精品解析：江苏省海门中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

江苏省海门中学2025-2026学年度第一学期期中考试试卷 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知、、，若，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点的坐标为，根据空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，即可得出点的坐标. 【详解】设点坐标为，则， 又，， 所以，，，，则点的坐标为. 故选：A. 2. 过点且与点的距离最大的直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：由题意知，直线l应和线段AB垂直，直线l斜率是线段AB斜率的负倒数，又线l过点A（3，4），点斜式写出直线l的方程，并化为一般式． 解：∵线l过点A（3，4）且与点B（﹣3，2）的距离最远， ∴直线l的斜率为：==﹣3， ∴直线l的方程为y﹣4=﹣3（x﹣3），即 3x+y﹣13=0， 故选C． 3. 在空间四点O，A，B，C中，若是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（ ） A. O，A，B，C四点不共线 B. O，A，B，C四点共面，但不共线 C. O，A，B，C四点不共面 D. O，A，B，C四点中任意三点不共线 【答案】B 【解析】 【分析】根据基底的含义，非零向量不在同一平面内，即O，A，B，C四点不共面，即可判断 【详解】因为为基底，所以非零向量不在同一平面内， 即O，A，B，C四点不共面， 所以A、C、D选项说法正确，B错误． 故选：B 4. 设F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为(　　) A. 4 B. 3 C. 2 D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】由题意知是的中位线，∵，∴，又，∴，故选A. 5. 双曲线上一点到右焦点的距离是，则下列结论正确的是（ ） A. 到左焦点的距离为 B. 到左焦点的距离为 C. 到左焦点的距离不唯一 D. 这样的点不存在 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的定义和性质来判断到左焦点的距离． 【详解】对于双曲线，可得，，则， 设该双曲线的左、右焦点分别为、，由题意可知， 又因为，所以这样的不存在. 故选：D. 6. 已知，，直线：，：，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据可得、的关系式，再由基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，所以，， 所以 ， 当且仅当即，时取等号，的最小值为， 故选：D 7. 已知圆上存在点，使（为原点）成立，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据可得的轨迹方程.由点在圆上,可得的轨迹方程与圆有公共点,即可由其位置关系求解. 【详解】由题意,设 则由,可得 化简变形可得 所以的轨迹为以为圆心,以为半径的圆 由题意可知为与的公共点 即两个圆有公共点,由圆与圆的位置关系可知 解得 又因 所以 故选:D 【点睛】本题考查了点的轨迹方程求法,圆与圆位置关系式的应用,属于中档题. 8. 在四棱柱中，平面，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，为侧棱上的动点（包括端点），则（ ） A. 对任意的，，存在点，使得 B. 当且仅当时，存在点，使得 C. 当且仅当时，存在点，使得 D. 当且仅当时，存在点，使得 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，即可求出，的坐标，求出，令，即可得到，从而求出、的关系，即可得解； 【详解】解：以为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系，则，，，设， 所以，， 所以，令，，由得， 所以当且仅当时，存在点，使得，故选项D正确. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下面四个结论正确的是（ ） A. 空间向量，若，则 B. 若空间四个点，，则三点共线 C. 已知向量，若，则为钝角 D. 任意向量满足 【答案】AB 【解析】 【分析】由空间向量的数量积及其运算性质可判断ACD，由空间向量的基本定理与共线定理可判断B 【详解】对于A：因为，，则，故A正确； 对于B：因为，则，即， 又与有公共点，所以三点共线，故B正确； 对于C：， 若为钝角：则，且与不共线， 由得， 当时，，即，由与不共线得， 于是得当且时，为钝角，故C错误； 对于D：是的共线向量，而是的共线向量，故D错误， 故选：AB 10. 已知直线，圆，则（ ） A. 对任意实数，直线与圆有两个不同的公共点 B. 当且仅当时，直线被圆所截弦长为 C. 对任意实数，圆不关于直线对称 D. 存在实数，使得直线与圆相切 【答案】ABC 【解析】 【分析】求出直线所过的定点，并判断该定点与圆的位置关系，再逐项分析判断即可得解． 【详解】对于AD选项，直线，由，解得， 即直线恒过定点， 圆的半径，，即点在圆内， 对任意实数，直线与圆有两个不同的公共点，A对D错； 对于B选项，当直线被圆所截弦长为，则圆心到直线的距离为， 由点到直线的距离公式可得， 即，即，解得，B对； 对于C选项，因为圆的圆心不在直线上，故对任意实数，圆不关于直线对称，C对. 故选：ABC. 11. 2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新．设计师的灵感来源于曲线．则下列说法正确的是（ ） A. 曲线关于原点成中心对称 B. 当时，曲线上的点到原点的距离的最小值为2 C. 当时，曲线所围成图形的面积的最小值为 D. 当时，曲线所围成图形的面积小于4 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据曲线与方程的关系，利用方程研究曲线的性质，逐项分析即可求解. 【详解】因为用代替仍有成立，故曲线关于原点成中心对称，A正确； 当时，曲线，即，设为曲线上任意一点， ，当且仅当时等号成立，，即曲线上的点到原点的距离的最小值为2，B正确； 当时，，曲线关于轴对称，关于原点对称， 当时，可得，与坐标轴围成三角形面积为，由对称性知曲线所围成图形的面积为，故C错误； 当时，曲线关于轴对称，关于原点对称，当时，， 所以，故在第一象限部分的面积,所以曲线所围成图形的面积为，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：根据曲线的方程可知曲线的对称性，利用对称性可研究曲线在第一象限的情形，即可得到曲线所围成图形面积问题，属于中档题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若向量都是直线的方向向量，则_____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意可知，再根据空间向量共线定理即可得解. 【详解】根据题意可知， 故存在唯一实数，使，即， 则，解得， 所以. 故答案为：. 13. 如图，已知ABC-A1B1C1是侧棱长和底面边长均等于a的直三棱柱，D是侧棱CC1的中点，则点C到平面AB1D的距离为____.  【答案】## 【解析】 【分析】可用等体积法求点到平面的距离，或直接建立空间直角坐标系，用向量法求点到平面的距离. 【详解】由题可知：平面平面,所以 所以,,, 所以,所以. 所以. 直三棱柱的底面边长均等于a，所以是正三角形，取的中点，连接，则,且. 因为平面,所以平面,. . 因为,所以, 所以. 故答案：. 方法二：如图所示， 直三棱柱的底面边长均等于a，所以是正三角形，取的中点，连接，则,且. 因为侧面是矩形，取的中点F，连接,则. 因为侧棱平面，所以平面,所以两两垂直，所以分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 据题意可知， 则 设平面AB1D的一个法向量是 所以,所以, 令,则,所以. 因为,所以点C到平面AB1D距离. 故答案为： 14. 2021年是中国传统的“牛”年，可以在平面坐标系中用抛物线与圆勾勒出牛的形象．已知抛物线：的焦点为，圆：与抛物线在第一象限的交点为，直线：与抛物线的交点为，直线与圆在第一象限的交点为，则______；周长的取值范围为______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】联立圆与抛物线的方程即可求得m，然后由分别与抛物线，与圆的方程联立求得A，B的坐标，再结合抛物线的定义求解. 【详解】如图所示： 由，解得， ∴ 由，解得， 所以 由，解得， 所以， 由抛物线的定义得： ∴， ∴周长， ， . ， 故答案为：2，． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线与圆相交于不同两点，. （1）求实数的取值范围 （2）是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）由已知得圆心到直线的距离小于半径，可解出实数的取值范围. （2）AB的垂直平分线过圆心，直线PC与直线垂直，由此能求出值. 【小问1详解】 圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离 ∵直线与圆相交于不同两点，，∴， 即，解得 或 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 ∵为圆上点，∴AB的垂直平分线过圆心，∴直线PC与直线垂直， ， ∴ 解得， 符合（1）中的取值范围，∴存在，使得过的直线l垂直平分弦AB． 16. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，平面，，、分别为、的中点． （1）求证：平面； （2）若，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，连接，证明四边形是平行四边形，则，再利用线面平行的判定即可； （2）以为坐标原点建立合适的空间直角坐标系，从而写出相关向量，求出相关平面的法向量，再利用线面夹角正弦值公式即可得到答案． 【小问1详解】 取的中点为，连接， 因为、分别为、的中点，所以，， 又因为四边形为矩形，，，且为的中点， 所以，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以直线平面． 【小问2详解】 因为平面，、平面，则，， 以为原点，平面内过点且垂直于的直线为轴，、所在直线分别为、轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，则， 因为，故为等腰直角三角形，且． 所以、，所以． 易知平面的一个法向量为， 则设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 17. 已知椭圆的右焦点为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为． （1）求椭圆的方程； （2）若、是椭圆上关于轴对称的任意两点，设，设直线与直线交于点，试判断点与椭圆的位置关系． 【答案】（1） （2）点在椭圆上 【解析】 【分析】（1）由已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）设，则，可得出，分、两种情况讨论，求出点的坐标，利用点与椭圆的位置关系判断即可. 【小问1详解】 过右焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为， 令，解得，所以， 又，，所以，， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 设，则，，则． 当时，与重合，所以点在椭圆上， 当时，直线的方程为，直线的方程为， 由得，即点， 则有 ， 所以点在椭圆上， 综上，点在椭圆上． 18. 如图，在四棱锥中，平面PAD，． （1）证明：平面ABCD； （2）若底面ABCD是正方形，．E为PB中点，点F在棱PD上，且平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值为． （ⅰ）求PF； （ⅱ）平面AEF交PC于点G，点M在平面PBC上，求EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，再由线面垂直的判定定理证明线面垂直； （2）（ⅰ）建立空间直角坐标系，写出点和向量的坐标，由点是上的一点得到进而得到平面的法向量的坐标，再由（1）中平面ABCD得到是平面ABCD的一个法向量，利用两平面夹角的余弦值求得的值，进而得到； （ⅱ）利用平面的法向量，确定点的坐标，从而得到的坐标，由点M在平面PBC上，可设，从而得到平面MAD的法向量，从而可以用表示出EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围，利用二次函数的值域得到正弦值的取值范围. 【小问1详解】 因为平面PAD，平面PAD，所以． 又，平面ABCD，平面ABCD，， 所以平面ABCD． 【小问2详解】 以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，如图． （ⅰ），，， ，，，设， 则． 设平面AEF的法向量为，则即， 取，得，， 所以是平面AEF的一个法向量， 因为平面ABCD，所以是平面ABCD的一个法向量． 因为平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值为， 所以，得，所以． （ⅱ）设，则． 因为为平面AEGF的一个法向量，所以， 所以，即，得， 所以，． ，，，，，， 因为M在平面PBC上，所以， 所以． 设平面MAD的法向量，则即， 取得，所以是平面MAD的一个法向量， 设EG与平面MAD所成角为，则 因为，所以 即EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围为． 19. 已知双曲线C的渐近线方程为，点是双曲线C上一点． （1）求双曲线C的方程； （2）过点的直线l交双曲线C于点M，N，直线MA，NA分别交直线于点P，Q，请问：是否存在常数，使得，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在； 【解析】 【分析】（1）根据渐近线方程设双曲线方程为，代入A点求解即可； （2）设，，直线MN的方程，结合韦达定理求出及关于k的表达式，同时根据MN的方程求出及的值，再据此求出的表达式，结合韦达定理化简该表达式即可求解t的值． 【小问1详解】 设双曲线方程为：， 因为点在双曲线上，所以，所以， 所以双曲线的方程为． 【小问2详解】 如图所示， 设，，直线MN的方程为， 与双曲线方程联立可得， 即，， 则，， 直线MA的方程为， 令可得，， 同理可得， ， 所以存在满足． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省海门中学2025-2026学年度第一学期期中考试试卷 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知、、，若，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 过点且与点的距离最大的直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 在空间四点O，A，B，C中，若是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（ ） A. O，A，B，C四点不共线 B. O，A，B，C四点共面，但不共线 C. O，A，B，C四点不共面 D. O，A，B，C四点中任意三点不共线 4. 设F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为(　　) A. 4 B. 3 C. 2 D. 5 5. 双曲线上一点到右焦点距离是，则下列结论正确的是（ ） A. 到左焦点的距离为 B. 到左焦点的距离为 C. 到左焦点的距离不唯一 D. 这样的点不存在 6. 已知，，直线：，：，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 7. 已知圆上存在点，使（为原点）成立，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在四棱柱中，平面，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，为侧棱上的动点（包括端点），则（ ） A. 对任意的，，存在点，使得 B. 当且仅当时，存在点，使得 C. 当且仅当时，存在点，使得 D. 当且仅当时，存在点，使得 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下面四个结论正确的是（ ） A. 空间向量，若，则 B. 若空间四个点，，则三点共线 C. 已知向量，若，则为钝角 D. 任意向量满足 10. 已知直线，圆，则（ ） A. 对任意实数，直线与圆有两个不同的公共点 B. 当且仅当时，直线被圆所截弦长为 C. 对任意实数，圆不关于直线对称 D. 存在实数，使得直线与圆相切 11. 2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新．设计师的灵感来源于曲线．则下列说法正确的是（ ） A. 曲线关于原点成中心对称 B. 当时，曲线上的点到原点的距离的最小值为2 C. 当时，曲线所围成图形面积的最小值为 D. 当时，曲线所围成图形的面积小于4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若向量都是直线的方向向量，则_____. 13. 如图，已知ABC-A1B1C1是侧棱长和底面边长均等于a的直三棱柱，D是侧棱CC1的中点，则点C到平面AB1D的距离为____.  14. 2021年是中国传统的“牛”年，可以在平面坐标系中用抛物线与圆勾勒出牛的形象．已知抛物线：的焦点为，圆：与抛物线在第一象限的交点为，直线：与抛物线的交点为，直线与圆在第一象限的交点为，则______；周长的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15 已知直线与圆相交于不同两点，. （1）求实数的取值范围 （2）是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 16. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，平面，，、分别为、的中点． （1）求证：平面； （2）若，，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知椭圆的右焦点为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为． （1）求椭圆的方程； （2）若、是椭圆上关于轴对称的任意两点，设，设直线与直线交于点，试判断点与椭圆的位置关系． 18. 如图，四棱锥中，平面PAD，． （1）证明：平面ABCD； （2）若底面ABCD是正方形，．E为PB中点，点F在棱PD上，且平面AEF与平面ABCD夹角的余弦值为． （ⅰ）求PF； （ⅱ）平面AEF交PC于点G，点M在平面PBC上，求EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围． 19. 已知双曲线C的渐近线方程为，点是双曲线C上一点． （1）求双曲线C的方程； （2）过点的直线l交双曲线C于点M，N，直线MA，NA分别交直线于点P，Q，请问：是否存在常数，使得，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $