9}=\frac{2\sqrt{3}}{3}， 故答案为：. 54．（25-26学年高二上·江苏连云港东海县·期中）在直角坐标系中，椭圆的左，右顶点分别为，点为椭圆上异于的一个动点，直线分别与直线相交于两点，以为直径的圆与轴交于两点．直线与直线斜率分别记为，． （1）求证：为定值； （2）求四边形面积的最小值． 【答案】（1） 设，易得，则直线的方程为， 令，可得，则得，， 因是椭圆上异于的一个动点，故，即 ， 则为定值.     （2）12      【分析】 （1）设，写出直线的方程，令，求得，计算直线的斜率，利用点在椭圆上，代入化简计算即得定值； （2）与（1）同法求得，设以为直径的圆的圆心为点，易得，求出和，利用弦长公式推理求得，写出四边形的面积表达式，设椭圆的参数方程 ，代入化简得，再将理解为动点与定点所在直线的斜率，即经过的直线与以圆心为原点的单位圆有公共点时的斜率，数形结合求得，即可求得四边形面积的最小值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因直线的方程为，令，可得， 设以为直径的圆的圆心为点，则其坐标为，设交轴于点， 连接，则，，    故 ， 因，则，（*） 因点在椭圆上，则可设 ， 代入（*），可得， 不妨设，则可将其理解为动点与定点所在直线的斜率， 又动点在以原点为圆心的单位圆上， 由圆心到直线的距离，解得， 依题意，需使，即，从而， 即四边形面积的最小值为. 55．（25-26学年高二上·江苏淮安·期中）已知圆的圆心为，圆的圆心为，动圆与圆外切，与圆内切，记动圆圆心的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）从曲线上一点向圆引切线，为切点，为坐标原点，且，求的面积． 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）根据圆的方程确定圆心坐标和半径，再根据圆的位置关系得到，结合椭圆的定义确定的轨迹方程； （2）设，根据已知得，再结合及求点坐标，进而求出三角形面积. (1) 小问详解： 设动圆的半径为，圆的半径为，圆的半径为， 由题意知， 因为圆与圆外切，与圆内切，所以， 所以， 根据椭圆的定义知，的轨迹是以为焦点的椭圆， 设椭圆方程为，所以，即， 所以，又，所以圆与圆内切于点， 所以的方程为； (2) 小问详解： 设，则， 因为， 所以，则， 因为， 所以，解得， 将代入，得， 故的面积为. 56．（25-26学年高二上·江苏淮安·期中）如图，在平面直角坐标系中，设点是椭圆C：上一点，从原点O向圆作两条切线，分别与椭圆C交于点，直线的斜率分别记为.    （1）若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程； （2）若，求证：； （3）在（2）的情况下，求的最大值. 【答案】（1）     （2）证明：因为直线与圆相切， 所以直线与圆联立， 可得， 由，即, 同理， 由，即 可得是方程的两个不相等的实数根， 所以，因为点在椭圆C上，所以， 所以得证；     （3）      【分析】 （1）根据椭圆方程确定圆心坐标和半径即可求解； （2）分别联立两条切线与椭圆方程，根据直线与圆相切时判别式等于零，可确定是方程的两个不相等的实数根，即可求解； （3）结合（2）可得，利用基本不等式即可求解. (1) 小问详解： 椭圆C的右焦点是，将，代入，可得， 所以，所以圆M的方程为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ① 当直线不落在坐标轴上时，设， 因为，所以， 因为在椭圆C上，所以， 整理得， 所以，, 所以. ② 当直线落在坐标轴上时，显然有， 综上：, 所以， 当且仅当时取得等号， 所以的最大值为. 57．（25-26学年高二上·江苏扬州邗江区·期中）如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. （1）求椭圆的方程； （2）若，求MN的方程； （3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 【答案】（1）     （2）     （3）证明：直线，均不与轴垂直，所以，，则且， 所以 ， 所以为定值．      【分析】 （1）根据条件列方程组求解即可； （2）设直线的方程为，与椭圆联立，由弦长公式求得的方程； （3）将韦达定理代入中计算结果为定值． (1) 小问详解： 由椭圆过点，焦距为， 得 ，解得 ， 故椭圆的方程为． (2) 小问详解： 设直线的方程为，，， 联立 ，消去得， 由，得， 则． ， 解得或， 当时，直线的方程为； 当时，直线经过点，不符合题意，舍去． 所以当时，的方程为． (3) 小问详解： 略 【点睛】 方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 58．（25-26学年高二上·江苏连云港海州区·期中）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分. 【答案】（1）     （2）证明：由（1）可知，，， 易知直线的斜率存在，设其方程为，则，即， 联立 ，消去得，， 因为直线与椭圆有唯一交点，所以， 即，则，解得，则， 所以直线的方程为， 联立 ，解得 ，则， 以下分别用四种方法证明结论： 法一：则， 所以， ， 则，又， 所以，即平分. 法二：所以，，， 由两直线夹角公式，得，， 则，又， 所以，即平分. 法三：则，， 故， 又， 所以，即平分. 法四：则， 所以直线的方程为，即， 则点到直线的距离为， 又点到直线的距离也为， 所以平分.      【分析】 （1）根据题意，利用椭圆的离心率得到，再由直线的斜率得到，从而利用三角形的面积公式得到关于的方程，解之即可得解； （2）联立直线与椭圆方程，利用其位置关系求得，进而得到直线的方程与点的坐标，法一：利用向量的夹角公式即可得证；法二：利用两直线的夹角公式即可得证；法三利用正切的倍角公式即可得证；法四：利用角平分线的性质与点线距离公式即可得证. (1) 小问详解： 依题意，设椭圆的半焦距为， 则左焦点，右顶点，离心率，即， 因为为上一点，设， 又直线的斜率为，则，即， 所以，解得，则，即， 因为的面积为，，高为， 所以，解得， 则，， 所以椭圆的方程为. . (2) 小问详解： 略 59．（25-26学年高二上·江苏期中学·期中）椭圆：的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，且，若内切圆的半径，则椭圆的离心率为　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用余弦定理找到& & | PF_{1} & | \cdot & | PF_{2} & |，再将 的面积为S_{\bigtriangleup {F_{1}}P{F_{2}}} &用& & | PF_{1} & | \cdot & | PF_{2} & |表示，利用三角形内切圆半径公式找到r= & & \sqrt{3}\left(a-c\right)，利用正弦定理得出，使两个式子相等，解出& 31c=27a，根据离心率公式即可得到答案. 【详解】 设& & PF_{1}=m，& & PF_{2}=n. 由椭圆定义可知：& & & m+n=2a，& | & F_{1}F_{2}| & =2c，， 在中，利用余弦定理可知： ，而& & & m^{2}+n^{2}=(m+n)^{2}-2mn=4a^{2}-2mn， 所以\cos \angle F_{1}PF_{2}= & \frac{2b^{2}}{ & mn} & -1=-\frac{1}{2}，故& & & & mn=4b^{2}=4a^{2}-4c^{2}， 而的面积为， 的周长为：& m+n+2c=2a+2c， 由三角形内切圆半径公式可知：r=\frac{ & 2S}{C}=\frac{ & \sqrt{3}\left(a^{2}-c^{2}\right)}{a+c}= & \sqrt{3}\left(a-c\right)， 在中，利用正弦定理可知：& \frac{\left| PF_{2}\right| }{ & \sin \angle PF_{1}F_{2}}=\frac{\left| F_{1}F_{2}\right| }{ & \sin \angle F_{1}PF_{2}}=\frac{2c}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}c， 所以由题知：r=\frac{\left| PF_{2}\right| }{9\sin \angle PF_{1}F_{2}}= & \frac{4\sqrt{3} & }{27}c= & \sqrt{3}\left(a-c\right)， 化简得：& 31c=27a，故椭圆的离心率& e=\frac{c}{a}=\frac{27}{31}. 故答案为：& & \frac{27}{31}. 60．（25-26学年高二上·江苏期中学·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，射线与椭圆交于点，的周长为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线过点且与椭圆只有一个公共点，求直线的方程； （3）过点作斜率为，的两条直线分别与椭圆交于，两点，且，证明：直线过定点. 【答案】（1）；     （2）；     （3） 当直线斜率存在时，如图，设直线方程为，，    由 消去得， ，即，则 ， 而 ， 由，得，解得，则直线过点； 当直线斜率不存在时，， 由，得，解得，直线也过点， 所以直线过定点.      【分析】 （1）根据给定条件，列式求出即得椭圆方程. （2）设出直线方程，与椭圆方程联立，利用判别式为0求解. （3）当直线斜率存在时，设出该直线方程并与椭圆方程联立，利用斜率坐标公式及韦达定理求出直线所过定点，再验证直线斜率不存在所过定点即可. (1) 小问详解： 由的周长为，得，解得， 由椭圆过点，得，解得， 所以椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： 由直线与椭圆只有一个公共点，且点在椭圆上，得该直线的斜率存在， 设直线的方程为，即， 由 消去得， 由，解得， 所以直线的方程为：. (3) 小问详解： 略 61．（25-26学年高二上·江苏连云港灌云县·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，M为C上任意一点，N为圆上任意一点，则的最小值为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 首先根据椭圆的定义将的最小值转化为，再根据（当且仅当 M、 N、 E共线时取等号），结合，求得的最小值． 【详解】 如图， 由M为椭圆C上任意一点，则， 又N为圆E：上任意一点， 则（当且仅当M、N、E共线且N在M、E之间时取等号）， ， ， 当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立． 由题意知，，， 则， 的最小值为， 故答案为： 【点睛】 关键点睛：本题主要考查与椭圆与圆上动点相关的最值问题，解答的关键是根据椭圆的定义将目标等价转化点共线问题，也即线段的长度问题，通过数形结合即可求解，考查学生的转化与化归思想． 62．（25-26学年高二上·江苏连云港灌云县·期中）已知椭圆的左、右顶点为，，焦距为.为坐标原点，过点、的圆交直线于、两点，直线、分别交椭圆于、. （1）求椭圆的方程； （2）记直线，的斜率分别为、，求的值； （3）证明：直线过定点，并求该定点坐标. 【答案】（1）     （2）     （3）证明：由题意知，当圆的圆心不在x轴上时，直线PQ斜率存在， 设直线，， 则 ，需满足， 则，， 则， 结合第一问知，即， 即得， 化简得， 解得或， 当时，直线PQ方程为，直线PQ过点，不合题意， 当时，直线PQ方程为， 故直线PQ过定点； 当圆的圆心在x轴上时，M，N关于x轴对称，此时直线PQ斜率不存在， 圆G方程为， 令，则，此时不妨设， 则的方程为，即， 联立，得，解得或， 即P点横坐标为，则直线PQ此时也过点， 故直线PQ过定点.      【分析】 （1）由题意求出，即可得答案； （2）法一：设 ，写出圆的方程为：，利用圆过，代入圆的方程得，化简，即得答案；法二：设，圆半径为r，写出圆方程，圆过，可得，由此化简，，即得答案. （3）设直线，联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，结合，化简可得参数之间的关系式，结合直线的点斜式，即可确定定点坐标. (1) 小问详解： 由已知得，，则， 故椭圆的标准方程为； (2) 小问详解： 法一：设 ，则圆的方程为：， 圆过，代入圆的方程得， 故； 法二：设，圆半径为r，则圆方程为：， 圆过，，由题意可设， 则； (3) 小问详解： 略 【点睛】 难点点睛：解答本题的难点在于第三问中的定点问题，解答时要利用设方程，求出参数之间的关系，利用直线的点斜式确定定点坐标，要特别注意计算的复杂性. 63．（25-26学年高二上·江苏南京·期中）已知为坐标原点，椭圆过点，离心率为．过点且与坐标轴不垂直的直线交于点． （1）求的方程； （2）当时，求的方程； （3）设直线与直线交于点，记直线，的斜率分别为，试探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）     （2）或.     （3） 如图所示： ，， 令，则，即. ， ， 因为， 所以. 即为定值2.      【分析】 （1）根据题意得到 ，再解方程组即可. （2）设直线，，，与椭圆联立得到，，，再根据求解即可. （3），，从而得到，再结合韦达定理求即可. (1) 小问详解： 由题知： ，即： (2) 小问详解： 设直线，，， 则 ， 方程的判别式 ，， ， 因为，所以， 即 . 解得，即. 所以直线或. (3) 小问详解： 略 考点02 双曲线 1．（25-26学年高二上·江苏连云港赣榆区·期中）双曲线的渐近线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据双曲线方程可得实轴长和虚轴长，由此可得渐近线方程. 【详解】 由双曲线方程知：实轴长，虚轴长，渐近线方程为. 故选：B. 2．（25-26学年高二上·江苏扬州邗江区·期中）双曲线的渐近线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据渐近线方程公式即可得到答案. 【详解】 双曲线中，则， 故其渐近线方程为. 故选：B. 3．（25-26学年高二上·江苏南通如东县·期中）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用双曲线的标准方程即得. 【详解】 由题，，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 4．（25-26学年高二上·江苏宿迁泗阳县·期中）若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则双曲线的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 设双曲线为，利用点求得，进而确定正确答案. 【详解】 由题可设双曲线方程为且， 又在双曲线上，所以， 则双曲线的方程是，即． 故选：B． 5．（25-26学年高二上·江苏南通如皋·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（       ） A.  B. 2 C.  D.  【答案】C 【分析】 根据几何关系建立方程式，分别解出、的值，即可求解的值. 【详解】 因为，所以由，可知. 不妨设，则，故. 又由双曲线定义，得， 所以. 故选:C. 6．（25-26学年高二上·江苏连云港灌南县·期中）若双曲线C：的一条渐近线平行于直线，则C的虚轴长为（       ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】D 【分析】 根据渐近线平行于直线，利用斜率相等求出，再根据虚轴定义求得答案. 【详解】 双曲线C：的渐近线方程为， 因为双曲线C：的一条渐近线平行于直线， 即， 解得， 所以双曲线方程为：， 所以虚轴长为， 故选：D． 7．（25-26学年高二上·江苏连云港灌南县·期中）已知双曲线的焦距为6，则实数等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据的关系即可求解. 【详解】 由题意可知，所以. 故选：C 8．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）（多选）已知曲线，下列说法正确的是（       ） A. 若，则曲线C为椭圆 B. 若，则曲线C为双曲线 C. 若曲线C为椭圆，则其长轴长一定大于2 D. 若曲线C为焦点在x轴上的双曲线，则其离心率小于大于1 【答案】BCD 【分析】 根据曲线所表示的图形求出对应的参数的取值范围，可判断AB选项的正误；求出椭圆长轴长的表达式，可判断C选项的正误；利用双曲线的离心率公式可判断D选项的正误. 【详解】 对于A选项，若为椭圆，则 ，A不正确； 对于B选项，若为双曲线，等价于，即或，B正确； 对于C选项，当时，椭圆长轴长， 当时，椭圆长轴长，C正确； 对于D选项，若为焦点在轴上的双曲线，则 ，解得， 双曲线的离心率为， 且双曲线的离心率，故D正确. 故选：BCD. 9．（25-26学年高二上·江苏常州金坛区·期中）双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于6，则它到另一个焦点的距离为（       ） A. 2 B. 4 C. 9 D. 14 【答案】D 【分析】 根据双曲线的定义，即可求解. 【详解】 由条件可知，，设点到另一个焦点的距离为， 所以，得或（舍）. 故选：D 10．（25-26学年高二上·江苏常州金坛区·期中）若圆锥曲线的离心率为，则实数的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由离心率大于可得该曲线为双曲线，再借助双曲线离心率定义计算即可得解. 【详解】 由该圆锥曲线的离心率为，故该曲线为双曲线， 则，可化为， 则，解得. 故选：C. 11．（25-26学年高二上·江苏连云港灌云县·期中）曲线与直线的公共点的个数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据以及分别得曲线为椭圆以及双曲线的一部分，根据直线与其关系即可求解. 【详解】 当时，曲线的方程为，表示椭圆的上半部分含与轴的交点，此时曲线与的交点为(0,3),(4,0), 当时，曲线的方程为，表示双曲线在轴下方的部分， 其一条渐近线方程为：，故直线与无交点， 曲线与直线的公共点的个数为. 故选：B 12．（25-26学年高二上·江苏连云港灌云县·期中）（多选）已知双曲线过点且渐近线方程为，则下列结论正确的是（       ） A. 双曲线的方程为 B. 双曲线的离心率为 C. 曲线经过双曲线的一个焦点 D. 焦点到渐近线的距离为1 【答案】ACD 【分析】 根据已知条件求得，由此对选项逐一分析，从而确定选项. 【详解】 设双曲线方程为，将点代入可得， 又因为双曲线的渐近线方程为，所以. 由 解得，故选项正确； 由上可知，,所以双曲线的离心率为，故选项错误； 双曲线的焦点坐标为，其中满足，故选项正确； 双曲线的一个焦点坐标为，渐近线方程为，即， 焦点到渐近线的距离为，故选项正确， 故选：ACD. 13．（25-26学年高二上·江苏南通如东县·期中）已知双曲线的左顶点为，直线与双曲线交于点，，若直线与的斜率之积是，则双曲线的离心率是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据已知，令，，，应用斜率的两点式及已知得，进而求离心率. 【详解】 由题设，如下图所示，，， 所以，则， 所以双曲线离心率. 故选：D 14．（25-26学年高二上·江苏宿迁泗阳县·期中）双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与轴相交于点，与双曲线在第一象限内的交点为，若，，则双曲线的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 设\angle PF_{1}F_{2}=\theta &，\theta &为锐角，依题意可得PF_{1}\bot PF_{2} &，\left| PF_{1}\right| =\frac{3}{2}\left| MF_{1}\right| &，再由\left| MF_{1}\right| =\frac{c}{\cos \theta } &，得到| PF_{1}| =\frac{3c}{2\cos \theta } &，又| PF_{2}| =2c\sin \theta &，利用勾股定理得到方程，即可求出\cos \theta &，从而求出\theta &，最后求出离心率即可． 【详解】 设\angle PF_{1}F_{2}=\theta &，\theta &为锐角， 因为，F_{1}P\bot F_{2}P &，所以\left| PF_{1}\right| =\frac{3}{2}\left| MF_{1}\right| &， \therefore \left| MF_{1}\right| =\frac{c}{\cos \theta } &，\therefore | PF_{1}| =\frac{3}{2}| MF_{1}| =\frac{3c}{2\cos \theta } &，又| PF_{2}| =2c\sin \theta &， \therefore &| PF_{1}| ^{2}+| PF_{2}| ^{2}=| F_{1}F_{2}| ^{2} &， \therefore &\frac{9c^{2}}{4\cos ^{2}\theta }+4c^{2}\sin ^{2}\theta =4c^{2} & &， \therefore 9+16\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta =16\cos ^{2}\theta &， \therefore 9+16(1-\cos ^{2}\theta )\cos ^{2}\theta =16\cos ^{2}\theta &， \therefore 9-16\cos ^{4}\theta =0 &， \therefore \cos ^{2}\theta =\frac{3}{4} &，\therefore \cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{2} &（负值舍去），\therefore \theta =30{^{\circ}} &， \therefore | PF_{1}| =\frac{3}{2}| MF_{1}| =\frac{3c}{2\cos \theta }=\sqrt{3}c &，| PF_{2}| =2c\sin \theta =c &， 双曲线的离心率为e=\frac{2c}{2a}=\frac{| F_{1}F_{2}| }{| PF_{1}| -| PF_{2}| }=\frac{2c}{\sqrt{3}c-c}=\sqrt{3}+1 &． 故选：A． 15．（25-26学年高二上·江苏连云港东海县·期中）已知、为双曲线（，）上关于坐标原点对称的两点，点为双曲线的右焦点，且，，则双曲线的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 设双曲线的左焦点为，则，再由已知可得四边形为矩形，则可得，然后求解离心率的表达式，推出范围，即可得到选项 【详解】 如图，设在右支上，    设双曲线的左焦点为，则，且， 所以由双曲线的对称性可得四边形为矩形， 所以， 因为，， 所以， 因为， 所以， 所以， 故选：A 16．（25-26学年高二上·江苏连云港赣榆区·期中）已知是双曲线右支上的一点，是的右焦点，点关于原点的对称点为，延长交于点，且\vec {MF}\cdot \vec {FN}=0,\frac{\left| MF\right| }{\left| FN\right| }=3，则的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 设双曲线的左焦点为，连接、、、，根据对称性及已知条件可得四边形为矩形，设，根据双曲线的定义表示出，，在中利用勾股定理得到，再在中利用勾股定理得到的关系，即可得解. 【详解】 设双曲线的左焦点为，连接、、、，如图所示， 根据双曲线的对称性可知四边形为平行四边形， 又因为\vec {MF}\cdot \vec {FN}=0，所以，所以四边形为矩形， 设，因为，则， 由双曲线的定义可得：，则，， 又因为为直角三角形，所以， 所以，解得， 所以， 又因为为直角三角形，， 所以，即， 所以，即. 故选：D. 17．（25-26学年高二上·江苏淮安·期中）（多选）已知，关于曲线，下列说法正确的是（       ） A. 曲线可能是直线 B. 曲线可能是椭圆 C. 曲线可能是圆 D. 曲线可能是双曲线 【答案】BC 【分析】 结合直线、椭圆、圆与双曲线定义逐项判断即可得. 【详解】 对A：由，故，， 故曲线为二次方程，曲线不可能为直线，故A错误； 对B：当，即时，曲线是椭圆，故B正确； 对C：当时，有，此时， 即曲线可能是圆，故C正确； 对D：要想曲线为双曲线，则需， 由，，故无解， 故曲线不可能是双曲线，故D错误. 故选：BC. 18．（25-26学年高二上·江苏扬州邗江区·期中）从某个角度观察篮球（如图1）可以得到一个对称的平面图形（如图2），篮球的外轮廓为圆，将篮球的表面粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，且，则该双曲线的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 设双曲线的标准方程为，求出圆与双曲线在第一象限内的交点的坐标，将点的坐标代入双曲线的方程，可得出的值，再利用双曲线的离心率公式可求得该双曲线的离心率. 【详解】 设双曲线的标准方程为， 设圆与双曲线在第一象限内的交点为，连接、， 则， 因为坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，则， 故点， 将点的坐标代入双曲线的方程可得，所以， 所以，该双曲线的离心率为. 故选：C. 19．（25-26学年高二上·江苏连云港海州区·期中）若双曲线的焦距为4，直线与交于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（     ） A.  B.  C. 1 D. 2 【答案】D 【分析】 根据焦距为4，求得m的值，利用点差法，结合中点坐标，求得直线的斜率. 【详解】 由题可知，解得. 所以双曲线. 若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性知，线段的中点均在轴上，不合题意，所以直线的斜率存在. 设，则 ，整理得. 因为线段的中点为，所以. 所以. 直线的斜率为2. 故选：D. 20．（25-26学年高二上·江苏连云港海州区·期中）（多选）已知双曲线左，右焦点分别为，过的直线交双曲线的右支于两点，在第一象限，在第四象限，则（       ） A. 该双曲线的渐近线方程为 B. 若\vec {PF_{1}}\cdot \vec {PF_{2}}\leq 0，则到轴的最大距离为 C. 若，则的周长为20 D. 点到两条渐近线的距离之积为 【答案】ACD 【分析】 根据方程求，即可得渐近线方程，即可判断A；对于B：分析可知点在以为直径的圆上或圆内，联立方程运算求解即可；对于C：根据双曲线的定义运算求解即可；对于D：根据点到直线的距离公式运算求解. 【详解】 由双曲线方程可知：， 且焦点在x轴上，则. 对于选项A：该双曲线的渐近线方程为，故A正确； 对于选项B：若\vec {PF_{1}}\cdot \vec {PF_{2}}\leq 0，可知点在以为直径的圆上或圆内， 因为以为直径的圆的方程为， 联立方程 ，解得， 当时，直线的斜率， 所以到轴的最大距离为，故B错误； 对于选项C：因为，， 则的周长为，故C正确； 对于选项D：设，则，即， 可得点到渐近线的距离， 点到渐近线的距离， 所以点到两条渐近线的距离之积为，故D正确； 故选：ACD. 21．（25-26学年高二上·江苏南京·期中）（多选）已知点，动点满足：，记点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（　　） A. 曲线的方程为 B. 曲线与直线没有公共点 C. 点到点距离的最小值为 D. 过点且倾斜角为45°的直线与交于两点，则的周长为 【答案】ABD 【分析】 由双曲线的定义可判断A；由直线是曲线的渐近线可判断B；设，则，利用两点间的距离公式求得距离的最小值即可判断C；设直线方程并代入曲线的方程中，利用弦长公式求出，再由曲线的定义求解周长即可判断D. 【详解】 对于A，由， 由双曲线的定义知，点的轨迹是以为左、右焦点的双曲线的右支， 且，则，，所以， 所以曲线C的方程为，故A正确； 对于B，因为是曲线的一条渐近线，与曲线无公共点，故B正确； 对于C，设，则， 点到点距离，当且仅当时取等号.所以，故不正确； 对于D，因为，所以直线为，设， 由 ，得， 则， 所以， 因为，， 所以， 所以的周长为.故D正确. 故选：ABD. 22．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）双曲线两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率e为（     ） A.  B. 2 C.  D.  【答案】C 【分析】 由渐近线的夹角得到，解得，由，解得，代入公式得解. 【详解】 的渐近线方程为，， 结合条件两条渐近线的夹角为， 则，解得，又，， ，. 故选：C. 23．（25-26学年高二上·江苏期中学·期中）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，是双曲线的一个顶点.以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，且，则双曲线的渐近线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 将以为直径的圆的方程与双曲线的一条渐近线联立，可求出点、坐标，再利用大小计算可得，即可得双曲线的渐近线方程. 【详解】 由双曲线对称性，不妨设、在渐近线上， 且，是双曲线左顶点， 则以为直径的圆的方程为， 联立 ，解得 或 ， 则，，又，则， 设其右顶点为， 故， 故，则，则双曲线的渐近线方程为. 故选：B. 24．（25-26学年高二上·江苏连云港灌云县·期中）已知、是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则双曲线C的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案. 【详解】 因为，由双曲线的定义可得， 所以，； 因为， 由余弦定理可得 即， 整理可得， 所以，即. 故选：B 25．（25-26学年高二上·江苏连云港东海县·期中）（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上异于顶点的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为、，则下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D. 内切圆的圆心在直线上 【答案】ABD 【分析】 对A：借助双曲线定义与焦距长度计算即可得；对B：设出点，表示出、后，利用余弦定理计算即可得；对C：结合B中所得计算即可得；对D：利用内切圆中切线长性质结合双曲线定义与焦距长度计算即可得. 【详解】 对A：由双曲线定义可得，则， 则，又， 则，故A正确； 对B：设，则，即， 双曲线的渐近线为，则， 由对称性，不妨设在上，在， 则，， 有， 由，则， 则， 故，由点不在顶点上，故不能取等，即，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：设内切圆圆心为，与、、的切点分别为、、， 由切线长定理可得、、， 又，， 即， 则， 则， 又，故，即内切圆的圆心在直线上，故D正确. 故选：ABD. 26．（25-26学年高二上·江苏淮安·期中）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 曲线表示双曲线的右支，联立 ，结合题意与右支交于两个不等的正根，结合判别式和两个正根求解即可． 【详解】 曲线，则， 所以曲线表示双曲线的右支， 联立 ， 得， 因为直线与曲线有两个不同的交点， 所以，即，， 解得且， 又因为直线l：与双曲线右支相交， 则存在两个不等且不小于2的根，设两个交点为， 所以， 所以，解得或， 综上：或， 故选：B. 27．（25-26学年高二上·江苏南京·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，点是右支上一点，．若点到直线的距离为，则的离心率为（　　） A.  B.  C. 2 D.  【答案】B 【分析】 利用双曲线的定义，构造齐次方程，进而可得离心率. 【详解】 如图所示，由已知得，且，， 则 又由双曲线定义可知，即，而， 可得，即，解得（舍）或， 所以离心率， 故选：B. 28．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）（多选）已知点，曲线，则下列说法正确的是（       ） A. 曲线上存在点，使得 B. 直线与曲线没有交点 C. 若过点的直线与曲线有三个不同的交点，则直线的斜率的取值范围是 D. 点是曲线上在第三象限内的一点，过点向直线与直线作垂线，垂足分别为，则 【答案】BC 【分析】 分，与零的大小讨论，得到曲线方程，并画出图形，由双曲线的定义可判断A；由渐近线方程可判断；由直线分别与椭圆和双曲线相切可判断C；由点到直线的距离公式可得D正确； 【详解】 当，时，曲线，即； 当，时，曲线，即不存在； 当，时，曲线，即； 当，时，曲线，即， 画出图形如图所示： 对于A：满足条件的曲线是双曲线的下支， 该双曲线的下支与曲线是没有交点的， 所以不存在曲线上的点，使得成立，故A错误； 对于B：一三象限曲线的渐近线方程为， 则直线与曲线没有交点，故B正确； 对于C：设过点的直线，三个交点，显然. 联立 ； 联立 ； 直线与曲线有三个不同的交点，则直线斜率的取值范围是，C正确； 对于D：设，由点到直线距离公式得：，， 所以. 因为点是曲线上在第三象限内的一点，则有， 所以，故D错误， 故选:BC. 29．（25-26学年高二上·江苏期中学·期中）（多选）高邮融合历史与现代，将“好事成双”提炼为文旅品牌.邮城一位数学老师设计了“双核”曲线，其方程为.对于曲线，下列说法正确的是（     ） A. 当且仅当时，直线与曲线有唯一公共点 B. 曲线上存在唯一的点，使得点到与到的距离之差为8 C. 曲线所围成的封闭曲线面积小于 D. 若曲线上恰好存在4个不同点到直线的距离为1，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【分析】 分析曲线C在各个象限的方程，可得其图象是四段圆弧围成的封闭曲线.根据直线与各段弧相应的圆相切时的值，确定直线与曲线有唯一公共点时k的取值范围，从而判断A；由双曲线的定义，结合图象判断满足条件的点只有一个，从而判断B；由弓形面积的计算方法估计封闭曲线的面积，从而判断C；根据直线与圆相切及平行线间的距离，结合图象可确定实数的取值范围，从而判断D. 【详解】 对于曲线：， 当时，；当时，； 当时，；当时，. 所以其图象是四段圆弧围成的封闭曲线.    对于A，直线与曲线均过坐标原点，因此直线与曲线有唯一公共点时，该公共点即为坐标原点. 若， 当与直线，即相切时，，解得，所以当时，直线与曲线在第一象限及y轴（除坐标原点）无交点；    若， 当与直线，即相切时，，解得，所以当时，直线与曲线在第二象限无交点；    同理可得当时，直线与曲线在第三象限无交点；当时，直线与曲线在第四象限及y轴（除坐标原点）无交点. 综上，当且仅当时，直线与曲线有唯一公共点. 所以选项A正确. 对于B，由双曲线的定义可知，到与到的距离之差为8的点在以与为焦点，实轴长为8的双曲线的下支上，其标准方程为. 与曲线C有且只有一个交点，即.所以选项B正确.    对于C，曲线所围成的封闭曲线由四个相同的弓形组成. 如图，的面积为.，所以. 所以，所以所在扇形的面积大于， 每个弓形的面积大于，所以四个弓形的面积大于.所以选项C错误.    对于D， 当直线与相切时，，解得； 同理可得，当直线与相切时，； 当直线与相切时，； 当直线与相切时，. 如图记 设直线到直线的距离为1，则解得； 设直线到直线的距离为1，则解得或； 设直线到直线的距离为1，则解得，或； 设直线到直线的距离为1，则解得. 因为曲线上恰好存在4个不同点到直线的距离为1，所以实数的取值范围为.所以选项D正确.        故选：ABD. 30．（25-26学年高二上·江苏连云港赣榆区·期中）若方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据焦点在轴上的双曲线的特征列出不等式组，求解即得 . 【详解】 因方程表示焦点在轴上的双曲线， 则可将其方程化为，需使 ，解得. 故答案为：. 31．（25-26学年高二上·江苏连云港赣榆区·期中）已知双曲线的右顶点为，实轴长为4，过双曲线的左焦点作直线，当直线与轴垂直时，直线与双曲线的两个交点分别为，此时为等腰直角三角形． （1）求双曲线的标准方程； （2）当直线与双曲线的渐近线平行时，求直线与双曲线的交点坐标． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据关系得到方程组，解出即可； （2）写出渐近线方程，再利用平行关系得到直线的方程，联立双曲线方程解出即可； (1) 小问详解： 由题意得 ，解得 ， 所以双曲线的方程为：. (2) 小问详解：        渐近线方程为， 当直线与平行时，直线的方程为：， 联立 解得 . 当直线与平行时，直线的方程为：， 联立 解得 ， 所以直线与双曲线的交点坐标为或. 32．（25-26学年高二上·江苏期中学·期中）与双曲线：有相同焦点，且过点的双曲线的标准方程为　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 设双曲线方程为，将点代入求出的值，从而可得双曲线方程. 【详解】 由题意可设双曲线方程为，又经过点， 所以，即，解得或(舍)， 所以双曲线的标准方程为， 故答案为：. 33．（25-26学年高二上·江苏南通如东县·期中）在平面直角坐标系中，已知双曲线C的中心为坐标原点，焦点，在坐标轴上，且过点和．过点的直线与C的交于M，N两点． （1）求双曲线C的标准方程； （2）若，求； （3）证明：． 【答案】（1）     （2）      （3） 设，则，                       ， ， 所以，             所以.同理，可得. 因为，所以. 【分析】 （1）分焦点在轴上和轴上讨论，用待定系数法求解； （2）求出直线的方程，联立方程组，利用弦长公式求解； （3）设，利用两点间距离公式求出，，，得，同理可得，得证. (1) 小问详解： 若焦点在轴上，可设双曲线C的标准方程， 因为双曲线C过点和，所以，， 解得，所以双曲线C的标准方程. 若焦点在轴上，可设双曲线C的标准方程， 因为双曲线C过点和，所以，， 解得，所以舍去. 综上，双曲线C的标准方程. (2) 小问详解： 因为，所以，则, 所以.                                                          由 ，得，. 设，，则. 所以， . (3) 小问详解： 略 34．（25-26学年高二上·江苏宿迁泗阳县·期中）设双曲线的半焦距为，直线过，两点，原点到直线的距离为. （1）求双曲线的离心率； （2）点在双曲线上，直线与双曲线相交于，两点，请问是否存在以为直径的圆经过坐标原点，若存在请说明理由，并求出实数的值. 【答案】（1）或     （2）存在，或      【分析】 （1）直线方程为：，利用点到直线的距离公式得，化简得，两边除以得，求解即可； （2）先根据题意求出双曲线方程为，再与直线联立，根据和韦达定理求解. (1) 小问详解： 根据题意，直线方程为：，即， 又原点到直线的距离为，即， 则，又， 所以，则， 解得或，所以或； (2) 小问详解： 当时，由可得， 双曲线经过点，则，解得可得， 所以双曲线方程为， 当时，由可得， 双曲线经过点，则，无解， 所以双曲线方程为， 联立方程 。 整理可得： ，解得， 因为，不和双曲线的顶点重合，所以 根据韦达定理：，， 因为以为直径的圆经过坐标原点，则， 解得或， 所以当或，存在以为直径的圆经过坐标原点. 35．（25-26学年高二上·江苏淮安·期中）已知是双曲线的左､右焦点，点是左支上的一点，若为等腰三角形，且，则双曲线的离心率为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 结合双曲线定义与余弦定理可得、有关齐次式，再利用离心率定义计算即可得. 【详解】 由双曲线定义可得，， 由为等腰三角形，则， 则， 则有， 即，整理得， 故，故， 又，故. 故答案为：. 36．（25-26学年高二上·江苏淮安·期中）已知双曲线的焦点为，且双曲线上的点到两个焦点距离之差的绝对值为2. （1）求双曲线的标准方程； （2）若直线与双曲线相交于两点，且，求实数的值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用双曲线定义计算即可得； （2）联立直线与曲线方程，可得与交点横坐标有关韦达定理，再利用弦长公式计算即可得. (1) 小问详解： 由双曲线定义可得该双曲线实轴长为，焦距为， 则虚轴长为，故双曲线的标准方程为； (2) 小问详解： 联立 ，消去得， ， 设、，则，， 则 ， 则，故. 37．（25-26学年高二上·江苏扬州邗江区·期中）已知双曲线：的离心率为，实轴长为4. （1）求双曲线的方程； （2）若直线：与C的右支交于A，B两点，为坐标原点. （i）求的取值范围； （ⅱ）若直线与轴交于点，且，求的面积. 【答案】（1）；     （2）（i）；（ⅱ）.      【分析】 （1）根据给定条件，结合离心率的意义求出即可. （2）（i）将直线与双曲线方程联立，利用一元二次方程有二不等的正根列式求解；（ⅱ）利用数量积的定义及坐标表示求出，进而求出三角形面积. (1) 小问详解： 由双曲线的实轴长为4，得， 由双曲线的离心率为，得，得， 所以双曲线C的方程为. (2) 小问详解： （i）设，由 消去得， 由A，B都在双曲线C的右支上，得 ，解得， 所以的取值范围是. （ii）依题意，，\vec {PA}\cdot \vec {PB}=\left(x_{1},y_{1}+2\right)\cdot \left(x_{2},y_{2}+2\right)=| \vec {PA}| | \vec {PB}| =\frac{40}{3}， 则，解得， 而，则， ， 所以的面积. 38．（25-26学年高二上·江苏连云港海州区·期中）已知为双曲线的左焦点，过点作直线与双曲线左支交于，两点，点是双曲线上点关于原点的对称点.若以为直径的圆过点，且，则双曲线的离心率为　　　　　. 【答案】 【分析】 根据题意做出图形，由双曲线的定义、余弦定理以及勾股定理可求出双曲线的离心率. 【详解】 如图，设双曲线的右焦点，连接、、， 因为点是双曲线上点关于原点的对称点，所以四边形为平行四边形， 因为以为直径的圆过点，所以， 因为，所以， 因为，所以，所以， 设，则， 由双曲线的定义，，， 在中，由余弦定理，, 即，整理得， 所以，， 在中，，所以. 故答案为：. 39．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）已知点，双曲线的左顶点为，左､右焦点分别为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直. （1）求双曲线的离心率； （2）设点在双曲线上，且\vec {MF_{1}}\cdot \vec {MF_{2}}=0，求点到轴的距离； （3）过且斜率为的直线与双曲线交于两点，求线段的长度. 【答案】（1）；     （2）；     （3）      【分析】 （1）计算得到，即可求得离心率； （2）设，在中，由勾股定理结合双曲线定义求得，再由 求出即得； （3）先求出直线方程，再与双曲线方程联立，结合韦达定理和弦长公式即可计算求解. (1) 小问详解： 双曲线的左顶点为，故， 则由双曲线的一条渐近线与直线AP垂直可知，则， 故双曲线方程为，其离心率为； (2) 小问详解： 由（1）得， ∵\vec {MF_{1}}\cdot \vec {MF_{2}}=0，∴，设， 则在中，有， 又由双曲线的定义，可得， 解得，则， 又，解得， ∴M点到x轴的距离为； (3) 小问详解： 因，则过且斜率为的直线的方程为， 与双曲线方程联立消元，可得， 设，则， 由弦长公式，=. 所以DE的长度为. 40．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的最大值为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用椭圆和双曲线的定义，在焦点三角形利用余弦定理得到，再用基本不等式求解. 【详解】 不妨设为第一象限的点，为左焦点， 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为， 则根据椭圆及双曲线的定义可得， ，所以，， ，在△中，， 由余弦定理得， 化简得，即． 所以，从而， 当且仅当，且，即，时等号成立． 故答案为： 41．（25-26学年高二上·江苏南通如皋·期中）已知双曲线：的实轴长为2，离心率为2，，分别为左，右顶点，，分别为左，右焦点． （1）求双曲线的方程； （2）若过的直线与双曲线右支交于，两点，直线与直线交于点． ①证明：点在定直线上； ②若，求直线的方程． 【答案】（1）     （2） ① 因为为双曲线右焦点，所以，，， 设过直线的方程为，，， 所以 ，联立可得， 由韦达定理可得 ， 直线的斜率为，方程为， 直线的斜率为，方程为， 设，所以， 将，，所以， 整理可得 ， 因为， ，所以， 所以， ，解得， 所以点在定直线上. ②或.      【分析】 （1）由双曲线的实轴长为，所以，再通过离心率以及即可求解. （2）① 设直线的方程为，，，直线与双曲线方程联立，通过韦达定理得到，的关系，求出直线与直线的方程，两式联立求解交点，再根据代入求解即可.② 由，得到，再由三点共线，可得到向量共线，即可得到线段比，代入求解即可. (1) 小问详解： 因为双曲线实轴长为，所以，即， 又因为离心率为，所以，所以， 因为，所以， 所以双曲线：. (2) 小问详解： ① 略 ② 设，因为在直线，，如图所示： ， 因为，，三点共线，所以k_{1}\vec {AM}=\vec {MP}，即， \vec {AM}=\left(\frac{3}{2},y_{0}\right)，\vec {MP}=\left(x_{1}-\frac{1}{2},y_{1}-y_{0}\right)，所以， 同理k_{2}\vec {MB}=\vec {MQ}，即，\vec {MB}=\left(\frac{1}{2},-y_{0}\right)，\vec {MQ}=\left(x_{2}-\frac{1}{2},y_{2}-y_{0}\right)， 所以， 所以，因为， 所以， 所以 ， ，， 因为 ， 所以， ， 所以， 解得，即，所以直线的方程为或. 42．（25-26学年高二上·江苏连云港东海县·期中）已知双曲线（，）的左焦点到渐近线的距离为，焦距为4，右顶点为，为上一点，且直线的斜率为． （1）求双曲线的标准方程； （2）过点的直线与双曲线相切于点，求证：平分． 【答案】（1）     （2） 由（1）有：，设点， 由，所以，即， 设直线的方程为：，即， 由 ，即， 所以， 即，又，解得， 所以直线的方程为：， 所以 ，解得 ，所以， 所以\vec {FB}=\left(4,3\right),\vec {FP}=\left(3,1\right),\vec {FA}=\left(3,0\right)， 所以\cos \angle BFP=\frac{\vec {FB}\cdot \vec {FP}}{\left| \vec {FB}\right| \left| \vec {FP}\right| }=\frac{4\times 3+3\times 1}{5\times \sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}， \cos \angle PFA=\frac{\vec {FA}\cdot \vec {FP}}{\left| \vec {FA}\right| \left| \vec {FP}\right| }=\frac{3\times 3}{\sqrt{10}\times 3}=\frac{3\sqrt{10}}{10}， 所以，又， 所以，即平分. 【分析】 （1）利用点到直线的距离公式求得，又由，进而求解； （2）由直线的斜率为求点的坐标，设直线的方程为：，与双曲线联立，由求出，进而求出点，利用向量的夹角公式即可得证. (1) 小问详解： 由题意有：，双曲线的渐近线方程为：，即， 由点到直线的距离为：，即， 又焦距，即， 所以， 所以， 所以双曲线的标准方程为：； (2) 小问详解： 略 43．（25-26学年高二上·江苏连云港海州区·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为. （1）求双曲线的方程； （2）过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点． （i）记直线，的斜率分别为，，证明：是定值； （ii）设G为直线和的交点，记，的面积分别为，，求的最小值． 【答案】（1）     （2）（i）证明：依题意，设直线的方程为，.   由 消去x并整理得. 由直线与双曲线的右支交于两点，可得 . 解得. 则，. 即，而. 所以为定值. （ii）      【分析】 （1）利用双曲线的顶点和离心率，结合双曲线方程求出 即可. （2）设出直线的方程与双曲线联立，利用韦达定理及斜率公式，推理计算即可. （3）由（2）可得斜率之间的关系，联立方程求出点坐标，再求出三角形面积的函数关系并求出最小值. (1) 小问详解： 由题意知，因为， 得，， 所以双曲线的方程为. (2) 小问详解： （i）略 （ii）由（2）知，直线：，直线：. 则点的横坐标为. 于是. 因为，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为. 44．（25-26学年高二上·江苏常州金坛区·期中）已知双曲线的中心点为，其中为左､右焦点，，为左､右顶点，且离心率为上一动点. （1）求证：； （2）设直线的斜率分别为，求证：为定值； （3）若双曲线的顶点为和，且的最大内角为120°，求点的坐标. 【答案】（1） 由双曲线的离心率，可知，即， 所以双曲线， 设，，， ， ， 所以；     （2） 设，， ，即， 所以为定值；     （3），，，      【分析】 （1）利用坐标法表示两点间距离，即可证明； （2）利用坐标法，结合点在双曲线上，即可证明； （3）设直线的方程，与双曲线方程联立，再利用对称性，即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 根据双曲线的对称性，不妨设点在右支第一象限上，双曲线方程为， 则的最大内角为最大，此时，则， 设直线，联立双曲线方程， ，得，得或（舍）， 时，，即， 根据对称性可知，点在第二象限的坐标为，点在第三象限的坐标为，点在第四象限的坐标为， 所以满足条件的点坐标为，，，. 45．（25-26学年高二上·江苏常州金坛区·期中）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由题意可得，结合椭圆和双曲线的定义得到，的关系式，根据的取值范围，结合对勾函数性质即可得到结果. 【详解】 设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，它们的公共焦距为， 不妨设焦点在轴上，点在第一象限， 由点在线段的垂直平分线上，则， 由椭圆、双曲线的定义得：，， 则，整理得， 则，故，则， 故，其中， 令， 由对勾函数性质可知，在上单调递增， 故， 即的取值范围是. 故答案为：. 46．（25-26学年高二上·江苏期中学·期中）已知双曲线：，过右焦点作直线交双曲线的右支于，两点，交两条渐近线于，两点，点，在第一象限，为坐标原点. （1）证明：点到两条渐近线的距离之积为定值； （2）求面积的最小值； （3）记，，的面积分别为，，，求的取值范围. 【答案】（1） 由题意知，双曲线的渐近线方程为， 设，，则. 设点到两条渐近线的距离为， 则.     （2） 6     （3）       【分析】 （1）求出双曲线渐近线，设出点，应用点到直线的距离公式即可； （2）设出直线，联立直线与双曲线方程，根据韦达定理表示出两点纵坐标的差的绝对值，则，再求其最大值； （3）联立直线与双曲线的渐近线，求出两个交点坐标，再根据（1），（2）中的结论分别表示出与，代入求范围. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解：    设直线的方程为，因为直线与双曲线的右支相交，故. ，有 . . 令，则（当时取等号）. (3) 小问详解： 由 ，得 ，则， 得.同理，可得. 所以，. 故，，因为，所以. 所以，的取值范围为. 47．（25-26学年高二上·江苏连云港灌南县·期中）已知双曲线的离心率为，且双曲线的一个焦点到其一条渐近线的距离为1. （1）求双曲线的方程； （2）设点为双曲线的左顶点，过点的直线与的右支交于两点，且直线与轴分别交于两点，记四边形的面积为，三角形面积为，求的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据双曲线的离心率公式以及焦点到渐近线的距离公式来确定a，b的值，进而得到双曲线方程； （2）设出直线l的方程，与双曲线方程联立，先求出的范围，进而求出. (1) 小问详解： 由题意可知，的一条渐近线方程为，右焦点为，右焦点到渐近线的距离，解得， 由离心率，又，解得， 双曲线的方程为. (2) 小问详解： 当斜率为0时，直线的方程为 与双曲线右支交点只有一个，不满足条件；    当斜率不为0时，设直线的方程为：，则 联立 ， 恒成立，， 直线与双曲线的右支交于两点，，解得 ， 的取值范围是 48．（25-26学年高二上·江苏连云港灌云县·期中）平面直角坐标系中，为动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限，且，记动点的轨迹为. （1）求的方程； （2）已知点，，设点与点关于原点对称，的角平分线为直线，过点作的垂线，垂足为，交于另一点，求的最大值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用点到直线距离公式和双曲线定义运算分析即可得解. （2）根据角平分线的条件，利用向量投影模长相等、直线方程、点到直线距离公式、弦长公式、基本不等式运算即可得解. (1) 小问详解： 解：由题意设，由点到直线距离公式得 ，， ∴， ∴，又∵垂足位于第一象限， 垂足位于第四象限，， ∴的轨迹方程为. (2) 小问详解： 解：由对称性，不妨设在第一象限，设，则， 设直线的斜率为，记\vec {\alpha }=\left(1,k\right)，由为的角平分线， 则有\frac{\vec {TM}\cdot \vec {\alpha }}{\left| \vec {TM}\right| }=\frac{\vec {TN}\cdot \vec {\alpha }}{\left| \vec {TN}\right| }， 其中，，\vec {TM}=\left(x_{0}-2,y_{0}\right)，\vec {TN}=\left(x_{0}+2,y_{0}\right)， ∴\left| \vec {TM}\right| =\sqrt{\left(-2+x_{0}\right)^{2}+{y}_{0}^{2}}=\sqrt{\left(-2+x_{0}\right)^{2}+\frac{{x}_{0}^{2}}{3}-1}=\frac{2\sqrt{3}}{3}x_{0}-\sqrt{3}， 同理得：\left| \vec {TN}\right| =\frac{2\sqrt{3}}{3}x_{0}+\sqrt{3}，代入\frac{\vec {TM}\cdot \vec {\alpha }}{\left| \vec {TM}\right| }=\frac{\vec {TN}\cdot \vec {\alpha }}{\left| \vec {TN}\right| }中， ∴，化简得：. 将代入，中， 解得：，， ∴，， 设直线的方程为，将代入， 解得：， ∴直线的方程为，， 由点到直线距离公式得：. 由直线的斜率为，设直线的方程为， 将点代入，解得：， ∴直线的方程为，将其与联立得： ， 设，则，， 由可知，， 由均值不等式，， 当且仅当，即时，等号成立， ∵，故， ∴，当且仅当时，等号成立. ∴的最大值为. 【点睛】 圆锥曲线题型中的角平分线问题往往有如下处理思路： 方法一.如果轴为一个角的平分线，则该角的两边所在直线的斜率互为相反数； 方法二.利用角平分线上的点到角两边的距离相等； 方法三.如果轴为一个角的平分线，则角两边所在直线满足以下规律：一边上任意一点关于轴的对称点必在另外一边上； 方法四.利用向量，根据向量投影的模长相等来进行求解. 考点03 抛物线 1．（25-26学年高二上·江苏南通如皋·期中）抛物线的焦点到准线的距离为（       ） A.  B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【分析】 根据抛物线中p的几何意义可求解． 【详解】 由抛物线知，， 所以抛物线的焦点到准线的距离是， 故选：B． 2．（25-26学年高二上·江苏连云港东海县·期中）设抛物线：的焦点为，点在上，则（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【分析】 利用抛物线的定义即可求解. 【详解】 由题意有：抛物线 ：的准线方程为：， 利用抛物线的定义有：， 故选：B. 3．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）抛物线的焦点是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 直接根据抛物线的焦点坐标的公式即可求解. 【详解】 的焦点是, 故选：D 4．（25-26学年高二上·江苏连云港灌云县·期中）抛物线的焦点到准线的距离是（       ）. A.  B.  C. 2 D. 4 【答案】B 【分析】 根据抛物线方程及其定义确定焦点到准线的距离. 【详解】 由抛物线方程知：，即， 根据抛物线定义知：焦点到准线的距离是. 故选：B 5．（25-26学年高二上·江苏连云港灌南县·期中）已知抛物线方程，则该抛物线的焦点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 将抛物线化成标准方程得，根据抛物线的基本概念即可算出该抛物线的焦点坐标． 【详解】 ∵抛物线的方程为， ∴化成标准方程，得， ∴由此可得抛物线的，得，        ∴抛物线的焦点坐标为. 故选：A. 6．（25-26学年高二上·江苏连云港赣榆区·期中）有一抛物线形拱桥，当水面离拱顶2米时，水面宽8米．若水面下降1米，水面宽度增加了（       ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 4米 【答案】C 【分析】 根据题意设,求出，进而求解增加水面宽度. 【详解】 以水面为轴，过拱顶的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系. 根据题意设,当，则， 所以 当，则,解得, 所以水面下降米，水面宽度增加米. 故选：C 7．（25-26学年高二上·江苏连云港海州区·期中）抛物线方程为，则此抛物线的准线为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先化为标准抛物线形式，再由准线方程可得. 【详解】 抛物线方程为，则，可得，抛物线的准线为. 故选：D． 8．（25-26学年高二上·江苏南通如东县·期中）已知圆，直线，则与直线相切且与圆外切的圆的圆心的轨迹方程是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 考察点到F的距离与到直线的距离，作辅助直线结合抛物线定义可解. 【详解】 由图可知，到F的距离比到直线的距离大1， 记直线为直线 ，则到F的距离等于到直线的距离， 由抛物线定义可知，M的轨迹为顶点在原点开口向左的抛物线，其中， 所以M的轨迹方程为： 故选：B 9．（25-26学年高二上·江苏南通如东县·期中）（多选）设为坐标原点，过抛物线的焦点作斜率为的直线与交于、两点，为的准线，、在直线上的射影分别为，.则 （     ） A.  B. 的面积是 C. 直线与以为直径的圆相切 D. 是直角三角形 【答案】BCD 【分析】 将直线的方程与抛物线方程联立，求出点、的坐标，利用抛物线的焦点弦长公式可判断A选项；利用三角形的面积公式可判断B选项；利用直线与圆的位置关系可判断C选项；利用平面向量垂直的坐标表示可判断D选项. 【详解】 易知抛物线的焦点为，准线的方程为， 设点、，易知直线的方程为， 对于A选项，联立 可得，解得 或 ， 所以，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，设线段的中点为，则，则，， 点到直线的距离为，故直线与以为直径的圆相切，C对； 对于D选项，记点、，则点、， \vec {FM_{1}}=\left(-2,-1\right)，\vec {FN_{1}}=\left(-2,4\right)，所以\vec {FM_{1}}\cdot \vec {FN_{1}}=4-4=0，即， 即是直角三角形，D对. 故选：BCD. 10．（25-26学年高二上·江苏连云港东海县·期中）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，，为上两点，．则的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据抛物线方程设坐标，然后根据列等式得到，最后利用抛物线定义和基本不等式求最小值. 【详解】 设，， 因为，所以\vec {OA}\cdot \vec {AB}=\left(\frac{a^{2}}{4},a\right)\cdot \left(\frac{b^{2}-a^{2}}{4},b-a\right)=\frac{a^{2}\left(b^{2}-a^{2}\right)}{16}+a\left(b-a\right)=0， 由题意知，则，整理得， 由抛物线的定义得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 11．（25-26学年高二上·江苏扬州邗江区·期中）已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在抛物线C上，垂直l于点Q，与y轴交于点T，O为坐标原点，且，则（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 设直线交于点，则可得，从而可得点的纵坐标为2，则可求出的横坐标，然后利用抛物线的定义可求得结果. 【详解】 由，得抛物线的焦点为，准线为直线， 设直线交于点，则为的中点， 因为∥，， 所以， 因为垂直l于点Q， 所以点的纵坐标为2， 当时，，得， 所以点的横坐标与F相同， 所以， 故选：B 12．（25-26学年高二上·江苏连云港海州区·期中）（多选）下列说法中，正确的命题是（       ） A. “”是“直线与直线平行”的充要条件 B. 圆圆外切 C. 抛物线上一点到其焦点距离为2 D. 双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为 【答案】ABD 【分析】 对于A,利用两直线平行的判定条件求解即可；对于B，利用圆心距和两个圆半径和的关系求解即可；对于C，利用抛物线的定义求解即可；对于D,利用双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式求解即可. 【详解】 对于A，若“直线与直线平行”， 当时，则解得：， 当时，直线，直线，两直线明显不平行， 故“”是“直线与直线平行”的充要条件，故A正确； 对于B，圆圆， 故，故圆与圆外切，故B正确； 对于C，抛物线的准线为：，故到准线的距离为， 即点到其焦点的距离为，故C错误； 对于D, 的渐近线方程为：， 且，故右焦点 故右焦点到一条渐近线的距离为：，故D正确； 故选：ABD 13．（25-26学年高二上·江苏连云港海州区·期中）（多选）过抛物线：（）的焦点的直线交于，两点，其中是的中点，点到轴的距离的最小值为，为坐标原点，则下列命题正确的是（     ） A.  B.  C.  D. 点的轨迹方程是 【答案】ABD 【分析】 设直线的方程，与抛物线方程联立求出点的坐标，利用最小值求出，再结合抛物线定义逐项求解判断. 【详解】 抛物线的焦点，显然直线不垂直于轴，设其方程为， 由 消去得，， 设，则,，弦的中点， 对于A，当时，取得最小值，又点到轴的距离的最小值为， 因此，解得，A正确； 对于B，，，， 因此，B正确； 对于C，，， 则，C错误； 对于D，设，则 ，消去得，则点的轨迹方程是，D正确. 故选：ABD 14．（25-26学年高二上·江苏南京·期中）若直线与抛物线：交于，两点，且线段中点的横坐标为2，则直线的斜率为（　　） A. -1 B.  C. 1 D. 2 【答案】C 【分析】 设直线方程为，与抛物线联立得：，再根据线段中点的横坐标为2，得，从而求出斜率. 【详解】 依题意，直线斜率存在，设直线方程为， 与抛物线联立得：， 设，， 由韦达定理得：， 又因为线段中点的横坐标为2， 得， 所以， 故选：C. 15．（25-26学年高二上·江苏连云港灌云县·期中）设抛物线的焦点为F，斜率不为0的直线l过点，过F作l的垂线，垂足为P，Q是C上的一个动点，则的最小值为（       ） A.  B. 6 C.  D. 7 【答案】C 【分析】 分析点的轨迹，作出图形，结合抛物线定义可得. 【详解】 ，因为，垂足为， 所以点的轨迹是以FA为直径的圆（不包括F，A两点）， 半径，圆心为，又因为在拋场线上， 其准线为直线，过点作准线的垂线，垂足为， 则， 当四点共钱且在点下方时取等号， \left(\left| FQ\right| +\left| PQ| \right)_{\min }=| BR| -r=8-\frac{3}{2}=\frac{13}{2}. 故选：C. 16．（25-26学年高二上·江苏连云港赣榆区·期中）（多选）已知抛物线的焦点为，准线过点，直线与交于两点，弦的中点为，过分别作准线的垂线，垂足分别为，则（       ） A.  B. 若点在抛物线上，则点到准线的距离为3 C. 若直线过焦点，则 D. 若的面积是的面积的2倍，则点的轨迹方程为 【答案】AC 【分析】 根据可得，求出后判断A，根据抛物线定义求出到准线的距离后可判断B，根据抛物线的定义结合等腰三角形的性质、平行线内错角的性质可证，故可判断C的正误，利用设点法结合面积关系可得或，据此求出的轨迹方程后判断D. 【详解】 对于A，因为准线过，故，故，故A正确； 对于B，由A可得抛物线方程为，故准线方程为， 而在抛物线上，故到准线的距离为，故B错误； 对于C，由抛物线的定义可得，故， 同理，故， 故，，而，故， 故C正确；    对于D：由题设可得不过焦点，故设，， 则，此时的面积为， 当时，则， 令，则，故此时的面积为（1）， 故，而相异，故， 故即，故或， 又，且， 若，则即的轨迹方程为， 因为，故，故此时的轨迹方程为， 若，同理可得的轨迹方程为， 因为，故，同理可得的轨迹方程为， 若，则，此时的面积为， 故，故， 故 或 ， 故或， 此时，该点在曲线上， 综上，的轨迹方程为或，故D错误.           故选：AC 17．（25-26学年高二上·江苏常州金坛区·期中）（多选）已知抛物线的焦点为为其上一动点，则（       ） A. 当时， B. 当时，抛物线在点处的切线方程为 C. 以为圆心且与轴相切的圆与抛物线有且只有一个公共点 D. 经点发出平行于轴的光线经过抛物线上点反射穿过焦点后交抛物线于点 ，则的面积为 【答案】ACD 【分析】 对于A选项由焦半径公式即可判断；对于B选项，先求出点，设出直线，联立直线与抛物线，利用即可解出答案；对于C选项，写出圆的方程，联立圆与抛物线解出其交点坐标即可；对于D选项，分别求的坐标，即可求出的面积. 【详解】 对于A选项：抛物线的焦点，准线， 由焦半径公式可知， 若，则，解得，A正确； 对于B选项：当时，，则点，由题意知切线斜率存在且不为， 设切线斜率，则切线方程为：， 联立直线与抛物线： 消得： 因为直线与抛物线相切 所以 解得：， 所以切线方程为：,B错误； 对于C选项：以为圆心且与轴相切的圆，半径为，圆的方程为. 联立抛物线方程 ，解得,, 所以圆与抛物线仅有一个公共点,C正确； 对于D选项：由题意知直线：，则, 又， 所以，点， 所以直线：，化简得：， 联立直线与抛物线得： 消得： 解得 所以， 所以，点到直线：的距离， 所以的面积为，D正确. 故选：ACD. 18．（25-26学年高二上·江苏连云港灌云县·期中）（多选）拋物线的焦点为，过的直线交拋物线于两点，点在拋物线上，则下列结论中正确的是（       ） A. 若，则的最小值为4 B. 当\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}时， C. 若，则的取值范围为 D. 在直线上存在点，使得 【答案】BC 【分析】 对A，根据抛物线的定义转化求解最小值即可；对B，根据抛物线的定义，结合三角函数关系可得直线倾斜角，再根据抛物线焦点弦长公式求解即可；对C，根据抛物线的定义可得，再分析临界条件求解即可；对D， 【详解】 对A，如图，由抛物线的定义，的长度为到准线的距离，故的最小值为与到准线距离之和，故的最小值为到准线距离 ，故A错误；    对B，不妨设在第一象限，分别过作准线的垂线，垂足，作.则根据抛物线的定义可得，故 . 故，所以.故B正确；    对C，过作垂直于准线，垂足为，则，由图易得，故随的增大而增大，当时在点处，此时取最小值1；当与抛物线相切时最大，此时设方程，联立有，，此时解得，不妨设则方程，此时倾斜角为，. 故的取值范围为，故C正确；    对D， 设，中点，故到准线的距离，又，故，故以为直径的圆与准线相切，又满足的所有点在以为直径的圆上，易得此圆与无交点，故D错误；    故选：BC 19．（25-26学年高二上·江苏连云港灌南县·期中）已知抛物线的焦点为F，点F到抛物线准线距离为4． （1）求抛物线E的标准方程； （2）已知的三个顶点都在抛物线E上，顶点，重心恰好是抛物线E的焦点F．求所在的直线方程． 【答案】（1）     （2）      【分析】 (1)利用抛物线准线到焦点的距离等于即可求解； (2) 设，，根据题意和重心的性质即可求解. (1) 小问详解： 由题意得，∴抛物线方程为： (2) 小问详解： 设，，由重心坐标公式得 ，∴CD中点坐标为， 两式相减得， 方程：， ，∴方程：. 20．（25-26学年高二上·江苏扬州邗江区·期中）抛物线过点，则点P到抛物线准线的距离为　　　　　　　　　　　． 【答案】5 【分析】 根据点为抛物线上一点可求出的值，即可知抛物线的准线方程，从而求出所求． 【详解】 解：点为抛物线上一点， ，解得， 抛物线方程为 准线方程为， 点到抛物线的准线的距离为． 故答案为：5． 21．（25-26学年高二上·江苏徐州·期中）（1）已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，求抛物线的方程； （2）求与双曲线有公共渐近线，且经过点的双曲线的标准方程． 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）根据抛物线的定义即可求解； （2）设所求双曲线方程为，代入点求解参数即可． 【详解】 （1）因为到其焦点的距离为5，根据定义，到准线距离也为5， 抛物线的准线方程为， 故 ，则抛物线方程为． （2）由题意设双曲线方程为， 因为双曲线经过点，所以，故， 所以双曲线标准方程为， 即． 22．（25-26学年高二上·江苏南通如皋·期中）过定点的直线与圆交于，两点，，点为抛物线上一动点． （1）求直线的方程； （2）设为圆上一点，求的最小值． 【答案】（1）或     （2）4      【分析】 （1）根据弦长公式可求得圆心到直线的距离为，讨论直线的斜率是否存在即可列出等式求解； （2）根据抛物线的定义进行转化，利用几何意义即可求解最小值. (1) 小问详解： 圆的圆心为，半径， 已知弦长，根据弦长公式（为圆心到直线的距离），得： ， ①当直线的斜率不存在时，直线方程为， 圆心到直线的距离为，符合条件； ②当直线的斜率存在时，设直线方程为，即 圆心到直线的距离为：，解得， 所以直线方程为，化简得， 综上，直线的方程为或 (2) 小问详解：    因为为圆上的动点，所以的最小值为， 故， 抛物线的焦点为，准线为， 根据抛物线定义，，因此：， 问题转化为求的最小值，即点到准线的距离与到点的距离之和的最小值， 过作准线的垂线，方程为，与抛物线交于， 此时最小值为到准线的距离：， 因此，的最小值为. 23．（25-26学年高二上·江苏扬州邗江区·期中）已知点是抛物线C：上的点，F为抛物线的焦点，且，过焦点F的直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B. （1）求抛物线C的方程； （2）若，求直线l的斜率. 【答案】（1）；（2）1或. 【详解】（1）由焦半径公式求得，得抛物线方程； （2）设，直线方程为，代入抛物线方程后由韦达定理得，然后由焦点弦长公式可求得． 【详解】 （1）由题意，，∴抛物线方程为； （2）由（1）知焦点为， 若直线斜率不存在，则，不合题意，因此设直线方程为， 由 得， 设，则， ，解得或． 【点睛】 本题考查抛物线的焦半径公式，焦点弦长，掌握抛物线的定义是解题关键． 24．（25-26学年高二上·江苏连云港海州区·期中）已知抛物线的焦点是椭圆的一个顶点.直线与交于，两点，且点为线段的中点. （1）求抛物线的标准方程； （2）若为坐标原点，求的面积. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）求出椭圆的顶点即可得出抛物线的焦点，求出即得抛物线方程； （2）设，由中点弦公式计算可得，直线的方程为，直线与抛物线联立方程，利用弦长公式及三角形面积公式列式计算即可求解. (1) 小问详解： 由题知，椭圆右顶点坐标为，抛物线开口向右， 所以，故，即， 所以抛物线的方程为； (2) 小问详解： 如图，由题意，设， 代入抛物线方程，可得 ， 两式相减可得，即， 由可得，故， 又由点为线段的中点且点在抛物线内， 所以直线的方程为，即. 联立 ，得，其中， 故， 所以， 又因为到直线的距离， 所以的面积. 25．（25-26学年高二上·江苏南京·期中）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，准线为是上的动点．当轴时，的面积为1． （1）求的方程； （2）设过且与直线垂直的直线交于点（不在轴上），直线交轴于点，记． ①求的值； ②证明：平分． 【答案】（1）     （2）① 2    ② 证明： 记直线与轴的交点为，由① 可知为的中点. 由抛物线的定义可得， 在直线中，令，可得 于是， 所以平分.      【分析】 （1）利用三角形的面积建立方程求出即可得出抛物线方程； （2）① 根据垂直关系可写出的斜率，得出点坐标，得到直线的方程即可求出直线截距得解；② 利用抛物线的性质求解 ，由等腰三角形即可求证. (1) 小问详解： 当轴时，，代入， 可得， 所以 ，解得， 所以抛物线的方程为. (2) 小问详解： ① 由（1）知，的方程为, 因为在抛物线上，即， 所以 因为，所以，解得， 所以, 由的方程为，得 令，可得，所以. ② 略 26．（25-26学年高二上·江苏连云港灌云县·期中）已知抛物线和圆，倾斜角为45°的直线过的焦点且与相切． （1）求p的值： （2）点M在的准线上，动点A在上，在A点处的切线l2交y轴于点B，设\vec {MN}=\vec {MA}+\vec {MB}，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程． 【答案】（1）；     （2） 依题意设，由（1）知抛物线方程为， 所以，所以，设A，），则以A为切点的切线l2的斜率为 所以切线l2的方程为． 令，即l2交y轴于B点坐标为， 所以\vec {MA}=\left(x_{1}-m \mathrm{，}y_{1}+3\right),\vec {MB}=\left(-m,-y_{1}+3\right)， ∴\vec {MN}=\vec {MA}+\vec {MB}=\left(x_{1}-2m,6\right)， ∴\vec {ON}=\vec {OM}+\vec {MN}=\left(x_{1}-m\,,3\right)． 设N点坐标为（x，y），则， 所以点N在定直线上． 【分析】 （1）设直线l1的方程为，再根据直线和圆相切求出的值得解； （2）依题意设，求出切线l2的方程和B点坐标，求出\vec {MN}=\left(x_{1}-2m,6\right)， \vec {ON}=\left(x_{1}-m\,,3\right)，即得证. (1) 小问详解： 由题得抛物线的焦点坐标为， 设直线l1的方程为， 由已知得圆的圆心，半径， 因为直线l1与圆相切， 所以圆心到直线的距离， 即，解得或（舍去）． 所以. (2) 小问详解： 略 27．（25-26学年高二上·江苏连云港灌云县·期中）已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，于点．若是锐角三角形，则的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 在轴上取点，推导出为锐角，设点，可得出\vec {FA}\cdot \vec {FP}> 0，可求得的范围，再根据抛物线焦半径公式求解即可． 【详解】 由题意得， 由抛物线的定义得，所以， 由于是锐角三角形，则为锐角， 在轴上取一点，由轴，所以，则为锐角， 设点，\vec {FA}=\left(0,\frac{1}{2}\right),\vec {FP}=\left(x,y-\frac{3}{2}\right)， 则\vec {FA}\cdot \vec {FP}=\frac{y}{2}-\frac{3}{4}> 0，所以， 则， 故答案为：． 28．（25-26学年高二上·江苏南通如东县·期中）早在一千多年之前，我国已经把溢流孔用于造桥技术，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击．现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔的轮廓线均为抛物线的一部分，且4个溢流孔的轮廓线相同．结合下图，根据图上尺寸，建立平面直角坐标系，则桥拱的轮廓线所在的抛物线方程为　　　　　　　　　　　　　　　，B，C两点的横坐标之差为　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 根据已知条件，分别设抛物线的方程，结合抛物线过点，以及4个溢流孔的轮廓线平移关系求、所在溢流孔的抛物线，再联立抛物线方程求出交点坐标即可得. 【详解】 设桥拱所在抛物线的方程为，该抛物线过点， ，解得，故桥拱所在抛物线为① ， 设所在溢流孔的抛物线方程为，该抛物线过点， ，解得，故所在溢流孔的抛物线为， 个溢流孔的轮廓线相同， ，所在溢流孔的抛物线为② ， 联立① ② ，消元得，解得 或 ， 所以，，则B，C两点的横坐标之差为. 故答案为：， 29．（25-26学年高二上·江苏南通如东县·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，．连接，并延长，分别交抛物线于点，，且． （1）求的值； （2）求面积的最小值； （3）求证：直线过定点． 【答案】（1）     （2） 4     （3） 由（1）得，，可得． 设直线的方程为，则由 ，得， 由 ，得，所以． 所以． 设直线的方程为，又因为抛物线， 可得 ，得，所以． 所以，所以，所以直线的方程为， 所以直线过定点． 【分析】 （1）设直线的方程，分别联立抛物线的方程，表示出的坐标，根据，求出的值；或设出的坐标，根据，列出坐标关系，代回抛物线的方程，求出的值. （2）设直线的方程为，及各点坐标，表示出的面积，根据过焦点的直线与抛物线的交点的纵坐标乘积为定值，利用基本不等式求得其最值. （3）设直线的方程为，利用过焦点的直线与抛物线的交点的纵坐标乘积为定值，得到t与n的关系，求得直线所过定点. (1) 小问详解： 方法一：设直线的方程为，则由 ，得， 所以． 由 ，得，所以． 因为，所以， 又因为，所以． 方法二：设，，由题可知， . 因为，所以，所以. 又，所以. (2) 小问详解： 设直线的方程为，，，，， 则由 得，所以． 因为，所以的面积是的面积的2倍． 因为，且， 所以， 当且仅当时等号成立，所以的面积的最小值是2， 所以的面积的最小值是4． (3) 小问详解： 略 30．（25-26学年高二上·江苏连云港东海县·期中）在直角坐标系中，点到直线的距离比到点的距离大1，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）过的直线交曲线于两点，过与直线垂直的直线交曲线于，两点，其中在轴上方，，分别为，的中点． 求证：（ⅰ）直线过定点； （ⅱ）直线，的交点在定直线上． 【答案】（1）     （2） 设，，，， （ⅰ）设直线的方程为，的方程为，因为直线与直线垂直，所以， 联立 得， 则，，，， 所以， 同理可得 当时，：， 即 ， 因为，所以直线的方程为， 故当时，，此时过定点， 当时，由得，此时直线的方程为，同样经过点， 所以直线过定点，该定点为. （ⅱ）由抛物线方程得，， 则：， 同理可得：， 联立 得， 即， 由，同理， 故， 所以， 即直线，的交点在定直线上.      【分析】 （1）结合抛物线的定义即可求解； （2）（ⅰ）分别联立直线与抛物线、直线与抛物线方程得到点，的坐标，从而得到直线的方程，即可得到直线过定点；（ⅱ）联立直线与的方程得到，即可求证； (1) 小问详解： 因为直线和距离为1， 由题意点到直线的距离与到点的距离相等， 由抛物线的定义可得动点的轨迹方程为： (2) 小问详解： 略 31．（25-26学年高二上·江苏连云港赣榆区·期中）已知抛物线的顶点到焦点的距离为，点，过点的直线与抛物线交于两点，直线与抛物线的另一交点分别为．记的面积分别为． （1）求抛物线的方程； （2）若过原点的一条直线与圆相切，且与抛物线的另一交点为，求的值； （3）请问是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）     （2）      （3）是定值，且为9      【分析】 （1）由题意得，求出p值，即可得答案. （2）设直线，根据相切，圆心到直线的距离等于半径，列出方程，求出k值，联立求出P点坐标，代入距离公式，即可得答案. （3）设，直线AB方程为，与曲线联立，根据韦达定理可得，求出直线AN方程，与曲线联立，根据韦达定理，可得表达式，同理可得表达式，根据弦长公式、点到直线距离公式、面积公式等，分别求出和表达式，即可求得答案. (1) 小问详解： 因为顶点到焦点的距离为，所以，解得， 所以抛物线的方程为. (2) 小问详解： 由题意，直线斜率存在，设为k，则直线， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离，解得， 根据对称性，不妨取， 联立 ，得，解得或0（舍），则， 所以. (3) 小问详解： 显然直线AB斜率不为0，直线AB方程为， 设， 联立 ，得， 所以， . 直线AN的斜率， 所以直线AN方程为， 联立 ，得， 因为为方程的一个根，所以，解得， 同理， 又 = N到直线AB的距离， 所以， 又 ， ，所以， 整理得， 所以N到CD的距离， 所以 ， 又， = ， 所以， 所以. 32．（25-26学年高二上·江苏常州金坛区·期中）已知抛物线上存在不同的两点（异于原点）. （1）若且，求直线的方程； （2）若以为直径的圆经过原点，求线段的最小值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）将两点代入抛物线，两式相减变形可得，由题意易知的中点坐标，再由点斜式写出答案； （2）设直线：， ，与抛物线联立，再由弦长公式结合韦达定理，可将表示为的函数，进而求出最小值. (1) 小问详解： 将代入抛物线得： 所以， 又的中点坐标为， 所以直线的方程为：， 化简得：. (2) 小问详解： 由题意设直线：， ， 联立 消得：， ，，， 因为以为直径的圆经过原点，所以， 所以，所以， 所以 ，当时，， 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆锥曲线与方程 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 考点01 椭圆 1．D 2．B 3．A 4．D 5．A 6．C 7．B 8．B 9．A 10．B 11．D 12．BCD 13．D 14．ABD 15．C 16．B 17．B 18．AC 19．D 20．ABD 21．ACD 22．B 23．B 24．C 25．B 26．BCD 27．A 28．BCD 29．C 30．ABD 31．AC 32．【答案】 【分析】 由题意，设椭圆的标准方程为，然后列出关于的方程组，求解方程组即可得答案. 【详解】 解：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为， 由题意，有 ，解得， 所以椭圆的标准方程为， 故答案为：. 33．【答案】 【分析】 把给定方程化成标准形式，再利用椭圆的特征列式求解即得. 【详解】 椭圆方程化为， 依题意，，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 34．【答案】（1）     （2） 因为点在椭圆上， 所以，即，即， 则 ， 又∵， ∴.      【分析】 （1）根据焦点和短轴长，可以求出和，再结合即可求得椭圆的标准方程； （2）由点到点的距离列出，结合椭圆方程化简代数式即可得证. (1) 小问详解： 因为，短轴长为， 所以，，即， 所以， 所以椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： 略 35．【答案】 【分析】 由方程表示椭圆的性质列不等式组可得. 【详解】 由题意可得 ，解得. 故答案为：. 36．【答案】 【分析】 首先根据题意得到直线，与椭圆联立得到，，再求面积即可. 【详解】 由题知：，则， ，则，解得， 将代入得到， 所以的面积为. 故答案为： 37．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）由长轴长可得，再根据离心率可得，再求，即可得到方程； （2）方法一、根据题意，直线斜率为0时，得到不符合题意，当直线斜率不为0时，设，联立曲线得到 ，再根据求解即可；方法二、直线斜率不存在时，，不符合题意，当直线斜率存在时，设，联立曲线得到 ，再根据求解即可. (1) 小问详解： 由题可知，，， 又，且，解得，， 则椭圆的方程为. (2) 小问详解： 法一：① 当直线斜率为0时，， 不符合题意. ② 当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立 ，得，， 设，则 . 由题意，， 即，解得. 故直线的方程为：或. 法二：① 当直线斜率不存在时，，不符合题意. ② 设直线方程为， 联立 ，得，， 设，则 ， 由，得， 即，解得. 故直线的方程为或. 38．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据焦距，求出c值，根据的周长，求出a值，根据a，b，c的关系，求出，代入即可得答案. （2）由题意，设l程为，与椭圆C联立，根据韦达定理，可得，的表达式，进而可得表达式，即可求出的面积，根据内切圆的半径及其周长，可求出的面积，列出等式，可求出m值，即可得答案. (1) 小问详解： 因为焦距为4，所以，解得， 因为的周长为，解得， 所以， 所以的方程为. (2) 小问详解： 由题意，直线l不与x轴重合，由直线l过点，设其方程为， 与椭圆C联立 ，可得， ， ， 所以， 所以， 又内切圆的半径为，且的周长是， 所以， 所以，即， 解得或， 所以的方程为或，即或. 39．【答案】（1）     （2）9     （3）      【分析】 （1）根据题意得，结合离心率即可求解； （2）根据题意，，解出即可求解； （3）直线的方程为，再联立求解即可． (1) 小问详解： 设椭圆的焦距为，因为椭圆的左右焦点分别为，，则， 因为离心率为，所以，所以， 因为，所以， 所以椭圆的方程是； (2) 小问详解： 因为点在椭圆上，， 所以， 因为，所以， 所以，所以的面积为； (3) 小问详解： 因为，， 所以直线的方程为，即， 由 得， 所以，所以， 所以，所以． 40．【答案】 【分析】 由题意可求出，然后再求出，最后由离心率公式即可求解. 【详解】 由题意可知，，所以，离心率. 故答案为： 41．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据斜率之积是，列出方程并求解即可； （2）联立直线和椭圆，然后由韦达定理可得，进而根据弦长公式进行求解即可. (1) 小问详解： 设点，则直线的斜率为，直线的斜率为， 根据题意有：，化简得， 由于时斜率不存在，故曲线的方程为. (2) 小问详解： 设，， 联立 ，消去并整理得， ， 所以， ， 直线斜率为1，弦长公式为， 因此 42．【答案】（1）     （2） 因为椭圆的方程为，所以， 因为为第一象限上的动点，设，则，           易得，则直线的方程为， ，则直线的方程为， 联立 ，解得 ，即， 而，则直线的方程为， 令，则，解得，即， 又，则，， 所以 ， 又，即， 显然，与不重合，所以.      【分析】 （1）结合题意得到，，再结合，解之即可； （2）依题意求得直线、与的方程，从而求得点的坐标，进而求得，再根据题意求得，得到，由此得解. (1) 小问详解： 依题意，得，则， 又分别为椭圆上下顶点，，所以，即， 所以，即，则， 所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： 略 43．【答案】 【分析】 设直线的方程，然后与椭圆联立，再利用平行四边形的性质得到点坐标，最后将点坐标代入椭圆方程求解直线的斜率即可. 【详解】 由题意可知直线l的斜率存在，设直线的斜率为， 直线过点，直线的方程为， 联立直线和椭圆 ，得， 需满足，解得或， 设，根据韦达定理，得，， 又四边形为平行四边形， \therefore \vec {OP}=\vec {OM}+\vec {ON}=\left(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}\right)， 又，， 将点坐标代入椭圆方程，得， 化简得，代入， 得，解得，符合题意， 故答案为：. 44．【答案】 【分析】 根据椭圆定义可将转化为，再根据可得的最小值为，结合两点间距离公式即得答案. 【详解】 由为椭圆上任意一点，则 又为圆上任意一点，则（当且仅当M、N、E共线时取等号）， ∴， 当且仅当M、N、E、共线时等号成立. ∵，，则， ∴的最小值为． 故答案为：． 45．【答案】（1）     （2）；      【分析】 (1)根据椭圆的定义，可以判断出动点N的轨迹为椭圆，利用椭圆的定义求，从而求得轨迹方程. （2）（i）设，，，将分别用含式子表示，然后利用消去，最后即可得出定值； （ii）令直线PQ的方程为，与椭圆方程联立，应用韦达定理，借助（i）的结论，得到关于的方程，解方程即可求得的值，即定点坐标. (1) 小问详解： 由题意可知，， 由椭圆定义可得，点N的轨迹是以E， F为焦点的椭圆， 且长轴长，焦距， 所以， 因此曲线C方程为. (2) 小问详解： （ⅰ）设，，， 由题可知，，如下图所示， 则，， 而，于是， 所以， 又，则， 因此为定值； （ⅱ）由题意可知，直线PQ不可能与轴平行， 设直线PQ的方程为，，，知， 由 ，得， ，得 所以 由（i）可知，， 即， 将代入化简得，化简得解得舍或， 所以直线PQ的方程为， 因此直线PQ经过定点 46．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）借助斜率公式计算后化简即可得； （2）设出直线方程及两交点坐标，联立直线方程与曲线方程，消去可得与两交点横坐标有关韦达定理，再借助点为中点，代入计算后结合弦长公式即可得. (1) 小问详解： 依题意，，化简得， 故动点的轨迹的方程为； (2) 小问详解： 若直线斜率不存在，则中点纵坐标为，不合题意； 故直线斜率存在，设，、， 联立 ，消去，有， ， 即，，， 由为的中点，则，化简得， 且有，则，整理得，解得， 则，故，， 则. 47．【答案】（1）     （2）①； ② 如图，因，点N为线段的中点，则， 依题意，，则直线的斜率为， 直线的斜率为， 则， 将（*）代入，可得， 所以． 【分析】 （1）利用椭圆性质和经过的点坐标，联立方程组，求得，即得椭圆方程； （2）① 由题知直线的斜率不为0，设，与椭圆方程联立，设，求得韦达定理，推得，由4\vec {OB}=3\vec {OA}+\vec {OM}得到，将其与韦达定理联立，解得，即得直线斜率；② 依题意，求得，，计算，消元后将（*）代入化简，即得，故得结论. (1) 小问详解： 根据题意，在中，则①， 椭圆经过点，则② ， 再结合，可得， 则椭圆E的标准方程为； (2) 小问详解： ① 当直线的斜率为0时，可取因，显然不满足4\vec {OB}=3\vec {OA}+\vec {OM}， 故可设直线，代入椭圆方程，消去， 可得， 由，解得或， 设，则 ，则，（*） 由4\vec {OB}=3\vec {OA}+\vec {OM}可得，即得， 将其代入①，可得， 代入②，可得，解得， 故直线的斜率为； ② 略 48．【答案】 【分析】 设，根据题意得到切线的方程，进而分析得直线的方程，从而求得点的坐标，再结合椭圆方程即可得解. 【详解】 由椭圆方程可知：，圆的方程为， 设， 在切线上任取一点，则\vec {AE}=\left(x-x_{1},y-y_{1}\right)，\vec {OA}=\left(x_{1},y_{1}\right)， 因为，可得\vec {AE}\cdot \vec {OA}=\left(x-x_{1}\right)x_{1}+\left(y-y_{1}\right)y_{1}=\left(x_{1}x+y_{1}y\right)-\left({x}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}\right)=0， 即，且，可得， 所以切线的方程为， 同理可得：切线的方程为， 因为点在切线上，则，， 所以直线的方程为， 则，可得， 因为点在椭圆上，可得， 所以. 故答案为：. 49．【答案】（1）     （2） 证明：设，，，， 由题意知，，且， 联立方程组 ，可得，则， 所以， 又由，所以， 设直线的方程为，则直线的方程为 将的方程代入，可得， 整理得，① 因为是方程① 的一个实根，可得，② 将的方程代入，可得， 整理得，③ ， 因为是方程③ 的一个实根，因此，④ ， ②-④ 得，⑤ ， ②+④ 得，⑥ ， 因此，⑦ 将⑤ ⑥ 代入⑦ 式可得，⑧ 因为，所以，⑨ 将⑨ 代入⑧ 式中，可得， 又因为，可得，所以, 即三点共线． 【分析】 根据题意，利用椭圆的定义判断出T的轨迹，由此可求曲线C的方程； 设出P，E，F，H的坐标，先根据点差法得到，的关系，然后通过联立PE，PF与椭圆方程可得，的表示，根据斜率计算公式化简并结合P在椭圆上得到关于，的表示，再分析关于，的表示，得到与的关系，从而可知和的关系，由此可完成证明． (1) 小问详解： 解：设，由， 可得，且，所以， 所以点的轨迹是以和为焦点的椭圆，且， 可得，则，所以曲线的方程为 (2) 小问详解： 略 50．【答案】． 【分析】 由对称性求得，设直线的方程为，代入椭圆方程求得点坐标，由垂直得点坐标，代入上式，变形后可求得范围．可先讨论斜率不存在或斜率为0时情形，然后再求解一般情形，从而得出结论． 【详解】 由已知， （1）若直线斜率不存在，如图1， ，， ，， ， 所以，    （2）若直线的斜率为0，如图2， ，， ， 所以，    （3）若直线的斜率存在且不为0，如图3， 由已知是的垂直一部分线，则，分别是边上的高，则，， 所以，， 设直线的方程为，， 由 ，得，，取，即， 直线的方程为，同理可得， ，，， 直角中，，， ， 因为，所以，，，即， 所以，    综上，， 故答案为：． 【点睛】 方法点睛：本题考查直线与椭圆相交问题，考查其中的面积问题，解题关键是求出面积，一般设出直线方程，求得椭圆与直线的交点坐标如题中点（直线过原点，交点坐标容易求得，否则需要用韦达定理），利用垂直得出另一点的坐标（注意类比，减少计算量），根据直角三角形把面积表示为所设参数的表达式，利用不等式知识得范围．解题时需对特殊情形进行讨论，如斜率不存在，或斜率为0（垂直直线的斜率不存在）． 51．【答案】 【详解】∵B和A关于原点对称，∴B也在椭圆上． 设左焦点为，根据椭圆定义：|AF|+|A|=2a 又∵|BF|=|A|     ∴|AF|+|BF|=2a   ……① O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c 又|AF|=2csinα     ……② |BF|=2ccosα       ……③ 将② ③代入①   2csinα+2ccosα=2a ∴，即， ∵， ∴)≤1，故椭圆离心率的取值范围为 52．【答案】（1）     （2） ① 因为，所以. 又三点共线，且同号，所以，即， 由（1）知射线的方程为. 由 ，得 由（1）知.所以，化简得， 从而直线的方程为，所以直线过定点. ② 能，方程为，理由如下： 由① 得. 若点关于轴对称，则， 代入，整理得， 从而有 ，解得（舍去）或， 由，所以， 此时点关于轴对称. 又由（1）可得，所以. 由于三角形外接圆的圆心在轴上，可设三角形外接圆的圆心坐标为， 所以，解得，故外接圆的半径， 所以三角形外接圆的方程为. 【分析】 （1）设直线的方程为，联立直线和椭圆方程，消去，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理，求出点的坐标和所在直线方程，求点的坐标，利用基本不等式即可求得的最小值； （2）① 由转化为，联立方程组求得点得坐标，结合（1）可得，代回得证；② 利用点关于轴对称，写出点的坐标，求出的外接圆的圆心坐标和半径，从而求出的外接圆方程． (1) 小问详解： 设直线的方程为，由题设可得. 由 ，得， 则，整理得. 设，从而，故. 由于为线段的中点，因此， 此时，所以直线的方程为. 又点在射线上，所以，即， 所以，当且仅当时取等号. 又，整理得，从而. 因此，当且时，取得最小值2. (2) 小问详解： ① 略 ② 略 53．【答案】 【分析】 由\vec {F_{1}A}=3\vec {F_{2}B}得，设，，得，，利用椭圆的定义得，，最后利用余弦定理求解，进而求解. 【详解】 由题意有：，， 由\vec {F_{1}A}=3\vec {F_{2}B}，所以，设，， 所以，， 由椭圆的定义有：， 所以，， 在中，由余弦定理有① ， 在中，由余弦定理有② ， 由① ② 解得：，所以\left| \vec {F_{1}A}\right| =3m=3\times \frac{2\sqrt{3}}{9}=\frac{2\sqrt{3}}{3}， 故答案为：. 54．【答案】（1） 设，易得，则直线的方程为， 令，可得，则得，， 因是椭圆上异于的一个动点，故，即 ， 则为定值.     （2）12      【分析】 （1）设，写出直线的方程，令，求得，计算直线的斜率，利用点在椭圆上，代入化简计算即得定值； （2）与（1）同法求得，设以为直径的圆的圆心为点，易得，求出和，利用弦长公式推理求得，写出四边形的面积表达式，设椭圆的参数方程 ，代入化简得，再将理解为动点与定点所在直线的斜率，即经过的直线与以圆心为原点的单位圆有公共点时的斜率，数形结合求得，即可求得四边形面积的最小值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因直线的方程为，令，可得， 设以为直径的圆的圆心为点，则其坐标为，设交轴于点， 连接，则，，    故 ， 因，则，（*） 因点在椭圆上，则可设 ， 代入（*），可得， 不妨设，则可将其理解为动点与定点所在直线的斜率， 又动点在以原点为圆心的单位圆上， 由圆心到直线的距离，解得， 依题意，需使，即，从而， 即四边形面积的最小值为. 55．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）根据圆的方程确定圆心坐标和半径，再根据圆的位置关系得到，结合椭圆的定义确定的轨迹方程； （2）设，根据已知得，再结合及求点坐标，进而求出三角形面积. (1) 小问详解： 设动圆的半径为，圆的半径为，圆的半径为， 由题意知， 因为圆与圆外切，与圆内切，所以， 所以， 根据椭圆的定义知，的轨迹是以为焦点的椭圆， 设椭圆方程为，所以，即， 所以，又，所以圆与圆内切于点， 所以的方程为； (2) 小问详解： 设，则， 因为， 所以，则， 因为， 所以，解得， 将代入，得， 故的面积为. 56．【答案】（1）     （2）证明：因为直线与圆相切， 所以直线与圆联立， 可得， 由，即, 同理， 由，即 可得是方程的两个不相等的实数根， 所以，因为点在椭圆C上，所以， 所以得证；     （3）      【分析】 （1）根据椭圆方程确定圆心坐标和半径即可求解； （2）分别联立两条切线与椭圆方程，根据直线与圆相切时判别式等于零，可确定是方程的两个不相等的实数根，即可求解； （3）结合（2）可得，利用基本不等式即可求解. (1) 小问详解： 椭圆C的右焦点是，将，代入，可得， 所以，所以圆M的方程为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ① 当直线不落在坐标轴上时，设， 因为，所以， 因为在椭圆C上，所以， 整理得， 所以，, 所以. ② 当直线落在坐标轴上时，显然有， 综上：, 所以， 当且仅当时取得等号， 所以的最大值为. 57．【答案】（1）     （2）     （3）证明：直线，均不与轴垂直，所以，，则且， 所以 ， 所以为定值．      【分析】 （1）根据条件列方程组求解即可； （2）设直线的方程为，与椭圆联立，由弦长公式求得的方程； （3）将韦达定理代入中计算结果为定值． (1) 小问详解： 由椭圆过点，焦距为， 得 ，解得 ， 故椭圆的方程为． (2) 小问详解： 设直线的方程为，，， 联立 ，消去得， 由，得， 则． ， 解得或， 当时，直线的方程为； 当时，直线经过点，不符合题意，舍去． 所以当时，的方程为． (3) 小问详解： 略 【点睛】 方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 58．【答案】（1）     （2）证明：由（1）可知，，， 易知直线的斜率存在，设其方程为，则，即， 联立 ，消去得，， 因为直线与椭圆有唯一交点，所以， 即，则，解得，则， 所以直线的方程为， 联立 ，解得 ，则， 以下分别用四种方法证明结论： 法一：则， 所以， ， 则，又， 所以，即平分. 法二：所以，，， 由两直线夹角公式，得，， 则，又， 所以，即平分. 法三：则，， 故， 又， 所以，即平分. 法四：则， 所以直线的方程为，即， 则点到直线的距离为， 又点到直线的距离也为， 所以平分.      【分析】 （1）根据题意，利用椭圆的离心率得到，再由直线的斜率得到，从而利用三角形的面积公式得到关于的方程，解之即可得解； （2）联立直线与椭圆方程，利用其位置关系求得，进而得到直线的方程与点的坐标，法一：利用向量的夹角公式即可得证；法二：利用两直线的夹角公式即可得证；法三利用正切的倍角公式即可得证；法四：利用角平分线的性质与点线距离公式即可得证. (1) 小问详解： 依题意，设椭圆的半焦距为， 则左焦点，右顶点，离心率，即， 因为为上一点，设， 又直线的斜率为，则，即， 所以，解得，则，即， 因为的面积为，，高为， 所以，解得， 则，， 所以椭圆的方程为. . (2) 小问详解： 略 59．【答案】 【分析】 利用余弦定理找到& & | PF_{1} & | \cdot & | PF_{2} & |，再将 的面积为S_{\bigtriangleup {F_{1}}P{F_{2}}} &用& & | PF_{1} & | \cdot & | PF_{2} & |表示，利用三角形内切圆半径公式找到r= & & \sqrt{3}\left(a-c\right)，利用正弦定理得出，使两个式子相等，解出& 31c=27a，根据离心率公式即可得到答案. 【详解】 设& & PF_{1}=m，& & PF_{2}=n. 由椭圆定义可知：& & & m+n=2a，& | & F_{1}F_{2}| & =2c，， 在中，利用余弦定理可知： ，而& & & m^{2}+n^{2}=(m+n)^{2}-2mn=4a^{2}-2mn， 所以\cos \angle F_{1}PF_{2}= & \frac{2b^{2}}{ & mn} & -1=-\frac{1}{2}，故& & & & mn=4b^{2}=4a^{2}-4c^{2}， 而的面积为， 的周长为：& m+n+2c=2a+2c， 由三角形内切圆半径公式可知：r=\frac{ & 2S}{C}=\frac{ & \sqrt{3}\left(a^{2}-c^{2}\right)}{a+c}= & \sqrt{3}\left(a-c\right)， 在中，利用正弦定理可知：& \frac{\left| PF_{2}\right| }{ & \sin \angle PF_{1}F_{2}}=\frac{\left| F_{1}F_{2}\right| }{ & \sin \angle F_{1}PF_{2}}=\frac{2c}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}c， 所以由题知：r=\frac{\left| PF_{2}\right| }{9\sin \angle PF_{1}F_{2}}= & \frac{4\sqrt{3} & }{27}c= & \sqrt{3}\left(a-c\right)， 化简得：& 31c=27a，故椭圆的离心率& e=\frac{c}{a}=\frac{27}{31}. 故答案为：& & \frac{27}{31}. 60．【答案】（1）；     （2）；     （3） 当直线斜率存在时，如图，设直线方程为，，    由 消去得， ，即，则 ， 而 ， 由，得，解得，则直线过点； 当直线斜率不存在时，， 由，得，解得，直线也过点， 所以直线过定点.      【分析】 （1）根据给定条件，列式求出即得椭圆方程. （2）设出直线方程，与椭圆方程联立，利用判别式为0求解. （3）当直线斜率存在时，设出该直线方程并与椭圆方程联立，利用斜率坐标公式及韦达定理求出直线所过定点，再验证直线斜率不存在所过定点即可. (1) 小问详解： 由的周长为，得，解得， 由椭圆过点，得，解得， 所以椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： 由直线与椭圆只有一个公共点，且点在椭圆上，得该直线的斜率存在， 设直线的方程为，即， 由 消去得， 由，解得， 所以直线的方程为：. (3) 小问详解： 略 61．【答案】 【分析】 首先根据椭圆的定义将的最小值转化为，再根据（当且仅当 M、 N、 E共线时取等号），结合，求得的最小值． 【详解】 如图， 由M为椭圆C上任意一点，则， 又N为圆E：上任意一点， 则（当且仅当M、N、E共线且N在M、E之间时取等号）， ， ， 当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立． 由题意知，，， 则， 的最小值为， 故答案为： 【点睛】 关键点睛：本题主要考查与椭圆与圆上动点相关的最值问题，解答的关键是根据椭圆的定义将目标等价转化点共线问题，也即线段的长度问题，通过数形结合即可求解，考查学生的转化与化归思想． 62．【答案】（1）     （2）     （3）证明：由题意知，当圆的圆心不在x轴上时，直线PQ斜率存在， 设直线，， 则 ，需满足， 则，， 则， 结合第一问知，即， 即得， 化简得， 解得或， 当时，直线PQ方程为，直线PQ过点，不合题意， 当时，直线PQ方程为， 故直线PQ过定点； 当圆的圆心在x轴上时，M，N关于x轴对称，此时直线PQ斜率不存在， 圆G方程为， 令，则，此时不妨设， 则的方程为，即， 联立，得，解得或， 即P点横坐标为，则直线PQ此时也过点， 故直线PQ过定点.      【分析】 （1）由题意求出，即可得答案； （2）法一：设 ，写出圆的方程为：，利用圆过，代入圆的方程得，化简，即得答案；法二：设，圆半径为r，写出圆方程，圆过，可得，由此化简，，即得答案. （3）设直线，联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，结合，化简可得参数之间的关系式，结合直线的点斜式，即可确定定点坐标. (1) 小问详解： 由已知得，，则， 故椭圆的标准方程为； (2) 小问详解： 法一：设 ，则圆的方程为：， 圆过，代入圆的方程得， 故； 法二：设，圆半径为r，则圆方程为：， 圆过，，由题意可设， 则； (3) 小问详解： 略 【点睛】 难点点睛：解答本题的难点在于第三问中的定点问题，解答时要利用设方程，求出参数之间的关系，利用直线的点斜式确定定点坐标，要特别注意计算的复杂性. 63．【答案】（1）     （2）或.     （3） 如图所示： ，， 令，则，即. ， ， 因为， 所以. 即为定值2.      【分析】 （1）根据题意得到 ，再解方程组即可. （2）设直线，，，与椭圆联立得到，，，再根据求解即可. （3），，从而得到，再结合韦达定理求即可. (1) 小问详解： 由题知： ，即： (2) 小问详解： 设直线，，， 则 ， 方程的判别式 ，， ， 因为，所以， 即 . 解得，即. 所以直线或. (3) 小问详解： 略 考点02 双曲线 1．B 2．B 3．A 4．B 5．C 6．D 7．C 8．BCD 9．D 10．C 11．B 12．ACD 13．D 14．A 15．A 16．D 17．BC 18．C 19．D 20．ACD 21．ABD 22．C 23．B 24．B 25．ABD 26．B 27．B 28．BC 29．ABD 30．【答案】 【分析】 根据焦点在轴上的双曲线的特征列出不等式组，求解即得 . 【详解】 因方程表示焦点在轴上的双曲线， 则可将其方程化为，需使 ，解得. 故答案为：. 31．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据关系得到方程组，解出即可； （2）写出渐近线方程，再利用平行关系得到直线的方程，联立双曲线方程解出即可； (1) 小问详解： 由题意得 ，解得 ， 所以双曲线的方程为：. (2) 小问详解：        渐近线方程为， 当直线与平行时，直线的方程为：， 联立 解得 . 当直线与平行时，直线的方程为：， 联立 解得 ， 所以直线与双曲线的交点坐标为或. 32．【答案】 【分析】 设双曲线方程为，将点代入求出的值，从而可得双曲线方程. 【详解】 由题意可设双曲线方程为，又经过点， 所以，即，解得或(舍)， 所以双曲线的标准方程为， 故答案为：. 33．【答案】（1）     （2）      （3） 设，则，                       ， ， 所以，             所以.同理，可得. 因为，所以. 【分析】 （1）分焦点在轴上和轴上讨论，用待定系数法求解； （2）求出直线的方程，联立方程组，利用弦长公式求解； （3）设，利用两点间距离公式求出，，，得，同理可得，得证. (1) 小问详解： 若焦点在轴上，可设双曲线C的标准方程， 因为双曲线C过点和，所以，， 解得，所以双曲线C的标准方程. 若焦点在轴上，可设双曲线C的标准方程， 因为双曲线C过点和，所以，， 解得，所以舍去. 综上，双曲线C的标准方程. (2) 小问详解： 因为，所以，则, 所以.                                                          由 ，得，. 设，，则. 所以， . (3) 小问详解： 略 34．【答案】（1）或     （2）存在，或      【分析】 （1）直线方程为：，利用点到直线的距离公式得，化简得，两边除以得，求解即可； （2）先根据题意求出双曲线方程为，再与直线联立，根据和韦达定理求解. (1) 小问详解： 根据题意，直线方程为：，即， 又原点到直线的距离为，即， 则，又， 所以，则， 解得或，所以或； (2) 小问详解： 当时，由可得， 双曲线经过点，则，解得可得， 所以双曲线方程为， 当时，由可得， 双曲线经过点，则，无解， 所以双曲线方程为， 联立方程 。 整理可得： ，解得， 因为，不和双曲线的顶点重合，所以 根据韦达定理：，， 因为以为直径的圆经过坐标原点，则， 解得或， 所以当或，存在以为直径的圆经过坐标原点. 35．【答案】 【分析】 结合双曲线定义与余弦定理可得、有关齐次式，再利用离心率定义计算即可得. 【详解】 由双曲线定义可得，， 由为等腰三角形，则， 则， 则有， 即，整理得， 故，故， 又，故. 故答案为：. 36．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用双曲线定义计算即可得； （2）联立直线与曲线方程，可得与交点横坐标有关韦达定理，再利用弦长公式计算即可得. (1) 小问详解： 由双曲线定义可得该双曲线实轴长为，焦距为， 则虚轴长为，故双曲线的标准方程为； (2) 小问详解： 联立 ，消去得， ， 设、，则，， 则 ， 则，故. 37．【答案】（1）；     （2）（i）；（ⅱ）.      【分析】 （1）根据给定条件，结合离心率的意义求出即可. （2）（i）将直线与双曲线方程联立，利用一元二次方程有二不等的正根列式求解；（ⅱ）利用数量积的定义及坐标表示求出，进而求出三角形面积. (1) 小问详解： 由双曲线的实轴长为4，得， 由双曲线的离心率为，得，得， 所以双曲线C的方程为. (2) 小问详解： （i）设，由 消去得， 由A，B都在双曲线C的右支上，得 ，解得， 所以的取值范围是. （ii）依题意，，\vec {PA}\cdot \vec {PB}=\left(x_{1},y_{1}+2\right)\cdot \left(x_{2},y_{2}+2\right)=| \vec {PA}| | \vec {PB}| =\frac{40}{3}， 则，解得， 而，则， ， 所以的面积. 38．【答案】 【分析】 根据题意做出图形，由双曲线的定义、余弦定理以及勾股定理可求出双曲线的离心率. 【详解】 如图，设双曲线的右焦点，连接、、， 因为点是双曲线上点关于原点的对称点，所以四边形为平行四边形， 因为以为直径的圆过点，所以， 因为，所以， 因为，所以，所以， 设，则， 由双曲线的定义，，， 在中，由余弦定理，, 即，整理得， 所以，， 在中，，所以. 故答案为：. 39．【答案】（1）；     （2）；     （3）      【分析】 （1）计算得到，即可求得离心率； （2）设，在中，由勾股定理结合双曲线定义求得，再由 求出即得； （3）先求出直线方程，再与双曲线方程联立，结合韦达定理和弦长公式即可计算求解. (1) 小问详解： 双曲线的左顶点为，故， 则由双曲线的一条渐近线与直线AP垂直可知，则， 故双曲线方程为，其离心率为； (2) 小问详解： 由（1）得， ∵\vec {MF_{1}}\cdot \vec {MF_{2}}=0，∴，设， 则在中，有， 又由双曲线的定义，可得， 解得，则， 又，解得， ∴M点到x轴的距离为； (3) 小问详解： 因，则过且斜率为的直线的方程为， 与双曲线方程联立消元，可得， 设，则， 由弦长公式，=. 所以DE的长度为. 40．【答案】 【分析】 利用椭圆和双曲线的定义，在焦点三角形利用余弦定理得到，再用基本不等式求解. 【详解】 不妨设为第一象限的点，为左焦点， 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为， 则根据椭圆及双曲线的定义可得， ，所以，， ，在△中，， 由余弦定理得， 化简得，即． 所以，从而， 当且仅当，且，即，时等号成立． 故答案为： 41．【答案】（1）     （2） ① 因为为双曲线右焦点，所以，，， 设过直线的方程为，，， 所以 ，联立可得， 由韦达定理可得 ， 直线的斜率为，方程为， 直线的斜率为，方程为， 设，所以， 将，，所以， 整理可得 ， 因为， ，所以， 所以， ，解得， 所以点在定直线上. ②或.      【分析】 （1）由双曲线的实轴长为，所以，再通过离心率以及即可求解. （2）① 设直线的方程为，，，直线与双曲线方程联立，通过韦达定理得到，的关系，求出直线与直线的方程，两式联立求解交点，再根据代入求解即可.② 由，得到，再由三点共线，可得到向量共线，即可得到线段比，代入求解即可. (1) 小问详解： 因为双曲线实轴长为，所以，即， 又因为离心率为，所以，所以， 因为，所以， 所以双曲线：. (2) 小问详解： ① 略 ② 设，因为在直线，，如图所示： ， 因为，，三点共线，所以k_{1}\vec {AM}=\vec {MP}，即， \vec {AM}=\left(\frac{3}{2},y_{0}\right)，\vec {MP}=\left(x_{1}-\frac{1}{2},y_{1}-y_{0}\right)，所以， 同理k_{2}\vec {MB}=\vec {MQ}，即，\vec {MB}=\left(\frac{1}{2},-y_{0}\right)，\vec {MQ}=\left(x_{2}-\frac{1}{2},y_{2}-y_{0}\right)， 所以， 所以，因为， 所以， 所以 ， ，， 因为 ， 所以， ， 所以， 解得，即，所以直线的方程为或. 42．【答案】（1）     （2） 由（1）有：，设点， 由，所以，即， 设直线的方程为：，即， 由 ，即， 所以， 即，又，解得， 所以直线的方程为：， 所以 ，解得 ，所以， 所以\vec {FB}=\left(4,3\right),\vec {FP}=\left(3,1\right),\vec {FA}=\left(3,0\right)， 所以\cos \angle BFP=\frac{\vec {FB}\cdot \vec {FP}}{\left| \vec {FB}\right| \left| \vec {FP}\right| }=\frac{4\times 3+3\times 1}{5\times \sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}， \cos \angle PFA=\frac{\vec {FA}\cdot \vec {FP}}{\left| \vec {FA}\right| \left| \vec {FP}\right| }=\frac{3\times 3}{\sqrt{10}\times 3}=\frac{3\sqrt{10}}{10}， 所以，又， 所以，即平分. 【分析】 （1）利用点到直线的距离公式求得，又由，进而求解； （2）由直线的斜率为求点的坐标，设直线的方程为：，与双曲线联立，由求出，进而求出点，利用向量的夹角公式即可得证. (1) 小问详解： 由题意有：，双曲线的渐近线方程为：，即， 由点到直线的距离为：，即， 又焦距，即， 所以， 所以， 所以双曲线的标准方程为：； (2) 小问详解： 略 43．【答案】（1）     （2）（i）证明：依题意，设直线的方程为，.   由 消去x并整理得. 由直线与双曲线的右支交于两点，可得 . 解得. 则，. 即，而. 所以为定值. （ii）      【分析】 （1）利用双曲线的顶点和离心率，结合双曲线方程求出 即可. （2）设出直线的方程与双曲线联立，利用韦达定理及斜率公式，推理计算即可. （3）由（2）可得斜率之间的关系，联立方程求出点坐标，再求出三角形面积的函数关系并求出最小值. (1) 小问详解： 由题意知，因为， 得，， 所以双曲线的方程为. (2) 小问详解： （i）略 （ii）由（2）知，直线：，直线：. 则点的横坐标为. 于是. 因为，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为. 44．【答案】（1） 由双曲线的离心率，可知，即， 所以双曲线， 设，，， ， ， 所以；     （2） 设，， ，即， 所以为定值；     （3），，，      【分析】 （1）利用坐标法表示两点间距离，即可证明； （2）利用坐标法，结合点在双曲线上，即可证明； （3）设直线的方程，与双曲线方程联立，再利用对称性，即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 根据双曲线的对称性，不妨设点在右支第一象限上，双曲线方程为， 则的最大内角为最大，此时，则， 设直线，联立双曲线方程， ，得，得或（舍）， 时，，即， 根据对称性可知，点在第二象限的坐标为，点在第三象限的坐标为，点在第四象限的坐标为， 所以满足条件的点坐标为，，，. 45．【答案】 【分析】 由题意可得，结合椭圆和双曲线的定义得到，的关系式，根据的取值范围，结合对勾函数性质即可得到结果. 【详解】 设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，它们的公共焦距为， 不妨设焦点在轴上，点在第一象限， 由点在线段的垂直平分线上，则， 由椭圆、双曲线的定义得：，， 则，整理得， 则，故，则， 故，其中， 令， 由对勾函数性质可知，在上单调递增， 故， 即的取值范围是. 故答案为：. 46．【答案】（1） 由题意知，双曲线的渐近线方程为， 设，，则. 设点到两条渐近线的距离为， 则.     （2） 6     （3）       【分析】 （1）求出双曲线渐近线，设出点，应用点到直线的距离公式即可； （2）设出直线，联立直线与双曲线方程，根据韦达定理表示出两点纵坐标的差的绝对值，则，再求其最大值； （3）联立直线与双曲线的渐近线，求出两个交点坐标，再根据（1），（2）中的结论分别表示出与，代入求范围. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解：    设直线的方程为，因为直线与双曲线的右支相交，故. ，有 . . 令，则（当时取等号）. (3) 小问详解： 由 ，得 ，则， 得.同理，可得. 所以，. 故，，因为，所以. 所以，的取值范围为. 47．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据双曲线的离心率公式以及焦点到渐近线的距离公式来确定a，b的值，进而得到双曲线方程； （2）设出直线l的方程，与双曲线方程联立，先求出的范围，进而求出. (1) 小问详解： 由题意可知，的一条渐近线方程为，右焦点为，右焦点到渐近线的距离，解得， 由离心率，又，解得， 双曲线的方程为. (2) 小问详解： 当斜率为0时，直线的方程为 与双曲线右支交点只有一个，不满足条件；    当斜率不为0时，设直线的方程为：，则 联立 ， 恒成立，， 直线与双曲线的右支交于两点，，解得 ， 的取值范围是 48．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用点到直线距离公式和双曲线定义运算分析即可得解. （2）根据角平分线的条件，利用向量投影模长相等、直线方程、点到直线距离公式、弦长公式、基本不等式运算即可得解. (1) 小问详解： 解：由题意设，由点到直线距离公式得 ，， ∴， ∴，又∵垂足位于第一象限， 垂足位于第四象限，， ∴的轨迹方程为. (2) 小问详解： 解：由对称性，不妨设在第一象限，设，则， 设直线的斜率为，记\vec {\alpha }=\left(1,k\right)，由为的角平分线， 则有\frac{\vec {TM}\cdot \vec {\alpha }}{\left| \vec {TM}\right| }=\frac{\vec {TN}\cdot \vec {\alpha }}{\left| \vec {TN}\right| }， 其中，，\vec {TM}=\left(x_{0}-2,y_{0}\right)，\vec {TN}=\left(x_{0}+2,y_{0}\right)， ∴\left| \vec {TM}\right| =\sqrt{\left(-2+x_{0}\right)^{2}+{y}_{0}^{2}}=\sqrt{\left(-2+x_{0}\right)^{2}+\frac{{x}_{0}^{2}}{3}-1}=\frac{2\sqrt{3}}{3}x_{0}-\sqrt{3}， 同理得：\left| \vec {TN}\right| =\frac{2\sqrt{3}}{3}x_{0}+\sqrt{3}，代入\frac{\vec {TM}\cdot \vec {\alpha }}{\left| \vec {TM}\right| }=\frac{\vec {TN}\cdot \vec {\alpha }}{\left| \vec {TN}\right| }中， ∴，化简得：. 将代入，中， 解得：，， ∴，， 设直线的方程为，将代入， 解得：， ∴直线的方程为，， 由点到直线距离公式得：. 由直线的斜率为，设直线的方程为， 将点代入，解得：， ∴直线的方程为，将其与联立得： ， 设，则，， 由可知，， 由均值不等式，， 当且仅当，即时，等号成立， ∵，故， ∴，当且仅当时，等号成立. ∴的最大值为. 【点睛】 圆锥曲线题型中的角平分线问题往往有如下处理思路： 方法一.如果轴为一个角的平分线，则该角的两边所在直线的斜率互为相反数； 方法二.利用角平分线上的点到角两边的距离相等； 方法三.如果轴为一个角的平分线，则角两边所在直线满足以下规律：一边上任意一点关于轴的对称点必在另外一边上； 方法四.利用向量，根据向量投影的模长相等来进行求解. 考点03 抛物线 1．B 2．B 3．D 4．B 5．A 6．C 7．D 8．B 9．BCD 10．B 11．B 12．ABD 13．ABD 14．C 15．C 16．AC 17．ACD 18．BC 19．【答案】（1）     （2）      【分析】 (1)利用抛物线准线到焦点的距离等于即可求解； (2) 设，，根据题意和重心的性质即可求解. (1) 小问详解： 由题意得，∴抛物线方程为： (2) 小问详解： 设，，由重心坐标公式得 ，∴CD中点坐标为， 两式相减得， 方程：， ，∴方程：. 20．【答案】5 【分析】 根据点为抛物线上一点可求出的值，即可知抛物线的准线方程，从而求出所求． 【详解】 解：点为抛物线上一点， ，解得， 抛物线方程为 准线方程为， 点到抛物线的准线的距离为． 故答案为：5． 21．【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）根据抛物线的定义即可求解； （2）设所求双曲线方程为，代入点求解参数即可． 【详解】 （1）因为到其焦点的距离为5，根据定义，到准线距离也为5， 抛物线的准线方程为， 故 ，则抛物线方程为． （2）由题意设双曲线方程为， 因为双曲线经过点，所以，故， 所以双曲线标准方程为， 即． 22．【答案】（1）或     （2）4      【分析】 （1）根据弦长公式可求得圆心到直线的距离为，讨论直线的斜率是否存在即可列出等式求解； （2）根据抛物线的定义进行转化，利用几何意义即可求解最小值. (1) 小问详解： 圆的圆心为，半径， 已知弦长，根据弦长公式（为圆心到直线的距离），得： ， ①当直线的斜率不存在时，直线方程为， 圆心到直线的距离为，符合条件； ②当直线的斜率存在时，设直线方程为，即 圆心到直线的距离为：，解得， 所以直线方程为，化简得， 综上，直线的方程为或 (2) 小问详解：    因为为圆上的动点，所以的最小值为， 故， 抛物线的焦点为，准线为， 根据抛物线定义，，因此：， 问题转化为求的最小值，即点到准线的距离与到点的距离之和的最小值， 过作准线的垂线，方程为，与抛物线交于， 此时最小值为到准线的距离：， 因此，的最小值为. 23．【答案】（1）；（2）1或. 【详解】（1）由焦半径公式求得，得抛物线方程； （2）设，直线方程为，代入抛物线方程后由韦达定理得，然后由焦点弦长公式可求得． 【详解】 （1）由题意，，∴抛物线方程为； （2）由（1）知焦点为， 若直线斜率不存在，则，不合题意，因此设直线方程为， 由 得， 设，则， ，解得或． 【点睛】 本题考查抛物线的焦半径公式，焦点弦长，掌握抛物线的定义是解题关键． 24．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）求出椭圆的顶点即可得出抛物线的焦点，求出即得抛物线方程； （2）设，由中点弦公式计算可得，直线的方程为，直线与抛物线联立方程，利用弦长公式及三角形面积公式列式计算即可求解. (1) 小问详解： 由题知，椭圆右顶点坐标为，抛物线开口向右， 所以，故，即， 所以抛物线的方程为； (2) 小问详解： 如图，由题意，设， 代入抛物线方程，可得 ， 两式相减可得，即， 由可得，故， 又由点为线段的中点且点在抛物线内， 所以直线的方程为，即. 联立 ，得，其中， 故， 所以， 又因为到直线的距离， 所以的面积. 25．【答案】（1）     （2）① 2    ② 证明： 记直线与轴的交点为，由① 可知为的中点. 由抛物线的定义可得， 在直线中，令，可得 于是， 所以平分.      【分析】 （1）利用三角形的面积建立方程求出即可得出抛物线方程； （2）① 根据垂直关系可写出的斜率，得出点坐标，得到直线的方程即可求出直线截距得解；② 利用抛物线的性质求解 ，由等腰三角形即可求证. (1) 小问详解： 当轴时，，代入， 可得， 所以 ，解得， 所以抛物线的方程为. (2) 小问详解： ① 由（1）知，的方程为, 因为在抛物线上，即， 所以 因为，所以，解得， 所以, 由的方程为，得 令，可得，所以. ② 略 26．【答案】（1）；     （2） 依题意设，由（1）知抛物线方程为， 所以，所以，设A，），则以A为切点的切线l2的斜率为 所以切线l2的方程为． 令，即l2交y轴于B点坐标为， 所以\vec {MA}=\left(x_{1}-m \mathrm{，}y_{1}+3\right),\vec {MB}=\left(-m,-y_{1}+3\right)， ∴\vec {MN}=\vec {MA}+\vec {MB}=\left(x_{1}-2m,6\right)， ∴\vec {ON}=\vec {OM}+\vec {MN}=\left(x_{1}-m\,,3\right)． 设N点坐标为（x，y），则， 所以点N在定直线上． 【分析】 （1）设直线l1的方程为，再根据直线和圆相切求出的值得解； （2）依题意设，求出切线l2的方程和B点坐标，求出\vec {MN}=\left(x_{1}-2m,6\right)， \vec {ON}=\left(x_{1}-m\,,3\right)，即得证. (1) 小问详解： 由题得抛物线的焦点坐标为， 设直线l1的方程为， 由已知得圆的圆心，半径， 因为直线l1与圆相切， 所以圆心到直线的距离， 即，解得或（舍去）． 所以. (2) 小问详解： 略 27．【答案】 【分析】 在轴上取点，推导出为锐角，设点，可得出\vec {FA}\cdot \vec {FP}> 0，可求得的范围，再根据抛物线焦半径公式求解即可． 【详解】 由题意得， 由抛物线的定义得，所以， 由于是锐角三角形，则为锐角， 在轴上取一点，由轴，所以，则为锐角， 设点，\vec {FA}=\left(0,\frac{1}{2}\right),\vec {FP}=\left(x,y-\frac{3}{2}\right)， 则\vec {FA}\cdot \vec {FP}=\frac{y}{2}-\frac{3}{4}> 0，所以， 则， 故答案为：． 28．【答案】①     ② 【分析】 根据已知条件，分别设抛物线的方程，结合抛物线过点，以及4个溢流孔的轮廓线平移关系求、所在溢流孔的抛物线，再联立抛物线方程求出交点坐标即可得. 【详解】 设桥拱所在抛物线的方程为，该抛物线过点， ，解得，故桥拱所在抛物线为① ， 设所在溢流孔的抛物线方程为，该抛物线过点， ，解得，故所在溢流孔的抛物线为， 个溢流孔的轮廓线相同， ，所在溢流孔的抛物线为② ， 联立① ② ，消元得，解得 或 ， 所以，，则B，C两点的横坐标之差为. 故答案为：， 29．【答案】（1）     （2） 4     （3） 由（1）得，，可得． 设直线的方程为，则由 ，得， 由 ，得，所以． 所以． 设直线的方程为，又因为抛物线， 可得 ，得，所以． 所以，所以，所以直线的方程为， 所以直线过定点． 【分析】 （1）设直线的方程，分别联立抛物线的方程，表示出的坐标，根据，求出的值；或设出的坐标，根据，列出坐标关系，代回抛物线的方程，求出的值. （2）设直线的方程为，及各点坐标，表示出的面积，根据过焦点的直线与抛物线的交点的纵坐标乘积为定值，利用基本不等式求得其最值. （3）设直线的方程为，利用过焦点的直线与抛物线的交点的纵坐标乘积为定值，得到t与n的关系，求得直线所过定点. (1) 小问详解： 方法一：设直线的方程为，则由 ，得， 所以． 由 ，得，所以． 因为，所以， 又因为，所以． 方法二：设，，由题可知， . 因为，所以，所以. 又，所以. (2) 小问详解： 设直线的方程为，，，，， 则由 得，所以． 因为，所以的面积是的面积的2倍． 因为，且， 所以， 当且仅当时等号成立，所以的面积的最小值是2， 所以的面积的最小值是4． (3) 小问详解： 略 30．【答案】（1）     （2） 设，，，， （ⅰ）设直线的方程为，的方程为，因为直线与直线垂直，所以， 联立 得， 则，，，， 所以， 同理可得 当时，：， 即 ， 因为，所以直线的方程为， 故当时，，此时过定点， 当时，由得，此时直线的方程为，同样经过点， 所以直线过定点，该定点为. （ⅱ）由抛物线方程得，， 则：， 同理可得：， 联立 得， 即， 由，同理， 故， 所以， 即直线，的交点在定直线上.      【分析】 （1）结合抛物线的定义即可求解； （2）（ⅰ）分别联立直线与抛物线、直线与抛物线方程得到点，的坐标，从而得到直线的方程，即可得到直线过定点；（ⅱ）联立直线与的方程得到，即可求证； (1) 小问详解： 因为直线和距离为1， 由题意点到直线的距离与到点的距离相等， 由抛物线的定义可得动点的轨迹方程为： (2) 小问详解： 略 31．【答案】（1）     （2）      （3）是定值，且为9      【分析】 （1）由题意得，求出p值，即可得答案. （2）设直线，根据相切，圆心到直线的距离等于半径，列出方程，求出k值，联立求出P点坐标，代入距离公式，即可得答案. （3）设，直线AB方程为，与曲线联立，根据韦达定理可得，求出直线AN方程，与曲线联立，根据韦达定理，可得表达式，同理可得表达式，根据弦长公式、点到直线距离公式、面积公式等，分别求出和表达式，即可求得答案. (1) 小问详解： 因为顶点到焦点的距离为，所以，解得， 所以抛物线的方程为. (2) 小问详解： 由题意，直线斜率存在，设为k，则直线， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离，解得， 根据对称性，不妨取， 联立 ，得，解得或0（舍），则， 所以. (3) 小问详解： 显然直线AB斜率不为0，直线AB方程为， 设， 联立 ，得， 所以， . 直线AN的斜率， 所以直线AN方程为， 联立 ，得， 因为为方程的一个根，所以，解得， 同理， 又 = N到直线AB的距离， 所以， 又 ， ，所以， 整理得， 所以N到CD的距离， 所以 ， 又， = ， 所以， 所以. 32．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）将两点代入抛物线，两式相减变形可得，由题意易知的中点坐标，再由点斜式写出答案； （2）设直线：， ，与抛物线联立，再由弦长公式结合韦达定理，可将表示为的函数，进而求出最小值. (1) 小问详解： 将代入抛物线得： 所以， 又的中点坐标为， 所以直线的方程为：， 化简得：. (2) 小问详解： 由题意设直线：， ， 联立 消得：， ，，， 因为以为直径的圆经过原点，所以， 所以，所以， 所以 ，当时，， 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $