第13章 三角形•能力提升（章节复习能力自测闯关卷）-2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 2026-2027学年人教版八年级上册第13章三角形单元复习卷，90分钟100分，难度0.43，覆盖三角形核心知识，融合多地期末真题，梯度设计适配单元复习，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/20|三边关系、中线、等腰三角形|结合凸透镜折射等跨学科情境，考查空间观念| |填空题|8/16|角平分线、高、折叠问题|如格点三角形高的判断，培养抽象能力| |解答题|8/64|内角和、外角性质、探究推理|含机器人火炬手情境（23题）、动态几何探究（26题），发展推理能力与模型意识|

2026-2027学年人教版（新教材）数学八年级上册章节复习能力自测闯关卷 第13章 三角形•能力提升 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.43 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（25-26八年级上·广西玉林·期末）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广西玉林·期末）如图，若是的中线，，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 3．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）下列长度的三条线段首尾顺次相接能构成三角形的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．2，2，6 D．2，3，5 4．（25-26八年级上·广东汕尾·期末）如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知一个等腰三角形的两边长分别是和，则这个等腰三角形的周长为（   ） A． B． C．或 D．或 6．（25-26八年级上·福建厦门·期末）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．以下图形均在正方形网格中，且各点均在格点上，则线段是的边上的高的是（    ） A．B． C． D． 7．（25-26八年级上·福建厦门·期末）已知的三个内角，，满足关系式，则此三角形（   ） A．一定有一个内角为 B．一定有一个内角为 C．一定是直角三角形 D．一定是钝角三角形 8．（25-26八年级上·北京延庆·期末）用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点在直线上，，，，点在同一条直线上，当时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已知直线与相交于点，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在四边形中，，的平分线与外角的平分线相交于点，则的度数为（   ） A． B． C．25° D． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中的度数为_________． 12．（25-26八年级上·四川达州·期末）如图，直线，的直角顶点落在直线上，若，则________． 13．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为________． 14．（25-26七年级上·山东泰安·期末）如图，在中，、分别平分、，、相交于点，则的度数是______． 15．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，是等腰三角形，O是底边上任意一点，过O作于E，作于F，若，的面积为12，则_____． 17．（25-26八年级上·江西上饶·期末）如图，在中，，，点为边延长线上一点，平分，点为直线上一点．若直线垂直于的一边，则的度数为___________． 18．（25-26八年级·全国·寒假作业）如图，直线平分，平分的外角，则与、的数量关系是___． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，D是延长线上一点，E是上一点，与相交于点． (1)求的度数： (2)求的度数． 20．（本题6分）（25-26八年级上·江西宜春·期中）中，，点，分别是的边，上的两个定点，点是平面内一动点，令． (1)如图（1），若点在线段上运动， ①当时，___________． ②写出，，之间的关系：___________． (2)若点运动到边的延长线上，交于，如图（2），则，，之间有何关系？并说明理由． 21．（本题8分）（25-26八年级上·云南红河·期末）如图，在中，，于点D，平分，交于点E． (1)当，时，求的度数； (2)求证：． 22．（本题8分）（25-26八年级上·湖北孝感·期末）如图，点是边上一点，且． (1)求证：为直角三角形； (2)若是的角平分线，，，求的度数． 23．（本题8分）（25-26八年级上·广东深圳·期末）2025年11月2日，人形机器人“夸父”成为全运会历史上首个人形机器人火炬手．下图是“夸父”在传递火炬时某瞬间的姿势及其平面示意图．其中，，，． (1)求的度数； (2)若，，，，求证：． 24．（本题8分）（25-26八年级上·全国·期末）如图，中，的角平分线与外角的平分线交于． (1)如图，若，则 ． (2)如图，四边形中，的角平分线及外角的角平分线相交于点，若，求的度数． (3)如图，中，的角平分线与外角的角平分线交于，若为延长线上一动点，连接，与的角平分线交于点，当滑动时有下面两个结论： 的值为定值； 的值为定值； 其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值． 25．（本题10分）（25-26八年级上·天津滨海新区·期中）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，作的中线． (2)在图②中，在边上找一点，连接，使的面积为． 26．（本题10分）探索下面不同的情境，回答问题： (1)【探索发现】已知：如图1，，点在，之间，连接，．易证：．下面是两位同学添加辅助线的方法： 小刚：如图2，过点P作． 小红：如图3，延长交于点M． 请你选择一位同学的方法，并进行证明； (2)【深入思考】如图4，点E，F分别是射线，上一点，点G是线段上一点，连接并延长，交直线于点P，连接、，若，求证：； (3)【拓展延伸】如图5，在（2）的条件下，，平分，平分，与交于点H，若，，，求的度数． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年人教版（新教材）数学八年级上册章节复习能力自测闯关卷 第13章 三角形•能力提升 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.43 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（25-26八年级上·广西玉林·期末）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补是本题的关键．由于平行，，已知 ，可得的度数，又因，可得的度数，对顶角相等，可得的度数． 【规范解答】解：由于平行，， ， ， ， ， ． 故选：A． 2．（25-26八年级上·广西玉林·期末）如图，若是的中线，，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】D 【思路引导】本题考查了中线的定义和性质，掌握三角形中线的定义和性质是解题的关键． 根据三角形中线的性质可知． 【规范解答】解：∵是的中线，即 ∴ ∵ ∴． 故选：D． 3．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）下列长度的三条线段首尾顺次相接能构成三角形的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．2，2，6 D．2，3，5 【答案】B 【思路引导】本题考查了三角形的三边关系，构成三角形的三边应满足：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，只有同时满足以上的两个条件，才能构成三角形，据此可判断选项正误． 【规范解答】解：A、，不能构成三角形； B、，能构成三角形； C、，不能构成三角形； D、，不能构成三角形； 故选：B． 4．（25-26八年级上·广东汕尾·期末）如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理及其外角性质．根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质求出，根据三角形的外角的性质计算，得到答案． 【规范解答】解：如图， ，，， ， 将沿对折，使点落在△外的点处， ， ， ， 故选：A． 5．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知一个等腰三角形的两边长分别是和，则这个等腰三角形的周长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【思路引导】本题考查了等腰三角形的定义和三角形三边关系，分腰长为和腰长为两种情况讨论，利用三角形三边关系验证是否构成三角形，再计算周长即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【规范解答】解：当腰长为，底边长为时，三边长为， ∵， ∴能构成三角形， 此时三角形的周长为； 当腰长为，底边长为时，三边长为， ∵， ∴能构成三角形， 此时三角形的周长为； 综上，三角形的周长为或， 故选：． 6．（25-26八年级上·福建厦门·期末）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．以下图形均在正方形网格中，且各点均在格点上，则线段是的边上的高的是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查三角形的高，中线以及等腰三角形的性质，正确判断垂直关系即可． 【规范解答】解：A、，，所以线段不是的边上的高； B、，，则，所以线段是的边上的高； C、，，所以线段不是的边上的高； D、与不垂直，所以线段不是的边上的高； 故选：B． 7．（25-26八年级上·福建厦门·期末）已知的三个内角，，满足关系式，则此三角形（   ） A．一定有一个内角为 B．一定有一个内角为 C．一定是直角三角形 D．一定是钝角三角形 【答案】B 【思路引导】本题考查了三角形内角和的应用，利用三角形内角和定理，结合给定条件求解∠A的度数，即可得解． 【规范解答】解：∵，， ∴ ∴． ∴三角形一定有一个内角为， 故选：B． 8．（25-26八年级上·北京延庆·期末）用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点在直线上，，，，点在同一条直线上，当时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了平行线的性质，外角的性质，内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质可得，根据外角的性质可得的度数． 【规范解答】解：，， ， ， ， ，， ， ， 故选：D． 9．如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已知直线与相交于点，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质．根据三角形的外角的性质得出，根据平行线的性质即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 10．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在四边形中，，的平分线与外角的平分线相交于点，则的度数为（   ） A． B． C．25° D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了三角形外角的性质和角平分线的定义，解题关键是利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和的关系进行转化．本题先求出，再利用即可求解． 【规范解答】解：如图，延长和交于点G， ∵， ∴ ， ∴， ∵的平分线与外角的平分线相交于点， ∴， ∴ 故选：C． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中的度数为_________． 【答案】 【思路引导】本题考查的是三角形外角的性质，解题关键是熟练掌握三角形外角等于与其不相邻的两内角和． 根据三角形的外角的性质求解即可． 【规范解答】解：如图： 由三角板可得，， 由三角形的外角的性质可得， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·四川达州·期末）如图，直线，的直角顶点落在直线上，若，则________． 【答案】42 【思路引导】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据题意得到，，，等量代换即可求解． 【规范解答】解：在中，， ∴， 如图所示， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：42 ． 13．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为________． 【答案】/ 【思路引导】过点作于点，利用等积法求出长．根据垂线段最短，得出当时，即点与点重合时，最小． 【规范解答】解：如图，过点作于点， 在中，，，为边上的高，， ， ， ， 解得：， 垂线段最短， 当点与点重合时，最小， 即最小值为． 14．（25-26七年级上·山东泰安·期末）如图，在中，、分别平分、，、相交于点，则的度数是______． 【答案】/度 【思路引导】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是”这一隐含的条件． 根据三角形的内角和是，可知，由，分别平分，，可知，，即，再由三角形的内角和是，得出的度数，从而求出的度数． 【规范解答】解：∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，是等腰三角形，O是底边上任意一点，过O作于E，作于F，若，的面积为12，则_____． 【答案】6 【思路引导】本题考查等腰三角形的定义，与三角形的高有关的计算，连接，根据，进行求解即可． 【规范解答】解：连接， ∵是等腰三角形，O是底边上任意一点，，， ∴，， ∵，的面积为12， ∴， ∴； 故答案为：6． 16．（25-26八年级上·贵州铜仁·阶段检测）已知a、b、c为的三边长，b、c满足，且a为方程的解，则的形状为______三角形． 【答案】等边 【思路引导】本题考查绝对值，平方的非负性和等边三角形的判定，三角形的三边关系，熟练掌握绝对值与平方的非负性和三角形的三边关系是解题的关键，根据绝对值和平方的非负性求出b和c的值，再解方程求出a的可能值，结合三角形三边关系确定a的值，从而判断三角形的形状． 【规范解答】解：∵， ∴和， 解得：，， ∵ ∴或， 解得：或， ∴或， 当，，时，，不能构成三角形， 当，，时，，为等边三角形， 故答案为：等边． 17．（25-26八年级上·江西上饶·期末）如图，在中，，，点为边延长线上一点，平分，点为直线上一点．若直线垂直于的一边，则的度数为___________． 【答案】或或 【思路引导】本题主要考查了三角形的内角和定理及外角定理，角平分线的定义，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据三角形的内角和定理求出，根据角平分线的定义得出，然后分三种情况进行讨论求解． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴； ①如图所示，过点作，交于点，交于点， ∴， ∴； ②如图所示，过点作，交于点， ∴， ∴； ③如图所示，过点作，交直线于点， ∴， ∴， ， ∴； 综上，的度数为或或． 18．（25-26八年级·全国·寒假作业）如图，直线平分，平分的外角，则与、的数量关系是___． 【答案】 【思路引导】本题考查三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线，掌握相关知识是解决问题的关键．作的平分线与的延长线交于点N，与交于点M，与交于点Q，根据角平分线的定义证明，再用、表示出，最后由三角形外角的性质得出，即可求解． 【规范解答】解：如图，作的平分线与的延长线交于点N，与交于点M，与交于点Q， ∵平分，平分，平分， ∴，，， ∵， ∴． ∵， ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 则与、的数量关系为． 故答案为：． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，D是延长线上一点，E是上一点，与相交于点． (1)求的度数： (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了三角形外角的性质，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键． （1）根据三角形外角的性质可得，据此代值计算即可得到答案； （2）根据三角形外角的性质可得 ，据此代值计算即可得到答案． 【规范解答】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴． 20．（本题6分）（25-26八年级上·江西宜春·期中）中，，点，分别是的边，上的两个定点，点是平面内一动点，令． (1)如图（1），若点在线段上运动， ①当时，___________． ②写出，，之间的关系：___________． (2)若点运动到边的延长线上，交于，如图（2），则，，之间有何关系？并说明理由． 【答案】(1)， (2)结论：，理由见解析 【思路引导】本题考查三角形的外角的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）①如图1中，连接．证明即可． ②利用①中结论解决问题． （2）利用三角形的外角的性质解决问题即可． 【规范解答】（1）解：①如图1中，连接． ∵，， ∴， ∵，， ∴． ②由①可知，， 故答案为：，． （2）解：结论：． 理由：如图2中， ∵，， ∴． 21．（本题8分）（25-26八年级上·云南红河·期末）如图，在中，，于点D，平分，交于点E． (1)当，时，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质． （1）先根据角平分线的定义可得，再根据三角形的外角性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得； （2）先根据角平分线的定义可得，再根据三角形的外角性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【规范解答】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 22．（本题8分）（25-26八年级上·湖北孝感·期末）如图，点是边上一点，且． (1)求证：为直角三角形； (2)若是的角平分线，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义． （1）根据三角形内角和求出，即，即可证明为直角三角形； （2）根据余角的定义求出，根据角平分线的定义得到，即可求出的度数． 【规范解答】（1）证明：， ， ， ， ， 为直角三角形； （2）解：， ， ， 平分， ， ． 23．（本题8分）（25-26八年级上·广东深圳·期末）2025年11月2日，人形机器人“夸父”成为全运会历史上首个人形机器人火炬手．下图是“夸父”在传递火炬时某瞬间的姿势及其平面示意图．其中，，，． (1)求的度数； (2)若，，，，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形外角的性质，熟知平行线的性质及其判定定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，再由题意得到，则，据此求解即可； （2）延长交直线于点T，可求出；由平行线的性质可得、，由周角的定义可得，则，即可证明，进而证明． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，延长交直线于点T， ∵， ∴， ∴； 由（1）可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．（本题8分）（25-26八年级上·全国·期末）如图，中，的角平分线与外角的平分线交于． (1)如图，若，则 ． (2)如图，四边形中，的角平分线及外角的角平分线相交于点，若，求的度数． (3)如图，中，的角平分线与外角的角平分线交于，若为延长线上一动点，连接，与的角平分线交于点，当滑动时有下面两个结论： 的值为定值； 的值为定值； 其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值． 【答案】(1) (2) (3)正确的结论是①，理由见解析 【思路引导】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义： （1）根据角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，，由此即可得到结论； （2）根据角平分线的定义，根据三角形外角的性质得到，利用四边形内角和定理得到，则，由此即可求出； （3）同理可得，，利用三角形内角和定理得到，再由三角形外角的性质得到，即可得到，由此即可得到结论． 【规范解答】（1）解：∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵平分平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：正确的结论是①，理由如下： 同（1）可得， ∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的值为定值，①正确，其值是． 25．（本题10分）（25-26八年级上·天津滨海新区·期中）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，作的中线． (2)在图②中，在边上找一点，连接，使的面积为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了应用三角形的中线定义和性质作图，解决本题的关键是准确利用网格作图． （1）根据网格找到的中点即可； （2）根据，利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形，根据网格找到的中点，连接即可． 【规范解答】（1）解：如图①，中线即为所求； （2）解：如图②，点即为所求． 26．（本题10分）探索下面不同的情境，回答问题： (1)【探索发现】已知：如图1，，点在，之间，连接，．易证：．下面是两位同学添加辅助线的方法： 小刚：如图2，过点P作． 小红：如图3，延长交于点M． 请你选择一位同学的方法，并进行证明； (2)【深入思考】如图4，点E，F分别是射线，上一点，点G是线段上一点，连接并延长，交直线于点P，连接、，若，求证：； (3)【拓展延伸】如图5，在（2）的条件下，，平分，平分，与交于点H，若，，，求的度数． 【答案】(1)解：小刚的证明如下：如图2，过点P作， ∵， ∴， ∴ ∴ 即； (2)证明：∵∴ 又∵ ∴ ∴； (3) 【思路引导】（1）小刚的证明：过点P作，可得，再根据平行线的性质证明即可求证；小红的证明：延长交于点M，可得，再利用三角形内角和定理即可求证； （2）利用三角形内角和定理证明即可求证； （3）由角平分线的定义得，设，则，得，再根据（2）的条件得，解得，设，同理可得，即可求解； 【规范解答】（1）小红的证明如下：     如图3，延长交于点M， ∵， ， ， ∴， ； （2）略； （3）解：∵平分，， ， 设，则，，     ， ∴， 解得， ； 设， ∵平分， ， ∵， ， ∵在(2)的条件下， 同理可得，，即， 解得， ∴． 【考点剖析】本题主要考查平行线的性质和判定，三角形内角和定理和三角形外交的性质，角平分线的性质，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $